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1.常考简单知识点
一、集合与常用逻辑用语
1.集合元素的特征： 、 、 .
2.集合间的基本关系
(1)子集：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，记作 (或 )；
(2)真子集：集合A B，但存在元素x∈B，且x A，记作 (或 )；
(3)集合相等：A B且B A，记作A=B；
(4)注意：空集是任何集合的 ，是任何非空集合的 ，即 A， A(A≠ )；任何集合都是自身的 ，即 ； 是指 的集合，{ }是指以 为元素的集合，所以 ≠{ }.
3.集合的基本运算
(1)并集： ；
(2)交集： ；
(3)补集： .
4.集合的有关性质
(1)若A B，则A∩B= ，A∪B= .
(2)A∩ = ，A∪ = .
(3) U( UA)= .
5.充分条件和必要条件
设集合A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件q}，则有
从逻辑观点看 从集合观点看
p是q的充分不必要条件(p q，q p)
p是q的必要不充分条件(q p，p q)
p是q的充要条件(p q)
p是q的既不充分也不必要条件(p q，q p) A与B互不包含
6.全称量词命题，存在量词命题，命题的否定及其真假性
(1)全称量词命题“ x∈M，x具有性质p(x)”的否定是存在量词命题“ x∈M，x不具有性质p(x)”.
(2)存在量词命题“ x∈M，x具有性质p(x)”的否定是全称量词命题“ x∈M，x不具有性质p(x)”.
(3)原命题与其否定的真假性 .
二、不等式
1.a>b，c>0 ；
a>b，c<0 ；
a>b，ab>0 <；
a>b，ab<0 >.
2.(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件是
(2)≥0(≤0) .
3.基本不等式
(1)≥(a，b∈(0，+∞))，当且仅当 时，等号成立.
(2)利用基本不等式求最值时，要满足“ ”.
(3)推广：≥≥≥(a>0，b>0).
三、平面向量
1.a与b的数量积(或内积)：设θ为非零向量a与b的夹角，则a·b= .
2.平面向量的坐标运算
(1)设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+b= .
(2)设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a-b= .
(3)设a=(x，y)，λ∈R，则λa= .
(4)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则= .
(5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||=.
(6)设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b= .
(7)设a=(x，y)，则|a|=.
3.两向量的夹角公式
设θ为a与b(a≠0，b≠0)的夹角，且a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则cos θ==.
4.向量的平行与垂直
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，且a≠0，则a∥b x1y2-x2y1=0，a⊥b(a≠0，b≠0) x1x2+y1y2=0.
四、复数
1.复数相等、共轭复数
复数相等：a+bi=c+di (a，b，c，d∈R).
共轭复数：a+bi与c+di共轭 (a，b，c，d∈R).
2.复数的运算法则
(a+bi)±(c+di)= ；
(a+bi)(c+di)= ；
(a+bi)÷(c+di)=+i(c+di≠0)(其中a，b，c，d∈R).
3.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi(a，b∈R)的模|z|=.
(2)若复数z满足|z-(1+i)|=1，则复数z在复平面上对应点的轨迹是 .
1.若集合A有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n-1，非空真子集个数为2n-2.
2.在△ABC中，=+)等价于AD是△ABC中BC边上的中线.
3.若a与b不共线，且λa+μb=0，则λ=μ=0.
4.已知=λ+μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线(其中O点为直线外一点)的充要条件是λ+μ=1.
5.三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面内一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
(1)点O是△ABC的重心 ++=0 S△BOC=S△AOC=S△AOB=S△ABC；
(2)点O是△ABC的垂心 ·=·=· tan A·+tan B·+tan C·=0 S△BOC∶S△COA∶S△AOB=tan A∶tan B∶tan C(△ABC不是直角三角形)；
(3)点O是△ABC的内心 a+b+c=0 S△BOC∶S△COA∶S△AOB=a∶b∶c；
(4)点O是△ABC的外心 ||=||=|| sin∠BOC+sin∠AOC+sin∠AOB=0 S△BOC∶S△COA∶S△AOB=sin 2A∶sin 2B∶sin 2C.
6.几个常用的不等式
a2+b2≥2ab(a，b∈R)；+≥2(a，b同号，且a，b≠0)；ab≤(a，b∈R)；≤(a，b∈R).
1.(2025·全国Ⅰ卷)(1+5i)i的虚部为(　　)
A.-1 B.0
C.1 D.6
2.(2025·全国Ⅰ卷)已知集合U={x|x是小于9的正整数}，A={1，3，5}，则 UA中元素的个数为(　　)
A.0 B.3
C.5 D.8
3.(2025·全国Ⅱ卷)不等式≥2的解集是(　　)
A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2}
C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1}
4.若不等式|x-1|A.a>0 B.a≥0
C.a>1 D.a≥1
5.(2025·全国Ⅰ卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.表格给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为(　　)
级数 名称 风速大小(单位：m/s)
2 轻风 1.6~3.3
3 微风 3.4~5.4
4 和风 5.5~7.9
5 劲风 8.0~10.7
A.轻风 B.微风
C.和风 D.劲风
6.(多选)若z1，z2是复数，则下列命题正确的是(　　)
A.=·
B.若z1z2=|z1|2，则z1+z2是实数
C.若|z1-z2|=|z1+z2|，则z1z2=0
D.方程-5|z1|+6=0在复数集中有6个解
7.(多选)已知x>0，y>0，且x+y=1，则(　　)
A.2x-y> B.log2x+log2y≤-2
C.+≥ D.x2+y2≥
8.已知p： x<0，x+a-1=0，若p的否定为真命题，则a的取值范围是　　　　.
9.(2025·上海卷)已知复数z满足z2=，|z|≤1，则|z-2-3i|的最小值是　　　　.
10.已知在平行四边形ABCD中，=，=，记=a，=b，用a和b表示=　　　　　；若AE=2，AF=，则·的值为　　　　　. 1.常考简单知识点
一、集合与常用逻辑用语
1.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
2.集合间的基本关系
(1)子集：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，记作A B(或B A)；
(2)真子集：集合A B，但存在元素x∈B，且x A，记作AB(或BA)；
(3)集合相等：A B且B A，记作A=B；
(4)注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即 A， A(A≠ )；任何集合都是自身的子集，即A A； 是指不含任何元素的集合，{ }是指以 为元素的集合，所以 ≠{ }.
3.集合的基本运算
(1)并集：A∪B={x|x∈A，或x∈B}；
(2)交集：A∩B={x|x∈A，且x∈B}；
(3)补集： UA={x|x∈U，且x A}.
4.集合的有关性质
(1)若A B，则A∩B=A，A∪B=B.
(2)A∩ = ，A∪ =A.
(3) U( UA)=A.
5.充分条件和必要条件
设集合A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件q}，则有
从逻辑观点看 从集合观点看
p是q的充分不必要条件(p q，q p) AB
p是q的必要不充分条件(q p，p q) BA
p是q的充要条件(p q) A=B
p是q的既不充分也不必要条件(p q，q p) A与B互不包含
6.全称量词命题，存在量词命题，命题的否定及其真假性
(1)全称量词命题“ x∈M，x具有性质p(x)”的否定是存在量词命题“ x∈M，x不具有性质p(x)”.
(2)存在量词命题“ x∈M，x具有性质p(x)”的否定是全称量词命题“ x∈M，x不具有性质p(x)”.
(3)原命题与其否定的真假性相反.
二、不等式
1.a>b，c>0 ac>bc；
a>b，c<0 aca>b，ab>0 <；
a>b，ab<0 >.
2.(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件是
(2)≥0(≤0) .
3.基本不等式
(1)≥(a，b∈(0，+∞))，当且仅当a=b时，等号成立.
(2)利用基本不等式求最值时，要满足“一正、二定、三相等”.
(3)推广：≥≥≥(a>0，b>0).
三、平面向量
1.a与b的数量积(或内积)：设θ为非零向量a与b的夹角，则a·b=|a||b|cos θ.
2.平面向量的坐标运算
(1)设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+b=(x1+x2，y1+y2).
(2)设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a-b=(x1-x2，y1-y2).
(3)设a=(x，y)，λ∈R，则λa=(λx，λy).
(4)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1).
(5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||=.
(6)设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2.
(7)设a=(x，y)，则|a|=.
3.两向量的夹角公式
设θ为a与b(a≠0，b≠0)的夹角，且a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则cos θ==.
4.向量的平行与垂直
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，且a≠0，则a∥b b=λa x1y2-x2y1=0，a⊥b(a≠0，b≠0) a·b=0 x1x2+y1y2=0.
四、复数
1.复数相等、共轭复数
复数相等：a+bi=c+di a=c且b=d(a，b，c，d∈R).
共轭复数：a+bi与c+di共轭 a=c且b=-d(a，b，c，d∈R).
2.复数的运算法则
(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i；
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；
(a+bi)÷(c+di)=+i(c+di≠0)(其中a，b，c，d∈R).
3.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi(a，b∈R)的模|z|=.
(2)若复数z满足|z-(1+i)|=1，则复数z在复平面上对应点的轨迹是以点(1，1)为圆心，以1为半径的圆.
1.若集合A有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n-1，非空真子集个数为2n-2.
2.在△ABC中，=+)等价于AD是△ABC中BC边上的中线.
3.若a与b不共线，且λa+μb=0，则λ=μ=0.
4.已知=λ+μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线(其中O点为直线外一点)的充要条件是λ+μ=1.
5.三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面内一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
(1)点O是△ABC的重心 ++=0 S△BOC=S△AOC=S△AOB=S△ABC；
(2)点O是△ABC的垂心 ·=·=· tan A·+tan B·+tan C·=0 S△BOC∶S△COA∶S△AOB=tan A∶tan B∶tan C(△ABC不是直角三角形)；
(3)点O是△ABC的内心 a+b+c=0 S△BOC∶S△COA∶S△AOB=a∶b∶c；
(4)点O是△ABC的外心 ||=||=|| sin∠BOC+sin∠AOC+sin∠AOB=0 S△BOC∶S△COA∶S△AOB=sin 2A∶sin 2B∶sin 2C.
6.几个常用的不等式
a2+b2≥2ab(a，b∈R)；+≥2(a，b同号，且a，b≠0)；ab≤(a，b∈R)；≤(a，b∈R).
1.(2025·全国Ⅰ卷)(1+5i)i的虚部为(　　)
A.-1 B.0
C.1 D.6
答案　C
解析　因为(1+5i)i=i+5i2=-5+i，所以其虚部为1.
2.(2025·全国Ⅰ卷)已知集合U={x|x是小于9的正整数}，A={1，3，5}，则 UA中元素的个数为(　　)
A.0 B.3
C.5 D.8
答案　C
解析　因为U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5}，
所以 UA={2，4，6，7，8}，故 UA中元素的个数为5.
3.(2025·全国Ⅱ卷)不等式≥2的解集是(　　)
A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2}
C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1}
答案　C
解析　≥2即为≤0，即故-2≤x<1，
故不等式的解集为{x|-2≤x<1}.
4.若不等式|x-1|A.a>0 B.a≥0
C.a>1 D.a≥1
答案　D
解析　由不等式|x-1|可得-a+1要使得0则满足解得a≥1.
5.(2025·全国Ⅰ卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.表格给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为(　　)
级数 名称 风速大小(单位：m/s)
2 轻风 1.6~3.3
3 微风 3.4~5.4
4 和风 5.5~7.9
5 劲风 8.0~10.7
A.轻风 B.微风
C.和风 D.劲风
答案　A
解析　由题意及题图得，视风风速对应的向量为n=(0，2)-(3，3)=(-3，-1)，
视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，
船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反，
设真风风速对应的向量为n1，船行风风速对应的向量为n2，
∴n=n1+n2，n2=-[(3，3)-(2，0)]=(-1，-3)，
∴n1=n-n2=(-3，-1)-(-1，-3)=(-2，2)，
∴|n1|==2≈2.828，
由表格可得，该时刻的真风为轻风.
6.(多选)若z1，z2是复数，则下列命题正确的是(　　)
A.=·
B.若z1z2=|z1|2，则z1+z2是实数
C.若|z1-z2|=|z1+z2|，则z1z2=0
D.方程-5|z1|+6=0在复数集中有6个解
答案　AD
解析　对于A，设z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R，
则=(ac-bd)-(ad+bc)i，·
=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i，
所以=·，故A正确；
对于B，当z1=0时满足题设等式，但z1+z2不一定为实数，故B错误；
对于C，|z1-z2|=|z1+z2|，
则|a-c+(b-d)i|=|a+c+(b+d)i|，
整理得(a-c)2+(b-d)2=(a+c)2+(b+d)2，
故-2ac-2bd=2ac+2bd，
整理得ac+bd=0，与z1z2=0不等价，故C错误；
对于D，-5|z1|+6=0可化为(a+bi)2-5+6=0，
即(a2-b2+2abi)-5+6=0，
所以
当a=0时，b2+5|b|-6=0，解得b=±1；
当b=0时，a2-5|a|+6=0，解得a=±2或a=±3，
所以复数集中原方程有6个解，故D正确.
7.(多选)已知x>0，y>0，且x+y=1，则(　　)
A.2x-y> B.log2x+log2y≤-2
C.+≥ D.x2+y2≥
答案　ABD
解析　选项A，因为x>0，y>0，x+y=1，所以x-y=2x-1>-1，所以2x-y>，故A正确；
选项B，log2x+log2y=log2(xy)≤log2=log2=-2，当且仅当x=y=时取等号，故B正确；
选项C，(+)2=x+y+2≤x+y+x+y=2，所以+≤，当且仅当x=y=时取等号，故C错误；
选项D，方法一　x2+y2=x2+(1-x)2
=2x2-2x+1=2+≥，
当且仅当x=y=时取等号.
方法二　x2+y2≥(x+y)2=，当且仅当x=y=时取等号，故D正确.
8.已知p： x<0，x+a-1=0，若p的否定为真命题，则a的取值范围是　　　　.
答案　(-∞，1]
解析　由题意命题p： x<0，x+a-1=0的否定为 x<0，x+a-1≠0，为真命题，
即 x<0，x≠1-a，故1-a≥0，即a≤1.
9.(2025·上海卷)已知复数z满足z2=，|z|≤1，则|z-2-3i|的最小值是　　　　.
答案　2
解析　设z=a+bi(a，b∈R)，所以=a-bi，
由题意可知z2=a2+2abi-b2==a2-2abi-b2，则ab=0，
又|z|=≤1，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点Z(a，b)在单位圆内部(含边界)的坐标轴上运动，如图所示即点Z在线段AB，CD上运动，
设E(2，3)，则|z-2-3i|=|ZE|，由图象可知|BE|=>|CE|=2，
所以|ZE|min=2，即|z-2-3i|的最小值为2.
10.已知在平行四边形ABCD中，=，=，记=a，=b，用a和b表示=　　　　　；若AE=2，AF=，则·的值为　　　　　.
答案　a+b　
解析　因为=，
所以==，
所以=+=+=b+a；
因为=，所以==，
所以=+=(-)+(-)
=+-+)=+-，
故=+，即=+)，
又=-=(-)-(-)
=-+(-)=-+-)
=-+，
故=-，即=-)，
因为AE=2，AF=，
所以·=+)·-)
=-)=×(6-4)=.

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