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重操作，借猜想，究本质
——《有余数的除法》教学设计及评析
摘要：《有余数的除法》是人教版二年级下册第六单元的内容，是表内除法知识的延伸和拓展。如何在形成余数概念的起始阶段，借助余数产生的过程同时探索余数与除数的关系，形成完整的知识结构，让概念的理解更加深透？教学中，教师借助操作，数形结合等直观的方式，帮助孩子们从多方面，多角度的理解所学知识，带领孩子们在操作过程、语言表征和符号表征之间来回穿梭，实现了对余数概念的真正理解。
关键词：《有余数的除法》；概念本质；意义理解；思维进阶
教学内容分析：《有余数的除法》是人教版二年级下册数学第六单元第一课时的内容，是表内除法知识的延伸,也是今后继续学习除法的基础,具有承上启下的作用。在教学时,应着重抓住“余数的认识及其含义’和“余数与除数间的关系”两大知识点进行教学。
学生分析：认识有余数的除法，是在学生已学过表内乘除法的基础上学习的，学生在前一阶段刚学会表内除法，已经接触过许多正好分完的事例，但二年级的学生的思维还是以具体形象思维为主，想完成由形象思维向抽象思维的转变，就要借助动手操作，让学生亲自去实验，去体验知识的形成过程。在教学时，应该根据知识的系统性以及二年级学生的思维特点，使学生通过积累观察、操作、讨论、合作交流、抽象、概括等教学活动获得知识，发展学生的抽象思维。
教学目标
通过操作、观察、对比等活动，初步理解余数及有余数的除法的含义。
通过猜想、验证、推理得出余数与除数的关系，并渗透研究问题的一般方法。
3.体会借助直观研究问题的意识和方法，积累数学活动经验，感受数学与生活的联系，发展抽象思维。
教学重点
初步理解余数及有余数的除法的含义，探索并发现余数与除数的关系。
教学难点
理解余数要比除数小的道理。
教学准备
课件、10个小圆片、学习单。
教学过程
一、摆一摆、分一分、写一写、对比中认识余数和有余数的除法。
师：小朋友们，欢迎来到泡泡王国，我们一起去和泡泡们游戏吧。
1、动手操作，摆一摆（出示10个圈）：
①摆一摆
看！泡泡们出来排排队啦！数一数（1，2，……10）10个泡泡，每几个一组，可以分成几组？请同学们先想一想，再用自己手上的学具摆一摆，开始吧！
已经摆好的同学和你的同桌交流一下。
②汇报 动作真快，都摆好了吗？我们来看看这几位同学的摆法。
生1：我把10个泡泡每5个一组，分成了2组。
师：你的10个泡泡分完了吗？哦，他的10个泡泡每5个一组，分成了2组，正好分完。
生2：10个泡泡，每3个一组，分成了3组还剩1个。
师：那你的10个泡泡分完了吗？（没有分完，还剩一个）
哦，同学们发现没有？他在平均分的时候出现了新情况，他的10泡泡每3个一组，分成了3组，分完了吗？（没有分完）还剩1个。剩下的这1个还能再分吗？为什么？（不能，不够3个了）哦，我听到了一个关键词，“不够分”了。
师：我们是每3个一组来分的，剩下的这1个比3小，不够分了所以被剩下了。
生3：10个泡泡，每4个一组，分成了2组还剩2个。
师：这次分完了吗？（没有）这2个为什么又被剩下了？（剩下的2个比4少，不够分）是啊，10个泡泡，每4个一组，剩下的这2个比标准量4少又不够分所以又被剩下了是吧？
生4：我把10个泡泡每2个一组，分成了5组。
师：这次分完了吗？对！又是正好分完。
（评析：老师以一个开放性的问题引入新课，“10个泡泡，每几个分一组，结果会怎样？”孩子们在具体分一分、摆一摆的过程中，与同桌的交流中，初步体会到选择不同的分配标准，平均分会出现正好分完和还有剩余两种情况。
请孩子上台演示，汇报交流这一环节，让每一个孩子都清楚地看到分的全过程，用语言描述分的过程和结果，每一个孩子演示完，老师都会指着原来10个泡泡的集合圈提问：“他把10个泡泡分完了吗？”让他们在具体的操作中真正明白什么是正好分完，什么是还有剩余。
如果有剩余，老师会追问：“剩下的一个或者两个还能再分吗？为什么？”让孩子们明白不能再分的原因是比标准少，不够再分一组，所以被剩下了。让孩子亲身经历余数产生的过程，初步获得余数概念的表象，为后面抽象出数的概念打下基础。 ）
2、分一分
师：10个泡泡，每几个一组，我们有不同的分法。你能把这些分法，分一分类吗？
生：第1个和第4个一组，第2个和第3个一组。
师：你是怎么想的呢？
生：我是想第2个和第3个都有剩余，第1个和第4个没有剩余。
师：嗯，分析得真有道理，其他小朋友同意吗？
师：好的，就听你们的，分为两类。看！这一类（正好分完），这一类（还有剩余）。看！这几个黄色的泡泡为什么那么不开心啊？（因为它们被剩下了）是的，因为按照标准它们不够再分一组了，所以就被剩下了。
师：请同学们仔细观察，左边我们是每几个为一组来分的，分得的每份同样多，右边的我们也是每几个为一组来分的，虽然有剩余，但分掉的部分每份也是同样多。那分得的每份同样多是什么分？（平均分）
小结：看来，平均分的结果有两种，一种正好分完，一种还有剩余。
（评析：对以上四种分法进行分类，从知识上构建平均分的结果有两种，一种是正好分完，一种是还有剩余，在图形特征上对平均分的两种结果进行第一次对比，至此，余数以不开心的黄色泡泡形象直观的呈现在孩子们面前。但不管是正好分完还是有剩余，这时借助图形让学生们明白。在本质上两者分得的每份都是同样多的，都是平均分，为后续书写有余数除法算式提供经验支撑。）
3、写一写
师：我们先来看看正好分完的这种情况：
（a）10个泡泡，每2个一组，可以分成几组？算式是：（指生说）10÷2=5（组）追问：为什么要用除法来计算？（因为这里是平均分）
（b）那每5个一组呢？算式是：10÷5=2（组）
（c）真棒！平均分，正好分完，我们可以用一道除法算式来表示，那还有剩余呢？
有一部分小朋友有想法了是吧？不着急，咱们先来看看这种情况：
试着用算式表示
10个泡泡，每3个一组，可以分成3组，还剩1个。（板贴图文）
你能用一道算式表把平均分的过程和结果表示出来吗？请小朋友们找到学习单上活动二，自己试着写一写。
师：好的，小朋友们，都有结果了吧？老师收集到了好几位小朋友的想法，我们先来看这位小朋友的。
这几个同学都是选择用什么方法来计算的？
为什么要用除法来计算？
你觉得哪个算式能更清楚的表示出我们平均分的过程和结果呢？
学习用除法算式表示有剩余的情况
为了让大家看得更明白，我们一起再来学学看。10个泡泡，每3个一组，我们可以用10÷3来表示，结果分成了几组？（3组）嗯，就等于3（组），还剩的这个怎样表示呢？小眼睛看好了，6个小圆点读余，1（个）（板书：10÷3=3（组）……1（个））这个算式读作：10除以3组余1个，一起来！在除法算式中，这个10叫作被除数，它呢？除数、商，那剩余的这个呢？叫余数。是的，它就叫余数。（板贴）我们一起来念一念。它叫余数。
揭题：今天我们就一起来学习有余数的除法。（板贴）
强化理解余数的概念：
通过刚才的学习，你们觉得什么样的数才叫余数？（剩下的数）
对！它就是我们在平均分之后剩下的数，这个“1”为什么会被剩下？（不够分）哦，不光是要剩下，而且还要不够分，所以余数就是（一起说）平均分后剩下的且不够分的数。（板贴）
算式中的每个数含义
算式中的每个数分别表示什么？谁能指着图说说看？（指生说，一起说）
整个算式含义
整个除法算式表示什么意思？谁能指着算式说说看？（指生说，一起说）
生：10个圈，每3个一组，分成了3组，还剩1个。
师：真像个小老师，来，咱们来跟着她一起来说一说：10个泡泡，每3个一组，分成了3组，还剩1个。
修改算式
现在，你会用像这样的除法算式把刚才平均分的过程和结果表示出来了吗？那请刚才不是像这样写的同学赶紧修改一下。
其他情况除法表示
那这种情况呢？一起读一读：10个泡泡，每4个一组，分成了2组，还剩2个。你会用像这样的除法算式来表示吗？赶紧写一写。老师收到了好多小朋友写到的信息，谁来说说看，你写的除法算式是 ( 生：10÷4=2（组）……2（个）)
师：你把单位名称都说清楚了，你来说说看，算式里的两个2表示什么意思？
生：第一个2表示分成了2组，第二个表示剩下2个。
师：是的，虽然都是2，但表示的意思却完全不同。那这个算式就表示：10个泡泡，每4个为一组，可以分成2组，还剩2个。（指算式一起说）
对比建模
小朋友，通过刚才的学习，我们知道只要是平均分我们都可以用除法算式来表示。请大家仔细观察，左边的算式和右边的算式有什么不一样呢？
生1：左边的正好分完，右边的还有余数。
师：真会发现，小朋友们，你们发现了吗？是呀，看！平均分，正好分完，我们可以用这样的算式表示：（）÷（）=（）没有余数，还有剩余我们用这样的除法算式来表示：（）÷（）=（）……（）看，这部分是余数（课件闪烁）
（评析：老师放手让孩子写出他们心中的算式。巡查了解孩子的解决问题和基本思路，基本方法，选取典型案例，呈现四种不同的写法。因为有前面平均分知识的引导，大多数孩子都写出了除法算式，就是商和余数，不知道怎样表示。
教师引导进行比较，孩子们最终得出正确的书写方式，教学写法、读法。通过除法算式各部分的名称引出余数的概念，结合图理解算式中每一个数所表示的意义，整个除法算式表示的意义。孩子修正写法，巩固写法，加深对有余数除法含义的理解。并进行第二次对比，有余数的除法和表内除法的横式对比，抽象出两种除法算式的模型，让孩子在对比和交流中构建完整的知识体系，完善认识结构。）
二、圈一圈，猜想、验证余数和除数的关系
1、猜一猜，除数是4，余数可能是几？
师 ：聊着聊着，我们就和有余数的除法交上了朋友。现在又来了一些泡泡，它们想和我们玩个圈圈乐的游戏。
猜想：在玩之前，我们先来猜一猜：一些泡泡，每4个一组，可能会出现哪些情况？（正好分完，还有剩余）
如果还有剩余，每4个一组，余数可能是几？
（评析：有了刚才的学习经验，这时引入猜是合适的，孩子们有了一些有余数分配的操作经验，只是还不特别清楚，猜测让孩子的探究更积极，更有目的性。）
2、圈一圈，验证猜想。
（小组合作）验证：我们猜的到底对不对呢？咱们还得验证一下。怎样验证呢？老师为每个同学准备了数量不一样的泡泡单（12—16个），现在，咱们就小组合作，动手圈一圈，来验证一下吧！现在，请大家拿出学习单，找到活动三，开始吧！
汇报：分12个泡泡的是哪些同学？谁来汇报一下？
生：12个泡泡，每4个一组，分成了3组，正好分完，算式是：12÷4=3（组）
13个的呢？14个，15个？
从12到15个泡泡，每4个一组，都出现了哪些情况？（正好分完，还有剩余）我们刚才都猜到了，有剩余的，余数是哪些数字？（1、2、3）我们刚才也猜对了。分到现在，并没有出现4和5 ，是不是我们泡泡的数量不够多，如果继续分下去，余数会是4吗？
15个泡泡，如果我们再添一个，（泡泡出示）就是多少个 (16个)这时候会余4吗？（不会）为什么？（又满了4个，又可以分一组了）现在只不过是多了一组是吧？现在这又是属于以上的哪一种情况？（正好分完）
16个泡泡，每4个一组，现在分成了几组？算式是16÷4=4（组）
（评析：分组操作，以圈一圈的操作方式，完成“对12~16个泡泡，每四个分一组”的情况的探究，同组每个孩子的泡泡个数都不一样，通过交流，初步发现总数不一样，余数会不一样，分别是余1、余2、余3。
继续分下去，15个泡泡，再来一个，会是余4吗？直观演示让孩子第一次体验余3之后，再来一个，就满4了，可以加一组，就没有余数了。）
3、借助16个泡泡的图，推出17、 18 、19个泡泡的情况。
师：看着16个的图，你能想象出17个泡泡，每4个一组，是什么情况吗？
生：17个泡泡每4个一组，分成了4组，还剩1个，
师：你是怎么想的？（16个泡泡，每4个一组，正好分成4组，17个比16个多1个，不够分1组，所以17个泡泡每4个一组可以分成4组还剩1个，）
所以算式是：17÷4=4（组）……1（个）
那18个呢？（18个比16个多2根，多的2根不够分一组，所以18个泡泡每4个一组可以分成4组还剩2个，算式是：18÷4=4（组）……2（个）
19个是什么情况？谁能直接列出算式？
19个泡泡，再来一个，还会余4吗？为什么？（因为泡泡又够4个，又可以分一组）哦，又是正好分完了。
（评析：思考“借助16个泡泡的图，你能推出17、 18 、19个泡泡的情况吗？”孩子们的思考方法多样。再来一个会余4吗？让学生第二次体验余3之后，再来一个，就可以再分一组，没有余数。但是这次没有图形支撑，想象结果，要求更高。）
4、对比观察：请大家仔细观察这些除法算式，它们的余数有什么特点？
是的，除数是4，余数总是1、2、3，1、2、3的出现。如果我们无限地分下去，余数会出现4吗？（不会）为什么？（又凑成了4个，又可以分一组了）哦，那就变成了哪种情况？对，又是正好分完。
会出现5吗？（不会，又可以分一组）这时是余几？（余1）那就又回到余1的情况了。能比4大吗？（不能）
既不能等于4，也不能大于4，那就是说除数是4，余数只能比4小。
小结：看来，除数是4，余数只能是1、2、3，余数都比4要小。
（评析：孩子经历了两个大循环之后，再综合前两次操作和思考的结果：除数4，余数为什么总是1、2、3呢？无限的分下去会出现4吗？5吗？这时余数和除法的关系，在孩子脑海中逐渐清晰起来。教师顺势引导，看来除数是4，余数最大只能到3，每次到3后，再来一个，就可以再分一组，就没有余数了。孩子们体会到随着被除数的增加，余数会永远像这样循环下去。）
5、除数是5，余数可能是几
师：接下来，如果是每5个一圈呢？余数可能是（余1，余2，余3，余4）余数可能是5吗？（不可能，因为它们可以圈成一组）没有余数。
接下来，余数可能是余1，余2，余3，余4，没有。
泡泡的数量越来越多，除数是5，余数总是1，2，3，4。
无论有多少个泡泡，只要是每5个为一组，余数都只能是1，2，3，4。
所以除数是5，余数只能是1，2，3，4；余数都比5小。
6、除数是6，7，100，余数可能是几
如果除数是6呢？余数可能是？（1，2，3，4，5）真好，都比6小。接着往下想，余数是7呢？一起说吧！（1，2，……）哦，都比7小。那如果除数是100呢？（1到99），就是所有的都比100小。
7、归纳小结：余数都比除数小
师：通过前面的学习，你觉得余数的大小都和谁有关？那它们之间有怎样的关系？谁能用一句话来概括？生：余数比除数小。
师：你们同意吗？真会发现！所有的余数都比除数小！（板贴）我们也可以说除数都比余数大。
师：请同学们想一想，余数为什么都比除数小呢？同学们请看（指板书），余数就是平均分后剩下的且不够再分的数，这个数够不够分是由什么决定的？（标准、除数）在除法算式中除数就表示分的标准，所以余数都比除数小。
8、回顾研究方法
刚才我们是用什么方法进行研究的？首先是通过大胆的猜想，再动手操作验证，最后通过推理得出结论。这种研究问题的方法在我们今后的学习中会经常用到。
（评析：当除数分别是5、6、7 、100时，余数可能是多少呢？此时更换除数，提供了五个泡泡一组的形象支撑，孩子们马上发现此时余数可以达到4，但满5就可以再分一组了。通过想象除数是6、7、100的分配过程，揭示余数和除数的关系。教师提问：“你发现余数的大小和谁有关，有怎样的关系？对此余数都比除数小，这一结论水到渠成，从孩子们口中说了出来。
为完成进一步的抽象，教师再一次提问：“大家想一想，余数为什么要比除数小呢？”教师引导孩子们回到余数的定义，余数就是平均分后剩下的且不够再分的数，剩下的数够不够分，由谁来决定？由分的标准来决定，大于或者等于标准都可以再分，只有比标准小才不能够再分，而在除法中，除数就是分的标准，所以余数必须小于除数。至此，孩子们对余数的认识从由模糊到清晰，从具体到抽象，真正从本质上理解了余数要比除数小的道理。）
巩固练习
课堂小结
通过这节课的学习你都有哪些收获？
小朋友们，通过刚才的学习，我们知道了平均分有时候正好分完，我们用这样的除法算式来表示： 被除数÷除数=商；但有时候分着分着有剩余，可以用这样的除法算式来表示：
被除数÷除数=商……余数。在除法计算中，只要是平均分，我们都可以用除法算式来表示，如果有剩余，那么余数都比除数小，除数都比余数大。
教学反思
学习数学是让学生在问题引领下进行自学？还是教师讲清余数的概念让学生去理解记忆？抑或是创造一个问题和情景，在教师一连串的问题中让学生加深对知识的理解？不得不承认的是，学习，是学生与教师共同参与的一项活动，经历过一定的学习体验和学习过程后，总结方法，有结论。但是仅仅有学习活动就行了吗？还得有学生思维活动的再创造。
一、创设情境，让学习思维跳动
小学生为什么要学数学？数学有什么用？数学产生于现实生活中真实的需求，在这节课中我以学生熟悉的人物、熟悉的画面、熟悉的场景，创设10个泡泡，每几个一组，可以分成几组的场景，拉近学生与数学的距离。在分泡泡时，让学生做个小主人，自己来分泡泡，作为小主人公的姿态，去思考，分泡泡我们需要找到哪些信息，明确分泡泡的方法。其实，不仅仅是分泡泡，分一些其他物品，做一件事时，我们都得先心中有数，有计划，才能做起来游刃有余。教育不单单是知识的天堂，还是学生生活中人生观、世界观的指导。
二、动手操作，真实见证余数的产生
纸上得来终觉浅，觉知此事要躬行。余数是怎么产生的？余数是什么？有余数的算式怎么写？与其我来苦口婆心的告诉学生，指导学生如何去写，倒不如学生真正去体会到它的产生，探索出算式写法来的更有意义。分10个泡泡，每3个一组，分成了3组，还剩1个。还剩的这一个泡泡，引发学生认知冲突，原来平均分时没有剩余，这次出现了剩余，这便是余数的产生。由动手操作到语言表征，让学生说一说是怎样分的泡泡。再到探索有余数的除法算式的写法，学生发明的算式就像是自己精雕细琢的艺术品，对它总能有深刻的理解。在算式的比较中，我们找到了更切合实际的算式，让学生提出疑问，在问与思中加深对算式的理解。余数究竟是什么？发挥学生分泡泡之后思维的创造力，根据自己的亲身实践，说说自己感知的余数。
三、对比理解，深化含义
通过两次分泡泡过程的对比，让学生理解有余数除法的含义。从分的过程上对比，帮助学生感知平均分物的过程中的两种结果刚好分完和平均分后有剩余两种情况，在对比中扩展学生对除法的认识，更好理解余数。其次是两种除法算式的对比，对比理解算式中每个数的含义，加深对有余数除法理解。构建新旧知识之间的联系，培养学生观察、比较、分析的能力。
四、动手动脑，创造余数
通过对余数知识的学习后，12-16个泡泡，每4个一组，让学生圈一圈，创造余数。令我欣喜的是每个学生都是每4个一圈，剩下的不能再分的那一部分就是余数。这样圈一圈，让学生对除法的含义更加清楚明了，并且知道了除数是4时余数只能是1、2、3，发现了余数与除数的关系。在这样的活动中，让学生更有成就感，为能学会新知识而感到自豪。
在上这节课时，一些教学环节还存在着一些不足，对于学生的回答引导不到位，因此，在今后我会更加细心研读教材，结合教学实际，适时调整教学策略。向着学生成长成才，永远行走在教育的路上。
……

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