资源简介

第3课时 利用勾股定理作图、计算
教学设计
教学目标
课题 20.1 第3课时利用勾股定理作图、计算 授课人
教材分析 本节课是人教版八年级数学勾股定理章节的核心应用课时，承接勾股定理的概念及基本应用，是对勾股定理知识的拓展与深化。教材以证明“HL”定理为切入点，引导学生探究利用勾股定理在数轴上表示无理数的方法，结合网格作图、最短路径等实际问题，层层递进渗透数形结合、转化、方程思想。本节课既巩固了勾股定理的核心知识，又衔接了实数与几何作图的联系，为后续解决复杂几何计算、最短路径问题奠定基础，是培养学生几何直观和推理能力的关键环节。
学情分析 八年级学生已掌握勾股定理的基本内容、直角三角形全等判定及数轴的相关知识，具备初步的几何作图、推理和运算能力。但学生对勾股定理与几何作图的结合掌握不足，难以灵活运用转化思想构造直角三角形，在数轴上表示无理数时容易混淆作图步骤，对最短路径问题的展开转化能力较弱。学生适合通过动手操作、探究交流、分层练习突破难点，逐步提升数形结合的应用能力和推理严谨性。
核心素养目标 1. 数学眼光：能抽象出勾股定理在作图、证明中的应用规律，借助几何直观理解数形结合本质，运用创新思维构造直角三角形解决无理数作图问题，培养空间观念。 2. 数学思维：具备运用勾股定理进行计算、作图的能力，通过推理意识证明直角三角形全等，推导作图步骤，培养严谨推理和运算能力。 3. 数学语言：运用模型意识构建直角三角形模型，规范表述作图步骤和推理过程，增强应用意识，能用规范数学语言说明作图和计算的依据。
素养目标 1.理解直角三角形三边的关系，会应用勾股定理解决直角三角形全等判定定理的证明. 2.能利用勾股定理在数轴上找到表示无理数的点. 3.在数学活动中培养学生的探究意识和合作交流的习惯，并体会勾股定理的应用价值.
教学重点 利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点.
教学难点 转化思想、方程思想、数形结合思想的灵活运用.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：交流新知，验证旧知 【回顾导入】 在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗 已知:如图,在 Rt△ABC 和.Rt△A'B'C'中, 求证:△ABC≌△A'B'C'. 证明:在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'中, 根据勾股定理， 又 ∴△ABC≌△A'B'C'(SSS). 【教学建议】 师生共同画图， 写出已知、求证，引导学生分析：锐角未知，只能通过“SSS”或“SAS”证明，并指定学生代表证明.
设计意图
让学生利用勾股定理证明之前学过的“HL”.
活动二：问题引入，自主探究 探究点 利用勾股定理在数轴上表示实数 我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示，你能在数轴上画出表示 的点吗 (1)如果能画出长为 的线段，就能在数轴上画出表示. 的点.想一想，你能画出长为 的线段吗 怎么画 说说你的画法. 答：画一个两条直角边的长都为1的直角三角形，它的斜边长就是 (2)长为 的线段能是两条直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗 答：设斜边( ，两直角边分别为a，b，根据勾股定理有 ，若a ，b为正整数，则13必须分解为两个完全平方数的和，即 ,则a=2,b=3，所以长为 的线段是直角边长分别为正整数 2 和 3 的直角三角形的斜边长，如图所示. (3)在数轴上画出表示 的点. 解：①如图，O为数轴原点，在数轴上找出表示3的点 A，则OA=3； ②过点 A 作直线 l 垂直于 OA,在 l 上取点 B,使AB=2; ③以原点 O 为圆心，OB 长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点 C 即为表示 的点. (4)我们知道了怎么画出斜边长为 的直角三角形，那么怎么画出斜边长为 的直角三角形呢 【教学建议】 让学生 交 流 讨 论，教师给予适当提示.最后总结在数轴上画表示无理数的点的一般步骤： (1)利用勾股定理 拆分出两条线段长的平方和等于所求无理数的平方(一般拆分的两条线段的长是正整数，这样作图较方便)； (2)以原点为直角 三角形斜边的顶点，在数轴上作一条直角边，再作另一条直角边，构造直角三角形； (3)以数轴原点 为圆心，以斜边长为半径作弧，弧与数轴的交点即为所求的表示该无理数的点(一般所求无理数是正的，所求点就是弧与正半轴的交点).
设计意图
引导学生探究在数轴上画出表示无理数的点.
教学步骤 师生活动
答：根据( 先画出长为 的线段，再以 和1为直角边的长画直角三角形，则斜边长即为 (5)你能画出斜边长为 (n是正整数)的直角三角形吗 你能在数轴上画出表示 的点吗 答：类似地，利用勾股定理，可以作出长为 …的线段(如图①).按照同样的方法，可以在数轴上画出表示 ·的点(如图②). 【对应训练】 教材P29练习第1题.
活动三：重点突破，提升探究 例 如图,数轴上点 A 表示的数为1,AB⊥OA,且AB=OA.以原点O 为圆心，OB 长为半径作弧，交数轴的负半轴于点C，则点 C 所表示的数为(D) C. 【对应训练】 1.如图，数轴上点 A 所表示的数为a，则a 的值是(B) 2.教材P29练习第2,3题. 【教学建议】 提醒学生解决此 类题需注意：(1)弧与数轴的交点与圆心的位置关系(有时交点在圆心左侧)；(2)作弧时所取的圆心在数轴上表示的数(有时不是0).
设计意图
从不同角度巩固学生对勾股定理的认识.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：你会用勾股定理证明“HL”吗 你会在数轴上画出表示无理数的点吗 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P30~32习题20.1第6,7,8,11,13,14题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计 20.1勾股定理及其应用 第3课时利用勾股定理作图、计算 1.利用勾股定理证明“HL”. 2.利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点.
教学反思 本节课的重点和难点是在数轴上画出表示无理数的点，学生之前没有接触过这类题型，教学中教师要引导学生积极地发表自己的看法，梳理所学到的知识，逐步探究，加深对知识的理解和巩固.
备课素材
解题大招
解题大招一 利用勾股定理进行几何作图
例1 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
(1)在图①的网格中画出长为 的线段AB；
(2)在图②的网格中画出腰DE，DF 的长为 ，面积为3的等腰三角形DEF；
(3)在图③的网格中画出三边长分别为 , ,2 的三角形，并直接写出其面积为 4 .
解:(1)如图①,由 可以构造一个两条直角边长分别为1和2的直角三角形，则斜边AB 的长为
(2)如图②,由 可以构造一个底边长为6，高为1的等腰三角形DEF.
(3)由 可以构造如图③所示的三角形，
此三角形的面积为
例2 在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A 和直线l的位置如图所示.
(1)将点A 向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点B，请在图①中标出点B，并写出线段AB 的长度：
(2)在(1)的条件下，在直线l上确定一点P，使PA+PB 的值最小，在图①中保留作图痕迹，并直接写出PA+PB的最小值：
(3)在(1)的条件下，C为直线l上的格点，△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，请在图②中标出点C，并写出线段AC的长度：2 或2 .
解析:(1)如图①, 故答案为
(2)如图①, 故答案为
(3)如图②，存在两个符合条件的点，分别为 .故答案为2 或2
解题大招二 利用勾股定理解决最短路线问题
例3 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到点 B 的最短路程是(B)
A.20dm B.25dm C.30dm D.35dm
解析:如图,三级台阶平面展开图为长方形,长为20dm,宽为(3+2)×3=15(dm),
则蚂蚁沿台阶面爬行到点B 的最短路程是此长方形的对角线长.
故蚂蚁沿台阶面爬行到点 B 的最短路程为
故选B.
例4 如图，圆柱形玻璃杯的高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm且与蜂蜜相对的点 A 处，则该蚂蚁从外壁A 处爬到内壁B 处的最短路程为 20 cm.(杯壁厚度不计)
解析：将圆柱体侧面展开，如图所示，
作点A 关于PS的对称点A',连接A'B 交PS 于点C,
则蚂蚁从点A 爬到点C，再爬到点B，爬行的路程最短，最短路程等于A'B的长.
∵PA'=PA=3cm,OQ=5cm,PQ=14cm,PS=32cm,
在 Rt△A'OB 中,可得
故该蚂蚁从外壁A 处爬到内壁B 处的最短路程为 20cm.故答案为20.
例5 如图，长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路径的长是 cm.
解析：把长方体按前面、上面展开如图①，由勾股定理可得
把长方体按前面、右面展开如图②，由勾股定理可得
把长方体按左面、上面展开如图③，由勾股定理可得
∴蚂蚁爬行的最短路径的长是 故答案为
培优计划
培优点 勾股定理与线段和的最小值问题
例 如图①,C为线段BD 上一动点,分别过点 B,D 作AB⊥BD,ED⊥BD,已知AB=5,DE=1,BD=8,连接AC,CE.设CD=x.
(1)用含x的代数式表示AC+CE 的长.
(2)当点C 满足什么条件时，AC+CE的值最小 求出这个最小值.
(3)根据上述结论，构图求出代数式 的最小值.
解：
(2)当A,C,E 三点共线时,AC+CE 的值最小.
如图①,过点A 作AF⊥ED 的延长线于点F,连接AE,AC+CE的最小值即为AE 的长.
易知AF=BD=8,DF=AB=5,∴EF=DF+DE=5+1=6.
在 Rt△AEF 中, ∴AC+CE 的最小值是 10.
(3)如图②,作BD=15,过点 B 作AB⊥BD,过点D 作ED⊥BD,使AB=3,DE=5,连接AE 交BD 于点C,设BC=x,则AE 的长即为代数式 的最小值.
如图，过点A 作AF⊥ED 的延长线于点F，可得长方形ABDF，
则DF=AB=3,AF=BD=15,EF=DE+DF=5+3=8,
即 的最小值为17.
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