资源简介

21.3.3正方形
第1课时 正方形的性质
教学设计
教学目标
课题 21.3.3 第1课时正方形的性质 授课人
教材分析 本节课是人教版八年级数学特殊平行四边形章节的核心探究课，承接平行四边形、矩形、菱形的性质，聚焦正方形的概念、性质及与其他特殊四边形的关系。教材以生活中正方形实例导入，引导学生通过类比矩形、菱形的性质，探究正方形的边、角、对角线及轴对称性等性质，通过推理证明巩固性质，梳理正方形与平行四边形、矩形、菱形的从属关系，渗透类比、转化、特殊与一般的数学思想。本节课是特殊平行四边形知识体系的收官之作，既是对前序知识的整合与升华，也是后续解决几何综合问题的重要基础，重点培养学生的类比探究能力、推理能力和知识整合能力，体现数学知识的系统性。
学情分析 八年级学生已掌握平行四边形、矩形、菱形的性质、三角形全等及勾股定理等知识，具备一定的类比推理、动手操作和逻辑推理能力，能识别生活中的正方形。但学生对正方形与平行四边形、矩形、菱形的从属关系理解不透彻，难以灵活运用三者的性质推导正方形的性质；在解决正方形综合问题时，缺乏挖掘正方形隐含的等线段、等角、垂直关系的意识，对辅助线的运用不够熟练，推理过程不够规范。学生适合通过类比迁移、动手折叠、例题精讲，逐步掌握正方形的性质，梳理知识脉络，提升推理能力和知识整合能力。
核心素养目标 1. 数学眼光：能抽象生活中的正方形模型，借助几何直观厘清正方形与平行四边形、矩形、菱形的从属关系，通过动手折叠、类比探究培养空间观念和创新思维。 2. 数学思维：能通过类比矩形、菱形性质，推理证明正方形的性质，灵活运用性质进行计算、证明，提升推理能力和逻辑严谨性，体会转化与类比思想。 3. 数学语言：能运用模型观念识别正方形模型，规范表述正方形的概念、性质，结合实例增强应用意识，准确运用几何语言表达推理过程和图形关系。
素养目标 1.掌握正方形的性质以及正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系. 2.让学生感受从一般到特殊，化未知为已知的数学思想及转化的数学思想. 3.能正确运用正方形的性质进行简单的计算、推理、论证.
教学重点 正方形的性质.
教学难点 正方形的性质的灵活运用.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 【情境导入】 仔细观察下列实际生活中的图片，你会发现里面都有正方形的形象. 正方形是我们熟悉的图形，你还能列举出正方形在生活中应用的其他例子吗 正方形有什么性质呢 下面我们一起来探究一下吧！ 【教学建议】 让学生根据生活经验及图片思考正方形的特征.
设计意图
通过图片展示，引入课题，激发学生兴趣.
活动二：实践探究，获取新知 探究点 正方形的性质 从正方形的边、角、对角线和它的轴对称性出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论. 1.边、角、对角线的性质探究 (1)我们回忆一下小学学过的正方形，它有什么性质 答：正方形的四条边都相等，四个角都是直角. 教师：由于正方形的四条边都相等，四个角都是直角，正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形(如图①②)，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. (2)矩形有什么性质呢 菱形有什么性质呢 (学生自行作答) 活动：比一比，看谁填得又快又好！(教师将事先准备好的表格在上课之前发给学生，让学生填完表格的前三列，教师检查，表扬填得好的同学) 教师：现在你能概括正方形的性质吗 把上面表格的第四列也补充完整！ 2.正方形的轴对称性 我们再想一想：正方形是轴对称图形吗 它的对称轴是什么 【教学建议】 正方形可以定义为有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形，这里实际包含两层意思：(1)有一组邻边相等的平行四边形(菱形)；(2)有一个角是直角的平行四边形(矩形). 正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，又是特殊的菱形.教学时，要结合图形具体说明正方形与矩形、菱形的关系.这些是教学的重点，也是难点.
设计意图
通过类比的方式让学生掌握正方形的性质.
教学步骤 师生活动
如图，取一张正方形纸片，将它沿过对边中点的直线或对角线折叠，折叠后的两部分均能重合. 归纳总结：正方形是轴对称图形，它的对称轴有四条，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线. 表中有正方形的一些性质，我们以“正方形的对角线相等且互相垂直平分”为例进行证明.其他一些性质的证明，同学们可以试一试. 例1求证：正方形的对角线相等且互相垂直平分. 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 求证:AC=BD,AC⊥BD,OA=OC,OB=OD. 证明:∵正方形 ABCD 是特殊的菱形,∴OB=OD,OA=OC,AC⊥BD.∵正方形 ABCD 是特殊的矩形,∴AC=BD. 例2 (教材P76例5)求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知:如图,正方形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O. 求证:△ABO,△BCO,△CDO,△DAO 是全等的等腰直角三角形. 证明:∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC = BD,AC⊥BD. ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°,AO=BO=CO=DO. ∴△ABO,△BCO,△CDO,△DAO 都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 思考：正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系 与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系. 答： 【对应训练】 1.正方形的边长是3，则它的对角线的长是 2.如图,在正方形ABCD 中,点E 在BD上,且BE=CD,则∠BEC的度数为 67.5° . 3.教材P76~77 练习. 【教学建议】 (1)教学时注意 让学生结合对正方形对角线性质证明的示例来证明其他性质. (2)给学生说明， 正方形中含有丰富的条件(等线段、等角、平行关系、垂直关系等)，解题时注意根据题目要求，从边、角、对角线等各个方面挖掘所需的条件，与其他几何知识结合求解.
设计意图
通过练习加深对正 方 形 性 质的认识.
教学步骤 师生活动
活动三：灵活运用，巩固提升 例3 如图,在正方形ABCD 中,点E,F 分别在边BC,CD 上,连接AE,AF,EF,且∠EAF=45°,延长CB到点G,使BG=DF,连接AG.求证:EF=BE+DF. 证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AD=AB,∠BAD=∠ABC=∠D=90°. ∴∠ABG=∠D. ∵DF=BG,∴△ADF≌△ABG(SAS), ∴AF=AG,∠DAF=∠BAG. ∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=45°, ∴∠EAG=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=45°,∴∠EAG=∠EAF. 在△AGE 和△AFE 中, ∴△AGE≌△AFE(SAS),∴EG=EF. ∵EG=BE+BG=BE+DF,∴EF=BE+DF. 【对应训练】 如图,在边长为2的正方形 ABCD 中,P 是对角线 AC 上的点,过点 P 作 PE⊥PB,PE交线段DC 于点E.求证:PB=PE. 证明:如图,过点 P 分别作PG⊥BC 于点G,PH⊥DC 于点H, ∴∠PGB=∠PHE=90°. ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴CA 平分∠BCD,∠BCD=90°. ∴PG=PH,∠PHC+∠BCD=180°.∴PH∥CG. ∴∠HPG=∠PGB=90°. 又PE⊥PB,∴∠BPE=90°.∴∠BPE-∠GPE=∠HPG-∠GPE,即∠BPG=∠EPH. 在△PGB 和△PHE 中, ∴△PGB≌△PHE(ASA),∴PB=PE. 【教学建议】 给学 生 适 当 指引，说明与正方形有关的综合题经常与全等三角形结合，要善于根据正方形的性质找出等角、等线段，为三角形全等创造条件，必要时还需作辅助线找到解题突破口.
设计意图
加深对正方形性质的掌握，培养发散思维和灵活运用的能力.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：正方形有哪些性质 正方形与平行四边形、矩形、菱形有怎样的关系 【知识结构】 【作业布置】 1.教材 P79~81习题21.3第6,12(3),15,16题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
教学步骤 师生活动
板书设计 21.3.3 正方形 第1课时 正方形的性质 1.正方形的概念. 2.正方形的性质:(1)边;(2)角;(3)对角线;(4)轴对称性.
教学反思 正方形性质的探究内容依旧集中在边、角、对角线及轴对称等方面，教学中注意引导学生思索平行四边形、矩形、菱形和正方形的区别与联系，使其形成完整的四边形知识网络. 从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，注重与现实生活的联系，调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主体作用.
备课素材
解题大招
解题大招 利用正方形的性质进行计算或证明
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.总结如下：
提示：(1)正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形；每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形.解决问题时，通常归结到这些等腰直角三角形中求解.(2)正方形的对角线互相垂直，因此正方形的面积也可以用对角线的长的积的一半来计算.
例1 如图,在正方形ABCD中,△BEC 是等边三角形,求∠EAD 和∠EDA 的度数.
解:∵△BEC 是等边三角形,∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°.∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=∠BAD=∠ADC=90°,∴AB=BE=CE=CD,∠ABE=∠DCE=30°,∴△ABE,△DCE 是等腰三角形,∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°,∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.
例2 如图,四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形,求证:AE=CG.
证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴AD=CD,∠ADC=90°.∵四边形 DEFG 是正方形,∴DE=DG,∠EDG=90°.∴∠ADE+∠EDC=∠CDG+∠EDC=90°,∴∠ADE=∠CDG.∴△AED≌△CGD(SAS).∴AE=CG.
例3 如图,在正方形ABCD 中,点 E 在边BC上,点 F 在CD 的延长线上,且BE=DF.
(1)求证:AE=AF,AE⊥AF;
(2)若BD与EF 相交于点M，连接AM，试判断AM与EF 的数量关系和位置关系，并说明理由.
(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴∠ABE=∠BAD=∠ADC=∠ADF=90°,AB=AD.又BE=DF,∴△ABE≌△ADF(SAS),
∴AE=AF,∠BAE=∠DAF.∴∠DAF+∠EAD=∠BAE+∠EAD,即∠EAF=∠BAD=90°,∴AE⊥AF.
(2)解: ,AM⊥EF.理由如下:如图,过点E 作EN∥CD,交 BD 于点 N,∴∠MNE=∠MDF,∠MEN=∠MFD,∠NEB=∠C=90°.∵四边形ABCD 为正方形,∴易得 ,∠BNE,∴BE=NE.又 BE=DF,∴NE=DF,∴△MNE≌△MDF(ASA),∴EM=FM.∵AE=AF,∠EAF=90°,
培优计划
培优点一 与正方形有关的最值问题
例1 如图,正方形ABCD 的边长为4,E,F分别是BC,CD上的动点,且BE=CF,连接AE,BF 交于点P,连接CP,则CP 的最小值是(A)
培优点二 与正方形有关的探究问题
例2 如图①,在正方形ABCD中,M 是AB 的中点,E 是AB 的延长线上一点,MN⊥DM,且交∠CBE 的平分线于点 N.
(1)求证:DM=MN.
(2)若将“M是AB 的中点”改为“M是AB 上的任意一点”，其他条件不变，如图②，则结论“DM=MN”是否仍成立 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
分析:(1)要证DM=MN,只需取AD 的中点F,连接FM,依据正方形的性质可证△DFM≌△MBN,进而得DM=MN;
(2)只需在AD 上截取AG=AM,连接GM,同(1)可证△DGM≌△MBN,进而得DM=MN.
(1)证明:如图①,取AD 的中点F,连接FM.
∵四边形ABCD 为正方形,∴AB=AD,∠A=∠ABC=∠CBE=90°.
∴∠FDM+∠AMD=90°.
∵MN⊥DM,∴∠BMN+∠AMD=90°.∴∠FDM=∠BMN.
∵BN 平分∠(
∴∠MBN=∠ABC+∠CBN=135°.
∵M是AB 的中点,F 是AD 的中点,.
∴∠AFM= (180°-∠A)=45°,∴∠DFM=180°-∠AFM=135°=∠MBN.
∴△DFM≌△MBN(ASA).∴DM=MN.
(2)解:结论“DM=MN”仍成立.证明如下:
如图②,在AD 上截取AG=AM,连接GM.
同(1)可得,AB=AD,∠A=90°,∠GDM=∠BMN,∠MBN=135°.
,即DG=MB.
∴△DGM≌△MBN(ASA).∴DM=MN.

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