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专题16 相交线与平行线复习 优等生讲义
(9大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 对顶角、邻补角的概念与性质，能运用其进行角度计算。
理解 垂线的定义及性质，会利用垂线段最短解决实际问题。
识别 同位角、内错角、同旁内角，并能从复杂图形中准确找出三线八角。
掌握 平行公理及推论，灵活运用平行线的判定与性质进行推理和计算。
理解 命题的概念，会区分真命题与假命题，能写出一个命题的逆命题。
熟练运用 平行线的知识解决几何综合题、实际应用问题(如翻折、旋转、光线折射等)。
核心思想：转化思想 · 模型观念 · 逻辑推理
知识梳理 · 核心知识点
☆对顶角与邻补角
邻补角： 有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，和为180°。
对顶角： 一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，对顶角相等。
*两条直线相交，形成两对对顶角，四对邻补角。
☆垂线
垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直。
垂线的性质： ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
☆三线八角
同位角： 在截线的同旁，被截线的同一方向（F型）。
内错角： 在截线的两旁，被截线之间（Z型）。
同旁内角： 在截线的同旁，被截线之间（U型）。
☆平行线
平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的判定： ①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤垂直于同一条直线的两直线平行（在同一平面内）。
平行线的性质： ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。
☆命题与证明
命题： 判断一件事情的语句，由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式。
真命题： 正确的命题；假命题： 错误的命题（举反例可说明）。
逆命题： 交换原命题的题设和结论得到的命题。
证明： 根据已知条件，运用定义、定理、公理进行推理的过程。
相交线与平行线核心知识速查表
类别 核心内容 关键点
对顶角 对顶角相等 两条直线相交形成
邻补角 邻补角互补 和为180°
垂线 垂直定义、垂线段最短 过一点有且只有一条垂线
三线八角 同位角、内错角、同旁内角 准确识别截线与被截线
平行判定 同位角/内错角相等、同旁内角互补 转化思想
平行性质 两直线平行 角相等/互补 推理证明的基础
命题 真命题、假命题、逆命题 举反例证明假命题
核心考点 ·9类题型精讲
【考点1】对顶角与邻补角（1-5题）
方法总结
对顶角相等是角度计算的基础，常与邻补角（和为180°）结合使用。
在复杂图形中，先找出对顶角、邻补角关系，再列方程求解。
角平分线、垂直等条件可进一步建立等量关系。
1．（2025春 嘉定区期中）如图，两条直线交于点O，若∠2+∠4＝100°，则∠3的度数为（　　）
A．130° B．125° C．120° D．110°
【考点】对顶角、邻补角．
【分析】根据对顶角相等得∠2＝∠4＝50°，再根据邻补角的和为180°求∠3的度数即可．
【解答】解：∵∠2+∠4＝100°，
∠2＝∠4，
∴∠2＝∠4＝50°，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣50°＝130°．
故选：A．
【点评】本题考查了对顶角，邻补角，熟练掌握相关性质是解题的关键．
2．（2024春 长宁区期末）下列图中，∠1、∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】对顶角、邻补角．
【分析】根据对顶角的定义逐项判断即可．
【解答】解：由一个公共端点，并且一个角的两边分别与另一个角的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角即为对顶角，
则A，B，C中的图形不符合此定义；D中的图形符合此定义；
故选：D．
【点评】本题考查对顶角的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．（2025春 虹口区校级月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC+∠DOE＝45°，则∠COB＝ 　150　 °．
【考点】对顶角、邻补角；角的概念；角平分线的定义．
【分析】根据角平分线的定义以及邻补角的定义进行计算即可．
【解答】解：∵OE平分∠BOD，∠AOC＝∠BOD，
∴∠DOE＝∠BOE∠AOC，
又∵∠AOC+∠DOE＝45°，
∴∠AOC45°＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°．
故答案为：150．
【点评】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，掌握对顶角、邻补角的定义以及角平分线的定义是正确解答的关键．
4．（2025春 普陀区期中）如图，直线a、b所成的夹角跑到画板外面了．已知∠1＝71°，∠2＝78°，则直线a、b的夹角的度数为　31°　 ．
【考点】对顶角、邻补角．
【分析】根据对顶角相等以及三角形内角和定理进行计算即可．
【解答】解：如图，延长a、b相交于点A，
在△ABC中，∠ABC＝∠1＝71°，∠ACB＝∠2＝78°，
∴∠A＝180°﹣71°﹣78°＝31°，
即直线a，直线b的夹角为31°，
故答案为：31°．
【点评】本题考查对顶角、邻补角，掌握对顶角相等以及三角形内角和定理是正确解答的关键．
5．（2025春 闵行区校级月考）如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOE．
（1）若∠BOE＝84°，求∠AOC的度数；
（2）若∠BOE：∠AOE＝4：5，求∠AOC的度数．
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【分析】（1）由∠BOE＝84°，OD平分∠BOE，根据对顶角的性质，即可求解．
（2）由∠BOE：∠AOE＝4：5，∠DOE+∠COE＝180°，可得∠BOE＝80°，∠BOD＝40°，结合对顶角相等求解即可．
【解答】（1）解：∵OD平分∠BOE，
∴（角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线），
又∵∠BOE＝84°，
∴．
又∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC＝42°．
（2）∵∠BOE：∠AOE＝4：5，∠BOE+∠AOE＝180°，
∴．
∵OD平分∠BOE，
∴，
∴，
又∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC＝40°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，邻补角互补，对顶角相等．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
【考点2】垂线（6-14题）
方法总结
垂线的定义：相交成直角 ∠=90°；反之，∠=90° 垂直。
垂线段最短常用于实际最值问题（如跳远成绩、修路最短等）。
点到直线的距离是垂线段长度，注意区分垂线与垂线段。
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
6．（2025春 长宁区校级期中）立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过1.85m获得满分，达到或超过1.95m获得加分．如图，一女生在起跳线l上的点A处起跳，BC⊥l，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（　　）
A．BC可能为1.95m B．BC可能为1.8m
C．AB可能为1.85m D．AB可能为1.95m
【考点】垂线段最短；垂线．
【分析】根据题意和垂线段最短的性质判断即可．
【解答】解：∵该女生获得满分但未加分，
∴1.85m≤BC＜1.95m，
∵AB＞BC，
∴AB可能为1.95m，
故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键．
7．（2025春 普陀区校级月考）如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD内部，且OE⊥CD于点O．若OA平分∠COE，则∠BOE的度数为（　　）
A．125° B．135° C．145° D．155°
【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．
【分析】根据垂线的定义得出∠COE＝90°，根据角平分线的定义得出∠AOE的度数，再根据邻补角互补即可求出∠BOE的度数．
【解答】解：∵OE⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∵OA平分∠COE，
∴∠AOE45°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣45°＝135°，
故选：B．
【点评】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
8．（2025春 闵行区校级月考）已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，射线OF⊥CD于点O，且∠BOF＝40°，则∠COE＝　65°或25°　 ．
【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．
【分析】已知∠BOF，根据垂直的定义可求∠BOC，进而求出∠AOC，分两种情况根据角平分线的定义求出∠COE即可．
【解答】解：如图，
∵∠COF是直角，∠BOF＝40°，
∴∠COB＝90°﹣40°＝50°，
∴∠AOC＝180°﹣50°＝130°，
又∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠COE＝65°；
∵∠COF是直角，∠BOF＝40°，
∴∠COB＝90°+40°＝130°，
∴∠AOC＝180°﹣130°＝50°，
又∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠COE＝25°，
综上所述，∠COE的度数为65°或25°．
故答案为：65°或25°．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．
9．（2025春 宝山区月考）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．若∠BOD：∠BOC＝2：7，则∠AOE的度数为 　130°　 ．
【考点】垂线；对顶角、邻补角．
【分析】先求得∠BOD的度数，再根据对顶角相等得出∠BOD＝∠AOC，根据垂直的定义即可求解．
【解答】解：∵∠BOD：∠BOC＝2：7，∠BOD+∠BOC＝180°，
∴，
∴∠BOD＝∠AOC＝40°
∵EO⊥CD，
∴∠EOC＝90°，
∴∠AOE＝∠EOC+∠AOC＝90°+40°＝130°，
故答案为：130°．
【点评】本题考查了对顶角相等，垂直的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10．（2025春 长宁区校级期中）在平面中，我们称一组平行直线为“平行线族”，对于“平行线族”中的任意两条直线，它们之间的“线距”是指这两条直线之间的垂直距离．已知“平行线族”中有三条直线a、b、c，已知直线a与b的线距为5，直线a与c的线距为2，那么直线b与c的线距是 　3或7　 ．
【考点】垂线．
【分析】分两种情况进行讨论：当直线c在直线a与b之间时，当直线c在直线a与b外侧时，分别画出图形，求出结果即可．
【解答】解：当直线c在直线a与b之间时，如图所示：
∵直线a与b的线距为5，直线a与c的线距为2，
∴直线b与c的线距为3；
当直线c在直线a与b外侧时，如图所示：
∵直线a与b的线距为5，直线a与c的线距为2，
∴直线b与c的线距为7；
故答案为：3或7．
【点评】本题主要考查了平行线间的距离，解题的关键是注意进行分类讨论．
11．（2025春 闵行区校级月考）如图，AB与CD交于点F，EF⊥CF，垂足为F，若∠AFE＝35°，则∠BFD＝　125°　 ．
【考点】垂线．
【分析】利用垂直的定义可知∠CEF＝90°，再运用∠BFD＝∠AFC＝∠CEF+∠AFE求解即可．
【解答】解：∵AB与CD交于点F，EF⊥CF，
∴∠CEF＝90°，
∵∠AFE＝35°，
∴∠BFD＝∠AFC＝∠CEF+∠AFE＝90°+35°＝125°，
故答案为：125°．
【点评】本题考查垂直的定义，掌握角的和差关系，对顶角相等等知识是解题的关键．
12．（2025春 闵行区校级月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD．
（1）若∠BOD＝40°，求∠COF的度数；
（2）若∠AOC：∠COE＝2：3，求∠DOF的度数．
【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．
【分析】（1）根据角平分线的定义，得出∠AOF＝∠DOF，利用∠COF＝∠COA+∠AOF计算即可得解；
（2）根据∠AOC：∠COE＝2：3与∠AOC+∠COE+∠EOB＝180°，求出∠AOC，再利用∠AOF+∠FOD+∠BOD＝180°解答即可．
【解答】解：（1）∵OF平分∠AOD，∠BOD＝40°，
∴∠AOF＝∠DOF＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵∠COA＝40°，
∴∠COF＝∠COA+∠AOF＝40°+70°＝110°；
（2）∵∠AOC：∠COE＝2：3，
设∠AOC＝x，则∠COEx，
∵∠AOC+∠COE+∠EOB＝180°，
∴xx+90°＝180°，
解得：x＝36°，
∵∠BOD＝∠AOC＝36°，∠AOF＝∠DOF，
∠AOF+∠FOD+∠BOD＝180°，
∴2∠DOF+36°＝180°，
解得：∠DOF＝72°．
【点评】本题考查了垂线、角平分线的定义以及对顶角、邻补角，正确找出各个角之间的关系是解答本题的关键．
13．（2025秋 徐汇区校级期中）如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠COE＝2：3，OF平分∠BOE．
（1）如图1，如果AB⊥CD，求∠BOF的度数；
（2）如图2，如果∠BOF＝∠AOC+12°，则∠BOF的度数为　77°　 ．
【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．
【分析】（1）求解∠AOC＝∠BOC＝90°，，，结合角平分线的定义进一步求解即可；
（2）设∠AOC＝x°，可得，，，∠BOF＝∠AOC+12°＝x°+12°，进一步列方程求解即可．
【解答】解：（1）由条件可知∠AOC＝∠BOC＝90°，
∵∠AOE：∠COE＝2：3，
∴，，
∴∠BOE＝90°+54°＝144°，
∵OF平分∠BOE，
∴．
（2）设∠AOC＝x°，则，，，
∵∠BOF＝∠AOC+12°，
∴∠BOF＝∠AOC+12°＝x°+12°，
∵∠BOE+∠AOE＝180°，
∴，
解得：x＝65，
∴，
∴∠BOE＝180°﹣26°＝154°，
∴．
【点评】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义．熟练掌握以上知识点是关键．
14．（2025春 闵行区校级月考）如图，直线AB、CD交于点O，∠AOC＝120°，射线OE将∠BOC分成两个角，∠BOE＝2∠COE．
（1）求∠COE的度数；
（2）若OF⊥OE，且射线OF在∠AOC内部，求∠DOF的度数．
【考点】垂线；对顶角、邻补角．
【分析】（1）根据∠AOC＝120°，得出∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，根据∠BOE＝2∠COE，∠BOE+∠COE＝60°，求出∠COE＝20°即可；
（2）根据垂线定义得出∠EOF＝90°，求出∠COF＝90°﹣∠COE＝70°，根据邻补角求出∠DOF＝180°﹣∠COF＝110°．
【解答】解：（1）因为∠AOC＝120°，
所以∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，
因为∠BOE＝2∠COE，∠BOE+∠COE＝60°，
所以2∠COE+∠COE＝60°，
所以∠COE＝20°．
（2）因为OE⊥OF，
所以∠EOF＝90°，
所以∠COF＝90°﹣∠COE＝70°，
所以∠DOF＝180°﹣∠COF＝110°．
【点评】本题主要考查了垂线定义，邻补角定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角度间的关系．
【考点3】平行公理（15-18题）
方法总结
平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理推论：平行于同一条直线的两直线互相平行（传递性）。
同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
注意“过一点”包含点在直线上和直线外两种情况，只有直线外一点才能作平行线。
15．（2025春 浦东新区校级期中）下列说法中正确的是（　　）
A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离
D．平面内，如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c相交
【考点】平行公理及推论；垂线；点到直线的距离．
【分析】根据平行公理及推论，垂线的定义，点到直线的距离的定义逐一判断即可解答．
【解答】解：A、平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故不符合题意；
B、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故符合题意；
C、直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段的长叫做这个点到这条直线的距离，故不符合题意；
D、平面内，如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c不一定相交，故不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行公理及推论，垂线的定义，点到直线的距离的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
16．（2025秋 临汾期末）如图是一个可折叠的衣架，AB是水平地面，点A，B，M，N，P在同一平面内．当∠1＝∠2且∠3＝∠4时，可判定点N，P，M在同一条直线上，判定依据是（　　）
A．两点确定一条直线
B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【考点】平行公理及推论．
【分析】根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可．
【解答】解：当∠1＝∠2时，PM∥AB；∠3＝∠4时，PN∥AB，
根据“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”就可以确定点N，P，M在同一直线上．
故选：C．
【点评】本题考查了平行公理，理解并熟记平行公理是解题的关键．
17．（2025春 冠县校级月考）如果a∥b，b∥c，则a∥c ，因为　平行于同一直线的两条直线平行　 ．
【考点】平行公理及推论．
【分析】利用平行公理，平行于同一直线的两条直线平行，即可得出答案．
【解答】解：如果a∥b，b∥c，则a∥c，因为平行于同一直线的两条直线平行．
故答案为：a∥c，平行于同一直线的两条直线平行．
【点评】此题主要考查了平行公理及推论，正确掌握相关性质是解题关键．
18．（2025春 蒙阴县期末）在相交线与平行线这一章节中我们学习了垂直的定义，仿照垂直的定义方法给出以下新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是60°，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线AB、CD互为完美交线，O为它们的完美点，OE⊥AB，则∠EOC的度数为　30或150°　 ．
【考点】平行线；对顶角、邻补角；垂线．
【分析】分当OE在直线AB的上方时及当OE在直线AB的下方时两种情况进行讨论，求得∠EOC的度数．
【解答】解：如图所示，当OE在直线AB的上方时，
由题意可得：∠BOC＝60°，
∵OE⊥AB，
∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝30°，
如图所示，当OE在直线AB的下方时，
由题意可得：∠BOC＝60°，
∵OE⊥AB，
∴∠COE＝∠BOE+∠BOC＝150°，
故答案为：30°或150°．
【点评】本题考查了垂直定义和邻补角定义，熟练掌握概念是解题的关键．
【考点4】同位角、内错角、同旁内角（19-23题）
方法总结
识别三线八角的关键：确定截线和被截线。
同位角：F型；内错角：Z型；同旁内角：U型。
在复杂图形中，通过分离基本图形来识别角的关系。
19．（2025春 静安区校级期中）如图，下列结论中错误的是（　　）
A．∠1与∠3是同位角 B．∠4与∠5是同旁内角
C．∠3与∠6是对顶角 D．∠1与∠4是内错角
【考点】同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角．
【分析】根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角；据此分别进行分析可得答案．
【解答】解：A、∠1与∠3是同位角，正确，A不符合题意；
B、∠4与∠5是同旁内角，正确，B不符合题意；
C、∠3与∠6是对顶角，正确，C不符合题意；
D、∠1与∠4不是内错角，不正确，D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义，掌握同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义是解题的关键．
20．（2025春 黄浦区期中）如图，∠1的同位角是（　　）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【考点】同位角、内错角、同旁内角．
【分析】在两条直线的同一侧，在截线的同一旁，所得的两个角是同位角，根据定义判断．
【解答】解：∠1与∠2不是同位角，故A不符合题意；
∠1与∠3不是同位角，故B不符合题意；
∠1与∠4是同位角，故C符合题意；
∠1与∠5不是同位角，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了同位角、内错角、同旁内角，正确理解定义及图形特征是解题的关键．
21．（2025春 普陀区期中）如图，∠2的对顶角是　∠4　 ，∠3的同位角是　∠A、∠D ．
【考点】同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角．
【分析】根据对顶角、同位角的定义，即可解答．
【解答】解：如图，∠2的对顶角是∠4，∠3的同位角是∠A、∠D，
故答案为：∠4；∠A、∠D．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，对顶角、邻补角，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
22．（2025春 杨浦区校级月考）如图，直线b、c被直线a所截，如果∠1＝55°，∠2＝100°，那么∠3与其内错角的角度之和等于 　135°　 ．
【考点】同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角．
【分析】先根据对顶角的性质得∠3＝∠1＝55°，根据邻补角的性质得∠4＝80°，再根据∠3与∠4是内错角，即可得出答案．
【解答】解：如图，
∵∠1＝55°，
∴∠3＝∠1＝55°，
∵∠2＝100°，
∴∠4＝180°﹣∠2＝80°，
∵∠3与∠4是内错角，
∴∠3+∠4＝55°+80°＝135°．
故答案为：135°．
【点评】本题主要考查了对顶角、邻补角的性质和内错角的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行判断．
23．（2025春 松江区期末）如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠2 与∠B是同位角；③∠1与∠B是同旁内角，其中正确的有　①②③　 （只填序号）．
【考点】同位角、内错角、同旁内角．
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义，结合图形逐个判断即可．
【解答】解：∠2与∠3是直线AB、直线BC，被直线CD所截的一对内错角，因此①符合题意；
∠2与∠B是直线CD、直线BC，被直线AB所截的一对同位角，因此②符合题意；
∠1与∠B是直线DC、直线BC，被直线AB所截的一对同旁内角，因此③符合题意．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角的意义，理清哪两条直线被第三条直线所截，形成的角进行判断是关键．
【考点5】平行线的判定（24-30题）
方法总结
根据同位角相等、内错角相等或同旁内角互补判定两直线平行。
注意隐含条件：平行公理推论、垂直同一直线等也是平行判定依据。
证明书写格式：因为∠1=∠2，所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。
24．（2024春 杨浦区期中）如图所示，在下列四组条件中，不能判定AD∥BC的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠BAD+∠ABC＝180° D．∠BAC＝∠ACD
【考点】平行线的判定．
【分析】根据平行线的判定方法分别对四个选项进行判断．
【解答】解：A、当∠1＝∠2时，AD∥BC，本选项不符合题意；
B、当∠3＝∠4时，AD∥BC，本选项不符合题意；
C、当∠BAD+∠ABC＝180°时，AD∥BC，本选项不符合题意；
D、当∠BAC＝∠ACD时，AB∥CD，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
25．（2025春 上海校级期中）如图，下列推理中，正确的是（　　）
A．如果∠1＝∠3，那么AD∥BC
B．如果∠2＝∠4，那么AD∥BC
C．如果∠1＝∠3，那么AB∥CD
D．如果∠BCD+∠D＝180°，那么AB∥CD
【考点】平行线的判定．
【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可．
【解答】解：A．如果∠1＝∠3，由内错角相等，两直线平行可知，那么AD∥BC，故此选项符合题意；
B．如果∠2＝∠4，由内错角相等，两直线平行可知，那么AB∥CD，不能得到AD∥BC，故此选项不符合题意；
C．如果∠1＝∠3，由内错角相等，两直线平行可知，那么AD∥BC，不能得到AB∥CD，故此选项不符合题意；
D．如果∠BCD+∠D＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可知，那么AD∥BC，不能得到AB∥CD，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
26．（2025春 宝山区校级期末）下列说法中错误的个数是（　　）
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行
（2）不相交的两条直线叫做平行线
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种
（4）相等的角是对顶角
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】平行线的判定；对顶角、邻补角；平行线；平行公理及推论．
【分析】（1）根据平行公理判断；
（2）根据平行线的定义判断；
（3）根据两直线的位置关系判断；
（4）根据对顶角的定义判断．
【解答】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．故说法错误；
（2）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．故说法错误；
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种，故说法正确；
（4）相等的角不一定是对顶角，故说法错误．
故选：C．
【点评】本题考查了平行公理，平行线的判定，对顶角与邻补角，是基础题，熟练掌握定义与性质是解题的关键．
27．（2025春 闵行区校级月考）如图，在条件：①∠1＝∠2，②∠3＝∠4，③∠A+∠ABC＝180°，④∠A＝∠5中能判定AB∥DC的条件有　②④　 ．（填序号）
【考点】平行线的判定．
【分析】利用平行线的判定方法逐一判断即可．
【解答】解：①∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），无法判定AB∥DC，故①选项错误，不符合题意；
②∵∠3＝∠4，
∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行），故②选项正确，符合题意；
③∵∠A+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行），无法判定AB∥DC，故③选项错误，不符合题意；
④∵∠A＝∠5，
∴AB∥DC（同位角相等，两直线平行），故④选项正确，符合题意；
综上所述，能判定AB∥DC的条件有②④，
故答案为：②④．
【点评】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．
28．（2025春 虹口区校级月考）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若∠2﹣∠1＝75°，则∠3与∠4的度数和是 　105°　 ．
【考点】平行线的判定．
【分析】由平行线的性质推出∠4+∠2＝180°，∠1＝∠3，而∠2﹣∠1＝75°，即可得到∠4+∠3＝105°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠4+∠2＝180°，
∴AE∥BF，
∴∠1＝∠3，
∵∠2﹣∠1＝75°，
∴∠2﹣∠3＝75°，
∴∠4+∠2﹣（∠2﹣∠3）＝180°﹣75°＝105°，
∴∠4+∠3＝105°．
故答案为：105°．
105°．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠4+∠2＝180°，∠1＝∠3．
29．（2025春 普陀区期中）如图，已知：在△ABC中，AC⊥BC，∠B+∠BCD＝90°，点E、F分别为边AB、AC上的点，且∠AFE＝∠B．
求证：EF∥CD．
证明：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°（ 　垂直的定义　 ），
∴∠ACD+∠BCD＝90°．
又∵∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD ＝∠B ．
∵∠AFE＝∠B，
∴∠AFE＝∠ACD ．
∴EF∥CD（ 　同位角相等，两直线平行　 ）．
【考点】平行线的判定．
【分析】由余角的性质推出∠ACD＝∠B，得到∠AFE＝∠ACD．判定EF∥CD．
【解答】证明：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°（垂直的定义），
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
又∵∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠AFE＝∠B，
∴∠AFE＝∠ACD，
∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；ACD；B；ACD；同位角相等，两直线平行．
【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．
30．（2025春 金山区期中）科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图（1）所示，图（2）是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．如图（2），∠EOF+∠OFC＝180°，OE平分∠AOC，CF平分∠OCD．求证：AB∥CD．
【考点】平行线的判定．
【分析】由同旁内角互补，两直线平行推出OE∥CF，得到∠COE＝∠OCF，由角平分线定义得到∠AOC＝∠OCD，推出AB∥CD．
【解答】解：∵∠EOF+∠OFC＝180°，
∴OE∥CF，
∴∠COE＝∠OCF，
∵OE平分∠AOC，CF平分∠OCD，
∴∠AOC＝2∠COE，∠OCD＝2∠OCF，
∴∠AOC＝∠OCD，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法：内错角相等，两直线平行．
【考点6】平行线的性质（31-39题）
方法总结
两直线平行 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
常与角平分线、翻折、旋转结合，利用平行线传递角的关系。
构造辅助线（过折点作平行线）是解决“折线”问题的关键。
31．（2025春 长宁区校级期中）如图，木条a、b、c用螺丝固定在木板上且∠ABM＝50°，∠DEM＝70°，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（　　）
A．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°
B．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转20°
C．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转20°
D．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转50°
【考点】平行线的性质．
【分析】由同位角相等，两直线平行，即可判断．
【解答】解：A、木条b绕点E逆时针旋转20°后，∠DEM变成了70°﹣20°＝50°，得到∠ABE＝∠DEM，判定AC∥DF，故A符合题意；
B、木条b绕点E顺时针旋转20°后，∠DEM变成了70°+20°＝90°，因此∠ABE≠∠DEM，不能判定AC∥DF，故B不符合题意；
C、木条a绕点B逆时针旋转20°后，∠ABE变成了50°﹣20°＝30°，因此∠ABE≠∠DEM，不能判定AC∥DF，故C不符合题意；
D、木条a绕点B顺时针旋转50°后，∠ABE变成了50°+50°＝100°，因此∠ABE≠∠DEM，不能判定AC∥DF，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．
32．（2025春 普陀区期中）如图，AB∥DE，BC∥EF，那么下列关系不一定成立的是（　　）
A．∠3＝∠2+∠4 B．∠3＝∠4+∠5
C．∠3+∠5﹣∠6＝180° D．∠1+∠5﹣∠6+∠7＝180°
【考点】平行线的性质．
【分析】这道题是平行线性质的综合应用，核心考察“折线角”（铅笔头、猪蹄模型）的角度转化规律．
【解答】解：选项A：∵AB∥DE，BC∥EF，利用平行线的“折线角”模型，可知∠3可拆分为与∠2、∠4相关的角，
∴∠3＝∠2+∠4是成立的；
选项B：∵BC∥EF，但∠5是DE与EF形成的角，没有直接的平行性质能将∠3、∠4、∠5联系成∠3＝∠4+∠5，
∴∠3＝∠4+∠5这个关系不一定成立；
选项C：由BC∥EF，可得∠3+∠6的同旁内角为180°，再结合AB∥DE，∠5与相关角的关系，可导出∠3+∠5+∠6＝180°成立；
选项D：利用AB∥DE，BC∥EF的平行线性质，将∠1、∠5、∠6、∠7进行交的转化与组合，可推导出∠1+∠5﹣∠6﹣∠7＝180°成立．
故选：B．
【点评】这道题是平行线性质的综合应用，非常适合考查学生对平行线相关角度转化规律的掌握程度．
33．（2025秋 浦东新区期末）如图，从甲楼的一窗口观测点A处测得乙楼的楼顶端B的仰角是37°，那么从乙楼顶端B处看A处的俯角是　37°　 ．
【考点】平行线的性质．
【分析】作AC⊥BC于点C，BD⊥BC，由平行线的性质得到∠DBA＝∠CAB＝37°，得出答案．
【解答】解：如图，作BD⊥BC，AC⊥BC于点C，
∴BD∥AC，
∴∠DBA＝∠CAB＝37°，
∴从甲楼的一窗口观测点A处测得乙楼的楼顶端B的仰角是37°，则从乙楼顶端B处看A处的俯角是37°，
故答案为：37°．
【点评】本题考查了仰角俯角的定义，平行线的性质，掌握相关知识是解题的关键．
34．（2025春 长宁区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，BC＞AC，点D在边BC上，将△ADC沿着AD翻折，点C落在点E处，若DE恰好与△ABC的一条边平行，若∠C＝m°，则∠DAC的度数为 　或　 °．（结果用含m的代数式表示）
【考点】平行线的性质；列代数式．
【分析】分两种情况DE∥AB时及DE∥AC时，分别画出图形，根据平行线的性质和折叠的性质，求出结果即可．
【解答】解：由题知，
当DE∥AB时，
由折叠可知，
∠E＝∠C＝m°．
∵AB∥DE，
∴∠BAE＝∠E＝m°．
∵∠BAC＝70°，
∴∠CAE＝（70﹣m）°．
由折叠可知，
∠DAC∠CAE＝（）°．
当DE∥AC时，
由折叠可知，
∠E＝∠C＝m°．
∵DE∥AC，
∴∠E+∠EAC＝180°，
∴∠EAC＝（180﹣m）°．
由折叠可知，
∠DAC∠EAC＝（）°，
综上所述，∠DAC的度数为（）°或（）°．
故答案为：（）或（）．
【点评】本题主要考查了平行线的性质及列代数式，熟知平行线的性质及巧用整体思想是解题的关键．
35．（2025春 长宁区校级期中）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A、B、G、C、D、E、F，将A、B、G、C、D、E、F顺次首尾连接．若B、G、C三点共线，AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B＝∠BCD+8°，∠D＝110°，则∠B﹣∠CGF＝ 　118°　 ．
【考点】平行线的性质．
【分析】过点C作CH∥AF，则AF∥DE∥CH，得到∠CGF＝∠GCH，∠D＝∠DCH，进而得出∠BCD＝110°+∠CGF，计算即可得到答案．
【解答】解：过点C作CH∥AF，
∵AF∥DE，
∴AF∥DE∥CH，
∴∠CGF＝∠GCH（两直线平行，内错角相等），∠D＝∠DCH（两直线平行，内错角相等），
∴∠BCD＝∠DCH+∠GCH＝∠D+∠CGF＝110°+∠CGF，
∵∠B＝∠BCD+8°，
∴∠B﹣∠CGF＝∠BCD+8°﹣∠CGF＝110°+∠CGF+8°﹣∠CGF＝118°．
故答案为：118°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
36．（2025春 静安区校级期中）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为 　160°　 ．
【考点】平行线的性质．
【分析】过拐点作平行线即可得解（方法提示：平行线之间有几个拐点，就作几条平行线）．
【解答】解：如图，过A作直线m平行工作篮，
因为工作篮平行支撑平台，
所以直线m也与支撑平台平行，
所以∠1＝∠5＝30°，∠3+∠4＝180°，
因为∠2＝∠4+∠5＝50°
所以∠4＝∠5﹣∠2＝20°，
所以∠3＝180°﹣∠4＝160°；
故答案为：160°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
37．（2025春 普陀区期中）已知：如图，AD∥BE，∠1＝∠2．试说明：∠A＝∠E．
【考点】平行线的性质．
【分析】先根据∠1＝∠2可得DE∥AC，进而得到∠E＝∠3，再根据AD∥EB可得∠A＝∠3，进而得到∠E＝∠A．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴DE∥AC，
∴∠E＝∠3，
∵AD∥EB，
∴∠A＝∠3，
∴∠E＝∠A．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
38．（2025春 普陀区期中）如图，已知：AB∥DE，CM平分∠BCE，∠MCN＝90°，∠B＝50°，求∠DCN的度数．
解：因为AB∥DE，
所以∠B+　∠BCE ＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　 ）．
因为∠B＝50°，
所以∠BCE＝　130　 °．
因为CM平分∠BCE，
所以　∠ECM 　65　 °．
因为∠ECM+∠MCN+∠NCD＝180°（平角的意义）
又因为∠MCN＝90°，
所以∠DCN＝　25　 °．
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．
【解答】解：因为AB∥DE，
所以∠B+∠BCE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
因为∠B＝50°，
所以∠BCE＝130°．
因为CM平分∠BCE，
所以∠ECM65°．
因为∠ECM+∠MCN+∠NCD＝180°（平角的意义）
又因为∠MCN＝90°，
所以∠DCN＝25°．
故答案为：∠BCE；两直线平行，同旁内角互补；130；∠ECM；65；25．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
39．（2025春 闵行区校级月考）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：
（1）如图2，若AB∥|CD，∠EAB＝75°，∠ECD＝110°，求∠E的度数．
（2）已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点．
①如图3，探究∠BED与∠B，∠D之间的数量关系，请直接写出结果；
②如图4，探究∠CDE与∠B，∠BED之间的数量关系，请直接写出结果．
【考点】平行线的性质．
【分析】（1）过点E作EF∥CD，则EF∥CD∥AB，根据平行线的性质可知∠FEA＝105°，∠FEC＝70°，进而可求解；
（2）①过点E作EF∥CD，则EF∥CD∥AB，根据平行线的性质可得∠B+∠FEB＝180°，∠D+∠FED＝180°，进而得到结果；
②过点E作EF∥CD，则EF∥CD∥AB，根据平行线的性质可得∠B＝∠FEB，∠D＝∠FED，进而得到结论．
【解答】解：（1）过点E作EF∥CD，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD∥AB，
∴∠EAB+∠FEA＝180°，∠ECD+∠FEC＝180°，
∵∠EAB＝75°，∠ECD＝110°，
∴∠FEA＝180°﹣75°＝105°，∠FEC＝180°﹣110°＝70°，
∵∠FEC+∠AEC＝∠FEA，
∴∠AEC＝105°﹣70°＝35°；
（2）①∠BED＝∠D﹣∠B，
过点E作EF∥CD，则EF∥CD∥AB，
∴∠B+∠FEB＝∠D+∠FED＝180°，
∵∠FEB＝∠BED+∠FED，
∴∠B+∠BED+∠FED＝∠D+∠FED，
∴∠BED＝∠D﹣∠B；
②∠B＝∠BED+∠CDE，
过点E作EF∥CD，则EF∥CD∥AB，
∴∠B＝∠FEB，∠CDE＝∠FED，
∴∠B＝∠BED+∠FED，
∴∠B＝∠BED+∠CDE．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解决此题的关键．
【考点7】平行线的判定与性质综合（40-43题）
方法总结
先用判定证明平行，再用性质得出角的关系；或者先用性质得角，再用判定证平行。
需理清已知条件与待证结论之间的逻辑链条，规范书写推理过程。
常与三角形内角和、外角性质、垂直等知识综合。
40．（2025春 浦东新区校级期中）补全下列推理过程：
如图，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1＝∠2，试说明DG∥BA．
解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，（已知），
∴∠BFE＝90°，∠BDA＝90°（　垂直的定义　 ），
∴∠BFE＝∠BDA，
∴EF∥AD（　同位角相等，两直线平行　 ）．
∴∠2＝∠3（　两直线平行，同位角相等　 ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴　∠1＝∠3　 （等量代换）．
∴DG∥AB（　内错角相等，两直线平行　 ）．
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】根据条件与结论因果关系，平行线的判定和性质直接填写即可得到答案．
【解答】解：∵EF⊥BC，AD⊥BC（已知），
∴∠BFE＝∠BDA＝90°（垂直的定义），
∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠3（等量代换），
∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，∠1＝∠3，内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握．
41．（2025春 上海校级月考）如图，已知在△ABC中，点D、G分别在边BC、AC上，且∠B＝∠GDC，点F在线段DG的延长线上，点E在边GC上，如果∠1＝∠3，说明AD∥EF的理由．
解：∵∠B＝∠GDC（已知），
∴AB ∥FD （　同位角相等，两直线平行　 ）．
∴∠1＝　∠2　 （　两直线平行，内错角相等　 ）．
∵∠1＝∠3（已知），
∴∠3＝　∠2　 （等量代换）．
∴AD∥EF（　内错角相等，两直线平行　 ）．
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】先得出AB∥FD，由平行线的性质得出∠1＝∠2，结合已知条件可得出∠3＝∠2，进而可得出AD∥EF．
【解答】解：∵△ABC中，∠B＝∠GDC，
∴AB∥FD（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠3（已知），
∴∠3＝∠2，
∴AD∥EF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：AB；FD；同位角相等，两直线平行；∠2；两直线平行，内错角相等；∠2，内错角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的判定以及性质，关键是平行线性质和判定定理的熟练掌握．
42．（2025春 闵行区期中）如图，点D、E、H分别在线段AB、BC、AC上，连接DE，过点C画CF交DH的延长线于点F，且满足∠BDE＝∠FCA，若BC∥DF，∠B＝∠F，求证DE∥AC．
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求证即可．
【解答】证明：∵BC∥DF，
∴∠B+∠BDF＝180°，∠F+∠BCF＝180°，∠ACB＝∠AHD，
∵∠B＝∠F，
∴∠BDF＝∠BCF，
∵∠BDE＝∠FCA，∠BDE+∠FDE＝∠BDF，∠FCA+∠ACB＝∠BCF，
∴∠FDE＝∠ACB，
∴∠FDE＝∠AHD，
∴DE∥AC．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
【考点8】命题与证明（44-51题）
方法总结
命题由题设和结论组成，改写为“如果…那么…”形式。
判断真假命题：真命题需证明，假命题只需举反例。
逆命题：交换原命题的条件和结论。
定理都有逆命题，但逆命题不一定为真。
43．（2025秋 松江区期末）已知命题：
①腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似；
②底边和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似．
下列对这两个命题的判断，正确的是（　　）
A．①和②都是真命题
B．①和②都是假命题
C．①是真命题，②是假命题
D．①是假命题，②是真命题
【考点】命题与定理．
【分析】根据等腰三角形的性质、相似三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：①两个三角形都是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形时，腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似，本小题说法是假命题；
②底边和一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似，本小题说法是真命题；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
44．（2025秋 浦东新区校级期末）下列命题中，判断错误的是（　　）
A．所有定理都有逆命题
B．对顶角相等的逆命题是真命题
C．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行
D．假命题的逆命题不一定是假命题
【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；平行线的性质．
【分析】根据命题，定理的定义，逆命题的定义一一判断即可．
【解答】解：A、所有定理都有逆命题，正确，不符合题意；
B、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，原说法错误，符合题意；
C、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，正确，不符合题意；
D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如相等的角是对顶角是假命题，而此命题的逆命题是对顶角相等，是真命题，正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
45．（2025春 青浦区校级期中）对于命题“如果∠1+∠2＝180°，那么∠1＝∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A．∠1＝∠2＝90° B．∠1＝60°，∠2＝120°
C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1+∠2＝90°
【考点】命题与定理．
【分析】要说明命题“如果∠1+∠2＝180°，那么∠1＝∠2”是假命题，需找到满足条件但结论不成立的例子．
【解答】解：∠1＝∠2＝90°，和为180°且两角相等，满足命题结论，不能作为反例，不符合题意；
∠1＝60°，∠2＝120°，和为180°，但两角不相等，结论不成立，符合题意；
∠1＝50°，∠2＝50°，和为100°，不满足条件，无法作为反例，不符合题意；
∠1+∠2＝90°，不满足条件，无法作为反例，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了假命题，熟练掌握假命题是解题的关键．
46．（2025春 长宁区校级期中）命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是　假　 ．
【考点】命题与定理．
【分析】先写出原命题的逆命题，再根据全等三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形是全等三角形，该逆命题为假命题，
故答案为：假．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
47．（2025春 长宁区校级期中）下列说法中，是假命题的是 　①②③　 ．
①如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等；
②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
③过直线外一点P向直线m作垂线段，这条垂线段就是点P到直线的距离；
④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；垂线；点到直线的距离；同位角、内错角、同旁内角；平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质，根据点到直线的距离的定义和垂直的性质求解即可．
【解答】解：①如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或者互补，原命题是假命题，符合题意；
②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，符合题意；
③过直线外一点P向直线m作垂线段，这条垂线段的长度就是点P到直线的距离，原命题是假命题，符合题意；
④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题，不符合题意．
故答案为：①②③．
【点评】本题主要考查了判断命题真假，点到直线的距离，平行线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握各自的概念和性质．
48．（2025秋 浦东新区校级期末）要说明命题“若a2≥4，则a＞2”是假命题，请举出一个反例：a＝　﹣4（答案不唯一）　 ．
【考点】命题与定理．
【分析】要使得a2≥4成立，则a＜﹣2或a＞2，因此举反例可列举a＜﹣2的数字即可．
【解答】解：当a＝﹣4时，a2＝16＞4，但不满足a＞2，
故命题“若a2≥4，则a＞2”是假命题，
故答案为：﹣4（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是命题与定理，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键．
49．（2025春 上海期末）请写出“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题：　等边三角形的三个角都相等　 ．
【考点】命题与定理．
【分析】把原命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的题设与结论进行交换即可．
【解答】解：“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题为“等边三角形的三个角都相等”．
故答案为等边三角形的三个角都相等．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．
50．（2025春 闵行区校级月考）将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为 　如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等　 ．
【考点】命题与定理．
【分析】“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．据此即可写成所要求的形式．
【解答】解：“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．
则将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
【点评】本题考查了命题的叙述，正确分清命题的条件和结论是把命题写成“如果…那么…”的形式的关键．
【考点9】创新及压轴题（1-5题）
方法总结
综合应用平行线性质、判定及角平分线、翻折、旋转等知识。
常需添加辅助线（作平行线）构造基本图形。
探究角度关系时，注意整体思想、设元列方程。
动态问题（如三角板旋转）要分类讨论不同位置。
1．（2025春 上海校级月考）已知，AB∥CD．
（1）如图1，若EF⊥FG垂足为点F，∠FGD＝50°，则∠AEF＝　140　 °．
（2）如图2，∠BEF，∠FGD的角平分线交于点H，若∠EFG＝60°，则∠H＝　30　 °．
（3）如图2，∠BEF，∠FGD的角平分线交于点H，若∠BEF＝x°，∠DGF＝y°，则∠H＝　　 °．（用x，y的代数式表示）．
（4）如图3，在图2的基础上，EP、GP分别平分∠BEH和∠DGH，若∠F＝α，则∠P＝　　 °．（用含有α的代数式表示）
【考点】平行线的性质；列代数式；垂线．
【分析】（1）过点F作FH∥AB，根据平行的性质得到∠EFG＝∠BEF+∠FGD，即可求出答案；
（2）过点F作FM∥AB，过点H作HN∥AB，证明∠EFG＝∠BEF+∠FGD，∠H＝∠BEH+∠HGD，得到，即可得到答案；
（3）由（2）得到，即可得到答案；
（4）由（2）知，，证明，即可得到结论．
【解答】解：（1）过点F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥FH∥DC，
∴∠BEF＝∠EFH，∠HFG＝∠FGD（两直线平行，内错角相等），
∵∠EFH+∠HFG＝∠EFG，
∴∠BEF+∠FGD＝∠EFG，
∵EF⊥FG，
∴∠BEF+∠FGD＝90°，
∵∠FGD＝50°，
∴∠BEF＝40°，
∴∠AEF＝180°﹣∠BEF＝180°﹣40°＝140°，
故答案为：140；
（2）过点F作FM∥AB，过点H作HN∥AB，
∵AB∥CD，
∴FM∥AB∥CD，HN∥AB∥CD，
∴∠BEF＝∠EFM，∠MFG＝∠FGD，
∠BEH＝∠EHN，∠NHG＝∠HGD，
∵∠EFM+∠MFG＝∠EFG，∠EFG＝60°，
∴∠BEF+∠FGD＝60°，
∵EH、GH是∠BEF与∠FGD的平分线，
∴（角平分线的性质），
∴，
∵∠EHN+∠MHG＝∠EHG，
∴∠EHG＝∠BEH+∠HGD＝30°，
故答案为：30°；
（3）由（2）知，
∵EH、GH是∠BEF与∠FGD的平分线，
∴（角平分线的性质），
∴，
∵HN∥AB∥CD，
∴∠BEH＝∠EHM，∠NHG＝∠HGD，
∵∠EHN+∠MHG＝∠EHG，
∴，
故答案为：；
（4）根据（2）知，
，
∵EP、GP分别平分∠BEH和∠DGH，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平行的性质，列代数式，垂线，熟练掌握平行的性质是解题的关键．
2．（2025春 浦东新区校级期中）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知∠MAC＝120°，∠NBE＝60°．
（1）已知驱逐舰在AC方向上航行，巡洋舰在BE方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由；
（2）已知驱逐舰到达点C后沿C﹣D继续航行，巡洋舰到达点E后沿E﹣F继续航行，且MN∥EF，∠ACD＝140°．若驱逐舰在原航向上向左转动α（0°＜α＜180°）后，才能与巡洋舰航向相同，求α的值．
【考点】平行线的性质．
【分析】（1）根据平行线的判定证明AC∥BE，利用平行线的定义判断即可；
（2）判断出若与巡洋舰航向相同，则EF∥HG，利用平行公理得到HG∥MN，求出∠CHG，即可求出α的值．
【解答】解：（1）不会，理由是：
∵∠MAC＝120°，
∴∠CAN＝60°，
∵∠NBE＝60°，
∴∠CAN＝∠NBE，
∴AC∥BE，
∴这两艘舰艇不会相撞；
（2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同，
则EF∥HG，
∵MN∥EF，
∴HG∥MN，
∴∠CHG+∠CAN+ACD＝360°，
∴∠CHG＝160°
∴α＝180°﹣∠CHG＝20°．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理，解题的关键是读懂题意，了解实际情景的意义．
3．（2025春 长宁区期末）已知点A，B，C，D，E均为定点，直线AB∥CD，点P为射线EA上一个动点（点P不与点A重合），连接PC．
（1）如图1，当点P在线段AE上时，若∠A＝30°，∠C＝72°，求∠APC的度数．
（2）点M为直线CD下方的动点，连接CM，使得CM平分∠DCP，
①如图2，当点P在线段AE上时，连接AM，若AM平分∠BAE，探究∠AMC与∠APC之间的数量关系，并证明；
②如图3，当点P在直线CD的下方运动时（点P在射线EA上），射线PN平分∠APC，点K在直线CD的下方，且满足射线CK∥PN，若∠BAE＝34°，请直接写出∠MCK的度数．
【考点】平行线的性质．
【分析】（1）过点P作PF∥AB，则PF∥CD，两次利用两直线平行，内错角相等即可求解；
（2）①过点P作PO∥CD，过点M作MH∥AB，设∠DCM＝∠1＝x，∠BAM＝∠2＝y，可得AB∥OP，CD∥MH，然后根据角的和差关系即可求证；
②当点P在线段AE上时，过点P作QR∥AB，而AB∥CD，则CD∥QR，通过平行线的性质即可建立方程进行求解；当点P在线段EA延长线上时，过点P作PQ∥CD，AB∥PQ，设∠APC＝2α，∠MCK＝t，通过平行线的性质和角平分线的意义可建立方程进行求解．
【解答】（1）解：过点P作PF∥AB．
由题意可得：AB∥CD，
∴∠A＝∠APF＝30°，
∵PF∥CD，
∴∠C＝∠CPF＝70°，
∴∠APC＝∠CPF﹣∠APF＝40°；
（2）①∠APC＝2∠AMC，
设∠DCM＝∠1＝x，∠BAM＝∠2＝y，
∵∠DCP＝2∠1＝2x，
∵AM平分∠BAE，
∴∠BAE＝2∠2＝2y，
过点P作PO∥CD，过点M作MH∥AB，
∴∠OPC＝∠DCP＝2x，∠3＝∠2＝y，
由题意可得：AB∥OP，MH∥CD，
∴∠CMH＝∠1＝x，∠APO＝∠BAE＝2y，
∴∠APC＝2x﹣2y，∠AMC＝x﹣y，
∴∠APC＝2∠AMC；
②当点P在线段AE上时，过点P作QR∥AB，而AB∥CD，则QR∥CD，
设∠APC＝2α，设∠MCK＝t，
∴∠CPN＝α，
∴∠PCK＝α，
∴∠DCM＝∠PCM＝α+t，
∵QR∥CD，
∴∠CPQ＝∠DCP＝2α+2t，
∵QR∥AB，
∴∠BAE＝∠APQ＝34°，
∵∠CPQ﹣∠CPA＝∠APQ，
∴2α+2t﹣2α＝34°，
解得t＝17°；
当点P在线段EA延长线上时，
过点P作PQ∥CD，则AB∥PQ，设∠APC＝2α，∠MCK＝t，
∵∠CPN＝∠APN＝α，
∴∠PCK＝180°﹣α，
∴∠PCM＝180°﹣α﹣t＝∠DCM，
∴∠DCK＝180°﹣α﹣t﹣t＝180°﹣α﹣2t，
∵AB∥PQ，
∴∠QPA＝∠BAE＝34°，
∴∠QAN＝34°﹣α，
∴∠CPQ＝2α﹣34°，
∵PQ∥CD，
∴∠4＝2α﹣34°，
∵∠4+∠ACK+∠DCK＝180°，
∴2α﹣34°+180°﹣α+180°﹣α﹣2t＝180°，
解得t＝73°，
综上：∠MCK的度数为17°或73°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确添加辅助线是解决本题的关键．
4．（2025春 普陀区期中）我们知道，插入水中的筷子，从水面上看，水下部分看上去向上弯折了，这是因为光从水中进入空气时发生了折射现象．如图1，线段AC表示筷子，筷子的底部点A发出的入射光线AO、AP进入空气时发生折射，变为折射光线OE、PF，两条折射光线的反向延长线的交点D即为我们眼睛看到的筷子底部，所以看上去筷子向上弯折即折线CBD了．如图2，已知OM⊥OB，OB∥AH，折射角∠1＝35°，折射光线OE∥AC时，求∠CAH的大小．
解：∵OM⊥OB，
∴∠MOB＝ 　90　 °，
∴∠1+∠EOB＝90°．
∵∠1＝35°，
∴∠EOB＝ 　55　 °．（完成以下解题过程）
【考点】平行线的性质；垂线．
【分析】由垂直的定义得∠MOB＝90°，可得∠EOB＝90°﹣∠1＝55°，根据平行线的性质得∠CBG＝∠EOB，∠CBG＝∠CAH，即可求解．
【解答】解：∵OM⊥OB，
∴∠MOB＝90°，
∴∠1+∠EOB＝90°．
∵∠1＝35°，
∴∠EOB＝55°，
∵OB∥AH，OE∥AC，
∴∠CBG＝∠CAH，∠CBG＝∠EOB＝55°，
∴∠CAH＝55°，
故答案为：90，55．
【点评】本题考查了垂线，平行线的性质，解题的关键掌握平行线的性质．
5．（2025春 普陀区校级月考）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．如图2，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．
（1）当α为 　15　 度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形；
（2）如图4，在旋转过程中，当0°＜α＜45°时，试探究∠CAD与∠BAE之间的数量关系；
（3）若△ADE旋转速度为5°/秒，当它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值．
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】（1）先根据平行线的性质可求出∠CAD＝∠ACB＝30°，再根据角的和差即可得出α的度数，然后画图即可；
（2）画出图形，根据角的和差即可得出结论；
（3）分AD∥BC，DE∥AB，DE∥BC，DE∥AC，AE∥BC五种情况，分别利用平行线的性质、角的和差求出旋转角α的度数，从而可求出时间的值．
【解答】解：（1）若AD∥BC，
则∠CAD＝∠ACB＝30°，
∴α＝∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD＝45°﹣30°＝15°，
故答案为：15；
（2）如图，当0°＜α＜45°时，
α+∠CAD＝45°，α+∠BAE＝90°，
则∠BAE﹣∠CAD＝45°；
（3）依题意，分以下五种情况：①当AD∥BC时由（1）知，α＝15°，则（秒），
②当DE∥AB时，此时，AD与AC重合则α＝45°，t9（秒），
③当DE∥BC时，此时，AD⊥BC，则α＝90°﹣∠ACB+∠DAE＝90°﹣30°+45°＝105°，t21（秒），
④当DE∥AC时，此时，AD与AB重合，则α＝90°+∠DAE＝90°+45°＝135°，（秒），
⑤当AE∥BC时，则∠BAE＝∠ABC＝60°，α＝90°+∠BAE＝90°+60°＝150°，（秒），
综上，所有符合要求的t的值为3秒或9秒或21秒或27秒或30秒．
【点评】本题考查了图形的旋转、平行线的性质、三角尺中角的和差的计算，解答此题的关键是通过画图，确定旋转后△ADE的位置．
随堂检测 · 精选练习
练习1 对顶角、邻补角与角平分线的综合计算。
练习2 角平分线与对顶角、邻补角的计算（同题3实际是重复，视为同类型）。
练行线性质与方程思想求角度（内错角、同旁内角）。
练习4 北斗七星模型中的角度计算（平行线、三角形内角和、外角性质）。
练习5 角平分线与平行线性质的综合证明（补全推理过程）。
1．（2025春 上海校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O．若∠AOD＝120°，∠BOE＝40°，则∠COE的大小为 　80°　 ．
【考点】对顶角、邻补角．
【分析】先根据对顶角相等可得∠AOD＝∠BOC＝120°，再根据∠BOE＝40°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝120°，
∴∠BOC＝∠AOD＝120°，
∵∠BOE＝40°，
∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝80°，
故答案为：80°．
【点评】本题考查了对顶角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
2．（2025春 虹口区校级月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC+∠DOE＝45°，则∠COB＝ 　150　 °．
【考点】对顶角、邻补角；角的概念；角平分线的定义．
【分析】根据角平分线的定义以及邻补角的定义进行计算即可．
【解答】解：∵OE平分∠BOD，∠AOC＝∠BOD，
∴∠DOE＝∠BOE∠AOC，
又∵∠AOC+∠DOE＝45°，
∴∠AOC45°＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°．
故答案为：150．
【点评】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，掌握对顶角、邻补角的定义以及角平分线的定义是正确解答的关键．
3．（2025春 普陀区期中）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝（4x+30）°，∠ADB＝（x+15）°，那么∠A＝　110°　 ．
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质进行计算即可．
【解答】解：由题知，
∵AD∥BC，∠ADB＝（x+15）°，
∴∠DBC＝∠ADB＝（x+15）°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠DBC＝（2x+30）°，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∴（4x+30）°+（2x+30）°＝180°，
解得x＝20，
∴∠A＝110°．
故答案为：110°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
4．（2025春 长宁区校级期中）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A、B、G、C、D、E、F，将A、B、G、C、D、E、F顺次首尾连接．若B、G、C三点共线，AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B＝∠BCD+8°，∠D＝110°，则∠B﹣∠CGF＝ 　118°　 ．
【考点】平行线的性质．
【分析】过点C作CH∥AF，则AF∥DE∥CH，得到∠CGF＝∠GCH，∠D＝∠DCH，进而得出∠BCD＝110°+∠CGF，计算即可得到答案．
【解答】解：过点C作CH∥AF，
∵AF∥DE，
∴AF∥DE∥CH，
∴∠CGF＝∠GCH（两直线平行，内错角相等），∠D＝∠DCH（两直线平行，内错角相等），
∴∠BCD＝∠DCH+∠GCH＝∠D+∠CGF＝110°+∠CGF，
∵∠B＝∠BCD+8°，
∴∠B﹣∠CGF＝∠BCD+8°﹣∠CGF＝110°+∠CGF+8°﹣∠CGF＝118°．
故答案为：118°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
5．（2025春 长宁区校级期中）将下面证明过程补充完整．
如图，已知∠ADC＝∠ABC，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC且∠1＝∠2．
求证：∠A＝∠C．
证明：∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，
∴，．
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠　1　 ＝∠　3　 ．
∵∠1＝∠2，
∴∠　2　 ＝∠　3　 ．
∴AB ∥CD （ 　内错角相等，两直线平行　 ）．
∴∠A+∠ADC ＝180°，∠C+∠ABC ＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　 ）．
∴∠A＝∠C．
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】根据两直线平行的判定和性质，补齐相应的条件或结论，即可得到结果．
【解答】证明：∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠1∠ABC，∠3∠ADC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠A+∠ADC＝180°，∠C+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠A＝∠C．
故答案为：1，3；2，3；AB，CD，内错角相等，两直线平行；ADC，ABC，两直线平行，同旁内角互补．
【点评】本题考查两直线平行的判定和性质的应用，熟练掌握两直线平行的判定方法是解题的关键．
课后巩固 · 针对性练习
题1 平行线的判定（结合图形选择条件）。
题2 平行公理及垂直性质的综合判断。
题3 平行线的判定（从角的关系识别）。
题4 平行线性质、垂线、点到直线距离等概念辨析。
题5 平行线性质求角度（补角、邻补角）。
题6 命题改写（等腰三角形性质）。
题7 垂线、对顶角、邻补角综合求角度。
题8 实际背景中的平行线与垂线应用（消防云梯）。
题9 角平分线、平行线、三角形内角和综合（含参表示）。
题10 平行线性质与角平分线结合求角度。
题11 平行线判定与性质的综合证明（角平分线、垂直）。
题12 平行线判定与性质填空推理（补全过程）。
题13 实际情境中的平行线判定与性质（躺椅模型）。
题14 平行线综合探究（角平分线、垂直、设元求角）。
※ 复习建议 本专题是几何证明的基础，务必熟练掌握对顶角、邻补角的计算，准确识别三线八角，灵活运用平行线的判定与性质。对于综合题，要学会添加辅助线（过折点作平行线）来转化角度关系。命题部分要理解真假命题的判断方法及逆命题的构造。
1．（2024春 杨浦区期中）如图所示，在下列四组条件中，不能判定AD∥BC的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠BAD+∠ABC＝180° D．∠BAC＝∠ACD
【考点】平行线的判定．
【分析】根据平行线的判定方法分别对四个选项进行判断．
【解答】解：A、当∠1＝∠2时，AD∥BC，本选项不符合题意；
B、当∠3＝∠4时，AD∥BC，本选项不符合题意；
C、当∠BAD+∠ABC＝180°时，AD∥BC，本选项不符合题意；
D、当∠BAC＝∠ACD时，AB∥CD，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
2．（2024春 普陀区校级月考）已知同一平面内的三条不同直线a，b，c，则下述错误的是（　　）
A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a⊥b，b⊥c，则a∥c D．若a∥b，b⊥c，则a⊥c
【考点】平行线的判定与性质；平行公理及推论．
【分析】根据平行线的判定与性质、平行公理及推论一一判断即可．
【解答】解：若a∥b，b∥c，则a∥c，
故A说法正确，不符合题意；
若a⊥b，b⊥c，则a∥c，
故B说法错误，符合题意；
若a⊥b，b⊥c，则a∥c，
故C说法正确，不符合题意；
若a∥b，b⊥c，则a⊥c，
故D说法正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查平行线的判定与性质、平行公理及推论，解题的关键是掌握在同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．
3．（2024春 松江区校级月考）如图，在下列条件中，不能说明AB∥DF的是（　　）
A．∠A＝∠CFD B．∠BED＝∠EDF
C．∠BED＝∠A D．∠A+∠AFD＝180°
【考点】平行线的判定．
【分析】利用平行线的判定定理，逐一判断即可得出结论．
【解答】解：A、∵∠A＝∠CFD，
∴AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意；
B、∵∠BED＝∠EDF，
∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选不项符合题意；
C、∠BED＝∠A，
∴AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能判定AB∥DF，故本选项符合题意；
D、∵∠A+∠AFD＝180°，
∴AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选不项符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
4．（2024春 闵行区期中）下列说法中，正确的是（　　）
A．如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补
B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度
C．如果两条直线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【考点】平行线的判定与性质；点到直线的距离；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论．
【分析】根据平行线的判定与性质，点到直线的距离，同位角，内错角，同旁内角，平行公理及推论，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补，故A不符合题意；
B、点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，故B符合题意；
C、如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行，故C不符合题意；
D、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，点到直线的距离，同位角，内错角，同旁内角，平行公理及推论，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
5．（2024春 宝山区期末）如图，直线AB、CD分别与EF、GH相交，已知∠1＝100°，∠2＝115°，∠3＝65°，那么∠4＝　100°　 ．
【考点】对顶角、邻补角．
【分析】根据对顶角相等，平行线的判定和性质进行计算即可．
【解答】解：如图，∵∠5＝∠2＝115°，∠3＝65°，
∴∠5+∠3＝115°+65°＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠4＝∠1＝100°，
故答案为：100°．
【点评】本题考查对顶角、邻补角，掌握对顶角相等以及平行线的判定和性质是正确解答的关键．
6．（2024秋 上海月考）请将命题“等腰三角形的底角相等”改写为“如果…，那么…”的形式　如果两个角为等腰三角形的底角，那么这两个角相等　 ．
【考点】命题与定理．
【分析】命题中的条件是一个三角形是等腰三角形，放在“如果”的后面，结论是它的两个底角相等，应放在“那么”的后面．
【解答】解：题设为：一个三角形是等腰三角形，结论为：这个三角形的两个底角相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角为等腰三角形的底角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角为等腰三角形的底角，那么这两个角相等．
【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
7．（2024春 路北区校级期中）如图，AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠COE＝44°，则∠AOD＝　134°　 ．
【考点】垂线；对顶角、邻补角．
【分析】首先根据垂直定义可得∠EOB＝90°，再根据角的和差关系可得∠COB＝134°，再根据对顶角相等可得∠AOD的度数．
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴∠EOB＝90°，
∵∠COE＝44°，
∴∠COB＝90°+44°＝134°，
∴∠AOD＝134°，
故答案为：134°．
【点评】此题主要考查了垂线以及对顶角，关键是算出∠EOB的度数，掌握对顶角相等．
8．（2024春 杨浦区期中）消防云梯的示意图如图1所示，其由救援台AB、延展臂BC（B在C的左侧）、伸展主臂CD、支撑臂EF构成，在作业过程中，救援台AB、车身GH及地面MN三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图2．使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH＝70°，这时展角∠ABC＝　160°　 ．
【考点】平行线的性质；垂线．
【分析】延长BC、FE交于P，过P作PQ∥AB，则AB∥GH∥PQ，根据平行线的性质得到∠QPF＝∠EFH＝70°，∠ABC+∠BPQ＝180°，据此求解即可．
【解答】解：延长BC、FE交于P，过P作PQ∥AB，
∵AB∥GH，
∴AB∥GH∥PQ，
∴∠QPF＝∠EFH＝70°，∠ABC+∠BPQ＝180°，
∵BC⊥EF，
∴∠BPF＝90°，
∴∠BPQ＝90°﹣∠QPF＝90°﹣70°＝20°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BPQ＝180°﹣20°＝160°，
故答案为：160°．
【点评】本题考查平行线的性质与判定、垂直定义，理解题意，添加辅助线，利用平行线的性质解决实际问题是解答的关键．
9．（2024春 虹口区期中）如图，已知AB∥CD，点M、N分别是直线AB、CD上的点，点E、F在AB、CD之间，且位于MN的两侧，MF、NF分别平分∠AME与∠CNE，点G在△MNE内部，且．如果∠MGN＝α°，那么∠MFN的度数为 　315°α　 ．（用含α的代数式表示）
【考点】平行线的性质．
【分析】过点F作FK∥AB，证AB∥FK∥CD，则∠MFK＝∠AMF，∠NFK＝∠CNF，由此得∠MFN＝∠AMF+∠CNF，根据∠GMN∠EMN，∠GNM∠ENM，设∠GMN＝2β，∠EMN＝5β，∠GNM＝2θ，∠ENM＝5θ，设∠FMN＝x，∠FNM＝y，则∠FME＝∠FMN+∠EMN＝x+5β，∠FNE＝∠FNM+∠ENM＝y+5θ，再根据角平分线定义得∠AMF＝∠FME＝x+5β，∠CNF＝∠FNE＝y+5θ，则∠MFN＝∠AMF+∠CNF＝x+5β+y+5θ＝x+y+5（β+θ）①，然后由三角形内角和定理得：∠GMN+∠GMN+∠GNM＝180°，∠FMN+∠FNM+∠MFN＝180°，即β+θ＝90°α°②，x+y＝180°﹣∠MFN③，将②③代入①即可得出∠MFN的度数．
【解答】解：过点F作FK∥AB，如图所示：
∵AB∥CD，
∴AB∥FK∥CD，
∴∠MFK＝∠AMF，∠NFK＝∠CNF，
∴∠MFK+∠NFK＝∠AMF+∠CNF，
即∠MFN＝∠AMF+∠CNF，
∵∠GMN∠EMN，∠GNM∠ENM，
∴设∠GMN＝2β，∠EMN＝5β，∠GNM＝2θ，∠ENM＝5θ，
设∠FMN＝x，∠FNM＝y，
则∠FME＝∠FMN+∠EMN＝x+5β，∠FNE＝∠FNM+∠ENM＝y+5θ，
∵MF、NF分别平分∠AME与∠CNE，
∴∠AMF＝∠FME＝x+5β，∠CNF＝∠FNE＝y+5θ，
∠MFN＝∠AMF+∠CNF＝x+5β+y+5θ＝x+y+5（β+θ）①，
由三角形内角和定理得：
∠GMN+∠GMN+∠GNM＝180°，∠FMN+∠FNM+∠MFN＝180°，
即α°+2β+2θ＝180°，x+y+∠MFN＝180°，
∴β+θ＝90°α②，x+y＝180°﹣∠MFN③，
将②③代入①得：∠MFN＝180°﹣∠MFN+5（90°α），
整理得：∠MFN＝315°α．
故答案为：315°α．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角的计算，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理，角的计算是解决问题的关键．
10．（2024春 长宁区期末）如图，已知AB∥CD，BE∥DF，∠B＝30°，试求∠CDH的度数．
【考点】平行线的性质．
【分析】先根据BE∥DF，∠B＝30°得出∠FMA＝∠B＝30°，再由AB∥CD即可得出∠CDM的度数，再由平角的定义即可得出结论．
【解答】解：∵BE∥DF，∠B＝30°，
∴∠FMA＝∠B＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠CDM＝∠FMA＝30°，
∴∠CDH＝180°﹣∠CDM＝180°﹣30°＝150°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．
11．（2024秋 嘉定区校级期中）如图1，点C，D在直线AB上，∠ACE+∠BDF＝180°，EF∥AB．
（1）求证：CE∥DF；
（2）如图2，∠DFE的角平分线FG交AB于点G，过点F作FM⊥FG交CE的延长线于点M．若∠CMF＝55°，求∠CDF的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】（1）根据平角的性质进行等量代换，得到∠BDF＝∠BCE，利用同位角相等两直线平行即可；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补得到∠DFM＝125°，进而得到∠DFG＝35°，再根据角平分线的定义，得到∠DFE＝2∠DFG＝70°，最后利用平行线的性质，即可求出∠CDF的度数．
【解答】（1）证明：∵∠ACE+∠BDF＝180°，∠ACE+∠BCE＝180°
∴∠BDF＝∠BCE
∴CE∥DF；
（2）解：∵CE∥DF
∴∠CMF+∠DFM＝180°
∵∠CMF＝55°
∴∠DFM＝125°
∵FM⊥FG
∴∠GFM＝90°
∴∠DFG＝∠DFM﹣∠GFM＝125°﹣90°＝35°
∵FG是∠DFE的角平分线，
∴∠DFE＝2∠DFG＝70°
∵EF∥AB
∴∠CDF+∠DFE＝180°
∴∠CDF＝110°．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键．
12．（2024春 闵行区期末）如图，已知在△ABC中，点D、G分别在边BC、AC上，且∠B＝∠GDC，点F在线段DG的延长线上，点E在边GC上，如果∠1＝∠3，说明AD∥EF的理由．
解：因为∠B＝∠GDC（已知），
所以AB∥DF （ 　同位角相等，两直线平行　 ）．
所以∠1＝　∠2　 （ 　两直线平行，内错角相等　 ）．
因为∠1＝∠3（已知），
所以∠3＝　∠2　 （等量代换）．
所以AD∥EF（ 　内错角相等，两直线平行　 ）．
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】先根据同位角相等，两直线平行可得AB∥DF，然后利用平行线的性质可得∠1＝∠2，从而可得∠3＝∠2，再根据内错角相等，两直线平行可得AD∥EF，即可解答．
【解答】解：因为∠B＝∠GDC（已知），
所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行）．
所以∠1＝∠2（ 两直线平行，内错角相等）．
因为∠1＝∠3（已知），
所以∠3＝∠2（等量代换）．
所以AD∥EF（内错角相等，两直线平行），
故答案为：DF；同位角相等，两直线平行；∠2；两直线平行，内错角相等；∠2；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
13．（2024秋 杨浦区校级月考）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠AOE＝∠BNM．
（1）求证：OE∥DM；
（2）若OE平分∠AOF，∠ODC＝30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】（1）结合题意，根据对顶角相等推出∠AOE＝∠AND，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解；
（2）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠BNM＝∠AND，∠AOE＝∠BNM，
∴∠AOE＝∠AND，
∴OE∥DM；
（2）解：∵AB与底座CD都平行于地面EF，
∴AB∥CD，
∴∠BOD＝∠ODC＝30°，
∵∠AOF+∠BOD＝180°，
∴∠AOF＝150°，
∵OE平分∠AOF，
∴∠EOF∠AOF＝75°，
∴∠BOE＝∠BOD+∠EOF＝105°，
∵OE∥DM，
∴∠ANM＝∠BOE＝105°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
14．（2024春 杨浦区期中）已知AB∥CD．
（1）如图1，若EF⊥FG垂足为点F，∠FGD＝50°，则∠AEF＝　140°　 ．
（2）如图2，EF⊥FG垂足为点F，过点F作FH⊥AB于点H，说明∠HFE＝∠FGD．
（3）如图3，∠BEF、∠FGD的角平分线交于点H，若∠EFG＝α°，则∠H＝　α°　 （用含α的式子表示）．
【考点】平行线的性质；列代数式；垂线．
【分析】（1）过点F作FM∥AB，利用猪脚模型可求出∠BEF＝∠EFG﹣∠DGF＝40°，然后利用平角定义可得∠AEF＝140°，即可解答；
（2）根据垂直定义可得∠FHE＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BEF+∠HFE＝90°，再利用（1）的结论可得：∠BEF+∠DGF＝90°，然后利用同角的余角相等可得：∠HFE＝∠FGD，即可解答；
（3）利用（1）的结论可得：∠EFG＝∠BEF+∠DGF＝α°，∠H＝∠BEH+∠DGH，再利用角平分线的定义可得∠BEH∠BEF，∠DGH∠DGF，然后利用等量代换可得∠H∠EFGα°，即可解答．
【解答】解：（1）过点F作FM∥AB，
∴∠BEF＝∠EFM，
∵AB∥CD，
∴FM∥CD，
∴∠DGF＝∠GFM，
∵∠EFG＝∠EFM+∠GFM，
∴∠EFG＝∠BEF+∠DGF，
∵EF⊥FG，
∴∠EFG＝90°，
∵∠FGD＝50°，
∴∠BEF＝∠EFG﹣∠DGF＝40°，
∴∠AEF＝180°﹣∠BEF＝140°，
故答案为：140°；
（2）∵FH⊥AB，
∴∠FHE＝90°，
∴∠BEF+∠HFE＝90°，
由（1）可得：∠BEF+∠DGF＝∠EFG＝90°，
∴∠HFE＝∠DGF；
（3）由（1）可得：∠EFG＝∠BEF+∠DGF＝α°，∠H＝∠BEH+∠DGH，
∵EH平分∠BEF，GH平分∠FGD，
∴∠BEH∠BEF，∠DGH∠DGF，
∴∠H∠BEF∠DGF
（∠BEF+∠DGF）
∠EFG
α°，
故答案为：α°．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握猪脚模型是解题的关键．专题16 相交线与平行线复习 优等生讲义
(9大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
掌握 对顶角、邻补角的概念与性质，能运用其进行角度计算。
理解 垂线的定义及性质，会利用垂线段最短解决实际问题。
识别 同位角、内错角、同旁内角，并能从复杂图形中准确找出三线八角。
掌握 平行公理及推论，灵活运用平行线的判定与性质进行推理和计算。
理解 命题的概念，会区分真命题与假命题，能写出一个命题的逆命题。
熟练运用 平行线的知识解决几何综合题、实际应用问题(如翻折、旋转、光线折射等)。
核心思想：转化思想 · 模型观念 · 逻辑推理
知识梳理 · 核心知识点
☆对顶角与邻补角
邻补角： 有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，和为180°。
对顶角： 一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，对顶角相等。
*两条直线相交，形成两对对顶角，四对邻补角。
☆垂线
垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直。
垂线的性质： ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
☆三线八角
同位角： 在截线的同旁，被截线的同一方向（F型）。
内错角： 在截线的两旁，被截线之间（Z型）。
同旁内角： 在截线的同旁，被截线之间（U型）。
☆平行线
平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的判定： ①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤垂直于同一条直线的两直线平行（在同一平面内）。
平行线的性质： ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。
☆命题与证明
命题： 判断一件事情的语句，由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式。
真命题： 正确的命题；假命题： 错误的命题（举反例可说明）。
逆命题： 交换原命题的题设和结论得到的命题。
证明： 根据已知条件，运用定义、定理、公理进行推理的过程。
相交线与平行线核心知识速查表
类别 核心内容 关键点
对顶角 对顶角相等 两条直线相交形成
邻补角 邻补角互补 和为180°
垂线 垂直定义、垂线段最短 过一点有且只有一条垂线
三线八角 同位角、内错角、同旁内角 准确识别截线与被截线
平行判定 同位角/内错角相等、同旁内角互补 转化思想
平行性质 两直线平行 角相等/互补 推理证明的基础
命题 真命题、假命题、逆命题 举反例证明假命题
核心考点 ·9类题型精讲
【考点1】对顶角与邻补角（1-5题）
方法总结
对顶角相等是角度计算的基础，常与邻补角（和为180°）结合使用。
在复杂图形中，先找出对顶角、邻补角关系，再列方程求解。
角平分线、垂直等条件可进一步建立等量关系。
1．（2025春 嘉定区期中）如图，两条直线交于点O，若∠2+∠4＝100°，则∠3的度数为（　　）
A．130° B．125° C．120° D．110°
2．（2024春 长宁区期末）下列图中，∠1、∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025春 虹口区校级月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC+∠DOE＝45°，则∠COB＝ 　 　 °．
4．（2025春 普陀区期中）如图，直线a、b所成的夹角跑到画板外面了．已知∠1＝71°，∠2＝78°，则直线a、b的夹角的度数为　 　 ．
5．（2025春 闵行区校级月考）如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOE．
（1）若∠BOE＝84°，求∠AOC的度数；
（2）若∠BOE：∠AOE＝4：5，求∠AOC的度数．
【考点2】垂线（6-14题）
方法总结
垂线的定义：相交成直角 ∠=90°；反之，∠=90° 垂直。
垂线段最短常用于实际最值问题（如跳远成绩、修路最短等）。
点到直线的距离是垂线段长度，注意区分垂线与垂线段。
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
6．（2025春 长宁区校级期中）立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过1.85m获得满分，达到或超过1.95m获得加分．如图，一女生在起跳线l上的点A处起跳，BC⊥l，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（　　）
A．BC可能为1.95m B．BC可能为1.8m
C．AB可能为1.85m D．AB可能为1.95m
7．（2025春 普陀区校级月考）如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD内部，且OE⊥CD于点O．若OA平分∠COE，则∠BOE的度数为（　　）
A．125° B．135° C．145° D．155°
8．（2025春 闵行区校级月考）已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，射线OF⊥CD于点O，且∠BOF＝40°，则∠COE＝　 　 ．
9．（2025春 宝山区月考）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．若∠BOD：∠BOC＝2：7，则∠AOE的度数为 　 　 ．
10．（2025春 长宁区校级期中）在平面中，我们称一组平行直线为“平行线族”，对于“平行线族”中的任意两条直线，它们之间的“线距”是指这两条直线之间的垂直距离．已知“平行线族”中有三条直线a、b、c，已知直线a与b的线距为5，直线a与c的线距为2，那么直线b与c的线距是 　 　 ．
11．（2025春 闵行区校级月考）如图，AB与CD交于点F，EF⊥CF，垂足为F，若∠AFE＝35°，则∠BFD＝　 　 ．
12．（2025春 闵行区校级月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD．
（1）若∠BOD＝40°，求∠COF的度数；
（2）若∠AOC：∠COE＝2：3，求∠DOF的度数．
13．（2025秋 徐汇区校级期中）如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠COE＝2：3，OF平分∠BOE．
（1）如图1，如果AB⊥CD，求∠BOF的度数；
（2）如图2，如果∠BOF＝∠AOC+12°，则∠BOF的度数为　 　 ．
14．（2025春 闵行区校级月考）如图，直线AB、CD交于点O，∠AOC＝120°，射线OE将∠BOC分成两个角，∠BOE＝2∠COE．
（1）求∠COE的度数；
（2）若OF⊥OE，且射线OF在∠AOC内部，求∠DOF的度数．
【考点3】平行公理（15-18题）
方法总结
平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理推论：平行于同一条直线的两直线互相平行（传递性）。
同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
注意“过一点”包含点在直线上和直线外两种情况，只有直线外一点才能作平行线。
15．（2025春 浦东新区校级期中）下列说法中正确的是（　　）
A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离
D．平面内，如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c相交
16．（2025秋 临汾期末）如图是一个可折叠的衣架，AB是水平地面，点A，B，M，N，P在同一平面内．当∠1＝∠2且∠3＝∠4时，可判定点N，P，M在同一条直线上，判定依据是（　　）
A．两点确定一条直线
B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
17．（2025春 冠县校级月考）如果a∥b，b∥c，则　 　 ，因为　 　 ．
18．（2025春 蒙阴县期末）在相交线与平行线这一章节中我们学习了垂直的定义，仿照垂直的定义方法给出以下新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是60°，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线AB、CD互为完美交线，O为它们的完美点，OE⊥AB，则∠EOC的度数为　 　 ．
【考点4】同位角、内错角、同旁内角（19-23题）
方法总结
识别三线八角的关键：确定截线和被截线。
同位角：F型；内错角：Z型；同旁内角：U型。
在复杂图形中，通过分离基本图形来识别角的关系。
19．（2025春 静安区校级期中）如图，下列结论中错误的是（　　）
A．∠1与∠3是同位角 B．∠4与∠5是同旁内角
C．∠3与∠6是对顶角 D．∠1与∠4是内错角
20．（2025春 黄浦区期中）如图，∠1的同位角是（　　）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
21．（2025春 普陀区期中）如图，∠2的对顶角是　 　 ，∠3的同位角是　 　 ．
22．（2025春 杨浦区校级月考）如图，直线b、c被直线a所截，如果∠1＝55°，∠2＝100°，那么∠3与其内错角的角度之和等于 　 　 ．
23．（2025春 松江区期末）如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠2 与∠B是同位角；③∠1与∠B是同旁内角，其中正确的有　 　 （只填序号）．
【考点5】平行线的判定（24-30题）
方法总结
根据同位角相等、内错角相等或同旁内角互补判定两直线平行。
注意隐含条件：平行公理推论、垂直同一直线等也是平行判定依据。
证明书写格式：因为∠1=∠2，所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。
24．（2024春 杨浦区期中）如图所示，在下列四组条件中，不能判定AD∥BC的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠BAD+∠ABC＝180° D．∠BAC＝∠ACD
25．（2025春 上海校级期中）如图，下列推理中，正确的是（　　）
A．如果∠1＝∠3，那么AD∥BC
B．如果∠2＝∠4，那么AD∥BC
C．如果∠1＝∠3，那么AB∥CD
D．如果∠BCD+∠D＝180°，那么AB∥CD
26．（2025春 宝山区校级期末）下列说法中错误的个数是（　　）
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行
（2）不相交的两条直线叫做平行线
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种
（4）相等的角是对顶角
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
27．（2025春 闵行区校级月考）如图，在条件：①∠1＝∠2，②∠3＝∠4，③∠A+∠ABC＝180°，④∠A＝∠5中能判定AB∥DC的条件有　 　 ．（填序号）
28．（2025春 虹口区校级月考）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若∠2﹣∠1＝75°，则∠3与∠4的度数和是 　 　 ．
29．（2025春 普陀区期中）如图，已知：在△ABC中，AC⊥BC，∠B+∠BCD＝90°，点E、F分别为边AB、AC上的点，且∠AFE＝∠B．
求证：EF∥CD．
证明：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°（ 　 　 ），
∴∠ACD+∠BCD＝90°．
又∵∠B+∠BCD＝90°，
∴∠　 　 ＝∠　 　 ．
∵∠AFE＝∠B，
∴∠AFE＝∠　 　 ．
∴EF∥CD（ 　 　 ）．
30．（2025春 金山区期中）科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图（1）所示，图（2）是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．如图（2），∠EOF+∠OFC＝180°，OE平分∠AOC，CF平分∠OCD．求证：AB∥CD．
【考点6】平行线的性质（31-39题）
方法总结
两直线平行 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
常与角平分线、翻折、旋转结合，利用平行线传递角的关系。
构造辅助线（过折点作平行线）是解决“折线”问题的关键。
31．（2025春 长宁区校级期中）如图，木条a、b、c用螺丝固定在木板上且∠ABM＝50°，∠DEM＝70°，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（　　）
A．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°
B．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转20°
C．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转20°
D．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转50°
32．（2025春 普陀区期中）如图，AB∥DE，BC∥EF，那么下列关系不一定成立的是（　　）
A．∠3＝∠2+∠4 B．∠3＝∠4+∠5
C．∠3+∠5﹣∠6＝180° D．∠1+∠5﹣∠6+∠7＝180°
33．（2025秋 浦东新区期末）如图，从甲楼的一窗口观测点A处测得乙楼的楼顶端B的仰角是37°，那么从乙楼顶端B处看A处的俯角是　 　 ．
34．（2025春 长宁区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，BC＞AC，点D在边BC上，将△ADC沿着AD翻折，点C落在点E处，若DE恰好与△ABC的一条边平行，若∠C＝m°，则∠DAC的度数为 　 　 °．（结果用含m的代数式表示）
35．（2025春 长宁区校级期中）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A、B、G、C、D、E、F，将A、B、G、C、D、E、F顺次首尾连接．若B、G、C三点共线，AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B＝∠BCD+8°，∠D＝110°，则∠B﹣∠CGF＝ 　 　 ．
36．（2025春 静安区校级期中）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为 　 　 ．
37．（2025春 普陀区期中）已知：如图，AD∥BE，∠1＝∠2．试说明：∠A＝∠E．
38．（2025春 普陀区期中）如图，已知：AB∥DE，CM平分∠BCE，∠MCN＝90°，∠B＝50°，求∠DCN的度数．
解：因为AB∥DE，
所以∠B+　 　 ＝180°（　 　 ）．
因为∠B＝50°，
所以∠BCE＝　 　 °．
因为CM平分∠BCE，
所以　 　 　 　 °．
因为∠ECM+∠MCN+∠NCD＝180°（平角的意义）
又因为∠MCN＝90°，
所以∠DCN＝　 　 °．
39．（2025春 闵行区校级月考）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：
（1）如图2，若AB∥|CD，∠EAB＝75°，∠ECD＝110°，求∠E的度数．
（2）已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点．
①如图3，探究∠BED与∠B，∠D之间的数量关系，请直接写出结果；
②如图4，探究∠CDE与∠B，∠BED之间的数量关系，请直接写出结果．
【考点7】平行线的判定与性质综合（40-43题）
方法总结
先用判定证明平行，再用性质得出角的关系；或者先用性质得角，再用判定证平行。
需理清已知条件与待证结论之间的逻辑链条，规范书写推理过程。
常与三角形内角和、外角性质、垂直等知识综合。
40．（2025春 浦东新区校级期中）补全下列推理过程：
如图，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1＝∠2，试说明DG∥BA．
解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，（已知），
∴∠BFE＝90°，∠BDA＝90°（　 　 ），
∴∠BFE＝∠BDA，
∴EF∥AD（　 　 ）．
∴∠2＝∠3（　 　 ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴　 　 （等量代换）．
∴DG∥AB（　 　 ）．
41．（2025春 上海校级月考）如图，已知在△ABC中，点D、G分别在边BC、AC上，且∠B＝∠GDC，点F在线段DG的延长线上，点E在边GC上，如果∠1＝∠3，说明AD∥EF的理由．
解：∵∠B＝∠GDC（已知），
∴　 　 ∥　 　 （　 　 ）．
∴∠1＝　 　 （　 　 ）．
∵∠1＝∠3（已知），
∴∠3＝　 　 （等量代换）．
∴AD∥EF（　 　 ）．
42．（2025春 闵行区期中）如图，点D、E、H分别在线段AB、BC、AC上，连接DE，过点C画CF交DH的延长线于点F，且满足∠BDE＝∠FCA，若BC∥DF，∠B＝∠F，求证DE∥AC．
【考点8】命题与证明（44-51题）
方法总结
命题由题设和结论组成，改写为“如果…那么…”形式。
判断真假命题：真命题需证明，假命题只需举反例。
逆命题：交换原命题的条件和结论。
定理都有逆命题，但逆命题不一定为真。
43．（2025秋 松江区期末）已知命题：
①腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似；
②底边和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似．
下列对这两个命题的判断，正确的是（　　）
A．①和②都是真命题
B．①和②都是假命题
C．①是真命题，②是假命题
D．①是假命题，②是真命题
44．（2025秋 浦东新区校级期末）下列命题中，判断错误的是（　　）
A．所有定理都有逆命题
B．对顶角相等的逆命题是真命题
C．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行
D．假命题的逆命题不一定是假命题
45．（2025春 青浦区校级期中）对于命题“如果∠1+∠2＝180°，那么∠1＝∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A．∠1＝∠2＝90° B．∠1＝60°，∠2＝120°
C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1+∠2＝90°
46．（2025春 长宁区校级期中）命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是　 　 ．
47．（2025春 长宁区校级期中）下列说法中，是假命题的是 　 　 ．
①如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等；
②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
③过直线外一点P向直线m作垂线段，这条垂线段就是点P到直线的距离；
④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
48．（2025秋 浦东新区校级期末）要说明命题“若a2≥4，则a＞2”是假命题，请举出一个反例：a＝　 　 ．
49．（2025春 上海期末）请写出“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题：　 　 ．
50．（2025春 闵行区校级月考）将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为 　 　 ．
【考点9】创新及压轴题（1-5题）
方法总结
综合应用平行线性质、判定及角平分线、翻折、旋转等知识。
常需添加辅助线（作平行线）构造基本图形。
探究角度关系时，注意整体思想、设元列方程。
动态问题（如三角板旋转）要分类讨论不同位置。
1．（2025春 上海校级月考）已知，AB∥CD．
（1）如图1，若EF⊥FG垂足为点F，∠FGD＝50°，则∠AEF＝　 　 °．
（2）如图2，∠BEF，∠FGD的角平分线交于点H，若∠EFG＝60°，则∠H＝　 　 °．
（3）如图2，∠BEF，∠FGD的角平分线交于点H，若∠BEF＝x°，∠DGF＝y°，则∠H＝　 　 °．（用x，y的代数式表示）．
（4）如图3，在图2的基础上，EP、GP分别平分∠BEH和∠DGH，若∠F＝α，则∠P＝　 　 °．（用含有α的代数式表示）
2．（2025春 浦东新区校级期中）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知∠MAC＝120°，∠NBE＝60°．
（1）已知驱逐舰在AC方向上航行，巡洋舰在BE方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由；
（2）已知驱逐舰到达点C后沿C﹣D继续航行，巡洋舰到达点E后沿E﹣F继续航行，且MN∥EF，∠ACD＝140°．若驱逐舰在原航向上向左转动α（0°＜α＜180°）后，才能与巡洋舰航向相同，求α的值．
3．（2025春 长宁区期末）已知点A，B，C，D，E均为定点，直线AB∥CD，点P为射线EA上一个动点（点P不与点A重合），连接PC．
（1）如图1，当点P在线段AE上时，若∠A＝30°，∠C＝72°，求∠APC的度数．
（2）点M为直线CD下方的动点，连接CM，使得CM平分∠DCP，
①如图2，当点P在线段AE上时，连接AM，若AM平分∠BAE，探究∠AMC与∠APC之间的数量关系，并证明；
②如图3，当点P在直线CD的下方运动时（点P在射线EA上），射线PN平分∠APC，点K在直线CD的下方，且满足射线CK∥PN，若∠BAE＝34°，请直接写出∠MCK的度数．
4．（2025春 普陀区期中）我们知道，插入水中的筷子，从水面上看，水下部分看上去向上弯折了，这是因为光从水中进入空气时发生了折射现象．如图1，线段AC表示筷子，筷子的底部点A发出的入射光线AO、AP进入空气时发生折射，变为折射光线OE、PF，两条折射光线的反向延长线的交点D即为我们眼睛看到的筷子底部，所以看上去筷子向上弯折即折线CBD了．如图2，已知OM⊥OB，OB∥AH，折射角∠1＝35°，折射光线OE∥AC时，求∠CAH的大小．
解：∵OM⊥OB，
∴∠MOB＝ 　 　 °，
∴∠1+∠EOB＝90°．
∵∠1＝35°，
∴∠EOB＝ 　 　 °．（完成以下解题过程）
5．（2025春 普陀区校级月考）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．如图2，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．
（1）当α为 　 　 度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形；
（2）如图4，在旋转过程中，当0°＜α＜45°时，试探究∠CAD与∠BAE之间的数量关系；
（3）若△ADE旋转速度为5°/秒，当它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值．
随堂检测 · 精选练习
练习1 对顶角、邻补角与角平分线的综合计算。
练习2 角平分线与对顶角、邻补角的计算（同题3实际是重复，视为同类型）。
练行线性质与方程思想求角度（内错角、同旁内角）。
练习4 北斗七星模型中的角度计算（平行线、三角形内角和、外角性质）。
练习5 角平分线与平行线性质的综合证明（补全推理过程）。
1．（2025春 上海校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O．若∠AOD＝120°，∠BOE＝40°，则∠COE的大小为 　 　 ．
2．（2025春 虹口区校级月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC+∠DOE＝45°，则∠COB＝ 　 　 °．
3．（2025春 普陀区期中）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝（4x+30）°，∠ADB＝（x+15）°，那么∠A＝　 　 ．
4．（2025春 长宁区校级期中）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A、B、G、C、D、E、F，将A、B、G、C、D、E、F顺次首尾连接．若B、G、C三点共线，AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B＝∠BCD+8°，∠D＝110°，则∠B﹣∠CGF＝ 　 　 ．
5．（2025春 长宁区校级期中）将下面证明过程补充完整．
如图，已知∠ADC＝∠ABC，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC且∠1＝∠2．
求证：∠A＝∠C．
证明：∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，
∴，．
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠　 　 ＝∠　 　 ．
∵∠1＝∠2，
∴∠　 　 ＝∠　 　 ．
∴　 　 ∥　 　 （ 　 　 ）．
∴∠A+∠　 　 ＝180°，∠C+∠　 　 ＝180°（ 　 　 ）．
∴∠A＝∠C．
课后巩固 · 针对性练习
题1 平行线的判定（结合图形选择条件）。
题2 平行公理及垂直性质的综合判断。
题3 平行线的判定（从角的关系识别）。
题4 平行线性质、垂线、点到直线距离等概念辨析。
题5 平行线性质求角度（补角、邻补角）。
题6 命题改写（等腰三角形性质）。
题7 垂线、对顶角、邻补角综合求角度。
题8 实际背景中的平行线与垂线应用（消防云梯）。
题9 角平分线、平行线、三角形内角和综合（含参表示）。
题10 平行线性质与角平分线结合求角度。
题11 平行线判定与性质的综合证明（角平分线、垂直）。
题12 平行线判定与性质填空推理（补全过程）。
题13 实际情境中的平行线判定与性质（躺椅模型）。
题14 平行线综合探究（角平分线、垂直、设元求角）。
※ 复习建议 本专题是几何证明的基础，务必熟练掌握对顶角、邻补角的计算，准确识别三线八角，灵活运用平行线的判定与性质。对于综合题，要学会添加辅助线（过折点作平行线）来转化角度关系。命题部分要理解真假命题的判断方法及逆命题的构造。
1．（2024春 杨浦区期中）如图所示，在下列四组条件中，不能判定AD∥BC的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠BAD+∠ABC＝180° D．∠BAC＝∠ACD
2．（2024春 普陀区校级月考）已知同一平面内的三条不同直线a，b，c，则下述错误的是（　　）
A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a⊥b，b⊥c，则a∥c D．若a∥b，b⊥c，则a⊥c
3．（2024春 松江区校级月考）如图，在下列条件中，不能说明AB∥DF的是（　　）
A．∠A＝∠CFD B．∠BED＝∠EDF
C．∠BED＝∠A D．∠A+∠AFD＝180°
4．（2024春 闵行区期中）下列说法中，正确的是（　　）
A．如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补
B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度
C．如果两条直线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
5．（2024春 宝山区期末）如图，直线AB、CD分别与EF、GH相交，已知∠1＝100°，∠2＝115°，∠3＝65°，那么∠4＝　 　 ．
6．（2024秋 上海月考）请将命题“等腰三角形的底角相等”改写为“如果…，那么…”的形式　 　 ．
7．（2024春 路北区校级期中）如图，AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠COE＝44°，则∠AOD＝　 　 ．
8．（2024春 杨浦区期中）消防云梯的示意图如图1所示，其由救援台AB、延展臂BC（B在C的左侧）、伸展主臂CD、支撑臂EF构成，在作业过程中，救援台AB、车身GH及地面MN三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图2．使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH＝70°，这时展角∠ABC＝　 　 ．
9．（2024春 虹口区期中）如图，已知AB∥CD，点M、N分别是直线AB、CD上的点，点E、F在AB、CD之间，且位于MN的两侧，MF、NF分别平分∠AME与∠CNE，点G在△MNE内部，且．如果∠MGN＝α°，那么∠MFN的度数为 　 　 ．（用含α的代数式表示）
10．（2024春 长宁区期末）如图，已知AB∥CD，BE∥DF，∠B＝30°，试求∠CDH的度数．
11．（2024秋 嘉定区校级期中）如图1，点C，D在直线AB上，∠ACE+∠BDF＝180°，EF∥AB．
（1）求证：CE∥DF；
（2）如图2，∠DFE的角平分线FG交AB于点G，过点F作FM⊥FG交CE的延长线于点M．若∠CMF＝55°，求∠CDF的度数．
12．（2024春 闵行区期末）如图，已知在△ABC中，点D、G分别在边BC、AC上，且∠B＝∠GDC，点F在线段DG的延长线上，点E在边GC上，如果∠1＝∠3，说明AD∥EF的理由．
解：因为∠B＝∠GDC（已知），
所以AB∥　 　 （ 　 　 ）．
所以∠1＝　 　 （ 　 　 ）．
因为∠1＝∠3（已知），
所以∠3＝　 　 （等量代换）．
所以AD∥EF（ 　 　 ）．
13．（2024秋 杨浦区校级月考）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠AOE＝∠BNM．
（1）求证：OE∥DM；
（2）若OE平分∠AOF，∠ODC＝30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数．
14．（2024春 杨浦区期中）已知AB∥CD．
（1）如图1，若EF⊥FG垂足为点F，∠FGD＝50°，则∠AEF＝　 　 ．
（2）如图2，EF⊥FG垂足为点F，过点F作FH⊥AB于点H，说明∠HFE＝∠FGD．
（3）如图3，∠BEF、∠FGD的角平分线交于点H，若∠EFG＝α°，则∠H＝　 　 （用含α的式子表示）．

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