资源简介

21.1.2 多边形及其内角和
教学设计
教学目标
课题 21.1.2 多边形及其内角和 授课人
教材分析 本节课是人教版八年级数学四边形章节的延伸拓展课，承接上节课四边形的知识，以类比思想为核心，将四边形的概念、内角和与外角和推广到多边形。教材从生活实例导入，类比四边形的相关要素，引出多边形、正多边形的概念及边、顶点、对角线等要素；通过多种分割方法，将多边形转化为三角形，推导多边形内角和公式，再结合邻补角性质推导外角和，最后通过实例巩固公式应用。本节课是对四边形知识的升华，也是后续学习特殊多边形性质的基础，既培养学生类比探究、推理归纳的能力，也渗透由特殊到一般、转化的数学思想，体现数学的逻辑性和连贯性。
学情分析 八年级学生已熟练掌握四边形的概念、内角和与外角和，具备初步的类比学习、动手操作和逻辑推理能力，能识别生活中的多边形。但学生对多边形对角线的条数、分割三角形的个数与边数的关系理解不透彻，在推导内角和公式时，对不同分割方法的思路掌握不灵活，运用公式解决内角和与外角和综合问题的能力较弱，对正多边形“边、角均相等”的条件记忆不牢固。学生适合通过类比四边形、动手分割图形、小组探究，逐步理解多边形的相关知识，熟练掌握公式并提升应用能力。
核心素养目标 1. 数学眼光：能抽象多边形及正多边形的概念与要素，借助几何直观感知多边形特征，通过多角度推导公式培养空间观念和创新思维。 2. 数学思维：能通过推理推导多边形内角和、外角和公式，具备运用公式进行运算、解决相关问题的能力，提升推理能力和运算严谨性。 3. 数学语言：能运用模型观念识别多边形模型，规范表述多边形相关概念及公式，结合实例增强应用意识。
素养目标 1.了解多边形的概念及相关要素. 2.探索并掌握多边形的内角和与外角和公式，提升推理能力.
教学重点 多边形的内角和与外角和.
教学难点 多边形的内角和与外角和公式的推导.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，引入新知 【情境引入】 多边形在生活中也很常见，观察图中的图片，你能从中找出一些多边形的形象吗 【教学建议】 让学生结合生活 中的场景，谈谈自己见到的多边形，融入课堂.
设计意图
通过观察生活中的图片，引出多边形的学习，激发学生兴趣.
活动二：类比学习，探究新知 探究点 1 多边形的相关概念 (1)请类比四边形，说出多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的定义. 答：组成多边形的各条线段叫作多边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作多边形的顶点，多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，多边形内角的一边与另一边的延长线组成的角叫作多边形的外角，连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线. (2)指出图中六边形的边、顶点、内角和外角，画出它的全部对角线. 答:该六边形的边为 AB,BC,CD,DE,EF,AF;顶点为点 A,B,C,D,E,F;内角为∠A,∠B,∠C,∠D,∠E,∠F;外角如图①所示,分别为∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6,∠7,∠8,∠9,∠10,∠11,∠12;画出它的全部对角线如图②所示. 与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形. 特别规定：今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形. 【教学建议】 要带领全班将多 边形的各要素梳理清楚.对于多边形的对角线，要让学生自己动手去画，在画的过程中，由于要做到不遗漏，学生会自行体会到从一个顶点出发可以画几条对角线，若细心观察(或稍后加以引导)，还能发现从一个顶点出发的对角线可以将多边形分割成几个三角形.这对于后面的学习很有帮助.
设计意图
认识多边形及其相关要素，提升类比学习的能力.
教学步骤 师生活动
设计意图 概念引入：我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等.像正方形这样，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.如图是正多边形的一些例子. 注意：要判断一个多边形是不是正多边形，各个角都相等，各条边都相等必须同时具备，缺一不可.另外，由于正多边形的各内角相等，所以它的各外角也相等. 【教学建议】 讲述正多边形时， 各角相等与各边相等是两个相互独立的条件，对于边数大于3的多边形，必须同时满足这两个条件才能判定其为正多边形.可让学生举一些正多边形的实例，加深对概念的理解.
准确理解正多边形的概念，认识其特点，为后面的学习打下基础.
设计意图 探究点 2 多边形的内角和 (教材P50探究)类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗 由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗 观察图形，可以发现： 从五边形的一个顶点出发，可以作 2 条对角线，它们将五边形分为 3 个三角形，五边形的内角和等于 3 ×180°； 从六边形的一个顶点出发，可以作 3 条对角线，它们将六边形分为 4 个三角形，六边形的内角和等于 4 ×180°. 归纳总结：一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n-3)条对角线，它们将n边形分为(n-2)个三角形，n边形的内角和等于( 这样就得出了多边形的内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)×180°. 注意：由于正多边形的每个内角都相等，所以正n边形的每个内角的度数都为 思考：把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗 由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗 答：有其他分法，这里介绍两种，可由此得到多边形的内角和公式. 【教学建议】 对于多边形的边 数与分割成的三角形的个数之间的关系，多边形的内角和与各三角形内角和之间的关系，要让学生按照自己的观察去认真总结，从而加深印象. 【教学建议】 对于每种分割方 式，都尽量让学生自己去总结规律.
通过设问引导学生探索，经历多边形内角和公式的推导过程，体会数与形之间的联系，感受由特殊到一般的数学推理过程和思考方法，发展合情的推理能力.
设计意图
让学生感受得到结论的方法并不是唯一的，发散学生思维，拓展学生的创新意识.
图示 方法
如图，在n边形内任取一点O，连接点O与各个顶点的线段，把n边形分成n个三角形.因为这n 个三角形的内角和是n×180°,以O为公共顶点的n 个角的和是 360°,所以n 边形的内角和是 ,即(n-2)×180°
如图，在n边形的边上任意取一点 P(不与顶点重合)，连接这点与各顶点的线段，把n 边形分成(n-1)个三角形.因为这(n-1)个三角形的内角和是(n-1)×180°,以 P为公共顶点的(n-1)个角的和是180°，所以n 边形的内角和是( ，即
【对应训练】 1.教材P52练习第1题. 2.教材P52练习第2题(1)(2).
教学步骤 师生活动
设计意图 探究点3 多边形的外角和 (教材P51探究)与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和.多边形的外角和等于多少度 请你说明理由. 答：与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，因此n边形的内角和与外角和的总和等于 n×180°，外角和等于 归纳总结：多边形的外角和等于360°. 注意：由于正多边形的每个外角都相等，所以正n边形的每个外角的度数都为 你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360°: 如图，从多边形的一个顶点 A 出发，沿多边形的各边依 次走过各顶点，再回到点 A，然后转向出发时的方向.在行程 中所转的各个角的和，就是多边形的外角和.由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°. 【对应训练】 教材P52练习第2题(3). 【教学建议】 有了上节课四边 形内角和与外角和的学习，此处推导多边形的外角和相对容易，可让学生自己推理，教师适当加以引导和指正.应让学生特别牢记结论：多边形的外角和恒等于 360°，与多边形的边数无关.
通过推理与观察两种方式得出多边形的外角和，发展学生的推理能力和几何直观感知能力.
活动三：综合运用，巩固提升 例(教材P52例2)一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形 解：设这个多边形的边数为 n.因为它的内角和等于( 外角和等于360°,所以( 解得n=6. 因此这个多边形是六边形. 【对应训练】 一个多边形，它的内角和比外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数及内角和度数. 解：设多边形的边数为n，由题意，得( ,解得n=9. 内角和度数为( 答：这个多边形的边数为9，内角和度数为1260°. 【教学建议】 学生独自完成，教 师集中批改、订正.给学生强调，解此类题的关键在于牢记多边形的内角和与外角和公式，再根据两者之间的关系列方程求解.
设计意图
综合多边形的内角和与外角和进行强化训练，使学生在运用中熟练掌握新知.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 什么是多边形 多边形的组成要素有哪些 什么是正多边形 多边形的内角和公式是怎样的 你能推导吗 多边形的外角和是多少 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P52~53习题21.1第2,3,4,6,7,9题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
教学步骤 师生活动
板书设计 21.1.2 多边形及其内角和 1.多边形. 2.多边形的内角和. 3.多边形的外角和.
教学反思 本节课类比上节课四边形的内容，学习了多边形的有关知识，采用同样的思路推导了多边形的内角和、外角和.教学中注意思维引导，让学生积极思考，主动参与，较好地培养了学生类比学习的能力.
备课素材
解题大招
解题大招一 与多边形的内角和有关的问题
多边形的内角和通常有以下几种应用类型：(1)已知多边形边数求内角和，或已知多边形内角和求边数；(2)求正多边形的每个内角度数，或已知正多边形的各个内角度数求边数；(3)多边形内角和与外角和的综合运用.
例1 已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是(C)
A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形
例2 一个多边形的内角和不可能是(D)
A.1800° B.540° C.720° D.810°
分析：n边形的内角和是(n—2)×180°，即多边形的内角和一定是 180°的正整数倍，810°不能被180°整除，所以一个多边形的内角和不可能是810°.
例3 如图,在正六边形ABCDEF 内,以AB 为边作正五边形ABGHI,求∠FAI的度数.
分析：利用多边形内角和及正多边形的性质分别求得∠BAF，∠BAI 的度数，然后利用角的差计算即可.
解:在正五边形ABGHI 中,
在正六边形ABCDEF 中,
则∠FAI=∠BAF-∠BAI=120°-108°=12°.
解题大招二 与多边形的外角和有关的问题
多边形的外角和通常有以下几种应用类型：(1)直接求多边形外角和；(2)求正多边形的每个外角度数，或已知正多边形的各个外角度数求边数；(3)多边形内角和与外角和的综合运用.
注意：行走问题实际上属于上述类型(2)，它是多边形的外角和等于360°的现实意义.如果每次走的路程都相等，每次转的方向都相同，当回到出发点时，所走路径将会构成一个正多边形，而每次的转向角就是正多边形的外角，据此即可求解.
例4 已知一个正多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形是(B)
A.正五边形 B.正六边形 C.正七边形 D.正八边形
例5 如图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中.如图②是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1的度数是(A)
A.45°
B.60°
C.30°
D.50°

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