资源简介

20.2勾股定理的逆定理及其应用
第1 课时 勾股定理的逆定理
教学设计
教学目标
课题 20.2 第1课时勾股定理的逆定理 授课人
教材分析 本节课是人教版八年级数学勾股定理章节的核心判定课，承接勾股定理的性质内容，聚焦勾股定理逆定理的探究、证明与应用。教材以逆向思考导入，通过动手画图猜想、全等三角形证明逆定理，延伸勾股数概念，结合实例引导学生运用逆定理判定直角三角形，渗透数形结合、由特殊到一般的思想。本节课既是对勾股定理的逆向拓展，也是判定直角三角形的重要依据，为后续综合应用勾股定理及其逆定理、解决四边形面积等问题奠定基础，同时培养学生的探究意识和严谨的数学推理能力。
学情分析 八年级学生已掌握勾股定理的基本内容、全等三角形判定及三角形边长关系，具备初步的动手操作、猜想探究和简单推理能力。但学生对勾股定理逆定理的探究和证明理解难度较大，难以熟练运用全等三角形证明逆定理，对勾股数的特征和判定条件掌握不扎实，在运用逆定理判断三角形形状时容易忽略“最长边”这一关键条件。学生适合通过动手画图、小组探究、分层练习，逐步理解逆定理的本质，掌握判定方法和勾股数规律，提升推理和应用能力。
核心素养目标 1. 数学眼光：能抽象三角形三边关系，借助几何直观感知直角三角形的判定特征，通过动手画图、猜想验证培养空间观念和创新思维。 2. 数学思维：具备运用勾股定理逆定理判定直角三角形的运算能力，能通过推理证明逆定理、探究勾股数规律，提升推理能力和运算严谨性。 3. 数学语言：能运用模型观念识别直角三角形模型，规范表述逆定理的应用过程和勾股数特征，增强应用意识。
素养目标 1.理解并掌握勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形. 2.探究勾股定理的逆定理的证明方法，感悟数形结合思想的应用. 3.会认识并判断勾股数，由特殊到一般寻找勾股数规律.
教学重点 勾股定理的逆定理的理解及其应用.
教学难点 探究勾股定理的逆定理.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：逆向思考，导入新课 【情境导入】 如图给出了确定直角的一种方法：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中一个角便是直角. 由勾股定理可以知道，直角三角形的两条直角边长的平 方和等于斜边长的平方.反过来，如果三角形的三条边满足两 条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是不是直角三角形呢 …… 上述方法意味着，如果围成三角形的三边长分别为3，4，5，它们满足关系“3 + ，那么围成的三角形是直角三角形.一般地，满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方的三角形是不是直角三角形呢 【教学建议】 给学生说明，数 学中有很多定理的逆命题也是正确的，但需要经过严格的论证.
设计意图
通过对勾股定理内容的逆向思考，引出勾股定理的逆定理的学习.
活动二：问题引入，自主探究 探究点勾股定理的逆定理 1.观察与猜想 (1)观察(教材P34观察) 画一画,如果三角形的三边长分别为2.5cm,6cm,6.5cm,它们满足关系“2.5 + 画出的三角形是直角三角形吗 换成三边长分别为 4 cm，7.5cm，8.5cm,再试一试. 答：两次画出的三角形都是直角三角形. (2)猜想 通过上面的尝试，你能得到什么样的猜想 答：如果三角形的三边长a，b，c满足. 那么这个三角形是直角三角形. 2.证明 上面只是我们的猜想，怎么证明它呢 如图①，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足。 c ，怎么证明△ABC 是直角三角形呢 回想上节课中用勾股定理证明“HL”，借助全等 三角形的知识,如图②,作一个 Rt△A'B'C',使 B'C' =a,A'C'=b,∠C'=90°.△ABC 与△A'B'C'全等吗 可以说明△ABC 是直角三角形吗 【教学建议】 引导学生发现直 角都是两条较短边所夹的角. 【教学建议】 学习了勾股定理 的逆定理之后，可以给学生总结判定直角三角形的两种思路：(1)从角的方面考虑：证明有一个角是直角(或两个内角互余)；(2)从边的方面考虑：证明两边长的平方和等于第三边长的平方.
设计意图
引导学生动手探究，发现勾股定理的逆定理.
设计意图
通过证明，让学生体会数学结论的严谨性，并提升推理能力.
教学步骤 师生活动
答：全等. 根据勾股定理， 因为 ，所以 在△ABC 和△A'B'C'中,BC=a=B'C',AC=b=A'C',AB=c=A'B', 所以△ABC≌△A'B'C'(SSS),所以 ，即△ABC 是直角三角形. 归纳总结：我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理.这个定理叫作勾股定理的逆定理.它是判定直角三角形的一个依据. 例1 (教材P35例1)判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： (1)a=8,b=15,c=17; (2)a=14,b=13,c=15. 分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 解:(1)因为: 所以 根据勾股定理的逆定理，由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形. (2)因为 所以 .根据勾股定理，由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形. 延伸概念：像8，15，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 【对应训练】 1.教材 P36练习. 2.有下列4组数:①7,24,25;②8,15,19;③0.6,0.8,1.0;④30,40,50.其中,勾股数有(B) A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 对于例1(2)，如果这个三角形是直角三角形，那么根据勾股定理应有 事实上，上式不成立.因此，这个三角形不是直角三角形. 【教学建议】 提醒学生，勾股 数必须满足两个条件：①以三个数为边长的三角形是直角三角形；②三个数必须是正整数.
设计意图
通过计算，加强对勾股定理的逆定理的掌握.
活动三：重点突破，提升探究 例2 四边形 ABCD 的各边长如图所示,对角线 BD=10,求四边形ABCD的面积. 解:∵AD=8,AB=6,BD=10,CD=26,BC=24, ∴△ABD 和△BCD 都是直角三角形,且∠A=90°,∠CBD=90°. 答:四边形 ABCD 的面积是 144. 【教学建议】 提醒学生记住常 见的几组勾股数：3，4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25;8,15,17,碰到时就可以较快地联想到直角三角形.
设计意图
加强学生对勾股定理的逆定理的运用能力.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：勾股定理的逆定理是什么 什么样的数叫作勾股数 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P38习题20.2第1,2,6题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
教学步骤 师生活动
板书设计 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第1课时 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 那么这个三角形是直角三角形. 2.勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
教学反思 本节课通过对勾股定理内容的逆向思考，让学生动手操作，猜想并验证勾股定理的逆定理，体会了数学结论的严谨性，并延伸出了勾股数的概念，过程中要引导学生积极参与.本节课的难点在于勾股定理的逆定理的证明，要适当给予学生提示和引导，提升学生学好数学的信心.
备课素材
培优计划
培优点一 运用勾股定理的逆定理判断三角形形状
若 则以a，b，c为三边长的三角形是钝角三角形；
若 则以a，b，c为三边长的三角形是直角三角形；
若 则以a，b，c为三边长的三角形是锐角三角形.
(在以上三角形中，c均为最长边)
例1 已知△ABC的三边长分别为a 其中m，n是正整数，且m>n，试判断△ABC 是否为直角三角形.
分析：本题中已给出三角形的三边长，判断该三角形是否为直角三角形，只需看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方就可以了，其关键是确定最大边长.
解：因为 m，n是正整数，且m>n，所以c-b=m +n -2mn=(m-n) >0,c-a=m +n -(m -n )=2n >0,所以c>b,c>a.所以△ABC 的最大边长为c.因为a + n +n , 所以 所以△ABC 是直角三角形.
例2 若△ABC 的三边长a,b,c 满足 ,试判断△ABC 的形状.
分析：由等式条件来判断三角形的形状，就是将已知的等式进行代数恒等变形，再根据它的结构特点，得出a，b，c的关系，从而判断三角形的形状.
解：由已知得 所以( 所以 .因为 所以 所以a=6,b=8,c=10.所以。 所以△ABC 是直角三角形.
培优点二 有关勾股数的探究题
(1)满足 的三个正整数a，b，c称为勾股数.
(2)勾股数有无数组，如对于任意两个整数m，n(m>n>0)，用含字母的代数式表示勾股数：
为正整数)；
为正整数)；
为正整数).
(3)如果a,b,c为一组勾股数,那么 na,nb,nc(n是正整数)也是一组勾股数.
例如3，4，5是一组勾股数，则6，8，10也是一组勾股数，9，12，15也是一组勾股数.
注意：只满足勾股定理，但不满足都是正整数的三个数不是勾股数.
八年级数学下册 37

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