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3.数　列
1.等差数列、等比数列
等差数列 等比数列
通项公式 an= an=
前n项和公式 Sn== (1)q≠1，Sn==； (2)q=1，Sn=
2.判断或证明一个数列是等差(等比)数列的方法
判断一个数列为等差(等比)数列的方法有：定义法、中项公式法、通项公式法、前n项和公式法；证明一个数列为等差(等比)数列的方法只有定义法、中项公式法.
3.等差数列、等比数列{an}的常用性质
等差数列 等比数列
性质 ①若m，n，p，q∈N*， 且m+n=p+q， 则 ； ②an=am+ d； ③Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍成等差数列 ①若m，n，s，t∈N*， 且m+n=s+t， 则 ； ②an=am·qn-m； ③Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍成等比数列(m为偶数且q=-1除外)
4.数列求通项an的常用方法
(1)公式法：已知a1和d、已知a1和q、已知数列的某些项，求an(an=a1+(n-1)d，an=am+(n-m)d等等差数列的相关性质，an=a1qn-1，an=amqn-m等等比数列的相关性质).
(2)公式法：已知S1，或已知an与Sn的关系式，求an.
(3)累加法：已知递推公式an+1=an+f(n)，求an(当n≥2时，an-a1=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)).
例：已知a1=1，an+1=an+4n，可推出an= .
(4)累乘法：已知递推公式an+1=anf(n)，求an.
例：已知a1=1，an+1=an·4n，可推出an=.
(5)构造法：
①已知递推公式an+1=kan+b(k，b为常数，kb(k-1)≠0)，求an(构造新等比数列，an+1+λ=k(an+λ)).
例：已知a1=1，an+1=2an+3，可推出an= .
②已知递推公式an+1=kan+bcn，求an.
(ⅰ)构造新等比数列，an+1+λcn+1=k(an+λcn)
例：已知a1=1，an+1=2an+3×5n，可推出an= .
(ⅱ)构造新等差数列，c·=k·+b，当k=c时优先选用此方法
例：已知a1=1，an+1=2an+2n可推出an= .
③已知递推公式an+1=kan+bn+c，求an(构造新等比数列，an+1+λ1(n+1)+λ2=k(an+λ1n+λ2)).
例：已知a1=1，an+1=2an+3n+1，可推出an .
④已知递推公式an+1=(c，d为非零常数)，求an.
例：已知a1=1，an+1=，可推出an=.
5.数列求和的方法
(1)公式法：等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和.
(2)错位相减法：形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和.
(3)裂项相消法：通项公式形如an=(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和.
①等差型裂项：an==-，an==，
an==，an==.
②根式型裂项：an==-，an==-)，
an==-).
③指数型裂项：an===-.
(4)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn.通项公式形如an=(-1)n·n或an=a·(-1)n(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论.
(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn=an±bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(等比)数列或一些可以直接求和的数列.
1.等差数列的重要结论
设Sn为等差数列{an}的前n项和，则
(1)an能写成an=dn+a的形式，Sn能写成Sn=An2+Bn的形式，其中a≠0.
(2)=n+是关于n的一次函数或常数函数，数列也是等差数列.
(3)Sn====….
(4)若等差数列{an}的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m=m(am+am+1)，S偶-S奇=md，=.
(5)若等差数列{an}的项数为奇数2m-1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m-1=(2m-1)am，S奇-S偶=am，=.
2.等比数列的重要结论
(1)an=kqn-1为指数型函数，Sn=A·qn-A.
(2){an}，{bn}成等比数列 {anbn}成等比数列.
(3)若等比数列有2n项，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则=q.
(4)等比数列前n项和有：①Sm+n=Sm+qmSn；
②=(q≠±1).
1.若数列{an}满足-=0，则称{an}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且b1+b2+b3=1，则b6+b7+b8等于(　　)
A.16 B.32
C.64 D.128
2.若数列{an}对任意正整数n，有an+m=anq(其中m∈N*，q为常数，q≠0，q≠1)，则称数列{an}是以m为周期，q为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性等比数列”的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列{an}的前21项和为(　　)
A.1 093 B.1 092
C.1 091 D.1 090
3.(2025·天津)已知数列{an}的前n项和为Sn=-n2+8n，则数列{|an|}的前12项和为(　　)
A.112 B.48
C.80 D.64
4.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，如果=(n∈N*)，那么的值是(　　)
A. B.
C. D.
5.(多选)(2025·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0，若S3=7，a3=1，则(　　)
A.q= B.a5=
C.S5=8 D.an+Sn=8
6.(多选)下列命题正确的有(　　)
A.若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S3，S6，S9成等差数列
B.若{an}为等比数列，且a2a7+a3a6=6，则a1a2a3·…·a8=81
C.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S14>0，S15<0，则Sn的最大值是S7
D.若bn=(-1)n(4n-1)，则数列{bn}的前2 024项和为4 048
7.(教材选择性必修第二册P25第6题改编)数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1=5，b1=15，a100+b100=100，则数列{an+bn}的前100项的和为　　　　.
8.设Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn=n2+n，n∈N*，数列{bn}的前n项和为Tn，满足bn=，则T2 026=　　　　.
9.(教材选择性必修第二册P41第11题)已知数列{an}的首项a1=，且满足an+1=.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若+++…+<100，求满足条件的最大整数n.
10.已知等比数列{an}和等差数列{bn}，满足an+1>an，a1=b1=1，a2=b2，3a3=4b3.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，数列的前n项和为Pn.证明：Pn<-1.3.数　列
1.等差数列、等比数列
等差数列 等比数列
通项公式 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1(q≠0)
前n项和公式 Sn==na1+d (1)q≠1，Sn==； (2)q=1，Sn=na1
2.判断或证明一个数列是等差(等比)数列的方法
判断一个数列为等差(等比)数列的方法有：定义法、中项公式法、通项公式法、前n项和公式法；证明一个数列为等差(等比)数列的方法只有定义法、中项公式法.
3.等差数列、等比数列{an}的常用性质
等差数列 等比数列
性质 ①若m，n，p，q∈N*， 且m+n=p+q， 则am+an=ap+aq； ②an=am+(n-m)d； ③Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍成等差数列 ①若m，n，s，t∈N*， 且m+n=s+t， 则am·an=as·at； ②an=am·qn-m； ③Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍成等比数列(m为偶数且q=-1除外)
4.数列求通项an的常用方法
(1)公式法：已知a1和d、已知a1和q、已知数列的某些项，求an(an=a1+(n-1)d，an=am+(n-m)d等等差数列的相关性质，an=a1qn-1，an=amqn-m等等比数列的相关性质).
(2)公式法：已知S1，或已知an与Sn的关系式，求an.
(3)累加法：已知递推公式an+1=an+f(n)，求an(当n≥2时，an-a1=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)).
例：已知a1=1，an+1=an+4n，可推出an=2n2-2n+1.
(4)累乘法：已知递推公式an+1=anf(n)，求an.
例：已知a1=1，an+1=an·4n，可推出an=.
(5)构造法：
①已知递推公式an+1=kan+b(k，b为常数，kb(k-1)≠0)，求an(构造新等比数列，an+1+λ=k(an+λ)).
例：已知a1=1，an+1=2an+3，可推出an=2n+1-3.
②已知递推公式an+1=kan+bcn，求an.
(ⅰ)构造新等比数列，an+1+λcn+1=k(an+λcn)
例：已知a1=1，an+1=2an+3×5n，可推出an=5n-2n+1.
(ⅱ)构造新等差数列，c·=k·+b，当k=c时优先选用此方法
例：已知a1=1，an+1=2an+2n可推出an=n·2n-1.
③已知递推公式an+1=kan+bn+c，求an(构造新等比数列，an+1+λ1(n+1)+λ2=k(an+λ1n+λ2)).
例：已知a1=1，an+1=2an+3n+1，可推出an=2n+2-3n-4.
④已知递推公式an+1=(c，d为非零常数)，求an.
例：已知a1=1，an+1=，可推出an=.
5.数列求和的方法
(1)公式法：等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和.
(2)错位相减法：形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和.
(3)裂项相消法：通项公式形如an=(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和.
①等差型裂项：an==-，an==，
an==，an==.
②根式型裂项：an==-，an==-)，
an==-).
③指数型裂项：an===-.
(4)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn.通项公式形如an=(-1)n·n或an=a·(-1)n(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论.
(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn=an±bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(等比)数列或一些可以直接求和的数列.
1.等差数列的重要结论
设Sn为等差数列{an}的前n项和，则
(1)an能写成an=dn+a的形式，Sn能写成Sn=An2+Bn的形式，其中a≠0.
(2)=n+是关于n的一次函数或常数函数，数列也是等差数列.
(3)Sn====….
(4)若等差数列{an}的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m=m(am+am+1)，S偶-S奇=md，=.
(5)若等差数列{an}的项数为奇数2m-1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m-1=(2m-1)am，S奇-S偶=am，=.
2.等比数列的重要结论
(1)an=kqn-1为指数型函数，Sn=A·qn-A.
(2){an}，{bn}成等比数列 {anbn}成等比数列.
(3)若等比数列有2n项，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则=q.
(4)等比数列前n项和有：①Sm+n=Sm+qmSn；
②=(q≠±1).
1.若数列{an}满足-=0，则称{an}为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且b1+b2+b3=1，则b6+b7+b8等于(　　)
A.16 B.32
C.64 D.128
答案　B
解析　由题意可知，若数列{an}为“梦想数列”，
则-=0，可得=，
所以“梦想数列”{an}是公比为的等比数列，
若正项数列为“梦想数列”，
则=，所以=2，
即正项数列{bn}是公比为2的等比数列，
因为b1+b2+b3=1，
所以b6+b7+b8=25(b1+b2+b3)=32.
2.若数列{an}对任意正整数n，有an+m=anq(其中m∈N*，q为常数，q≠0，q≠1)，则称数列{an}是以m为周期，q为周期公比的“类周期性等比数列”.若“类周期性等比数列”的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列{an}的前21项和为(　　)
A.1 093 B.1 092
C.1 091 D.1 090
答案　D
解析　由题意可知m=4，q=3，且an+4=3an，
故S21=(a1+a5+a9+a13+a17+a21)+(a2+a6+a10+a14+a18)+(a3+a7+a11+a15+a19)+(a4+a8+a12+a16+a20)
=+++
=364+121+242+363=1 090.
3.(2025·天津)已知数列{an}的前n项和为Sn=-n2+8n，则数列{|an|}的前12项和为(　　)
A.112 B.48
C.80 D.64
答案　C
解析　因为Sn=-n2+8n，
所以当n=1时，a1=S1=-12+8×1=7，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(-n2+8n)-[-(n-1)2+8(n-1)]=-2n+9，
经检验，a1=7满足上式，
所以an=-2n+9(n∈N*)，令an=-2n+9≥0 n≤4，an=-2n+9≤0 n≥5，
设数列{|an|}的前n项和为Tn，
则T4=S4=-42+8×4=16，
T12=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a12|=a1+a2+a3+a4-a5-a6-…-a12
=2S4-S12=2×16-(-122+8×12)=80.
4.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，如果=(n∈N*)，那么的值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由等差数列的性质知，====，
又=(n∈N*)，
所以==.
5.(多选)(2025·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0，若S3=7，a3=1，则(　　)
A.q= B.a5=
C.S5=8 D.an+Sn=8
答案　AD
解析　对A，由题意得结合q>0，解得或(舍去)，故A正确；
对B，a5=a1q4=4×=，故B错误；
对C，S5===，故C错误；
对D，an=4×=23-n，Sn==8-23-n，
则an+Sn=23-n+8-23-n=8，故D正确.
6.(多选)下列命题正确的有(　　)
A.若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S3，S6，S9成等差数列
B.若{an}为等比数列，且a2a7+a3a6=6，则a1a2a3·…·a8=81
C.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S14>0，S15<0，则Sn的最大值是S7
D.若bn=(-1)n(4n-1)，则数列{bn}的前2 024项和为4 048
答案　BCD
解析　对于A，等差数列{an}的前n项和为Sn，令an=2n-1，则S3=9，S6=36，S9=81，
显然S3+S9≠2S6，即S3，S6，S9不成等差数列，故A错误；
对于B，{an}为等比数列，且a2a7+a3a6=2a3a6=6，则a3a6=a1a8=3，
所以a1a2a3·…·a8=(a1a8)4=81，故B正确；
对于C，因为S14==7(a7+a8)>0，
则a7+a8>0，
S15==15a8<0，则a8<0，
所以a7>0，d=a8-a7<0，
所以{an}为递减的等差数列，且a1>a2>…>a7>0>a8>a9>…，
所以数列的前7项和最大，故C正确；
对于D，因为bn=(-1)n(4n-1)，
所以数列{bn}的前2 024项和S2 024=
(-3+7)+(-11+15)+…+[-(4×2 023-1)+(4×2 024-1)]=1 012×4=4 048，故D正确.
7.(教材选择性必修第二册P25第6题改编)数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1=5，b1=15，a100+b100=100，则数列{an+bn}的前100项的和为　　　　.
答案　6 000
解析　因为{an}，{bn}都是等差数列，
所以{an+bn}为等差数列，首项a1+b1=20，
末项a100+b100=100，
故S100==6 000.
8.设Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn=n2+n，n∈N*，数列{bn}的前n项和为Tn，满足bn=，则T2 026=　　　　.
答案　
解析　因为Sn为数列{an}的前n项和，
满足Sn=n2+n，n∈N*，
所以当n=1时，a1=S1=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-=n，
因为当n=1时也满足上式，所以an=n，
所以bn===
=，
所以Tn===，
所以T2 026=.
9.(教材选择性必修第二册P41第11题)已知数列{an}的首项a1=，且满足an+1=.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若+++…+<100，求满足条件的最大整数n.
(1)证明　∵an+1=，两边取倒数得=+，
∴-1=，
又-1=≠0，
∴=，
∴是首项为，公比为的等比数列.
(2)解　由(1)知-1=·=2·，
∴=1+2·，
∴+++…+=+++…+
=n+=n+=n+1-，
∵99+1-<100，100+1->100，
∴满足条件的最大整数n为99.
10.已知等比数列{an}和等差数列{bn}，满足an+1>an，a1=b1=1，a2=b2，3a3=4b3.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，数列的前n项和为Pn.证明：Pn<-1.
(1)解　等比数列{an}满足an+1>an，a1=1，
所以{an}是递增数列，
设{an}的公比为q(q>1)，等差数列{bn}的公差为d，依题意可得
解得或(舍去)，
所以an=2n-1，bn=n.
(2)证明　由(1)可得anbn=n·2n-1，
所以Tn=1×20+2×21+3×22+…+n·2n-1，
2Tn=1×21+2×22+…+(n-1)·2n-1+n·2n，
所以Tn=-(20+21+22+…+2n-1)+n·2n
=-+n·2n=(n-1)·2n+1，
故==+，
又=-，=-，
即=-+-，
所以Pn=-+-+-+-+…+-+-
=+
=-2+1-=-1-<-1.

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