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专题17.2 三角形内角和 优等生讲义
(6大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标
理解 三角形内角和定理，掌握其证明方法（通过平行线构造）。
掌握 与平行线、角平分线相关的三角形内角和问题的解法。
能运用 三角形内角和定理及外角性质解决角度计算问题。
理解 三角形外角的定义和性质，能灵活运用外角定理。
体会 转化思想、方程思想在几何计算中的应用。
核心思想：三角形三个内角的和等于180°，这是解决角度问题的基本工具；通过平行线、角平分线、外角等可以建立等量关系。
知识梳理（详细版）
☆三角形内角和定理
定理：三角形三个内角的和等于 180°。
证明方法：撕角拼凑法、平行线法（过顶点作对边平行线，利用同位角、
内错角转化）。
推论：直角三角形的两个锐角互余。
☆三角形的外角
定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。
性质：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
☆平行线与三角形内角
平行线带来同位角、内错角相等，同旁内角互补。
常用于将角转移位置，构造三角形内角和关系。
☆角平分线与三角形内角
角平分线将角分成两个相等的角。
内角平分线相交：两内角平分线夹角等于 90°+ ∠A。
外角平分线相交：两外角平分线夹角等于 90°- ∠A。
☆常用几何模型
“8”字模型：两角之和相等关系。
飞镖模型：凹四边形中一角等于其余三角之和。
双角平分线模型：内角平分线、外角平分线组合求角。
☆方程思想
设未知数表示角度，根据内角和、外角、角平分线等列方程求解。
☆知识总结表
类别 内容 公式/性质
内角和定理 三角形内角和等于180° ∠A+∠B+∠C=180°
直角三角形 两锐角互余 ∠A+∠B=90°
外角定义 一边与另一边的延长线所组成的角 /
外角性质 外角等于不相邻两内角和 ∠ACD=∠A+∠B
平行线性质 同位角相等，内错角相等，同旁内角互补 /
角平分线 平分角 ∠1=∠2
双内角平分线 两内角平分线夹角 90°+ ∠A
双外角平分线 两外角平分线夹角 90°- ∠A。
核心考点 · 6类题型精讲
【考点1】三角形内角和定理的证明 （题1-3）
知识点/方法
证明思路：通过作平行线，将三个内角转化为一个平角或同旁内角互补。
常见辅助线：过顶点作对边的平行线，或延长一边。
利用平行线性质：同位角、内错角相等，同旁内角互补。
1．（24-25七年级下·上海·月考）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整．
已知：如图，在中，求证：．
证明：延长线段至点，并过点作．
，
__________________
__________________
．
____________．
2．（25-26八年级上·广东珠海·期末）在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来可拼成一个平角和度量，计算验证了三角形的内角和等于．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务：
如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合．
理由：， ___________． 即．
(1)任务一：补全小颖的说理过程；
(2)任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点作，也能说明三角形的内角和等于，请你帮助小聪写出说理过程．
3．（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2．
(1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？
(2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？
(3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想．
【考点2】与平行线有关的三角形内角和问题 （题4-8）
知识点/方法
平行线带来角相等或互补，常需设未知数表示角。
通过构造平行线转移角，将分散的角集中到三角形中。
结合三角板、旋转等背景，注意动态角度关系。
4．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，垂足为点B，那么之间的数量关系是（ ）．
A． B．
C． D．
5．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，，，那么__________．
6．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中．将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边恰好与边平行，t的值为________．
7．（23-24八年级上·上海徐汇·月考）已知：如图，在中，平分，点F是的中点，，交的延长线于点E．求证：．
8．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，已知是角平分线，．
(1)求的度数；
(2)若于E，求的度数．
【考点3】与角平分线有关的三角形内角和问题 （题9-13）
知识点/方法
角平分线分角相等，常设 ∠1=∠2 列方程。
内角平分线夹角公式 90°+ ∠A，外角平分线夹角公式 90°- ∠A。。
注意角平分线与高、中线等结合时的综合计算。
9．（24-25七年级下·上海宝山·期末）已知在中，，，的平分线交于点，那么 ______．
10．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，与分别是外角和外角的角平分线，若，则________°．
11．（24-25七年级下·上海普陀·月考）如图，在中，点是和的平分线的交点，如果，那么_____°．
12．（24-25七年级下·上海·月考）在的的延长线上任取两点D，E，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，和的平分线交于点，求证，．（提示：可直接利用（1）的结论）
13．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）综合与实践
(1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ．
(2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系．
(3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数．
【考点4】三角形内角和定理的应用 （题14-20）
知识点/方法
直接利用内角和求未知角，或列方程解含参数的角度。
结合垂直、互余、等腰等条件建立方程。
新定义问题（如“奇异互余三角形”）需理解定义并转化。
14．（25-26八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，是斜边上的高，如果，那么______．
15．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）定义：若三角形的两个内角和满足，则称这样的三角形为“奇异互余三角形”．在中，，，是射线上一点，若是“奇异互余三角形”，则_______
16．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知中，，．绕点顺时针旋转，使点落在边上，点的对应点记为点，点的对应点记为点，连接，那么的度数是______．
17．（24-25七年级下·上海·月考）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力N的方向与斜面垂直，摩擦力F的方向与斜面平行．若摩擦力F与重力G方向的夹角的度数为，则斜面的坡角的度数为______
18．（24-25七年级下·上海·月考）中，，，，求，，的度数．
19．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，，点D在上，点E在上，且，
(1)如果平分，求的大小；
(2)如果与互余，求的大小．
20．（25-26八年级上·上海闵行·期末）如图，已知在中，为钝角，，，垂足为点，将绕点旋转，点和的对应点分别为点和，当点恰好都落在的延长线上时，______．（用含a的式子表示）．
【考点5】三角形的外角的定义及性质 （题21-26）
知识点/方法
外角等于不相邻两内角和，常用于建立等量关系。
外角大于任意不相邻内角，用于比较大小。
折叠、旋转等变换中，外角性质仍然适用。
21．（25-26八年级上·上海闵行·月考）如图，在中，，是三角形的中线，是三角形的一条内角平分线，若，那么的度数是_________．
22．（25-26七年级上·上海·月考）如图，将纸片 沿 折叠，使点 落在点 处，且 平分 ， 平分 ，若 ， ，则 的度数为_____．
23．（25-26七年级下·全国·期末）推理能力
如图①所示，在中，是高，是的平分线， ．
(1)求的度数．
(2)当是的外角的平分线时，如图②所示，的度数是多少？设，用含的式子表示出结果，并说明理由．
24．（24-25七年级下·上海崇明·期末）综合与实践
(1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ．
(2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ．
(3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数．
25．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，于点，是的角平分线，交于点，，，求的度数．
解：，（ ）
，（ ），
______，
是的角平分线，
____________，
（ ），
______．
26．（24-25七年级下·上海崇明·期末）学行线的判定与性质后，某兴趣小组进行如下探究：已知．
(1)如图1，若，求的度数．
(2)如图2，当点，在两条平行线之间，且、、、四点不在同一条直线上时．求证：．
(3)如图3，若，，，，直接写出的度数．
【考点6】创新及压轴题 （题1-5）
知识点/方法
新定义问题：理解定义（如“k系补周角”“奇妙互余三角形”），转化为方程求解。
动态旋转问题：分类讨论，画图分析不同位置的角度关系。
光反射原理：入射角等于反射角，结合平行线、三角形内角和求解。
复杂几何模型：如多次翻折、角平分线叠加，需逐步推导。
1．（24-25七年级下·上海松江·期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角．
(1)如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且，则________，________；
(2)图2中，请你探究：当任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a、b的夹角的度数；
(3)如图3，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m垂直，那么此时的度数是________．
2．（24-25七年级上·上海·期中）对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的k系补周角．如若，，则为的6系补周角．
(1)若，则的4系补周角的度数为______
(2)在平面内，点E是平面内一点，连接．
①如图1，，若是的3系补周角，求的度数．
②如图2，和均为钝角，点F在点E的右侧，且满足，（其中n为常数且），点P是角平分线上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得是的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
3．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）如图（1），把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上．
(1)填空：如图（1），______°，______°
(2)如图（2），现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的倍，求的值．
(3)按图（1）所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动，设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
4．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）阅读理解概念：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．
完成以下问题：
(1)填空：
①若是“奇妙互余三角形”，，，则________
②若是“奇妙互余三角形”，，，则________
(2)如图，在中，，是的角平分线，请说明是“奇妙互余三角形”的理由．
(3)在中，，，点P是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，请直接写出的度数．
5．（24-25七年级下·上海·期中）如图-1，在中，平分，点在边上，点在线段上，，将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，旋转时间为秒，旋转角度为，直线分别与线段交于点．

(1)如图-2，当秒时，判断直线与之间的位置关系，并说明理由；
(2)如果，求出此时的值；
(3)如果中有两个内角相等，请直接写出此时旋转角的度数．
随堂检测 · 精选练习
练习1 折叠问题与平行线、三角形内角和（求角度）
练习2 旋转与平行线、三角板角度计算
练习3 外角平分线与三角形内角和
练习4 三角形内角和与分类（锐角、钝角、直角三角形判断）
练习5 等腰三角形、外角性质
1．（24-25七年级下·上海·月考）如图，点为三角形的边上一点，如果，将三角形沿着直线翻折后，点A落在处，那么当______时，有．
2．（24-25七年级下·上海·期中）把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：如图，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，两条斜边，则的度数为______．
3．（23-24八年级上·河北邢台·月考）如图是嘉嘉在电脑上的截图，不慎将三角形顶点及部分边截掉，、的外角平分线交于点．
（1）若，，则截掉的___________；
（2）若，则___________．
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）在中，若，则____________．这个三角形是____________三角形．
（2）若一个三角形三个内角的比为，则这个三角形是____________三角形．
（3）在中，若，比小，则____________．这个三角形是____________三角形．
5．（25-26八年级上·北京西城·期末）如图是一个搭建好的帐篷从正面看的示意图，其中五边形表示帐篷，线段表示绳索，点在的延长线上，且点都在的延长线上．若，，，则______．
课后巩固 · 核心作业
题1 三角形内角和与比例（直角三角形的判定）
题2 方位角与等腰三角形、内角和
题3 等腰三角形、角平分线、三角形内角和
题4 平行线、角平分线、三角形内角和综合
题5 等腰三角形与外角性质
题6 三角形外角性质（列方程求角度）
题7 等腰三角形与外角
题8 角平分线与外角规律探究（递推）
题9 外角性质与角平分线（四边形中角度计算）
题10 光的反射与三角形内角和
题11 平行线、角平分线综合证明
题12 三角形中线、面积比、角平分线
题13 外角性质证明
题14 平行线与三角形内角和（分类讨论）
题15 光的反射与三角形内角和（填空证明）
※复习建议 熟练掌握三角形内角和定理及外角性质，灵活运用平行线、角平分线转化角度，学会设未知数列方程，注意分类讨论思想在动态问题中的应用。
1.（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知是直角三角形，那么这个直角三角形三个内角的比可以是（ ）
A． B． C． D．
2.（24-25九年级上·上海·月考）两座灯塔和与海岸观察站的距离相等，灯塔在观察站北偏东，灯塔B在观察站的南偏东，则灯塔在灯塔的（ ）
A．南偏西 B．南偏东 C．北偏东 D．北偏西
3．（23-24八年级上·上海闵行·期中）如图，已知，，点M为边上的中点，交于N，那么下列结论中，说法正确的有（ ）

①；
②平分；
③；
④点N是的中点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，已知，点在上，点，在上，连接，，， ，，平分．给出下列结论：①平分；②；③；④．上述结论中，正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
5．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图所示的钢架中，焊上等长的钢条，来加固钢架，若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，________；________．
7．（25-26八年级上·北京丰台·期末）图1是某平板电脑支架，图2是它的侧面示意图，若，，则___________°．
8．（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，在中，，的平分线与的外角（）的平分线交于点；的平分线与的外角的平分线交于点，…，以此类推，则______（用含的式子表示）
9．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图1，在四边形中，，，．
（1）______；
（2）如图2，和的角平分线与交于点G，，分别与，交于点E和点F，则______．
10．（25-26八年级上·湖北恩施·期中）如图①，MN为平面镜，AO，OB分别为入射光线和反射光线，则，如图②，一束光沿CD的方向射入，经过平面镜OB，OA反射后，沿EF方向射出，已知，则的度数为_________．
11．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，分别在，上．已知，平分，过点作的平分线交于点．
(1)求证：；
对于这道题，小明的证明过程如下：
证明：， （两直线平行，同位角相等）．① 平分，平分， ，．② ．③ （同位角相等，两直线平行）．④
老师认为小明的证明过程出现了问题，请指出哪一步有问题_______．（填写①，②，③或④），说出错误原因并将其改正．
(2)过点作的平分线交于点，若，，求的度数．
12．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，，，垂足为D，点E在上，交于点F，．
(1)点B到直线的距离是线段______的长度；若，，那么与的面积的比值是______．
(2)求证平分．
13．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，点在边上，延长至点，连接交于点．
(1)若，求的度数；
(2)求证：．
14．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）【背景】如图，直线，点在直线和之间，且，该角的两边分别交直线，于点E，F．
【感知】（1）如图1，当点在过点和点的直线的左侧时，过点作，求的度数；
【探究】（2）如图2，当点在过点和点的直线的右侧时，求的度数；
【拓展】（3）如图3，若的角平分线交直线于点，延长交直线于点，求的度数．
15．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）
探究：为什么自行车尾灯没有电也会“亮”？
【素材1】如图1，光的反射现象中，把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角l叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角，且，这就是光的反射定律．
【素材2】在生活中，光的反射现象被广泛地应用，例如自行车尾灯（如图2），它不用安装电池，也不用插电源，白天它并不发光，但在夜间或路灯照明不足的路段，尾灯能发挥其独特的作用．当汽车车灯的灯光照射到自行车上时，它能巧妙地将光线“反射”回去，从而提醒汽车司机注意前方的自行车．
【原理】图3是自行车尾部反光镜工作原理的平面示意图，a表示射入反光镜的光线，b表示经平面镜两次反射后离开反光镜的光线．当光线从某个角度入射时，经过两面镜子反射后，会朝着与入射方向平行但相反的方向返回，这就是所谓的“哪来的就回哪去”效果．
【任务】如果，那么平面镜与的夹角的度数是多少？请把以下求解过程补充完整．
解：如图，过点P、Q分别作的垂线，交点为G，
∵入射角等于反射角，
，，
，
∴______（______），
，
（______），
______，
，，
，
，
（______），
（______）．专题17.2 三角形内角和 优等生讲义
(6大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标
理解 三角形内角和定理，掌握其证明方法（通过平行线构造）。
掌握 与平行线、角平分线相关的三角形内角和问题的解法。
能运用 三角形内角和定理及外角性质解决角度计算问题。
理解 三角形外角的定义和性质，能灵活运用外角定理。
体会 转化思想、方程思想在几何计算中的应用。
核心思想：三角形三个内角的和等于180°，这是解决角度问题的基本工具；通过平行线、角平分线、外角等可以建立等量关系。
知识梳理（详细版）
☆三角形内角和定理
定理：三角形三个内角的和等于 180°。
证明方法：撕角拼凑法、平行线法（过顶点作对边平行线，利用同位角、
内错角转化）。
推论：直角三角形的两个锐角互余。
☆三角形的外角
定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。
性质：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
☆平行线与三角形内角
平行线带来同位角、内错角相等，同旁内角互补。
常用于将角转移位置，构造三角形内角和关系。
☆角平分线与三角形内角
角平分线将角分成两个相等的角。
内角平分线相交：两内角平分线夹角等于 90°+ ∠A。
外角平分线相交：两外角平分线夹角等于 90°- ∠A。
☆常用几何模型
“8”字模型：两角之和相等关系。
飞镖模型：凹四边形中一角等于其余三角之和。
双角平分线模型：内角平分线、外角平分线组合求角。
☆方程思想
设未知数表示角度，根据内角和、外角、角平分线等列方程求解。
☆知识总结表
类别 内容 公式/性质
内角和定理 三角形内角和等于180° ∠A+∠B+∠C=180°
直角三角形 两锐角互余 ∠A+∠B=90°
外角定义 一边与另一边的延长线所组成的角 /
外角性质 外角等于不相邻两内角和 ∠ACD=∠A+∠B
平行线性质 同位角相等，内错角相等，同旁内角互补 /
角平分线 平分角 ∠1=∠2
双内角平分线 两内角平分线夹角 90°+ ∠A
双外角平分线 两外角平分线夹角 90°- ∠A。
核心考点 · 6类题型精讲
【考点1】三角形内角和定理的证明 （题1-3）
知识点/方法
证明思路：通过作平行线，将三个内角转化为一个平角或同旁内角互补。
常见辅助线：过顶点作对边的平行线，或延长一边。
利用平行线性质：同位角、内错角相等，同旁内角互补。
1．（24-25七年级下·上海·月考）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整．
已知：如图，在中，求证：．
证明：延长线段至点，并过点作．
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．
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【答案】； ；两直线平行，同位角相等 ； ； ；两直线平行，内错角相等 ；；；
【难度】0.65
【知识点】同位角、内错角、同旁内角、根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的证明
【分析】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可证出．
【详解】证明：延长线段至点，并过点作．
，
（两直线平行，同位角相等）．
（两直线平行，内错角相等）．
．
．
故答案为：；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等；；．
2．（25-26八年级上·广东珠海·期末）在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来可拼成一个平角和度量，计算验证了三角形的内角和等于．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务：
如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合．
理由：， ___________． 即．
(1)任务一：补全小颖的说理过程；
(2)任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点作，也能说明三角形的内角和等于，请你帮助小聪写出说理过程．
【答案】(1)、
(2)见解析
【难度】0.85
【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的证明
【分析】本题考查了三角形内角和性质，平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先结合题意，得，证明，所以，即；
（2）理解题意，由得，，又因为，得，即可作答．
【详解】（1）解： ，
即．
（2）解：∵，
，，
∵，
．
3．（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2．
(1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？
(2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？
(3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想．
【答案】(1)
(2)三角形内角和为；
(3)见解析
【难度】0.85
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形内角和定理的证明
【分析】题目主要考查证明三角形内角和定理及平行线的性质，理解题意是解题关键．
（1）根据图形直接写出结果即可；
（2）根据（1）写出猜想即可；
（3）根据题意，延长，过点C作，然后利用平行线的性质即可证明．
【详解】（1）解：通过、、的拼接，发现；
（2）猜想：三角形内角和为；
（3）延长，过点C作，如图所示：

∴，
∵，
∴．
【考点2】与平行线有关的三角形内角和问题 （题4-8）
知识点/方法
平行线带来角相等或互补，常需设未知数表示角。
通过构造平行线转移角，将分散的角集中到三角形中。
结合三角板、旋转等背景，注意动态角度关系。
4．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，垂足为点B，那么之间的数量关系是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，
延长交于点G，根据平行线的性质得到，然后表示出，，然后在中利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】如图所示，延长交于点G，
∵
∴
∴
∵
∵
∴
∴整理得，．
故选：D．
5．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，，，那么__________．
【答案】/28度
【难度】0.85
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，
首先根据三角形内角和定理得到，然后由平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
6．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中．将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边恰好与边平行，t的值为________．
【答案】或
【难度】0.85
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题
【分析】本题考查了旋转性质以及平行线的性质，三角形的内角和为180度，先根据旋转的方向，再逐一把满足条件的图作出来，再结合图形以及运用平行线的性质列式计算，即可作答．
【详解】解：如图：
当与边平行时，
∵，
∴，，
∴，
即，
∵将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．
∴，
∴；
如图：
当与边平行时，
∵，
∴，，
∴，
即，
∵将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．
∴，
∴；
综上：边恰好与边平行，t的值为或
故答案为：10.5或28.5
7．（23-24八年级上·上海徐汇·月考）已知：如图，在中，平分，点F是的中点，，交的延长线于点E．求证：．
【答案】证明见解析
【难度】0.65
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理和角平分线的定义．先证明得到，再证明，得到，结合三角形内角和定理即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
8．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，已知是角平分线，．
(1)求的度数；
(2)若于E，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和以及角平分线的定义是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理得出，再由角平分线的定义求出，然后根据三角形外角的性质求解即可；
（2）由垂直的定义得，然后根据即可求解．
【详解】（1）解：∵在中，，
∴，
∵是的角平分线
∴，
∴；
（2）∵，
∴．
∴．
【考点3】与角平分线有关的三角形内角和问题 （题9-13）
知识点/方法
角平分线分角相等，常设 ∠1=∠2 列方程。
内角平分线夹角公式 90°+ ∠A，外角平分线夹角公式 90°- ∠A。。
注意角平分线与高、中线等结合时的综合计算。
9．（24-25七年级下·上海宝山·期末）已知在中，，，的平分线交于点，那么 ______．
【答案】/105度
【难度】0.85
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、等边对等角
【分析】根据等腰三角形的性质得两底角的度数，结合角平分线的性质和三角形内角和定理即可求解．
本题考查了三角形内角和定理及等腰三角形的性质、角平分线的定义；综合运用各种知识是解答本题的关键．
【详解】解：，，
，
又为的平分线，
，
．
故答案为：．
10．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，与分别是外角和外角的角平分线，若，则________°．
【答案】56
【难度】0.85
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】题目主要考查角平分线的计算，三角形内角和定理，理解题意，结合图形求解是解题关键．
根据题意得出，再由角平分线确定，得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵与分别是外角和外角的角平分线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：56．
11．（24-25七年级下·上海普陀·月考）如图，在中，点是和的平分线的交点，如果，那么_____°．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，熟记角平分线的性质和三角形的内角和定理是解题的关键．根据角平分线的性质和三角形的内角和定理求解．
【详解】解：，
．
与的平分线相交于，
，
．
故答案为：．
12．（24-25七年级下·上海·月考）在的的延长线上任取两点D，E，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，和的平分线交于点，求证，．（提示：可直接利用（1）的结论）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【难度】0.65
【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】题目主要考查了三角形内角和定理及对顶角相等，理解题意是解题关键．
（1）根据对顶角相等及三角形内角和定理即可证明；
（2）根据角平分线得出，再由题意结合图形确定，，求解即可．
【详解】（1）证明：根据题意得，
∵，
∴；
（2）∵和的平分线交于点，
∴，
∴①，
由（1）得，
即②，
得：，
∴．
13．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）综合与实践
(1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ．
(2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系．
(3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【难度】0.65
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵．
∴，
∵点P是和的平分线的交点，
∴，
（2）解：∵外角，的角平分线交于点Q，
∴
，
∴；
（3）解：延长至F，
∵为的外角的角平分线，
∴是的外角的平分线，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，即；
∵
，
∴；
如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况：
①，则，；
②，则，；
③，则，解得；
④，则，解得．
综上所述，的度数是或或或．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
【考点4】三角形内角和定理的应用 （题14-20）
知识点/方法
直接利用内角和求未知角，或列方程解含参数的角度。
结合垂直、互余、等腰等条件建立方程。
新定义问题（如“奇异互余三角形”）需理解定义并转化。
14．（25-26八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，是斜边上的高，如果，那么______．
【答案】/度
【难度】0.85
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形内角和定理．
根据高线的定义得到，即，根据求出，即，根据三角形内角和定理即可求出．
【详解】解：∵是斜边上的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
15．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）定义：若三角形的两个内角和满足，则称这样的三角形为“奇异互余三角形”．在中，，，是射线上一点，若是“奇异互余三角形”，则_______
【答案】或或
【难度】0.65
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查了“奇异互余三角形”的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，理解新定义“奇异互余三角形”是解题关键．根据“奇异互余三角形”的定义，分三种情况：当点P在延长线上，，则，当点P在延长线上，时，则，当点P在线段上时，，，分别求出结果即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
分三种情况讨论，
如图，当点P在延长线上，，则，
此时，
即，
∴①，
∵②，
由，可得，
∴；
如图，当点P在延长线上，时，则，
此时，即，
∴③，
∵④，
∴得，
∴；
如图，当点P在线段上时，，，
∴，
∴此时；
综上所述，的所有可能的度数为或或．
故答案为：或或．
16．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知中，，．绕点顺时针旋转，使点落在边上，点的对应点记为点，点的对应点记为点，连接，那么的度数是______．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，由旋转性质可知，，，，通过等边对等角可得，，最后由角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由旋转性质可知，，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．（24-25七年级下·上海·月考）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力N的方向与斜面垂直，摩擦力F的方向与斜面平行．若摩擦力F与重力G方向的夹角的度数为，则斜面的坡角的度数为______
【答案】28
【难度】0.85
【知识点】对顶角相等、三角形内角和定理的应用
【分析】过点A作斜面于B，根据题意求出，根据对顶角相等得到，再根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是三角形角度求值问题，掌握垂直的定义、对顶角相等是解题的关键．
【详解】
解：如图，过点A作斜面于B，
由题意可知：，
，
，
水平面，
，
故答案为：
18．（24-25七年级下·上海·月考）中，，，，求，，的度数．
【答案】，，
【难度】0.65
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，直接根据三角形内角和定理列方程求解即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，
解得，
∴，，，
∴，，．
19．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，，点D在上，点E在上，且，
(1)如果平分，求的大小；
(2)如果与互余，求的大小．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．也考查了余角与补角．
（1）利用平分得到，接着在中，利用三角形内角和定理计算出，根据三角形内角和定理计算出，然后利用三角形外角性质可计算出的度数；
（2）先求出，，从而，可得，结合求出，进而可求出的大小．
【详解】（1）平分（已知）
（角平分线的定义）
（已知）
（等量代换）
（三角形的内角和等于）
又（已知）
（等最代换）
（等式性质）
（三角形的内角和笭于）
又（已知）
（等是代换）
（等式性质）
（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
（等式性质）
（2）（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），（已知）
∴，
∵（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），，
∴（等量代换），
（等量代换）
（等式性质）
（已知）
（等量代换）
（等式性质）
∴
（已知）
（等量代换）
20．（25-26八年级上·上海闵行·期末）如图，已知在中，为钝角，，，垂足为点，将绕点旋转，点和的对应点分别为点和，当点恰好都落在的延长线上时，______．（用含a的式子表示）．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】三线合一、根据旋转的性质求解、三角形的外角的定义及性质、等边对等角
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．
先根据题意作出图形，设，根据旋转的性质得到，，，根据三线合一得到，根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质得到，根据三角形内角和得到，即，根据计算即可．
【详解】解：如图，
设，
∵
∴
∵将绕点旋转，点和的对应点分别为点和，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
即
∴．
故答案为：．
【考点5】三角形的外角的定义及性质 （题21-26）
知识点/方法
外角等于不相邻两内角和，常用于建立等量关系。
外角大于任意不相邻内角，用于比较大小。
折叠、旋转等变换中，外角性质仍然适用。
21．（25-26八年级上·上海闵行·月考）如图，在中，，是三角形的中线，是三角形的一条内角平分线，若，那么的度数是_________．
【答案】/度
【难度】0.85
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了角平分线的定义及三角形外角的性质，根据题意得是的角平分线，得到，利用三角形外角的性质结合即可解答．
【详解】解：根据题意得是的角平分线，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
22．（25-26七年级上·上海·月考）如图，将纸片 沿 折叠，使点 落在点 处，且 平分 ， 平分 ，若 ， ，则 的度数为_____．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、折叠问题
【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线是解答本题的关键．连接，根据折叠的性质及三角形外角的性质求出，再根据三角形内角和定理可知，由 平分 ， 平分 即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
沿折叠，
，，
，，
，
，
，
平分， 平分 ，
，，
，
，
故答案为：．
23．（25-26七年级下·全国·期末）推理能力
如图①所示，在中，是高，是的平分线， ．
(1)求的度数．
(2)当是的外角的平分线时，如图②所示，的度数是多少？设，用含的式子表示出结果，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【难度】0.65
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是运用类比的方法分别求的度数和的度数．
（1）由的度数利用三角形内角和定理即可求出的度数，再根据角平分线的定义即可求出的度数，由的度数利用三角形内角和定理即可求出的度数，再根据代入数据即可得出结论；
（2）同（1）的过程找出和的度数，二者相加即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，且，
，
又是的平分线，
．
，
∴，
，
．
（2）解：．理由如下：
．
平分，
．
，
，
24．（24-25七年级下·上海崇明·期末）综合与实践
(1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ．
(2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ．
(3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【难度】0.65
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵．
∴，
∵点P是和的平分线的交点，
∴，
（2）解：∵外角，的角平分线交于点Q，
∴
，
∴；
（3）解：延长至F，
∵为的外角的角平分线，
∴是的外角的平分线，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，即；
∵
，
∴；
如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况：
①，则，；
②，则，；
③，则，解得；
④，则，解得．
综上所述，的度数是或或或．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
25．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，于点，是的角平分线，交于点，，，求的度数．
解：，（ ）
，（ ），
______，
是的角平分线，
____________，
（ ），
______．
【答案】垂线的定义； 三角形外角的性质；；；；三角形内角和定理；
【难度】0.65
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，角平分线定义等知识，根据垂线的定义得出，根据三角形外角的性质并结合已知求出，根据角平分线定义求出，最后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：，（垂线的定义）
，（三角形外角的性质），
，
是的角平分线，
，
（三角形内角和定理），
．
故答案为：垂线的定义； 三角形外角的性质；；；；三角形内角和定理；．
26．（24-25七年级下·上海崇明·期末）学行线的判定与性质后，某兴趣小组进行如下探究：已知．
(1)如图1，若，求的度数．
(2)如图2，当点，在两条平行线之间，且、、、四点不在同一条直线上时．求证：．
(3)如图3，若，，，，直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【难度】0.65
【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形内角和，熟练掌握平行线的性质与判定是解答本题的关键．
（1）由，得，再代入，可求得；
（2）过E作，过点F作，根据平行公理的推论得，由平行线的性质，，可得，由平行线的性质得，从而；
（3）由上结论知，进而得，从而，由“8”字三角形得，进而便可求得的度数．
【详解】（1）解：∵，
∴
∵
∴
∴
（2）证明：过E作，过点F作．

∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴；
（3）解：由上结论知，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∵，，
∴，
∴．
【考点6】创新及压轴题 （题1-5）
知识点/方法
新定义问题：理解定义（如“k系补周角”“奇妙互余三角形”），转化为方程求解。
动态旋转问题：分类讨论，画图分析不同位置的角度关系。
光反射原理：入射角等于反射角，结合平行线、三角形内角和求解。
复杂几何模型：如多次翻折、角平分线叠加，需逐步推导。
1．（24-25七年级下·上海松江·期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角．
(1)如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且，则________，________；
(2)图2中，请你探究：当任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a、b的夹角的度数；
(3)如图3，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m垂直，那么此时的度数是________．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了三角形内角和，平行线．熟练掌握三角形内角和定理，平行线性质，“平面镜反射光线规律”，是解题的关键．
（1）利用平面镜反射光线的规律知，，根据平行线性质得，得，由三角形的内角和可知，；
（2）根据平行线性质得，根据光反射性质得，得，由三角形的内角和得，；
（3）根据，，，得
，即得．
【详解】（1）解：由题知，，
∴，
又，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：由题知，，
，
又，
，
即，
∴，
故的度数为；
（3）解：如图，
由题知，，，
又，
，
．
故答案为：．
2．（24-25七年级上·上海·期中）对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的k系补周角．如若，，则为的6系补周角．
(1)若，则的4系补周角的度数为______
(2)在平面内，点E是平面内一点，连接．
①如图1，，若是的3系补周角，求的度数．
②如图2，和均为钝角，点F在点E的右侧，且满足，（其中n为常数且），点P是角平分线上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得是的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
【答案】(1)
(2)①②
【难度】0.65
【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算
【分析】（1）设的4系补周角的度数为，根据新定义列出方程求解即可；
（2）①过作，得，再由已知，是的3系补周角，列出的方程，求得的度数；
②根据系补周角的定义先确定点的位置，再结合，求解与的关系即可求解．
本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，新定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质与判定，角平分线的定义，新定义．
【详解】（1）解：设的4系补周角的度数为，根据新定义得：
，
解得，
的4系补周角的度数为，
故答案为：70；
（2）解：①过作，如图1，
，
，
，
∵，
，
，
即，
是的3系补周角，
，
，
；
②如图2，当上的动点为的角平分线与的交点时，满足是的系补周角，
过点作，过点作，如图2，
，
，，
，，，，
，
的平分线与的平分线相交于点，
，，
，
∵ ，（其中n为常数且），
，
，
，
，
是的系补周角，
此时，．
3．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）如图（1），把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上．
(1)填空：如图（1），______°，______°
(2)如图（2），现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的倍，求的值．
(3)按图（1）所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动，设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)120，90
(2)36
(3)存在，或
【难度】0.65
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查平行线的性质及应用，三角形的外角定理，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用．
（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；
（2）根据两直线平行，内错角相等求出，继而表示出，再用三角形外角定理和邻补角可得，，最后根据恰好是的倍列方程，计算可求解；
（3）分两种情况，根据画出图形，列方程可解得答案．
【详解】（1）解：由题意，得：，，
∵，
∴，，
∴；
故答案为：120，90；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵恰好是的倍，
∴，
解得，
∴n的值是；
（3）解：存在，理由如下：
如图：由题意，得：，，
∵，
∴，
∴，
解得；
如图：
∵，
∴，
∴，
解得，
综上所述，t的值为20或80．
4．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）阅读理解概念：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．
完成以下问题：
(1)填空：
①若是“奇妙互余三角形”，，，则________
②若是“奇妙互余三角形”，，，则________
(2)如图，在中，，是的角平分线，请说明是“奇妙互余三角形”的理由．
(3)在中，，，点P是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，请直接写出的度数．
【答案】(1)①；②或
(2)理由见解析
(3)或
【难度】0.65
【知识点】三角形角平分线的定义、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】（1）①根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是；
②由“奇妙互余三角形”的定义得或，即可求解；
（2）根据直角三角形的两个锐角互余得，而，所以，所以是“奇妙互余三角形”；
（3）分为2种情况，当P在线段上时和当P在CB延长线上时，根据是“奇妙互余三角形”分别可解得答案．
【详解】（1）①∵是“准互余三角形”，，，
∴，
∴，
故答案为：；
②是“奇妙互余三角形”， ，，
当时，
∴
∴，
∴
当时，
∴
∴，
∴．
故答案为：或；
（2）∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴是“奇妙互余三角形”．
（3）解：当P在线段上时，如图：
，是“奇妙互余三角形”，
当时，
∴，
∴；
当时，
∴，
∴；
当P在延长线上，是“奇妙互余三角形”，如图：
∵，
∴．
当时，
∵，
∴（舍去）；
当时，
∵，
∴（舍去）．
综上所述，的度数为或．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，数形结合与分类讨论数学思想的运用、新定义问题的求解等知识与方法，准确地把握新定义的内涵并且正确地画出图形是解题的关键．
5．（24-25七年级下·上海·期中）如图-1，在中，平分，点在边上，点在线段上，，将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，旋转时间为秒，旋转角度为，直线分别与线段交于点．

(1)如图-2，当秒时，判断直线与之间的位置关系，并说明理由；
(2)如果，求出此时的值；
(3)如果中有两个内角相等，请直接写出此时旋转角的度数．
【答案】(1)直线与的位置关系是垂直．理由见解析
(2)当时，使得．
(3)或
【难度】0.15
【知识点】根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用、根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质等知识点，是掌握数形结合以及分类讨论思想是解题的关键．
（1）根据题中条件，求得，由此可求得，即即可解答；
（2）先根据画出图形，根据平行线的性质、旋转的性质解答即可；
（3）分和两种情况，分别根据三角形内角和定理、旋转的性质求解即可．
【详解】（1）解：直线与的位置关系是垂直．理由如下：
如图所示，与交于点O，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
当时，根据由旋转可知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴直线与的位置关系是垂直．
（2）解：如图，延长交于点G，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上分析可知：时，使得．
（3）解：由题意可知，，
①如图：当，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，即当旋转时，中有两个角相等．

②当时，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即当旋转时，中有两个角相等；

综上所述：中有两个内角相等，此时旋转角的度数为或．
随堂检测 · 精选练习
练习1 折叠问题与平行线、三角形内角和（求角度）
练习2 旋转与平行线、三角板角度计算
练习3 外角平分线与三角形内角和
练习4 三角形内角和与分类（锐角、钝角、直角三角形判断）
练习5 等腰三角形、外角性质
1．（24-25七年级下·上海·月考）如图，点为三角形的边上一点，如果，将三角形沿着直线翻折后，点A落在处，那么当______时，有．
【答案】60
【难度】0.65
【知识点】折叠问题、三角形内角和定理的应用、内错角相等两直线平行
【分析】本题考查三角形翻折问题，三角形内角和，平行线的判定，熟练掌握翻折的性质、三角形内角和定理、平行线的判定定理是解题的关键．
先根据三角形内角和定理求得，再根据翻折的性质得，再根据当时，，则，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
由翻折得，
∵当时，，
∴，
∴，
故答案为：60．
2．（24-25七年级下·上海·期中）把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放：如图，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，两条斜边，则的度数为______．
【答案】或
【难度】0.65
【知识点】根据旋转的性质求解、三角形的外角的定义及性质、三角板中角度计算问题
【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角性质，分两种情况讨论，由平行线的性质可求解．
【详解】解：由已知可得，，，
分以下两种情况讨论：
当与相交于点E时，
由旋转的性质可知，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
当与相交于点F时，
由旋转的性质可知，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：的度数为或．
故答案为：或．
3．（23-24八年级上·河北邢台·月考）如图是嘉嘉在电脑上的截图，不慎将三角形顶点及部分边截掉，、的外角平分线交于点．
（1）若，，则截掉的___________；
（2）若，则___________．
【答案】 70 55
【难度】0.65
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据邻补角定义可知，，根据角平分线定义可知，因为，即可得到，根据三角形内角和定理即可求出．
【详解】解：（1）在中，，
，，
；
（2）如下图所示，
，，
，，
平分，平分，
，，
，
，
，
在中，，
．
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）在中，若，则____________．这个三角形是____________三角形．
（2）若一个三角形三个内角的比为，则这个三角形是____________三角形．
（3）在中，若，比小，则____________．这个三角形是____________三角形．
【答案】 钝角 直角 锐角
【难度】0.85
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的分类
【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形的分类等知识，正确地求出的最大内角的度数是解题的关键．
（1）（2）（3）利用三角形内角和定理计算未知角，根据角度大小判断三角形类型。
【详解】解：（1）在中，，
根据三角形内角和定理，．
由于，因此该三角形是钝角三角形．
故答案为：；钝角．
（2）设三角形三个内角分别为，，，
根据三角形内角和定理，，
即，
解得．
因此角度分别为，，．
由于有一个角为，因此该三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
（3）在中，，比小，
因此．
根据三角形内角和定理，．
所有角均小于，因此该三角形是锐角三角形．
故答案为：；锐角．
5．（25-26八年级上·北京西城·期末）如图是一个搭建好的帐篷从正面看的示意图，其中五边形表示帐篷，线段表示绳索，点在的延长线上，且点都在的延长线上．若，，，则______．
【答案】20
【难度】0.65
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和外角的性质，熟练掌握“等边对等角”和“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
由题意先求出和的值，再根据等腰三角形的性质和外角的性质即可求出的度数．
【详解】解：点在的延长线上，，
．
，
．
，
．
故答案为20．
课后巩固 · 核心作业
题1 三角形内角和与比例（直角三角形的判定）
题2 方位角与等腰三角形、内角和
题3 等腰三角形、角平分线、三角形内角和
题4 平行线、角平分线、三角形内角和综合
题5 等腰三角形与外角性质
题6 三角形外角性质（列方程求角度）
题7 等腰三角形与外角
题8 角平分线与外角规律探究（递推）
题9 外角性质与角平分线（四边形中角度计算）
题10 光的反射与三角形内角和
题11 平行线、角平分线综合证明
题12 三角形中线、面积比、角平分线
题13 外角性质证明
题14 平行线与三角形内角和（分类讨论）
题15 光的反射与三角形内角和（填空证明）
※复习建议 熟练掌握三角形内角和定理及外角性质，灵活运用平行线、角平分线转化角度，学会设未知数列方程，注意分类讨论思想在动态问题中的应用。
1．（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知是直角三角形，那么这个直角三角形三个内角的比可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形的内角和定理和直角三角形的定义，求出每一个内角的度数是解题的关键．
根据三角形内角和定理求出每一个内角度数即可判断．
【详解】解：选项A：，三个角相等，每个角为，均为锐角，无直角，不符合条件，排除．
选项B：，总份数为，对应角度分别为：，，存在90°角，且另两角之和为，符合条件．
选项C：，总份数为，对应角度分别为：，，，均为锐角，无直角，排除．
选项D：总份数为，对应角度分别为：，，，均为锐角，无直角，排除．
综上，正确答案为B．
故选：B．
2．（24-25九年级上·上海·月考）两座灯塔和与海岸观察站的距离相等，灯塔在观察站北偏东，灯塔B在观察站的南偏东，则灯塔在灯塔的（ ）
A．南偏西 B．南偏东 C．北偏东 D．北偏西
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、两直线平行内错角相等、与方向角有关的计算题
【分析】依题意，，，，进而根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，根据平行线的性质得出，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，
依题意，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴灯塔在灯塔的北偏东，
故选：C．
【点睛】本题考查了方位角的计算，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据题意画出图形是解题的关键．
3．（23-24八年级上·上海闵行·期中）如图，已知，，点M为边上的中点，交于N，那么下列结论中，说法正确的有（ ）

①；
②平分；
③；
④点N是的中点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】三线合一、等边对等角、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】设，根据等腰三角形的性质可得，利用外角的性质可得，进而得出，再根据三角形内角和定理可得；根据，，可得平分；根据等腰三角形“三线合一”可得，再利用外角的性质可得；最后根据三角形中位线的性质可判断④错误．
【详解】解：设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，故①符合题意；
，，
平分，故②符合题意；
，点M是边上的中点，
，
，故③符合题意；
与不平行，，
，即点N不是的中点，故④不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，已知，点在上，点，在上，连接，，， ，，平分．给出下列结论：①平分；②；③；④．上述结论中，正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【难度】0.54
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、垂线的定义理解、三角形内角和定理的应用
【分析】利用平行线的判定与性质、角平分线和垂直定义可判断①②③；结合三角形的内角和定理可判断④，进而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴平分，故①正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，则，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
∴，故④正确，
综上，正确的是①②③④．
5．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图所示的钢架中，焊上等长的钢条，来加固钢架，若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与三角形外角的性质，关键是利用等腰三角形两底角相等和三角形外角等于不相邻两内角和的性质，逐步推导角度关系．
【详解】解：∵，
∴；
∵是的外角，
∴；
∵，
∴；
∵是的外角，
∴；
故选：C．
6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，________；________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了三角形的外角性质和邻补角的性质．根据三角形的外角性质求得，再利用邻补角的性质即可求得．
【详解】解：由三角形的外角性质知，
解得，即，
，
故答案为：，．
7．（25-26八年级上·北京丰台·期末）图1是某平板电脑支架，图2是它的侧面示意图，若，，则___________°．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，外角的性质，掌握其计算方法是解题的关键．
根据等边对等角得到，再由代入计算即可．
【详解】解：，，
，
．
故答案为：．
8．（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，在中，，的平分线与的外角（）的平分线交于点；的平分线与的外角的平分线交于点，…，以此类推，则______（用含的式子表示）
【答案】
【难度】0.4
【知识点】角平分线的有关计算、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查三角形外角性质与角平分线规律探究，涉及知识点：三角形外角定理、角平分线的角的数量关系．解题方法是先推导与的关系，再归纳出递推规律；解题关键是利用外角定理建立角的等式，易错点是规律归纳时指数的对应关系．解题思路：先求，再推导，归纳出．
【详解】解：，，
，
，
而，
，
∴，
以此类推得，；，
，
故答案为：．
9．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图1，在四边形中，，，．
（1）______；
（2）如图2，和的角平分线与交于点G，，分别与，交于点E和点F，则______．
【答案】 144 115
【难度】0.65
【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了三角形的外角性质．
（1）连接并延长至点H，利用三角形的外角性质即可求解；
（2）连接并延长至点K，利用三角形的外角性质结合角平分线的定义即可求解．
【详解】解：（1）如图1，连接并延长至点H．
∴
；
（2）如图2，连接并延长至点K．
∵分别平分，，
∴，，
∴
，
故答案为：144；115．
10．（25-26八年级上·湖北恩施·期中）如图①，MN为平面镜，AO，OB分别为入射光线和反射光线，则，如图②，一束光沿CD的方向射入，经过平面镜OB，OA反射后，沿EF方向射出，已知，则的度数为_________．
【答案】/35度
【难度】0.65
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查平面镜反射和三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，根据平面镜反射的原理可得，，再利用三角形内角和定理得到的度数，从而得到的度数．
【详解】解：∵一束光沿的方向射入，经过平面镜，反射后，沿方向射出，
∴，，
在中，，
∴，
故答案为：．
11．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，分别在，上．已知，平分，过点作的平分线交于点．
(1)求证：；
对于这道题，小明的证明过程如下：
证明：， （两直线平行，同位角相等）．① 平分，平分， ，．② ．③ （同位角相等，两直线平行）．④
老师认为小明的证明过程出现了问题，请指出哪一步有问题_______．（填写①，②，③或④），说出错误原因并将其改正．
(2)过点作的平分线交于点，若，，求的度数．
【答案】(1)④；改正见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据平行线判定与性质证明
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据平行线的判定判断即可；
（2）首先由平行得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后由角平分线得到，，进而求解即可．
【详解】（1）∵和不是同位角，
∴由无法证明出
∴第④步有问题；
改正：∵
∴
∴
∴（内错角相等，两直线平行）．
（2）∵，
∴
∴
∵平分，平分
∴，
∴．
12．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，，，垂足为D，点E在上，交于点F，．
(1)点B到直线的距离是线段______的长度；若，，那么与的面积的比值是______．
(2)求证平分．
【答案】(1)；
(2)见解析
【难度】0.85
【知识点】点到直线的距离、根据三角形中线求面积、三角形内角和定理的应用、三角形角平分线的定义
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形中线的性质，三角形内角和定理，点到直线的距离等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）过直线外一点作直线的垂线，该点与垂足的连线段的长度叫做该点到该直线，据此可得答案；根据三角形中线平分三角形面积可得，再证明得到，据此可得答案；
（2）根据三角形内角和定理可得，，再导角证明，即可证明结论．
【详解】（1）解：∵，
∴点B到直线的距离是线段的长度；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与的面积的比值是；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴平分．
13．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，点在边上，延长至点，连接交于点．
(1)若，求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【难度】0.75
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了三角形外角的性质以及三角形内角和定理的应用，熟练掌握 “三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和” 是解答本题的关键．
（1）利用三角形外角的性质求出的度数，再结合三角形内角和定理计算的度数；
（2）连续两次运用三角形外角的性质，进行等量代换，即可完成证明．
【详解】（1）解：，，
，
，且，
．
（2）证明：，且，
．
14．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）【背景】如图，直线，点在直线和之间，且，该角的两边分别交直线，于点E，F．
【感知】（1）如图1，当点在过点和点的直线的左侧时，过点作，求的度数；
【探究】（2）如图2，当点在过点和点的直线的右侧时，求的度数；
【拓展】（3）如图3，若的角平分线交直线于点，延长交直线于点，求的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）
【难度】0.65
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算
【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，三角形外角的性质及角平分线的定义，过拐点作平行线是解题的关键：
（1）根据平行线的性质，已知条件，平行公理，进行作答即可；
（2）过点作，根据平行线的性质，角的和差关系进行求解即可；
（3）根据平行线的性质，角平分线的定义求解即可．
【详解】解：（1）∵，
．
，
，
，
．
，
；
（2）如图，过点作，
．
，
，
，
，
，
；
（3）平分，
．
，
，
，
，即．
，
，
．
15．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）
探究：为什么自行车尾灯没有电也会“亮”？
【素材1】如图1，光的反射现象中，把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角l叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角，且，这就是光的反射定律．
【素材2】在生活中，光的反射现象被广泛地应用，例如自行车尾灯（如图2），它不用安装电池，也不用插电源，白天它并不发光，但在夜间或路灯照明不足的路段，尾灯能发挥其独特的作用．当汽车车灯的灯光照射到自行车上时，它能巧妙地将光线“反射”回去，从而提醒汽车司机注意前方的自行车．
【原理】图3是自行车尾部反光镜工作原理的平面示意图，a表示射入反光镜的光线，b表示经平面镜两次反射后离开反光镜的光线．当光线从某个角度入射时，经过两面镜子反射后，会朝着与入射方向平行但相反的方向返回，这就是所谓的“哪来的就回哪去”效果．
【任务】如果，那么平面镜与的夹角的度数是多少？请把以下求解过程补充完整．
解：如图，过点P、Q分别作的垂线，交点为G，
∵入射角等于反射角，
，，
，
∴______（______），
，
（______），
______，
，，
，
，
（______），
（______）．
【答案】；两直线平行，同旁内角互补；；；三角形的三个内角的度数之和为；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【难度】0.85
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、垂线的定义理解、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，三角形内角和定理，先由平行线的性质得到，则，由三角形内角和定理可得，由垂线的定义可得，证明，得到，则．
【详解】解：如图，过点P、Q分别作的垂线，交点为G，
∵入射角等于反射角，
，，
，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
，
（三角形的三个内角的度数之和为），
，
，，
，
，
（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）．

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