资源简介

1.5.2　矩形的判定
　　【教学目标】
1.经历矩形判定方法的探索过程,使学生逐步掌握说理的基本方法.
2.掌握矩形的判定方法,能根据判定方法进行初步运用.
3.经历矩形的判定的探究过程,并能有效的解决问题,培养学生的逻辑思维能力和演绎能力.
【重点难点】
重点:矩形的判定定理
难点:矩形判定定理的证明以及灵活应用
【教学过程】
一、复习
1.平行四边形的性质是什么 怎样判定一个四边形是平行四边形
2.矩形的定义是什么 矩形有哪些性质
3.矩形与平行四边形有什么共同之处 有什么不同之处
二、探究归纳
1.矩形的判定
问题1:根据矩形的定义,有一个角是直角的平行四边形是矩形,如果不通过平行四边形,能根据四边形中直角的个数,直接由四边形来判定它是矩形吗 有几个角是直角的四边形是矩形呢
小组讨论交流,发现问题,得出猜想.
生:矩形的四个角都是直角,反过来,四个角都是直角的四边形是矩形.
师:同学们,他说的对不对呢 谁能证明他的结论呢
生:正确.
生:老师,我有不同的意见.由于四边形的内角和等于360°,因而四个内角中只要有三个角是直角的四边形就是矩形.
师:她说的对吗
师:好,那下面我们来证明一下.
教师让学生独立思考,然后指定学生板书过程.
生:已知:在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,
求证:四边形ABCD是矩形.
证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠C+∠B=180°,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠A=90°,∴平行四边形ABCD是矩形.
师:两个角是直角的四边形是矩形吗
生:四边形中只有两个角是直角,我想到了下边的图形:
由此得到矩形的判定定理1:三个角是直角的四边形是矩形
问题2:从“矩形的两条对角线相等且互相平分”这一性质受到启发,你能画出一个对角线长度为4 cm的矩形吗
生:过点O画两条线段AC, BD,使得OA=OC=2 cm,OB=OD=2 cm.连接AB,BC,CD,DA.则四边形ABCD是矩形,且它的对角线长度为4 cm,如图.
师:你认为四边形ABCD是矩形吗
师:你会证明吗
已知:在平行四边形ABCD中,AC=DB.
求证:平行四边形ABCD是矩形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,
又∵AC=DB,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB(SSS),
∴∠ABC=∠DCB,
又∵AB∥DC,
∴∠ABC+∠DCB=180°,
∴∠ABC=90°,
∴四边形ABCD是矩形.
(有一个角是直角的平行四边形是矩形)
由此得到矩形的判定定理2:对角线相等的平行四边形是矩形
思考:(1)对角线相等的四边形是矩形吗
(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形吗
通过小组讨论交流,发现问题.
师:若四边形不是矩形,学生画出反例,若四边形是矩形,学生自己证明.
2.例题讲解
如图,在 ABCD中,它的两条对角线相交于点O.
(1)如果 ABCD是矩形,试问:△OBC是什么样的三角形
(2)如果△OBC是等腰三角形,其中OB=OC,那么 ABCD是矩形吗
学生思考回答问题,教师板书:
解:(1)∵ ABCD是矩形,
∴AC与DB相等且互相平分,
∴OB=DB=AC=OC,
∴△OBC是等腰三角形.
(2)∵△OBC是等腰三角形,其中OB=OC,
∴AC=2OC=2OB=BD.
∴ ABCD是矩形.
变式训练
矩形ABCD的对角线AC,BD相交于O,E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO上的点,且AE=BF=CG=DH.
求证:四边形EFGH是矩形.
三、交流反思
矩形的判定方法有以下三种:
①有一个角是直角的平行四边形是矩形;
②三个角是直角的四边形是矩形;
③对角线相等的平行四边形是矩形.
四、检测反馈
1.下列说法是否正确 为什么
(1)有一个角是直角的四边形是矩形.(　　)
(2)有四个角是直角的四边形是矩形.(　　)
(3)四个角都相等的四边形是矩形.(　　)
(4)对角线相等的四边形是矩形.(　　)
2.如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,要使它成为矩形,需再添加的条件是(　　)
A.AO=OC　　　　　　　　 B.AC=BD
C.AC⊥BD D.BD平分∠ABC
3.如图,E,F分别为△ABC的边BC,AB的中点,延长EF到点D,使得DF=EF,连接DA,DB,AE.
(1)求证:四边形ACED是平行四边形;
(2)若AB=AC,试说明四边形AEBD是矩形.
　　五、布置作业
六、板书设计
1.5.2矩形的判定
问题 判定 例
…… …… ……
…… …… ……
　　七、教学反思
为完成本节课的学习目标,首先复行四边形和矩形的关系,在此基础上提出矩形的判别方法,例题和练习的设计体现讲练结合的思路,渗透学数学、用数学的思想,教学中,注重学习方法指导,引导学生主动学习,培养学生的思维能力、合作意识以及逻辑推理能力.
优点:让学生参与知识的形成过程,在学生自己发现问题的基础上,注重方法引导,让学生投入到思考、交流中去,注重前后知识的联系,尤其是平行四边形与矩形的联系,用类比的思想提高学生的认识,这样能够有效地解决本节课的教学重难点.
缺点:老师讲授的内容过多,占用的时间过长.

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