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5.概率与统计
1.排列数、组合数公式，组合数的性质
(1)排列数公式：
=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)=(m≤n，m，n∈N*).
规定：0！=1.
(2)组合数公式：
==
=(m≤n，m，n∈N*).
规定：=1.
(3)组合数性质：=，=+.
2.二项式定理及二项展开式的通项公式
二项式定理：
(a+b)n=an+an-1b1+an-2b2+…+an-kbk+…+bn，n∈N*.
二项展开式的通项：Tk+1=an-kbk(k=0，1，…，n).
3.二项式系数的性质
为二项式系数(区别于该项的系数)，其性质：
(1)对称性：=(k=0，1，2，…，n).
(2)系数和：++…+=2n，+++…=+++…=2n-1.
(3)最值：n为偶数时，中间一项的二项式系数最大且二项式系数为；n为奇数时，中间两项的二项式系数最大.
4.随机事件之间的关系
(1)必然事件Ω，P(Ω)=1；
不可能事件 ，P( )=0.
(2)包含关系：A B，“如果事件A发生则事件B一定发生”称事件B包含事件A.
(3)事件的和(并)：A+B或A∪B，“事件A与事件B至少有一个发生”叫做事件A与事件B的和(并)事件.
(4)事件的积(交)：AB或A∩B，“事件A与事件B同时发生”叫做事件A与事件B的积(交)事件.
(5)互斥事件：“事件A与事件B不能同时发生”叫做事件A与事件B互斥，P(AB)=0.
(6)对立事件：A∪=Ω，A∩= .
(7)相互独立事件：事件A发生与否对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件，事件A与事件B相互独立，则A与，与B，与也相互独立.
5.概率的计算公式
(1)古典概型的概率计算公式
P(A)==.
(2)若A，B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B).
(3)P(A)=1-P().
(4)若A，B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).
(5)如果在一次试验中A发生的概率是p(0(6)超几何分布
假设一批产品共有N件，其中有M(M≤N)件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X服从参数为N，M，n的超几何分布，且P(X=k)=，max{0，n-(N-M)}≤k≤min{n，M}，则E(X)=.
(7)条件概率：P(B|A)=.
(8)全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有
P(B)=P(Ai)P(B|Ai)　　.
*(9)贝叶斯公式
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，P(B)>0，有
P(Ai|B)=
=，i=1，2，…，n.
6.离散型随机变量的均值和方差
(1)公式：
E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi.
D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=(xi-E(X))2pi.
(2)均值、方差的性质：
①E(k)=k(k为常数)，D(k)=0(k为常数).
②E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X).
(3)两点分布与二项分布的均值与方差
①若随机变量X服从两点分布，则E(X)=p，D(X)=p(1-p).
②若随机变量X服从二项分布，即X~B(n，p)，则E(X)=np，D(X)=np(1-p).
7.常用的抽样方法
简单随机抽样、分层随机抽样.
8.统计中的四个数据
(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据.
(2)中位数：在样本数据中，将数据按大小依次排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数.
(3)平均数：样本数据的算术平均数=(x1+x2+…+xn).
(4)方差与标准差
方差：s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2].
标准差：s=.
(5)已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：l，，；m，，；n，，.记总的样本平均数为，样本方差为s2，则：
①=++；
②s2={l[+(-)2]+m[+(-)2]+n[+(-)2]}.
9.百分位数
计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
①按从小到大排列原始数据.
②计算i=n×p%.
若i不是整数，大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；
若i是整数，则第p百分位数为第i项与第i+1项数据的平均数.
10.线性回归
经验回归方程=x+一定过点(，).
11.独立性检验
利用χ2=的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.
12.正态分布
如果随机变量X服从正态分布，则记为X~N(μ，σ2).X落在三个特殊区间的概率为
(1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7；
(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5；
(3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
1.求解排列问题常用的方法
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素的排列产生的空中
先整体，后局部 “小集团”排列问题中，先整体，后局部
除法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法 正难则反，等价转化的方法
2.古典概型中样本点个数的确定方法
方法 适用条件
列表法 此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法
树状图法 树状图是进行列举的一种常用方法，适合用于有顺序的问题及较复杂问题中样本点数的探求
3.频率分布直方图中的众数、中位数、平均数
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标为众数；
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，其估计值等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
4.样本相关系数r可以表示两个变量间的相关性
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r<0时，表明两个变量负相关.
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.
r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.
1.现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住2人，且男女不能混住.则不同的安排方法有　　　种(　　)
A.1 960 B.2 160
C.2 520 D.2 880
答案　C
解析　3名女生需要住2个房间或3个房间.
若3名女生住2个房间，则不同的方法种数为，
若3名女生住3个房间，则不同的方法种数为，
则不同的安排方法有
+=2 520(种).
2.(2025·天津)下列说法中错误的是(　　)
A.若X~N(μ，σ2)，则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ)
B.若X~N(1，22)，Y~N(2，22)，则P(X<1)C.|r|越接近1，相关性越强
D.|r|越接近0，相关性越弱
答案　B
解析　根据正态分布的对称性可知，若X~N(μ，σ2)，则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ)，故A正确；若X~N(1，22)，Y~N(2，22)，则P(X<1)=P(Y<2)=0.5，故B错误；样本相关系数r的绝对值越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C，D正确.
3.(2025·泉州模拟)箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件A表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是(　　)
A.P(AB)= B.P(B)=
C.P(B|A)= D.P(B|)=
答案　D
解析　对于A，事件AB表示“第一次摸到红球且第二次摸到红球”，因为事件A表示“第1次摸球，摸到红球”，易得P(A)==，
事件B表示“第2次摸球，摸到红球”，因为摸出的球不放回，此时箱子里还剩3个红球，2个白球，
所以在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率是P(B|A)=，
由概率的乘法公式可得P(AB)=P(A)P(B|A)=×=，故A错误；
对于B，第1次摸球，摸到白球的概率P()=1-P(A)=1-=.
同理在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到红球的概率是P(B|)=，
由概率的乘法公式可得P(B)=P()P(B|)=×=，
由全概率公式可得P(B)=P(AB)+P(B)=+=，故B错误；
对于C，由A项分析，得P(B|A)=，故C错误；
对于D，由B项分析，得P(B|)=，故D正确.
4.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且pi=1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是(　　)
A.p1=p4=0.1，p2=p3=0.4
B.p1=p4=0.4，p2=p3=0.1
C.p1=p4=0.2，p2=p3=0.3
D.p1=p4=0.3，p2=p3=0.2
答案　B
解析　由标准差最大，即方差最大，
对于A，平均数为0.1×1+0.4×2+0.4×3+0.1×4=2.5，则方差为0.1×(1-2.5)2+0.4×(2-2.5)2+0.4×(3-2.5)2+0.1×(4-2.5)2=0.65，
对于B，平均数为0.4×1+0.1×2+0.1×3+0.4×4=2.5，则方差为0.4×(1-2.5)2+0.1×(2-2.5)2+0.1×(3-2.5)2+0.4×(4-2.5)2=1.85，
对于C，平均数为0.2×1+0.3×2+0.3×3+0.2×4=2.5，则方差为0.2×(1-2.5)2+0.3×(2-2.5)2+0.3×(3-2.5)2+0.2×(4-2.5)2=1.05，
对于D，平均数为0.3×1+0.2×2+0.2×3+0.3×4=2.5，则方差为0.3×(1-2.5)2+0.2×(2-2.5)2+0.2×(3-2.5)2+0.3×(4-2.5)2=1.45，
综上，B的标准差最大.
5.(多选)为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5对样本数据(见表格)，若已求得经验回归方程为=x+0.34，则下列选项中正确的是(　　)
x 1 2 3 4 5
y 0.5 0.9 1 1.1 1.5
A.=0.21
B.当x=5时的残差为0.06
C.样本数据y的第40百分位数为1
D.去掉点(3，1)后，x与y的样本相关系数不会改变
答案　BD
解析　==3，
==1，
对于A，将点(，)代入=x+0.34，得3+0.34=1，解得=0.22，故A错误；
对于B，当x=5时，=1.44，
所以残差为y-=1.5-1.44=0.06，故B正确；
对于C，因为5×40%=2，所以样本数据y的第40百分位数为=0.95，故C错误；
对于D，由样本相关系数公式可知，
r=，
所以5组样本数据的样本相关系数为
r1==，
去掉点(3，1)后样本相关系数为
r2==，
所以去掉点(3，1)后，x与y的样本相关系数r不会改变，故D正确.
6.(多选)(2025·临沧模拟)某次学科测试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80，90)内的学生成绩方差为12，成绩位于[90，100]内的学生成绩方差为10.则(　　)
参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为m，，；n，，.记样本平均数为，样本方差为s2，s2=+]++].
A.a=0.004
B.估计该年级学生成绩的上四分位数为85
C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为86.50
答案　BC
解析　对于A，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，
则(2a+3a+7a+6a+2a)×10=200a=1，解得a=0.005，故A错误；
对于B，上四分位数为第75百分位数，
前三个矩形的面积之和为(2a+3a+7a)×10=120a=0.6<0.75，
前四个矩形的面积之和为1-0.1=0.9>0.75，
设该年级学生成绩的上四分位数，即第75百分位数为m，则m∈(80，90)，
根据百分位数的定义可得m=80+10×=80+5=85，故B正确；
对于D，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为×85+×95=87.5，故D错误；
对于C，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为
×[12+(87.5-85)2]+×[10+(87.5-95)2]=30.25，故C正确.
7.(教材选择性必修第三册P34第2题)(x+y)(x-y)5的展开式中x3y3的系数是　　　　.
答案　0
解析　(x+y)(x-y)5的展开式中含x3y3的项为
x·x2(-y)3+y·x3(-y)2=-x3y3+x3y3=0，
故x3y3的系数为0.
8.如图，一个质点在随机外力的作用下，从0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动8次，则质点经过-2最终到达2的位置的概率为　　　　.
答案　
解析　质点从0出发，经过-2最终到达2的位置，需移动8次，其中必然有3次向左，
分为两类：第一类，当质点第2次移动到达-2的位置时，质点先向左移动了2次，在后续的6次移动中，只要向左移动1次即可，
则所求的概率为×××=；
第二类，当前3次移动未到达-2，且第4次移动到达-2时，质点前4次的移动顺序为0→1→0→-1→-2，0→-1→0→-1→-2，后续的4次移动中全部向右移动即可，
则所求的概率为2××=.
故所求的概率为+=.
9.健身运动可以提高心肺功能，增强肌肉力量，改善体态和姿势，降低患病风险.这些好处吸引着人们利用空闲的时间投入到健身运动中，以改善自己的身体状况，增强体质.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取200人进行调查，得到如下列联表：
年龄 周平均锻炼时长 合计
周平均锻炼时间少于4小时 周平均锻炼时间不少于4小时
50岁以下 40 60 100
50岁以上(含50) 25 75 100
合计 65 135 200
(1)试根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？(χ2精确到0.001)
(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取10人做进一步访谈，再从这10人中随机抽取5人填写调查问卷.记抽取5人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为X，求X的分布列和数学期望.
参考公式及数据：
χ2=，其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解　(1)零假设H0：周平均锻炼时长与年龄无关.
由列联表中的数据，可得χ2=≈5.128>x0.05=3.841.
根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为周平均锻炼时长与年龄有关.
(2)抽取的10人中，周平均锻炼时长少于4小时的有10×=4(人)，
不少于4小时的有10×=6(人)，
所以X的所有可能取值为1，2，3，4，5，
所以P(X=1)==，
P(X=2)==，
P(X=3)==，
P(X=4)==，
P(X=5)==，
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P
数学期望E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=3.
10.甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得-1分.假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为，.
(1)记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及均值E(X)；
(2)假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立.记Pn表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，Pn=aPn-1+bPn-2+cPn-3(n≥4)，求a，b，c；并证明：答题轮数越多(轮数不少于3)，出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.
解　(1)由题可知，X的取值为-1，0，1，
P(X=-1)=×=；
P(X=0)=×+×=；
P(X=1)=×=.
故X的分布列如下：
X -1 0 1
P(X)
则E(X)=-1×+0×+1×=.
(2)由题可知，P1=1，P2=1，
P3=1-=，P4=1-3×=.
当连续答题n(n≥4)轮，没有出现连续三轮每轮得1分时，
记第n(n≥4)轮没有得1分的概率为，
则=Pn-1；
记第n(n≥4)轮得1分，且第n-1轮没有得1分的概率为，则=Pn-2；
记第n(n≥4)轮得1分，且第n-1轮得1分，
第n-2轮没有得1分的概率为，
则=Pn-3；故Pn=++
=Pn-1+Pn-2+Pn-3(n≥4)，
故a=，b=，c=；
因为Pn=Pn-1+Pn-2+Pn-3，
故Pn+1=Pn+Pn-1+Pn-2，
故Pn+1-Pn=Pn-Pn-1-Pn-2-Pn-3
=-Pn-1-Pn-2-Pn-3=-Pn-3<0；
故Pn+1P3>P4，
则P1=P2>P3>P4>P5>…，
所以答题轮数越多(轮数不少于3)，出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.5.概率与统计
1.排列数、组合数公式，组合数的性质
(1)排列数公式：
=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)= (m≤n，m，n∈N*).
规定：0！= .
(2)组合数公式：
= =
= (m≤n，m，n∈N*).
规定：= .
(3)组合数性质：= ，= .
2.二项式定理及二项展开式的通项公式
二项式定理：
(a+b)n= ，n∈N*.
二项展开式的通项：Tk+1= (k=0，1，…，n).
3.二项式系数的性质
为二项式系数(区别于该项的系数)，其性质：
(1)对称性：=(k=0，1，2，…，n).
(2)系数和：++…+= ，+++…=+++…= .
(3)最值：n为偶数时，中间一项的二项式系数最大且二项式系数为；n为奇数时，中间两项的二项式系数最大.
4.随机事件之间的关系
(1)必然事件Ω，P(Ω)=1；
不可能事件 ，P( )=0.
(2)包含关系：A B，“如果事件A发生则事件B一定发生”称事件B包含事件A.
(3)事件的和(并)：A+B或A∪B，“事件A与事件B至少有一个发生”叫做事件A与事件B的和(并)事件.
(4)事件的积(交)：AB或A∩B，“事件A与事件B同时发生”叫做事件A与事件B的积(交)事件.
(5)互斥事件：“事件A与事件B不能同时发生”叫做事件A与事件B互斥，P(AB)=0.
(6)对立事件：A∪=Ω，A∩= .
(7)相互独立事件：事件A发生与否对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件，事件A与事件B相互独立，则A与，与B，与也相互独立.
5.概率的计算公式
(1)古典概型的概率计算公式
P(A)= = .
(2)若A，B互斥，则P(A+B)= .
(3)P(A)=1-P().
(4)若A，B相互独立，则P(AB)= .
(5)如果在一次试验中A发生的概率是p(0(6)超几何分布
假设一批产品共有N件，其中有M(M≤N)件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X服从参数为N，M，n的超几何分布，且P(X=k)=，max{0，n-(N-M)}≤k≤min{n，M}，则E(X)=.
(7)条件概率：P(B|A)=.
(8)全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有
P(B)=P(Ai)P(B|Ai)　　.
*(9)贝叶斯公式
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，P(B)>0，有
P(Ai|B)=
=，i=1，2，…，n.
6.离散型随机变量的均值和方差
(1)公式：
E(X)= =xipi.
D(X)= =(xi-E(X))2pi.
(2)均值、方差的性质：
①E(k)=k(k为常数)，D(k)=0(k为常数).
②E(aX+b)= ，D(aX+b)= .
(3)两点分布与二项分布的均值与方差
①若随机变量X服从两点分布，则E(X)= ，D(X)= .
②若随机变量X服从二项分布，即X~B(n，p)，则E(X)= ，D(X)= .
7.常用的抽样方法
简单随机抽样、分层随机抽样.
8.统计中的四个数据
(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据.
(2)中位数：在样本数据中，将数据按大小依次排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数.
(3)平均数：样本数据的算术平均数=(x1+x2+…+xn).
(4)方差与标准差
方差：s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2].
标准差：s=.
(5)已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：l，，；m，，；n，，.记总的样本平均数为，样本方差为s2，则：
①=++；
②s2={l[+(-)2]+m[+(-)2]+n[+(-)2]}.
9.百分位数
计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
①按从小到大排列原始数据.
②计算i=n×p%.
若i不是整数，大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；
若i是整数，则第p百分位数为第i项与第i+1项数据的平均数.
10.线性回归
经验回归方程=x+一定过点(，).
11.独立性检验
利用χ2=的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.
12.正态分布
如果随机变量X服从正态分布，则记为X~N(μ，σ2).X落在三个特殊区间的概率为
(1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7；
(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5；
(3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
1.求解排列问题常用的方法
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素的排列产生的空中
先整体，后局部 “小集团”排列问题中，先整体，后局部
除法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法 正难则反，等价转化的方法
2.古典概型中样本点个数的确定方法
方法 适用条件
列表法 此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法
树状图法 树状图是进行列举的一种常用方法，适合用于有顺序的问题及较复杂问题中样本点数的探求
3.频率分布直方图中的众数、中位数、平均数
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标为众数；
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，其估计值等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
4.样本相关系数r可以表示两个变量间的相关性
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r<0时，表明两个变量负相关.
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.
r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.
1.现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住2人，且男女不能混住.则不同的安排方法有　　　种(　　)
A.1 960 B.2 160
C.2 520 D.2 880
2.(2025·天津)下列说法中错误的是(　　)
A.若X~N(μ，σ2)，则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ)
B.若X~N(1，22)，Y~N(2，22)，则P(X<1)C.|r|越接近1，相关性越强
D.|r|越接近0，相关性越弱
3.(2025·泉州模拟)箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件A表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是(　　)
A.P(AB)= B.P(B)=
C.P(B|A)= D.P(B|)=
4.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且pi=1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是(　　)
A.p1=p4=0.1，p2=p3=0.4
B.p1=p4=0.4，p2=p3=0.1
C.p1=p4=0.2，p2=p3=0.3
D.p1=p4=0.3，p2=p3=0.2
5.(多选)为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5对样本数据(见表格)，若已求得经验回归方程为=x+0.34，则下列选项中正确的是(　　)
x 1 2 3 4 5
y 0.5 0.9 1 1.1 1.5
A.=0.21
B.当x=5时的残差为0.06
C.样本数据y的第40百分位数为1
D.去掉点(3，1)后，x与y的样本相关系数不会改变
6.(多选)(2025·临沧模拟)某次学科测试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80，90)内的学生成绩方差为12，成绩位于[90，100]内的学生成绩方差为10.则(　　)
参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为m，，；n，，.记样本平均数为，样本方差为s2，s2=+]++].
A.a=0.004
B.估计该年级学生成绩的上四分位数为85
C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为86.50
7.(教材选择性必修第三册P34第2题)(x+y)(x-y)5的展开式中x3y3的系数是　　　　.
8.如图，一个质点在随机外力的作用下，从0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动8次，则质点经过-2最终到达2的位置的概率为　　　　.
9.健身运动可以提高心肺功能，增强肌肉力量，改善体态和姿势，降低患病风险.这些好处吸引着人们利用空闲的时间投入到健身运动中，以改善自己的身体状况，增强体质.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取200人进行调查，得到如下列联表：
年龄 周平均锻炼时长 合计
周平均锻炼时间少于4小时 周平均锻炼时间不少于4小时
50岁以下 40 60 100
50岁以上(含50) 25 75 100
合计 65 135 200
(1)试根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？(χ2精确到0.001)
(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取
10人做进一步访谈，再从这10人中随机抽取5人填写调查问卷.记抽取5人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为X，求X的分布列和数学期望.
参考公式及数据：
χ2=，其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
10.甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得-1分.假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为，.
(1)记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及均值E(X)；
(2)假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立.记Pn表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，Pn=aPn-1+bPn-2+cPn-3(n≥4)，求a，b，c；并证明：答题轮数越多(轮数不少于3)，出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.

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