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第3章　一次函数
3.1　函数的概念和表示法
3.1.1　变量与函数
　　【教学目标】
1.理解函数的概念,了解变量与常量以及自变量的意义.
2.理解自变量的取值范围和函数值的意义,会求自变量的取值范围,会根据自变量的取值求函数的值.
3.经历函数概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想.让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动,形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式.
【重点难点】
重点:函数的概念和函数自变量的取值范围
难点:函数自变量的取值范围
【教学过程】
一、复习
1.买一支钢笔5元钱,买a支钢笔要________元.
2.矩形的长为15 m,宽为b m,则面积为________m2.
3.出租车3公里内5元,超过3公里后,每公里收费1.6元,x公里应收费________元.
二、探究归纳
学生完成下面问题:
1. 如图,是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线,它反映了该地某一天的气温T(℃)是如何随时间t的变化而变化的,你能从图中得到哪些信息
2.当正方形的边长x分别取1,2,3,4,5…时,正方形面积S分别是多少 试填写下表:
边长x 1 2 3 4 5 6 7 …
面积S …
　　3.某城市居民用的天然气,1 m3收费2.88元,使用x(m3)天然气应缴纳的费用y(元)为y=2.88x.当x=10时,缴纳的费用为多少
学生能说出答案,但是不能解释具体原因,教师还要进行帮助,并出示下面问题,加深对问题的理解.
(1)第1个问题中,某地一天中的气温随着时间的变化而变化,从图中可看出,4时的气温是________℃,14时的气温是________℃.
(2)第2个问题中,正方形的面积随着它的________的变化而变化.
(3)第3个问题中,使用天然气缴纳的费用y随所用天然气的体积x的变化而变化.例如,当x=10时,y=________(元);当x=20时,y=________(元).
师:在这几个问题中,每个问题有几个变化的数值
生:2个
师:对于一个变量的值,另一个变量有几个值与它对应
生:1个
师:这就是今天我们要学习的内容,教师板书课题
在讨论的问题中,取值会发生变化的量称为变量,取值固定不变的量称为常量(或常数).
师:上面的问题中,哪些量是变量 哪些量是常量
生:上述问题中,时间t,气温T;正方形的边长x,面积S;使用天然气的体积x,应缴纳的费用y等都是变量.每使用1 m3天然气应缴纳2.88元,2.88是常量.
师:一般地,如果变量y随着变量x而变化,并且对于x取的每一个值,y都有唯一的一个值与它对应,那么称y是x的函数,记作y=f(x) ,这里的f(x)是英文a function of x(x的函数)的简记.这时把x叫作自变量,把y叫作因变量,对于自变量x取的每一个值a,因变量y的对应值称为函数值,记作f(a).
练一练
1.在问题1中,________是自变量,________是________的函数.
2.在问题2中,正方形的边长是________,正方形的面积是边长的________.
3.在问题3中,________是自变量,________是________的函数.
在考虑两个变量间的函数时,还要注意自变量的取值范围,如上述第1个问题中,自变量t的取值范围是0≤t≤24;而第2,3个问题中,自变量x的取值范围分别是x>0,x≥0.
例题讲解
例1　如图,已知圆柱的高是4 cm,底面半径是r(cm).当圆柱的底面半径r由小变大时,圆柱的体积V(cm3)是r的函数.
(1)用含r的代数式来表示圆柱的体积V,指出自变量r的取值范围.
(2)当r=5,10时,V是多少(结果保留π)
学生思考、讨论,教师板书过程
变式训练
如图,已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm,CA与MN在同一条直线上,开始时点A与M重合,让△ABC向右移动,最后点A与点N重合.
(1)试写出两图形重叠部分的面积y (cm2)与线段MA的长度x(cm)之间的函数关系式.
(2)当点A向右移动1 cm时,重叠部分的面积是多少
教师应画出不同情况下的图形,帮助学生思考.
三、交流反思
关于函数的定义的理解应注意两个方面,其一是变化过程中有且只有两个变量,其二是对于其中一个变量的每一个值,另一个变量都有唯一的值与它对应,对于实际问题,同学们应该能够根据题意写出两个变量的关系,即列出函数关系式.
四、检测反馈
1.点燃蜡烛,随着时间的变化,蜡烛的长度均匀变短,已知一支蜡烛长21 cm,点燃6分钟后,蜡烛变短3.6 cm,设蜡烛点燃x分钟后长度变为y cm.
(1)用x表示函数y的关系式;
(2)点燃15分钟以后蜡烛还剩多长
2.一个小球由静止开始从一个斜坡上向下滚动,其速度每秒增加2 m,到达坡底时,小球的速度达40 m/s.
(1)求小球速度v(m/s)与时间t (s)之间的函数关系式;
(2)求t的取值范围;
(3)求3.5 s时小球的速度;
(4)求多少秒时,小球的速度为16 m/s.
　　五、布置作业
六、板书设计
3.1.1变量与函数
问题 概念 例
…… …… ……
…… …… ……
　　七、教学反思
通过本节课的学习,我们认识了函数以及函数的有关概念,其中对于题目的自变量的取值范围比较难确定,这是本节课的重点,只有通过一定量的练习才能做到熟练地解决这个问题;另外,教学过程中让学生主动参与,自主探究,鼓励学生独立找出函数中自变量的取值范围,由一个变量的值确定另一个变量的值.

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