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第7讲 圆柱及其侧面展开图 精讲提升培优讲义
2026年沪教新版六年级下8.1
（答案详解版）
认识圆柱，掌握圆柱的侧面积、表面积、体积公式，并能解决实际问题。
*本讲义内容设置：①重点知识梳理；②典例精讲；③创新及压轴题；④课后针对性练习。
知识点一 圆柱的有关概念
在日常生活中，除了长方体和正方体，我们还会看到地铁站里的柱子、不锈钢桶、笔筒、木块等,这些物体都给我们呈现了如图8-1-2所示的立体图形的形象.
操作 如图8 - 1 - 3,将长方形OAA'O'以它的一条边OO '所在的直线为轴顺时针(或逆时针)方向旋转一周，形成怎样的立体图形
我们发现，按上述操作，所得到的立体图形与图8-1-2的立体图形一样. 我们把像这样的立体图形叫作圆柱体，简称圆柱.因此，圆柱也可以看成是以长方形的一条边所在的直线为轴旋转一周而成的立体图形.
如图8-1-4,在圆柱中，我们把上、下两个圆形叫作圆柱的底面，夹在两个底面之间的曲面叫作圆柱的侧面.
两个底面圆心O 、O '之间的距离叫作圆柱的高，有时也 把线段0O'称为圆柱的高.
如图8-1-3,长方形的边OA 、O'A '旋转形成圆柱的两个底面，它们是两个半径相等的圆形.长方形的边AA'旋转形成圆柱的侧面.线段AA'叫作圆柱的母线，它转动到任何位置，都是圆柱的母线，易知母线的长等于圆柱的高.
知识点二 圆柱的侧面展开图
操作 沿着圆柱的任意一条母线把圆柱的侧面剪开，然后铺在平面上，可以得到一个怎样的图形 得到的这个图形的面积与圆柱的底面、母 线之间会有怎样的关系呢
我们发现，将一个圆柱的侧面按上述操作(沿母线AA '剪开)得到的图形是一个长方形，如图8-1-5所示.我们把它称为圆柱的侧面展开图.长方形的边AA'是圆柱的母线，它的长度等于圆柱的高；边AA 的长度等于底面的周长.圆柱的侧面积可以从它的侧面展开图得出，这就得到结论：
圆柱的侧面积等于它的底面周长和母线长的乘积，即
S侧=Cl=2πrl=2πrh.
其中，S侧表示圆柱的侧面积，r、C、l和h分别表示它的底面半径、底面周长、母线长和高.
知识点三 圆柱的表面积与体积
与长方体的表面积、体积一样，圆柱所有面的面积之和叫作圆柱的表面积，圆柱所占空间的大小叫作圆柱的体积.
1.圆柱的表面积：圆柱的表面由它的侧面和两个底面组成.因此，圆柱的表面积等于它的侧 面积与两个底面积的和，即
其中 ，S表、S 侧 和S底分别表示圆柱的表面积、侧面积和底面积，r 和h分别表示它的底面半径和高.
2.圆柱的体积：
回顾前面圆的面积计算公式的探究过程：将一个圆等分成越多的扇形， 然后按照一定方式拼接起来，生成的平面图形将越接近一个长方形.
现在能否类比圆的面积计算公式的探究过程，将求一个圆柱的体积转化为求一个长方体的体积呢
如图8-1-8,我们可以将圆柱的底面等分为许多扇形，然后沿着扇形的半 径将圆柱切开，并重新拼接起来，最终得到一个近似的长方体.如果将圆柱的底面划分得更细，即扇形的数量更多，那么拼接得到的立体图形就会越接近一个真正的长方体.
由于体积没有发生变化，因此可以通过求切拼后的长方体的体积来求圆柱的体积.切拼后得到的长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高.于是可以得出结论：
圆柱的体积等于其底面积与高的乘积，即
V=S底h.
其中，V表示圆柱的体积，S底表示它的底面积，h表示它的高.
学习方法：用纸卷一卷，观察展开图；体积公式可类比长方体，底面积乘高。注意区分半径和直径。
易错点：表面积漏加底面；计算时混淆h和r；单位统一问题。
题型一 圆柱的认识（共1小题）
【典例1】下列几何体中是圆柱的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】识别选项中的几何体即可得到答案．
【解答】解：A．是长方体，不合题意；
B．是三棱锥，不合题意；
C．是圆柱，符合题意；
D．是圆锥，不合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了圆柱的认识，关键是圆柱特征的熟练掌握．
【即学即练1】求圆柱形游泳池的占地面积．就是求泳池的（　　）
A．侧面积 B．底面积 C．表面积 D．体积
【分析】根据圆柱形游泳池的占地面积是指其底部与地面接触部分的面积可得答案．
【解答】解：求圆柱形游泳池的占地面积．就是求泳池的底面积，
综上所述，只有选项B正确，符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了圆柱的认识，关键是掌握圆柱的特征．
题型二 圆柱的展开图（共4小题）
【典例1】一个圆柱体的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比为（　　）
A．1：2π B．1：π C．1：4π D．2：π
【分析】设圆柱的底面半径为r，由于圆柱体的侧面展开图是一个正方形，所以正方形的边长为底面圆的周长，即2πr，则圆柱的高为2πr，然后计算这个圆柱的底面直径与高的比．
【解答】解：设圆柱的底面半径为r，则这个圆柱的底面直径为2r，
∵圆柱体的侧面展开图是一个正方形，
∴正方形的边长为2πr，
∴圆柱的高为2πr，
∴这个圆柱的底面直径与高的比＝2r：2πr＝1：π．
故选：B．
【点评】本题考查了圆柱的计算：圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．
【典例2】小明用如图所示的涂料滚筒刷从左到右滚涂墙壁，则下列平面图形可能符合涂料滚筒刷涂出的图案的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题可由圆柱体的基本性质入手，结合图中图形进行分析即可．
【解答】解：由胶漆滚得图形可得，最左边中间为一小黑正方形，胶漆滚从左到右，则最先留下印记的即为中间有一小黑正方形的图形．
故选：A．
【点评】本题考查圆柱的展开图，平面图形的基本知识，看清题中图形是解题的关键．
【典例3】如图所示，将一个长为12dm、宽为6dm的长方形铁片沿宽卷成一个圆桶，另加一个底面，则这个圆桶的最大容积是 　72L （π取3）．
【分析】用长方形加工成一个圆筒，长边作底面周长，短边作高时体积最大，据此解答即可．
【解答】解：3×（）＝72（L），
故答案为：72L．
【点评】本题考查了圆柱的展开图，熟记用长方形加工成一个圆筒，长边作底面周长，短边作高时体积最大是解题的关键．
【典例4】把一个圆柱体的侧面展开后得到一个长方形，长方形的长是4π厘米，宽是2π厘米，这个圆柱体的底面半径是 　2或1　 厘米．
【分析】由圆柱的侧面展开图的特点可知：圆柱的侧面展开后，当圆柱的底面周长大于圆柱的高时，得到的是一个长方形，长方形的长等于底面周长，宽等于圆柱的高；当圆柱的底面周长小于圆柱的高时，得到的是一个长方形，但此时长方形的宽是圆柱的底面周长，长是圆柱的高，由此根据圆的周长公式，考虑两种情况，分别求出这个圆柱体的底面半径．
【解答】解：（1）当圆柱的底面周长大于圆柱的高时：
4π÷π÷2＝2（厘米），
（2）当圆柱的底面周长小于圆柱的高时：
2π÷π÷2＝1（厘米），
答：这个圆柱体的底面半径是2厘米或1厘米；
故答案为：2或1．
【点评】此题主要考查了对圆柱的侧面展开图的理解，解题的关键是能够考虑两种情况．
【即学即练1】一个圆柱的侧面展开图是一个长25.12cm、宽12.56cm的长方形，这个圆柱的底面半径可能是　4或2　 cm．
【分析】分两种情况进行讨论：当长25.12cm是底面圆的周长时；当宽12.56cm是底面圆的周长时；分别根据圆的周长公式求底面半径即可．
【解答】解：当长25.12cm是底面圆的周长时，
根据圆的周长公式：l＝2πr，
底面圆的半径为：25.12÷2÷π≈25.12÷2÷3.14＝4（cm）；
当宽12.56cm是底面圆的周长时，
底面圆的半径为：12.56÷2÷π≈12.56÷2÷3.14＝2（cm）；
综上所述，这个圆柱的底面半径可能是4或2cm．
故答案为：4或2．
【点评】本题主要考查圆柱的展开图，根据题意分类讨论并列出式子是解题关键．
【即学即练2】一个圆柱的侧面展开图是一个长为21cm，宽为6cm的长方形，则圆柱的底面半径为 　3.5或1　 cm（π取3）．
【分析】分两种情况进行讨论：当长21cm是底面圆的周长时；当宽6cm是底面圆的周长时；分别根据圆的周长公式求出底面半径即可．
【解答】解：①当长21cm是底面圆的周长时，
根据圆的周长公式：l＝2πr，可得底面的半径为：21÷2÷π＝3.5（cm）；
②当宽6cm是底面圆的周长时，
根据圆的周长公式：l＝2πr，可得底面的半径为：6÷2÷π＝1（cm）；
故答案为：3.5或1．
【点评】本题主要考查圆柱的展开图，根据题意分类讨论是解题的关键．
题型三 圆柱的表面积（共7小题）
【典例1】圆柱的底面半径扩大为原来的2倍，高也扩大为原来的2倍，它的侧面积扩大为原来的（　　）倍．
A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】根据圆柱侧面积的计算公式计算即可．
【解答】解：由题意可知，底面周长C＝2πr，故底面周长扩大2倍，
侧面积S＝Ch，故它的侧面积扩大为原来的4倍．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆柱的侧面积，熟练掌握侧面积的计算公式是解题的关键．
【典例2】有一张长方形铁皮，如图，剪下图中两个圆与中间部分的长方形正好可以制成一个圆柱．关于制成的圆柱下列说法：①圆柱的高为4cm；②圆柱的高为4πcm；③圆柱的侧面积为16πcm2；④圆柱的表面积为20πcm2中，正确的是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【分析】根据长方形的长等于圆柱体的底面周长，长方形的宽为底面圆的直径以及圆柱的侧面积和表面积公式计算即可．
【解答】解：∵剪下图中两个圆与中间部分的长方形正好可以制成一个圆柱，
∴圆柱的高为2×2＝4（cm），
圆柱的侧面积为2π×2×4＝16π（cm2），
圆柱的表面积为16π+2×π×22＝24π（cm2），
∴正确的是①③．
故选：A．
【点评】本题考查了圆柱的认识和圆柱的表面积，掌握圆柱体的侧面展开图的特征以及圆柱的表面积公式是正确解答的关键．
【典例3】【面积计算】一根长1米，横截面直径是20厘米的木头浮在水面上，小明发现它正好是一半露出了水面，这根木头与水接触的面积是 　3454　 平方厘米．
【分析】根据这根木头与水接触的面积为两个底面的半圆和侧面积的一半，即一个底面圆的面积加上圆柱侧面积的一半，即圆柱表面积的一半，为：πr2+πdh÷2．
【解答】解：1m＝100cm，
底面半径：20÷2＝10（cm）
接触水的面积：102π+20π×100÷2＝100π+1000π＝3454（cm2），
故答案为：3454．
【点评】本题考查圆柱的表面积，掌握圆柱展开图形状是关键．
【典例4】如图，把一个底面周长为12.56厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积增加64平方厘米，原来这个圆柱的高是 　16　 厘米．（π取3.14）
【分析】先求出圆柱的底面半径，再求出一个切面的面积，最后求高即可．
【解答】解：∵拼成一个近似的长方体（如图），表面积增加64平方厘米，
∴长方体的一个切面的面积为32平方厘米，
∴原来这个圆柱的高是32÷（12.56÷2π）＝16厘米．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查了圆柱体积公式的推导过程，发现拼成的长方体的表面积比圆柱的表面积增加了两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面半径成为解题的关键．
【典例5】如果一个圆柱的侧面积与它的一个底面积相等，那么此圆柱叫做“完美圆柱”．若将某个“完美圆柱”的高增加1cm，其表面积增加12.56cm2，那么原来这个“完美圆柱”的表面积是　37.68　 cm2．（π取3.14）
【分析】根据“完美圆柱”的定义以及高增加后表面积的变化求出圆柱的底面半径，进而求出原来圆柱的表面积．
【解答】解：因为高增加1cm时，表面积增加12.56cm2，
即增加的面积就是侧面积的增量，
∴底面周长12.56cm，
底面半径r2cm，
底面积＝πr2＝3.14×22＝12.56cm2，
由“完美圆柱”定义，得侧面积＝12.56cm2，
原表面积＝侧面积+2×底面积＝12.56+2×12.56＝37.68cm2．
故答案为：37.68．
【点评】本题考查圆柱的侧面积、底面积和表面积的计算，解题的关键在于根据“完美圆柱”的定义以及高增加后表面积的变化求出圆柱的底面半径．
【典例6】一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽2米，直径1.2米，前轮转动三周，压路的面积是多少平方米？（π取3.14）
【分析】先求圆的周长3.14×1.2米，再求面积3.14×1.2×2＝7.536平方米即可．
【解答】解：3×3.14×1.2×2＝22.608（平方米）．
答：压路的面积是22.608平方米．
【点评】本题主要考查了圆柱的展开图，解题关键是弄清题目数量关系．
【典例7】悦悦是一个活泼好动热爱思考的好孩子，一天她将放在操场角落里一个高6分米的铁皮油桶放倒，并在地上滚了一圈，顺手拿起体育老师放在旁边的卷尺进行测量，量得其痕迹长12.56分米．热爱思考的悦悦想：制作这个油桶至少需要多少平方分米的铁皮呢？请聪明的你帮助悦悦算一算．（π取3.14）
【分析】根据痕迹长12.56分米，可求出底面圆的半径为2分米，再计算圆柱的表面积即可．
【解答】解：底面圆的半径为2（分米），
12.56×6+2×3.14×22
＝75.36+25.12
＝100.48（平方分米），
答：制作这个油桶至少需要100.48平方分米的铁皮．
【点评】本题考查了圆柱的表面积，熟练掌握圆柱的表面积公式是关键．
【即学即练1】如图，用塑料薄膜搭建一个截面为半圆的暖房，至少需要塑料薄膜　（）π（平方米）　 平方米．
【分析】通过观察图形可知，这个大棚的形状是半圆柱，需要塑料薄膜的面积等于这个圆柱侧面积的一半加上一个底面的面积，根据圆柱的侧面积公式：S＝2πrh，圆的面积公式：S＝πr2，长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答．
【解答】解：用塑料薄膜搭建一个截面为半圆的暖房，至少需要塑料薄膜：
（）2π π b＝（）π（平方米）．
∴至少需要塑料薄膜（）π（平方米）．
故答案为：（）π（平方米）．
【点评】此题主要考查圆柱的表面积公式的灵活运用关，关键是熟记公式．
【即学即练2】把一根圆柱形木料截成3段，表面积增加了45.12平方厘米，这根木料的底面积是 　11.28　 平方厘米．
【分析】根据题意可知，把这根圆柱形木料横截成3段，表面积比原来增加4个截面的面积，据此解答即可．
【解答】解：45.12÷4＝11.28（平方厘米）；
答：这根木料的底面积是11.28平方厘米．
故答案为：11.28．
【点评】此题考查的是圆柱的表面积，关键是明确：把这根圆柱形木料横截成3段，表面积比原来增加4个截面的面积．
题型四 圆柱的体积（共9小题）
【典例1】如果将一个圆柱的底面半径扩大为原来的2倍，高也扩大为原来的3倍，那么新的圆柱体积扩大为原来的（　　）倍．
A．6 B．12 C．18 D．36
【分析】根据圆柱体积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：设变化前圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的体积为πr2h，
变化后圆柱的底面半径为2r，高为3h，则圆柱的体积为π×（2r）2×3h＝12πr2h，
所以新的圆柱体的体积为原来的12倍，
故选：B．
【点评】本题考查圆柱的体积，掌握圆柱体积等于底面积乘以高是正确解答的关键．
【典例2】圆柱的底面半径扩大为原来的3倍，高缩小到原来的，则体积扩大到原来的（　　）倍．
A．3 B．27 C．不变 D．9
【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，再根据因数与积的变化规律，圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，底面积就扩大到原来的（3×3）倍，高缩小到原来的，它的体积扩大到原来的倍．据此解答即可．
【解答】解：根据题意可得，，
圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，底面积就扩大到原来的（3×3）倍，高缩小到原来的，它的体积扩大到原来的3倍，
答：它的体积就扩大到原来的3倍．
故选：A．
【点评】本题主要考查圆柱的体积，关键是圆柱体积公式的灵活运用．
【典例3】如图，水箱中有大小两种球，根据示意图，可得大球的体积是（　　）立方厘米．
A．6 B．8 C．14 D．16
【分析】先把图中“一大一小“两个球看作一个整体，然后由示意图中最后两种测量方法求出3个小球的体积，进而得到一个小球的体积，再由“一大一小”两球的体积和求出大球的体积．
【解答】解：根据示意图可知，“一大一小”2个球的体积为20ml，“一大四小”5个球的体积为38ml．
将”一大一小“两个球看为整体，可得3个小球的体积为：
38﹣20＝18（ml）．
∴一个小球的体积为：18÷3＝6（ml）．
∴一个大球的体积为：20﹣6＝14（ml）．
故答案为：C．
【点评】本题考查了圆柱的体积，整体思想方法的应用．把“一大一小”两个球看作一个整体，求出3个小球的体积，是解答本题的关键．
【典例4】一整瓶水，喝去一部分后，剩余的如图所示，喝去 　270　 cm3水．（π取3）
【分析】观察左右两个瓶子可知喝去的水的体积为右图中剩余部分的体积，根据圆柱的体积公式计算即可．
【解答】解：根据圆柱的体积公式得：
喝去的水的体积为：πr2h＝3×32×（30﹣20）＝270（cm3）．
故答案为：270．
【点评】本题主要考查了计算圆柱的体积，熟练掌握圆柱的体积公式是解题的关键．
【典例5】如图，一块长方形的铁皮，利用图中的涂色部分刚好能做一个无盖的圆柱形水桶．这个水桶的容积是 　50.24　 升．（接头处忽略不计）（π取3.14）
【分析】设个水桶的底面直径为ddm，则水桶的高为ddm，根据“底面周长+直径＝长方形的长”列方程并求解，再由圆柱的体积公式计算即可．
【解答】解：设个水桶的底面直径为ddm，则水桶的高为ddm．
根据题意，得πd+d＝16.56，
解得d＝4，
π（）2d16π＝50.24（d3），
50.24dm3＝50.24L，
∴这个水桶的容积是50.24升．
故答案为：50.24．
【点评】本题考查圆柱的体积，掌握圆的周长及圆柱的体积公式是解题的关键．
【典例6】为了维护校园安全，在校门口配备了圆柱形升降阻车桩，如图所示，它的体积是7260πcm3，高h为60cm，则底面半径r是　11　 cm．
【分析】把数值代入圆柱的体积公式中即可求出结果．
【解答】解：∵V＝πr2h，
∴7260π＝π×r2×60，
解得r＝11（负值舍去），
∴圆柱的底面半径为11cm，
故答案为：11．
【点评】本题考查了圆柱的体积，解题的关键是运用圆柱的体积公式．
【典例7】在高速公路的修建过程中，需要开凿出一条过山隧道．工程设计师画出了隧道的示意图（如图），隧道全长为1300米，截图上半部分是半圆，下半部分是长方形，长方形的长是10米、宽是2米．请你计算出挖掘这条隧道能挖出多少立方米的土石？
【分析】根据圆柱的体积和长方体的体积公式计算即可．
【解答】解：3.14×（）2×130010×2×1300
＝51025+26000
＝77025（立方米），
答：挖掘这条隧道能挖出77025立方米的土石．
【点评】本题考查了圆柱的体积公式和长方体的体积公式，关键是熟练记住公式．
【典例8】如图，阴影部分的两个圆和一个长方形铁皮，正好可以做成一个油桶，求油桶的容积．（π取3）
【分析】根据题意找出半径以及高，计算出体积即可得到答案．
【解答】解：直径：24÷（1+3）＝6（分米），
半径：6÷2＝3（分米），
3×32×（6×2）＝324（立方分米），
324立方分米＝324升．
答：油桶的容积为324升．
【点评】此题考查了圆柱的体积计算公式，熟练掌握圆柱的体积计算公式是解题的关键．
【典例9】水是生命之源，有研究表明初中生按体重每日需水量为30～35毫升/千克．根据小明的实际体重，扣除食物水分，营养师建议他每日直接饮水量为1.62升；如果他用圆柱形水杯喝水（底面圆的直径为6厘米，高为10厘米），且每次盛满水并喝完，那么他每日需用这样的杯子喝多少杯水？（1升＝1000立方厘米，π的值取3）
【分析】根据圆柱的体积公式求出圆柱形水杯的容积，从而计算他每日需用这样的杯子喝多少杯水即可．
【解答】解：圆柱形水杯的容积为（6÷2）2π×10＝270（cm3），
1.62×1000÷270＝6（杯）．
答：他每日需用这样的杯子喝6杯水．
【点评】本题考查圆柱的体积，掌握圆柱的体积计算公式是解题的关键．
【即学即练1】一个圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高扩大到原来的3倍，则这个圆柱体的体积（　　）
A．扩大到原来的12倍 B．扩大到原来的6倍
C．扩大到原来的18倍 D．缩小到原来的12倍
【分析】根据圆柱的体积公式：V＝Sh，圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高扩大到原来的3倍，则底面积扩大到原来的4倍，高扩大到原来的3倍，再根据因数与积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积，据此解答．
【解答】解：圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高扩大到原来的3倍，
则底面积扩大到原来的4倍，高扩大到原来的3倍，
那么它的体积扩大到原来的4×3＝12倍．
故选：A．
【点评】此题考查了圆柱的体积，熟练掌握圆柱的体积公式是解题的关键．
【即学即练2】水是生命之源，节约用水是我们每个公民的职责，一名学生去洗手，走时忘记关掉水龙头．若该水龙头内管直径为2cm，水流速度为15cm/s，那么十分钟浪费水的体积　9000π　 cm3．
【分析】根据圆柱的体积公式计算即可．
【解答】解：根据题意得，（）2×π×15×10×60＝9000π（cm3），
答：十分钟浪费水的体积为9000πcm3．
故答案为：9000π．
【点评】本题考查了圆柱的体积，熟练掌握圆柱的体积公式是解题的关键．
【即学即练3】把一根总长6m的圆柱形木料截成3段小圆柱，表面积比原木料增加12.4m2，这根圆柱形木料的体积是 　18.6　 m3．
【分析】根据增加的表面积是4个底面积的和，即可求出底面积，再根据圆柱的体积公式计算即可．
【解答】解：这根圆柱形木料的体积是12.4÷4×6＝18.6（m3）．
故答案为：18.6．
【点评】本题考查了圆柱的体积，熟练掌握圆柱的体积公式是关键．
【即学即练4】请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择．（不考虑制作损耗，π取3.14）
（1）你选择的材料是 　②　 号和 　③　 号．
（2）你选择的材料做成的水桶最多能装水多少千克？（1立方分米水重1千克）
【分析】（1）根据圆柱侧面展开图的特征可知，圆柱的侧面沿高展开后是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，这个长方形的宽等于圆柱的高．由此可知，有两种不同的选择，可以选①和④，也可以选②和③，据此解答．
（2）根据圆柱的容积（体积）公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出这个圆柱形水桶的容积，然后再乘每升水的质量即可．
【解答】解：（1）4×3.14＝12.56，
我选择的材料是②号和③号，
故答案为：②、③；
（2）3.14×（4÷2）2×5
＝3.14×4×5
＝62.8（立方分米），
62.8×1＝62.8（千克），
答：我选择的材料做成的水桶最多能装水62.8千克．
【点评】本题考查了圆柱的体积，解题的关键是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用圆柱的容积（体积）公式．
题型五 创新及压轴题（共6小题）
【典例1】如图1，商家销售某些饮品时会给杯子在杯身上套上一个杯套，方便拿取．小欣同学深受启发，准备为家中如图2所示的两种玻璃杯也配上杯套．（说明：整个探究过程中均忽略杯套的连接部分和杯套的厚度）．
（1）小欣家直身杯的杯口直径为7cm，她要制作高度为6cm的杯套，则此杯套的面积为 　42π　 cm2（结果保留π）；
（2）小欣发现阔口杯近似为圆台形状，如图3①所示，通过测量，杯子上口径AB＝9cm，下底面直径CD＝4cm，母线长AC、BD均为7.5cm，为了制作此杯套，如图3②，小欣画出了阔口杯的侧面展开图示意图，发现它是圆环的一部分．
①证明：弧AA′与CC′的长之比等于AP与CP之比；
②求圆心角∠APA′的度数及杯套的面积．（结果保留π）
【分析】（1）根据圆柱的侧面积列式计算即可；
（2）①根据弧长公式证明即可；
②将弧AA′用AB表示出来，CC′用CD表示出来，由①求出CP，从而求出AP，由弧长公式列关于n的方程并求解，得到圆心角∠APA′的度数，再根据扇形面积公式求出杯套的面积即可．
【解答】（1）解：7π×6＝42π（cm2），
∴此杯套的面积为42πcm2．
故答案为：42π．
（2）①证明：设圆心角∠APA′＝n°，
2π AP，2π CP，
则，
∴弧AA′与CC′的长之比等于AP与CP之比．
②解：∵π AB，π CD，
∴，即，
∴，
∴CP＝6cm，
∴AP＝AC+CP＝7.5+6＝13.5（cm），
∵2π CP＝π CD，
∴n＝120，
∴圆心角∠APA′的度数为120°，
π（AP2﹣CP2）π（cm2），
∴杯套的面积为πcm2．
【点评】本题考查圆柱的体积、圆环，掌握圆柱的侧面积、圆的周长和弧长、扇形面积计算公式是解题的关键．
【典例2】长度为8cm的素菜春卷的制作方法是：用一张大小为6cm×8cm的春卷皮把长度为8cm的豆芽卷在里面，外形呈圆柱状．有一天，菜商提供的豆芽的长度只有6cm，于是他们用另一种方式来卷春卷，得到长度为6cm的圆柱．如果这两种春卷在相接处都重叠了1cm的春卷皮，请问长度为8cm的春卷与长度为6cm的春卷的体积比是多少？
【分析】根据圆柱的体积公式，分别计算长度为8cm的春卷与长度为6cm的春卷的体积并求二者之比即可．
【解答】解：长度为8cm的春卷的体积为（）2π×8（cm3），
长度为6cm的春卷的体积为（）2π×6（cm3），
：100：147．
答：长度为8cm的春卷与长度为6cm的春卷的体积比是100：147．
【点评】本题考查圆柱的体积，掌握圆柱的体积计算公式是解题的关键．
【典例3】生活中的易拉罐、电池、圆形的笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图1所示），当把它的上底面、下底面和侧面展开后发现上底面和下底面是两个大小相同的圆，侧面是一个长方形（如图2所示
（1）一个圆柱体的铝制易拉罐上、下两个底面的半径都是4cm，侧面高为15cm，制作这样一个易拉罐需要面积多大的铝材？（不计接缝）．
（2）如果一个圆柱体的铝制装饰品的高是5cm，而且侧面的面积等于上、下两个底面面积之和，那么底面的半径是 　5　 cm．
（3）一张正方形的铝材边长是40cm，可单独用于制作（2）题中铝制装饰品的侧面或单独用于制作底面，若要使制成的侧面和底面正好能成为一套完整的装饰品，那么制作侧面的铝材张数与制作底面的铝材张数之比为 　8：9　 ．
【分析】（1）根据表面积＝侧面积+底面积×2，根据侧面积、底面积计算方法进行计算即可；
（2）根据侧面积＝底面积×2，设半径，列方程求解即可；
（3）求出利用一张正方形的纸单独做底面的个数、单独做侧面的个数，然后做几套的比即可．
【解答】解：侧面积+底面积×2得，
2π×4×15+π×42×2＝152π （cm2），
答：制作这样一个易拉罐需要面积为152π平方厘米的铝材；
（2）设半径为rcm，由题意得，
2πr×5＝2πr2，解得，r＝5，
故答案为：5．
（3）用边长是40cm正方形上，单独作半径为5cm的底面圆时，一张可以做16个圆形，8套，
用边长是40cm正方形上，单独作底面半径为5cm，高为5cm圆柱的侧面时，一张可以做9个侧面（8个横的，1个竖的），
因此做侧面与底面张数的比为8：9．
故答案为：8：9．
【点评】考查圆柱的侧面积和表面积，理解底面、侧面之间的关系和计算方法是解决问题的关键．
【典例4】你知道“木桶效应”吗？它是指一只平放的木桶能装多少水，并不取决于最长的那块木板，而是取决于最短的那块木板．如图能直观形象地说明“木桶效应”蕴含的道理．
（1）从木桶内部测量的数据，如图所示．当木桶平放时最多能装水多少立方厘米？
（2）“新木桶效应”则是一只木桶能够装多少水，并不完全取决于短板，而是可以创新地发挥长板的作用，比如把木桶斜放能装的水更多．如果把这个木桶斜放（如图），这时水桶最多能装水多少立方厘米？
【分析】（1）根据圆柱体的容积公式计算即可；
（2）将水所占的空间几何体进行分割，重新组合，按照圆柱体的体积公式计算即可．
【解答】解：（1）（20÷2）2×3.14×15
＝314×15
＝4710（立方厘米），
答：当木桶平放时最多能装水4710立方厘米；
（2）
＝2826+4710
＝7536（立方厘米），
答：把这个木桶斜放，最多能装水7536立方厘米．
【点评】本题考查圆柱的体积，关键是圆柱体积公式的熟练掌握．
【典例5】如果把一个铁块放到一个装有水的容器中，铁块会沉入水底，水面会上升，现在有一个圆柱铁柱，底面周长为25.12，把它放入一个长方体玻璃容器中．
（1）求这个圆柱的底面半径．
（2）如图，小东同学在一个长方体的玻璃容器中装了一些水，小东同学把圆柱形铁柱完全浸入水中，水面上升了8cm，他又把这个铁柱垂直拉出水面5cm，这时水面下降2cm．这个圆柱形铁柱的高是多少厘米？（玻璃厚度忽略不计）
【分析】（1）根据圆的周长公式可进行求解；
（2）首先求出这个铁柱露出水面部分的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高即可解答，用铁柱露出水面部分的体积除以2求出长方体的玻璃容器的底面积，圆柱的体积等于水面上升8厘米，这部分水的体积，利用长方体的底面积乘高除以圆柱的底面积即可求出圆柱的高度．
【解答】解：（1）25.12÷3.14÷2＝4（cm）；
答：这个圆柱的底面半径4cm．
（2）依题意得：圆柱露出水面部分的体积为：3.14×42×5＝251.2（cm3）；
这个长方体的玻璃容器的底面积为：251.2÷2＝125.6（cm2）；
125.6×8÷（3.14×42）
＝125.6×8÷（3.14×16）
＝1004.8÷50.24
＝20（cm），
答：这个圆柱形铁柱的高是20厘米．
【点评】本题考查了圆柱的体积，有理数的加减混合运算，解答本题的关键是熟练掌握圆柱的体积计算公式．
【典例6】为探究“雨水”节气期间的降雨量，“乐学”小组开始了综合实践学习，他们首先制作了一个雨量器，雨量器主要由一个储水瓶、一个漏斗和一个承雨筒构成．
（1）要了解这个储水瓶（如图所示）最多能接多少毫升雨水，可以怎样操作？写出你的操作过程．
（2）为保护雨量器立稳不倒，小组决定在网上定制一个无盖圆柱形铁桶，把雨量器放在里面，如图所示．做这个铁桶至少需要多少铁皮？
（3）经过24小时的收集，储水瓶中收到的雨水高5.5厘米．把这些雨水倒入底面直径是20厘米的圆柱形雨量杯中，算一算，雨水节气期间这一天的降雨量是多少毫米？
注：降雨量一般指在一定时段内降落到水平地面上的雨水深度，通常用底面直径是20厘米的圆柱形雨量杯来测量雨水深度，降雨量一般用毫米作单位．
【分析】（1）理解题意，则在蓄水瓶中装入一些水，量出其高度，然后把蓄水瓶倒置，量出空白部分的高度，进行作答即可；
（2）根据圆柱的表面积进行列式计算，即可作答．
（3）因为经过24小时的收集，储水瓶中收到的雨水高5.5厘米．把这些雨水倒入底面直径是20厘米的圆柱形雨量杯中，进行列式8.14×（16÷2）2×5.5÷[3.14×（20÷2）2]＝3.52cm，即可作答．
【解答】解：（1）在蓄水瓶中装入一些水，量出其高度，然后把蓄水瓶倒置，量出空白部分的高度，则蓄水瓶的容积＝底面积×（正放时水的高度+倒置时空白部分高度）；
（2）3.14×20×（15+10+5+50）+3.14×（20÷2）2＝5338（平方厘米），
答：做这个铁桶至少需要5338平方厘米；
（3）3.14×（16÷2）2×5.5÷[3.14×（20÷2）2]＝3.52（厘米）＝35.2毫米，
答：雨水节气期间这一天的降雨量是35.2毫米．
【点评】本题考查了圆柱的体积，表面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【练习1】把一个底面积为6平方分米、高10分米的圆柱铁块熔铸成长方体长6分米、宽5分米，则长方体的高是　2　 分米．
【分析】根据熔铸前后体积不变解答即可．
【解答】解：设长方体的高为h，
∵熔铸前后体积不变，
∴6×10＝6×5×h，
∴h＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查圆柱的体积，关键是根据熔铸前后体积不变解答．
【练习2】玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为 　128π　 cm3．
【分析】根据圆柱的体积公式计算即可．
【解答】解：杯中水的体积为π（）2×4π（）2×（12﹣4）＝64π+64π＝128π（cm3）．
故答案为：128π．
【点评】本题考查圆柱的体积，熟练掌握圆柱的体积公式是解题的关键．
【练习3】一支牙膏的出口处直径为5毫米，每次挤1厘米长的牙膏，可以用40次，这支牙膏的容积是　7850　 立方毫米（圆周率取3.14），
【分析】先求出一次挤出的体积，再乘以40，求出总体积，即得出答案．
【解答】解：1厘米＝10毫米，
这只牙膏的容积是：
＝7850（立方毫米），
故答案为：7850．
【点评】本题主要考查了圆柱的体积公式，掌握其相关知识点是解题的关键．
【练习4】如图所示，将圆柱切拼成一个近似的长方体．长方体的长约为15.7厘米，宽是5厘米，高是8厘米．那么圆柱的底面积等于 　78.5　 平方厘米；圆柱的体积等于 　628　 立方厘米．
【分析】圆柱切拼成一个近似的长方体后高不变，根据圆柱和长方体体积公式，圆柱的底面积等于长方体的底面积；切拼前后，体积不变．
【解答】解：15.7×5＝78.5（平方厘米），
15.7×5×8＝628（立方厘米），
∴圆柱的底面积等于78.5平方厘米，圆柱的体积等于628立方厘米．
故答案为：78.5，628．
【点评】本题考查圆柱的体积和表面积，掌握圆柱和长方体的体积计算公式是解题的关键．
【练习5】如图，有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是300毫升，现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分高度为5厘米，瓶内现有饮料　250　 毫升．
【分析】由图可得正放时空余部分的体积等于倒放时5厘米高度圆柱的体积，进而可得整个瓶子的容积等于底面积不变，高为25厘米的圆柱的体积，进而可得饮料体积占瓶子容积的，由此可解．
【解答】解：瓶内现有饮料（毫升），
故答案为：240．
【点评】本题考查分数乘法的应用，解题的关键是掌握圆柱体的体积公式．
【作业1】营养学家建议：儿童每天喝水的摄入量约为1.5L，小强每天用底面直径8cm，高10cm的圆柱形水杯喝水（水杯厚度忽略不计），他至少喝（　　）杯水能达到要求．（π取3.14）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】本题主要考查了圆柱的体积计算，用需要摄入的水的体积除以圆柱形水杯的体积即可得到答案．
【解答】解：1.5×1000÷[10×3.14×（8÷2）2]
＝1500÷31.4×16
≈2.99，
所以他至少要喝3杯水才能达到要求，
故选：C．
【点评】本题考查了圆柱体积，根据已知求水杯的容积是解答本题的关键．
【作业2】请你用转化的数学思想方法解决下面的数学问题．一个瓶子里装有一些水，如图，根据图中所给的信息，请计算出瓶中水的体积所占瓶子的容积的（　　）
A． B． C． D．
【分析】瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积，即底面积×12+底面积×（21﹣15），也就是底面积×18；水的体积为底面积×12，即可得到答案．
【解答】解：∵瓶子的容积＝底面积×12+底面积×（21﹣15）＝底面积×18，水的体积＝底面积×12，
∴瓶中水的体积：瓶子容积＝（底面积×12）：（底面积×18），
故选：A．
【点评】本题考查了圆柱的体积计算，比的应用，掌握其性质是解题的关键．
【作业3】小聪用一张A4纸分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱，这两个圆柱相比较，下面的说法正确的是（　　）
A．体积相等 B．底面积相等
C．表面积相等 D．侧面积相等
【分析】以长为轴旋转一周，长即为所得圆柱的高，宽则为底面半径；以宽为轴旋转一周，宽即为所得圆柱的高，长则为底面半径；用字母分别表示A4纸的长与宽，再按公式分别求出相应的侧面积、底面积、体积，进而匹配相应的结论．
【解答】解：设A4纸的长为a，宽为b，a＞b，则有：
以长边为轴旋转一周得到的圆柱的侧面积为2πab，底面积为πb2，体积为πab2；
以宽边为轴旋转一周得到的圆柱侧面积为2πab，底面积为πa2，体积为πa2b；
所以两种方法旋转一周所得圆柱的侧面积相等．
故选：D．
【点评】本题考查圆柱的表面积，圆柱的体积，掌握圆柱体表面积、体积的计算方法是正确解答的关键．
【作业4】容器中装水与出水口齐平，两次分别放入大球与小球，收集溢出的水（如图，单位：厘米）．每个小球的体积可能是（　　）立方厘米．
A．50 B．100 C．150 D．180
【分析】第一次放入2个大球1个小球，第二次放入2个大球11个小球，第二次比第一次多放了10个小球．第二次水面上升的高度大约是（20﹣10）厘米．用溢出容器的底面积乘水面上升的高度就是10个小球的体积，进而求出1个小球的体积即可．
【解答】解：10×10×（20﹣10）÷10
＝100×10÷10
＝100（立方厘米），
故答案为：B．
【点评】本题主要考查圆柱的体积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【作业5】把棱长6厘米的正方体木块削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是 　54π　 立方厘米．
【分析】根据已知中，将棱长为6厘米的正方体木块切削成一个体积最大的圆柱，结合正方体和圆柱的结构特征，我们可以求出圆柱的半径和高，代入圆柱的体积即可．
【解答】解：棱长为6厘米的正方体木块，削成一个最大的圆柱时，
圆柱的直径等于正方体的棱长6厘米，圆柱的高也等于正方体的棱长6厘米，
则圆柱的半径R＝3厘米，
则圆柱的体积V＝π×32×6＝54π（立方厘米）．
故答案为：54π．
【点评】本题考查的知识点是圆柱的体积，其中根据正方体和圆柱的结构特征，求出圆柱的半径和高，是解答本题的关键．
【作业6】把一个底面半径是2分米，长为9分米的圆柱形木料锯成长短不同的三小段圆柱形木料，表面积增加了 　16π　 平方分米（结果保留π）．
【分析】锯成长短不同的三小段圆柱形木料，增加了4个圆柱的底面，求出底面积乘以4即可．
【解答】解：4×π×22＝16π（平方分米）．
故答案为：16π．
【点评】本题考查了圆柱的计算，掌握圆的面积公式是解题的关键．
【作业7】一个内直径是8cm的瓶子里，水的高度是7cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是18cm．这个瓶子的容积是 　1256ml ．
【分析】从图中可知，瓶子正放时，空白部分是一个不规则图形；瓶子倒置之后，空白部分正好是一个圆柱形；因为瓶子的容积、水的体积都不变，所以瓶子正放和倒置时的空白部分的容积相等，那么这个瓶子的容积＝水的体积+倒置时空白部分的容积，根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，代入数据计算即可解答；注意单位的换算：1cm3＝1mL．
【解答】解：3.14×（8÷2）2×7+3.14×（8÷2）2×18
＝3.14×16×7+3.14×16×18
＝3.14×16×（7+18）
＝3.14×16×25
＝3.14×400
＝1256（cm3），
1256cm3＝1256mL．
故答案为：1256ml．
【点评】本题考查了圆柱体的体积，关键是圆柱体积公式的熟练掌握．
【作业8】某茶厂今年喜获丰收，如图为该厂的盒装茶叶产品，形状为圆柱体，经测量，这个圆柱的底面半径是4厘米，高是12厘米．
（1）这一个茶叶盒能装多少立方厘米茶叶？（不考虑茶叶盒材料的厚度，π取3）（V圆柱＝πr2h）．
（2）如果每立方厘米茶叶重1克，6盒这种茶叶重多少克？（π取3）
【分析】（1）根据圆柱体的体积公式计算即可；
（2）用一个茶叶盒能装的茶叶量乘以每立方厘米茶叶重量与盒数即可得到答案．
【解答】解：（1）3×42×12＝576（立方厘米）．
答：这一个茶叶盒能装576立方厘米茶叶．
（2）576×1×6＝3456（克）．
答：如果每立方厘米茶叶重1克，6盒这种茶叶重3456克．
【点评】此题考查了有理数的混合运算的应用、圆柱的体积，读懂题意并准确计算是解题的关键．
【作业9】某工厂要锻造一个直径为100mm，高为80mm的圆柱形实心毛坯，需截取一段直径为80mm的圆柱形实心钢材作为原材料，如图，那么这段原材料的高x应为多少mm？（列方程解答，锻造前后钢材体积不变）
【分析】由锻造前后钢材体积不变建立方程求解即可．
【解答】解：由锻造前后钢材体积不变建立方程：
，
解得x＝125，
答：需截取直径为80mm的圆柱形钢材的高x应为125mm．
【点评】本题考查圆柱的体积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【作业10】如图，沿长方形纸片上的虚线剪下的阴影部分，恰好能围成一圆柱，设圆半径为r，高为h．
（1）用含r，h的代数式表示圆柱的体积；
（2）当r＝3cm，h＝8cm，求圆柱的体积和表面积（用含π的式子表示）．
【分析】（1）根据圆柱的体积公式V＝πr2h作答即可；
（2）分别根据圆柱的体积公式V＝πr2h和圆柱的表面积公式S＝2πr2+2πrh作答即可．
【解答】解：（1）V＝πr2h．
（2）当r＝3cm，h＝8cm时，体积：π×32×8＝72π（cm3）；
表面积：2πr2+2πrh＝2π×32+2π×3×8＝18π+48π＝66π（cm2）．
【点评】本题考查了圆柱的表面积公式和体积公式，掌握公式是解题的关键．
【作业11】食用油桶的数学问题
（1）圆柱形食用油桶，底面直径20cm，高45cm．要给油桶侧面贴一圈宣传标签（上下底不贴），这张标签纸面积至少要多大？
（2）每次炒菜，用勺子舀出的油可近似看作底面直径3cm，高4cm的小圆柱，一勺油的体积约是多少立方厘米？
【分析】（1）根据圆柱侧面积公式计算即可；
（2）根据圆柱的体积公式计算即可．
【解答】解：（1）20π×45＝900π（cm2）．
答：这张标签纸面积至少要900πcm2．
（2）（）2π×4＝9π（cm3）．
答：一勺油的体积约是9πcm3．
【点评】本题考查圆柱的体积，掌握圆柱的侧面积和体积计算公式是解题的关键．
【作业12】一个装满水的矿泉水瓶，内直径是8厘米．小亮喝了一些，水的高度还有12厘米，把瓶盖拧紧后倒置放平无水部分高10厘米．小亮喝了多少水？
【分析】因为原来瓶是装满水的，所以喝的水量就是倒置后无水部分的体积，根据圆柱体的体积公式：V＝Sh＝π（d÷2）2h，h＝10厘米，d＝8厘米代入计算，即可得解．
【解答】解：3.14×（8÷2）2×10
＝3.14×42×10
＝3.14×16×10
＝502.4（立方厘米）
＝502.4（毫升），
答：小亮喝了502.4毫升水．
【点评】本题考查了圆柱体积公式的应用，掌握其相关知识是解题的关键．
【作业13】如图1所示，这是一个破损的木桶（木板厚度忽略不计，π取3）
（1）把木桶平放时，这个木桶最多能盛水多少立方厘米？
（2）把木桶斜放时（如图2所示），请估计此时木桶最多能盛水多少立方厘米？（直接写出答案）
【分析】（1）根据公式，代入数据进行计算即可求解；
（2）根据题意木桶斜放时比（1）中的体积多了，列式计算即可求解．
【解答】解：（1），
答：木桶最多能盛水47628cm3；
（2）13230+47628＝60858（cm3），
答：估计木桶最多能盛水60858cm3．
【点评】本题考查了圆柱的体积计算，掌握其相关知识点是解题的关键．
【作业14】笑笑在一个长方体的玻璃容器中装了一些水，他把一个底面半径为4厘米的圆柱形铁块完全浸入水中，发现水面上升了8厘米．他又把这个铁块垂直拉出水面5厘米，这时水面下降2厘米（如图所示，玻璃厚度忽略不计）．
（1）这个铁块露出水面部分的体积是多少？（π取3）
（2）这个铁块的体积是多少？（π取3）
（3）这个铁块的体积占玻璃容器容积的几分之几？
【分析】（1）根据圆柱的体积公式进行求解即可；
（2）先求出玻璃容器的底面积，然后求出铁块的体积即可；
（3）先求出玻璃容器的体积，再求出铁块的体积占玻璃容器容积的几分之几即可．
【解答】解：（1）露出水面部分的体积是：3×42×5＝3×16×5＝240（立方厘米）；
（2）由条件可知玻璃容器的底面积为：240÷2＝120（平方厘米），
∵把一个底面半径为4厘米的圆柱形铁块完全浸入水中，水面上升了8厘米，
∴铁块的体积为：
120×8＝960（立方厘米）；
（3）玻璃容器的体积为：120×30＝3600（立方厘米），
，
∴这个铁块的体积占玻璃容器容积的．
【点评】本题主要考查了圆柱的体积，长方体的体积，解题的关键是熟练掌握圆柱的体积公式和长方体的体积公式．
【作业15】为测量一个不规则铁块的体积，一个学习小组做了以下实验．
①用天平称出这个铁块的质量是1.7千克；
②一个圆柱形容器从里面测量出底面半径是4厘米；
③从里面量出圆柱形容器的高是15厘米；
④在容器里注入一定量的水，量出水面高度是6厘米；
⑤将铁块浸没在水中（水没溢出），量出水面高度为9厘米．
（1）要求出这个铁块的体积，上面哪些信息是必须的？把它们的序号写在横线上：　②④⑤　 ．
（2）请根据选出的信息，求出这个铁块的体积．
【分析】（1）根据用“排水法’测量实物体积的方法，这个铁块的体积等于圆柱形容器内水上升的体积，结合圆柱的体积公式V＝πr2h，可知要求出这个铁块的体积，需要知道圆柱形容器的底面半径以及水上升的高度，据此结合题意分析解答即可．
（2）利用圆柱的体积公式V＝πr2h，求解即可．
【解答】解：（1）②从里面测量出一个圆柱形容器的底面半径是4厘米；④在容器里注入一定量的水，从里面量出水面高度为6厘米；③将铁块完全浸没水中（水没溢出），从里面量出水面高度为9厘米是必须的，符合题意．
（2）3.14×42×（9﹣6）＝3.14×48＝150.72（立方厘米），
答：这个铁块的体积是150.72立方厘米．
【点评】本题考查了用“排水法’测量实物体积的方法，掌握相关知识是解决问题的关键．第7讲 圆柱及其侧面展开图 精讲提升培优讲义
2026年沪教新版六年级下8.1
认识圆柱，掌握圆柱的侧面积、表面积、体积公式，并能解决实际问题。
*本讲义内容设置：①重点知识梳理；②典例精讲；③创新及压轴题；④课后针对性练习。
知识点一 圆柱的有关概念
在日常生活中，除了长方体和正方体，我们还会看到地铁站里的柱子、不锈钢桶、笔筒、木块等,这些物体都给我们呈现了如图8-1-2所示的立体图形的形象.
操作 如图8 - 1 - 3,将长方形OAA'O'以它的一条边OO '所在的直线为轴顺时针(或逆时针)方向旋转一周，形成怎样的立体图形
我们发现，按上述操作，所得到的立体图形与图8-1-2的立体图形一样. 我们把像这样的立体图形叫作圆柱体，简称圆柱.因此，圆柱也可以看成是以长方形的一条边所在的直线为轴旋转一周而成的立体图形.
如图8-1-4,在圆柱中，我们把上、下两个圆形叫作圆柱的底面，夹在两个底面之间的曲面叫作圆柱的侧面.
两个底面圆心O 、O '之间的距离叫作圆柱的高，有时也 把线段0O'称为圆柱的高.
如图8-1-3,长方形的边OA 、O'A '旋转形成圆柱的两个底面，它们是两个半径相等的圆形.长方形的边AA'旋转形成圆柱的侧面.线段AA'叫作圆柱的母线，它转动到任何位置，都是圆柱的母线，易知母线的长等于圆柱的高.
知识点二 圆柱的侧面展开图
操作 沿着圆柱的任意一条母线把圆柱的侧面剪开，然后铺在平面上，可以得到一个怎样的图形 得到的这个图形的面积与圆柱的底面、母 线之间会有怎样的关系呢
我们发现，将一个圆柱的侧面按上述操作(沿母线AA '剪开)得到的图形是一个长方形，如图8-1-5所示.我们把它称为圆柱的侧面展开图.长方形的边AA'是圆柱的母线，它的长度等于圆柱的高；边AA 的长度等于底面的周长.圆柱的侧面积可以从它的侧面展开图得出，这就得到结论：
圆柱的侧面积等于它的底面周长和母线长的乘积，即
S侧=Cl=2πrl=2πrh.
其中，S侧表示圆柱的侧面积，r、C、l和h分别表示它的底面半径、底面周长、母线长和高.
知识点三 圆柱的表面积与体积
与长方体的表面积、体积一样，圆柱所有面的面积之和叫作圆柱的表面积，圆柱所占空间的大小叫作圆柱的体积.
1.圆柱的表面积：圆柱的表面由它的侧面和两个底面组成.因此，圆柱的表面积等于它的侧 面积与两个底面积的和，即
其中 ，S表、S 侧 和S底分别表示圆柱的表面积、侧面积和底面积，r 和h分别表示它的底面半径和高.
2.圆柱的体积：
回顾前面圆的面积计算公式的探究过程：将一个圆等分成越多的扇形， 然后按照一定方式拼接起来，生成的平面图形将越接近一个长方形.
现在能否类比圆的面积计算公式的探究过程，将求一个圆柱的体积转化为求一个长方体的体积呢
如图8-1-8,我们可以将圆柱的底面等分为许多扇形，然后沿着扇形的半 径将圆柱切开，并重新拼接起来，最终得到一个近似的长方体.如果将圆柱的底面划分得更细，即扇形的数量更多，那么拼接得到的立体图形就会越接近一个真正的长方体.
由于体积没有发生变化，因此可以通过求切拼后的长方体的体积来求圆柱的体积.切拼后得到的长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高.于是可以得出结论：
圆柱的体积等于其底面积与高的乘积，即
V=S底h.
其中，V表示圆柱的体积，S底表示它的底面积，h表示它的高.
学习方法：用纸卷一卷，观察展开图；体积公式可类比长方体，底面积乘高。注意区分半径和直径。
易错点：表面积漏加底面；计算时混淆h和r；单位统一问题。
题型一 圆柱的认识（共1小题）
【典例1】下列几何体中是圆柱的是（　　）
A． B．
C． D．
【即学即练1】 求圆柱形游泳池的占地面积．就是求泳池的（　　）
A．侧面积 B．底面积 C．表面积 D．体积
题型二 圆柱的展开图（共4小题）
【典例1】一个圆柱体的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比为（　　）
A．1：2π B．1：π C．1：4π D．2：π
【典例2】小明用如图所示的涂料滚筒刷从左到右滚涂墙壁，则下列平面图形可能符合涂料滚筒刷涂出的图案的是（　　）
A． B．
C． D．
【典例3】如图所示，将一个长为12dm、宽为6dm的长方形铁片沿宽卷成一个圆桶，另加一个底面，则这个圆桶的最大容积是 　 　 （π取3）．
【典例4】把一个圆柱体的侧面展开后得到一个长方形，长方形的长是4π厘米，宽是2π厘米，这个圆柱体的底面半径是 　 　 厘米．
【即学即练1】一个圆柱的侧面展开图是一个长25.12cm、宽12.56cm的长方形，这个圆柱的底面半径可能是　 　 cm．
【即学即练2】一个圆柱的侧面展开图是一个长为21cm，宽为6cm的长方形，则圆柱的底面半径为 　 　 cm（π取3）．
题型三 圆柱的表面积（共7小题）
【典例1】圆柱的底面半径扩大为原来的2倍，高也扩大为原来的2倍，它的侧面积扩大为原来的（　　）倍．
A．2 B．4 C．8 D．16
【典例2】有一张长方形铁皮，如图，剪下图中两个圆与中间部分的长方形正好可以制成一个圆柱．关于制成的圆柱下列说法：①圆柱的高为4cm；②圆柱的高为4πcm；③圆柱的侧面积为16πcm2；④圆柱的表面积为20πcm2中，正确的是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【典例3】【面积计算】一根长1米，横截面直径是20厘米的木头浮在水面上，小明发现它正好是一半露出了水面，这根木头与水接触的面积是 　 　 平方厘米．
【典例4】如图，把一个底面周长为12.56厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积增加64平方厘米，原来这个圆柱的高是 　 　 厘米．（π取3.14）
【典例5】如果一个圆柱的侧面积与它的一个底面积相等，那么此圆柱叫做“完美圆柱”．若将某个“完美圆柱”的高增加1cm，其表面积增加12.56cm2，那么原来这个“完美圆柱”的表面积是　 　 cm2．（π取3.14）
【典例6】一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽2米，直径1.2米，前轮转动三周，压路的面积是多少平方米？（π取3.14）
【典例7】悦悦是一个活泼好动热爱思考的好孩子，一天她将放在操场角落里一个高6分米的铁皮油桶放倒，并在地上滚了一圈，顺手拿起体育老师放在旁边的卷尺进行测量，量得其痕迹长12.56分米．热爱思考的悦悦想：制作这个油桶至少需要多少平方分米的铁皮呢？请聪明的你帮助悦悦算一算．（π取3.14）
【即学即练1】如图，用塑料薄膜搭建一个截面为半圆的暖房，至少需要塑料
薄膜　 　 平方米．
【即学即练2】把一根圆柱形木料截成3段，表面积增加了45.12平方厘米，这根木料的底面积是 　 　 平方厘米．
题型四 圆柱的体积（共9小题）
【典例1】如果将一个圆柱的底面半径扩大为原来的2倍，高也扩大为原来的3倍，那么新的圆柱体积扩大为原来的（　　）倍．
A．6 B．12 C．18 D．36
【典例2】圆柱的底面半径扩大为原来的3倍，高缩小到原来的，则体积扩大到原来的（　　）倍．
A．3 B．27 C．不变 D．9
【典例3】如图，水箱中有大小两种球，根据示意图，可得大球的体积是（　　）立方厘米．
A．6 B．8 C．14 D．16
【典例4】一整瓶水，喝去一部分后，剩余的如图所示，喝去 　 　 cm3水．（π取3）
【典例5】如图，一块长方形的铁皮，利用图中的涂色部分刚好能做一个无盖的圆柱形水桶．这个水桶的容积是 　 　 升．（接头处忽略不计）（π取3.14）
【典例6】为了维护校园安全，在校门口配备了圆柱形升降阻车桩，如图所示，它的体积是7260πcm3，高h为60cm，则底面半径r是　 　 cm．
【典例7】在高速公路的修建过程中，需要开凿出一条过山隧道．工程设计师画出了隧道的示意图（如图），隧道全长为1300米，截图上半部分是半圆，下半部分是长方形，长方形的长是10米、宽是2米．请你计算出挖掘这条隧道能挖出多少立方米的土石？
【典例8】如图，阴影部分的两个圆和一个长方形铁皮，正好可以做成一个油桶，求油桶的容积．（π取3）
【典例9】水是生命之源，有研究表明初中生按体重每日需水量为30～35毫升/千克．根据小明的实际体重，扣除食物水分，营养师建议他每日直接饮水量为1.62升；如果他用圆柱形水杯喝水（底面圆的直径为6厘米，高为10厘米），且每次盛满水并喝完，那么他每日需用这样的杯子喝多少杯水？（1升＝1000立方厘米，π的值取3）
【即学即练1】一个圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高扩大到原来的3倍，则这个圆柱体的体积（　　）
A．扩大到原来的12倍 B．扩大到原来的6倍
C．扩大到原来的18倍 D．缩小到原来的12倍
【即学即练2】水是生命之源，节约用水是我们每个公民的职责，一名学生去洗手，走时忘记关掉水龙头．若该水龙头内管直径为2cm，水流速度为15cm/s，那么十分钟浪费水的体积　 　 cm3．
【即学即练3】把一根总长6m的圆柱形木料截成3段小圆柱，表面积比原木料增加12.4m2，这根圆柱形木料的体积是 　 　 m3．
【即学即练4】请你制作一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择．（不考虑制作损耗，π取3.14）
（1）你选择的材料是 　 　 号和 　 　 号．
（2）你选择的材料做成的水桶最多能装水多少千克？（1立方分米水重1千克）
题型五 创新及压轴题（共6小题）
【典例1】如图1，商家销售某些饮品时会给杯子在杯身上套上一个杯套，方便拿取．小欣同学深受启发，准备为家中如图2所示的两种玻璃杯也配上杯套．（说明：整个探究过程中均忽略杯套的连接部分和杯套的厚度）．
（1）小欣家直身杯的杯口直径为7cm，她要制作高度为6cm的杯套，则此杯套的面积为 　 　 cm2（结果保留π）；
（2）小欣发现阔口杯近似为圆台形状，如图3①所示，通过测量，杯子上口径AB＝9cm，下底面直径CD＝4cm，母线长AC、BD均为7.5cm，为了制作此杯套，如图3②，小欣画出了阔口杯的侧面展开图示意图，发现它是圆环的一部分．
①证明：弧AA′与CC′的长之比等于AP与CP之比；
②求圆心角∠APA′的度数及杯套的面积．（结果保留π）
【典例2】长度为8cm的素菜春卷的制作方法是：用一张大小为6cm×8cm的春卷皮把长度为8cm的豆芽卷在里面，外形呈圆柱状．有一天，菜商提供的豆芽的长度只有6cm，于是他们用另一种方式来卷春卷，得到长度为6cm的圆柱．如果这两种春卷在相接处都重叠了1cm的春卷皮，请问长度为8cm的春卷与长度为6cm的春卷的体积比是多少？
【典例3】生活中的易拉罐、电池、圆形的笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图1所示），当把它的上底面、下底面和侧面展开后发现上底面和下底面是两个大小相同的圆，侧面是一个长方形（如图2所示
（1）一个圆柱体的铝制易拉罐上、下两个底面的半径都是4cm，侧面高为15cm，制作这样一个易拉罐需要面积多大的铝材？（不计接缝）．
（2）如果一个圆柱体的铝制装饰品的高是5cm，而且侧面的面积等于上、下两个底面面积之和，那么底面的半径是 　 　 cm．
（3）一张正方形的铝材边长是40cm，可单独用于制作（2）题中铝制装饰品的侧面或单独用于制作底面，若要使制成的侧面和底面正好能成为一套完整的装饰品，那么制作侧面的铝材张数与制作底面的铝材张数之比为 　 　 ．
【典例4】你知道“木桶效应”吗？它是指一只平放的木桶能装多少水，并不取决于最长的那块木板，而是取决于最短的那块木板．如图能直观形象地说明“木桶效应”蕴含的道理．
（1）从木桶内部测量的数据，如图所示．当木桶平放时最多能装水多少立方厘米？
（2）“新木桶效应”则是一只木桶能够装多少水，并不完全取决于短板，而是可以创新地发挥长板的作用，比如把木桶斜放能装的水更多．如果把这个木桶斜放（如图），这时水桶最多能装水多少立方厘米？
【典例5】如果把一个铁块放到一个装有水的容器中，铁块会沉入水底，水面会上升，现在有一个圆柱铁柱，底面周长为25.12，把它放入一个长方体玻璃容器中．
（1）求这个圆柱的底面半径．
（2）如图，小东同学在一个长方体的玻璃容器中装了一些水，小东同学把圆柱形铁柱完全浸入水中，水面上升了8cm，他又把这个铁柱垂直拉出水面5cm，这时水面下降2cm．这个圆柱形铁柱的高是多少厘米？（玻璃厚度忽略不计）
【典例6】为探究“雨水”节气期间的降雨量，“乐学”小组开始了综合实践学习，他们首先制作了一个雨量器，雨量器主要由一个储水瓶、一个漏斗和一个承雨筒构成．
（1）要了解这个储水瓶（如图所示）最多能接多少毫升雨水，可以怎样操作？写出你的操作过程．
（2）为保护雨量器立稳不倒，小组决定在网上定制一个无盖圆柱形铁桶，把雨量器放在里面，如图所示．做这个铁桶至少需要多少铁皮？
（3）经过24小时的收集，储水瓶中收到的雨水高5.5厘米．把这些雨水倒入底面直径是20厘米的圆柱形雨量杯中，算一算，雨水节气期间这一天的降雨量是多少毫米？
注：降雨量一般指在一定时段内降落到水平地面上的雨水深度，通常用底面直径是20厘米的圆柱形雨量杯来测量雨水深度，降雨量一般用毫米作单位．
【练习1】把一个底面积为6平方分米、高10分米的圆柱铁块熔铸成长方体长6分米、宽5分米，则长方体的高是　 　 分米．
【练习2】玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为 　 　 cm3．
【练习3】一支牙膏的出口处直径为5毫米，每次挤1厘米长的牙膏，可以用40次，这支牙膏的容积是　 　 立方毫米（圆周率取3.14），
【练习4】如图所示，将圆柱切拼成一个近似的长方体．长方体的长约为15.7厘米，宽是5厘米，高是8厘米．那么圆柱的底面积等于 　 　 平方厘米；圆柱的体积等于 　 　 立方厘米．
【练习5】如图，有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是300毫升，现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分高度为5厘米，瓶内现有饮料　 　 毫升．
【作业1】营养学家建议：儿童每天喝水的摄入量约为1.5L，小强每天用底面直径8cm，高10cm的圆柱形水杯喝水（水杯厚度忽略不计），他至少喝（　　）杯水能达到要求．（π取3.14）
A．1 B．2 C．3 D．4
【作业2】请你用转化的数学思想方法解决下面的数学问题．一个瓶子里装有一些水，如图，根据图中所给的信息，请计算出瓶中水的体积所占瓶子的容积的（　　）
A． B． C． D．
【作业3】小聪用一张A4纸分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱，这两个圆柱相比较，下面的说法正确的是（　　）
A．体积相等 B．底面积相等
C．表面积相等 D．侧面积相等
【作业4】容器中装水与出水口齐平，两次分别放入大球与小球，收集溢出的水（如图，单位：厘米）．每个小球的体积可能是（　　）立方厘米．
A．50 B．100 C．150 D．180
【作业5】把棱长6厘米的正方体木块削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是 　 　 立方厘米．
【作业6】把一个底面半径是2分米，长为9分米的圆柱形木料锯成长短不同的三小段圆柱形木料，表面积增加了 　 　 平方分米（结果保留π）．
【作业7】一个内直径是8cm的瓶子里，水的高度是7cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是18cm．这个瓶子的容积是 　 　 ．
【作业8】某茶厂今年喜获丰收，如图为该厂的盒装茶叶产品，形状为圆柱体，经测量，这个圆柱的底面半径是4厘米，高是12厘米．
（1）这一个茶叶盒能装多少立方厘米茶叶？（不考虑茶叶盒材料的厚度，π取3）（V圆柱＝πr2h）．
（2）如果每立方厘米茶叶重1克，6盒这种茶叶重多少克？（π取3）
【作业9】某工厂要锻造一个直径为100mm，高为80mm的圆柱形实心毛坯，需截取一段直径为80mm的圆柱形实心钢材作为原材料，如图，那么这段原材料的高x应为多少mm？（列方程解答，锻造前后钢材体积不变）
【作业10】如图，沿长方形纸片上的虚线剪下的阴影部分，恰好能围成一圆柱，设圆半径为r，高为h．
（1）用含r，h的代数式表示圆柱的体积；
（2）当r＝3cm，h＝8cm，求圆柱的体积和表面积（用含π的式子表示）．
【作业11】食用油桶的数学问题
（1）圆柱形食用油桶，底面直径20cm，高45cm．要给油桶侧面贴一圈宣传标签（上下底不贴），这张标签纸面积至少要多大？
（2）每次炒菜，用勺子舀出的油可近似看作底面直径3cm，高4cm的小圆柱，一勺油的体积约是多少立方厘米？
【作业12】一个装满水的矿泉水瓶，内直径是8厘米．小亮喝了一些，水的高度还有12厘米，把瓶盖拧紧后倒置放平无水部分高10厘米．小亮喝了多少水？
【作业13】如图1所示，这是一个破损的木桶（木板厚度忽略不计，π取3）
（1）把木桶平放时，这个木桶最多能盛水多少立方厘米？
（2）把木桶斜放时（如图2所示），请估计此时木桶最多能盛水多少立方厘米？（直接写出答案）
【作业14】笑笑在一个长方体的玻璃容器中装了一些水，他把一个底面半径为4厘米的圆柱形铁块完全浸入水中，发现水面上升了8厘米．他又把这个铁块垂直拉出水面5厘米，这时水面下降2厘米（如图所示，玻璃厚度忽略不计）．
（1）这个铁块露出水面部分的体积是多少？（π取3）
（2）这个铁块的体积是多少？（π取3）
（3）这个铁块的体积占玻璃容器容积的几分之几？
【作业15】为测量一个不规则铁块的体积，一个学习小组做了以下实验．
①用天平称出这个铁块的质量是1.7千克；
②一个圆柱形容器从里面测量出底面半径是4厘米；
③从里面量出圆柱形容器的高是15厘米；
④在容器里注入一定量的水，量出水面高度是6厘米；
⑤将铁块浸没在水中（水没溢出），量出水面高度为9厘米．
（1）要求出这个铁块的体积，上面哪些信息是必须的？把它们的序号写在横线上：　 　 ．
（2）请根据选出的信息，求出这个铁块的体积．

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