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(共21张PPT)
第5章　一元一次方程
5.3　实践与探索
第1课时　等积变形问题
学习目标
1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系.【难点】
2.能利用一元一次方程解决简单的图形问题.【重点】
新课导入
从一个水杯向另一个水杯倒水
思考：在这个过程中什么没有发生变化？
新知探究
知识点 平面图形的形状变化
1

在这个过程中什么没有发生变化？
长方形的周长(或长与宽的和)不变
问题1 用一根长60cm的铁丝围成一个长方形.
新知探究

x cm
等量关系：
（长+宽）× 2=周长

解得x =18.

此时长方形的长为18cm、宽为12cm.
新知探究
(2)如果长方形的宽比长少4cm，求这个长方形的面积.
(x-4)cm
x cm
解：设此时长方形的长为x cm，则它的宽为（x-4）cm.
根据题意，得
(x+x-4)×2=60.
解得x=17.

新知探究
(3)比较小题(1)(2)所得的两个长方形面积的大小，你还能围出面积更大的长方形吗？
∵221＞216，
∴（2）中长方形的面积比(1)中长方形的面积大.




∴还可以围出面积更大的长方形.
由此可以得到：长方形的长与宽相差越小，长方形的面积越大；当长与宽相等(相差为0)时，长方形的面积最大.
新知探究

在每小题中均可设长方形的长或宽为未知数.
小题（2）中，因为已知长与宽的关系，而不是面积的关系，所以不能直接设出长方形的面积.
只能间接地设出长方形的长或宽，待求出长方形的长或宽后，再进一步计算这个长方形的面积.
讨论
新知探究
典型例题
例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2)m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．
分析 比较两个图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为
正方形的周长＝圆的周长．
新知探究
解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为[r＋2(π－2)]m.根据题意，得
答：铁丝的长为8πm，圆的面积较大．
∵4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，
∴圆的面积大．
正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m2)．
∴圆的面积是π×42＝16π(m2)，
∴铁丝的长为2πr＝8π(m)．
2πr＝4(r＋2π－4)，
解得r＝4.
新知探究
归纳总结
(1) 两个图形的形状、面积不同，但周长相等；
(2) 形状、面积不同，但是根据题意可以找出它们的周长之间的关系，把这个关系作为等量关系．
解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而可列出方程．
新知探究
知识点 立体图形的形状变化
2
问题2 某居民楼顶有一个底面直径和高均为 4 m 的圆柱形储水箱．现对该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由 4 m 减少为 3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的 4 m 变为多少米？
新知探究
1. 如果设水箱的高变为 x m，填写下表：
旧水箱 新水箱
底面半径/m
高/m
体积/m
2
1.6
4
x
π×22×4
π×1.62x
新知探究
3. 列出方程并求解.
2. 根据表格中的分析，找出等量关系.
旧水箱的容积 = 新水箱的容积
π×22×4
π×1.62x
=
解得 x = 6.25
因此，水箱的高度变成了 6.25 m.
新知探究
典型例题
例2 一种牙膏出口处直径为 5 mm，小明每次刷牙都挤出 1 cm 长的牙膏，这样一支牙膏可以用 36 次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为 6 mm，小明还是按习惯每次挤出 1 cm 的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？
解：设这一支牙膏能用 x 次，根据题意,得
解这个方程，得 x ＝ 25.
答：这一支牙膏能用 25 次．
新知探究
思考 你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？
1.审——通过审题找出等量关系.
6.答——注意单位名称.
5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题.
4.解——求出方程的解(对间接设的未知数牢记继续求解).
3.列——依据找到的等量关系，列出方程.
2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.
归纳总结
课堂小结
1.应用一元一次方程解决形积问题:
(1)平面图形的形状变化;
(2)立体图形的形状变化.
2.应用一元一次方程解决实际问题的步骤：
审、设、列、解、检、答.
课堂训练
1. 一个长方形的周长是 40 cm，若将长减少 8 cm，宽增加 2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为 ( )
A. 6 cm　　　　　　B. 7 cm　　　 C. 8 cm　　　　　　D. 9 cm
B
课堂训练
C
2. 一个梯形的面积是 60 cm2、高为 5 cm，它的上底比下底短 2 cm，求这个梯形上底和下底的长度.设下底长为 x cm，则下面所列方程正确的是 ( )
课堂训练
3. 根据图中给出的信息，可得正确的方程是 (　　)
A
A. π×42x = π×32×(x+5) B. π×42x = π×32×(x-5)
C. π×82x = π×62×(x+5) D. π×82x = π×62×(x-5)
课堂训练
4.要锻造一个直径为8厘米、高为4厘米的圆柱形毛坯，则至少应截取直径为4厘米的圆钢______厘米.
解：设应截取这种钢锭x厘米.
根据题意，得20×20x=40×30×10.
解这个方程，得x=30.
答：应截取这种钢锭30厘米.
16
5.钢锭的截面是正方形，其边长是20厘米，要锻造成长、宽、高分别为40厘米、30厘米、10厘米的长方体，则应截取这种钢锭多长？5.3　实践与探索
第1课时　等积变形问题
1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系.（难点）
2.能利用一元一次方程解决简单的图形问题.（重点）
一、新课导入
[情境导入]
如图，从一个水杯向另一个水杯倒水：
思考：在这个过程中什么没有发生变化？
二、新知探究
（一）平面图形的形状变化
[课件展示]问题1 用一根长60cm的铁丝围成一个长方形.
(1)如果长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽.
思考：在这个过程中什么没有发生变化？
长方形的周长(或长与宽的和)不变.
分析：等量关系：（长+宽）×2=周长.
解:设此时长方形的长为xcm，则它的宽为xcm.
根据题意，得(x+x)×2=60.
解得x=18.所以x=12.
此时长方形的长为18cm、宽为12cm.
(2)如果长方形的宽比长少4cm，求这个长方形的面积.
解：设此时长方形的长为x cm，则它的宽为（x-4）cm.
根据题意，得(x+x-4)×2=60.
解得x=17.所以17-4=13(cm).
∴此时长方形的长为17cm、宽为13cm，面积为17×13=221(cm2).
(3)比较小题(1)(2)所得的两个长方形面积的大小，你还能围出面积更大的长方形吗？
解：(1)中长方形的面积为18×12=216(cm2)，
∵221＞216，
∴（2）中长方形的面积比(1)中长方形的面积大.
同理，我们可计算当宽比长少2cm时，S=224cm2；
当宽比长少1cm时，S=224.75cm2；
当宽与长相等时，S=225cm2；
∴还可以围出面积更大的长方形.
由此可以得到：长方形的长与宽相差越小，长方形的面积越大；当长与宽相等(相差为0)时，长方形的面积最大.
讨论：每小题中如何设未知数？在小题（2）中，能不能直接设长方形的面积为x cm2？若不能，该怎么办？
在每小题中均可设长方形的长或宽为未知数.小题（2）中，因为已知长与宽的关系，而不是面积的关系，所以不能直接设出长方形的面积.只能间接地设出长方形的长或宽，待求出长方形的长或宽后，再进一步计算.
[典型例题]例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2)m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．
分析：比较两个图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为：正方形的周长＝圆的周长．
解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为[r＋2(π－2)]m.
根据题意，得2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4.
∴铁丝的长为2πr＝8π(m)．
∴圆的面积是π×42＝16π(m2)，
正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m2)．
∵4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，
∴圆的面积大．
答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大．
[归纳总结](1)两个图形的形状、面积不同，但周长相同；
两个图形的形状、面积不同，但是根据题意可以找出它们的周长之间的关系，把这个关系作为等量关系．
解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而可列出方程．
（二）立体图形的形状变化
[课件展示]问题2 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱．现对该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4 m变为多少米？
1.如果设水箱的高变为x m，填写下表：
2.根据表格中的分析，找出等量关系；
旧水箱的容积=新水箱的容积.
3.列出方程并求解.
π×22×4=π×1.62x.
解得x=6.25.
因此，水箱的高度变成了6.25m.
[典型例题]例2 一种牙膏出口处直径为5 mm，小明每次刷牙都挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6 mm，小明还是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？
解：设这一支牙膏能用x次，根据题意，得
解这个方程，得x＝25.
经检验，符合题意.
答：这一支牙膏能用25次．
思考：你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？
1.审——通过审题找出等量关系.
2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.
3.列——依据找到的等量关系，列出方程.
4.解——求出方程的解(对间接设的未知数牢记继续求解).
5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题.
6.答——注意单位名称.
三、课堂小结
1.应用一元一次方程解决形积问题:
（1）平面图形的形状变化;
（2）立体图形的形状变化.
2.应用一元一次方程解决实际问题的步骤：审、设、列、解、检、答.
四、课堂训练
1.一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为( B )
A. 6 cm　　　　　　B. 7 cm　　　
C. 8 cm　　　　　　D. 9 cm
2.一个梯形的面积是60 cm2、高为5 cm，它的上底比下底短2 cm，求这个梯形上底和下底的长度.设下底长为x cm，则下面所列方程正确的是( C )
3.根据图中给出的信息，可得正确的方程是(　A　)
A.π×42x=π×32×(x+5)
B.π×42x=π×32×(x-5)
C.π×82x=π×62×(x+5)
D.π×82x=π×62×(x-5)
4.要锻造一个直径为8厘米、高为4厘米的圆柱形毛坯，则至少应截取直径为4厘米的圆钢__16___厘米.
5.钢锭的截面是正方形，其边长是20厘米，要锻造成一个长、宽、高分别为40厘米、30厘米、10厘米的长方体，则应截取这种钢锭多长？
解：设应截取这种钢锭x厘米.
根据题意，得20×20x=40×30×10.
解这个方程，得x=30.
答：应截取这种钢锭30厘米.
五、布置作业
略.
教学过程中，通过对问题的探讨，使学生在动手、独立思考的过程中，进一步体会方程模型的作用，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望.

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