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专题18.3&18.4 等边三角形和垂直平分线 优等生讲义
(11大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 等边三角形的定义、性质（三边相等，三角均为60°，三线合一，轴对称性）并能熟练进行角度计算和线段推理。
掌握 等边三角形的判定方法：三边相等、三角相等、有一个角是60°的等腰三角形。
理解 线段垂直平分线的性质（到线段两端距离相等）和判定（到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上）。
掌握 尺规作图：作线段垂直平分线、作垂线、作等腰三角形。
熟练运用 等边三角形和垂直平分线的知识解决几何综合题、旋转、翻折、最短路径等问题。
体会 转化思想、模型思想（将军饮马、倍长中线等）在几何中的应用。
核心思想：等边三角形特殊性质 · 垂直平分线模型 · 将军饮马
知识梳理 · 核心知识点
☆ 等边三角形的性质
定义： 三边都相等的三角形叫做等边三角形，是特殊的等腰三角形。
角： 三个内角都相等，且均为60°。
三线合一： 等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合。
对称性： 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴（各边上的高所在直线）。
其他性质： 等边三角形重心、内心、外心、垂心重合（中心）。
☆ 等边三角形的判定
定义法： 三边相等的三角形是等边三角形。
角判定法： 三个角都相等的三角形是等边三角形（三角均为60°）。
等腰三角形+60°角： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
注意：仅有一个角是60°的三角形不一定是等边三角形，必须是等腰三角形且顶角或底角为60°。
☆ 线段垂直平分线的性质与判定
性质： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形外心： 三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，锐角三角形外心在三角形内，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在三角形外。
☆ 尺规作图
作已知线段的垂直平分线： 分别以线段两端点为圆心，大于1/2线段长为半径画弧，两弧交于两点，连接即得。
过一点作已知直线的垂线： 以点为圆心适当半径画弧交直线于两点，再作这两点连线的垂直平分线。
作等腰三角形： 根据已知条件（底边、高、腰等）灵活作图。
☆ 最短路径问题（将军饮马）
基本模型： 直线l同侧有两点A、B，在l上找一点P使PA+PB最小。方法：作点A关于l的对称点A’，连接A’B交l于P，最小值为A’B。
变式： 两点在直线两侧直接连接；求三角形周长最小、路径最短等，常利用轴对称将折线转化为直线。
核心知识速查表
类别 核心内容 应用要点
等边三角形性质 三边相等，三角60°，三线合一 角度计算、线段相等、面积
等边三角形判定 三边相等/三角相等/等腰+60° 证明三角形是等边三角形
垂直平分线性质 点到两端点距离相等 线段相等、求周长、外心
垂直平分线判定 到两端点距离相等的点在线段垂直平分线上 证明点在垂直平分线上
尺规作图 作垂直平分线、垂线、等腰三角形 保留作图痕迹，叙述步骤
最短路径 轴对称转化、将军饮马 求最小值、设计路线
核心考点 ·11类题型精讲
【考点1】等边三角形的性质（1-6题）
方法总结
等边三角形三角均为60°，利用这一性质进行角度计算。
等边三角形三边相等，可进行边长的转化，常与旋转、全等结合。
等边三角形中“三线合一”常用于证明垂直、平分。
在等边三角形中构造等腰三角形时，注意利用60°角构造等边三角形或等腰三角形。
1．（24-25八年级上·上海·期中）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两个全等的三角形一定关于某点成中心对称
B．周长相等的两个等边三角形全等
C．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在等边三角形中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·上海长宁·月考）如图，已知，在平面内取一点，满足（），以为边作等边（在的逆时针方向上），作平分，的度数是________．（用含的代数式表示）
4．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，一束平行光线照射在等边上，如果，那么___________°．
5．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，将等边三角形分割成4个小等边三角形，沿着等边三角形的任意一条对称轴对折，互相重合的两个小等边三角形中的单项式的值都相等，那么__________．
6．（24-25六年级下·上海·月考）如图所示，是正三角形，其中弧、弧、弧的圆心依次是点A、B、C，它们依次相连接，如果，求曲线的长．
【考点2】等边三角形的判定（7-11题）
方法总结
判定等边三角形的常用方法：①三边相等；②三角相等；③等腰三角形且有一个角为60°。
注意条件“一个外角为120°的等腰三角形”可推出内角为60°或120°（120°不成立，实际为60°），因此是等边三角形。
代数条件如 可推出 ，即 ，故为等边三角形。
几何证明中，常通过角度计算或构造全等证出60°角及等腰关系。
7．（24-25七年级下·上海·月考）下列说法中，正确的有（ ）个
①有一个外角为的等腰三角形是等边三角形
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形
③三个外角都相等的三角形是等边三角形
④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形
⑤的三边为，满足，则这个三角形是等边三角形
A． B． C． D．
8．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知三角形ABC的三边，，满足，则三角形的形状（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．任意三角形
9．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点分别在边上，，是的平分线，．给出下面四个结论：①；②；③若，则是等边三角形；④若平分，则．上述结论中，正确结论的序号有______．
10．（25-26八年级上·湖北荆门·月考）如图，在中，，D是上一点，且，且，连接、、．
(1)求的度数；
(2)证明：是等边三角形．
11．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，D为的中点，，垂足分别为E，F，且．求证：是等边三角形．
【考点3】等边三角形的判定和性质（12-18题）
方法总结
综合运用等边三角形的性质与判定，常与旋转、翻折、动点问题结合。
旋转60°常构造等边三角形，从而实现线段转移。
通过等边三角形中的全等（手拉手模型）证明线段相等或角度关系。
在动态问题中，利用等边三角形的对称性求最值（如将军饮马）或求角度。
12．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，则______．
13．（24-25七年级下·上海·期末）在中，，，于D，绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上，则的度数是________．
14．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，等边三角形的边长为6，、分别为、边上的点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则___________．
15．（24-25七年级下·上海青浦·期末）在中，，点是边上一点，且（如图）．将折叠，使点与点重合，折痕分别交边于点，点是线段上一点，连接，那么周长的最小值为___________．
16．（25-26八年级上·福建南平·月考）在中，，，，垂足为，且，，分别是边，上的点，且．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，，求的长．
17．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）已知，为等边三角形，点D在边上．
(1)【基本图形】如图1，以为一边作等边，连接．可得．
(2)【迁移运用】如图2，点F是边上一点，以为一边作等边三角形．求证：．
(3)【类比探究】如图3，点F是边的延长线上一点，以为一边作等边三角形．试探究线段三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．
18．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）如图，和都是等边三角形，且B，C，D在同一直线上，连接，分别交，于点G，F，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
【考点4】线段垂直平分线的性质（19-22题）
方法总结
垂直平分线上的点到线段两端距离相等，常用于求线段长或周长转化。
当出现垂直平分线时，连接线段端点与垂直平分线上点，可得到等腰三角形。
最短路径问题常利用垂直平分线（轴对称）求对称点，再转化为两点之间线段最短。
19．（25-26八年级上·上海·月考）如图，中，垂直平分于D，交于E点，若，的周长为9，则的长为________．
20．（25-26八年级上·上海·期中）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为（ ）．
A． B． C． D．
21．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）如图，在中，，用尺规作图在边上确定一点P，使，则一定符合要求的选项是（ ）
A． B．
C． D．
22．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，且的周长为，求底边的长．
【考点5】线段垂直平分线的判定（23-25题）
方法总结
证明点在垂直平分线上，只需证明该点到线段两端点的距离相等。
也可证明该点在线段的中垂线上（过中点且垂直）。
常与全等三角形结合，通过证边相等得出点在线段垂直平分线上。
两个点的垂直平分线确定后，可证直线垂直平分线段。
23．（25-26八年级上·上海·月考）已知在三角形中，点D是边上一点，P是线段上一点，，．
求证：．
方法一：∵．
∴，即
在和中，
∴（_______）
∴，（_________）
∴（_______）
方法二：∵，，
∴，（_______）
∴
在和中，
∴
∴，
∴点，点在线段的垂直平分线上（________）
∴垂直平分（_________）
即
24．（24-25七年级下·上海·月考）如图，中，，D为边的中点，F为的延长线上一点，过点F作于G点，并交于E点，试说明下列结论成立的理由：
(1)；
(2)点A在的垂直平分线上．
25．（25-26八年级上·上海宝山·期中）如图，在中，，点，是边上不重合两点且满足，作垂足为点垂足为点和交于形内一点．
(1)求证：；
(2)连接，，求证：直线是边的垂直平分线．
【考点6】作已知线段的垂直平分线（26-27题）
方法总结
尺规作图作垂直平分线：分别以线段两端点为圆心，大于一半长为半径画弧，两弧交于两点，连接即得。
作垂直平分线后可得到中点、垂线，常用于找对称轴、找圆心等。
注意保留作图痕迹，叙述作图步骤时语言准确。
26．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在Rt中，
(1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点
(2)连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）．
27．（25-26八年级上·上海宝山·期中）操作与探究：
定义：已知两点、位于直线的同侧，在直线上存在一点，使，则点称为两点、的“等距点”．在直线上存在一点，使的和最短，则点称为两点、的“最佳观测点”．
(1)在左图和右图中分别作出“等距点”点和“最佳观测点”点（要求尺规作图，保留作图痕迹，简要说明作图步骤）；
(2)如图，在直线上存在一点，使点既是两点、的“等距点”又是两点、的“最佳观测点”，求证：此时两点、所在的直线和直线平行．
【考点7】作垂线(尺规作图)（28-29题）
方法总结
过一点作已知直线的垂线：以点为圆心画弧交直线于两点，再作这两点连线的垂直平分线。
也可通过作已知线段垂直平分线得到垂线。
翻折问题中，对称轴是对应点连线的垂直平分线，常需作出对称轴。
28．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）如图，已知四边形．
（保留作图痕迹，不写作图步骤，写出结论）
(1)如果点、关于直线对称，画出直线，并画出四边形关于直线成轴对称的图形：（在图①中画出）
(2)如果和关于点成中心对称（点、、的对称点分别是点、、）．请找出点并补全和．（在图②中画出）
29．（25-26七年级上·上海·月考）如图，已知长方形，点在线段上，将沿直线翻折后，点落在线段上的点．
(1)用圆规和直尺画出（保留作图痕迹）；
(2)如果的周长为，的周长为，用含有的代数式表示的长度．
【考点8】作等腰三角形(尺规作图)（30-32题）
方法总结
作等腰三角形时，通常先作底边，再作底边的垂直平分线，在垂直平分线上取点确定顶点。
已知腰长和底边，或已知底边和高，均可作出等腰三角形。
注意：作等腰三角形需保证三角形存在性（两边之和大于第三边）。
30．（25-26八年级上·江苏南通·期末）利用直尺和圆规作，使，以下作法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
31．（25-26八年级上·山东聊城·期末）问题：如图1，已知为钝角三角形，，用尺规作的高．
作法：如图2，①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点；②连接；③延长交于点．线段即为的高．
判定为高的依据是________．
32．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知线段，利用尺规作图法作等腰，使得底边MN上高的长度等于线段MN的长度．（不写作法，保留作图痕迹）
【考点9】已知外心的位置判断三角形的形状（33-34题）
方法总结
三角形外心是三条边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等。
锐角三角形外心在三角形内部；直角三角形外心在斜边中点；钝角三角形外心在三角形外部。
利用尺规作图确定外心位置，可反推三角形形状。
33．（2024九年级上·浙江·专题练习）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
34．（2024·河北保定·二模）如图，在中，，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到的外心，作法如下：
嘉嘉： 作的垂直平分线，交于点O，点O即为的外心 淇淇： 作和的平分线，两条角平分线交于点O，点O即为的外心
对于两人的作图方法，下列说法正确的是（ ）
A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．两人都正确 D．两人都错误
【考点10】最短路径问题（35-37题）
方法总结
将军饮马模型：直线同侧两点，在直线上找一点使距离和最小作对称点，连线得交点。
两条直线夹角问题，需作两次对称，将折线段转化为直线段。
三角形内求最值（如BE+EF最小）常利用对称将折线转化为直线，结合垂线段最短。
35．（2026七年级下·全国·专题练习）某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ）
A． B．
C． D．
36．（25-26八年级上·广东江门·期末）综合与实践
【阅读材料】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．
【问题提出】如题1图，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，将军到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题．
【问题探究】（1）如题2图，直线的两侧分别有两点，请你在直线上确定一个点，使最短．
【问题解决】（2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如题3图，请你用尺规作图在直线上求出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
【评价反思】
（3）如题4图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角，牧马人从地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．已知，请在备用图题5图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程．
37．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）如图，在等腰中，，于点，两动点，分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为_____．
【考点11】创新及压轴题（38-41题）
方法总结
倍角问题：当出现2倍角时，常通过构造等腰三角形（作角平分线、延长边等）转化。
手拉手模型：两个共顶点的等边三角形（或等腰直角三角形）可得全等，进而证边角关系。
倍长中线构造全等，解决线段范围或长度问题。
最短路径与等边三角形结合，需灵活运用轴对称、旋转等变换。
38．（25-26八年级下·广西南宁·月考）【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形．
(1)如图①，若，可作的平分线交于点，则 是等腰三角形；
(2)如图②，若，可延长至点D，使，连接，则 是等腰三角形；
(3)如图③，若，以C为顶点，为一边，在外作，交的延长线于点D，则是等腰三角形，请说明理由；
(4)【解决问题】
如图④，在中，，求证：．
39．（25-26八年级上·广西来宾·期末）（1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：．
（2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状．
40．（25-26八年级上·全国·期末）综合探究
【问题背景】直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得的值最小．
【解法探究】如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为．
(1)【深入研究】如图2，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点．若，求的最小值．
(2)【应用拓展】如图3，草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知，请在图中设计一条路线，使马所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程．
41．（25-26八年级上·陕西西安·期末）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．
(1)【问题解决】如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明发现可以用上面的方法解决该题并作出了如下的辅助线（延长至点，使，连接），请结合小明做的辅助线，直接写出的取值范围______；
(2)【类比运用】如图2，，点为的中点，，，求的长；
(3)【拓展探究】如图3，在和中，，，．连接，，点是的中点，连接并延长，与相交于点．若，，请直接写出的长度．
随堂检测 · 精选练习
练习1 直角三角形与折叠（30°角、翻折、平行线）求角度。
练习2 实际应用：梯子滑动问题，解直角三角形求距离。
练习3 三个等边三角形摆放求角度和（利用外角、三角形内角和）。
练习4 直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半，求角度。
练习5 三角形内心与外心结合，求角度（利用角平分线和垂直平分线性质）。
1．（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，，点D在边上且，连接，点G在线段上（不与点C、D重合），直线l过点D，将沿着直线l翻折（点G关于直线l的对称点为点P）．若点P在过点G且与平行的直线上，那么的度数为________°．
2．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，在一个房间内，一把长米的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面夹角为，如果保持梯子底端位置不变，将梯子顶端靠在对面墙上（即变为），此时梯子与地面夹角为，那么D、E两点间的距离是______米．
3．（24-25八年级上·上海·单元测试）如图所示是由三个等边三角形随意摆放的图形，则的度数为 ______ ．
4．（25-26八年级上·上海·月考）若在中，，，，则________．
5．（25-26八年级上·上海长宁·月考）如图，在中，是三角形三条角平分线的交点，是三边垂直平分线的交点，连接，，，，若，则的度数是________．
课后巩固 · 针对性练习
题1 等边三角形判定定理真假判断。
题2 等腰三角形存在性问题（点在直线上的分类讨论）。
题3 等边三角形旋转模型，判断结论正误。
题4 等边三角形规律探究（特殊三角形边长关系）。
题5 等边三角形中线求角度。
题6 等腰三角形旋转求角度（垂直、中点条件）。
题7 等边三角形中将军饮马求最小值。
题8 动点与全等三角形（分类讨论求时间）。
题9 垂直平分线性质求周长（转化）。
题10 等边三角形与全等，证明垂直并求角度。
题11 等边三角形与角平分线，证线段相等（手拉手模型）。
题12 四边形与等边三角形综合，证等边三角形及线段关系。
题13 等腰三角形与垂直平分线，证垂直及线段相等。
题14 等腰三角形与角平分线，证垂直及线段和差。
题15 尺规作图找外心，求角度。
题16 垂直平分线性质，求角度和周长。
※ 复习建议 本专题重点在于等边三角形的特殊性质与判定，以及线段垂直平分线的性质与应用。建议熟练掌握等边三角形的60°角和三线合一，理解垂直平分线作为对称轴的作用。对于最短路径问题，掌握将军饮马模型及两次对称的解法。尺规作图要保留痕迹并准确描述步骤。
1．（24-25七年级下·上海崇明·期末）下列命题中真命题的个数是（　　）
①三边相等的三角形是等边三角形
②三个内角相等的三角形是等边三角形
③有一个内角是的三角形是等边三角形
④有两个内角是的三角形是等边三角形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（23-24八年级上·江苏无锡·月考）如图，已知：在中，，，在直线上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
3．（24-25八年级上·四川成都·期中） 如图，在等边三角形中，点是边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，，则下列结论正确的有（ ）
①；②；③的周长等于16；④是等边三角形．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则等于（ ）
A．18 B．21 C．24 D．27
5．（24-25七年级下·上海虹口·期末）若线段是等边的中线，则的度数是________．
6．（2025·江苏南通·一模）如图，中，，，垂足为D，将绕点C顺时针旋转，得到，点B的对应点E落在上，若，则的度数为______°．
7．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，是等边三角形，平分，点E是边的中点，F是线段上一点，若，，则的最小值为________．
8．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知三条边的长都为，三个内角都相等，点、同时从点A出发，点以每秒速度沿向点运动，点以每秒速度沿折线运动，当点到达点时，点也同时停止运动．如果点在边上，且以A、、中的两点和点为顶点构成的三角形与全等，那么运动的时间为___________秒．
9．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是___________
10．（25-26八年级下·北京·开学考试）如图，与都是等边三角形，点在边上，于点，连接．
(1)求证：．
(2)求的度数．
11．（25-26八年级下·江苏南京·开学考试）如图，是等边三角形，点M在边上，P是延长线上一点，N是的平分线上一点，．求证：
(1)；
(2)．
12．（25-26九年级下·北京·开学考试）如图，在四边形中，，，，．作的平分线，与的延长线交于点E，延长至点F，使得，延长，交于点G．
(1)证明：为等边三角形；
(2)判断与的数量关系，并证明．
13．（25-26八年级下·湖北武汉·开学考试）如图，在中，，点P为射线上一点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
14．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，在中，，，是的平分线，交于点，是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．求证：
(1)；
(2)．
15．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）某市在园艺博览会期间要修建一处公共服务设施，使它到三个展馆A，B，C的距离相等．
(1)若三个展馆A，B，C的位置如图所示，请你在图中确定公共服务设施（用点P表示）的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，求的度数．
16．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，，，的垂直平分线交于点．
(1)求的度数；
(2)若 ， ，求的周长．专题18.3&18.4 等边三角形和垂直平分线 优等生讲义
(11大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 等边三角形的定义、性质（三边相等，三角均为60°，三线合一，轴对称性）并能熟练进行角度计算和线段推理。
掌握 等边三角形的判定方法：三边相等、三角相等、有一个角是60°的等腰三角形。
理解 线段垂直平分线的性质（到线段两端距离相等）和判定（到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上）。
掌握 尺规作图：作线段垂直平分线、作垂线、作等腰三角形。
熟练运用 等边三角形和垂直平分线的知识解决几何综合题、旋转、翻折、最短路径等问题。
体会 转化思想、模型思想（将军饮马、倍长中线等）在几何中的应用。
核心思想：等边三角形特殊性质 · 垂直平分线模型 · 将军饮马
知识梳理 · 核心知识点
☆ 等边三角形的性质
定义： 三边都相等的三角形叫做等边三角形，是特殊的等腰三角形。
角： 三个内角都相等，且均为60°。
三线合一： 等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）。
对称性： 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴（各边上的高所在直线）。
其他性质： 等边三角形重心、内心、外心、垂心重合（中心）。
☆ 等边三角形的判定
定义法： 三边相等的三角形是等边三角形。
角判定法： 三个角都相等的三角形是等边三角形（三角均为60°）。
等腰三角形+60°角： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
注意：仅有一个角是60°的三角形不一定是等边三角形，必须是等腰三角形且顶角或底角为60°。
☆ 线段垂直平分线的性质与判定
性质： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形外心： 三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，锐角三角形外心在三角形内，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在三角形外。
☆ 尺规作图
作已知线段的垂直平分线： 分别以线段两端点为圆心，大于1/2线段长为半径画弧，两弧交于两点，连接即得。
过一点作已知直线的垂线： 以点为圆心适当半径画弧交直线于两点，再作这两点连线的垂直平分线。
作等腰三角形： 根据已知条件（底边、高、腰等）灵活作图。
☆ 最短路径问题（将军饮马）
基本模型： 直线l同侧有两点A、B，在l上找一点P使PA+PB最小。方法：作点A关于l的对称点A’，连接A’B交l于P，最小值为A’B。
变式： 两点在直线两侧直接连接；求三角形周长最小、路径最短等，常利用轴对称将折线转化为直线。
核心知识速查表
类别 核心内容 应用要点
等边三角形性质 三边相等，三角60°，三线合一 角度计算、线段相等、面积
等边三角形判定 三边相等/三角相等/等腰+60° 证明三角形是等边三角形
垂直平分线性质 点到两端点距离相等 线段相等、求周长、外心
垂直平分线判定 到两端点距离相等的点在线段垂直平分线上 证明点在垂直平分线上
尺规作图 作垂直平分线、垂线、等腰三角形 保留作图痕迹，叙述步骤
最短路径 轴对称转化、将军饮马 求最小值、设计路线
核心考点 ·11类题型精讲
【考点1】等边三角形的性质（1-6题）
方法总结
等边三角形三角均为60°，利用这一性质进行角度计算。
等边三角形三边相等，可进行边长的转化，常与旋转、全等结合。
等边三角形中“三线合一”常用于证明垂直、平分。
在等边三角形中构造等腰三角形时，注意利用60°角构造等边三角形或等腰三角形。
1．（24-25八年级上·上海·期中）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两个全等的三角形一定关于某点成中心对称
B．周长相等的两个等边三角形全等
C．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】全等三角形的性质、等边三角形的性质、判断命题真假、中心对称图形的识别
【分析】分别根据全等三角形的判定，中心对称，等边三角形的性质，垂线，三角形外角的定义判断即可．
【详解】解：A．两个全等的三角形不一定关于某点成中心对称，原命题是假命题；
B．周长相等的两个等边三角形边长相等，故全等，真命题．
C．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，真命题．
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，真命题．
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理，全等三角形的判定，中心对称，等边三角形的性质，垂线，三角形外角的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键．
2．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在等边三角形中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三线合一定理和垂直的定义得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则．
【详解】解：∵在等边三角形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
3．（25-26八年级上·上海长宁·月考）如图，已知，在平面内取一点，满足（），以为边作等边（在的逆时针方向上），作平分，的度数是________．（用含的代数式表示）
【答案】或
【难度】0.65
【知识点】等边三角形的性质、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题
【分析】本题主要考查了角平分线定义，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质．分两种情况讨论：当在的内部时，当在的外部时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：当在的内部时，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，
∵（），，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
当在的外部时，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，
∵（），，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
综上分析可知：的度数是或．
故答案为：或．
4．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，一束平行光线照射在等边上，如果，那么___________°．
【答案】85
【难度】0.65
【知识点】等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查的是平行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质，先求解，再结合等边三角形与三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：如图，
∵为等边三角形，
∴，
∴；
∵平行光线，
∴，
∴，
故答案为：．
5．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，将等边三角形分割成4个小等边三角形，沿着等边三角形的任意一条对称轴对折，互相重合的两个小等边三角形中的单项式的值都相等，那么__________．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查轴对称的性质，代数式求值，等边三角形的性质，根据对称性得到，解方程组得到a，b的值，然后代入计算即可．
【详解】解：由题意可得，解得，
∴，
故答案为：．
6．（24-25六年级下·上海·月考）如图所示，是正三角形，其中弧、弧、弧的圆心依次是点A、B、C，它们依次相连接，如果，求曲线的长．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】等边三角形的性质、求弧长
【分析】本题考查了利用了弧长公式的应用，解题的关键是掌握弧长=，n为弧所对的圆心角的度数，r圆的半径．由是正三角形，可得，，则，，根据曲线的长为，计算求解即可．
【详解】解：∵是正三角形，
∴，，
∴，，
∴曲线的长为，
∴曲线的长为．
【考点2】等边三角形的判定（7-11题）
方法总结
判定等边三角形的常用方法：①三边相等；②三角相等；③等腰三角形且有一个角为60°。
注意条件“一个外角为120°的等腰三角形”可推出内角为60°或120°（120°不成立，实际为60°），因此是等边三角形。
代数条件如 可推出 ，即 ，故为等边三角形。
几何证明中，常通过角度计算或构造全等证出60°角及等腰关系。
7．（24-25七年级下·上海·月考）下列说法中，正确的有（ ）个
①有一个外角为的等腰三角形是等边三角形
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形
③三个外角都相等的三角形是等边三角形
④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形
⑤的三边为，满足，则这个三角形是等边三角形
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】等边三角形的判定、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，根据等边三角形的判定定理及等腰三角形的判定和性质逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：①因为有一个外角为，则与之相邻的内角为，故这个等腰三角形是等边三角形，该说法正确；
②因为等腰三角形底角的外角相等，所以有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，该说法错误；
③因为三个外角都相等，则三个内角都相等，为，故这个三角形是等边三角形，该说法正确；
④因为等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合，所以有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，该说法错误；
⑤的三边为，满足，可得或或，得到或或，所以这个三角形是等腰三角形，该说法错误；
综上，正确的说法有个，
故选：．
8．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知三角形ABC的三边，，满足，则三角形的形状（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．任意三角形
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】因式分解的应用、完全平方公式分解因式、等边三角形的判定
【分析】本题考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法、非负数的性质、等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．将等号两边均乘以2，利用配方法变形，得，再利用非负数的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，，，
∴，
∴为等边三角形．
故选：C．
9．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点分别在边上，，是的平分线，．给出下面四个结论：①；②；③若，则是等边三角形；④若平分，则．上述结论中，正确结论的序号有______．
【答案】①②③
【难度】0.65
【知识点】等腰三角形的性质和判定、三线合一、等边三角形的判定
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键．由等腰三角形三线合一定理可得，据此可判断①；根据等边对等角和三角形内角和定理可推出，进而得到，据此可判断②；若，则可导角证明，据此可判断③；根据现有条件无法证明④的结论．
【详解】解：①∵，
∴是等腰三角形．
∵是的平分线，
∴．
故①符合题意；
②∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故②符合题意；
③∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
故③符合题意；
④若平分，
∵无法判断是否
∴无法证明．
故④不符合题意．
综上，符合题意的序号为①②③．
故答案为：①②③．
10．（25-26八年级上·湖北荆门·月考）如图，在中，，D是上一点，且，且，连接、、．
(1)求的度数；
(2)证明：是等边三角形．
【答案】(1)
(2)见解析
【难度】0.75
【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）根据等角对等边、三角形内角和定理和两直线平行同位角相等，求得和利用“”证得，然后根据全等三角形对应角相等即可解答；
（2）根据全等三角形对应边和对应角相等，求得，再根据有一个内角是的等腰三角形为等边三角形即可证得结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
11．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，D为的中点，，垂足分别为E，F，且．求证：是等边三角形．
【答案】见解析
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角、等边三角形的判定
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，掌握相关判定与性质是解题的关键．
先证明，推出，进而推出，即可证明是等边三角形．
【详解】证明：，
，
为的中点，，
．
在和中，
，
，
，
，
是等边三角形．
【考点3】等边三角形的判定和性质（12-18题）
方法总结
综合运用等边三角形的性质与判定，常与旋转、翻折、动点问题结合。
旋转60°常构造等边三角形，从而实现线段转移。
通过等边三角形中的全等（手拉手模型）证明线段相等或角度关系。
在动态问题中，利用等边三角形的对称性求最值（如将军饮马）或求角度。
12．（24-25七年级下·上海杨浦·月考）如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，则______．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质与判定；根据题意，将绕点逆时针旋转后得到的，又根据旋转的性质，得出是等边三角形，可得，进而根据，即可求解．
【详解】解：三角形中，，，
，
将绕点逆时针旋转后得到的，
，，，
是等边三角形，
，
，
故答案为：．
13．（24-25七年级下·上海·期末）在中，，，于D，绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上，则的度数是________．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质、等边对等角
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等；也考查了等腰三角形的性质．
连接，如图，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出，再根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，所以，然后计算即可．
【详解】解：连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，即垂直平分，
∴，
∵绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：．
14．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，等边三角形的边长为6，、分别为、边上的点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则___________．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质.
设交于，可得为等边三角形，，即得，，又由旋转得，，即可得到，得到为等边三角形，进而可得，即可得到．
【详解】解：设交于，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，，
∴，，
∵绕点D逆时针旋转，得到，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．（24-25七年级下·上海青浦·期末）在中，，点是边上一点，且（如图）．将折叠，使点与点重合，折痕分别交边于点，点是线段上一点，连接，那么周长的最小值为___________．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】折叠问题、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，折叠的性质，垂直平分线的性质，先证明是等边三角形，根据垂直平分线的性质可得，在上时，取得最小值，进而根据三角形的周长公式计算即可求解．
【详解】解：如图，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴
∵是折痕，点与点重合，
∴垂直平分，
∵点是线段上一点，
∴
∴在上时，取得最小值，
即周长最小值为：
故答案为：．
16．（25-26八年级上·福建南平·月考）在中，，，，垂足为，且，，分别是边，上的点，且．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【难度】0.65
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、三线合一
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得，再由，即可得证；
（2）根据等边三角形的性质得，，证明得，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
即的长为．
17．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）已知，为等边三角形，点D在边上．
(1)【基本图形】如图1，以为一边作等边，连接．可得．
(2)【迁移运用】如图2，点F是边上一点，以为一边作等边三角形．求证：．
(3)【类比探究】如图3，点F是边的延长线上一点，以为一边作等边三角形．试探究线段三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)证明见解析
(3)，理由见解析
【难度】0.65
【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质
【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，
（1）根据等边三角形的性质证明，即可求解；
（2）过点D作，交于点G，可证为等边三角形，再证明，即可求解；
（3）过点D作，交于点G，可证为等边三角形，再证明，即可求解．
【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形，
∴，
∴，即，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图2，过点D作，交于点G，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，即，
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，
理由如下：如图3，过点D作，交于点G，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，即，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
18．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）如图，和都是等边三角形，且B，C，D在同一直线上，连接，分别交，于点G，F，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【难度】0.65
【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，从而，即可证明，根据全等三角形的性质得证结论；
（2）先求得，证明，得到，证明是等边三角形，即可求解．
【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴．
【考点4】线段垂直平分线的性质（19-22题）
方法总结
垂直平分线上的点到线段两端距离相等，常用于求线段长或周长转化。
当出现垂直平分线时，连接线段端点与垂直平分线上点，可得到等腰三角形。
最短路径问题常利用垂直平分线（轴对称）求对称点，再转化为两点之间线段最短。
19．（25-26八年级上·上海·月考）如图，中，垂直平分于D，交于E点，若，的周长为9，则的长为________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握知识点线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线性质知，再由的周长求出，即可求解．
【详解】解：垂直平分于D，
，
的周长为，
，，
，
，
故答案为：．
20．（25-26八年级上·上海·期中）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点F，若D为边上的动点，M为线段上一动点，则最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题、线段垂直平分线的性质
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，连接，由线段垂直平分线的性质得到，则当A、D、M三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此根据三角形面积计算公式求出线段的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵腰的垂直平分线交于点F，
∴，
∴，
∵，且垂线段最短，
∴当A、D、M三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，
∵的长为，的面积是，
∴此时，
∴，
∴的最小值为，
故选：D．
21．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）如图，在中，，用尺规作图在边上确定一点P，使，则一定符合要求的选项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质
【分析】本题主要考查了尺规作图，垂直平分线判定，准确理解题意是解题的关键．
在上找一点使得，必须使得，所以作线段的垂直平分线即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴点在垂直平分线上，
∴作线段的垂直平分线，
故选：D．
22．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，且的周长为，求底边的长．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键，由垂直平分，可得，则可求出的周长为，把的值代入即可求出．
【详解】解：垂直平分，
，
的周长为，
，
，解得，
底边的长为．
【考点5】线段垂直平分线的判定（23-25题）
方法总结
证明点在垂直平分线上，只需证明该点到线段两端点的距离相等。
也可证明该点在线段的中垂线上（过中点且垂直）。
常与全等三角形结合，通过证边相等得出点在线段垂直平分线上。
两个点的垂直平分线确定后，可证直线垂直平分线段。
23．（25-26八年级上·上海·月考）已知在三角形中，点D是边上一点，P是线段上一点，，．
求证：．
方法一：∵．
∴，即
在和中，
∴（_______）
∴，（_________）
∴（_______）
方法二：∵，，
∴，（_______）
∴
在和中，
∴
∴，
∴点，点在线段的垂直平分线上（________）
∴垂直平分（_________）
即
【答案】见解析
【难度】0.65
【知识点】三线合一、线段垂直平分线的判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两点确定一条直线
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握三角形全等的判定是解题关键．
方法一：先求出，再根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据等腰三角形的三线合一即可得证．
方法二：先根据三角形的外角性质可得，再根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，，然后证出垂直平分，由此即可得证．
【详解】证明：方法一：∵．
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，（全等三角形的性质），
∴（等腰三角形的三线合一）．
方法二：∵，，
∴，（三角形的外角性质），
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴点，点在线段的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定），
∴垂直平分（两点确定一条直线），
即．
24．（24-25七年级下·上海·月考）如图，中，，D为边的中点，F为的延长线上一点，过点F作于G点，并交于E点，试说明下列结论成立的理由：
(1)；
(2)点A在的垂直平分线上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【难度】0.65
【知识点】三线合一、线段垂直平分线的判定
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的判定，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
（1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后利用垂直于同一条直线的两条直线平行，即可解答；
（2）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用等角对等边可得，即可解答．
【详解】（1）解：∵，为边的中点，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，为边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点在的垂直平分线上．
25．（25-26八年级上·上海宝山·期中）如图，在中，，点，是边上不重合两点且满足，作垂足为点垂足为点和交于形内一点．
(1)求证：；
(2)连接，，求证：直线是边的垂直平分线．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，等角对等边．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先结合，，得，又因为，所以，然后根据，证明，则，即；
（2）先由（1）得，，，则，即点P在的垂直平分线上，因为，得，故，即，得点A在的垂直平分线上，进行作答．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴；
（2）解：由（1）得，，，
则，
∴，
即点P在的垂直平分线上，
连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴点A在的垂直平分线上，
∴直线是边的垂直平分线．
【考点6】作已知线段的垂直平分线（26-27题）
方法总结
尺规作图作垂直平分线：分别以线段两端点为圆心，大于一半长为半径画弧，两弧交于两点，连接即得。
作垂直平分线后可得到中点、垂线，常用于找对称轴、找圆心等。
注意保留作图痕迹，叙述作图步骤时语言准确。
26．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在Rt中，
(1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点
(2)连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）．
【答案】(1)见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质
【分析】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质是解决问题的关键．
（1）基本作图，作线段的垂直平分线，分别交线段于点，点即为所求作；
（2）根据线段垂直平分线的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于两点，作直线，分别交线段、与点，点即为所求作；
（2）解：是线段的垂直平分线，
．
27．（25-26八年级上·上海宝山·期中）操作与探究：
定义：已知两点、位于直线的同侧，在直线上存在一点，使，则点称为两点、的“等距点”．在直线上存在一点，使的和最短，则点称为两点、的“最佳观测点”．
(1)在左图和右图中分别作出“等距点”点和“最佳观测点”点（要求尺规作图，保留作图痕迹，简要说明作图步骤）；
(2)如图，在直线上存在一点，使点既是两点、的“等距点”又是两点、的“最佳观测点”，求证：此时两点、所在的直线和直线平行．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【难度】0.65
【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的作法与性质，对称的性质，正确作图是解答本题的关键．
（1）作出线段的垂直平分线交直线于点，则点为两点、的“等距点”．作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则点为两点、的“最佳观测点”．
（2）证明，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”可得．
【详解】（1）解：如图，点为两点、的“等距点”．
作法：连接，分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，过作直线交直线于点，则点为两点、的“等距点”．
如图，点为两点、的“最佳观测点”
作法：过点作直线的垂线，垂足为，截取，连接交直线于点，则点为两点、的“最佳观测点”；
（2）解：连接，延长交过点与直线垂直的直线于点，
∵点是两点、的“等距点”，
∴，
∴，
又点是两点、的“最佳观测点”，
∴直线垂直平分，
∴，
∴；
∵，
∴，即，
∵，
∴．
【考点7】作垂线(尺规作图)（28-29题）
方法总结
过一点作已知直线的垂线：以点为圆心画弧交直线于两点，再作这两点连线的垂直平分线。
也可通过作已知线段垂直平分线得到垂线。
翻折问题中，对称轴是对应点连线的垂直平分线，常需作出对称轴。
28．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）如图，已知四边形．
（保留作图痕迹，不写作图步骤，写出结论）
(1)如果点、关于直线对称，画出直线，并画出四边形关于直线成轴对称的图形：（在图①中画出）
(2)如果和关于点成中心对称（点、、的对称点分别是点、、）．请找出点并补全和．（在图②中画出）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【难度】0.65
【知识点】作垂线(尺规作图)、画轴对称图形、画已知图形关于某点对称的图形
【分析】本题考查了作垂线，中心对称图形的定义，平移的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）先作线段的垂直平分线，再根据轴对称的性质作图即可；
（2）连接，作线段的垂直平分线交于点，再根据中心对称图形的定义作图即可．
【详解】（1）解：如图：根据垂直平分线的作法作出直线，作直线于点，再以点为圆心，为半径画弧交直线于，作直线于点，再以点为圆心，为半径画弧交直线于，连接、、，则直线，四边形即为所作，
（2）解：如图，连接，作线段的垂直平分线交于点，则点即为所求，作射线，以点为圆心，线段的长度为半径画弧，交射线于点，作射线，以点为圆心，线段的长度为半径画弧，交射线于点，连接、、、，则和即为所作，
29．（25-26七年级上·上海·月考）如图，已知长方形，点在线段上，将沿直线翻折后，点落在线段上的点．
(1)用圆规和直尺画出（保留作图痕迹）；
(2)如果的周长为，的周长为，用含有的代数式表示的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【难度】0.4
【知识点】作线段(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、折叠问题
【分析】本题考查了作线段以及作线段的垂直平分线，折叠的性质，
（1）作交于点，再作的垂线交于点，连接，即可求解；
（2）根据折叠的性质可得，，根据已知表示出，，根据长方形的对边相等，列出等量关系，化简后即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：∵将沿直线翻折后，点落在线段上的点，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∵的周长为，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【考点8】作等腰三角形(尺规作图)（30-32题）
方法总结
作等腰三角形时，通常先作底边，再作底边的垂直平分线，在垂直平分线上取点确定顶点。
已知腰长和底边，或已知底边和高，均可作出等腰三角形。
注意：作等腰三角形需保证三角形存在性（两边之和大于第三边）。
30．（25-26八年级上·江苏南通·期末）利用直尺和圆规作，使，以下作法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】线段垂直平分线的性质、作等腰三角形(尺规作图)
【分析】本题考查尺规作图，根据基本尺规作图，利用等角对等边和线段垂直平分线的性质、平行线的性质推理解答即可．
【详解】解：图①中，则，符合题意；
图②中，不符合题意；
图③中根据平行线和角平分线的作图可得，则，符合题意；
图④中作图为垂直平分线，可得，不符合题意；
故选：C．
31．（25-26八年级上·山东聊城·期末）问题：如图1，已知为钝角三角形，，用尺规作的高．
作法：如图2，①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点；②连接；③延长交于点．线段即为的高．
判定为高的依据是________．
【答案】三线合一
【难度】0.65
【知识点】作等腰三角形(尺规作图)、等边三角形的判定和性质
【分析】本题主要考查了尺规作图、等边三角形的判定与性质，由尺规作图可知是等边三角形，由等边三角形的性质可知，可证平分，根据等腰三角形的三线合一定理可证为的高．
【详解】解：分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
平分，
(三线合一)，
是的高．
故答案为：三线合一．
32．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知线段，利用尺规作图法作等腰，使得底边MN上高的长度等于线段MN的长度．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【难度】0.65
【知识点】作已知线段的垂直平分线、作等腰三角形(尺规作图)
【分析】本题主要考查尺规作图，熟练掌握尺规作图的步骤是关键．根据线段的垂直平分线的尺规作图步骤操作即可．
【详解】解：如图，即为所求．
先分别以点，点为圆心，以大于的长为半径作弧，连接两个交点，即为线段的垂直平分线，与交于点；在线段的垂直平分线上截取；最后连接，即可．
【考点9】已知外心的位置判断三角形的形状（33-34题）
方法总结
三角形外心是三条边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等。
锐角三角形外心在三角形内部；直角三角形外心在斜边中点；钝角三角形外心在三角形外部。
利用尺规作图确定外心位置，可反推三角形形状。
33．（2024九年级上·浙江·专题练习）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知外心的位置判断三角形的形状
【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可．
【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等，
如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于．
故选：C
34．（2024·河北保定·二模）如图，在中，，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到的外心，作法如下：
嘉嘉： 作的垂直平分线，交于点O，点O即为的外心 淇淇： 作和的平分线，两条角平分线交于点O，点O即为的外心
对于两人的作图方法，下列说法正确的是（ ）
A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．两人都正确 D．两人都错误
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、已知外心的位置判断三角形的形状
【分析】本题考查作图一复杂作图，三角形的外心，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，根据直角三角形的外心是斜边的中点，由此即可判断．
【详解】解：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，直角三角形的外心是斜边的中点．
嘉嘉正确，淇淇错误．
故选：A．
【考点10】最短路径问题（35-37题）
方法总结
将军饮马模型：直线同侧两点，在直线上找一点使距离和最小作对称点，连线得交点。
两条直线夹角问题，需作两次对称，将折线段转化为直线段。
三角形内求最值（如BE+EF最小）常利用对称将折线转化为直线，结合垂线段最短。
35．（2026七年级下·全国·专题练习）某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】两点之间线段最短、最短路径问题
【分析】本题考查了最短路径的数学问题，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键．
用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线转化为两点之间的距离．
【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于，根据两点之间线段最短，可知选项B中的核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短，
故选：B．
36．（25-26八年级上·广东江门·期末）综合与实践
【阅读材料】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．
【问题提出】如题1图，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，将军到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短，正是我们要探究的问题．
【问题探究】（1）如题2图，直线的两侧分别有两点，请你在直线上确定一个点，使最短．
【问题解决】（2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如题3图，请你用尺规作图在直线上求出点的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
【评价反思】
（3）如题4图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角，牧马人从地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．已知，请在备用图题5图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）图见解析，整个过程所行的路程为．
【难度】0.4
【知识点】最短路径问题、等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查了最短路径的实际应用，等边三角形的判定和性质；解题的关键是正确作图，正确找到对称点及最短路径线段．
（1）直接连接交直线l于点C即可；
（2）作A关于l的对称点，连接交l于点C即可；
（3）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解．
【详解】解：（1）如图，点C即为所求；
（2）如图，点C即为所求；
（3）分别作出点A关于、的对称点B，C，连接分别交、于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求的最短路径．
由题意，得，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
∴，
∴整个过程所行的路程为．
37．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）如图，在等腰中，，于点，两动点，分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为_____．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】最短路径问题、三角形内角和定理的应用、三线合一
【分析】本题主要考查了轴对称﹣最短路径问题，掌握线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和外角定理是解题的关键．
先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角定理求解．
【详解】解：过C作于F，交于，连接，
∵，
∴，
∴垂直平分，，
∴，
∴，
即当点三点共线，且时，的最小值为的长，
∴，
即当取得最小值时，．
故答案为：．
【考点11】创新及压轴题（38-41题）
方法总结
倍角问题：当出现2倍角时，常通过构造等腰三角形（作角平分线、延长边等）转化。
手拉手模型：两个共顶点的等边三角形（或等腰直角三角形）可得全等，进而证边角关系。
倍长中线构造全等，解决线段范围或长度问题。
最短路径与等边三角形结合，需灵活运用轴对称、旋转等变换。
38．（25-26八年级下·广西南宁·月考）【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形．
(1)如图①，若，可作的平分线交于点，则 是等腰三角形；
(2)如图②，若，可延长至点D，使，连接，则 是等腰三角形；
(3)如图③，若，以C为顶点，为一边，在外作，交的延长线于点D，则是等腰三角形，请说明理由；
(4)【解决问题】
如图④，在中，，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)见解析
【难度】0.52
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，结合题意，等腰三角形的判定方法即可求解；
（2）根据等边对等角得到，再根据三角形的外角，结合题意，等腰三角形的判定方法即可求解；
（3）由角的和差关系得到，结合等腰三角形的判定即可求解；
（4）延长至点H，使，取的中点E，连接，则，，证明，得到为等边三角形，，结合角的和差关系即可求解．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
故答案为：；
（3）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（4）证明：如图④，延长至点H，使，取的中点E，连接，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰（边）三角形的判定和性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
39．（25-26八年级上·广西来宾·期末）（1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：．
（2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状．
【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）为等边三角形
【难度】0.42
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质
【分析】（1）只需要证明，根据已知条件，结合全等三角形的判定定理即可解答；
（2）运用类比的方法，同样可以证明；
（3）结合（2）及已知条件，利用可以证明； 接下来根据全等三角形的性质可以得到，，至此问题即可解答．
【详解】（1）证明：直线l，直线l，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（2）解：成立，证明如下：
，
，
，
在和中，
，
，
，，
；
（3）解：由（2）可知，，
，，
和均为等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
为等边三角形．
【点睛】根据“一线三等角”模型，准确证明三角形全等是正确解答此题的关键．
40．（25-26八年级上·全国·期末）综合探究
【问题背景】直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得的值最小．
【解法探究】如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为．
(1)【深入研究】如图2，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点．若，求的最小值．
(2)【应用拓展】如图3，草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知，请在图中设计一条路线，使马所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程．
【答案】(1)
(2)图见解析，路程为
【难度】0.65
【知识点】最短路径问题、等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查了最短路径的实际应用，等边三角形的判定和性质，根据轴对称性质求解等知识点，解题的关键是正确作图，正确找到对称点及最短路径线段．
（1）如图2，连接，由题意可知点B关于直线的对称点为C，可得，当E，P，C三点共线且时取得最小值，结合等边三角形性质可求得最小值；
（2）如图3，连接，分别作出点A关于，的对称点B，C，连接分别交，于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解．
【详解】（1）解：如图2，连接，，
∵等边中， 是的平分线，
∴，平分线段，
∴是线段的垂直平分线，
∴点B关于直线的对称点为C，，
∴，
当E，P，C三点共线时，取得最小值为，
当时，取得最小值，
是等边三角形，
∴，
∴的最小值为；
（2）解：如图3，连接，分别作出点A关于，的对称点B，C，连接分别交，于点D，E，连接，，则线段，，之和即为所求的最短路径；
由对称的性质，得，
，，，，
∴，
∵草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴整个过程所行的路程为．
41．（25-26八年级上·陕西西安·期末）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．
(1)【问题解决】如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明发现可以用上面的方法解决该题并作出了如下的辅助线（延长至点，使，连接），请结合小明做的辅助线，直接写出的取值范围______；
(2)【类比运用】如图2，，点为的中点，，，求的长；
(3)【拓展探究】如图3，在和中，，，．连接，，点是的中点，连接并延长，与相交于点．若，，请直接写出的长度．
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.35
【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质
【分析】（1）根据三角形三边关系进行作答，即可求解；
（2）如图，延长至点，使，连接，证，求得的长，证得为线段的垂直平分线即可解答；
（3）如图，延长至点，使，连接，先证，得，，再根据平行线的性质得，再证即可解答．
【详解】（1）解：在中，是的中点，
，
，，
，
，
，
即，
，
，
，
；
（2）如图，延长至点，使，连接，
点为的中点，
，
，，
，
，，
，
，
，，三点共线，
，
，
，
，
为线段的垂直平分线，
；
（3）如图，延长至点，使，连接，
点为的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
随堂检测 · 精选练习
练习1 直角三角形与折叠（30°角、翻折、平行线）求角度。
练习2 实际应用：梯子滑动问题，解直角三角形求距离。
练习3 三个等边三角形摆放求角度和（利用外角、三角形内角和）。
练习4 直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半，求角度。
练习5 三角形内心与外心结合，求角度（利用角平分线和垂直平分线性质）。
1．（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，，点D在边上且，连接，点G在线段上（不与点C、D重合），直线l过点D，将沿着直线l翻折（点G关于直线l的对称点为点P）．若点P在过点G且与平行的直线上，那么的度数为________°．
【答案】120
【难度】0.65
【知识点】折叠问题、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点．
先求，然后证明为等边三角形，再由平行线的性质得到，根据折叠的性质证明为等边三角形，再由角度和差计算求解．
【详解】解：如图：
∵在中，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵翻折，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
，
∴，
故答案为：120．
2．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，在一个房间内，一把长米的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面夹角为，如果保持梯子底端位置不变，将梯子顶端靠在对面墙上（即变为），此时梯子与地面夹角为，那么D、E两点间的距离是______米．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，解题关键是通过角度计算和梯子长度不变，判定为等边三角形．
连接，先计算出，结合梯子长度不变得到，判定是等边三角形，再利用等边三角形三边相等的性质，得出米，从而求出、两点间距离．
【详解】解：连接，
∵，，
∵．
∵梯子长度不变，
∴米，
∴是等边三角形，
∴米．
故答案为．
3．（24-25八年级上·上海·单元测试）如图所示是由三个等边三角形随意摆放的图形，则的度数为 ______ ．
【答案】/180度
【难度】0.85
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边三角形的性质
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．
先根据等边三角形的性质可得，，，再根据三角形的内角和定理可得，由此即可得出答案．
【详解】解：∵等边三角形的每个内角都等于，
∴，，，
又∵，
∴．
故答案为：．
4．（25-26八年级上·上海·月考）若在中，，，，则________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，延长至点，使得，连接，证明为等边三角形，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图：延长至点，使得，连接，
，
则，
∵，即，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
故答案为：．
5．（25-26八年级上·上海长宁·月考）如图，在中，是三角形三条角平分线的交点，是三边垂直平分线的交点，连接，，，，若，则的度数是________．
【答案】125
【难度】0.65
【知识点】等边对等角、线段垂直平分线的性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】连接，根据三角形内角和定理求出，根据周角的定义求出，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到，求出，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，

∵，
∴，
，
∵O是三边垂直平分线的交点，
∴，，
∴，，
∵，，
∴
∴，即，
∴，
∵在中，I是三角形三条角平分线的交点
∴平分平分，
∴，∠，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，等边对等角等，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
课后巩固 · 针对性练习
题1 等边三角形判定定理真假判断。
题2 等腰三角形存在性问题（点在直线上的分类讨论）。
题3 等边三角形旋转模型，判断结论正误。
题4 等边三角形规律探究（特殊三角形边长关系）。
题5 等边三角形中线求角度。
题6 等腰三角形旋转求角度（垂直、中点条件）。
题7 等边三角形中将军饮马求最小值。
题8 动点与全等三角形（分类讨论求时间）。
题9 垂直平分线性质求周长（转化）。
题10 等边三角形与全等，证明垂直并求角度。
题11 等边三角形与角平分线，证线段相等（手拉手模型）。
题12 四边形与等边三角形综合，证等边三角形及线段关系。
题13 等腰三角形与垂直平分线，证垂直及线段相等。
题14 等腰三角形与角平分线，证垂直及线段和差。
题15 尺规作图找外心，求角度。
题16 垂直平分线性质，求角度和周长。
※ 复习建议 本专题重点在于等边三角形的特殊性质与判定，以及线段垂直平分线的性质与应用。建议熟练掌握等边三角形的60°角和三线合一，理解垂直平分线作为对称轴的作用。对于最短路径问题，掌握将军饮马模型及两次对称的解法。尺规作图要保留痕迹并准确描述步骤。
1．（24-25七年级下·上海崇明·期末）下列命题中真命题的个数是（　　）
①三边相等的三角形是等边三角形
②三个内角相等的三角形是等边三角形
③有一个内角是的三角形是等边三角形
④有两个内角是的三角形是等边三角形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】等边三角形的判定、判断命题真假
【分析】本题考查命题的真假判断和等边三角形的判定，掌握等边三角形的判定是解题的关键．
【详解】解：“三边相等的三角形是等边三角形是真命题”，故①正确；
“三个内角相等的三角形是等边三角形”是真命题，故②正确；
“有一个内角是的三角形是等边三角形”是假命题，故③错误；
“有两个内角是的三角形是等边三角形”是真命题，故④正确；
故选：C．
2．（23-24八年级上·江苏无锡·月考）如图，已知：在中，，，在直线上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】等边三角形的判定、等腰三角形的定义
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，等边三角形的判定，如解析图中，当时，可证明此时是等边三角形，当时，是等腰三角形；再讨论讨论为等腰三角形时，符合题意的点D个数即可得到答案．
【详解】解：如图：当时，是等腰三角形；
∵，
∴是等边三角形，
∴；
当时，是等腰三角形；
当，，当时，都是等腰三角形；
综上，符合条件的点D的个数有6个．
故选：B．
3．（24-25八年级上·四川成都·期中） 如图，在等边三角形中，点是边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，，则下列结论正确的有（ ）
①；②；③的周长等于16；④是等边三角形．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【难度】0.6
【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、内错角相等两直线平行
【分析】通过旋转可知，，，得，，所以，故①正确，由，，可知是等边三角形，故④正确，因为的周长等于，所以的周长等于16，故③正确，点是边上的一点，位置不确定，所以，角度不确定，故②不正确．
【详解】解：∵在等边三角形中，
∴，，
∵将绕点逆时针旋转，得到，
∴，，，，
∴，
∴，故①正确，
又∵，，
∴是等边三角形，故④正确，
∴，，
∴的周长等于，
∴的周长等于16，故③正确，
∵，
∴，
∵点是边上的一点，位置不确定，
∴，角度不确定，故②不正确，
综上：①③④正确．
4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则等于（ ）
A．18 B．21 C．24 D．27
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据等角对等边求边长、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握以上性质．
根据等边三角形的性质得出相等的边和角的度数，根据三角形的外角定理求出角的度数，然后利用等角对等边得出相等的边，最后利用线段的和差进行求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
同理可得：，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
故选：B．
5．（24-25七年级下·上海虹口·期末）若线段是等边的中线，则的度数是________．
【答案】/30度
【难度】0.85
【知识点】等边三角形的性质
【分析】本题考查了等边三角形的性质，根据是等边三角形，得，再结合三线合一的性质得，即可作答．
【详解】解：∴是等边三角形，
∴，
∵线段是等边的中线，
∴，
故答案为：．
6．（2025·江苏南通·一模）如图，中，，，垂足为D，将绕点C顺时针旋转，得到，点B的对应点E落在上，若，则的度数为______°．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】三线合一、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．先证明是等边三角形，再求得，据此求解即可．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，是线段的垂直平分线，
∴，
∵将绕点C顺时针旋转，得到，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
7．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，是等边三角形，平分，点E是边的中点，F是线段上一点，若，，则的最小值为________．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】两点之间线段最短、等边三角形的性质
【分析】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，根据等边三角形的性质可得垂直平分，连接交于点，则此时的值最小，最小为长，根据的面积公式可推出，即可解答．
【详解】解：∵是等边三角形，平分，
∴，，，
∴点和关于直线对称，
连接交于点，则此时的值最小，最小为长，即⊥，
∴，
∴，
故答案为：．
8．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知三条边的长都为，三个内角都相等，点、同时从点A出发，点以每秒速度沿向点运动，点以每秒速度沿折线运动，当点到达点时，点也同时停止运动．如果点在边上，且以A、、中的两点和点为顶点构成的三角形与全等，那么运动的时间为___________秒．
【答案】2或或4．
【难度】0.65
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形的性质、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查全等三角形的判定、等边三角形的性质等知识，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键．
分当点Q在上时以及当点Q在上时的有两种情形或满足条件，分别构建方程求解即可．
【详解】解：当点Q在上时，时，，
∴，
∴，解得：．
当点Q在BC上时，
如图：当时，，， ；
∴，解得：；
如图：当时，，
∴，解得，
综上所述，满足条件的t的值为2或或4．
故答案为：2或或4．
9．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是___________
【答案】10
【难度】0.65
【知识点】线段垂直平分线的性质
【分析】由线段垂直平分线的性质推出，得到的周长，即可求解．
【详解】解：垂直平分，
，
在的垂直平分线上，
，
的周长
．
10．（25-26八年级下·北京·开学考试）如图，与都是等边三角形，点在边上，于点，连接．
(1)求证：．
(2)求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.75
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、三角形内角和定理的应用
【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形内角和定理求得和，即可证得结论；
（2）根据等边三角形的性质，利用“”证得，再根据全等三角形对应角相等和（1）中的结论即可求解．
【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，即．
（2）解：∵是等边三角形，于点，
∴，平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）可知，，
∴．
11．（25-26八年级下·江苏南京·开学考试）如图，是等边三角形，点M在边上，P是延长线上一点，N是的平分线上一点，．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）在边上截取，连接，根据条件证明是等边三角形，再证明即可；
（2）连接，根据条件证明即可．
【详解】（1）证明：在边上截取，连接．
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：连接，如图，
∵是等边三角形，
∴，
由（1）知，且，
∴是等边三角形，，
∴，
∴．
∴，
∴．
12．（25-26九年级下·北京·开学考试）如图，在四边形中，，，，．作的平分线，与的延长线交于点E，延长至点F，使得，延长，交于点G．
(1)证明：为等边三角形；
(2)判断与的数量关系，并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【难度】0.41
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；
（1）在上取一点，使，连接，设，则，，，再证明，得到，，即可得到，，再结合得到，，则，，即可根据证明为等边三角形；
（2）由等边三角形得到，再证明，得到，证明，得到，根据，即可得到．
【详解】（1）解：在上取一点，使，连接，设，则，，
∵，，
∴由四边形内角和可得，
∴，
∵的平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
（2）解：，证明如下：
∵为等边三角形，
∴，，
由（1）可得，，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
13．（25-26八年级下·湖北武汉·开学考试）如图，在中，，点P为射线上一点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【难度】0.93
【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一、线段垂直平分线的判定
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质即可证明；
（2）可证明是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可证明．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即；
（2）证明：由（1）知，
又∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴．
14．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，在中，，，是的平分线，交于点，是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【难度】0.65
【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质．
（1）先求出，再根据是的平分线，即可得到，由，可得，由三线合一即可得到；
（2）先证明垂直平分，进而得出，，依据，即可得到，证明，得到，从而，进而可证结论成立．
【详解】（1）∵，
∴．
又∵是的平分线，
∴，
∴，
∴．
又∵E是的中点，
∴，即．
（2）∵，
∴垂直平分．
∴．
∴．
又∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴，
∴，
∵，
∴．
15．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）某市在园艺博览会期间要修建一处公共服务设施，使它到三个展馆A，B，C的距离相等．
(1)若三个展馆A，B，C的位置如图所示，请你在图中确定公共服务设施（用点P表示）的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、等边对等角
【分析】此题考查应用与设计作图．本题用到的知识点为：到线段两个端点距离相等的点应在线段垂直平分线上；线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．等边对等角．
（1）连接，分别作边和的垂直平分线，两直线交于点P，由线段垂直平分线的性质可得点P即为所求；
（2）连接．由（1）可知，推出，得到，进而求出，由即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，分别作边和的垂直平分线，两直线交于点P，则点P即为所求．
（2）解：如图，连接．
由（1）可知，
，
．
又，
，
，
．
16．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，，，的垂直平分线交于点．
(1)求的度数；
(2)若 ， ，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用
【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理得出，利用垂直平分线的性质得出，再由等边对等角得出，结合图形即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质结合图形，利用三角形周长的计算公式进行等量代换计算即可．
【详解】（1）解： ，
．
，

的垂直平分线交于点，
，
，
，
，
；
（2）解：，，，
．
，
．

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