资源简介

第二十一章 四边形
21.1 四边形及多边形
21.1.1 四边形及其内角和
教学设计
教学目标
课题 21.1.1 四边形及其内角和 授课人
教材分析 本节课是人教版八年级数学四边形章节的开篇基础课，承接三角形的相关知识，以类比思想为核心，引导学生学习四边形的概念、要素及内角和、外角和、不稳定性。教材从生活实例导入，类比三角形概念引出四边形的定义、边、顶点、对角线等要素，通过连接对角线转化为三角形，推导四边形内角和，再结合邻补角推导外角和，最后结合生活实例介绍四边形的不稳定性。本节课是后续学习平行四边形、矩形等特殊四边形的基础，既巩固了三角形的知识，又培养学生的类比探究、推理应用能力，体现数学与生活的紧密联系。
学情分析 八年级学生已熟练掌握三角形的概念、内角和及稳定性，具备初步的类比探究、动手操作和简单推理能力，能识别生活中的四边形。但学生对四边形“平面内”的定义前提理解不深刻，难以准确区分凸凹四边形，在推导四边形内角和、外角和时，对“转化为三角形”的思路掌握不熟练，对四边形不稳定性的应用感知不够。学生适合通过类比三角形、动手画图、小组探究，逐步理解四边形的相关知识，提升推理和应用能力。
核心素养目标 1. 数学眼光：能抽象四边形的概念及要素，借助几何直观区分凸凹四边形，通过图形探究培养空间观念和创新思维。 2. 数学思维：能通过推理推导四边形内角和、外角和，提升推理能力，能运用相关结论进行简单运算。 3. 数学语言：能运用模型观念识别四边形模型，规范表述四边形相关概念及性质，结合生活实例增强应用意识。
素养目标 1.了解四边形的概念及四边形的边、顶点、对角线、内角与外角. 2.探索并掌握四边形的内角和与外角和，提升推理能力. 3.了解四边形的不稳定性及其在生活中的一些应用.
教学重点 四边形的内角和.
教学难点 四边形的内角和与外角和的推导.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，引入新知 【情境引入】 现实世界的很多物体中都有四边形的形象，例如，宏伟的建筑、一望无际的农田、开关自如的伸缩门、别具一格的窗棂…… 与三角形一样，四边形也是一种基本的几何图形.本节我们类比三角形，学习四边形的一些概念和性质，并把它们推广到多边形. 【教学建议】 让学 生 交 流 互 动，列举生活中见到的四边形的例子，丰富课堂学习氛围.
设计意图
通过日常生活场景，引出四边形的学习，激发学生兴趣.
活动二：类比学习，探究新知 探究点 1 四边形的相关概念 1.四边形及其边、顶点，四边形的表示方法 类比三角形，根据教材内容填一填四边形的相关概念内容. 【教学建议】 四边形的相关概 念可以类比三角形来学习.但应注意：三角形的三个顶点总是在一个平面内，也就是说三角形肯定是平面图形，但四个点可能不共面，所以四边形的定义中，“在平面内”这个前提不能遗漏，后面学习多边形的定义也应注意这点.
设计意图 三角形 四边形
认识四边形及其相关要素，并为后面的学习打下基础. 概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形 在平面内，由不在同一直线上 的四条线段 首尾顺次相接 组成的图形叫作四边形
边 组成三角形的线段叫作三角形的边 组成 四边形 的各条线段叫作四边形的边
顶点 相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点 每相邻两条 线段的公共端点 叫作四边形的顶点
图形及记法 记作:△ABC 记作: 四边形 ABCD
教学步骤 师生活动
设计意图 2.凸四边形 如图，画出四边形ABCD 的任何一条边(例如CD)所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形. (1)在图①中已经画出了边CD 所在直线，发现整个四边形都在这条直线的同一侧.请你自己动手，在图①中画出剩下的三条边所在直线，对于每一条直线，观察四边形 ABCD 的位置，看整个四边形是否都在这条直线的同一侧. 答：如图①，对于每一条边所在的直线，整个四边形都在这条直线的同一侧. (2)观察图②，对于边CD(或BC)所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧吗 四边形 ABCD 是不是凸四边形 答：对于边CD(或BC)所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧.四边形 ABCD 不是凸四边形. 特别规定：今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形. 3.四边形的对角线 连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.在图中，AC，BD 是四边形ABCD 的两条对角线，它们分别将四边形 ABCD 分为两个三角形. 4.四边形的内角与外角 与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角. (1)四边形 ABCD 如图所示.请你将它的所有内角表示出来. 解:它的所有内角为∠A,∠B,∠C,∠D. (2)对于(1)中的四边形ABCD,请你画出顶点 A,C处的外角. 解：如图，顶点 A 处的外角为∠1，∠2，顶点 C 处的外角为∠3,∠4. 【教学建议】 让学生动手画图， 厘清凹四边形与凸四边形的区别.对于凹四边形的概念，教学中不必说明，只要让学生明白此类四边形不是凸四边形即可. 【教学建议】 给学生说明： (1)四边形的每 一个顶点处可以画出两个外角(如∠1,∠2),且这两个外角是相等的.一般我们讨论外角问题时，每个顶点处任选其中一个外角探讨即可； (2)我们在画顶 点处的外角时，两边的延长线也形成了一个夹角，注意这个角不是四边形的外角.
准确理解凸四边形的概念.
设计意图
认清四边形的内角与外角，为后面内角和与外角和的探究打下基础.
设计意图 探究点 2 四边形的内角和与外角和 1.四边形的内角和 思考(教材P47思考)：我们知道，三角形的内角和是180°，长方形的内角和是360°.那么，任意一个四边形的内角和是多少度 你能证明你的结论吗 如图，在四边形ABCD 中，连接对角线AC，则四边形ABCD 被分为△ABC 和△ACD 两个三角形. (1)△ABC的三个内角为 ∠1 , ∠B , ∠3 . (2)△ACD的三个内角为 ∠2 , ∠4 , ∠D . (3)观察图形,四边形 ABCD 的内角和与△ABC 的内角和、△ACD 的内角和之间有什么等量关系 答:四边形 ABCD 的内角和=△ABC 的内角和+△ACD 的内角和. 【教学建议】 厘清思路之后，指定学生上台板演，推导出四边形的内角和.
引导学生在三角形的内角和定理的基础上推导出四边形的 内角和，加强知识之间的联系，提升推理能力.
教学步骤 师生活动
(4)根据以上分析，请你求出四边形 ABCD|的内角和. 答：在△ABC 中，由三角形内角和定理，得 ∠1+∠B+∠3=180°,∠2+∠4+∠D=180°. 由此可得∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D=(∠1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D)=180°+180°=360°. 归纳总结：四边形的内角和等于360°. 2.四边形的外角和 例 (教材P47例1)如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少 分析：因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为4×180°.根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和. 解:如图.∵∠DAB 与∠1是邻补角, ∴∠DAB+∠1=180°.同理∠ABC+∠2=180°, ∠BCD+∠3=180°,∠CDA+∠4=180°. ∴∠DAB+∠1+∠ABC+∠2+∠BCD +∠3+∠CDA+∠4=720°. 而∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°, ∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°. 归纳总结：四边形的外角和等于360°. 【对应训练】 教材 P49练习第1,2题. 【教学建议】 这 里 给 学 生强 调，四边形的外角和，只从每个顶点处取一个外角.
设计意图
在四边形内角和的基础上，结合邻补角，运用整体思想推导出四边形的外角和.
设计意图 探究点 3 四边形的不稳定性 (教材P48探究) (1)如图①，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗 答：可以发现，四边形木架的形状会改变.因为四边形的四条边确定后，四个角并不确定，这说明四边形不具有稳定性. (2)如图②，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗 为什么 答：再钉一根木条后，四边形木架变成两个三角形木架，由于三角形具有稳定性，这时四边形木架的形状不会改变. 在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如图①中的伸缩门、升降机等；有时又需要克服四边形的不稳定性，如图②中在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上钉一根木条，以防窗框变形等. 【对应训练】 教材P49练习第3题. 【教学建议】 可提前准备好道 具，让学生真实体验，加深印象；还可让学生从生活中的场景多举例子，加强互动.
结合生活经验，学习四边形的不稳定性，体会数学的应用价值.
教学步骤 师生活动
活动三：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 什么是四边形 四边形的组成要素有哪些 四边形的内角和是多少 我们是怎么得到四边形的内角和的 四边形的外角和是多少 四边形的稳定性如何 你能结合生活中的例子进行说明吗 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P52~53习题21.1第1,5,8题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计 21.1.1四边形及其内角和 1.四边形. 2.四边形的内角和、外角和. 3.四边形的不稳定性.
教学反思 本节课类比三角形的相关概念，引出了四边形的学习，并根据三角形的内角和定理推导出了四边形的内角和，进而推导出四边形的外角和.同样，通过与三角形的稳定性进行对比，学习了四边形的不稳定性，并了解到该性质在日常生活中的一些应用，体会了数学与实际生活的紧密联系.类比引导的学习方式能够提升学生学习数学的信心，今后的教学中可以继续采用这种方式.
备课素材
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