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3.3　一次函数的图象
第1课时
　　【教学目标】
1.使学生能用两点法画出正比例函数的图象,并初步了解正比例函数图象的性质.
2.通过画正比例函数的图象,探索正比例函数图象的性质,培养学生的观察能力,体会用数形结合的方式思考问题.
3.通过动手操作,培养严谨的学习态度,并养成善于观察、善于归纳的学习习惯.
【重点难点】
重点:理解正比例函数的图象及其性质
难点:通过对正比例函数图象的观察,发现正比例函数图象的性质
【教学过程】
一、复习
1.什么叫一次函数 一次函数有什么特征
一般地,形如y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的函数,叫作一次函数.
特别地,当b=0,一次函数y=kx(k为常数,k≠0)也叫作正比例函数,其中k叫作比例系数.
正比例函数是特殊的一次函数
一次函数的特征是:因变量随自变量的变化是均匀的.
2.画函数图象的一般方法是什么 分几步
描点法:(1)列表;(2)描点;(3)连线.
二、探究归纳
1.y=kx的图象
问题1:画出正比例函数y=2x的图象.
列表:先取自变量x的一些值,计算出相应的函数值.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … -6 -4 -2 0 2 4 6 …
　　描点:建立平面直角坐标系,以自变量值为横坐标, 相应的函数值为纵坐标,描出这些点,如图
连线:观察描出的这些点的分布,我们可以猜测y=2x的图象是经过原点的一条直线,数学上可以证明这个猜测是正确的,因此,用一条直线将平面直角坐标系中的各点连接,即可得到y=2x的图象,如图
结论:
数学上已经证明:正比例函数y=kx(k为常数,k≠0)的图象是一条直线.
师:我们知道,两点确定一条直线,那么画正比例函数y=kx的图象就有简单的方法,是什么呢
生:描点时,只描两个点就可以了.
师:太好了.
画正比例函数的图象,只要描出图象上的两个点如(0,0)(1,k),然后过这两点作一条直线即可.
函数y=kx的图象是经过原点(0,0)与点(1,k)的直线,我们常常把这条直线叫作“直线y=kx”.
练一练　用两点法,画出正比例函数y=-3x,y=x的图象.
解:(1)当x=0时.y=0;当x=1时,y=-3.
在平面直角坐标系中描出点(0,0)和点(1,-3),过这两点作直线,则这条直线就是y=-3x的图象,如图;
(2)当x=0时,y=0;当x=2时,y=1.
在平面直角坐标系中描出点(0,0)和点(2,1),过这两点作直线,则这条直线就是y=x的图象,如图.
从图上看出,y=-3x,y=x的图象都是经过原点的一条直线.
2. y=kx图象的性质
问题2:画出正比例函数y=-2x的图象,然后比较与y=2x图象的相同点与不同点,叙述你发现的规律
(1)两图象都是经过原点的________;
(2)函数y=2x的图象从左向右________,经过第________象限,y随x的增大而________;
函数y=-2x的图象从左向右________,经过第________象限,y随x的增大而________.
解:
一般地,直线y=kx(k为常数,k≠0)是一条经过原点的直线;
当k>0时,直线y=kx经过笫一、三象限从左向右上升,即y随x的增大而增大;
当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限从左向右下降,即y随x的增大而减小.
练一练
(1)函数y=-4x的图象经过第________象限,经过点(0,________)与点(1,________),y随x的增大而________;
(2)如果函数y=(m-2)x的图象经过第一、三象限,那么m的取值范围是________.
　　3.典例讲解
例2　某国家森林公园的一个旅游景点的电梯运行时,以3 m/s的速度上升,运行总高度为300 m.
(1)求电梯运行高度h(m)随运行时间t(s)而变化的函数表达式;
(2)画出这个函数的图象.
学生思考,教师板书
解:(1)由路程=速度×时间,可知h=3t,0≤t≤100;
(2)当t=0时,h=0;当t=100时,h=300,在平面直角坐标系中描出两点O(0,0), A(100,300).过这两点作线段OA,线段OA即函数h=3t(0≤t≤100)的图象(图略).
三、交流反思
1. 正比例函数y=kx的图象是经过(0,0)(1,k)的一条直线,反之也成立;
2.利用k的正负,可以确定y=kx图象的位置,也可以由x的大小比较y的大小.
四、检测反馈
1.正比例函数图象y=(m-1)x的图象经过第一、三象限,则m的取值范围是(　　)
A.m=1　　　　　　B.m>1
C.m<1 D.m≥1
2.直线y=kx经过点(1,2),那么k=________,这条直线经过第________象限,y随x的增大而________;已知点A(a,1),B(-2,b)在这条直线上,则a=________,b=________.
3.已知正比例函数y=m的图象经过第二、四象限,求m的值.
　　五、布置作业
六、板书设计
3.3一次函数的图象 第1课时
问题 图象 性质
…… …… ……
…… …… ……
　　七、教学反思
本节课首先利用多媒体复习正比例函数的概念,然后教师和学生一起探究正比例函数的图象,得到正比例函数的性质,最后通过练习题和讲解例题,让学生进一步掌握正比例函数的图象和性质,能够解决实际问题.使学生学习效果良好.
第2课时
　　【教学目标】
1.能用两点法画一次函数的图象:讨论y=kx+b(k,b为常数)中,k,b的意义及作用,进一步掌握一次函数图象的性质;
2.通过一次函数的图象解决实际问题,体验数与形的内在联系;
3.巩固一次函数图象的性质,培养综合运用知识的能力,体验数形结合法的应用,借助图象研究函数的性质,感受函数图象的简洁美.
【重点难点】
重点:理解一次函数的图象及其性质
难点:一次函数的图象及其性质的应用
【教学过程】
一、复习
1.正比例函数y=kx的图象和画法是什么
正比例函数y=kx的图象是经过点(0,0),(1,k)的一条直线,我们把正比例函数y=kx的图象叫作直线y=kx;描两个点(0,0),(1,k),画y=kx的图象.
2.正比例函数y=kx的性质是什么
(1)图象经过原点;
(2)当k>0时,它的图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0时,它的图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.
二、探究归纳
在平面直角坐标系中,先画出函数y=2x的图象,然后探索y=2x+3和y=2x-3的图象是什么样的图形,猜测y=2x+3和y=2x-3的图象与y=2x的图象有什么关系
1.用描点法在同一坐标系中画出函数y=2x,y=2x+3,y=2x-3的图象.
列表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=2x … -6 -4 -2 0 2 4 6 …
y=2x+3 … -3 -1 1 3 5 7 9 …
y=2x-3 … -9 -7 -5 -3 -1 1 3 …
描点,连线(如图)
2.探索y=2x+3、y=2x-3的图象是什么样的图形
都是一条直线.
3.猜测y=2x+3的图象与y=2x的图象有什么关系 观察两个函数图象,发现:
相同点:都是直线,倾斜程度相同;
不同点:y=2x的图象过原点,y=2x+3的图象与y轴交于(0,3)点;
联系:y=2x+3的图象可以看作是y=2x的图象向上平移3个单位长度得到.
y=2x-3的图象与y=2x的图象呢
y=2x-3的图象可以看作是y=2x的图象向下平移3个单位长度得到.
画出一次函数y=-2x-3的图象与y=-2x比较,有相同的结论.
4.联系上面问题,考虑一次函数y=kx+b的图象是什么形状,它与直线y=kx有什么关系
(1)一次函数y= kx+b的图象是________,称它为直线________.y=kx+b图象与y轴的交点为________.
(2)直线y=kx+b(k≠0)可以看作是直线y=kx沿y轴平移________个单位长度而得到.
当b>0时,向________平移, 当b<0时,向________平移.
5.讨论:观察一次函数y=2x+3,y=-2x-3的图象,发现当自变量x的取值由小变大时,对应的函数值如何变化吗
　　(1)对于y= 2x+3,当自变量x的取值由小变大时,对应的函数值y由小变大,直线y=2x+3的图象,由左到右逐渐________,因此,y随x的增大而________.
(2)对于y=-2x-3,当自变量x的取值由小变大时,对应的函数值y由大变小.直线y=-2x-3的图象,由左到右逐渐________,因此,y随x的增大而________.
6.归纳:一次函数解析式y=kx+b(k,b是常数,k≠0)中,k,b的正负对函数图象有什么影响
一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)具有如下性质:
k>0,函数值y随自变量x的增大而增大
k<0,函数值y随自变量x的增大而减小
例4　如图,描述了某一天小亮从家骑车去书店购书,然后又骑车回家的情况,你能说出小亮在路上的情形吗
分析:小亮骑车离家的距离y是时间x的函数,这个函数图象由3条线段组成,每一条线段代表一个阶段的活动.
解:第一段是从原点出发的线段OA.从横坐标看出,小亮路上花了30 min,当横坐标从0变化到30时,纵坐标均匀增加,这说明小亮从家出发匀速前进30 min,到达书店.
第二段是与x轴平行的一条线段AB.当横坐标从30 变化到60时,纵坐标没有变,这说明小亮在书店购书待了30 min.
第三段是与x轴有交点的线段BC.从横坐标看出,小亮路上花了40 min,当横坐标从60 变化到100时,纵坐标均匀减少,这说明小亮从书店出发匀速前进40 min,直到返回家中.
三、交流反思
直线y=kx+b(k≠0)可以看作是直线y=kx沿y轴方向平移│b│个单位长度而得到.当b>0时,向上平移,当b<0时,向下平移.
k相等,两直线平行,平移几个单位长度,看│b│.
当k>0时,函数值 y 随自变量 x 的增大而增大;当k<0时,函数值 y 随自变量 x 的增大而减小.
四、检测反馈
1.已知一次函数y=x-2的大致图象为(　　)
2.已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1 , 求满足下列条件的m的值:
(1)函数值y 随x的增大而增大;
(2)函数图象与y 轴的负半轴相交;
(3)函数的图象过第二、三、四象限;
(4)函数的图象过原点.
3.已知点(2,m) 、(-3,n)都在直线y=x+1 上,试比较 m和n的大小.
五、布置作业
六、板书设计
3.3 一次函数的图象 第2课时
问题 性质 例
…… …… ……
…… …… ……
　　七、教学反思
为了突破重难点,在教学过程中,引导学生研究观察,使学生在丰富感性认识的基础上,在老师的提示下理解一次函数的性质,从而使学生从感性认识上升到理性认识,体会知识的由来,并通过已学的知识解决实际问题,充分发挥了直观教学在知识形成过程的积极作用,同时也培养了学习探索数学的兴趣,最后通过教师仔细的讲解例题和分层练习,让学生进一步巩固一次函数的性质.
本节课的内容难度不大,主要让学生多观察图象,多揣摩,教师要多利用多媒体课件,形象地反映出一次函数的增减情况,利于学生接受.

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