资源简介

专题18.2 等腰三角形的判定 优等生讲义
(6大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 等腰三角形的判定定理：等角对等边，能熟练运用该定理证明一个三角形是等腰三角形。
掌握 等腰三角形的性质和判定的综合应用，能根据条件选择合适的方法证明边相等或角相等。
掌握 利用角平分线、平行线构造等腰三角形的常用技巧，能识别图形中的基本模型（角平分线+平行线→等腰三角形）。
掌握 “截长补短”构造全等三角形的方法，解决线段和差问题。
熟练运用 等腰三角形的判定解决几何综合题、旋转、折叠、实际应用等问题。
体会 转化思想、分类讨论思想在等腰三角形问题中的应用。
核心思想：等角对等边 · 模型识别 · 截长补短
知识梳理 · 核心知识点
☆ 等腰三角形的判定方法
定义法： 有两边相等的三角形是等腰三角形。
判定定理（等角对等边）： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即三角形是等腰三角形）。
三线合一逆定理： 如果三角形一边上的中线也是这边上的高，那么这个三角形是等腰三角形；如果三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高，那么这个三角形是等腰三角形；如果三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形。
通过构造全等： 在复杂图形中，常通过添加辅助线（如作平行线、倍长中线、截长补短）构造全等三角形，进而利用等角对等边证等腰。
☆ 常见基本模型
角平分线+平行线→等腰三角形： 若 平分 ，且 ，则 是等腰三角形（）。反之，等腰三角形中角平分线与平行线结合可得到新的等腰三角形。
两角平分线+平行线→周长转化： 过角平分线交点作平行于底边的直线，可将三角形周长转化为两腰之和。
截长补短模型： 证明一条线段等于两条线段之和（）时，常用“延长短线段”或“截取长线段”构造全等三角形，进而证明等腰关系。
☆ 等腰三角形的性质与判定综合
性质：等边对等角、三线合一、轴对称性。
判定与性质常结合使用：先判定等腰，再应用性质求角度、线段长度等。
注意：在复杂图形中，要善于从条件中挖掘出等腰三角形的存在，如通过平行线、角平分线、垂直等条件得到角相等，进而得到边相等。
☆ 解决等腰三角形问题的常用技巧
分类讨论： 当等腰三角形底边或腰不确定时，需分情况讨论（如已知角是顶角还是底角，已知边是腰还是底边）。
设未知数列方程： 通过设未知数表示角度或边长，利用等腰三角形的性质建立方程求解。
添加辅助线： 常见辅助线有作高、作中线、作平行线、倍长中线、截长补短等。
等腰三角形判定与性质核心速查表
类别 内容 应用场景
判定方法 等角对等边 已知两个角相等，证两边相等
判定方法 定义法（两边相等） 直接给出边相等
判定方法 三线合一逆定理 中线、高、角平分线重合
基本模型 角平分线+平行线 得到等腰三角形，常用于求周长或线段长
基本模型 截长补短 证一条线段等于两条线段和（差）
综合应用 性质与判定互推 边角互化，解决复杂几何问题
核心考点 ·6类题型精讲
【考点1】根据等角对等边证明等腰三角形（1-6题）
方法总结
判定等腰三角形最常用的方法是证明两个角相等，从而得到两边相等。
常见条件：角平分线、平行线、三角形内角和、外角性质等。
注意：等腰三角形的判定与性质是互逆的，要灵活转换。
1．（24-25七年级下·上海·月考）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A．，， B．
C．， D．
2．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知如图，在中，，，，在的边上找一点，使得它与三角形的两顶点构成等腰三角形，这样的点有________个．
3．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知中，，平分交于点D，是的外角的平分线，交于点G．以下结论：①；②是等腰三角形；③．上述结论中，所有正确结论的序号是______．
4．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知 ，平分，交于点E．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若于点D，，求的度数．
5．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，是的角平分线，在上取点使．
(1)求证：是等腰三角形
(2)若，，求的度数．
6．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，于点D，是的外角的平分线．
(1)求证：；
(2)若平分交于点N，证明为等腰直角三角形．
【考点2】根据等角对等边证明边相等（7-12题）
方法总结
在几何证明中，若需证明两条线段相等，可先证明它们所对的角相等（等角对等边）。
常通过构造全等三角形、利用平行线、角平分线、垂直等条件得到角相等。
注意：等腰三角形中的等边对等角和等角对等边是互逆的，可根据已知条件灵活选用。
7．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）已知，如图，在中，，，，点D在边上运动，连接，将沿着翻折，点B落在点E处，连接．当时，的长为__________．
8．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，点D在边上，，图中共有_______个等腰三角形．
9．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知分别平分和，经过点M的直线平行于，交分别于点D、E，，．
求的周长．
解：BM平分，
_______．
，
（_______）．
_______．
（_______）．
同理可得_______．
周长
_______．
10．（2026·陕西·模拟预测）如图，与相交于点，．求证：．
11．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，为边上一点，为延长线上一点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
12．（25-26八年级上·河南南阳·月考）已知：如图，在中，，，，、交于点．
(1)求证：；
(2)请判断与的大小关系并证明．
【考点3】根据等角对等边求边长（13-18题）
方法总结
利用角平分线、平行线构造等腰三角形，通过等角对等边将线段进行转化，从而求出未知边长。
常见模型：角平分线+平行线→等腰三角形，可得到腰长与底边的关系，进而求周长或线段长。
解题时往往需要设未知数，利用等腰三角形的性质建立方程。
13．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为_____ ．
14．（24-25八年级上·上海普陀·月考）如图，为的角平分线，交于E，若，则_______．
15．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在中，平分，交于点D，点E在上，连接．已知，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
16．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接．
(1)求证：．
(2)若平分，，求线段的长度．
17．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)过点D作于点M，若，求的长．
18．（25-26八年级上·全国·月考）（1）如图1，中，与的平分线相交于点F，过点F作 分别交边于点D，E，求证：．
（2）将上题中“的平分线”改为“的外角的角平分线CF”，如图2，其余条件不变，直接写出线段之间的数量关系．
【考点4】等腰三角形的性质和判定（19-25题）
方法总结
综合运用等腰三角形的性质和判定，常与旋转、翻折、全等三角形结合。
解题关键：识别图形中的等腰三角形，利用其性质（等边对等角、三线合一）进行角度或线段计算。
对于较复杂的图形，要善于从条件中挖掘出隐含的等腰关系。
19．（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中，，点M是的中点，将线段绕点M逆时针旋转，点A落在边的延长线上的点D处，连接，与边交于点E，，那么________．
20．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，中，，与的平分线交于点O，过O作，，分别交于点E、F，则的周长为______．
21．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，点在上，，平分，交于点，点是线段的中点，连接与相等吗？请说明理由．
解：结论：__________
理由：
∵平分
∴________
∵________+________．（________）
又∵，
∴__________+__________
∴__________
请完成后面的说理过程：
22．（24-25七年级下·上海青浦·期末）已知：如图，在中，点在边上，．求证：．
23．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，四边形的对角线，相交于点E，，，点F在上，．
(1)求证：；
(2)若，请直接写出图中所有与互余的角．
24．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，中，，点在上，连接，作，且，连接．求证：．
25．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【考点5】证一条线段等于两条线段和差(全等三角形辅助线)（26-27题）
方法总结
当需要证明 时，常用“截长补短”法：在长线段上截取一段等于短线段，或延长短线段构造全等。
常见模型：四边形中，若 ，且 ，，则可得到 等结论。
证明思路：通过旋转或构造全等三角形，将分散的线段集中到一条直线上，再证明等腰或全等。
26．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________；
（2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由．
27．（25-26八年级上·江西上饶·期末）【课本再现】数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，，求的长．
小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点C刚好落在边上的点E处．……
（1）结合小明同学的想法，请直接写出：与的数量关系为 ， ．
【模型应用】
根据上面探究构造全等模型的规律，请解答：
（2）如图2，在四边形中，平分，，，，求的长．
【改编拓展】张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答：
（3）如图3，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、有什么数量关系？请写出你的猜想并证明．
【考点6】创新及压轴题（1-4题）
方法总结
综合运用等腰三角形的判定与性质，结合旋转、折叠、动态几何等问题。
需要灵活添加辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。
对于探究性问题，要通过观察、猜想、证明得出结论，注意分类讨论。
常见模型：手拉手模型、一线三直角、倍长中线、截长补短等。
1．（25-26八年级上·上海·期末）课本在证明直角三角形全等的判定定理时，是通过添加辅助线构造成轴对称的全等三角形，以证明直角三角形全等的判定定理．
如图，已知，在和中，，．求证：．
以下是课本的证明过程：
证明：延长至点，使得，连接．
学习完本单元的知识后，你还有其它的证明方法吗？请用不同于以上课本的证明方法来完成直角三角形判定定理的证明．
2．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图1，在中，点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接.
(1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________；
(2)求证：；
(3)如图2，过点作的平行线，交的延长线于点.求证：；
(4)连接，当时，如果是等腰三角形，那么的度数为________.
3．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）在中，，将线段绕点C旋转（），得到线段，连接．
(1)如图1，将线段绕点C逆时针旋转，则的度数为______；
(2)将线段绕点C顺时针旋转，
①如图2，求的度数；
②如图3，若的平分线交于点F，交的延长线于点E，连接．用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
4．（25-26八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点．
(1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程；
(2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由．
随堂检测 · 精选练习
练习1 等腰三角形角度计算（分类讨论，等腰三角形中高与腰的夹角）。
练习2 旋转与等腰三角形：旋转后形成等腰三角形，求角度。
练习3 直角三角形中构造等腰三角形，求线段长及面积（利用等腰判定）。
练习4 角平分线+平行线模型求三角形周长（等角对等边转化）。
练习5 全等三角形与等腰三角形的综合判定（证边相等）。
1．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，这两个相等的角是底角，另外一个角是顶角．如果一个等腰三角形，其一腰上的高与另一腰的夹角是度，那么这个等腰三角形的顶角等于______度．
2．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，，将绕点旋转得，点、的对应点分别是点、，线段交边于点，连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是___________．
3．（25-26八年级下·重庆万州·开学考试）如图，在中，，，，，点在边上，，点在边上，且，则的长为_____；_____．
4．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点，若的周长为，则的周长是（　　）
A．14 B．19 C．21 D．23
5．（2025·山西忻州·三模）如图，在五边形中，，，，连接、、、，试判断和的数量关系并说明理由．
课后巩固 · 针对性练习
题1 旋转与等腰三角形：旋转后点落在线段上，求角度（等角对等边）。
题2 等腰直角三角形剪拼成中心对称图形（操作与分类）。
题3 角平分线+平行线模型求三角形周长（等角对等边转化）。
题4 折叠与面积计算（扇形中的等腰三角形）。
题5 旋转与等腰三角形：点落在边上，求旋转角度（分类讨论）。
题6 角平分线、垂直、等腰三角形的综合求线段长（构造等腰）。
题7 等腰三角形外一点构造全等，求角度（等角对等边）。
题8 角平分线+平行线模型求线段和（等角对等边转化）。
题9 角平分线、平行线、等腰三角形的综合证明（垂直）。
题10 全等三角形与等腰三角形判定（证CA=CB）。
题11 平行线、全等、等腰三角形综合（证线段相等）。
题12 全等三角形与等腰三角形判定（证等腰、平行）。
题13 等腰直角三角形手拉手模型（证全等、垂直、中点）。
题14 正方形中的旋转与等腰三角形（求边长、线段长）。
※ 复习建议 本专题重点在于等腰三角形的判定方法（等角对等边）及其与性质的综合应用。建议熟练掌握角平分线+平行线模型（构造等腰三角形），并能灵活运用截长补短法解决线段和差问题。对于综合题，要善于从复杂图形中分离出基本模型，并合理添加辅助线。
1．（25-26七年级上·上海·月考）如图，将绕点逆时针旋转，若点的对应点恰好落在线段的延长线上大小为 （ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级上·上海·期末）已知为等腰三角形纸片的底边，．将此三角形纸片沿剪开，得到两个三角形．若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出中心对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，分别是和的平分线，过点E作，分别交于点D，F．若，，则的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（24-25六年级下·上海虹口·期中）图1是一张扇形纸片，，，现将该纸片按图2方式折叠，则图2中图形阴影部分面积为______（取）．
5．（24-25八年级上·上海·期中）已知：在中，，，为边的中点，把△绕点顺时针旋转度后，如果点恰好落在初始的边上，那么________．
6．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，D为内一点，平分，垂足为D，交于点E，．若，则的长为__________．
7．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）如图，在中，，点D为外一点，连接、、，使得，，，则的度数是________．
8．（25-26八年级上·安徽六安·期末）在中，，和的平分线分别交于点、，若，，求______．
9．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）如图，已知在中，平分，，交延长线交于点E，F是的中点，求证：．
10．（25-26八年级上·湖南怀化·月考）如图，在中，D为边上一点，F为延长线上一点，交的延长线于点E，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
11．（25-26八年级上·广西来宾·期末）如图，在中，D是边上一点，过点D作交于点F，E是边上一点，并且．过点E作交于点G．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
12．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，与交于点G．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接，求证：．
13．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在和中，，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，若，求证：；
(3)如图3，延长交于点F，若，求证：F为中点．
14．（24-25七年级上·上海闵行·月考）如图，已知正方形的边长为，点在边上，（点不与点、重合），，，连接，将绕顶点顺时针旋转一个角度后与重合（点的对应点记作点），连接，设交于点．
(1)绕点B旋转的旋转角是______度；是______三角形．
(2)若的面积为20，的面积为6，求、的值．
(3)求的长（结果用含、的代数式表示）．专题18.2 等腰三角形的判定 优等生讲义
(6大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 等腰三角形的判定定理：等角对等边，能熟练运用该定理证明一个三角形是等腰三角形。
掌握 等腰三角形的性质和判定的综合应用，能根据条件选择合适的方法证明边相等或角相等。
掌握 利用角平分线、平行线构造等腰三角形的常用技巧，能识别图形中的基本模型（角平分线+平行线→等腰三角形）。
掌握 “截长补短”构造全等三角形的方法，解决线段和差问题。
熟练运用 等腰三角形的判定解决几何综合题、旋转、折叠、实际应用等问题。
体会 转化思想、分类讨论思想在等腰三角形问题中的应用。
核心思想：等角对等边 · 模型识别 · 截长补短
知识梳理 · 核心知识点
☆ 等腰三角形的判定方法
定义法： 有两边相等的三角形是等腰三角形。
判定定理（等角对等边）： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即三角形是等腰三角形）。
三线合一逆定理： 如果三角形一边上的中线也是这边上的高，那么这个三角形是等腰三角形；如果三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高，那么这个三角形是等腰三角形；如果三角形一个角的平分线也是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形。
通过构造全等： 在复杂图形中，常通过添加辅助线（如作平行线、倍长中线、截长补短）构造全等三角形，进而利用等角对等边证等腰。
☆ 常见基本模型
角平分线+平行线→等腰三角形： 若 平分 ，且 ，则 是等腰三角形（）。反之，等腰三角形中角平分线与平行线结合可得到新的等腰三角形。
两角平分线+平行线→周长转化： 过角平分线交点作平行于底边的直线，可将三角形周长转化为两腰之和。
截长补短模型： 证明一条线段等于两条线段之和（）时，常用“延长短线段”或“截取长线段”构造全等三角形，进而证明等腰关系。
☆ 等腰三角形的性质与判定综合
性质：等边对等角、三线合一、轴对称性。
判定与性质常结合使用：先判定等腰，再应用性质求角度、线段长度等。
注意：在复杂图形中，要善于从条件中挖掘出等腰三角形的存在，如通过平行线、角平分线、垂直等条件得到角相等，进而得到边相等。
☆ 解决等腰三角形问题的常用技巧
分类讨论： 当等腰三角形底边或腰不确定时，需分情况讨论（如已知角是顶角还是底角，已知边是腰还是底边）。
设未知数列方程： 通过设未知数表示角度或边长，利用等腰三角形的性质建立方程求解。
添加辅助线： 常见辅助线有作高、作中线、作平行线、倍长中线、截长补短等。
等腰三角形判定与性质核心速查表
类别 内容 应用场景
判定方法 等角对等边 已知两个角相等，证两边相等
判定方法 定义法（两边相等） 直接给出边相等
判定方法 三线合一逆定理 中线、高、角平分线重合
基本模型 角平分线+平行线 得到等腰三角形，常用于求周长或线段长
基本模型 截长补短 证一条线段等于两条线段和（差）
综合应用 性质与判定互推 边角互化，解决复杂几何问题
核心考点 ·6类题型精讲
【考点1】根据等角对等边证明等腰三角形（1-6题）
方法总结
判定等腰三角形最常用的方法是证明两个角相等，从而得到两边相等。
常见条件：角平分线、平行线、三角形内角和、外角性质等。
注意：等腰三角形的判定与性质是互逆的，要灵活转换。
1．（24-25七年级下·上海·月考）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（ ）
A．，， B．
C．， D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义、根据等角对等边证明等腰三角形
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理应用．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案．
【详解】解：A、∵，，
∴，
∴是等腰三角形；故选项A不符合题意；
B、∵，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，故选项B不符合题意；
C、∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D、∵
∴，
∴不是等腰三角形，故选项D符合题意．
故选：D．
2．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知如图，在中，，，，在的边上找一点，使得它与三角形的两顶点构成等腰三角形，这样的点有________个．
【答案】4
【难度】0.65
【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、等腰三角形的定义、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的判定，根据等角对等边分情况讨论即可．
【详解】解：①作，
∴
∴是等腰三角形；
②作，
∴，
∴是等腰三角形；
③作，
∴，，
∴，
∴和是等腰三角形；
④在上取，
∴是等腰三角形，
∴这样的点有个．
故答案为：4．
3．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知中，，平分交于点D，是的外角的平分线，交于点G．以下结论：①；②是等腰三角形；③．上述结论中，所有正确结论的序号是______．
【答案】②③/③②
【难度】0.65
【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、两直线平行同位角相等、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定、平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键．
根据平行线＋角平分线得到，，故，故可判断②③，判断不了①．
【详解】解：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即是等腰三角形，故②正确，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，故③正确，
但是证明不出，只能得到，故①错误，
∴正确的为②③，
故答案为：②③．
4．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知 ，平分，交于点E．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若于点D，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据等角对等边证明等腰三角形、角平分线的有关计算
【分析】此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
（1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得；
（2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
5．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，是的角平分线，在上取点使．
(1)求证：是等腰三角形
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理和平行线的性质：
（1）角平分线的性质，平行线的性质，推出，即可得出结论；
（2）三角形的内角和定理，求出的度数，平行线的性质，求出的度数，进而求出的度数即可．
【详解】（1）解：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴．
6．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，于点D，是的外角的平分线．
(1)求证：；
(2)若平分交于点N，证明为等腰直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【难度】0.65
【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、三线合一、等边对等角、三角形的外角的定义及性质
【分析】此题考查等腰三角形的性质，平行线的判定与性质．
（1）根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明即可；
（2）利用平分线的定义和平行线的性质证明即可．
【详解】（1）证明： ，
，
是的外角的平分线，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：由（1）得：，
，，
平分交于点N，
，
为等腰直角三角形．
【考点2】根据等角对等边证明边相等（7-12题）
方法总结
在几何证明中，若需证明两条线段相等，可先证明它们所对的角相等（等角对等边）。
常通过构造全等三角形、利用平行线、角平分线、垂直等条件得到角相等。
注意：等腰三角形中的等边对等角和等角对等边是互逆的，可根据已知条件灵活选用。
7．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）已知，如图，在中，，，，点D在边上运动，连接，将沿着翻折，点B落在点E处，连接．当时，的长为__________．
【答案】2.5
【难度】0.4
【知识点】两直线平行内错角相等、两直线平行同位角相等、折叠问题、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查了翻折，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，根据翻折得出，，根据平行线的性质得出，，等量代换得出，根据等角对等边得出，即可求解．
【详解】解：∵翻折，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
故答案为：．
8．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，点D在边上，，图中共有_______个等腰三角形．
【答案】3
【难度】0.85
【知识点】三角形内角和定理的应用、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理应用，根据等腰三角形的判定方法，等角对等边，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∴、为等腰三角形，
综上分析可知：等腰三角形共3个．
故答案为：3．
9．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知分别平分和，经过点M的直线平行于，交分别于点D、E，，．
求的周长．
解：BM平分，
_______．
，
（_______）．
_______．
（_______）．
同理可得_______．
周长
_______．
【答案】；两直线平行，内错角相等；；等角对等边；；
【难度】0.85
【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由角平分线的定义得到，由平行线的性质得到，则可证明得到，同理可得，再根据三角形周长计算公式求解即可．
【详解】解： 平分，
．
，
（两直线平行，内错角相等）．
．
（等角对等边）．
同理可得．
周长
．
10．（2026·陕西·模拟预测）如图，与相交于点，．求证：．
【答案】见解析
【难度】0.73
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明边相等
【分析】根据证明，根据全等三角形的性质可得结论．
【详解】证明：∵，
∴．
在和中，
∴ ，
∴．
11．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，为边上一点，为延长线上一点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边证明边相等
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等角对等边等知识，证明是关键．
（1）根据平行线的性质得到，再根据已知即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，，再证明，则，由即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵
∴．
12．（25-26八年级上·河南南阳·月考）已知：如图，在中，，，，、交于点．
(1)求证：；
(2)请判断与的大小关系并证明．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、根据等角对等边证明边相等
【分析】（1）利用定理证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，根据等腰三角形的判定定理证明．
【详解】（1）证明：，
，即，
在和中，，
；
（2）解：，
证明如下：，
，
，
，
，
．
【考点3】根据等角对等边求边长（13-18题）
方法总结
利用角平分线、平行线构造等腰三角形，通过等角对等边将线段进行转化，从而求出未知边长。
常见模型：角平分线+平行线→等腰三角形，可得到腰长与底边的关系，进而求周长或线段长。
解题时往往需要设未知数，利用等腰三角形的性质建立方程。
13．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为_____ ．
【答案】7
【难度】0.85
【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长、三角形角平分线的定义
【分析】本题考查平行线的性质，等角对等边的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，从而可得，进而得到．
【详解】解：∵和的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
故答案为：7．
14．（24-25八年级上·上海普陀·月考）如图，为的角平分线，交于E，若，则_______．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，由角平分线的定义和平行线的性质可证明，则．
【详解】解：∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在中，平分，交于点D，点E在上，连接．已知，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【难度】0.75
【知识点】三角形内角和定理的应用、同位角相等两直线平行、根据等角对等边求边长
【分析】（1）由三角形内角和定理求出，得到，即可推出；
（2）由角平分线和平行线的性质得到，推出，然后由等角对等边求解即可．
【详解】（1）证明：在中，，，
∴．
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
16．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接．
(1)求证：．
(2)若平分，，求线段的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边求边长
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等角对等边，
（1）借助图中隐含条件，对顶角，通过证明，即可得出；
（2）利用（1）中的结论，由角平分线的定义易得，根据等角对等边，推出，再计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵E为中点，
∴，
又，，
∴，
∴；
（2）解：由（1），得，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
17．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)过点D作于点M，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【难度】0.65
【知识点】三线合一、根据等角对等边证明等腰三角形、根据等角对等边求边长
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键．
（1）根据角平分线的定义得，结合平行线的性质可证，然后根据等腰三角形的判定方法即可得解；
（2）利用等腰三角形的性质求得，再利用等腰直角三角形的判定和性质即可求解．
【详解】（1）证明：平分，
，
又，
，
，
为等腰三角形；
（2）解：如图，
为等腰三角形，，
，
，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
则的长为4．
18．（25-26八年级上·全国·月考）（1）如图1，中，与的平分线相交于点F，过点F作 分别交边于点D，E，求证：．
（2）将上题中“的平分线”改为“的外角的角平分线CF”，如图2，其余条件不变，直接写出线段之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）
【难度】0.65
【知识点】角平分线的有关计算、根据等角对等边求边长、两直线平行内错角相等
【分析】本题主要考查了等角对等边、角平分线的定义、平行线的性质等知识点，灵活利用相关知识是解题的关键．
（1）由角平分线的定义可得，由平行线的性质可得，即．由等角对等边可得，最后根据线段的和差即可证明结论；
（2）由角平分线的定义可得，由平行线的性质可得，即．由等角对等边可得，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】（1）证明：∵与的平分线相交于点F，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵与的平分线相交于点F，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【考点4】等腰三角形的性质和判定（19-25题）
方法总结
综合运用等腰三角形的性质和判定，常与旋转、翻折、全等三角形结合。
解题关键：识别图形中的等腰三角形，利用其性质（等边对等角、三线合一）进行角度或线段计算。
对于较复杂的图形，要善于从条件中挖掘出隐含的等腰关系。
19．（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中，，点M是的中点，将线段绕点M逆时针旋转，点A落在边的延长线上的点D处，连接，与边交于点E，，那么________．
【答案】40
【难度】0.65
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质，由等边对等角得到，由线段中点的定义和旋转的性质可得，则；设，可推出，根据三角形内角和定理建立方程求出x即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴；
∵点M是的中点，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴；
设，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：40．
20．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，中，，与的平分线交于点O，过O作，，分别交于点E、F，则的周长为______．
【答案】10
【难度】0.65
【知识点】两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，得到，是解题的关键．由，分别是的和的平分线和，可推出，，根据的周长即为的长度，即可求解．
【详解】解：，分别是，的平分线，
，，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
的周长，
故答案为：
21．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，点在上，，平分，交于点，点是线段的中点，连接与相等吗？请说明理由．
解：结论：__________
理由：
∵平分
∴________
∵________+________．（________）
又∵，
∴__________+__________
∴__________
请完成后面的说理过程：
【答案】见解析
【难度】0.85
【知识点】三线合一、等腰三角形的性质和判定、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质
【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角，正确得出是解题关键，利用角的平分线的意义，结合三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质分析得出答案．
【详解】解：结论：
理由：
∵平分（已知）
∴（角平分线的意义）
∵ ．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
又∵，
∴，
∴（等量代换），
（等角对等边），
点F是线段的中点
∴（线段中点的意义），
（等腰三角形的三线合一）．
22．（24-25七年级下·上海青浦·期末）已知：如图，在中，点在边上，．求证：．
【答案】见解析
【难度】0.65
【知识点】等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，作于点，由等腰三角形的性质可得，再证明，即可得证，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】证明：作于点，
，
，
∵
∴
∴
∴即．
23．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，四边形的对角线，相交于点E，，，点F在上，．
(1)求证：；
(2)若，请直接写出图中所有与互余的角．
【答案】(1)见解析
(2)，，，
【难度】0.6
【知识点】与余角、补角有关的计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）先证明，再利用即可证明；
（2）根据互余的两个角的和为，计算即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
延长交于点，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴所有与互余的角有，，，．
24．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，中，，点在上，连接，作，且，连接．求证：．
【答案】见解析
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、垂线的定义理解
【分析】先通过已知的垂直关系和等腰直角三角形的角度，证明，再利用全等三角形对应角相等，结合等腰直角三角形底角的度数，推导出，从而证明．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【难度】0.7
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质
【分析】（1）由等量代换可得，通过角边角证明；
（2）由可得，，根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而证明．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）证明：由（1）可得，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【考点5】证一条线段等于两条线段和差(全等三角形辅助线)（26-27题）
方法总结
当需要证明 时，常用“截长补短”法：在长线段上截取一段等于短线段，或延长短线段构造全等。
常见模型：四边形中，若 ，且 ，，则可得到 等结论。
证明思路：通过旋转或构造全等三角形，将分散的线段集中到一条直线上，再证明等腰或全等。
26．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）（1）如图1，在四边形中，分别是上的点，且，试猜想图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____________；
（2）如图2，在四边形中，分别是上的点，且，试探究与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【难度】0.4
【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的综合应用．
（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论；
（2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出，即；
（3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．
【详解】解：（1）；理由如下：
如图，延长到点，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
．
，
，
故答案为：；
（2）；理由如下：
如图，延长到点，使，连接，
，，
，
又，
，
，，
，，
，
；
即；
（3）；理由如下：
如图，在延长线上取一点，使得，连接，
，，
，
又，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
即，
．
27．（25-26八年级上·江西上饶·期末）【课本再现】数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，，求的长．
小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点C刚好落在边上的点E处．……
（1）结合小明同学的想法，请直接写出：与的数量关系为 ， ．
【模型应用】
根据上面探究构造全等模型的规律，请解答：
（2）如图2，在四边形中，平分，，，，求的长．
【改编拓展】张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答：
（3）如图3，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、有什么数量关系？请写出你的猜想并证明．
【答案】（1），9；（2）；（3），证明见解析
【难度】0.65
【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、折叠问题
【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）由折叠的性质得，，则，进而得到，则有，再利用线段的和差即可求出的长；
（2）在上截取，连接，通过证明，得到，，进而得到，则，再利用线段的和差即可求出的长；
（3）在上截取，连接，通过证明，得到，，进而得到，则，再利用线段的和差以及线段间的等量代换即可得出结论．
【详解】解：（1）由折叠的性质得，，
，
，
，
又，
，
；
故答案为：，9；
（2）如图，在上截取，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
；
（3），证明如下：
如图，在上截取，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【考点6】创新及压轴题（1-4题）
方法总结
综合运用等腰三角形的判定与性质，结合旋转、折叠、动态几何等问题。
需要灵活添加辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。
对于探究性问题，要通过观察、猜想、证明得出结论，注意分类讨论。
常见模型：手拉手模型、一线三直角、倍长中线、截长补短等。
1．（25-26八年级上·上海·期末）课本在证明直角三角形全等的判定定理时，是通过添加辅助线构造成轴对称的全等三角形，以证明直角三角形全等的判定定理．
如图，已知，在和中，，．求证：．
以下是课本的证明过程：
证明：延长至点，使得，连接．
学习完本单元的知识后，你还有其它的证明方法吗？请用不同于以上课本的证明方法来完成直角三角形判定定理的证明．
【答案】见解析
【难度】0.4
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用SSS间接证明三角形全等（SSS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，以A为顶点，为边，在的外部作，过B作于D，证明，得出，，则，连接，根据等边对等角得出，根据余角的性质得出，根据等角对等边得出，然后根据证明即可．
【详解】证明：如图，以A为顶点，为边，在的外部作，过B作于D，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
连接，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴．
2．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图1，在中，点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接.
(1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________；
(2)求证：；
(3)如图2，过点作的平行线，交的延长线于点.求证：；
(4)连接，当时，如果是等腰三角形，那么的度数为________.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
(4)或
【难度】0.65
【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线判定与性质证明、折叠问题、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，折叠的性质，注意分情况讨论．
（1）根据中点定义得，再由折叠的性质得，可得答案；
（2）根据折叠的性质得，再根据等边对等角得，然后根据平角定义和三角形内角和定义得，最后根据“内错角相等两直线平行”得出答案；
（3）根据平行线的性质得，，进而得出，由折叠的性质得，可得，最后根据“等角对等边”得出答案；
（4）先根据等腰三角形的对称性可知，进而说明，再分三种情况讨论：当时，当时，当时，结合等腰三角形的性质可得答案．
【详解】（1）解：．
∵点D是的中点，
∴.
根据折叠的性质得，
∴，
∴是等腰三角形．
故答案为：；
（2）证明：根据折叠的性质得，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
即，
∴．
根据折叠的性质得，
∴，
∴；
（4）解：如图，连接，交于点，
由，根据等腰三角形的对称性可知是的高线，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
当时，，
∴，
解得；
当时，，
∴，
∴；
当时，，
∴，
此时，
又∵，，，
∴，，
∴点、、重叠，
∵点在直线上方，
∴时，不符合题意．
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
3．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）在中，，将线段绕点C旋转（），得到线段，连接．
(1)如图1，将线段绕点C逆时针旋转，则的度数为______；
(2)将线段绕点C顺时针旋转，
①如图2，求的度数；
②如图3，若的平分线交于点F，交的延长线于点E，连接．用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)，
(2)①；②．证明见解析
【难度】0.42
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）由旋转的性质可得，，则，由等腰三角形的性质可得，，，即可求解；
（2）①由旋转的性质可得：，由等腰三角形的性质求得，即可求解；②如图，过点C作，交的延长线于点G，根据题意可得，垂直平分，得到，由①知，，从而得到，再由得到，得到，由题意可得，根据线段和差关系，得到，即可求解．
【详解】（1）解：在中，，将线段绕点C旋转（），
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
（2）解：①由旋转的性质可得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
②．
证明：如图所示，过点C作，交的延长线于点G，
∵，平分，
∴垂直平分，
∴，
由①知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
4．（25-26八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点．
(1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程；
(2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)，理由见详解；
(2)，理由见详解
【难度】0.4
【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）延长到点，使，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到．
（2）在的延长线上取一点，使得，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到，根据圆周角为，得到．
【详解】（1）解：线段之间的数量关系为：，理由：
如图，延长到点，使，连接，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由：
如图，在的延长线上取一点，使得，连接，
，，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
即，
．
随堂检测 · 精选练习
练习1 等腰三角形角度计算（分类讨论，等腰三角形中高与腰的夹角）。
练习2 旋转与等腰三角形：旋转后形成等腰三角形，求角度。
练习3 直角三角形中构造等腰三角形，求线段长及面积（利用等腰判定）。
练习4 角平分线+平行线模型求三角形周长（等角对等边转化）。
练习5 全等三角形与等腰三角形的综合判定（证边相等）。
1．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，这两个相等的角是底角，另外一个角是顶角．如果一个等腰三角形，其一腰上的高与另一腰的夹角是度，那么这个等腰三角形的顶角等于______度．
【答案】或
【难度】0.65
【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边对等角、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是分两种情况讨论．
本题需要分两种情况，并画图分析，等腰三角形的高可能在三角形的内部或外部，然后进行计算，即可求解．
【详解】解：当等腰三角形的高在三角形的内部时，
如图：，是的高，，
，
∵是的高，
∴，
；
当等腰三角形的高在三角形的外部时，
如图：，是△ABC的高，，
，
∵是的高，
∴，
∴，
综上所述，这个等腰三角形的顶角等于或．
故答案为：或．
分两种情况，等腰三角形的高可能在三角形的内部或外部，即可求解．
本题考查等腰三角形的性质，关键是分两种情况讨论．
2．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，，将绕点旋转得，点、的对应点分别是点、，线段交边于点，连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是___________．
【答案】或
【难度】0.4
【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了图形旋转，等腰三角形，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．
由图形旋转可得两个等腰三角形底角对应相等，分类讨论，根据三角形的内角和定理，分别可得每种情况下的度数，从而可得的度数．
【详解】解：∵将绕点旋转得，，
∴，，，
∴，
∵是等腰三角形，
∴或，
当时，设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，设，则，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：或．
3．（25-26八年级下·重庆万州·开学考试）如图，在中，，，，，点在边上，，点在边上，且，则的长为_____；_____．
【答案】
【难度】0.68
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交于点，交于点，由和得到，可得到，则有，推出，利用全等三角形和直角三角形的性质推出，得到，即可求出的长；过点A作 于点P，根据，可得，即可求出．
【详解】解：如图，作交于点，交于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
又，
，
，，
，
，
，即，
，
，
；
过点A作 于点P，
∵，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
4．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点，若的周长为，则的周长是（　　）
A．14 B．19 C．21 D．23
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】根据等角对等边证明边相等、角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等
【分析】先由角平分线定义及平行线性质得到，，然后由等角对等边确定，再由的周长为，得到，进而求的周长即可．
【详解】解：在中，平分、平分，
，，
，
，，
，，
则，
的周长为，
，
，
的周长是．
5．（2025·山西忻州·三模）如图，在五边形中，，，，连接、、、，试判断和的数量关系并说明理由．
【答案】；见解析．
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定
【分析】先证明，得到，，从而推出，证明，即可得到结论．
【详解】解：．
理由如下：在和中，，，，
．
，．
．
，即．
又，
．
．
课后巩固 · 针对性练习
题1 旋转与等腰三角形：旋转后点落在线段上，求角度（等角对等边）。
题2 等腰直角三角形剪拼成中心对称图形（操作与分类）。
题3 角平分线+平行线模型求三角形周长（等角对等边转化）。
题4 折叠与面积计算（扇形中的等腰三角形）。
题5 旋转与等腰三角形：点落在边上，求旋转角度（分类讨论）。
题6 角平分线、垂直、等腰三角形的综合求线段长（构造等腰）。
题7 等腰三角形外一点构造全等，求角度（等角对等边）。
题8 角平分线+平行线模型求线段和（等角对等边转化）。
题9 角平分线、平行线、等腰三角形的综合证明（垂直）。
题10 全等三角形与等腰三角形判定（证CA=CB）。
题11 平行线、全等、等腰三角形综合（证线段相等）。
题12 全等三角形与等腰三角形判定（证等腰、平行）。
题13 等腰直角三角形手拉手模型（证全等、垂直、中点）。
题14 正方形中的旋转与等腰三角形（求边长、线段长）。
※ 复习建议 本专题重点在于等腰三角形的判定方法（等角对等边）及其与性质的综合应用。建议熟练掌握角平分线+平行线模型（构造等腰三角形），并能灵活运用截长补短法解决线段和差问题。对于综合题，要善于从复杂图形中分离出基本模型，并合理添加辅助线。
1．（25-26七年级上·上海·月考）如图，将绕点逆时针旋转，若点的对应点恰好落在线段的延长线上大小为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求解是解题的关键．根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解．
【详解】解：根据旋转的性质，可得：，
．
故选：D．
2．（24-25七年级上·上海·期末）已知为等腰三角形纸片的底边，．将此三角形纸片沿剪开，得到两个三角形．若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出中心对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】中心对称图形的识别、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义及等腰三角形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握中心对称图形的定义及平行四边形的性质是解题的关键．先证剪得的两个小三角形全等，再进行拼接，得到相应的中心对称图形即可得解．
【详解】∵是等腰三角形的底边，，
∴，
∴剪得的两个小三角形全等．
∵这两个三角形可以组成的中心对称图形是平行四边形，
∴分别让它们的一组对应边重合，另外两组对应边分别平行，能拼出3个平行四边形，
如图所示：即满足题意的中心对称图形有3个．
故选：C
3．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，分别是和的平分线，过点E作，分别交于点D，F．若，，则的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，平行线的性质以及角平分线的定义根据平行线的性质和角平分线的定义得出，，进而解答即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵、分别是和的平分线，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
．
故选：A．
4．（24-25六年级下·上海虹口·期中）图1是一张扇形纸片，，，现将该纸片按图2方式折叠，则图2中图形阴影部分面积为______（取）．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】扇形的周长和面积、根据等角对等边证明等腰三角形
【分析】本题考查了扇形面积的计算，等腰三角形的判定，掌握扇形面积的计算是关键．
根据题意，如图所示，过点作于点，，，由代入计算即可求解．
【详解】解：根据题意，沿折叠得到，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
如图所示，过点作于点，
∴，则，
∴，
∴，，
∴
，
故答案为： ．
5．（24-25八年级上·上海·期中）已知：在中，，，为边的中点，把△绕点顺时针旋转度后，如果点恰好落在初始的边上，那么________．
【答案】或
【难度】0.65
【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识．熟练掌握旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，并分情况求解是解题的关键．
由题意知，分当旋转后的点恰好落在边上时，当旋转后的点恰好落在边上时，两种情况求解作答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
当旋转后的点恰好落在边上时，如图，
由旋转的性质可知，，
∴，
∴；
当旋转后的点恰好落在边上时，如图，
同理，，
∴；
综上所述，或，
故答案为：或．
6．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，D为内一点，平分，垂足为D，交于点E，．若，则的长为__________．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质．由已知条件判定是等腰三角形，且；由等角对等边判定，则易求．
【详解】解：平分，，
∴，，
∵，
∴（），
．
又，
．
．
，，
，
故答案是：．
7．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）如图，在中，，点D为外一点，连接、、，使得，，，则的度数是________．
【答案】/19度
【难度】0.4
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用
【分析】延长至点E，使得，连接．求出，即可证明，得到，，从而得出．设，表示出，，在中根据三角形的内角和定理列出方程，求解即可．
【详解】解：延长至点E，使得，连接．
∵，，
∴，
，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴．
8．（25-26八年级上·安徽六安·期末）在中，，和的平分线分别交于点、，若，，求______．
【答案】
【难度】0.51
【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等、角平分线的有关计算
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，进而可得，然后进行计算即可解答，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴
=
=．
9．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）如图，已知在中，平分，，交延长线交于点E，F是的中点，求证：．
【答案】见解析
【难度】0.65
【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和判定、平行线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
由平分，得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，于是得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵F是的中点，
∴．
10．（25-26八年级上·湖南怀化·月考）如图，在中，D为边上一点，F为延长线上一点，交的延长线于点E，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【难度】0.68
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质
【分析】（1）根据平行线的性质得到，再根据已知，即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，，再利用角的和差关系及平行线的性质得到，利用等腰三角形的性质即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）证明：∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
11．（25-26八年级上·广西来宾·期末）如图，在中，D是边上一点，过点D作交于点F，E是边上一点，并且．过点E作交于点G．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【难度】0.6
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）先证明，，再根据证明即可；
（2）先证明，再证明，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同（1）可证，
∴，
∴．
12．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，与交于点G．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、内错角相等两直线平行
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的判定，证明是解题的关键．
（1）可证明，再利用证明得到，再由等角对等边可证明结论；
（2）可证明，得到，再由三角形内角和定理可推出，据此可证明结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）证明：由（1）得，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
13．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在和中，，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，若，求证：；
(3)如图3，延长交于点F，若，求证：F为中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【难度】0.48
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、根据平行线的性质探究角的关系、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的性质和判定，等角对等边，解题的关键是掌握以上性质．
（1）利用证明，即可得出结论；
（2）根据得出，然后根据三角形内角和定理进行证明即可；
（3）过点B作，交的延长线于点N，根据平行线的性质得出相等的角，根据内错角相等得出，可得，得出相等的角，证明，然后证明，得出对应边相等，即可求证．
【详解】（1）证明：，
，
，
又，
，
；
（2）证明：如图，延长交于点M，交于点O，
，
，
∵，，
，
；
（3）证明：如图所示，过点B作，交的延长线于点N，
，
，
，
，
，
又，
，
∵，
∴和为等腰直角三角形，
∴，
，
，
；
，
，
，
在和中，
，
，
即F为的中点．
14．（24-25七年级上·上海闵行·月考）如图，已知正方形的边长为，点在边上，（点不与点、重合），，，连接，将绕顶点顺时针旋转一个角度后与重合（点的对应点记作点），连接，设交于点．
(1)绕点B旋转的旋转角是______度；是______三角形．
(2)若的面积为20，的面积为6，求、的值．
(3)求的长（结果用含、的代数式表示）．
【答案】(1)；等腰直角
(2)，
(3)
【难度】0.65
【知识点】根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定、整式的混合运算
【分析】本题考查旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、乘法公式等知识，熟练掌握旋转的性质是解答的关键．
（1）根据旋转的性质得，，则，进而可判断的形状；
（2）由旋转性质得到，根据梯形和三角形的面积公式列等式，结合乘法公式解方程求解即可；
（3）根据梯形和三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵将绕顶点顺时针旋转一个角度后与重合，
∴，，则，
∴是等腰直角三角形，
故答案为：；等腰直角
（2）解：由旋转性质得，，
根据题意，，
又，
∴，即，又，
∴，
∴（负值舍去），又，
解得，，或，，
∵，
∴，；
（3）解：根据题意，，
又，
∴，
∴，又，
∴．

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