资源简介

“鸽巢问题”教学设计
教学目标
1、理解"总有"和"至少"的含义，认识"抽屉原理"("鸽巢原理")的最基本形式，会运用"抽屉原理"解决简单的实际问题。
2．经历"抽屉原理"的探究过程，在观察、操作、比较、说理等活动中，掌握枚举和假设的思考方法，体会和掌握逻辑推理思想和模型思想，发展抽象能力、推理意识。
3．感受数学与生活的密切联系，提高学习数学的兴趣和应用意识。
教学重难点
教学重点：经历"抽屉原理"的探究过程，理解"抽屉原理"。
教学难点：运用"抽屉原理"解决简单的实际问题。
教学理念
本课充分利用学生的生活经验，为学生自主探索提供时间和空间，引导学生通过观察、实验、推理和交流等活动，经历探究“抽屉原理”("鸽巢原理")的过程，学会用一般性的数学方法思考问题，培养学生的数学思维能力，发展学生解决问题的能力。
教材分析
“数学广角”是人教版六年级下册第五单元的内容。在数学问题中，有一类与“存在性”有关的问题，如任意367名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日。在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。这类问题依据的理论，我们称之为“抽屉原理”("鸽巢原理")。本节课教材借助把4支铅笔放进3个笔筒中的操作情境，介绍了一类较简单的“抽屉原理”("鸽巢原理")，即把m个物体任意分放进n个空抽屉里（m>n，n是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。关于这类问题，学生在现实生活中已积累了一定的感性经验。教学时可以充分利用学生的生活经验，放手让学生自主思考，先采用自己的方法进行“证明”，然后再进行交流，在交流中引导学生对“枚举法”、“反证法”、“假设法”等方法进行比较，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题，发展学生的抽象思维能力。
设计思路
数学课程标准指出，数学课堂教学是师生互动与发展的过程，学生是数学学习的主人，教师是课堂的组织者，引导者和合作者。本节课的教学注重为学生提供自主探索的空间，引导学生在观察、猜测、操作、推理和交流等数学活动中初步了解“抽屉原理”("鸽巢原理")，学会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
1、经历“数学化”的过程。
“创设情境——建立模型——解释应用”是新课程倡导的课堂教学模式，本节课运用这一模式，设计了丰富多彩的数学活动，让学生经历“抽屉原理”的探究过程，从探究具体问题到类推得出一般结论，初步了解“抽屉原理”，再到实际生活中加以应用，找到实际问题和“抽屉原理”之间的联系，灵活地解决实际问题。让学生经历“数学化”的过程，学会思考数学问题的方法，培养学生的数学思维能力。
2、提供探索空间。
本节课充分放手，让学生自主思考，采用自己的方法“证明”：“把4支铅笔放入3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进2支铅笔”，然后交流展示，评价各种“证明”方法，针对学生的不同方法教师给予针对性的鼓励和指导，让学生在自主探索中体验成功，获得发展。
3、注重引导提升。
本节课的教学，有意识地培养学生的“模型”思想，让学生理解“抽屉问题”的“一般化模型”。在学生自主探索的基础上，教师引导学生对两种方法进行比较，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题；在学生解决了“4支铅笔放进3个笔筒”的问题后，继续思考，类推，得出一般性的结论。这样设计，提升了学生的思维，发展了学生的能力。
教学措施：
动手操作、自主探索、合作交流。
教学准备：
多媒体课件、铅笔、笔筒等。
教学过程
一、创设情境，导入新知
老师组织学生做“抢凳子的游戏”。
请4位同学上来，摆开3张凳子。
老师宣布游戏规则：4位同学围着凳子转圈，老师喊“停”的时候，四个人每个人都必须坐在凳子上。
教师背对着游戏的学生，宣布游戏开始，然后叫“停”！
师：都坐下了吗？老师不用看，也知道肯定有一张凳子上至少坐着2位同学。老师说得对吗？
师：老师为什么说得这么肯定呢？
【学情预设：学生可能会说，因为只有3张凳子，却有4个人，肯定有1个人没凳子坐，只好和另一人挤在一张凳子上；也可能会说，有几个同学会在慌忙中挤在一张凳子上，有1张或2张凳子没人坐。】
师：像这样的现象中隐藏着什么数学奥秘呢？这节课我们就一起来研究这个原理。
【设计意图：学生在生活中已积累了有关这类问题的感性经验，教学从学生熟悉和喜爱的游戏引入，可以激活学生的生活经验，让学生利用已有的经验初步感知抽象的“抽屉原理”，将数学学习与现实生活紧密联系，提高学生的学习兴趣。】
二、自主操作，探究新知
1、观察猜测
多媒体出示例1：4支铅笔，3个笔筒。
师：4个人坐3张凳子，不管怎么坐，总有一张凳子至少坐两个同学。4支铅笔放进3个笔筒中呢？
【学情预设：学生可能会说，不管怎么放，总有一个笔筒中至少放进2支铅笔。】
“总有”和“至少”这两个词是什么意思？
【学情预设：“总有”就是一定有，至少就是“最少，最起码”。】
师：真的是这样吗？为什么会这样呢？你能给大家解释这一现象吗？
2、自主思考
（1）独立思考：怎样解释这一现象？
（2）小组合作，拿铅笔和笔筒实际摆一摆、放一放，看一共有几种情况
【设计意图：先让学生观察、猜想，然后自己想办法“证明”自己的猜想。这样设计，给学生自主思考的时间和空间。把动脑思考与动手操作有机结合，把独立思考与小组合作有机结合，有利于提高探索活动的实效性。】
教师巡视，参与学生的操作和讨论，找出有代表性的几种“证明”方法。
3、交流讨论
学生汇报是用什么办法来解释这一现象的。
【学情预设：
第一种：用实物摆一摆，把所有的摆放结果都罗列出来。
学生展示把4支铅笔放进3个笔筒中的几种不同摆放情况，教师根据学生摆的情况，有序板书：
（4，0，0）
（3，1，0）
（2，2，0）
（2，1，1）
请学生观察不同的放法，能发现什么？
引导学生发现：每一种摆放情况，都一定有一个笔筒中至少有2支铅笔。也就是说不管怎么放，总有一个笔筒中至少有2支铅笔。
第二种：假设法。
教师请只摆了一种或没有摆放就能解释的同学说说自己的想法。
师：其他学生是否明白他的想法呢？
引导学生在交流中明确：可以假设先在每个笔筒中放1支铅笔，3个笔筒中就放了3支铅笔。还剩下1支，放入任意一个笔筒中，那么这个笔筒中就有2支铅笔了。也就是先平均分，每个笔筒中放1支，余下1支，不管放在哪个笔筒中，一定会出现总有一个笔筒中至少有2支铅笔。
第三种：数的分解。
请学生说一说自己的想法：把4分解成三个数，共有四种情况，（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1），每一种结果的三个数中，至少有一个数是不小于2的。
随着学生的“证明”，教师将这种方法与第一种方法联系起来，指出这两种方法实质上的相同之处。
第四种：把同一种分解理解成三种不同的情况。
教师请学生汇报：
学生为笔筒编上序号，摆出（4，0，0）、（0，4，0）、（0，0，4）等12种情况。
教师指出在研究这一类问题时，不需要作这样的区分。把这种方法改正后并入第一种方法。】
【设计意图：尊重学生个性的思考，尊重学生的差异，给学生充分的展示交流的空间，教师针对学生的不同情况，作出不同的指导，充分发挥教师作为课堂教学的组织者、引导者的作用。】
4、教师引导理解假设法。
在分放物体的过程中，我们只需要找到最不利的情况就可以了，如果每个笔筒先放1支铅笔，那么就会多出来1支铅笔，这个铅笔放进任何一个笔筒中，那个笔筒里都会有2支铅笔，所以结论是对的。
学生同桌之间互相说一说，教师课件动态演示。
师：刚才同学们把铅笔尽可能地平均分，找出最不利的情况，再推理出其他的分法中某个笔筒中的铅笔数都不会比2支少，至少也会和2支相等。
5、比较优化，建立模型。
请学生继续思考：
如果把5支铅笔放进4个笔筒中，结果是否一样呢？怎样解释这一现象？
【学情预设：学生可能会摆一摆、放一放，罗列出所有情况，（5，0，0）、（4，1，0）、（3，2，0）、（3，1，1）、（2，2，1），每一种摆放情况，都一定有一个笔筒中至少有2支铅笔；也可能会用假设法来解释，先假设在每个笔筒中放入1支铅笔，4个笔筒就放了4支铅笔，剩下的1支不论放入哪个笔筒中，一定会出现总有一个笔筒中至少有2支铅笔。不论学生用哪种方法，教师都给予肯定。】
如果把6支铅笔放进5个笔筒中呢？
【学情预设：大部分学生可能会意识到用操作的方法把所有的情况都列举出来太麻烦了,于是用假设法进行解释。】
教师引导学生比较这两种证明方法：第一种（枚举）方法有什么优点和局限性？第二种（假设）方法有什么优点？
请学生继续思考：
把7支铅笔放进6个笔筒中呢？
把10支铅笔放进9个笔筒中呢？
把100支铅笔放进99个笔筒中呢？
你发现了什么？
引导学生发现：只要放的铅笔数比笔筒的数量多1，不论怎么放，总有一个笔筒中至少放进2支铅笔。
【设计意图：在学生自主探索的基础上，教师进一步比较优化，让学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题。在有趣的类推活动中，引导学生得出一般性的结论，让学生体验和理解“抽屉原理”的最基本原理，当物体个数比抽屉个数多1时，一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。这样的教学过程，从方法层面和知识层面上对学生进行了提升，有助于发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维，在这里多媒体技术为教学起到了重要作用。】
铅笔放进笔筒我们会解释了，那么下面这两句话你能得出什么结论呢？
课件呈现：8只鸽子飞回7个鸽巢；10个苹果放进9个抽屉里。
师：仔细看我们这节课研究的这些数，抽屉的数量和苹果的数量总是——（相差1)。如果抽屉的数量用 n 表示，那苹果的数量就是——( n +1)。把（ n +1)个苹果放入 n 个抽屉中，总有1个抽屉中至少有2个苹果。
师：以上这些问题有什么相同之处呢？
【学情预设：其实都是一样的】
师：鸽巢、抽屉就相当于笔筒，鸽子、苹果就相当于铅笔。像这样的数学问题，我们就叫作"鸽巢问题"或"抽屉问题"，它们里面蕴含的这种数学原理，我们就叫作"鸽巢原理"或"抽屉原理"。（揭题）
三、灵活应用，解决问题
1、多媒体出示第67页“做一做”第2题。
（1）课件出示：5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么？
（2）学生独立思考，自主探究。
（3）交流，说理。
2、六（1）班第一组共有13名学生，一定至少有2名学生的生日在同一个月。为什么？
（1）学生理解题意，明白一年有12个月，共有13名学生。
（2）学生独立思考。
（3）交流。
【学情预设：这个问题相对来说比较抽象，可以利用多媒体直观出示十二个月的月历，引导学生将十二个月作为“抽屉”，把13个人作为“待分的人”，化抽象为直观，帮助学生思考说理。】
3、从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽出5张，至少有2张扑克是同花色的。试一试，并说明理由。
（1）帮助学生理解题意：剩下的52张扑克有4种花色。
（2）学生思考，可以动手试一试。
（3）交流。
【学情预设：学生难以找到这个问题与“抽屉原理”之间的联系。教师可在多媒体上直观出示4个方格，分别显示黑桃、红桃、梅花、方块四种扑克牌花色，让学生借助直观图形进行说理。也可以拿出扑克牌，借助实物进行操作验证。】
【设计意图：“抽屉问题”的变式很多，应用更具灵活性。本节课的练习设计有层次，有坡度。第1题，学生可以利用例题中的方法迁移类推，加以解释。第2、3题学生需要经历将生活中的具体问题“数学化”的过程，有利于培养学生的数学思维能力，让学生在运用新知灵活巧妙地解决实际问题的过程中进一步体验数学的价值，感受数学的魅力，提高数学学习的兴趣。】
四、回顾全课，梳理总结
师：通过这节课的学习，你有什么收获？
师：抽屉原理是一个重要而又基础的数学原理，应用抽屉原理可以解决各种有趣的生活问题或数学问题，并且常常能够得到令人惊异的结果。
教学反思
本节课的教学中，教师通过生活中的游戏引入新知，唤起学生的问题意识，激发学生的学习兴趣。新知环节引领学生通过猜测、验证，利用枚举法、假设法得出"至少数"。学生在不断扩大数据中逐步构建出抽屉原理的模型，经历了从具体到抽象，逐步建立模型的全过程，培养了学生的推理意识、模型意识。最后，教师放手让学生运用抽屉原理解决简单的实际问题和解释相关的现象，培养学生利用所学知识解释现实世界的能力。总之，教师在教学中让学生充分经历思考、探究、讨论、交流的学习过程，提高了学生的认知力、合作力、创新力和实践力，真正从"学过"走向了"巧学习、真学习、深度学习"，发展了学生的核心素养。

展开更多......

收起↑