资源简介

第2课时 平行四边形的性质的运用
教学设计
教学目标
课题 21.2.1 第2课时平行四边形的性质的运用 授课人
教材分析 本节课是人教版八年级数学平行四边形章节的核心应用课，承接平行四边形的性质（第1课时），聚焦性质的灵活运用及平行线间距离的概念。教材以生活情境（小河建桥）导入，先巩固平行四边形的对边、对角、对角线性质，通过证明线段相等强化性质应用；再借助方格纸探究，引出平行线间平行线段的关系，进而定义平行线间的距离，最后结合梯形、角平分线等知识设计综合例题，渗透转化、数形结合思想。本节课是对平行四边形性质的深化，也是后续学习特殊平行四边形、几何综合证明的基础，同时衔接生活实际，体现数学的应用价值。
学情分析 八年级学生已掌握平行四边形的基本性质、全等三角形判定及点到直线的距离，具备初步的推理证明和几何分析能力，能识别简单的平行四边形模型。但学生对平行四边形性质的综合运用能力不足，难以灵活结合全等三角形、角平分线等知识解题；对平行线间距离的概念理解不透彻，容易混淆“平行线间的距离”与“平行线段的长度”；在综合题型中，缺乏边角关系转化、辅助线构造的思路。学生适合通过例题精讲、变式训练、小组探究，逐步提升性质应用和综合解题能力，深化对距离概念的理解。
核心素养目标 1. 数学眼光：能抽象生活中的平行四边形模型，借助几何直观感知平行线间距离的特征，通过多角度解题培养空间观念和创新思维。 2. 数学思维：能灵活运用平行四边形性质推理证明、计算求解，结合全等三角形等知识解决综合问题，提升推理能力和运算严谨性。 3. 数学语言：能运用模型观念识别平行四边形及平行线模型，规范表述性质应用、距离概念，结合生活实例增强应用意识。
素养目标 1.进一步提高对平行四边形性质的认识，并且能灵活运用各种性质. 2.以数学的眼光观察生活中的场景，从中抽象出两条平行线之间的距离. 3.理解两条平行线之间的距离的概念，能度量两条平行线之间的距离.
教学重点 1.平行四边形性质的运用. 2.两条平行线之间的距离.
教学重点 结合其他几何知识求两条平行线之间的距离.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：回顾知识，情境激趣 【回顾导入】 回顾一下，平行四边形有哪些性质 【情境导入】 如图是一条小河，河的两岸a，b平行.从河岸a 上的点A 处向对岸建桥，为了使桥的长度最短，桥应与河岸a，b都垂直.如果改变点A 的位置向对岸建桥(桥仍与河岸a，b都垂直)，桥的长度会发生变化吗 让我们带着这两个问题进入今天的学习吧. 【教学建议】 (1)让学生自主回顾下上节课的一些性质，强化认知. (2)在进行情境导入时，根据生活经验，学生一般知道从不同点建桥，桥的长度是一样的，这时教师可追问原因，引发讨论.
设计意图
(1)通过回顾性质为其应用作铺垫. (2)通过实际生活场景引出课题，体会数学与现实世界的紧密联系.
活动二：复习巩固，引入新知 探究点 1 平行四边形的性质的运用 平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，通过这些性质，我们可以将四边形的问题进行有效转化，一般可以将四边形的问题转化为三角形的问题，从而解决问题，我们来看一道例题. 例1 (教材P58例2)如图, ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,EF 过点O且与AB,CD 分别相交于点E,F.求证 OE=OF. 证明:在 ABCD 中,AB∥CD, ∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO. 又OA=OC, ∴△AOE≌△COF.∴OE=OF. 【对应训练】 如图,□ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,分别过点 A,C 作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.求证 BE=DF. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABE=∠CDF. ∵AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F, ∴∠AEB=∠CFD=90°. 在△AEB 和△CFD 中, ∴△AEB≌△CFD(AAS),∴BE=DF. 【教学建议】 提醒学生由平行四边形的对角线互相平分可以得到线段相等，结合平行四边形的其他性质还可以得到角相等，通过引导学生证明全等来证明线段相等.
设计意图
培养学生对平行四边形性质的灵活运用能力.
教学步骤 师生活动
设计意图 探究点 2 两条平行线之间的距离 利用方格纸画出直线a∥b，A，C为直线a上任意两点. (1)如图①,过点A,C 分别画直线c,d,使c∥d,B,D 分别是直线c 和b,直线d 和b的交点，用刻度尺测量点A，B的距离和点C，D的距离，它们相等吗 你能结合平行四边形的概念和性质，说说其中的原因吗 答:点 A,B 的距离和点C,D 的距离相等.原因:∵AC∥BD,AB∥CD,∴四边形 ABCD 是平行四边形.∴AB=CD. 归纳总结：夹在两条平行线之间的任何两条平行线段都相等. (2)如图②,分别过A,C 两点作直线b的垂线AB 和CD. AB 和CD 相等吗 为什么 答：相等.理由：∵AB 和CD 都与直线b垂直，∴易得AB∥CD.结合上面的归纳总结可知,AB=CD. 概念引入：从上面的结论可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.图②中线段AB，CD 的长均可表示平行线a，b之间的距离. 说一说：两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别 答：点与点之间的距离是定义点到直线的距离、两条平行线之间距离的基础，它们本质上都是点与点之间的距离. 【对应训练】 如图,已知l ∥l ,AB∥CD,CE⊥l ,FG⊥l ,下列说法错误的是(B) A. l 与 l 之间的距离是线段 FG 的长度 B.线段 CD 的长度就是l 与l 之间的距离 C. AC=BD D. CE=FG 【教学建议】 (1)说理的过程 可让学生自己完成，必要时教师予以指引和纠正. (2)告诉学生：任 何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
将几何直观与推理证明相结合，引出两条平行线之间的距离.
活动三：知识巩固，综合运用 例2 (教材P58例3)如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC,AB=DC.求证∠B=∠C. 分析：由于AD∥BC，可以考虑运用平行线之间的距离，通过三角形全等进行证明. 证明:如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,过点 A,D 分别作 AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为 E,F. ∵AE,DF 的长都是平行线AD,BC 之间的距离, ∴AE=DF. 又AB=DC, ∴Rt△ABE≌Rt△DCF. ∴∠B=∠C. 【教学建议】 对于例2，让学生 思考不同的解题思路，给出指引后，让学生完成剩余的证明过程.
设计意图
综合其他几何知识，加强对平行四边形相关知识点的掌握，提升推理能力和计算能力.
教学步骤 师生活动
追问：你还有其他证明方法吗 提示:还可过点 D 作DG∥AB,如图所示.证 DG=DC,得∠DGC=∠C,再证∠B=∠DGC=∠C. 例3 如图,在 ABCD 中,∠BAD 的平分线AP 交BC于点P,∠ABC=110°. (1)求∠APB 的度数; (2)若AB=3,AD=5,求 PC 的长. 解:(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAB=180°-∠ABC=70°,∠APB=∠DAP. ∵AP 平分∠ ∴∠APB=∠DAP=35°. (2)∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD=BC=5. 由(1)得∠DAP=∠BAP,∠DAP=∠APB, ∴∠APB=∠BAP, ∴BP=AB=3,∴PC=BC-BP=5-3=2. 【对应训练】 教材P59练习. 【教学建议】 对于例3，引导学 生根据平行四边形对边平行且相等的相关性质，结合角平分线的已知条件解题.再就是引导学生复习等腰三角形的相关知识，注意边角关系的有效转换.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 两条平行线之间的平行线段有什么关系 什么是两条平行线之间的距离 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P66~67 习题21.2第9,11,12,15题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计 21.2.1 平行四边形及其性质 第2课时平行四边形的性质的运用 两条平行线之间的任何两条平行线段都相等→两条平行线之间的距离.
教学反思 本节课利用生活中的场景，通过逐步设问，引出课题的学习.学生在日常生活中有很多经验感受，通过今天的学习，进一步体会到了背后隐藏的数学道理.今后的教学中，要鼓励学生主动去思考，用数学知识去解释一些常见的生活现象，这对于学生用数学的眼光认识现实世界是很有帮助的，能够显著提升学生的社会实践能力.
备课素材
解题大招
解题大招一 利用平行线间的距离解决面积问题
同底(等底)等高(同高)的三角形或平行四边形的面积相等.
例1 如图,已知l ∥l ,点E,F在l 上,点G,H 在l 上.求证:△EGO与△FHO的面积相等.
证明:∵l ∥l ,∴点E,F 到l 的距离相等,设这个距离为h.
∴△EGO 与△FHO 的面积相等.
解题大招二 利用平行四边形的性质求点的坐标
在平面直角坐标系中求平行四边形的顶点坐标，关键是利用平行四边形的边的性质将问题转化为求平面直角坐标系中平行且相等的线段的端点坐标，再结合平行线间的距离、平移等知识求解.
例2 如图,在平面直角坐标系中, ABCD的顶点B,C,D的坐标分别是(-5,0),(0,0),(2,3),则顶点 A 的坐标是 (-3,3) .
解析:∵四边形ABCD 是平行四边形,且BC边在x轴上,∴AD∥x轴,
∴点 A 与点 D 的纵坐标相等.
∵点B,C,D 的坐标分别是(-5,0),(0,0),(2,3),∴AD=BC=0-(-5)=5,
∴点A 的横坐标为2-5=-3,∴点A 的坐标为(-3,3).故答案为(-3,3).
培优计划
培优点 平行四边形中的面积关系
例 如图, ABCD 的面积为S.
(1)如图①,P为AD 边上任意一点,则△PAB的面积S 和△PDC 的面积S 之和与 ABCD 的面积S之间的数量关系是
(2)如图②,设 ABCD的对角线AC,BD 相交于点P,则△PAB 的面积S 和△PDC的面积S 之和与 ABCD 的面积S之间的数量关系是
(3)如图③,P 为 ABCD 内任意一点时,试猜想△PAB 的面积S 和△PDC 的面积S 之和与 ABCD的面积S之间的数量关系，并加以证明.
(4)如图④,已知 P 为 ABCD 内任意一点,△PAB 的面积为2,△PBC的面积为8,连接BD,求△PBD 的面积.
分析：(1)AD与BC 平行，这两条平行线之间的距离是一个确定的值，再结合三角形与平行四边形的面积公式可以求解；(2)(3)过点 P 作PE⊥AB 于点E,延长EP 交CD 于点F;
(4)结合(3)中结论，利用面积的和差求解.
解:(3)结论:
证明:如图③,过点 P 作PE⊥AB 于点E,延长EP 交CD 于点F.
∵在 ABCD中,AB∥CD,AB=CD,PE⊥AB,∴PF⊥CD,
由(3)中结论可知，

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