资源简介

1.4　三角形的中位线定理
　　【教学目标】
1.掌握三角形中位线定理.
2.通过三角形中位线定理的证明,渗透数学学习中的转化思想,培养学生自主探究、猜想、推理论证的能力.
3.通过提出问题让学生猜想三角形的中位线与第三边的关系,然后推理证明猜想正确.
【重点难点】
重点:三角形的中位线定理以及它的应用
难点:证明三角形中位线定理以及如何添加辅助线
【教学过程】
一、创设情景
师:同学们,如何将一块三角形的蛋糕平均分给四个同学,要求四人所分的形状大小相同,让学生拿出事先准备好的三角形让他们自己动手折一折,探究如何将这个三角形分成四个全等的三角形.
通过学生描述折叠的方法,结合多媒体课件引入本节课的课题——三角形的中位线.
设计意图:通过提出学生生活中熟悉的问题——切蛋糕:让学生把一块三角形蛋糕平均分成四份,打算怎么分 从而激发学生的活动兴趣和求知欲.
二、探究归纳
1.三角形的中位线
引入三角形中位线的定义:连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
思考:你能作出几条三角形的中位线 然后画出所有的三角形中位线.
生:三条.
通过画图,让学生熟悉图形特征,加强对三角形中位线的感知,并通过与已学的三角形中线概念作比较,加深对三角形中位线概念的理解.
注意:三角形的中位线和三角形的中线区别:三角形有三条中位线,它们组成一个三角形,三角形有三条中线,它们相交于一点.
2.三角形的中位线定理
如图,△ABC中,D,E分别是AB, AC的中点,那么请同学们观察一下,中位线DE与BC在位置和数量上各有什么关系
猜想:DE∥BC,DE=BC.
这些猜测正确吗 我们来进行证明.
已知:如图,在△ABC中,AD=DB,AE=EC.
求证:DE∥BC,DE=BC.
证明:
如图,将△ADE绕点E旋转180°,设点D的对应点为点F,易知点A的对应点是点C,点E的对应点还是点E,且点E,F,D在一条直线上.由于旋转不改变图形的形状和大小,所以有CF=AD=BD,EF=DE,∠F=∠ADE,则DA∥CF,即BD∥CF.
∴四边形BCFD是平行四边形.
∴DE∥BC,BC=DF=2DE.
∴DE=BC
思考:还有其它证明的方法吗
师鼓励学生从不同角度思考,一题多解.
如:方法一:过点C作直线平行于AB,交DE的延长线于点F.
方法二:过点E作直线平行于AB,交BC于点F.
通过同学们的证明,可以知道猜想是正确的,我们把这个结论称为三角形中位线定理,(把命题改写成三角形中位线定理)
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
几何语言:
∵AD=DB,AE=EC,
∴DE∥BC,DE=BC.
3.例题讲解
例　如图,已知在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.
学生思考、讨论,然后口答,教师板书过程
证明:如图,连接BD.
∵F,G分别是BC,CD的中点,
所以FG∥BD,FG=BD.
∵E,H分别是AB,DA的中点.
∴EH∥BD,EH=BD.
∴FG∥EH,且FG=EH.
∴四边形EFGH是平行四边形.
变式训练
若四边形ABCD的面积是6,则四边形EFGH的面积是多少
三、交流反思
1.三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
①定理为证明平行关系提供了新的工具;
②定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或提供了一个新的途径.
2.顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形.
四、检测反馈
1.如图,△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,∠A=50°,∠ADE=60°,则∠C的度数为(　　)
A.50°　　B.60°　　C.70°　　D.80°
2.如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点,中线AD与中位线EF的关系是(　　)
A.互相平分 B.互相垂直
C.相等 D.不确定
3.如图所示,在 ABCD中,R,P分别是DC,BC上的点,E,F分别是AP,RP的中点,当点P在BC上从点B向点C移动,而点R固定不动时,下列结论成立的是(　　)
A.线段EF的长度逐渐增大
B.线段EF的长度逐渐减小
C.线段EF的长度不变
D.线段EF的长度不能确定
4.如图所示,在△BAC中,∠BAC=90°,延长BA到点D,使AD=AB,点E,F分别为边BC,AC的中点,求证:DF=BE.
　　五、布置作业
六、板书设计
1.4三角形的中位线定理
推理 定理 例
…… …… ……
…… …… ……
　　七、教学反思
对于中位线定理的证明,以问题为主线,帮助、启发学生尝试用添加辅助线的方法加以证明.把新知识三角形中位线定理转化为已学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识来进行掌握,教给学生科学的分析方法,培养学生的化归思想.
优点:为完成本节课的学习目标,采取首先让学生经过观察、猜想、归纳、得出结论,然后经推理论证,最后总结形成定理的方式,这样提出的知识具有亲和力,更容易为学生接受和认可,在定理证明中,讲解了多种证法,强化思维过程的教学,开发学生的智力,在教学中增加了变式训练,以培养学生的发散思维.
缺点:学生对三角形中位线定理的理解和掌握不够好.

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