资源简介

第2 课时 勾股定理及其逆定理的综合应用
教学设计
教学目标
课题 20.2第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用 授课人
教材分析 本节课是人教版八年级数学勾股定理章节的核心应用课，承接勾股定理及逆定理的基础内容，聚焦两者的综合运用。教材以实际情境（轮船航行、四边形角度计算等）为载体，引导学生将实际问题转化为数学问题，通过构造直角三角形，灵活运用勾股定理求边长、用逆定理判断直角三角形，渗透割补、转化、数形结合思想。本节课既是对前序知识的巩固，也是对几何推理、综合运算能力的提升，为后续解决复杂几何问题、动点问题奠定基础，同时培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
学情分析 八年级学生已掌握勾股定理及其逆定理的基本内容，能运用定理进行简单计算和直角三角形判定，具备初步的几何推理和图形分析能力。但学生在综合应用时存在不足：难以快速将实际问题抽象为直角三角形模型，对勾股定理与逆定理的区别和联系理解不透彻，运用割补思想、数形结合思想解决复杂问题的能力较弱，在网格图形、四边形综合问题中容易遗漏分类讨论情况，动手构造直角三角形、规范表述解题过程的能力有待提升。适合通过实例分析、分层训练，强化“知直角求边长、知三边找直角”的解题意识，提升综合应用能力。
核心素养目标 1. 数学眼光：能抽象实际问题中的直角三角形模型，借助几何直观理解勾股定理与逆定理的应用场景，通过图形构造培养空间观念和创新思维。 2. 数学思维：具备运用勾股定理及其逆定理进行计算的能力，能通过推理分析图形关系、判断三角形类型，提升推理能力和运算严谨性。 3. 数学语言：能运用模型观念构建直角三角形模型，规范表述解题过程，增强应用意识，能清晰说明定理的区别与联系。
素养目标 1.理解勾股定理与其逆定理的区别和联系. 2.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题，培养应用数学的意识.
教学重点 灵活运用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
教学难点 割补思想、转化思想和数形结合思想的应用.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 【情境导入】 如图,已知小岛B 与港口A 相距5 n mile,一艘船 C 位于港口A 正东方向3 n mile处,与小岛B 相距4 n mile,根据这些条件能知道小岛B在船C的哪个方向吗 【教学建议】 指定学生回答， 提醒学生E，N分别表示东、北两个方向.
设计意图
通过实际情境，激发学生的学习兴趣.
活动二：问题引入，自主探究 探究点1 勾股定理的逆定理的实际应用 例1 (教材P36例2)如图，港口 P 位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行12n mile.它们离开港口 1.5 h后分别位于点 Q,R 处,且相距30 n mile.如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行 分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果能求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了. 解:根据题意,PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30. 因为 即 ,所以∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°. 因此 ，即“海天”号沿西北方向航行. 【对应训练】 教材P37练习第1,2题. 【教学建议】 告诉学生可先根 据已知条件计算出各边长，再利用勾股定理及其逆定理判断三角形是否为直角三角形，最后解答问题.
设计意图
培养学生利用勾股定理的逆定理解决实际问题的能力.
设计意图 探究点2 勾股定理及其逆定理的综合应用 勾股定理与其逆定理的区别和联系是什么 答：区别： (1)勾股定理是已知直角三角形，得出三边之间的关系；勾股定理的逆定理是已知三角形的三边关系，得出直角三角形； (2)勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理 联系：勾股定理及其逆定理都与直角三角形有关 例2 (教材P37 例3)如图,在四边形ABCD 中,AB .如果 AC⊥BC,判断 AC与AD 是否也垂直，并说明理由. 【教学建议】 (1)指定学生代 表回答，教师总结勾股定理及其逆定理的区别和联系. (2)提醒学生：已 知直角三角形时，要联想到应用勾股定理求长度；已知三角形的三边长时，要联想到应用勾股定理的逆定理找直角.注意直角的邻补角也是直角.
将 勾 股定 理 及其逆定理 结 合起来考查，提升对知识的综合运用能力.
教学步骤 师生活动
分析：若能求出AC的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断△ACD 是不是直角三角形，从而判断AC 是否垂直于AD. 解:因为 AC⊥BC,所以∠ACB=90°. 在 Rt△ABC 中, .所以 AC=4. 在△ACD 中, 所以 因此△ACD 是直角三角形,即 AC⊥AD. 【对应训练】 教材P37练习第3题.
活动三：重点突破，提升探究 例3 如图,在四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=3,DA=1,且∠B=90°,求∠BAD 的度数. 解:如图,连接 AC. ∵∠B=90°,AB=BC=2, ∵ ∴△ACD 是直角三角形,且∠CAD=90°. ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=45°+90°=135°. 【对应训练】 如图，正方形ABCD 是由9个边长为1 的小正方形组成的，点E，F均在格点(每个小正方形的顶点都是格点)上，连接AE,AF,求∠EAF 的度数. 解：如图，连接EF， 则 A ∴△AEF 是直角三角形,且∠AEF=90°. 又AE=EF,∴∠EAF=∠EFA=45°. 【教学建议】 提示学生：(1)已知直角时，要构造相应的直角三角形并利用勾股定理求边长；(2)仅知道三角形的边长求角度时，所求角度一般比较特殊，要联想到直角三角形、等腰三角形等；(3)网格中求角度，一般先构造出相应的三角形，再利用勾股定理求各边长，然后利用勾股定理的逆定理找直角，也可能涉及“等边对等角”.
设计意图
将勾股定理及其逆定理与其他几何知识综合起来考查，培养对各知识点特征的敏感度，使知识的综合运用能力得到升华.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 不用量角器，怎么检验一个直角是否标准 勾股定理及其逆定理的区别和联系是什么 【知识结构】 【作业布置】 1.教材 P38习题20.2第3,4,5题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计 20.2勾股定理的逆定理及其应用 第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用 1.勾股定理的逆定理的应用. 2.勾股定理及其逆定理的区别和联系. 3.勾股定理及其逆定理的综合应用.
教学反思 本节课的重点在于利用勾股定理的逆定理解决实际问题，教学中要注意引导学生将实际问题抽象为数学问题.难点在于让学生将勾股定理及其逆定理结合起来并灵活运用，因此要让学生清楚勾股定理及其逆定理的区别和联系，培养出“知直角，求边长；知三边，找直角”的意识.
备课素材
培优计划
培优点 勾股定理及其逆定理的综合应用
例1 如图，在正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:如图,连接AB,AC,AD,BC,BD,CD,设小正方形的边长为1,由勾股定理,得
AB =1 +2 =5,AC =2 +4 =20,AD =1 +3 =10,BC =5 =25,BD =1 +2 =5,CD =1 +3 =10,
∴△ABC,△ADC,△ABD 是直角三角形,即共3个直角三角形.故选C.
例2 如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,点F 在AB上,且
(1)请你判断EF 与DE 的位置关系，并说明理由；
(2)若此正方形的面积为16，求DF 的长.
分析：平面内两直线的位置关系有两种：平行和相交，EF 和DE 都过点 E，说明它们相交，如只考虑相交还不够，需考虑相交的特殊情况——垂直，从图中观察EF与DE 是垂直的，故设正方形的边长为a，利用勾股定理，用含a的代数式分别表示DE ，EF ，DF ，再利用勾股定理的逆定理判断△DFE 是否为直角三角形，再判断 EF⊥DE是否成立.
解:(1)EF⊥DE.理由:
设正方形的边长为a，则
在 Rt△CDE 中,
在 Rt△EFB 中,
在 Rt△DAF 中,
∴△DEF 为直角三角形,且∠DEF=90°.
∴EF⊥DE.
(2)∵正方形的面积为16，
例3 如图，MN以西为我国领海，以东为公海，某日上午9时50分我国缉私艇A 发现在其正东方向有一走私艇C以每小时13n mile的速度沿CD 方向偷偷向我国领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C 两艇的距离是 13n mile,缉私艇B 测得A 与其距离为5 n mile,C与其距离为12n mile,若走私艇C的速度不变,最早在什么时间进入我国领海
解：
∴△ABC 为直角三角形,且∠ABC=90°.
又BD⊥AC,可设
①-②,得 即26x-169=119,
解得
∵ ÷13= ≈0.85(h)=51(min),9h50min+51min=10h41min.
∴走私艇最早约在10时41分进入我国领海.

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