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课题 《圆的周长》
教材分析 《圆的周长》是青岛版小学数学六年级上册的教学内容，它属于图形测量范畴。C= π ×d 反映的是圆的周长与直径之间的关系，是一个数学模型。该模型不同于长方形周长，是不易通过观察、操作等活动能直接发现的，需要引导学生通过大量的实验并结合人类已经走过的探索历程和取得的成就逐步建构起来。其教学价值在于发现圆本身的奇妙之处，数学思想方法的独特性以及探索经验的可迁移性。
学情分析 六年级学生喜欢各种各样的探索活动，他们希望能够在活动中自 己去研究事物、发现问题，更渴望能在研究活动中解决自己的疑问，从中获得成功的喜悦。结合学生的实际特点和教学的主要内容，本节课我着重通过开展丰富的探索实验活动，发展学生的学习能力。
课时目标 1.通过猜想、实验等活动认识圆的周长，推理圆的周长与直径或半径之间的关系，理解圆周率的意义，掌握圆的周长计算公式。 2.经历圆的周长计算公式的探究过程，积累观察、 比较 、操作等数学活动经验，渗透转化、极限等数学思想方法，发展数感和空间观念。 3.结合圆周率的探索历史感受数学文化以及数学严谨性，获得积极的情感体验。
重点 难点 重点：探索圆的周长与直径的关系。 难点：理解圆周率的意义。
课前准备 课件、大小不同的圆片、线绳、三角板、纸条、直尺等。
教学过程
学习目标 评价任务 学习活动 评价标准
达成目标1 认识圆的周长 任务一： 制作圆形钟表面的装饰条，感知圆的周长 关联整体 基于上节课学生已经认识了圆，掌握了圆的半径和直径的特点，并深入感知了 “一中同长”。根据上节课课后拓展作业 “制作圆形钟表面”，进一步提出制作装饰条，由此引出研究路径及任务——圆的周长。 活动一： 问题1：制作圆形钟表面一周的装饰条 。怎样求出这个装饰条的长度呢？ 预设：要求出这个装饰条的长度，实际上就是求出钟表面这个圆形的周长。 意图：链接课后拓展作业，引出 “圆的周长”。 问题2：那你能指一指哪里是这个圆形的周长吗？ 生上台指一指。 总结：围成这个圆一周曲线的长度就是圆的周长。这就是我们今天要研究的内容。可以用字母C来表示。 意图：感受圆的周长在哪里，总结圆的概念。 A. 能提取出 “装饰条其实就是圆的周长”这个数学问题的本质。 B. 问题本质的提取不够精准。 C. 不能提取问题本质。
达成目标1、2 推理圆的周长与半径之间的关系。 任务二： 借助圆规画圆量圆，推理出圆的周长大于半径的6倍 活动二： 问题1：要怎样来研究圆的周长呢？其实我们可以借助之前长方形，正方形的周长的相关知识。首先要思考一个问题，它们周长与什么有关？ 预设：长方形周长和长、宽有关，正方形周长和边长有关。 总结：我们通过长方形的周长和长、宽的关系，从而求出长方形的周长，通过正方形和边长的关系，从而求出正方形的周长。 意图：借助已有经验迁移，引出问题2 问题2：要研究圆的周长，得先思考圆的周长与什么有关？ 预设：直径和半径的长度 总结：那我们就先来研究圆的周长与半径之间的关系。 （板书：圆的周长与半径或直径有怎样的关系？） 问题3：可以借助圆规，先画一个圆，再以半径为标准，用圆规量一量圆的周长，你有什么发现？ 生动手操作，小组内互相说一说。指名学生展台展示说明自己的操作与发现。 预设：用圆规量周长时比画了6次，所以圆的周长是半径的6倍，但是我们能发现圆规在比画的时候是一条线段，而圆的周长是一条曲线，我们知道两点之间线段最短，这条曲线是肯定长于这条线段的，所以圆的周长大于半径的6倍。 总结：同学们，刚才我们借助圆规，在圆上量了6次（播放课件），接着我们借助两点之间线段最短推理出了圆的周长>半径的6倍。也可以用字母来表示C>6r。（板书 ：C>6r） 意图：推理圆的周长与半径之间的关系 , 为推理周长与直径之间的关系做铺垫。同时渗透圆与方的关系。 A. 学生能够推理出圆的周长大于半径的6倍。 B.学生能够推理出圆的周长大约是半径的6倍，但是不能明确是大于半径的6倍。 C.学生认为圆的周长就是半径的6倍，忽略了 “两点之间线段最短” ，不能推理出圆的周长大于半径的6倍。
达成目标1、2 推理圆的周长与直径之间的关系 任务三： 通过 “圆出于方”的动态演示，感知圆的形成 , 推理出圆的周长小于直径的4倍 活动三： 问题1：同学们，刚才我们借助圆规推理出了圆的周长与半径之间的关系，其实，圆和正方形之间也有着紧密的联系。请看，我们在正方形里画一个最大的圆，仔细观察这个正方形的边就等于圆的？ 预设：直径 问题2：那这个正方形的周长就是直径的几倍。 预设：4倍 总结：今天我们就可以借助这个正方形来研究圆的周长与直径之间的关系。 1.正八边形与圆 问题3：我们可以把正方形的4个角切去 , 就得到了一个正八边形。同学们，仔细观察，这个正八边形的周长与这个正方形的周长相比，谁比较短？你是怎么比较的？ 预设：正八边形的周长要短，正方形的周长要长。正方形四个角切去之后，就形成了三角形，三角形两边之和大于第三边，而八边形的这条边刚好是三角形的第三边，所以正八边形的周长要小于正方形的周长。 总结：借助了三角形的三边关系，推理出了正八边形的周长小于正方形的周长。 2.正十六边形与圆 问题4：现在把这个正八边形的8个角切去，就得到了正十六边形。每切一次得到的正多边形的周长和前一个图形比较，周长谁大谁小？ 预设：小一些 3.关系推理 （ 1）推理圆的周长<直径×4 问题5：如果继续切下去，想象一下，得到的这个图形会越来越接近什么图形？ 预设：圆 A. 在正方形中画一个最大的圆，能够发现圆的直径刚好是正方形边长；通过正方形不断切割得到圆 , 学生能够发现圆的周长小于正方形的周长，基于以上两个发现，学生能够推理出圆的周长小于直径的4倍。 B.在正方形中画一个最大的圆，能够发现圆的直径刚好是正方形的边长；通过正方形不断切割得到圆，学生能够发现圆的周长小于正方形的周长 , 但是学生无法基于以上两个发现推理出圆的周长小于直径的4倍。 C.在正方形中画一个最大的圆，能够发现圆的直径刚好是正方形的边长；通过正方形不断切割得到圆，学生不能发现圆的周长小于正方形的周长 , 且无法推理出圆的周长小于直径的4倍 。
问题6：现在将这个圆和正方形比一比 , 思考圆的周长与直径有着怎样的关系呢？先独立思考，然后小组交流。 预设：这个圆直径等于正方形的边长，边长乘4就是正方形的周长，而正方形的周长又比圆的周长大，所以直径×4要大于圆的周长。 总结：同学们刚才借助正方形，推理出了圆的周长小于正方形的周长，而正方形的周长就是直径的4倍，所以圆的周长小于直径的4倍。也可以用字母来表示。（板书： C<4d） 意图：借助正方形圆形周长的大小关系 , 推理出圆的周长与直径之间的关系。同时通过圆的不断切割，感知圆出于方，渗透极限思想。
达成目标 1、2、3 理解圆周率的意义，经历圆周率的探究过程，掌握圆的周长计算公式 , 渗透转化 、极限等数学思想方法 ；感受数学文化，获得积极的情感体验。 任务四： 探究圆周率，推导圆的周长公式 活动四： 问题1：圆的周长与直径的倍数关系在几倍到几倍之间？ 预设：通过任务二推理出了圆的周长大于半径的6倍，而同一个圆内直径是半径的2倍，所以圆的周长大于直径的3倍；通过任务三推理出了圆的周长小于直径的4倍；由此总结出直径的3倍<圆的周长<直径的4倍。 （板书：3d问题4：圆是一个曲线图形，要怎样测量它的周长呢？ 预设1：绕绳法，用绳子绕圆的边线绕一圈，然后再把它拉直，测量它的长度。 预设2：滚动法，可以在尺子上滚一圈 , 在圆上做一个标记，然后从0刻度还是滚动，再回到圆上的标记处，看一看结束的刻度是多少，就是圆的周长。 总结：两种方法都是把圆的周长这条曲线转化成一条可以直接测量的线段。在数学上这种思想方法叫做化曲为直。 意图：渗透化曲为直的数学思想方法。 小组合作： 两人合作测量圆的周长，计算周长与直径的比的比值，除不尽的结果保留两位小数 , 计算时使用计算器，组长将数据记录在表格中。 教师巡视，找四组学生记录的数据，对比放在展台上。 问题5：哪些数据引起了你的关注？你有什么发现？ 预设1：展示不在3到4之间的数据，学生能够发现这些数据应该是出现了比较大的误差。 预设2：会发现这个数据都集中在3到4之间，但是都不一样，可能是因为存在误差 。 总结：学生能发现他们测量的数据都不同，是因为他们测量得不够准确。测量过程中会出现大小不一的误差。 由此引出用信息技术解决这个难题。 多媒体播放视频，视频中会出现大小不同的圆，电脑可以精密地测算出圆的周长和直径的比的比值。 问题6：仔细观察数据，你能有什么发现？ 大胆猜想出这个倍数关系是一个固定的数 , 且在小组合作测量计算时遇到问题，产生较大的误差。
预设：圆的直径在变，周长在变，但是他们的比的比值没有变。 总结：无论圆的周长与直径怎么变，圆的周长与直径的比的比值永远是不变的，它是一个固定的数。数学家将它称作圆周率。 （板书：圆周率） 师板书圆周率，圆周率=3.1415926… …说明圆周率是一个无限不循环的小数，视频中只是保留到了小数点后9位。数学讲究简洁，数学家用希腊字母 π来表示圆周率。 （板书： π=3.1415926… … ） 总结：现在知道圆的周长是直径的 π倍 , 是半径的2× π倍 问题7：知道直径d或半径r，你能求出圆的周长吗？ 总结：圆的周长公式C= πd，C=2 πr，明确 π取近似值为3.14（板书 π ≈ 3.14）。 回顾总结经历圆周率的探究过程：推理出圆周率的范围——动手实验操作，借助信息技术明确圆周率的取值——推导圆的周长公式，视频播放圆周率的发展史视频，感受古人对圆周率的探究经历了一个特别漫长且复杂的过程。 意图：经历圆的周长计算公式的探究过程，积累观察、比较、操作等数学活动经验 , 渗透转化、推理、建模等数学思想，发展数感和空间观念。结合圆周率的探索历史感受数学文化，获得积极的情感体验。
达成目标 1、3 掌握圆的周 长公式，会 用周长公式 解决实际问题，感知 任务五： 完成课上练习，并进行课堂总结 练习1：应该准备多长的装饰条？ 意图：回归到课伊始的问题，完成装饰条的计算，利用周长公式解决实际问题。 练习2：中国天眼的周长是多少？ A. 能用周长公式解决实际问题，能感受数学的严谨性。 B.在利用周长公式解决实际问题时出错，不能体会 π 的取值会给某些高新科技领域带来极大
数学的严谨性。 生独立完成并汇报。 意图：学生汇报后追问 π 的取值，学生均取值3.14，引导学生用 π取值为3.14159计算周长，感受 π的取值对周长精确度的影响。 由此引出在高新技术领域和航天科技领域，对于 π 的取值要求非常高，感知数学的严谨性。 课堂总结： 学生谈收获。 播放钢琴曲《圆周率之歌》，引领学生感受圆周率的魅力。 的影响，缺乏数学严谨性的感知。 C.不会利用周长公式解决实际问题，容易将运用半径或直径计算周长弄混，不能体会数学的严谨性。
作业 设计 课后作业 1.张奶奶用篱笆靠墙围了一个半圆形的养鸡场（如图）。如果这个半圆的半径是15米，篱笆长多少米？ 设计意图：学生易将圆的周长的一半和半圆的周长混淆，基于此学情，设计本课后作业。 旨在发展学生的运算能力、推理意识、空间观念。 2.如右图所示。两只蚂蚁同时从A点出发，一只沿大圆走一周，另一只在两个小圆上走一周，哪只蚂蚁先回到起点？为什么？ 设计意图：将周长题目进行变式，举一反三，引领学 生明确，无论圆形怎样组合，周长只与半径或直径的长度有关。发展学生的应用意识、数感和空间观念。
板书 设计 圆的周长 圆的周长和直径或半径有怎样的关系？ C>6r C<4d 推理 3d

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