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专题17.3 全等三角形及其性质 优等生讲义
(4类考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标
理解 全等图形的概念，能识别全等图形。
掌握 全等三角形的定义、对应元素及表示方法。
理解并掌握 全等三角形的性质（对应边相等，对应角相等）。
能运用 全等三角形的性质解决线段相等、角相等以及几何计算问题。
体会 图形变换（平移、旋转、轴对称）与全等的关系，感受转化思想。
核心思想：全等三角形的对应边相等、对应角相等，是证明线段和角相等的重要工具。
知识梳理（详细版）
☆ 全等图形
定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
性质：全等图形的形状和大小完全相同，只是位置可能不同。
全等变换：平移、旋转、轴对称前后的图形全等。
☆ 全等三角形
定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
对应元素：重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。
表示方法：用符号“≌”表示，如 △ABC≌△DEF，对应顶点写在对应位置。
☆ 全等三角形的性质
对应边相等：AB=DE,BC=EF,CA=FD。
对应角相等：∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F。
周长相等，面积相等。
对应线段（中线、高、角平分线）相等。
☆ 全等变换
平移：图形沿某方向移动，形状大小不变。
旋转：图形绕某点转动一定角度，形状大小不变。
轴对称：图形沿某直线翻折，形状大小不变。
两个全等三角形总可以通过一次或多次上述变换互相重合。
☆ 全等三角形的应用
测量不可直接到达的距离（构造全等三角形）。
证明线段相等、角相等。
计算角度、长度，解决几何综合题。
☆ 知识总结表
类别 内容 性质/应用
全等图形 能够完全重合的图形 形状相同，大小相等；平移、旋转、轴对称前后全等
全等三角形 能够完全重合的两个三角形 对应边相等，对应角相等；周长、面积相等；对应线段相等
对应元素 对应顶点、对应边、对应角 根据重合确定，表示时对应顶点写在对应位置
全等变换 平移、旋转、轴对称 不改变图形形状和大小，只改变位置
应用 测量、证明、计算 利用全等性质转化线段和角
核心考点 · 4类考点题型精讲
【考点1】图形的全等 （题1-3）
知识点/方法
全等图形的识别：能够完全重合，即形状和大小完全相同。
全等图形的性质：对应部分（边、角）相等，可通过分割、拼图验证。
利用全等图形解决面积、周长问题，常结合方程思想。
1．（2025八年级上·全国·专题练习）刺绣是中国古老的手工技艺之一，已经有2000多年的历史，下列是几组刺绣作品图片，其中是全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】图形的全等
【分析】本题考查了全等图形的定义，熟悉掌握全等图形的识别是解题的关键．根据全等图形的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．两图大小不一样，故不是全等图形，故A错误；
B．两图大小形状一样，故是全等图形，故B正确；
C．两图形状不一样，故不是全等图形，故C错误；
D．两图大小不一样，故不是全等图形，故D错误．
故选：B．
2．（2024·山西·模拟预测）如图，边长为的正方形纸片被分成全等的四部分（图），阴影四边形的最短边为，将其重新拼接得到新的正方形（图），则如图小正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、图形的全等
【分析】本题考查了全等图形的性质，一元一次方程，设中间小正方形的边长为，由题意可得，然后解方程即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，设中间小正方形的边长为，
由题意可得：，
∴，
∴中间小正方形的面积为，
故选：．
3．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·月考）2025年国际篮联亚洲杯在沙特阿拉伯吉达举行，中国男篮获得亚军，女篮获得季军．下列与体育赛事相关的图标中，是由同一种全等图形组合而成的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】图形的全等
【分析】本题考查了全等图形，能够完全重合的两个图形是全等图形．根据全等图形的概念分析即可．
【详解】解：选项ABC的图形不是由同一种全等图形组合而成的，故都不符合题意；
选项D的图形是由五个全等的平行四边形构成，是由同一种全等图形组合而成的，故该选项符合题意；
故选：D．
【考点2】全等三角形的概念 （题4-5）
知识点/方法
全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形。
对应顶点、对应边、对应角的确定：根据重合或几何位置判断。
全等三角形的表示：用“≌”连接，对应顶点写在对应位置。
新定义问题（如“伴生数”）：理解题意，结合全等概念分类讨论。
4．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边．
【答案】
【知识点】全等三角形的概念
【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可．
【详解】解：由图可知，与是对顶角，
∵与全等，
∴与是对应角，
又与是对应边，
∴与是对应边，
故答案为：，．
5．（25-26八年级上·北京海淀·期中）已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数．
（1）若，，则伴生数为______；
（2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______．
【答案】 4 13
【知识点】全等三角形的概念
【分析】本题主要考查了新定义的理解，全等三角形的定义，
对于（1），根据新定义解答即可；
对于（2），先确定符合条件的n的值，再确定最大整数即可.
【详解】解：如图所示，中两边长为2和3，有一角为，所以伴生数为4；
当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4；
当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4；
当时，伴生数不是4，所以n的最大整数是13.
故答案为：4；13.
【考点3】全等三角形的性质 （题6-23）
知识点/方法
全等三角形对应边相等、对应角相等，是核心性质。
利用性质求线段长度、角度大小，常结合方程、方程组。
全等三角形与旋转、平移、轴对称结合，分析图形变换。
全等三角形与动点问题：分类讨论不同对应情况。
全等三角形的面积相等、周长相等，可用于等积变换。
全等三角形对应线段（中线、高、角平分线）相等，可推导更多结论。
6．（24-25八年级上·全国·期中）全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫______，重合的边叫_____，重合的角叫______．
【答案】 对应点 对应边 对应角
【知识点】全等三角形的概念
【分析】本题主要考查两个全等三角形对应边角的概念，掌握概念是解题的关键，直接根据全等三角形的对应关系的概念填空即可．
【详解】全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，
重合的顶点叫对应点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角．
故答案为：对应点；对应边；对应角．
7．（23-24七年级下·河南南阳·月考）如图，和都是等腰直角三角形，，连结、，下列叙述①将绕点逆时针旋转得到；②线段绕点顺时针旋转得到线段；　③；④绕点逆时针旋转能和重合；⑤；其中正确的是（ ）
A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．①④⑤
【答案】A
【知识点】全等三角形的概念、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解
【分析】由等腰直角三角形的性质可得出，，由旋转的性质得出①②正确；由可得出，则③正确；由旋转的概念可得出④⑤正确．本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，，
，，
将绕点逆时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
故①②正确；
，
，
；
故③正确；
，，，，
绕点逆时针旋转能和重合，
故④正确；
绕点逆时针旋转能和重合，
．
故⑤正确．
故选：A．
8．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图①，点为的平分线上一点，且不与点重合，在角的两边分别截取，连接、；如图②，在图①的射线上取异于点、的点，连接、；如图③，在图②的射线上取异于点、、的点，连接、；，在每个图形中，在同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有________对．
【答案】66
【知识点】图形类规律探索、全等三角形的概念
【分析】本题考查全等三角形的判定，规律型：图形的变化类．由特殊情况，总结出一般规律，即可得到答案．
【详解】解：第1个图形中上有2个点，全等三角形有（对；
第2个图形中上有3个点，全等三角形有（对；
第3个图形中上有4个点，全等三角形有（对，
∴第n个图形中上有个点，全等三角形有（对，
∴第11个图形中上有12个点，全等三角形有（对．
故答案为：66．
9．（24-25八年级上·上海·月考）下列命题的逆命题的表述正确的有（　　）
①“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”
②“等边对等角”的逆命题是“如果有两条边相等，那么这两条所对的角也相等”；
③“全等三角形的对应边相等”的逆命题是“一组对应边相等的两个三角形是全等三角形”；
④ “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个
【答案】C
【知识点】全等三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、写出命题的逆命题
【分析】本题主要考查了一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换即可得到原命题的逆命题，据此可得答案．
【详解】解：①“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，原说法正确；
②“等边对等角”的逆命题是“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”，原说法错误；
③“全等三角形的对应边相等”的逆命题是“三组对应边相等的两个三角形是全等三角形”，原说法错误；
④ “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”，原说法正确．
故选：C．
10．（25-26八年级上·河南周口·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．若两个三角形的3个对应角相等，则这两个三角形全等
B．在用反证法证明“等腰三角形中至少有两个锐角”时，应先假设“等腰三角形中只有一个钝角”
C．命题“面积相等的两个三角形全等”的逆命题是真命题
D．如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等
【答案】C
【知识点】全等三角形的性质、判断命题真假、写出命题的逆命题、反证法证明中的假设
【分析】根据全等三角形的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质来理解即可．
本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握基本概念是解题关键．
【详解】A．∵ 三个角对应相等只能推出相似，不能推出全等，∴ 选项A错误；
B．∵ 反证法应假设原命题的否定“等腰三角形中至多有一个锐角”，而选项B的假设不正确，∴ 选项B错误；
C．∵命题“面积相等的两个三角形全等”的逆命题是“全等的两个三角形面积相等”，这是一个真命题，∴选项C正确；
D．∵ 角的两边分别平行时，两角相等或互补，不一定相等，∴ D错误．
故选：C．
11．（25-26八年级上·河北邢台·期末），按照如图所示方式拼图时边，重合，另一顶点不重合，若，，则下列说法不正确的是（　　）
A． B．
C．四边形 为轴对称图形 D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、轴对称图形的识别
【分析】本题考查全等三角形的性质，轴对称图形的识别，三角形内角和定理的应用；根据全等三角形的性质可得，四边形 为轴对称图形，根据三角形内角和定理可得，即可求解．
【详解】解：∵，，重合，
∴，，故A选项正确，不符合题意；
∴四边形 为轴对称图形，对称轴为直线，故C选项正确，不符合题意；
∵
∴
∴，故B选项正确，不符合题意；
∵，
∴，故D选项错误，符合题意，
故选：D．
12．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，一段笔直的道路上有，，三个地点依次排列，道路同侧有两座建筑，分别是形状的公园和形状的广场，已知．测量得，则从点经点到点的拐弯角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，可得，，再根据平角的定义求解．
【详解】解： ，，，
，，
点在同一条直线上，
，
故选：C．
13．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，已知，点在线段上，，，下列关于结论Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：是等腰直角三角形；
结论Ⅱ：；
结论Ⅲ：连接，阴影部分的面积为．
A．结论Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ都对 B．只有结论Ⅰ和Ⅱ对
C．只有结论Ⅱ和Ⅲ对 D．只有结论Ⅰ和Ⅲ对
【答案】B
【知识点】全等三角形的性质、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的面积，等腰直角三角形．根据全等三角形的性质可得，，，从而可得是等腰直角三角形；然后利用对顶角相等可得，再利用三角形的内角和定理可得，最后根据三角形的面积公式可得的面积，再根据图形的面积和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：如图：
，
，，，
，
是等腰直角三角形；
，，，
，
；
的面积，
阴影部分的面积的面积的面积的面积
的面积
；
上列关于结论Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的判断正确的是Ⅰ和Ⅱ，
故选：B．
14．（25-26七年级上·山西长治·期中）如图，在中，，分别从，出发，均以每秒1个单位长度的速度沿，运动，，，，是的中点．两点同时出发，当一个点到达终点时，运动停止．设运动时间为秒，当_______秒时，与全等．
【答案】3
【知识点】全等三角形的性质、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等是关键．
根据题意得到，结合全等三角形的性质列式求解即可．
【详解】解：，分别从，出发，均以每秒1个单位长度的速度沿，运动，设运动时间为秒，
∴，
∵，是的中点，
∴，
当，时，
∵，
∴，
∴，
解得，；
当时，
又∵，
∴，
∴，
解得，，
当时，，故此种情况不符合题意；
综上所述，时，与全等．
故答案为：3 ．
15．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的是纸飞机的示意图，在折叠的过程中，使得和能够重合，和重合，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的有______（填序号）．
【答案】①②④
【知识点】全等三角形的性质、折叠问题
【分析】由折叠得，根据全等三角形性质判断①②③，进而推出，由此判断④，即可求得答案．
本题考查的是翻折变换、全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
【详解】解：由折叠得，
∴，，，
∴，，，
故结论①正确，②正确，结论③错误；
又∵，即，
故结论④正确，
综上所述，正确的有①②④，
故答案为①②④．
16．（24-25七年级下·广东深圳·期末）两个全等的三角形按如图方式摆放，其中 ．此时B，E重合，B，C，D在同一直线上．现将沿射线向右平移．在平移过程中，直线与交于点的平分线与直线交于点，则______（用含的代数式表示）．
【答案】或或
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、全等三角形的性质、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了三角形的全等的性质，角平分线的定义，平行线的性质，
根据角平分线的定义求出，利用，得，可得， 根据平行线的性质，分四种情况求解即可，
【详解】解：当点G在点A下方且点H在点F上方时，如图，
平分，
，
，
，
，
，
，
当点G在点A下方且点H在点F下方时，如图，
平分，
，
，
，
，
，
，
当点G在点A下方且点H在点E下方时，如图，
，
，
当点G在点A上方时，如图，
，
，
平分，
，
，
，
综上，的度数为．
故答案为：或或．
17．（24-25八年级下·山西晋中·期中）某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的和重叠在一起，固定不变，将沿射线平移．若的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长______．
【答案】12
【知识点】利用平移的性质求解、全等三角形的性质
【分析】本题考查平移性质，根据平移性质得到，进而可求解．
【详解】解：∵沿方向平移的距离为2，
∴，，
∵的周长为8，即，
∴
∴四边形的周长为，
故答案为：12．
18．（24-25八年级上·河南周口·月考）2024年9月10日是第40个教师节．数学老师用与教师节年月日相关的数字，编拟了一道运用全等三角形的性质和解方程等知识求解的题目：一个三角形的三边长分别是4，9，10，另一个三角形三边的长分别是4，，．若这两个三角形全等，则的值为______．
【答案】2或
【知识点】加减消元法、全等三角形的性质
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，二元一次方程组的应用；由全等三角形的性质可得或，再解方程组即可．
【详解】解：由题意得或，
当，
②①得：，
把代入②得：，
∴方程组的解为：，
∴，
当，
同理解得：
∴；
的值为2或．
故答案为：2或
19．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，绕着点B旋转（顺时针）到，且．
(1)和是否全等？如果全等，请指出对应边和对应角．
(2)直线与直线有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】(1)，对应边：与与与；对应角：与与与
(2)垂直，见解析
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键：
（1）根据全等三角形的定义，以及全等三角形的性质，进行作答即可；
（2）延长交于点，根据全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理求出，即可得出结论．
【详解】（1）解：；
∵绕着点B旋转（顺时针）到，
∴，
∴对应边为：与与与；
对应角为：与与与；
（2）直线与相互垂直，理由如下：
延长交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴直线与相互垂直．
20．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知和是对应角，，，，，．求：
(1)及的长．
(2)的度数．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的外角的性质；
（1）由全等三角形的性质可得，再进一步求解即可；
（2）由全等三角形的性质可得，再进一步利用三角形的外角的性质求解即可.
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
.
21．（24-25七年级下·江西吉安·期末）（1）计算：．
（2）如图，点、在上，，，求的长
【答案】（1）；（2）
【知识点】负整数指数幂、全等三角形的性质、零指数幂
【分析】本题主要查了零指数幂，负整数幂，全等三角形的性质：
（1）先计算零指数幂，负整数幂，再计算有理数乘法，最后计算加减即可求解；
（2）根据，可得，从而得到，由即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴．
22．（24-25八年级上·河北邢台·月考）如图，在五边形中，，．
(1)若，，求五边形的周长．（五边形的周长为五条边长的和）
(2)若，，，，当与全等时，求的值．
【答案】(1)五边形的周长为；
(2)的值为：或．
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键；
（1）由全等三角形的性质可得，，再利用五边形的周长公式计算即可；
（2）由，再分两种情况讨论：当时， 当时， 再利用全等三角形的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
∵，
∴五边形的周长为；
（2）解： ∵，
∴当时，而，，
∴，
∴，
解得：，
当时，而，，
∴，
∴，
解得：，
综上：的值为：或．
23．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，E在上，，B为垂足．
(1)试问：和垂直吗？和相等吗？
(2)分别将图中的绕点E按顺时针方向旋转，分别画出满足下列条件的图形并说出此时与中相等的边和角．
①使与重合；②使与垂直；③使与在同一直线上．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】全等三角形的性质、画旋转图形
【分析】本题考查了全等三角形的性质，是基础题，熟记全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等是解题的关键．
（1）根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，然后求出，再根据垂直的定义判定；
（2）根据要求分别作出图形，再根据全等三角形对应边相等解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图所示即为所求；
相等的边有，
相等的角有．
【考点4】创新及压轴题 （题1-5）
知识点/方法
新定义问题（如“等补四边形”）：理解定义，运用全等性质推理。
几何综合探究：折叠、旋转、平移与全等结合，通过构造全等三角形解决问题。
图形分割与重组：利用全等图形的性质计算面积、长度。
反证法与全等：结合平行线、全等三角形证明角度关系。
规律探索：从特殊到一般，归纳全等三角形对数等规律。
1.（25-26九年级上·山东·月考）【问题背景】
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了相关图形研究经验，请运用已有经验，完成下面研究．
定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．
【问题提出】
利用测量的方法，识别下列四个图形（都是利用两个直角三角板拼成的）是不是等补四边形．
【方案设计】
甲组同学提出利用学习过的“多边形的内角和”，通过测量的方法量出三角板锐角度数，根据等补四边形的定义解答，
【测量工具】量角器、铅笔、纸等．
【操作步骤】
分别测量出每个直角三角形的一个锐角，并且标上度数，如下图所示：
【问题解决】（1）用三角板拼出如图所示的4个四边形，其中是等补四边形的有______（填写序号）．
【交流讨论】
（2）乙组同学提出，利用测量的方法不光麻烦，也有测量误差，不如利用推理证明，例如：下面的问题就可以推理证明来解答：如图所示，是等边三角形，在上任取一点D（B、C除外），连接，把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点为E．请根据给出的定义判断，四边形是否为等补四边形，并说明理由．
【定义应用】
（3）丙组同学根据定义得出等补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图所示，四边形是等补四边形，，是它的一条对角线．小组成员结合图形得到猜想：平分，请你对猜想进行证明．
【拓展反思】
（4）丁组同学认为学以致用，提出如下问题：如图所示，在等补四边形ABCD中，，，若四边形的面积为8，求的长．你能帮他们完成吗？
【答案】（1）②④（2）是等补四边形，理由见解析（3）见解析（4）
【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解、全等三角形的性质
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等知识点，解题的关键是正确理解新定义．
（1）根据等补四边形的定义并结合图形即可求解；
（2）由旋转得，而，故，即可证明；
（3）设，将绕着点A顺时针旋转m度得到，则，结合已知可得，则C，B，E三点共线，再由等腰三角形的性质即可求证；
（4）将绕点B顺时针旋转得，则，然后证明D、C、G三点共线，由，得到，即可求解．
【详解】解：（1）①中两组对角的和为，，且邻边不相等，故不是等补四边形；
②中有一组对角的和为，且根据等腰直角三角形得到一组邻边相等，故是等补四边形；
③中两组对角的和为，，故不是等补四边形；
④中有一组对角的和为，且根据两个全等的直角三角形得到一组邻边相等，故是等补四边形；
∴是等补四边形的有②④；
故答案为：②④
（2）是等补四边形，
理由：由旋转得，
，
，
四边形是等补四边形；
（3）设，将绕着点A顺时针旋转m度得到，
，
，
，
，
C，B，E三点共线，
在中，，
，
，即：平分；
（4）如图所示，，
∴将绕点B顺时针旋转得，
，
∵
，
，
D、C、G三点共线，
，
，
（负值舍去）．
2.（25-26八年级上·山西吕梁·期中）阅读与思考：请阅读下面材料完成相应任务．
关于三角形边角之间关系的探究 问题情境：我们知道，在三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等，即“等角对等边”那么，在三角形中，有两个角不相等，这两个角所对的边有什么数量关系呢？同学们借助等腰三角形判定定理的探究与证明过程，进行了如下探索． 回顾梳理：已知：在中，． 求证：． 证明：如图1，过点作于点．． 在和中， ， ． （依据1） 解后反思：上述过程中，辅助线的作用是将分成两个三角形，通过证明这两个三角形全等，得到，体现了转化的思想方法． 深入探究：如图2，在中，如果，那么与的大小关系如何？ 直观猜想：． 操作验证：折叠，使点与点重合． 因为，所以折叠后一条边落在的内部，与边交于点，从而发现了证明的思路． 推理论证：， 在内部作一个，的边与边交于点． （依据2）． 在中，， …… 拓广探究：如图3，在中，如果．那么与的大小关系如何？……
任务：
(1)①上述推理过程中依据1是指________；依据2是指________；
②请补全“深入探究”中推理论证的过程；
(2)请写出“拓广探究”中问题的结论，并证明你的结论．
【答案】(1)①全等三角形的对应边相等；等角对等边．②推理过程见解析
(2)，证明见解析
【知识点】全等三角形的性质、等边对等角、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、等边对等角、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
（1）①根据全等三角形的性质以及等角对等边即可解答；②根据等量代换以及线段和差即可解答；
（2）如图：在边上截取，则点在边上，在内部，连接，根据等边对等角可得，再由外角大于不相邻内角可得，由，从而证明结论．
【详解】（1）解：①∵．
（全等三角形的对应边相等）；
∵在内部作一个，的边与边交于点．
（等角对等边）．
故答案为：全等三角形的对应边相等，等角对等边．
②在中，，
，即．
（2）解：，理由如下：
，
如图：在边上截取，则点在边上，在内部
是的一个外角，
，
又在内，
．
3．（24-25七年级下·上海闵行·期中）（1）反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法．
如图1，已知：与是直线被直线所截得到的一对内错角，，直线分别与直线相交于点．
求证：
证明：假设______，过点N画一条直线，使得，如图2所示，根据______，可得，又因为，这样直线都过点N，这与______矛盾．
说明假设不成立，所以．
（2）如图3，已知，求的度数．
解：
____________（ ）
又
又 =（ ）
（ ）
【答案】（1）；内错角相等，两直线平行；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；（2）；；全等三角形对应角相等；；；；；；三角形外角的性质；；；全等三角形对应角相等
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质
【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质，平行线的唯一性，三角形外角的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据题意先假设，过点N画一条直线，使得，则可证明，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得矛盾点，据此求解即可；
（2）根据全等三角形对应角相等得到，则可求出的度数，再由三角形外角的性质和已知条件求出的度数，则可根据全等三角形的性质得到答案．
【详解】（1）证明：假设，过点N画一条直线，使得，如图2所示，根据内错角相等，两直线平行，可得，又因为，这样直线都过点N，这与过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行矛盾．
说明假设不成立，所以．
（2）解：
（全等三角形对应角相等）
又
，
又（三角形外角的性质）
（全等三角形对应角相等）
4．（23-24八年级上·江西上饶·月考）课本再现：如图，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等，我们把这种图形的变换叫全等变换．

生活体验：（1）数学作图工具中有一个三角尺是等腰直角三角形，它的两个锐角相等，都是______．
问题解决：（2）如图1，在等腰直角三角形中，为边上的一点（不与点重合），连接，把绕点顺时针旋转后，得到，点与点恰好重合，连接．
①填空：____________．
②若，求的度数．
结论猜想：（3）如图1，如果是直线上的一点（不与点重合），其他条件不变，请猜想与的数量关系，并直接写出猜想结论．

【答案】（1）；（2）①，；②；（3）或
【知识点】三角形内角和定理的证明、全等三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解
【分析】（1）根据等腰直角三角形的两个锐角相等，三角形内角和定理，即可求解；
（2）①根据旋转可得，可得，进而可得即可求解；
②根据三角形的内角和定理可得，根据全等三角形的性质 ，进而根据①可得是等腰直角三角形，即可得出，根据，即可求解；
（3）分三种情况讨论，当在的延长线上、线段上，的延长线上，分别画出图形根据（2）而的方法，即可求解．
【详解】解：（1）∵三角形的内角和为180°，等腰直角三角形的两个锐角相等，
∴它的两个锐角都是；
故答案为：．
（2）①根据旋转可得，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
故答案为：．
②∵等腰直角三角形中，，
∴，
∵，
∴
∵
∴
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴
（3）当在上时，

∵，
∵
∴
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴
即；
当在的延长线上时，如图所示，

∵，
∵
∴
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴
即；
当在的延长线上，如图所示，

∵，
∵
∴
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴
即；
综上所述，或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
5．（25-26九年级上·上海虹口·期中）某学习小组对梯形的分割与图形的组合展开研究．
现有一张直角梯形纸片（如图1），，．

(1)有一张直角梯形纸片（如图2），，，．将这张纸片沿对角线剪开，并将剪出的通过图形的运动，使点M、Q分别与点A、D重合，从而拼成一个（如图3），请完成填空：的值是 ；的值是 ；
(2)有一张直角梯形纸片（如图4），，．请设计一种方法，用一条直线l将梯形纸片分割成两个部分，使得其中一个部分（记为图形S）通过图形的运动能与梯形纸片（图1）拼成一个无重叠的直角三角形．
要求：①在答题纸图4的梯形EFGH纸片上画出直线l；
②写出直线l的与梯形的边的交点位置；
（简述语言示例：点Q是梯形的顶点，点P是边的一个四等分点）
③直接写出图形S与梯形的面积比．
【答案】(1)．
(2)①见详解；②点O是的一个三等分点；③
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、成比例线段、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、直角梯形的定义
【分析】本题考查直角梯形，平行线间线段成比例，矩形的判定与性质，全等三角形的判定，平行公理的推论，等腰三角形的性质，掌握知识点是解题的关键．
（1）先求出，过点Q作于点E，推导出四边形是矩形，得到 ，继而推导出，，得到，则，得到，即可解答．
（2）在上截取，证明，则符合题意；过点O作交于点P，过点H作于点M交w于点N，，四边形是矩形，四边形是矩形，得到，推导出，，得到，则，即可解答．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
过点Q作于点E，如图

∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴
由图3，图2，可得
，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）如图，在上截取，作直线，即直线，

∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴符合题意，
如下图，过点O作交于点P，过点H作于点M交于点N，

由（1），同理可得，，
∵，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
同理可得四边形是矩形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即O点是的一个三等分点，
∴．
随堂检测 · 精选练习
练习1 全等图形对应边相等（求未知边）
练习2 全等三角形面积差与点到两边距离和（等积变形）
练习3 全等图形拼接与面积比
练习4 全等三角形对应边相等及线段和差
练习5 全等三角形对应边相等及垂直关系
1．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图是两个全等的四边形，根据图中所标注的数值可知：在四边形中，_________；在四边形中，_________，_________．
【答案】 10 H 6
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题考查了全等形的性质，根据全等形的对应边相等，对应角相等求解即可．
【详解】解：∵四边形和四边形全等，
∴，，，
故答案为：10，H，6．
2．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为__________．
【答案】
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，根据全等三角形的性质得到，再根据图形面积之间的关系可得，设点P到线段和线段的距离分别为，连接，根据三角形面积计算公式可得，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵的面积比的面积大25，
∴，
设点P到线段和线段的距离分别为，连接，
∵，
∴，
∴，
∴点到线段和线段的距离之和为，
故答案为：．
3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则_____．
【答案】/
【知识点】图形的全等
【分析】本题主要考查了全等图形的性质、正方形面积公式等知识，理解全等图形的性质是解题关键．设，则，易得，故有，结合全等图形的性质可得，易得，然后可求得，即可获得答案．
【详解】解：如下图，
∵，
可设，，
∴，
∴，
由全等三角形的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
4．（24-25八年级上·云南昭通·月考）如图，，和，和是对应边，四个点A、F、E、C在同一条直线上，若，，则______．
【答案】1
【知识点】线段的和与差、全等三角形的性质
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质， 线段的和差关系， 由全等三角形的性质得性质可得出， 根据线段的和差关系可得出，，代入，，即可得出答案．
【详解】解：∵，和，和是对应边，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：1．
5．（24-25八年级上·河北沧州·月考）如图，，A、B、D三点在一条直线上；
（1）线段和的位置关系是：_________；
（2）若，，则的长为________．
【答案】 6
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的性质和平角的定义，熟练掌握全等三角形对应边、对应角相等是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质和平角的定义即可求解；
（2）根据全等三角形的对应边相等，即，，即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵A、B、D三点在一条直线上，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
课后巩固 · 核心作业
题1 全等三角形对应边相等求线段长
题2 全等图形面积比较
题3 全等三角形对应边相等求线段差
题4 全等三角形动点问题分类讨论求速度
题5 全等三角形变换与重合判断
题6 全等三角形测量原理（对应边相等）
题7 全等三角形对应边相等求线段
题8 旋转与全等求角度
题9 全等三角形、等腰三角形、内角和综合
题10 全等多边形对应边、对应角
题11 全等三角形周长、角度、数量关系（分类讨论）
题12 全等三角形证明平行（利用对应角相等）
题13 全等图形与旋转、面积计算
题14 全等三角形综合（角度、周长、取值范围）
题15 折叠与全等、角度、边角关系
题16 全等图形变换、对应元素
※ 复习建议 熟练掌握全等三角形的性质，灵活运用对应边相等、对应角相等；注意动点问题中全等的分类讨论；理解全等变换与全等的关系；在综合题中善于构造全等三角形。
1．（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，这是某大桥及其侧面示意图，，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的性质．
根据全等三角形的性质得到，进而可求的长．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：D．
2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　）
A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系
【答案】A
【知识点】图形的全等
【分析】此题考查了全等图形，根据图示可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形，进而利用全等图形的性质解答即可，解题的关键是根据三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形解答．
【详解】解：如图，
由图可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形，
∴，，
∴图中阴影部分小于余下白色部分的面积，
故选：．
3．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，若，且，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．2.5
【答案】B
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，证明，再进一步可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B
4．（25-26八年级上·河北沧州·月考）如图，于点，于点，且，，点由点向点运动，速度为，点由点向点运动，速度为，，两点同时出发，当与全等时，求的值．
嘉嘉的答案是，
淇淇说：“嘉嘉考虑的不全面，还应该有另外一个值”．
下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说得不对，就是 B．淇淇说得对，的另外一个值是
C．淇淇说得对，的另外一个值是 D．两人都不对，应有三个不同的值
【答案】B
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的性质，分为当时，当时两种情况分析即可，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：当时，，，
则点的运动时间，
∵，
∴，
则，
当时，，，
则点的运动时间，
则，
综上所述：淇淇说得对，的另外一个值是，
故选： ．
5．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，点，在的边上，且，下列说法错误的是（ ）
A．经过平移可与重合，平移的距离为的长
B．将沿的垂直平分线翻折，可与重合
C．将沿的垂直平分线翻折，可与重合
D．将绕的中点逆时针旋转，不能与重合
【答案】A
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的性质，旋转与平移的性质，无论旋转还是平移，运动后的图形与原图形是全等的．
【详解】解：∵，
∴，，，
A、经过平移距离为的长，和重合，点A不重合，故不能与重合，故A选项错误，符合题意；
B、将沿的垂直平分线翻折，可与重合，正确，不符合题意；
C、将沿的垂直平分线翻折，可与重合，正确，不符合题意；
D、将绕的中点逆时针旋转，和重合，点A不重合，故不能与重合，正确，不符合题意．
故选：A．
6．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）利用三角形全等测量距离的原理是_____．
【答案】全等三角形的对应边相等
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，这样可以把不易测量的距离转化成容易测量的距离，据此可得答案．
【详解】解；利用三角形全等测量距离的原理是全等三角形的对应边相等．
故答案为：全等三角形的对应边相等．
7．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，A与D，C与E分别是对应顶点，点E在线段上，，，则的长为____．
【答案】6
【知识点】全等三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质和线段的和差即可得到结论．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
故答案为：6．
8．（24-25九年级上·广东韶关·期中）数学课堂上，为探究旋转的性质，同学们进行了如下操作：如图所示，将一个三角形硬纸板，放置在一张白纸上，描出硬纸板的形状，并用图钉固定点A，将三角形硬纸板绕点A顺时针旋转一定角度后，再描出形状得到，经测量，则_______．
【答案】/35度
【知识点】全等三角形的性质、根据旋转的性质求解
【详解】解：将三角形硬纸板绕点A顺时针旋转一定角度，根据旋转的性质，旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的方向，
，
， ，
，
，，
，
故答案为：．
9．（2024·山东菏泽·三模）如图，中，，，点D在边上，交于点F，若，则的度数是 _________．
【答案】/108度
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、等边对等角
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的利用全等三角形的性质解决问题是关键．由题意可得，进而可得，，据此即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
10．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图所示的是两个全等的五边形，，，，，，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，则图中标的____________，____________°．
【答案】 11 115
【知识点】图形的全等
【分析】此题考查了全等多边形的性质，根据全等多边形对应边相等，对应角相等求解即可．
【详解】∵五边形和五边形全等
∴，
故答案为：11，115．
11．（25-26八年级上·河北沧州·月考）如图，如图，在中，是射线上一点，点在的右侧，连接，和，且．
(1)如图，若点在线段上，且周长为，则的周长为______．
(2)如图，若点在线段的延长线上，平分，，求的度数；
(3)若点在射线上，求，与之间的数量关系．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【知识点】角平分线的有关计算、全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由全等三角形性质可得周长的周长；
（）由，得，，所以，即，然后通过三角形内角和定理即可求解；
（）分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时两种情况分析即可．
【详解】（1）解：∵，
∴周长的周长，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，，，
∴，，
即，
∵平分，
∴，
在中，，
∴；
（3）解：当点在线段上时，
∵，
∴，
∴；
当点在线段的延长线上时，
∵，
∴，
∴；
综上，或．
12．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，E与F是对应顶点．证明．
【答案】见解析
【知识点】全等三角形的性质、内错角相等两直线平行、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形外角的定义和性质、平行线的判定等知识，首先根据全等三角形的性质得出，，根据三角形外角性质求出，根据平行线的判定得出即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
13．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图1，有公共顶点的长方形与长方形全等，点G，D分别在边上，与交于点H，连接，交于点M．
(1)长方形与长方形全等吗？答：______（填“全等”或“不一定全等”）；
(2)长方形可以看成是长方形绕点______逆时针旋转______°得到的；
(3)如图2，连接，如果．求的面积．
【答案】(1)全等
(2)，
(3)
【知识点】图形的全等、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了全等图形与旋转的性质，熟练掌握全等图形的性质以及旋转的性质是解题的关键；
（1）根据全等图形的定义，进行判断，即可求解．
（2）根据旋转的性质可得旋转中心为对应点连线的垂直平分线上，根据图形的特点求得旋转中心与旋转角，即可求解；
（3）根据的面积 ，即可求解．
【详解】（1）解：由于对应边相等，对应角相等，
∴长方形与长方形全等
故答案为：全等．
（2）长方形可以看成是长方形绕点逆时针旋转得到的；
故答案为：，．
（3）解：∵长方形与长方形全等，，
∴,
∴的面积
14．（24-25八年级上·河北廊坊·月考）如图，，点在边上（不与点，重合），与交于点．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求与的周长和；
(3)已知，若是锐角三角形，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是：
（1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可；
（2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可；
（3）设，利用三角形的内角和定理可求出，然后利用三角形外角的性质以及锐角三角形的特点列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解∶∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
（2）解：∵，，，
∴，，
与的周长和为
；
（3）解：设，
∵，
∴，，
∵是锐角三角形，
∴，，
∴，
解得，即．
15．（23-24八年级上·江苏南京·期中）[问题背景]
如图①，将沿折痕翻折，使点C落在边上点处，已知，，求的度数；
[变式运用]
如图②，在中，，求证：．
【答案】[问题背景]；[变式运用]见解析
【知识点】全等三角形的性质、折叠问题
【分析】本题考查翻折变换的性质，全等三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是：
[问题背景]问题①根据折叠的性质可得，继而得到，再根据三角形外角的性质可得结论；
[变式运用]利用①的方法，将沿折痕翻折，点C的对应点为点，可得，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质即可得证．
【详解】解：[问题背景]∵沿折痕翻折，，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为；
[变式运用]证明：如图，沿折痕翻折，点C的对应点为点，
∵，
∴点落在边上，
∴，
∴，
∵，
∴．
16．（2025七年级下·全国·专题练习）项目主题：探索全等的图形
素材一：轴对称、平移与旋转都是由现实世界广泛存在的某些现象而抽象得到的基本变换，反映了图形与图形之间的变化关系．在这样的变换下图形中任意两点之间的距离保持不变，从而使得线段的长度、角的大小乃至整个图形的形状和大小基本不发生变化．
素材二：我们知道一个图形经过轴对称、平移和旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等；反过来，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合．
素材三：全等的性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等；全等多边形的对应边、对应角分别相等；全等的判定：如果两个三角形的边、角分别相等，那么这两个三角形全等；如果两个多边形的边、角分别对应相等，那么这两个多边形全等．
任务一：如图1，在的方格纸上有，且．请说出：是通过怎样的变化得到和．
任务二：如图2，，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F．你知道是怎样的变换得到的吗？请画出示意图解答；
任务三：请借助三角形全等的知识，解决有关多边形全等的问题．图3所示的是两个全等的五边形，，指出它们的对应顶点、对应边与对应角，并说出图中标的a，b，c，e，α各字母所表示的值．
【答案】任务一：见解析；任务二：见解析；任务三：见解析
【知识点】图形的全等、利用平移的性质求解、根据旋转的性质求解
【分析】本题主要考查平移，轴对称，旋转，全等三角形的性质，熟练掌握性质定理，找出对应边是解题的关键．任务一根据题意即可知道平移方式；任务二由全等得到对应边，对应角即可得到答案；任务三分别求出对应点，对应边，对应角即可得到答案．
【详解】任务一：解：在图1中，将向右平移两格，向上平移一格得到．将向右平移一格，向下平移三格得到．
任务二：解：如图所示：
绕点旋转得到；
任务三：解：对应顶点：和和和和和对应边：和和和和和；对应角：和和和和和；
两个五边形全等，
．专题17.3 全等三角形及其性质 优等生讲义
(4类考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标
理解 全等图形的概念，能识别全等图形。
掌握 全等三角形的定义、对应元素及表示方法。
理解并掌握 全等三角形的性质（对应边相等，对应角相等）。
能运用 全等三角形的性质解决线段相等、角相等以及几何计算问题。
体会 图形变换（平移、旋转、轴对称）与全等的关系，感受转化思想。
核心思想：全等三角形的对应边相等、对应角相等，是证明线段和角相等的重要工具。
知识梳理（详细版）
☆ 全等图形
定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
性质：全等图形的形状和大小完全相同，只是位置可能不同。
全等变换：平移、旋转、轴对称前后的图形全等。
☆ 全等三角形
定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
对应元素：重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。
表示方法：用符号“≌”表示，如 △ABC≌△DEF，对应顶点写在对应位置。
☆ 全等三角形的性质
对应边相等：AB=DE,BC=EF,CA=FD。
对应角相等：∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F。
周长相等，面积相等。
对应线段（中线、高、角平分线）相等。
☆ 全等变换
平移：图形沿某方向移动，形状大小不变。
旋转：图形绕某点转动一定角度，形状大小不变。
轴对称：图形沿某直线翻折，形状大小不变。
两个全等三角形总可以通过一次或多次上述变换互相重合。
☆ 全等三角形的应用
测量不可直接到达的距离（构造全等三角形）。
证明线段相等、角相等。
计算角度、长度，解决几何综合题。
☆ 知识总结表
类别 内容 性质/应用
全等图形 能够完全重合的图形 形状相同，大小相等；平移、旋转、轴对称前后全等
全等三角形 能够完全重合的两个三角形 对应边相等，对应角相等；周长、面积相等；对应线段相等
对应元素 对应顶点、对应边、对应角 根据重合确定，表示时对应顶点写在对应位置
全等变换 平移、旋转、轴对称 不改变图形形状和大小，只改变位置
应用 测量、证明、计算 利用全等性质转化线段和角
核心考点 · 4类考点题型精讲
【考点1】图形的全等 （题1-3）
知识点/方法
全等图形的识别：能够完全重合，即形状和大小完全相同。
全等图形的性质：对应部分（边、角）相等，可通过分割、拼图验证。
利用全等图形解决面积、周长问题，常结合方程思想。
1．（2025八年级上·全国·专题练习）刺绣是中国古老的手工技艺之一，已经有2000多年的历史，下列是几组刺绣作品图片，其中是全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西·模拟预测）如图，边长为的正方形纸片被分成全等的四部分（图），阴影四边形的最短边为，将其重新拼接得到新的正方形（图），则如图小正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·月考）2025年国际篮联亚洲杯在沙特阿拉伯吉达举行，中国男篮获得亚军，女篮获得季军．下列与体育赛事相关的图标中，是由同一种全等图形组合而成的是（ ）
A． B． C． D．
【考点2】全等三角形的概念 （题4-5）
知识点/方法
全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形。
对应顶点、对应边、对应角的确定：根据重合或几何位置判断。
全等三角形的表示：用“≌”连接，对应顶点写在对应位置。
新定义问题（如“伴生数”）：理解题意，结合全等概念分类讨论。
4．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边．
5．（25-26八年级上·北京海淀·期中）已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数．
（1）若，，则伴生数为______；
（2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______．
【考点3】全等三角形的性质 （题6-23）
知识点/方法
全等三角形对应边相等、对应角相等，是核心性质。
利用性质求线段长度、角度大小，常结合方程、方程组。
全等三角形与旋转、平移、轴对称结合，分析图形变换。
全等三角形与动点问题：分类讨论不同对应情况。
全等三角形的面积相等、周长相等，可用于等积变换。
全等三角形对应线段（中线、高、角平分线）相等，可推导更多结论。
6．（24-25八年级上·全国·期中）全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫______，重合的边叫_____，重合的角叫______．
7．（23-24七年级下·河南南阳·月考）如图，和都是等腰直角三角形，，连结、，下列叙述①将绕点逆时针旋转得到；②线段绕点顺时针旋转得到线段；　③；④绕点逆时针旋转能和重合；⑤；其中正确的是（ ）
A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．①④⑤
8．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图①，点为的平分线上一点，且不与点重合，在角的两边分别截取，连接、；如图②，在图①的射线上取异于点、的点，连接、；如图③，在图②的射线上取异于点、、的点，连接、；，在每个图形中，在同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有________对．
9．（24-25八年级上·上海·月考）下列命题的逆命题的表述正确的有（　　）
①“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”
②“等边对等角”的逆命题是“如果有两条边相等，那么这两条所对的角也相等”；
③“全等三角形的对应边相等”的逆命题是“一组对应边相等的两个三角形是全等三角形”；
④ “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个
10．（25-26八年级上·河南周口·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．若两个三角形的3个对应角相等，则这两个三角形全等
B．在用反证法证明“等腰三角形中至少有两个锐角”时，应先假设“等腰三角形中只有一个钝角”
C．命题“面积相等的两个三角形全等”的逆命题是真命题
D．如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等
11．（25-26八年级上·河北邢台·期末），按照如图所示方式拼图时边，重合，另一顶点不重合，若，，则下列说法不正确的是（　　）
A． B．
C．四边形 为轴对称图形 D．
12．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，一段笔直的道路上有，，三个地点依次排列，道路同侧有两座建筑，分别是形状的公园和形状的广场，已知．测量得，则从点经点到点的拐弯角的度数为（ ）
A． B． C． D．
13．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，已知，点在线段上，，，下列关于结论Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：是等腰直角三角形；
结论Ⅱ：；
结论Ⅲ：连接，阴影部分的面积为．
A．结论Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ都对 B．只有结论Ⅰ和Ⅱ对
C．只有结论Ⅱ和Ⅲ对 D．只有结论Ⅰ和Ⅲ对
14．（25-26七年级上·山西长治·期中）如图，在中，，分别从，出发，均以每秒1个单位长度的速度沿，运动，，，，是的中点．两点同时出发，当一个点到达终点时，运动停止．设运动时间为秒，当_______秒时，与全等．
15．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的是纸飞机的示意图，在折叠的过程中，使得和能够重合，和重合，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的有______（填序号）．
16．（24-25七年级下·广东深圳·期末）两个全等的三角形按如图方式摆放，其中 ．此时B，E重合，B，C，D在同一直线上．现将沿射线向右平移．在平移过程中，直线与交于点的平分线与直线交于点，则______（用含的代数式表示）．
17．（24-25八年级下·山西晋中·期中）某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的和重叠在一起，固定不变，将沿射线平移．若的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长______．
18．（24-25八年级上·河南周口·月考）2024年9月10日是第40个教师节．数学老师用与教师节年月日相关的数字，编拟了一道运用全等三角形的性质和解方程等知识求解的题目：一个三角形的三边长分别是4，9，10，另一个三角形三边的长分别是4，，．若这两个三角形全等，则的值为______．
19．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，绕着点B旋转（顺时针）到，且．
(1)和是否全等？如果全等，请指出对应边和对应角．
(2)直线与直线有怎样的位置关系？请说明理由．
20．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知和是对应角，，，，，．求：
(1)及的长．
(2)的度数．
21．（24-25七年级下·江西吉安·期末）（1）计算：．
（2）如图，点、在上，，，求的长
22．（24-25八年级上·河北邢台·月考）如图，在五边形中，，．
(1)若，，求五边形的周长．（五边形的周长为五条边长的和）
(2)若，，，，当与全等时，求的值．
23．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，E在上，，B为垂足．
(1)试问：和垂直吗？和相等吗？
(2)分别将图中的绕点E按顺时针方向旋转，分别画出满足下列条件的图形并说出此时与中相等的边和角．
①使与重合；②使与垂直；③使与在同一直线上．
【考点4】创新及压轴题 （题1-5）
知识点/方法
新定义问题（如“等补四边形”）：理解定义，运用全等性质推理。
几何综合探究：折叠、旋转、平移与全等结合，通过构造全等三角形解决问题。
图形分割与重组：利用全等图形的性质计算面积、长度。
反证法与全等：结合平行线、全等三角形证明角度关系。
规律探索：从特殊到一般，归纳全等三角形对数等规律。
1．（25-26九年级上·山东·月考）【问题背景】
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了相关图形研究经验，请运用已有经验，完成下面研究．
定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．
【问题提出】
利用测量的方法，识别下列四个图形（都是利用两个直角三角板拼成的）是不是等补四边形．
【方案设计】
甲组同学提出利用学习过的“多边形的内角和”，通过测量的方法量出三角板锐角度数，根据等补四边形的定义解答，
【测量工具】量角器、铅笔、纸等．
【操作步骤】
分别测量出每个直角三角形的一个锐角，并且标上度数，如下图所示：
【问题解决】（1）用三角板拼出如图所示的4个四边形，其中是等补四边形的有______（填写序号）．
【交流讨论】
（2）乙组同学提出，利用测量的方法不光麻烦，也有测量误差，不如利用推理证明，例如：下面的问题就可以推理证明来解答：如图所示，是等边三角形，在上任取一点D（B、C除外），连接，把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点为E．请根据给出的定义判断，四边形是否为等补四边形，并说明理由．
【定义应用】
（3）丙组同学根据定义得出等补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图所示，四边形是等补四边形，，是它的一条对角线．小组成员结合图形得到猜想：平分，请你对猜想进行证明．
【拓展反思】
（4）丁组同学认为学以致用，提出如下问题：如图所示，在等补四边形ABCD中，，，若四边形的面积为8，求的长．你能帮他们完成吗？
2．（25-26八年级上·山西吕梁·期中）阅读与思考：请阅读下面材料完成相应任务．
关于三角形边角之间关系的探究 问题情境：我们知道，在三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等，即“等角对等边”那么，在三角形中，有两个角不相等，这两个角所对的边有什么数量关系呢？同学们借助等腰三角形判定定理的探究与证明过程，进行了如下探索． 回顾梳理：已知：在中，． 求证：． 证明：如图1，过点作于点．． 在和中， ， ． （依据1） 解后反思：上述过程中，辅助线的作用是将分成两个三角形，通过证明这两个三角形全等，得到，体现了转化的思想方法． 深入探究：如图2，在中，如果，那么与的大小关系如何？ 直观猜想：． 操作验证：折叠，使点与点重合． 因为，所以折叠后一条边落在的内部，与边交于点，从而发现了证明的思路． 推理论证：， 在内部作一个，的边与边交于点． （依据2）． 在中，， …… 拓广探究：如图3，在中，如果．那么与的大小关系如何？……
任务：
(1)①上述推理过程中依据1是指________；依据2是指________；
②请补全“深入探究”中推理论证的过程；
(2)请写出“拓广探究”中问题的结论，并证明你的结论．
3．（24-25七年级下·上海闵行·期中）（1）反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法．
如图1，已知：与是直线被直线所截得到的一对内错角，，直线分别与直线相交于点．
求证：
证明：假设______，过点N画一条直线，使得，如图2所示，根据______，可得，又因为，这样直线都过点N，这与______矛盾．
说明假设不成立，所以．
（2）如图3，已知，求的度数．
解：
____________（ ）
又
又 =（ ）
（ ）
4．（23-24八年级上·江西上饶·月考）课本再现：如图，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等，我们把这种图形的变换叫全等变换．

生活体验：（1）数学作图工具中有一个三角尺是等腰直角三角形，它的两个锐角相等，都是______．
问题解决：（2）如图1，在等腰直角三角形中，为边上的一点（不与点重合），连接，把绕点顺时针旋转后，得到，点与点恰好重合，连接．
①填空：____________．
②若，求的度数．
结论猜想：（3）如图1，如果是直线上的一点（不与点重合），其他条件不变，请猜想与的数量关系，并直接写出猜想结论．

5．（25-26九年级上·上海虹口·期中）某学习小组对梯形的分割与图形的组合展开研究．
现有一张直角梯形纸片（如图1），，．

(1)有一张直角梯形纸片（如图2），，，．将这张纸片沿对角线剪开，并将剪出的通过图形的运动，使点M、Q分别与点A、D重合，从而拼成一个（如图3），请完成填空：的值是 ；的值是 ；
(2)有一张直角梯形纸片（如图4），，．请设计一种方法，用一条直线l将梯形纸片分割成两个部分，使得其中一个部分（记为图形S）通过图形的运动能与梯形纸片（图1）拼成一个无重叠的直角三角形．
要求：①在答题纸图4的梯形EFGH纸片上画出直线l；
②写出直线l的与梯形的边的交点位置；
（简述语言示例：点Q是梯形的顶点，点P是边的一个四等分点）
③直接写出图形S与梯形的面积比．
随堂检测 · 精选练习
练习1 全等图形对应边相等（求未知边）
练习2 全等三角形面积差与点到两边距离和（等积变形）
练习3 全等图形拼接与面积比
练习4 全等三角形对应边相等及线段和差
练习5 全等三角形对应边相等及垂直关系
1．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图是两个全等的四边形，根据图中所标注的数值可知：在四边形中，_________；在四边形中，_________，_________．
2．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为__________．
3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则_____．
4．（24-25八年级上·云南昭通·月考）如图，，和，和是对应边，四个点A、F、E、C在同一条直线上，若，，则______．
5．（24-25八年级上·河北沧州·月考）如图，，A、B、D三点在一条直线上；
（1）线段和的位置关系是：_________；
（2）若，，则的长为________．
课后巩固 · 核心作业
题1 全等三角形对应边相等求线段长
题2 全等图形面积比较
题3 全等三角形对应边相等求线段差
题4 全等三角形动点问题分类讨论求速度
题5 全等三角形变换与重合判断
题6 全等三角形测量原理（对应边相等）
题7 全等三角形对应边相等求线段
题8 旋转与全等求角度
题9 全等三角形、等腰三角形、内角和综合
题10 全等多边形对应边、对应角
题11 全等三角形周长、角度、数量关系（分类讨论）
题12 全等三角形证明平行（利用对应角相等）
题13 全等图形与旋转、面积计算
题14 全等三角形综合（角度、周长、取值范围）
题15 折叠与全等、角度、边角关系
题16 全等图形变换、对应元素
※ 复习建议 熟练掌握全等三角形的性质，灵活运用对应边相等、对应角相等；注意动点问题中全等的分类讨论；理解全等变换与全等的关系；在综合题中善于构造全等三角形。
1．（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，这是某大桥及其侧面示意图，，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　）
A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系
3．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，若，且，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．2.5
4．（25-26八年级上·河北沧州·月考）如图，于点，于点，且，，点由点向点运动，速度为，点由点向点运动，速度为，，两点同时出发，当与全等时，求的值．
嘉嘉的答案是，
淇淇说：“嘉嘉考虑的不全面，还应该有另外一个值”．
下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说得不对，就是 B．淇淇说得对，的另外一个值是
C．淇淇说得对，的另外一个值是 D．两人都不对，应有三个不同的值
5．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，点，在的边上，且，下列说法错误的是（ ）
A．经过平移可与重合，平移的距离为的长
B．将沿的垂直平分线翻折，可与重合
C．将沿的垂直平分线翻折，可与重合
D．将绕的中点逆时针旋转，不能与重合
6．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）利用三角形全等测量距离的原理是_____．
7．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，A与D，C与E分别是对应顶点，点E在线段上，，，则的长为____．
8．（24-25九年级上·广东韶关·期中）数学课堂上，为探究旋转的性质，同学们进行了如下操作：如图所示，将一个三角形硬纸板，放置在一张白纸上，描出硬纸板的形状，并用图钉固定点A，将三角形硬纸板绕点A顺时针旋转一定角度后，再描出形状得到，经测量，则_______．
9．（2024·山东菏泽·三模）如图，中，，，点D在边上，交于点F，若，则的度数是 _________．
10．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图所示的是两个全等的五边形，，，，，，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，则图中标的____________，____________°．
11．（25-26八年级上·河北沧州·月考）如图，如图，在中，是射线上一点，点在的右侧，连接，和，且．
(1)如图，若点在线段上，且周长为，则的周长为______．
(2)如图，若点在线段的延长线上，平分，，求的度数；
(3)若点在射线上，求，与之间的数量关系．
12．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，E与F是对应顶点．证明．
13．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图1，有公共顶点的长方形与长方形全等，点G，D分别在边上，与交于点H，连接，交于点M．
(1)长方形与长方形全等吗？答：______（填“全等”或“不一定全等”）；
(2)长方形可以看成是长方形绕点______逆时针旋转______°得到的；
(3)如图2，连接，如果．求的面积．
14．（24-25八年级上·河北廊坊·月考）如图，，点在边上（不与点，重合），与交于点．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求与的周长和；
(3)已知，若是锐角三角形，请直接写出的取值范围．
15．（23-24八年级上·江苏南京·期中）[问题背景]
如图①，将沿折痕翻折，使点C落在边上点处，已知，，求的度数；
[变式运用]
如图②，在中，，求证：．
16．（2025七年级下·全国·专题练习）项目主题：探索全等的图形
素材一：轴对称、平移与旋转都是由现实世界广泛存在的某些现象而抽象得到的基本变换，反映了图形与图形之间的变化关系．在这样的变换下图形中任意两点之间的距离保持不变，从而使得线段的长度、角的大小乃至整个图形的形状和大小基本不发生变化．
素材二：我们知道一个图形经过轴对称、平移和旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等；反过来，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合．
素材三：全等的性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等；全等多边形的对应边、对应角分别相等；全等的判定：如果两个三角形的边、角分别相等，那么这两个三角形全等；如果两个多边形的边、角分别对应相等，那么这两个多边形全等．
任务一：如图1，在的方格纸上有，且．请说出：是通过怎样的变化得到和．
任务二：如图2，，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F．你知道是怎样的变换得到的吗？请画出示意图解答；
任务三：请借助三角形全等的知识，解决有关多边形全等的问题．图3所示的是两个全等的五边形，，指出它们的对应顶点、对应边与对应角，并说出图中标的a，b，c，e，α各字母所表示的值．

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