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4.立体几何与空间向量
1.空间几何体的侧面积、表面积和体积
几何体 侧面积 表面积 体积
圆柱 S侧=2πrl S表=2πr(r+l) V=S底h=πr2h
圆锥 S侧=πrl S表=πr(r+l) V=S底h=πr2h
圆台 S侧=πl(r1+r2) S表=πl(r1+r2)+π+π V=πh(+r1r2+)
直棱柱 S侧=Ch(C为底面周长) S表=S侧+S上+S下(棱锥的S上=0) V=S底h
正棱锥 S侧=Ch'(C为底面周长，h'为斜高) V=S底h
球 S=4πR2 V=πR3
2.平行、垂直关系的转化
(1)平行问题的转化关系
(2)垂直问题的转化关系
(3)两个结论
对于直线a，b和平面α， a∥b； b⊥α.
3.利用空间向量证明平行或垂直
设直线l的方向向量为a=(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为u=(a2，b2，c2)，v=(a3，b3，c3)，则有
(1)线面平行
l∥α a⊥u a·u=0 a1a2+b1b2+c1c2=0.
(2)线面垂直
l⊥α a∥u a=ku(k∈R) a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2.
(3)面面平行
α∥β u∥v u=λv(λ∈R) a2=λa3，b2=λb3，c2=λc3.
(4)面面垂直
α⊥β u⊥v u·v=0 a2a3+b2b3+c2c3=0.
4.利用空间向量求空间角
(1)设直线l1，l2的夹角为θ，则有cos θ=|cos〈l1，l2〉|(其中l1，l2分别是直线l1，l2的方向向量).
(2)设直线l与平面α的夹角为θ，则有sin θ=|cos〈l，n〉|(其中l是直线l的方向向量，n是平面α的法向量).
(3)设平面α，β的夹角为θ，则有cos θ=|cos〈n1，n2〉|(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量).
5.点到平面的距离的求法
(1)定义法：可以利用两个平面垂直作出点到平面的垂线段.
(2)等积法：可以通过换底法把距离问题转化为体积和面积的计算.
(3)向量法：设A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的法向量，则A到平面α的距离是.
1.棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面的距离与棱锥高的比的平方.
2.长方体外接球
长方体的体对角线长d与共点的三条棱长a，b，c之间的关系为d2=a2+b2+c2；
若长方体外接球的半径为R，则有(2R)2=a2+b2+c2.
3.正方体的外接球、内切球及与各条棱相切球的半径
(1)外接球：球心是正方体中心；半径r=a(a为正方体的棱长).
(2)内切球：球心是正方体中心；半径r=(a为正方体的棱长).
(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r=a(a为正方体的棱长).
4.正四面体的外接球、内切球的球心和半径
(1)正四面体可以看作是正方体的一部分.
(2)外接球：球心是正四面体的中心；半径r=a(a为正四面体的棱长).
(3)内切球：球心是正四面体的中心；半径r=a(a为正四面体的棱长).
5.球与旋转体的组合通常作轴截面解题.如图所示，设球O的半径为R，截面圆O'的半径为r，M为截面圆上任一点，球心O到截面圆O'的距离为d，则在Rt△OO'M中，OM2=OO'2+O'M2，即R2=d2+r2.
1.(教材必修第二册P162第3题)已知α，β是两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由m为平面α内一条直线，m⊥β，得α⊥β，必要性成立；
由m为平面α内一条直线，α⊥β，不能推出m⊥β，充分性不成立.
故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.
2.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　)
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
答案　A
解析　设球的半径为R cm，根据已知条件知，正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm，球心到截面圆的距离为(R-2)cm，
所以由42+(R-2)2=R2，
解得R=5，
所以球的体积V=πR3=π×53=(cm3).
3.已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为(　　)
A.1∶ B.1∶
C.2∶ D.3∶
答案　B
解析　如图所示，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，三棱锥B'-ACD'符合题目条件，且三棱锥B'-ACD'的四个侧面全为等边三角形，设正方体的棱长为1，则三棱锥B'-ACD'的棱长为，
所以正方体ABCD-A'B'C'D'的表面积为6，
S△ACD'=×=，
即三棱锥B'-ACD'的表面积S=4×=2，
则三棱锥B'-ACD'的表面积与正方体ABCD-A'B'C'D'的表面积之比为2∶6=1∶.
4.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为8，二面角C1-AB-C的大小为，且AC=BC，CC1=2，则点A1到平面ABC1的距离为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　取AB的中点O，连接OC，OC1，
∵AC=BC，∴OC⊥AB，OC1⊥AB，则二面角C1-AB-C的平面角为∠C1OC，
∵二面角C1-AB-C的大小为，则∠C1OC=，
∴OC=CC1=2，OC1==
=2，
又∵直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为8，
∴=S△ABC·CC1=2S△ABC=8，
则S△ABC=4，
∴S△ABC=AB·OC=AB×2=4 AB=4，
又∵平面ABC⊥平面A1ABB1，平面ABC∩平面A1ABB1=AB，
且OC⊥AB，OC 平面ABC，
∴OC⊥平面A1ABB1，
设点A1到平面ABC1的距离为h，
又=，
∴·h=·OC ××4×2×h=××4×2×2，解得h=.
5.(多选)已知平面α，β，直线a，b，若α⊥β，α∩β=a，b与α所成的角为，则下列结论中正确的有(　　)
A.α内垂直于a的直线必垂直于β
B.α内的任意直线必垂直于β内的无数条直线
C.b与β所成的角为
D.b与α内的任意一条直线所成的角大于等于
答案　ABD
解析　对于A选项，由平面与平面垂直的性质定理可知，α内垂直于a的直线必垂直于β，所以A正确；
对于B选项，在β内作a的垂线，则此垂线必垂直于α，
自然也就垂直于α内的任意直线，这种垂线可以作无数条，所以B正确；
对于C选项，b与α所成的角为，但b与β的位置关系不确定，不能确定b与β所成的角，
特殊情况下可以是b∥β，所以C错误；
对于D选项，由最小角定理可知，线面角是线与面内的任意直线所成角中的最小的角，所以D正确.
6.(多选)(2025·全国Ⅰ卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，则(　　)
A.AD⊥A1C
B.B1C1⊥平面AA1D
C.AD∥A1B1
D.CC1∥平面AA1D
答案　BD
解析　方法一　如图，设D1为B1C1的中点，
由题意得AA1⊥平面ABC，因为AD 平面ABC，则AD⊥AA1，假设AD⊥A1C，又AA1∩A1C=A1，AA1，A1C 平面AA1C，则AD⊥平面AA1C，因为AC 平面AA1C，则AD⊥AC，矛盾，故A错误；
由题意知AD⊥BC，AA1⊥BC，
又AA1∩AD=A，AA1，AD 平面AA1D，
则BC⊥平面AA1D，又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1D，故B正确；
由题意得AD∥A1D1，假设AD∥A1B1，则A1D1∥A1B1，与A1B1∩A1D1=A1矛盾，则AD∥A1B1不成立，故C错误；
由题意得CC1∥AA1，又CC1 平面AA1D，AA1 平面AA1D，故CC1∥平面AA1D，故D正确.
方法二　对于A，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
又AD 平面ABC，则AA1⊥AD，则·=0，
因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，则AD⊥BC，则·=0.
又=++，
所以·=(++)·=·++·=≠0，
则AD⊥A1C不成立，故A错误；
对于B，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
BC 平面ABC，则AA1⊥BC，
因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，则AD⊥BC，
又AA1∩AD=A，AA1，AD 平面AA1D，
所以BC⊥平面AA1D，又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1D，故B正确；
对于C，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB，
假设AD∥A1B1，则AD∥AB，这与AD∩AB=A矛盾，
所以AD∥A1B1不成立，故C错误；
对于D，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1∥AA1，
又AA1 平面AA1D，CC1 平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故D正确.
方法三　如图，建立空间直角坐标系，设AB=2，该正三棱柱的高为h，
则D(0，0，0)，A(，0，0)，A1(，0，h)，C(0，-1，0)，C1(0，-1，h)，B1(0，1，h)，
对于A，=(-，0，0)，=(-，-1，-h)，
则·=(-)×(-)+0+0=3≠0，
则AD⊥A1C不成立，故A错误；
对于B，D，=(0，-2，0)，=(0，0，h)，=(0，0，h)，
设平面AA1D的法向量为n=(x，y，z)，
则得x=z=0，令y=1，则n=(0，1，0)，
所以=(0，-2，0)=-2n，·n=0，
则B1C1⊥平面AA1D，CC1∥平面AA1D，故B，D正确；
对于C，=(-，0，0)，=(-，1，0)，
则≠，显然AD∥A1B1不成立，故C错误.
7.(教材选择性必修第一册P41第1题改编)如图，二面角α-l-β的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l，若AB=4，AC=6，BD=8，CD=2，则平面α与平面β的夹角为　　　　.
答案　60°
解析　方法一　取基底{，，}，
设=a，=b，=c，
∴=a+b+c，
∴||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c
=36+16+64+2×6×8cos〈a，c〉
=(2)2，
∴cos〈a，c〉=-，
∴〈a，c〉=120°.
设平面α与平面β的夹角为θ，
则θ=180°-120°=60°.
方法二　过点A在平面β内作AH綉BD，连接HD，CH，如图所示，
∵AH綉BD，BD⊥l，
∴AH⊥l，HD∥l.
又AC⊥l，
∴∠CAH为二面角α-l-β的平面角.
又l⊥AC，l⊥AH，∴l⊥平面ACH，
∴l⊥HC，∴HD⊥HC，
∴△CHD为直角三角形，
∴CH==2.
在△CAH中，AC=6，AH=BD=8，CH=2，
∴cos∠CAH==，
∴∠CAH=60°，
∴平面α与平面β的夹角为60°.
8.已知正四面体的棱长为2，以其中一个顶点为球心作半径为3的球，则所得球面与该正四面体表面的交线长之和为　　　　.
答案　5π
解析　不妨取以点A为球心的球，其球面与正四面体的四个面都相交，所得交线分成两类：
一类是与三个侧面ABD，ABC，ACD的交线，
设与侧面ABC的交线为，则在过球心的大圆上，且与BC交于中点P，
正四面体ABCD中每个面都是等边三角形，且AB=AC=AD=CD=BC=BD=2，AM=3，
又∠BAC=60°，则的长度为×3=π，
根据对称性可知，与侧面ABD，ACD的交线与的长度相等，
另一类交线是与底面BCD的交线，过A作AO⊥平面BCD，
则OD=DP=××2=2，
AO===2<3，
AP=AB=×2=3，
故与底面BCD刚好相交于底面BCD各边中点处，形成的交线是底面BCD的内切圆，
内切圆半径为OP=DP=×3=1，
故弧长为2π，
该球球面与正四面体ABCD的表面相交所得到的曲线长度之和为3π+2π=5π.
9.已知底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA∥DQ，PA=3DQ=3，AD=2AB=2，且∠ABC=60°.
(1)求证：平面PAC⊥平面CDQ；
(2)线段PC上是否存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
(1)证明　在△ABC中，BC=2，AB=1，
∠ABC=60°，
则AC2=BC2+AB2-2BC·ABcos∠ABC=3，可得AC=，
所以BC2=AB2+AC2，所以AB⊥AC.
因为PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
所以AB⊥AP，
又因为AC∩AP=A，AC，AP 平面PAC，
所以AB⊥平面PAC，
因为CD∥AB，
所以CD⊥平面PAC，
又因为CD 平面CDQ，
所以平面PAC⊥平面CDQ.
(2)解　假设线段PC上存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是，以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，P(0，0，3)，C(0，，0)，Q(-1，，1)，
可得=(0，，-3)，=(-1，，-2)，
设=λ=λ(0，，-3)=(0，λ，-3λ)(0≤λ≤1)，
则M(0，λ，3-3λ)，所以=(0，λ，3-3λ)，
设平面PCQ的法向量为n=(x，y，z)，
则
令y=，可得x=1，z=1，
所以n=(1，，1)，
设直线AM与平面PCQ所成角的大小为θ，
故sin θ=|cos〈，n〉|==，
整理得2λ2-3λ+1=0，解得λ=或λ=1，
所以=或=1.
10.(2025·天津)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别为A1D1，C1B1的中点，CG=3GC1.
(1)求证：GF⊥平面FBE；
(2)求平面FBE与平面EBG夹角的余弦值；
(3)求三棱锥D-FBE的体积.
(1)证明　方法一　在正方形BCC1B1中，
由条件易知tan∠C1FG===
=tan∠B1BF，
所以∠C1FG=∠B1BF，
则∠B1FB+∠B1BF==∠B1FB+∠C1FG，
故∠BFG=π-(∠B1FB+∠C1FG)=，
即GF⊥BF，
在正方体中，易知D1C1⊥平面BCC1B1，且EF∥D1C1，
所以EF⊥平面BCC1B1，
又GF 平面BCC1B1，所以EF⊥GF，
因为EF∩BF=F，EF，BF 平面FBE，
所以GF⊥平面FBE.
方法二　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则B(4，4，0)，E(2，0，4)，F(2，4，4)，G(0，4，3)，
所以=(0，4，0)，=(2，4，-4)，=(-2，0，-1)，
设平面FBE的法向量为m=(a，b，c)，
则
令a=2，则b=0，c=1，
所以m=(2，0，1)，
易知=-m，则也是平面FBE的一个法向量，
所以GF⊥平面FBE.
(2)解　同上方法二建立的空间直角坐标系，
则=(-2，4，-1)，=(-4，0，3)，
由(1)知=(-2，0，-1)是平面FBE的一个法向量，
设平面EBG的法向量为n=(x，y，z)，
所以
令x=6，则z=8，y=5，即n=(6，5，8)，
设平面FBE与平面EBG的夹角为α，
则cos α=|cos〈，n〉|===，即平面FBE与平面EBG夹角的余弦值为.
(3)解　因为EF⊥平面BCC1B1，FB 平面BCC1B1，
所以EF⊥FB，
易知S△FBE=EF·FB=×4×=4，
又D(0，0，0)，则=(2，0，4)，故点D到平面FBE的距离为d==，
由棱锥的体积公式知
V三棱锥D-FBE=S△FBE×d=×4×=.4.立体几何与空间向量
1.空间几何体的侧面积、表面积和体积
几何体 侧面积 表面积 体积
圆柱 S侧= S表= V=S底h=
圆锥 S侧= S表= V=S底h=
圆台 S侧= S表= V=
直棱柱 S侧=Ch(C为底面周长) S表=S侧+S上+S下(棱锥的S上=0) V=
正棱锥 S侧=Ch'(C为底面周长，h'为斜高) V=
球 S= V=
2.平行、垂直关系的转化
(1)平行问题的转化关系
(2)垂直问题的转化关系
(3)两个结论
对于直线a，b和平面α， a∥b； b⊥α.
3.利用空间向量证明平行或垂直
设直线l的方向向量为a=(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为u=(a2，b2，c2)，v=(a3，b3，c3)，则有
(1)线面平行
l∥α a⊥u a·u=0 .
(2)线面垂直
l⊥α a∥u a=ku(k∈R) a1= ，b1= ，c1= .
(3)面面平行
α∥β u∥v u=λv(λ∈R) a2= ，b2= ，c2= .
(4)面面垂直
α⊥β u⊥v u·v=0 .
4.利用空间向量求空间角
(1)设直线l1，l2的夹角为θ，则有cos θ= (其中l1，l2分别是直线l1，l2的方向向量).
(2)设直线l与平面α的夹角为θ，则有sin θ= (其中l是直线l的方向向量，n是平面α的法向量).
(3)设平面α，β的夹角为θ，则有cos θ= (其中n1，n2分别是平面α，β的法向量).
5.点到平面的距离的求法
(1)定义法：可以利用两个平面垂直作出点到平面的垂线段.
(2)等积法：可以通过换底法把距离问题转化为体积和面积的计算.
(3)向量法：设A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的法向量，则A到平面α的距离是.
1.棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面的距离与棱锥高的比的平方.
2.长方体外接球
长方体的体对角线长d与共点的三条棱长a，b，c之间的关系为d2=a2+b2+c2；
若长方体外接球的半径为R，则有(2R)2=a2+b2+c2.
3.正方体的外接球、内切球及与各条棱相切球的半径
(1)外接球：球心是正方体中心；半径r=a(a为正方体的棱长).
(2)内切球：球心是正方体中心；半径r=(a为正方体的棱长).
(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r=a(a为正方体的棱长).
4.正四面体的外接球、内切球的球心和半径
(1)正四面体可以看作是正方体的一部分.
(2)外接球：球心是正四面体的中心；半径r=a(a为正四面体的棱长).
(3)内切球：球心是正四面体的中心；半径r=a(a为正四面体的棱长).
5.球与旋转体的组合通常作轴截面解题.如图所示，设球O的半径为R，截面圆O'的半径为r，M为截面圆上任一点，球心O到截面圆O'的距离为d，则在Rt△OO'M中，OM2=OO'2+O'M2，即R2=d2+r2.
1.(教材必修第二册P162第3题)已知α，β是两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　)
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
3.已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为(　　)
A.1∶ B.1∶
C.2∶ D.3∶
4.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为8，二面角C1-AB-C的大小为，且AC=BC，CC1=2，则点A1到平面ABC1的距离为(　　)
A. B.
C. D.
5.(多选)已知平面α，β，直线a，b，若α⊥β，α∩β=a，b与α所成的角为，则下列结论中正确的有(　　)
A.α内垂直于a的直线必垂直于β
B.α内的任意直线必垂直于β内的无数条直线
C.b与β所成的角为
D.b与α内的任意一条直线所成的角大于等于
6.(多选)(2025·全国Ⅰ卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，则(　　)
A.AD⊥A1C
B.B1C1⊥平面AA1D
C.AD∥A1B1
D.CC1∥平面AA1D
7.(教材选择性必修第一册P41第1题改编)如图，二面角α-l-β的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l，若AB=4，AC=6，BD=8，CD=2，则平面α与平面β的夹角为　　　　.
8.已知正四面体的棱长为2，以其中一个顶点为球心作半径为3的球，则所得球面与该正四面体表面的交线长之和为　　　　.
9.已知底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA∥DQ，PA=3DQ=3，AD=2AB=2，且∠ABC=60°.
(1)求证：平面PAC⊥平面CDQ；
(2)线段PC上是否存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
10.(2025·天津)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别为A1D1，C1B1的中点，CG=3GC1.
(1)求证：GF⊥平面FBE；
(2)求平面FBE与平面EBG夹角的余弦值；
(3)求三棱锥D-FBE的体积.

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