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专题7.4.2 三角形全等的判定拓展 优等生讲义
(9大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标
掌握 三角形全等的判定条件，能根据已知条件灵活选择判定方法（添加条件、判定综合）。
理解并掌握 构造全等三角形的常用辅助线模型：倍长中线、旋转、垂线（一线三直角）、线段和差（截长补短）等。
能够运用 全等三角形模型解决复杂几何问题，包括证明线段相等、角相等、求角度、线段长度等。
培养 几何直观和逻辑推理能力，体会转化思想、模型思想在几何中的应用。
核心思想：构造全等 · 模型迁移 · 转化思想
知识梳理·知识点精讲
☆ 全等三角形判定的综合运用
添加条件型： 根据已知部分条件，补充一个条件使两个三角形全等。需考虑 SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意“SSA”不能判定全等，直角三角形“HL”特殊。
隐含条件： 公共边、公共角、对顶角、平行线带来的同位角/内错角相等、垂直带来的直角相等等。
☆ 常见全等辅助线模型
倍长中线模型： 将中线延长一倍，构造全等三角形，实现边的转移。常用于证明线段不等关系、求中线取值范围、证明线段倍分关系。
旋转模型： 将图形绕某点旋转一定角度，构造全等三角形。常见于等边三角形、等腰直角三角形背景（如手拉手模型）。
垂线模型（一线三直角）： 过直角顶点作垂线，得到全等三角形。常用于证明线段相等、计算面积。
线段和差模型（截长补短）： 证明一条线段等于两条线段之和时，采用“截长”或“补短”的方法构造全等三角形。
其他模型： 如角平分线模型、对角互补模型等，根据具体图形构造全等。
☆ 全等三角形综合问题
常与等腰三角形、等边三角形、角平分线、中线、高线等知识结合，需要综合运用全等判定和性质进行推理计算。
注意图形中的不变关系，如旋转前后对应边相等、对应角相等。
全等辅助线模型速查表
模型名称 构造方法 适用条件 常用结论
倍长中线 延长中线至一倍，连接端点 出现中线 △≌△，边角转移
旋转 绕某点旋转一定角度 等边、等腰直角、共顶点等角 线段相等，夹角特殊
一线三直角 过直角顶点作垂线 直角+斜线 △≌△，线段相等
截长补短 长线段上截取一段等于短线段，或延长短线段 需证 a = b + c 构造全等，转化线段
手拉手 两个等腰三角形共顶点 等腰三角形，顶角相等 全等，夹角等于顶角
核心考点 · 9类题型精讲
【考点1】添加条件使三角形全等（1-3题）
方法总结
根据已知条件，结合全等判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）确定缺少的条件。
注意隐含条件：公共边、公共角、对顶角、平行线性质、垂直性质。
避免使用 SSA（除非是直角三角形 HL）。
1．（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知，，，增加以下一个条件，仍不能判定与全等的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）在和中，若，则下列补充条件中不能判定全等的是( )
A． B． C． D．
3．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，已知，，添加一个条件，使得，这个条件可以是________（填写一个即可）．
【考点2】灵活选用判定方法证全等（4-7题）
方法总结
分析题目给出的边角条件，选择最适合的判定定理。
注意直角三角形全等可用 HL，也可用一般方法。
实际问题中构造全等三角形（如测量方案），需保证构造的三角形与已知三角形满足判定条件。
4．（25-26八年级上·上海杨浦·月考）下列命题中，正确的个数是（ ）
①两条边分别相等的两个直角三角形全等；
②斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等；
③斜边相等的两个等腰直角三角形全等．
A．3 B．2 C．1 D．0
5．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，，；有如下条件：①；②．
(1)从①②中选一个作为已知条件，求证：；
(2)若，，求点到点的距离．
6．（25-26八年级上·广东湛江·月考）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端、的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量、的距离，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点、的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可．
乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可．
甲、乙两同学的方案哪个可行？并说明理由．
7．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：．
【考点3】倍长中线模型（8-10题）
方法总结
倍长中线构造全等三角形，将分散的线段集中到同一个三角形中。
常用于证明线段不等关系、求中线取值范围、证明线段倍分关系。
基本辅助线：延长 AD 至 E，使 DE = AD，连接 BE。
8．（24-25八年级上·上海闵行·月考）如图，中，，为的边的中线，在延长线上截取．求证：．
9．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：．
证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明）
10．（24-25八年级上·上海·期中）倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．某同学在学习过程中，遇到这样的一个问题：如图1：在中，，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决方法：延长到点E，使．请根据他们的方法解决以下问题：
（1）求的取值范围：_________．
【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题：
如图：已知，，，为的中点；
（2）如图 2，若A、C、D三点共线，，，求；
（3）如图3，若A、C、D三点不共线，，求证：．
【考点4】旋转模型（11-13题）
方法总结
将三角形绕某点旋转一定角度，构造全等三角形。
常见于等边三角形、等腰直角三角形背景（手拉手模型）。
可证明线段相等、垂直或特殊角度关系。
11．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）点分别是等边三角形的边和上的点，且，连接．
(1)如图1，若，将绕着点顺时针旋转，得到，连接和．求证：
①为等边三角形；
②探究线段，与的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，当时，若为的中点，连接，求证：．
12．（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
【发现问题】
（1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______．
【类比探究】
（2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由．
13．（24-25八年级上·吉林·月考）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．
(1)如图①，和都是等腰三角形，，，，连接、，与全等的三角形是________，和的数量关系是_______；
(2)如图②，和都是等腰直角三角形，，，，连接、交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)如图③，在中，以、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数．
【考点5】垂线模型（一线三直角）（14-16题）
方法总结
过直角顶点作垂线，得到全等三角形（一线三直角）。
常用于证明线段相等、计算面积。
基本图形：Rt△ABC，过直角顶点 A 作直线 l，过 B、C 向 l 作垂线，可得 △ABD ≌ △CAE。
14．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，则四边形的面积为（ ）
A．6 B．7 C．12 D．20
15．（25-26八年级上·山东日照·月考）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：．
（2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积．
（3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积．
16．（24-25七年级下·上海·月考）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．
(1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ；
(2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点．
【考点6】其他模型（17-19题）
方法总结
结合具体图形（如角平分线、等腰三角形、等边三角形）构造全等。
常见模型：对角互补模型、等边三角形内旋转等。
通过全等转移边角，建立已知与未知的联系。
17．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知中，，，点是上的一点，过点作于点．
(1)如图1，______．（用含的式子表示）
(2)如图2，是边上的高，点为的角平分线与的交点，交于点．
①求证：；
②连接，求的度数．
18．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知直线m，n相交于点B，点A，C分别为直线m，n上的点，，且，点E是直线m上的一个动点，点D是直线n上的一个动点，运动过程中始终满足．如图当点E在线段上运动，点D在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由．
19．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，，都是等边三角形，与相交于点O，连接并延长交于点G．
(1)求的度数；
(2)求证：平分；
(3)求证：或．
【考点7】全等三角形综合问题（20-22题）
方法总结
综合运用全等判定和性质，结合等腰三角形、等边三角形、角平分线等知识进行推理计算。
注意图形中的不变关系，如旋转前后对应边相等、对应角相等。
常涉及多个全等关系，需要多次证明。
20．（25-26八年级上·上海浦东新·月考）已知下列命题中，正确的是（ ）
A．有一个锐角相等的两个直角三角形全等
B．在中，若是边的中线，且，则是直角三角形
C．在直角中，，是斜边上一点，且，则是边的中点
D．有一个锐角且一条边对应相等的两个直角三角形全等
21．（25-26七年级上·上海·月考）已知如图，点是线段上一点，都是等边三角形，下列说法正确的有（ ）
（1）可由旋转得到；（2）绕点顺时针旋转可得；（3）是等边三角形；（4）；（5）如果，则；（6）如果，则；
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
22．（25-26八年级上·上海·月考）已知在中，，射线、在内部，分别交线段于点、．
(1)如图1，若，，作于点，分别交、于点、．
①求证：；
②若，连接，求的度数；
(2)如图2，点为上一点，交于点，连接．若，求的值．
【考点8】证一条线段等于两条线段和差（23-25题）
方法总结
采用“截长补短”法构造全等三角形。
截长：在长线段上截取一段等于短线段，证明剩余部分等于另一短线段。
补短：延长短线段，使延长部分等于另一短线段，证明总长等于长线段。
23．（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线，
(1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由．
(2)若，，求的长．
24．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，为内一点，，平分，且．如果，，求的长．
25．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足．
(1)如图①，求证：；
(2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系．
【考点9】创新及压轴题（1-4题）
方法总结
综合运用全等模型，结合新定义、探究性问题。
需要灵活构造辅助线，运用全等性质进行证明和计算。
常涉及“手拉手”、“一线三直角”、“倍长中线”等模型的综合应用。
1．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）数学小组开展了判定等边三角形的探究活动
探究（1）：如果一个等腰三角形一腰上的高也是这腰上的中线，那么这个等腰三角形是等边三角形．
数学小组根据这个文字命题，画出了图形，并写出了已知和求证，请你完成证明过程；
如图，已知：在中，，是边上的高，且是边上的中线．
求证：是等边三角形．
探究（2）如果在等腰三角形中，一腰上的高与底边上的高相等，那么这个等腰三角形是等边三角形．
下图是数学小组同学根据这个文字命题画的图形，请结合这个图形写出已知、求证，并完成证明．
2．（25-26八年级上·上海长宁·月考）（1）如图1，和是等腰直角三角形，，，连接，，构建“手拉手”模型，可证明________；在此基础上，我们把如图2的画斜线部分称为“蝴蝶型”，可通过证明得到________；
（2）如图3，和是等边三角形，，连接，，的延长线与相交于点．求的度数；
（3）如图4，在和中，，，，，连接，．则直线与直线的夹角为________度．
3．（25-26八年级上·山西朔州·期中）综合与探究
问题背景：和为等腰直角三角形，，，，连接．
问题初探：
（1）如图1，当B，E，C三点在同一条直线上时，
①与的位置关系为_________．
②与的数量关系为_________．
拓展探究：
（2）如图2，当B，E，C三点不在同一条直线上时，与交于点F，试判断（1）中与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由．
（3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断（2）中与的位置关系和数量关系是否仍然成立．
4．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）（1）在与中，点在线段上，点在边右侧．，，，根据题意回答问题：
①如图1，当点与点重合时，求证：；
②如图2，当点线段上时，求证：；
（2）如图3，在等边中，点，分别为线段，上一点，，连接交于点，连接，若，求的值．
随堂检测 · 精选练习
练习1 全等三角形性质与判定综合：已知 △BDF ≌ △ADC，求角度。
练习2 全等三角形与角度计算：三角形内部一点满足角相等，求 ∠APC。
练习3 等边三角形与全等：等边 △ABC 和 △CDE，求 ∠ADB。
练习4 中线与全等：已知中线及线段相等，求角度。
1．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，高线和角平分线相交于点已知 ，求的度数______．
2．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，点P是三角形内部一点，且满足．如果，，则的度数是_______．
3．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，和是等边三角形且，则_______°．
4．（24-25八年级上·上海·月考）如图，已知是的中线，点E是上的一点，交于点F，，，，的度数为_____．
课后巩固 · 核心作业
题1 直角三角形全等的判定条件辨析。
题2 命题真假判断：中线、高线、角平分线相关的全等及面积。
题3 倍长中线求中线取值范围。
题4 角平分线、全等三角形综合判断多个结论。
题5 正方形网格中角度求和。
题6 等腰直角三角形构造全等，求线段长。
题7 一线三直角模型求线段 DE 长度。
题8 等边三角形与全等，求角度及中点性质。
题9 动点与等边三角形，求线段最小值。
题10 全等三角形判定与性质，证明线段相等和垂直。
题11 费马点问题：旋转构造全等，证明 120° 角。
题12 等腰三角形与全等，证明 AB = AC。
题13 一线三直角模型在不同情况下的线段关系。
题14 实际应用问题：构造全等求距离。
题15 等边三角形手拉手模型，求角度、证明角平分线、求线段长。
※ 复习建议 本专题重点在于全等三角形的辅助线构造和模型应用。建议熟练掌握倍长中线、旋转、一线三直角、截长补短等基本辅助线作法，并能从复杂图形中识别出这些模型。对于综合题，要善于分解图形，逐步推理。
1．（2025八年级上·上海青浦·专题练习）下列说法中，不正确的是（ ）
A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．两条边分别相等的两个直角三角形全等
C．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
D．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
2．（25-26八年级上·上海普陀·月考）下列四个命题：①两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；②有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；③三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分；④三角形的一条角平分线把三角形分成面积相等的两部分．其中真命题的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
3．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（24-25七年级下·上海·期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ______．
6．（25-26八年级上·上海·月考）如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以、为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点M，则的长为_______．
7．（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，，，直线经过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、．如果，，那么__________．
8．（24-25七年级下·上海崇明·期末）已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．那么的度数为_________；
9．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为______．
10．（24-25七年级下·上海·期末）如图，已知在三角形中，点D是边上一点，P是线段上一点，．求证：
(1)；
(2)．
11．（24-25七年级下·上海松江·月考）如图，已知：在中，最大角，点P在内，使得最小．
求证：．
12．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，点在边上，，且，求证：．
13．（24-25七年级下·上海·月考）是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且．
(1)如图（1），若直线经过的内部，且、在射线上，当时，线段与有怎样的大小关系？并说明理由．
(2)如图（2），若直线经过的外部，当时，则、、三条线段之间有怎样的数量关系？并说明理由．
14．（24-25七年级下·上海·月考）公路上、两车站相距千米，、为公路同侧的两所学校，，，垂足分别为点、（如图所示），千米现要在公路上建一报亭，使得、两所学校到的距离相等，且证明：，写出答句：报亭应建在距离站多远处？学校到公路的距离是多少千米？
15．（24-25七年级下·上海·月考）如图1，等边与等边的顶点B，C，D三点在一条直线上，连接，，两线相交于点
(1)求的度数；
(2)如图2，连接，
①求证：是的平分线；
②若，，求的长度．专题7.4.2 三角形全等的判定拓展 优等生讲义
(9大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标
掌握 三角形全等的判定条件，能根据已知条件灵活选择判定方法（添加条件、判定综合）。
理解并掌握 构造全等三角形的常用辅助线模型：倍长中线、旋转、垂线（一线三直角）、线段和差（截长补短）等。
能够运用 全等三角形模型解决复杂几何问题，包括证明线段相等、角相等、求角度、线段长度等。
培养 几何直观和逻辑推理能力，体会转化思想、模型思想在几何中的应用。
核心思想：构造全等 · 模型迁移 · 转化思想
知识梳理·知识点精讲
☆ 全等三角形判定的综合运用
添加条件型： 根据已知部分条件，补充一个条件使两个三角形全等。需考虑 SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意“SSA”不能判定全等，直角三角形“HL”特殊。
隐含条件： 公共边、公共角、对顶角、平行线带来的同位角/内错角相等、垂直带来的直角相等等。
☆ 常见全等辅助线模型
倍长中线模型： 将中线延长一倍，构造全等三角形，实现边的转移。常用于证明线段不等关系、求中线取值范围、证明线段倍分关系。
旋转模型： 将图形绕某点旋转一定角度，构造全等三角形。常见于等边三角形、等腰直角三角形背景（如手拉手模型）。
垂线模型（一线三直角）： 过直角顶点作垂线，得到全等三角形。常用于证明线段相等、计算面积。
线段和差模型（截长补短）： 证明一条线段等于两条线段之和时，采用“截长”或“补短”的方法构造全等三角形。
其他模型： 如角平分线模型、对角互补模型等，根据具体图形构造全等。
☆ 全等三角形综合问题
常与等腰三角形、等边三角形、角平分线、中线、高线等知识结合，需要综合运用全等判定和性质进行推理计算。
注意图形中的不变关系，如旋转前后对应边相等、对应角相等。
全等辅助线模型速查表
模型名称 构造方法 适用条件 常用结论
倍长中线 延长中线至一倍，连接端点 出现中线 △≌△，边角转移
旋转 绕某点旋转一定角度 等边、等腰直角、共顶点等角 线段相等，夹角特殊
一线三直角 过直角顶点作垂线 直角+斜线 △≌△，线段相等
截长补短 长线段上截取一段等于短线段，或延长短线段 需证 a = b + c 构造全等，转化线段
手拉手 两个等腰三角形共顶点 等腰三角形，顶角相等 全等，夹角等于顶角
核心考点 · 9类题型精讲
【考点1】添加条件使三角形全等（1-3题）
方法总结
根据已知条件，结合全等判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）确定缺少的条件。
注意隐含条件：公共边、公共角、对顶角、平行线性质、垂直性质。
避免使用 SSA（除非是直角三角形 HL）。
1．（25-26八年级上·上海·月考）如图，已知，，，增加以下一个条件，仍不能判定与全等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．
【详解】∵，，
∴，
又∵，
A、当时，，故本选项不符合题意；
B．∵，∴，∴，故本选项不符合题意；
C． ，无法确定与的角边关系，无法证得，故本选项符合题意；
D．∵，可证得，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）在和中，若，则下列补充条件中不能判定全等的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是熟练掌握等全等判定方法．
结合已知边角，依据三角形全等判定规则，判断补充条件是否符合判定要求，进而确定不可判定全等的选项．
【详解】解：A、，，，
，能判定全等，此选项不符合题意；
B、，，，
，能判定全等，此选项不符合题意；
C、，，，不能判定，此选项符合题意；
D、，，，
，能判定全等，此选项不符合题意；
故选：C．
3．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，已知，，添加一个条件，使得，这个条件可以是________（填写一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【难度】0.85
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
【分析】此题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL、注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
要使得．由条件可得到，，再加条件，可以用证明其全等．
【详解】解：添加条件；
即：，
，
，
，
，
在和中，
故答案为：（答案不唯一）．
【考点2】灵活选用判定方法证全等（4-7题）
方法总结
分析题目给出的边角条件，选择最适合的判定定理。
注意直角三角形全等可用 HL，也可用一般方法。
实际问题中构造全等三角形（如测量方案），需保证构造的三角形与已知三角形满足判定条件。
4．（25-26八年级上·上海杨浦·月考）下列命题中，正确的个数是（ ）
①两条边分别相等的两个直角三角形全等；
②斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等；
③斜边相等的两个等腰直角三角形全等．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、等边对等角
【分析】本题考查直角三角形全等的判定条件，等边对等角，根据和可判断①；根据可判断②；根据等腰直角三角形的性质可得等腰直角三角形的两个锐角的度数都为，再由斜边相等可利用证明全等，则可判断③．
【详解】解：①两条边分别相等的两个直角三角形，若两条边均为直角边，则由可证全等；若一条边为直角边，一条边为斜边，若直角边是对应边，则可用证全等，若直角边不是对应边，则不能证明全等，故命题①错误．
②斜边和直角边对应相等的两个直角三角形，符合，故命题②正确．
③斜边相等的两个等腰直角三角形，由于等腰直角三角形的两个锐角的度数都为，则由可证全等，故命题③正确．
故选：B．
5．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，，；有如下条件：①；②．
(1)从①②中选一个作为已知条件，求证：；
(2)若，，求点到点的距离．
【答案】(1)见解析
(2)8
【难度】0.65
【知识点】等边三角形的判定和性质、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质．
（1）选择①，根据可证明；选择②，根据可证明；
（2）根据平行线的性质得，再由，得是等边三角形，即可得的长．
【详解】（1）选择①，
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
选择②，
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
即点到点的距离为8．
6．（25-26八年级上·广东湛江·月考）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端、的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量、的距离，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点、的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可．
乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可．
甲、乙两同学的方案哪个可行？并说明理由．
【答案】甲同学的方案可行，理由见解析
【难度】0.85
【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）
【分析】甲同学利用的是边角边证出三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；乙同学的方案只有一组角相等，一组公共边相等，不能证明两三角形全等．本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的定理是解决问题的关键．
【详解】甲同学的方案可行，乙同学方案不可行，理由如下：
甲同学方案：在和中，，
∴，
∴；
乙同学方案：只有，，不能证明两个三角形全等
∴乙同学方案不可行
∴只有甲同学的方案可行．
7．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：．
【答案】证明见解析
【难度】0.65
【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据得，根据得，进一步推出，再根据即可得证．掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴．
【考点3】倍长中线模型（8-10题）
方法总结
倍长中线构造全等三角形，将分散的线段集中到同一个三角形中。
常用于证明线段不等关系、求中线取值范围、证明线段倍分关系。
基本辅助线：延长 AD 至 E，使 DE = AD，连接 BE。
8．（24-25八年级上·上海闵行·月考）如图，中，，为的边的中线，在延长线上截取．求证：．
【答案】见详解
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定及三角形外角的性质是解题的关键；延长至点F，使得，连接，由题意易得，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求证．
【详解】证明：延长至点F，使得，连接，如图所示：
∵为的边的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
9．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：．
证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明）
【答案】见解析
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解三角形中线的定义，大边对大角，延长至点E，使，连接，根据三角形中线定义得，进而依据判定得，，再由得，继而根据“大边对大角”得，由此即可得出结论．
【详解】解：延长至点E，使，连接，如图所示：
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
10．（24-25八年级上·上海·期中）倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．某同学在学习过程中，遇到这样的一个问题：如图1：在中，，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决方法：延长到点E，使．请根据他们的方法解决以下问题：
（1）求的取值范围：_________．
【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题：
如图：已知，，，为的中点；
（2）如图 2，若A、C、D三点共线，，，求；
（3）如图3，若A、C、D三点不共线，，求证：．
【答案】（1）；（2）32；（3）见解析
【难度】0.4
【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定、三角形三边关系的应用、全等三角形综合问题
【分析】（1）延长到点E，使，连接，利用全等三角形的判定与性质和三角形的三边关系定理解答即可；
（2）延长交延长线于点F，利用平行线的判定与性质和全等三角形的判定与性质得到：，，，利用等高的三角形的面积比等于底的比的性质求得，则，再利用解答即可；
（3）延长至点F，使得，连接、、，通过证明和，利用全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质解答即可得出结论．
【详解】（1）解：延长到点E，使，连接，如图，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，延长交延长线于点F，
，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴，，
∵P为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
∵，
∴，
∴；
（3）证明：延长至点F，使得，连接、、，如图，
由（1）同理易证：，
∴，，
∵，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了三角形的中线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，本题是阅读型题目，掌握倍长中线的方法，恰当的添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【考点4】旋转模型（11-13题）
方法总结
将三角形绕某点旋转一定角度，构造全等三角形。
常见于等边三角形、等腰直角三角形背景（手拉手模型）。
可证明线段相等、垂直或特殊角度关系。
11．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）点分别是等边三角形的边和上的点，且，连接．
(1)如图1，若，将绕着点顺时针旋转，得到，连接和．求证：
①为等边三角形；
②探究线段，与的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，当时，若为的中点，连接，求证：．
【答案】(1)①见解析 ②，理由见解析
(2)见解析
【难度】0.4
【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
（1）①根据旋转的性质，利用有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到结论即可；
②在上截取，连接，
根据等边三角形的性质和旋转的性质证明，即可得到，然后根据线段的和差解答即可；
（2）延长到点N，使得，连接，，，证明，即可得到，，，，然后证明是等边三角形，过点D作于点P，过点N作于点Q，得到，得到，即可得到，然后根据中线分出的两三角形面积相等得到结论即可．
【详解】（1）①证明：由旋转可得：，，
∴是等边三角形；
②，理由为：
在上截取，连接，
∵是等边三角形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：延长到点N，使得，连接，，，
∵G是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
过点D作于点P，过点N作于点Q，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
12．（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
【发现问题】
（1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______．
【类比探究】
（2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由．
【答案】（1）；（2），，见解析
【难度】0.65
【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)
【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角．
（1）证明，即可得到；
（2）根据等腰三角形的性质，证明即可得出结论．
【详解】解：（1）∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
（2），，
理由如下：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
13．（24-25八年级上·吉林·月考）在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．
(1)如图①，和都是等腰三角形，，，，连接、，与全等的三角形是________，和的数量关系是_______；
(2)如图②，和都是等腰直角三角形，，，，连接、交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)如图③，在中，以、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数．
【答案】(1)；
(2)且，理由见解析
(3)，
【难度】0.65
【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、等边三角形的性质、等腰三角形的定义
【分析】（1）先判断出，进而证明，即可得出结论；
（2）先证明，得出，，进而判断出，即可得出结论；
（3）先证明，得出，，进而求出，最后用三角形外角的性质，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：且；
理由如下：∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：且；
（3）解：，，理由如下：
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴
，
∴．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，判断出是解本题的关键．
【考点5】垂线模型（一线三直角）（14-16题）
方法总结
过直角顶点作垂线，得到全等三角形（一线三直角）。
常用于证明线段相等、计算面积。
基本图形：Rt△ABC，过直角顶点 A 作直线 l，过 B、C 向 l 作垂线，可得 △ABD ≌ △CAE。
14．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，四边形中，，则四边形的面积为（ ）
A．6 B．7 C．12 D．20
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造“三垂直”全等模型．
过点分别作，交直线于点，证明，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可．
【详解】解：过点分别作，交直线于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形的面积，
∴四边形的面积
，
故选：C．
15．（25-26八年级上·山东日照·月考）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：．
（2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积．
（3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）50；（3）
【难度】0.4
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、垂线模型(全等三角形的辅助线问题)
【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．
（1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到；
（2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案；
（3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】证明：（1）证明：∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（1）中模型可知，，，
∴，，，，
则；
（3）解：过点作于，过点作交的延长线于，
由（1）中模型可知，，，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
16．（24-25七年级下·上海·月考）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．
(1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ；
(2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点．
【答案】(1)
(2)（1）中的结论成立，理由见解析
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、垂线模型(全等三角形的辅助线问题)
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质；
（1）证明得，由此即可得出、、的数量关系；
（2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论；
（3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论．
【详解】（1）解：、、的数量关系为：，理由如下：
如图1所示：
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：（1）中的结论成立，证明如下：
如图2所示：
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示：
∵和都是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点．
【考点6】其他模型（17-19题）
方法总结
结合具体图形（如角平分线、等腰三角形、等边三角形）构造全等。
常见模型：对角互补模型、等边三角形内旋转等。
通过全等转移边角，建立已知与未知的联系。
17．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知中，，，点是上的一点，过点作于点．
(1)如图1，______．（用含的式子表示）
(2)如图2，是边上的高，点为的角平分线与的交点，交于点．
①求证：；
②连接，求的度数．
【答案】(1)
(2)①见解析；②
【难度】0.65
【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、其他模型(全等三角形的辅助线问题)
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，再根据直角三角形的性质即可求解；
（2）①根据三角形内角和定理推出，利用角的和差得到，根据角平分线的定义得到，得到，推出是等腰直角三角形，即可证明；
②在上截取，连接，先证明，得到，，进而证出是等腰直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）①证明：∵是边上的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，，，
∴，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
②解：如图，在上截取，连接，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形，
∴．
18．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知直线m，n相交于点B，点A，C分别为直线m，n上的点，，且，点E是直线m上的一个动点，点D是直线n上的一个动点，运动过程中始终满足．如图当点E在线段上运动，点D在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由．
【答案】，理由见解析．
【难度】0.65
【知识点】等边三角形的判定和性质、其他模型(全等三角形的辅助线问题)
【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点作交于点，可得是等边三角形，得，结合利用全等三角形判定定理证出，得出，最后通过等量代换即可完成证明．
【详解】解：，理由如下：
过点作交于点，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
19．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，，都是等边三角形，与相交于点O，连接并延长交于点G．
(1)求的度数；
(2)求证：平分；
(3)求证：或．
【答案】(1)；
(2)证明详见解析．
(3)证明详见解析．
【难度】0.65
【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的有关计算、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、等边三角形的性质
【分析】本题考查了等边三角形性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题；
（1）由可以得到，再利用三角形内角和定理即可求解．
（2）根据全等三角形对应边相等，面积相等，利用等面积法可以证明点A到和边的高相等，则平分，从而平分．
（3）用截长补短法把几条线段间的数量关系转化为两条线段的等量关系．
【详解】（1） ，都是等边三角形，
，，，
，
即，
，
，．
．
（2）证明：过点A作于点M，于点N，如图所示．
，
，，
，
，
点A在的平分线上，
．
又∵，，
，
平分．
（3）证明：结论：，
理由：在OD上截取，连接，如图所示．
由（1）（2）得，且，
，
是等边三角形，
，，
．
又 ，
，
．
．
【考点7】全等三角形综合问题（20-22题）
方法总结
综合运用全等判定和性质，结合等腰三角形、等边三角形、角平分线等知识进行推理计算。
注意图形中的不变关系，如旋转前后对应边相等、对应角相等。
常涉及多个全等关系，需要多次证明。
20．（25-26八年级上·上海浦东新·月考）已知下列命题中，正确的是（ ）
A．有一个锐角相等的两个直角三角形全等
B．在中，若是边的中线，且，则是直角三角形
C．在直角中，，是斜边上一点，且，则是边的中点
D．有一个锐角且一条边对应相等的两个直角三角形全等
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】等边对等角、全等三角形综合问题、判断命题真假、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了命题的真假判断，根据直角三角形全等，中线性质，等腰三角形的性质等知识点逐一分析各选项即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：、一个锐角相等的两个直角三角形，角度对应相等，但边不一定相等，故不一定全等，原选项错误，不符合题意；
、如图，
∵是的中线，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴，即是直角三角形，原选项正确，符合题意；
、在直角中，，是斜边上一点，且，但不一定是的中点，例如，如图，
当到的距离小于时，上存在两个点使，原选项错误，不符合题意；
、有一个锐角且一条边对应相等的两个直角三角形，边角位置不确定，不一定全等，原选项错误，不符合题意；
故选：．
21．（25-26七年级上·上海·月考）已知如图，点是线段上一点，都是等边三角形，下列说法正确的有（ ）
（1）可由旋转得到；（2）绕点顺时针旋转可得；（3）是等边三角形；（4）；（5）如果，则；（6）如果，则；
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质与判定依次证明每个说法即可解答．
【详解】解：（1） 都是等边三角形，
，
，
可由旋转得到，
故说法正确；
（2）由（1）同理可得，
，
，
都是等边三角形，
，
，
绕点顺时针旋转可得，
故说法正确；
（3） ，
，
都是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
故说法正确；
（4） ，
，
故说法正确；
（5） ，，
，
是等边三角形，
，
，
故说法正确；
（6） ，，
，
，，
，
，
故说法正确；
综上，说法正确的有6个．
故选：A．
22．（25-26八年级上·上海·月考）已知在中，，射线、在内部，分别交线段于点、．
(1)如图1，若，，作于点，分别交、于点、．
①求证：；
②若，连接，求的度数；
(2)如图2，点为上一点，交于点，连接．若，求的值．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
【难度】0.15
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等三角形综合问题
【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）①由，得到为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，求得，推出证得，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②证明即可解决问题；
（2）如图2，在上取，连接，推出，根据全等三角形的性质得到，，证得是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论．
【详解】（1）解：①，，
为等边三角形，
则，，
，，
，
，，
，
在与中，
，
，
；
②如图1，取的中点连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，，，
，
在与中，
，
，
，
；
（2）解：如图2，在上取，连接，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
．
【考点8】证一条线段等于两条线段和差（23-25题）
方法总结
采用“截长补短”法构造全等三角形。
截长：在长线段上截取一段等于短线段，证明剩余部分等于另一短线段。
补短：延长短线段，使延长部分等于另一短线段，证明总长等于长线段。
23．（25-26八年级上·广东潮州·期中）如图，，点E在线段上，分别是、的角平分线，
(1)线段与有怎样的位置关系？请说明理由．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)5
【难度】0.65
【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、两直线平行同旁内角互补、三角形角平分线的定义
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，
（1）先根据角平分线得，再根据就可得出，即可得出结论；
（2）在上截取，先证，再证，即可得出答案．
【详解】（1）解：，理由如下：
分别是、的角平分线，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，在上截取，连接，
分别是、的角平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
24．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，为内一点，，平分，且．如果，，求的长．
【答案】10
【难度】0.85
【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、根据等角对等边求边长
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等角对等边、角平分线的定义，结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交于点，利用全等三角形的判定定理证出，得出，，由得到，再利用线段的和差关系即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
的长为10．
25．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足．
(1)如图①，求证：；
(2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)不成立，见解析
【难度】0.65
【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）在上截取，连接，利用全等三角形判定，得出，进而用判定得到，得出，再通过线段的等量代换即可证明；
（2）在上截取，连接，用类似（1）的方法可得图②和图③中（1）的结论不成立，写出数量关系即可．
【详解】（1）证明：如图，在上截取，连接，
为等腰直角三角形，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
，
．
（2）解：在图②和图③中，（1）的结论不成立．
图②中，结论：；
图③中，结论：．
对于②，截取，连接，
为等腰直角三角形，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
，
．
对于③，截取，连接，同理可证：．
【考点9】创新及压轴题（1-4题）
方法总结
综合运用全等模型，结合新定义、探究性问题。
需要灵活构造辅助线，运用全等性质进行证明和计算。
常涉及“手拉手”、“一线三直角”、“倍长中线”等模型的综合应用。
1．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）数学小组开展了判定等边三角形的探究活动
探究（1）：如果一个等腰三角形一腰上的高也是这腰上的中线，那么这个等腰三角形是等边三角形．
数学小组根据这个文字命题，画出了图形，并写出了已知和求证，请你完成证明过程；
如图，已知：在中，，是边上的高，且是边上的中线．
求证：是等边三角形．
探究（2）如果在等腰三角形中，一腰上的高与底边上的高相等，那么这个等腰三角形是等边三角形．
下图是数学小组同学根据这个文字命题画的图形，请结合这个图形写出已知、求证，并完成证明．
【答案】见解析
【难度】0.65
【知识点】等边三角形的判定、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定，解题的关键是利用已知条件推导等腰三角形的腰与底边相等．
（1）利用中线性质得线段相等，结合高的垂直性质证明三角形全等，进而推出腰与底边相等，判定等边三角形；
（2）根据三角形面积公式或全等三角形判定，由高相等推导腰与底边相等，再结合等腰三角形性质判定等边三角形．
【详解】探究（1）
证明：∵是上的中线，
∴．
∵是上的高，
∴，
在和中，
，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴是等边三角形．
探究（2）
解：已知：在中，，是腰上的高，是底边上的高，且，
求证：是等边三角形．
证明：∵是上的高，是上的高，
∴，
∵，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形．
2．（25-26八年级上·上海长宁·月考）（1）如图1，和是等腰直角三角形，，，连接，，构建“手拉手”模型，可证明________；在此基础上，我们把如图2的画斜线部分称为“蝴蝶型”，可通过证明得到________；
（2）如图3，和是等边三角形，，连接，，的延长线与相交于点．求的度数；
（3）如图4，在和中，，，，，连接，．则直线与直线的夹角为________度．
【答案】（1），；（2）60度；（3）40
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等三角形综合问题
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质等知识，能够在图中找到全等三角形并证明是解题关键；
（1）先通过证得，进而通过全等三角形性质可得到；
（2）先证明，再证明可得，再根据三角形内角和定理可得；
（3）方法同（2），需要先证，然后再根据全等三角形性质即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，即，
∵和是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，，
如图，与交点为，与交点为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
（2）∵和是等边三角形，
，
，即，
，
，
设与相交于点，则，
；
（3）延长交于点F，设交于点G，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
即直线与直线的夹角为；
故答案为：．
3．（25-26八年级上·山西朔州·期中）综合与探究
问题背景：和为等腰直角三角形，，，，连接．
问题初探：
（1）如图1，当B，E，C三点在同一条直线上时，
①与的位置关系为_________．
②与的数量关系为_________．
拓展探究：
（2）如图2，当B，E，C三点不在同一条直线上时，与交于点F，试判断（1）中与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由．
（3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断（2）中与的位置关系和数量关系是否仍然成立．
【答案】（1）① ；② ；（2）与的位置关系和数量关系没有发生变化，见解析；（3）与的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系；
【难度】0.4
【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）根据题意证明，再根据全等可得，，即可求解；
（2）根据题意证明，设与交于点，再根据全等可得，，即可求解；
（3）根据题意证明，设与交于点，再根据全等可得，即可求解；
【详解】解：（1）理由：延长交于点，如图
在和中，
∴
∵
∴
∴，
∴
故答案为： ① ；②；
（2）由题意得，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
设与交于点；如图；

∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与的位置关系和数量关系没有发生变化；
（3）设，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
设与交于点；如图；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴不垂直，
∴与的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系；
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握手拉手模型，是解题的关键.
4．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）（1）在与中，点在线段上，点在边右侧．，，，根据题意回答问题：
①如图1，当点与点重合时，求证：；
②如图2，当点线段上时，求证：；
（2）如图3，在等边中，点，分别为线段，上一点，，连接交于点，连接，若，求的值．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解题意，构造全等三角形是解题关键．
（1）①根据全等三角形的判定和性质即可证明；②在上截取，连接，利用全等三角形的判定和性质得出，，即可证明；
（2）在上截取，连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，确定，得出，继续利用全等三角形的判定和性质得出，，结合等角对等边得出，即可得出结果．
【详解】（1）①证明：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②证明：在上截取，连接，如图所示：
∵，，，
∴与为等边三角形，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）在上截取，连接，如图所示：
∵等边，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
随堂检测 · 精选练习
练习1 全等三角形性质与判定综合：已知 △BDF ≌ △ADC，求角度。
练习2 全等三角形与角度计算：三角形内部一点满足角相等，求 ∠APC。
练习3 等边三角形与全等：等边 △ABC 和 △CDE，求 ∠ADB。
练习4 中线与全等：已知中线及线段相等，求角度。
1．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，高线和角平分线相交于点已知 ，求的度数______．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、与角平分线有关的三角形内角和问题、等边对等角
【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等．
由全等三角形的性质推出，判定是等腰直角三角形，得到，由角平分线的定义求出，
由直角三角形的性质求出，即可得到的度数．
【详解】解： ，
，
是的高，
，
是等腰直角三角形，
，
是的角平分线，
，
，
故答案为：
2．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，点P是三角形内部一点，且满足．如果，，则的度数是_______．
【答案】/度
【难度】0.65
【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，添加合适的辅助线是解题的关键．延长到点D，使得，连接，延长交于点，证明，得到,，进一步证明是等边三角形，得到，则平分，得到垂直平分，则，得到，则，即可求出．
【详解】解：延长到点D，使得，连接，延长交于点，
∵．，
∴，
∴,
∵，
∴
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴平分，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
3．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，和是等边三角形且，则_______°．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等边三角形的性质的应用，能求出是解此题的关键，难度适中．根据等边三角形性质得出求出，证，根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形内角和定理求出即可
【详解】解：和都是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
∴，
．
故答案为：．
4．（24-25八年级上·上海·月考）如图，已知是的中线，点E是上的一点，交于点F，，，，的度数为_____．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，延长到，使得，连接，由“”可证，可得，，由等边对等角可得，据此求出，即可得到答案．
【详解】解：如图，延长到，使得，连接，
在和中，
，
∴，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
课后巩固 · 核心作业
题1 直角三角形全等的判定条件辨析。
题2 命题真假判断：中线、高线、角平分线相关的全等及面积。
题3 倍长中线求中线取值范围。
题4 角平分线、全等三角形综合判断多个结论。
题5 正方形网格中角度求和。
题6 等腰直角三角形构造全等，求线段长。
题7 一线三直角模型求线段 DE 长度。
题8 等边三角形与全等，求角度及中点性质。
题9 动点与等边三角形，求线段最小值。
题10 全等三角形判定与性质，证明线段相等和垂直。
题11 费马点问题：旋转构造全等，证明 120° 角。
题12 等腰三角形与全等，证明 AB = AC。
题13 一线三直角模型在不同情况下的线段关系。
题14 实际应用问题：构造全等求距离。
题15 等边三角形手拉手模型，求角度、证明角平分线、求线段长。
※ 复习建议 本专题重点在于全等三角形的辅助线构造和模型应用。建议熟练掌握倍长中线、旋转、一线三直角、截长补短等基本辅助线作法，并能从复杂图形中识别出这些模型。对于综合题，要善于分解图形，逐步推理。
1．（2025八年级上·上海青浦·专题练习）下列说法中，不正确的是（ ）
A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．两条边分别相等的两个直角三角形全等
C．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
D．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．根据全等三角形的判定方法一一判断，即可得出结论．
【详解】解：A.斜边和直角边对应相等的两个直角三角形，符合，故A正确，不符合题意；
B. 两条边分别相等的两个直角三角形，若两条边均为直角边，则由可证全等；若一条边为直角边，一条边为斜边，若直角边是对应边，则可用证全等，若直角边不是对应边，则不能证明全等，故B错误，符合题意；
C. 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；符合定理，故C正确，不符合题意；
D. 斜边相等的两个等腰直角三角形，由于等腰直角三角形的两个锐角的度数都为，则由可证全等，故D正确，不符合题意；
故选：B．
2．（25-26八年级上·上海普陀·月考）下列四个命题：①两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；②有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；③三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分；④三角形的一条角平分线把三角形分成面积相等的两部分．其中真命题的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断命题真假、根据三角形中线求面积、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题考查了全等三角形的判定、三角形的中线、高线和角平分线，掌握相关的定义是解决本题的关键．
根据全等三角形的判定、三角形的中线、高线和角平分线的定义逐一判断即可．
【详解】解：①∵两边及其中一边上的中线对应相等，可连续使用和证明全等，
∴①真；
②如图，，，高，但和不全等，
∴②假；
③∵中线分对边相等，且两个小三角形同高，
∴面积相等，
∴③真；
④∵角平分线分对边成比例，但底边不一定相等，面积不一定相等，
∴④假．
综上，真命题是①③，
故选：D．
3．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)
【分析】本题考查了三角形三边关系，全等三角形的判定及性质；延长至，使，由判定，由三角形的三边关系得，即可求解．
【详解】解：延长至，使，
是边上的中线，
，
，
（），
，
，
，
，
故选：A．
4．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键．
【详解】解：在中，，
∴，
∵分别平分，
∴，，
∴，
∴，故结论①正确；
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故结论②正确；
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，故结论③错误；
又∵，
∴，
即，故结论④正确，
∴正确的个数是3个．
故选：C．
5．（24-25七年级下·上海·期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ______．
【答案】/105度
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质．
【详解】解：个边长相等的正方形的组合图形，如图，
在和中，
，
∴（），
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
6．（25-26八年级上·上海·月考）如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以、为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点M，则的长为_______．
【答案】5
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．过点E作于点H，先证明，得到，结合题意可推得，再证明，可得，即得答案．
【详解】解：过点E作于点H，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：5．
7．（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，，，直线经过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、．如果，，那么__________．
【答案】8或2
【难度】0.4
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，分两种情况讨论，一是点B、点C在直线l同侧，由于点D，于点E，得，而，，由，，推导出，可根据证明，则，，求得；二是点B、点C在直线l异侧，同理可证明，则，，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图1，点B、点C在直线l同侧，
∵于点D，于点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
如图2，点B、点C在直线l异侧，
∵于点D，于点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
综上所述，的长为8或2．
故答案为：8或2．
8．（24-25七年级下·上海崇明·期末）已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．那么的度数为_________；
【答案】/60度
【难度】0.65
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】由等边三角形的性质得出，，，证明，求出，进一步求得的度数．
【详解】解：∵、都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴
，
∴，
即的度数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
9．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为______．
【答案】4
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，证明，得出，说明当最小时，最小，根据垂线段最短，得出最小，即当点E与点N重合时，最小，即最小，求出最小值即可．
【详解】解：如图所示，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，如图所示：
∵和为等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵垂线段最短，
∴当点E与点N重合时，最小，即最小，最小值为的长，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，即，
∴，
又∵，
∴（平行线间间距相等），
∴的最小值为4，
故答案为：4.
10．（24-25七年级下·上海·期末）如图，已知在三角形中，点D是边上一点，P是线段上一点，．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【难度】0.85
【知识点】三线合一、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是判定，掌握等腰三角形“三线合一”的性质．
（1）证明，得到，再由等腰三角形的性质解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∴；
（2）证明：由（1）得：，平分，
∴．
11．（24-25七年级下·上海松江·月考）如图，已知：在中，最大角，点P在内，使得最小．
求证：．
【答案】见解析
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质
【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
如图所示，在右侧作等边，在右侧作等边，连接，证明出，得到，证明出，然后得到当点B，P，G，D四点共线时，最小，即的长度，如图所示，然后根据等边三角形的性质和旋转的性质求解即可．
【详解】证明：如图所示，在右侧作等边，在右侧作等边，连接，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴当点B，P，G，D四点共线时，最小，即的长度，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
，
∵将绕点C顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∴．
12．（24-25七年级下·上海·月考）如图，在中，点在边上，，且，求证：．
【答案】详见解析
【难度】0.85
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查了主要全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确添加辅助线是解题的关键．
延长至点，使得，证明，再证明，等量代换即可求证．
【详解】证明：延长至点，使得，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
13．（24-25七年级下·上海·月考）是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且．
(1)如图（1），若直线经过的内部，且、在射线上，当时，线段与有怎样的大小关系？并说明理由．
(2)如图（2），若直线经过的外部，当时，则、、三条线段之间有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，余角或补角的性质等知识，解题的关键是∶
（1）根据余角的性质可得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）根据三角形的内角和定理，平角定义以及等式的性质可得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质以及线段的和差关系即可得出结论．
【详解】（1）解：，理由：
，
，，
同角的余角相等
，，
，
；
（2）解∶，理由：
，
，，
，
，，
，
，，
．
14．（24-25七年级下·上海·月考）公路上、两车站相距千米，、为公路同侧的两所学校，，，垂足分别为点、（如图所示），千米现要在公路上建一报亭，使得、两所学校到的距离相等，且证明：，写出答句：报亭应建在距离站多远处？学校到公路的距离是多少千米？
【答案】证明见解析，报亭应建在距离站千米处，学校到公路的距离是千米
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
由垂线的定义可得，再证明，得出千米，，即可得解．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
千米，，
千米，
千米，
报亭应建在距离站千米处，学校到公路的距离是千米．
15．（24-25七年级下·上海·月考）如图1，等边与等边的顶点B，C，D三点在一条直线上，连接，，两线相交于点
(1)求的度数；
(2)如图2，连接，
①求证：是的平分线；
②若，，求的长度．
【答案】(1)
(2)①见解析 ②
【难度】0.65
【知识点】等边三角形的判定、等边三角形的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
（1）通过观察图形，根据等边三角形的性质就可以证明≌，得出，而有，就有，从而可以求出的值；
（2）①过C作于G，于H，得到，根据全等三角形的性质得到，求得，由知，根据角平分线的定义得到是的平分线；②如图，在BF上截取，连接CM，则是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，于是得到结论．
【详解】（1）解：和都是等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
（2）①证明：过C作于G，于H，
，
，
，
，
，
，
，
由知，
，
是的平分线；
②解：如图，在BF上截取，连接CM，
因，则是等边三角形，
，
，
，（等量减等量，差相等）
，
，
，
，
，
，

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