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第8讲 圆锥及其侧面展开图 精讲提升培优讲义
2026年沪教新版六年级下8.2
1、能根据给定的底面半径、高或母线长，正确计算圆锥的侧面积、表面积和体积。
2、能根据侧面展开图的条件（扇形半径、弧长、圆心角），逆向求解圆锥的底面半径、高或母线长，并完成相关计算。
3、能熟练运用“等底等高”条件下圆柱与圆锥的体积关系（圆柱体积是圆锥的3倍），解决两者的体积、高或底面积的互求问题。
4、能处理圆柱与圆锥的底面积之比、高之比已知时，求其体积之比的问题，反之亦然。
*本讲义内容设置：①重点知识梳理；②典例精讲；③创新及压轴题；④课后针对性练习。
知识点一 圆锥的组成和特征
1、定义与构成：圆锥是由一个底面（圆形）和一个侧面（曲面）围成的几何体。
相关概念：
·母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段。圆锥有无数条母线，且长度都相等。
·高：从圆锥的顶点到底面圆心的连线。注意：母线长度不等于高。
·识别：能从实物中抽象出圆锥模型。
【典型例题1】（2025春 上海校级期末）如图，圆锥底面圆的半径为3，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（　　）
A．4π B．6π C．8π D．16π
【即学即练1】（2025春 上海校级月考）把一个圆锥从顶点沿高将它切成两半，表面积增加了24cm2，已知圆锥的底面周长是18.84cm，那么这个圆锥的高是 　 　 cm．（π取3.14）
知识点二 圆锥的侧面展开图、表面积
沿着圆锥的任意一条母线（）把它的侧面剪开，得到的是一个扇形，这样得到的平面图形叫作圆锥的侧面展开图。
①扇形的半径等于圆锥的母线②扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
圆锥的侧面积公式：（其中表示圆锥的侧面积，和分别表示它的底面周长，底面半径和母线长）
圆锥的表面积：
【典型例题2】（2024 上海模拟）如图，小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5cm，弧长是6π cm，那么围成的圆锥的高度是 　 　 cm．
【即学即练2】（2024 上海模拟）用圆心角为120°，半径为6cm的扇形做成一个无底的圆锥侧面，则此圆锥的底面半径为　 　 cm．
知识点三 圆锥的体积
圆锥的体积公式为：（其中表示圆锥的体积，表示它的底面积，表示它的高，是底面圆半径.）
【典型例题3】（2025春 香坊区校级月考）冷饮公司今年夏天要生产一款奶油冰激凌（如图），它的底面半径是3厘米．装这样一个冰激凌需要多少立方厘米的奶油？（π取3.14）
【即学即练3】（2025春 上海期末）一个圆柱和一个圆锥的体积之比是9：1，它们的底面积之比是1：3，如果圆柱的高是3米，那么圆锥的高是　 　 米．
*学习方法：通过实验（倒沙或水）理解圆锥体积是等底等高圆柱的1/3。注意母线、高、半径构成直角三角形。
*易错点：计算侧面积时误用底面半径乘高；体积忘记乘1/3；母线当成高。
模块一：圆锥的认识（共2小题）
1．（2025秋 平顶山月考）下列物体中，可以抽象成圆锥的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．圆锥由一个底面和一个侧面围成，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的 　 　 ．
模块二：圆锥的侧面展开图表面积（共7小题）
3．（2025春 上海校级期末）下列关于圆柱和圆锥的说法错误的是（　　）
A．圆锥有无数条母线，且长度都和圆锥的高长度相等
B．圆柱有无数条母线，且长度都和圆柱的高长度相等
C．沿着圆锥的任意一条母线把圆锥的侧面剪开，展开图是一个扇形
D．沿着圆柱的任意一条母线把圆柱的侧面剪开，展开图是一个长方形
4．（2025春 上海校级月考）如图，在正方形铁皮上剪下一个圆和扇形，恰好能围成一个圆锥模型，如果圆的半径为r，扇形的半径为R，那么r：R＝（　　）
A．1：4 B．1：2 C．1：π D．2：π
5．（2025春 上海校级期末）某学生用一张半径为5dm的扇形薄纸板制作一个圆锥形生日帽．如果做成的圆锥形生日帽的底面半径为3dm，则该扇形薄纸板的面积为　 　 （π取3.14）．
6．（2025春 上海校级期末）草帽是中国特有的传统草编工艺品．乐乐决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为25cm、底面周长为62.8cm的圆锥形草帽（如图）．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠，则此扇形卡纸的圆心角的度数为　 　 ．（π取3.14）
7．（2025春 上海校级月考）图中，h1＝h2，d1＝d2，把左边瓶里的饮料倒入圆锥形的杯子里，最多能倒满（ 　 　 ）杯．
8．（2025春 闵行区校级期末）如果圆锥的底面圆的周长是20πcm，侧面展开后所得的扇形的圆心角是120°，求该圆锥的表面积．
9．（2024秋 赣榆区期中）如图①，已知圆锥的母线长l＝16cm，若以顶点O为中心，将此圆锥按图②放置在平面上逆时针滚动3圈后所形成的扇形的圆心角θ＝270°．
（1）求圆锥的底面半径；
（2）求圆锥的表面积．
模块三：圆锥体积（共16小题）
10．（2025秋 郑州月考）如果一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，它们的体积一共是48立方厘米，那么圆柱的体积是（　　）立方厘米．
A．36 B．24 C．16 D．26
11．（2025 福州开学）在数学实验活动中，胡老师用一个圆锥形容器装水，水面高度是圆锥高的一半（如图），那么容器中水的体积是整个圆锥容积的（　　）（容器厚度忽略不计）
A． B． C． D．
12．（2025春 杨浦区校级期末）一个圆柱的底面周长和一个圆锥的底面周长之比是3：4，它们的体积之比是9：7，那么圆柱和圆锥的高之比是（　　）
A．16：7 B．7：16 C．16：21 D．21：16
13．（2025春 宝山区校级期末）一个陀螺的上端可近似地看作一个圆锥，下端可近似地看作一个圆柱，结构示意图如图所示．已知B、C分别是圆柱上、下底面的圆心，AC＝8，AB＝3，底面半径为2，则该陀螺的体积为（结果保留π）（　　）
A．24π B．32π C． D．9π
14．（2025春 黄浦区期末）仔细观察图：在一个盛有450毫升水的量杯中放入一个圆柱体，水面对应的刻度为600毫升，若再放入一个与圆柱等底等高的圆锥，则此时的水面对应的刻度为（　　）
A．150毫升 B．650毫升 C．50毫升 D．无法确定
15．（2025春 崇明区期末）下面与圆锥体积相等的圆柱是（　　）
A．A B．B C．C D．D
16．（2025秋 上海校级月考）如果圆锥的底面半径为2米，圆锥的体积为6π立方米，那么圆锥的高为 　 　 米．
17．（2025春 杨浦区校级期末）一个圆柱的体积是12立方分米，4个与它等底等高的圆锥的体积是 　 　 立方分米．
18．（2025春 徐汇区校级期末）如图，将圆柱形容器和圆锥形容器均盛满水．同时开启两容器底部的放水孔开始漏水．19分钟后，圆柱形容器的水面高度降至原高度的，圆锥形容器的水面高度降至原高度的（此时水面半径为圆锥底面半径的），假设每个容器的漏水速度始终保持不变，当圆锥形容器中的水漏完后，再过 　 　 分钟，圆柱形容器中的水恰好漏完．
19．（2025春 闵行区期末）一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知它们的体积之和是24立方厘米，那么圆柱的体积是 　 　 立方厘米．
20．（2025春 金山区校级月考）如图所示的容器中放入底面相等并且高都是3分米的圆柱和圆锥形铁块，根据图（1）图（2）的变化知，圆柱形铁块的体积是 　 　 立方分米．
21．（2025春 上海校级期末）如图，一个密闭玻璃容器是由一个圆柱和一个圆锥组成的，里面装有一些水．（单位：dm）（1）容器中水的体积是多少？（玻璃的厚度不计）
（2）如果把这个容器倒过来（如图），从圆锥顶点到水面的高度是多少？
22．（2025春 闵行区校级期末）如图所示为一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体，剩下的体积是多少立方厘米？
23．（2025春 静安区校级期末）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，其上方为圆柱，下方尖锐，玩耍时可用绳子缠绕，用力抽绳，使其直立旋转．爷爷准备帮乐乐制作一个陀螺，他先将木料初加工成一个底面周长是25.12厘米、高是8厘米的圆柱，然后将圆柱的下部削成锥形，这样陀螺上面的部分还是圆柱，下面的部分是圆锥（如图），这时圆锥和圆柱高度的比是3：5．陀螺的体积是多少立方厘米？
24．（2025春 浦东新区校级月考）打谷场上，有一个近似于圆锥的小麦堆如图a，测得底面直径为16m，高为1.5m，每立方米的小麦约重750千克．
（1）求这堆小麦约有多少吨？（π取3.14，得数保留整数吨）
（2）图b为装小麦的粮仓，粮仓下面为一圆柱，上面为一圆锥，已知圆柱底面半径为1米，粮仓下面圆柱的侧面积为4π平方米，图b中粮仓上面圆锥的高为图a中小麦堆的高的，将打谷场上的这堆小麦全部装入图b同样的粮仓中，至少需要这样的粮仓几个？
25．（2025春 崇明区期末）一个密闭玻璃容器是由一个圆柱和一个圆锥组成的，里面装有一些水（如图1，单位：厘米，玻璃的厚度忽略不计）．
（1）容器中水的体积是多少立方厘米？
（2）如果将这个容器倒过来（如图2），从水面到圆锥顶点的高度是多少厘米？
模块四：圆柱与圆锥综合（共8小题）
26．（2025秋 让胡路区校级月考）妈妈榨了一大杯橙汁（如图1）招待客人，如果倒入如图2所示的杯子中，可以倒满（　　）杯．（两个杯子的杯口同样大）
A．3 B．6 C．9 D．12
27．（2025 利州区开学）一个圆柱形容器中装有一部分水（如图），如果要将容器中的水倒入圆锥形容器中，正好能够装满的是（　　）（单位：cm）
A． B． C． D．
28．（2025秋 大庆校级期末）把一个底面半径是5厘米的圆锥，完全浸没在一个底面直径是20厘米的圆柱形水槽中（如图），取出圆锥后，水面下降了3厘米，这个圆锥高　 　 厘米．
29．（2025秋 渭滨区校级月考）把一个圆柱削成一个最大的圆锥，体积减少了90cm3，那么圆锥体积是　 　 cm3．
30．（2025春 青浦区校级期末）（1）如图1，求阴影部分面积．（结果保留π）
（2）如图2是从圆柱体中挖去一个圆锥后的剩余部分，请计算它的体积．（结果保留π）
31．（2025春 黄浦区期末）如图，是一个圆柱和圆锥组成的粮仓．已知粮仓底部直径为6m，粮仓顶部顶点到地面的高度为9m，粮仓下半部分高度为3m，求该粮仓的容积．（说明：不考虑粮仓的厚度，结果保留π）
32．（2024 离石区开学）如图所示，玻璃容器的底面直径为12cm，它的里面装有部分水，水中浸没着一个高9cm的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5cm，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？
33．（2025春 上海校级月考）蒙古包，作为蒙古族传统的居住形式，承载着浓厚的游牧文化和历史底蕴．它的上面近似于圆锥形，下面近似于圆柱形．如图，一个蒙古包圆柱底面的周长是20πm，高是2m，圆锥的高是1.2m．
（1）蒙古包的上面圆锥部分的侧面展开图是 　 　 （填图形名称）；下面圆柱部分的侧面展开图是 　 　 （填图形名称），圆柱部分的侧面展开图的面积是 　 　 m2（结果保留π）．
（2）这个蒙古包的体积是多少立方米？（结果保留π）．
1．（2025春 普陀区期末）综合与实践：用长方形铁皮制作无盖的圆柱形容器
实践方案：将一块长方形铁皮裁剪成两个小长方形铁片：其中一个长方形铁片作为圆柱的侧面；在另一个长方形铁片中剪出一个最大的圆面作为底面．（不考虑连接的重叠部分）
【任务一】如图1，已知长方形铁皮的长为16.56cm，按图中的裁剪方式剪出的长方形和圆正好能做一个无盖的圆柱形容器，求这个圆柱形容器的体积．（π取3.14）
【任务二】如图2，用一块长为24cm，宽为18cm的长方形铁皮制作无盖圆柱形容器．
方案A：如果以24cm作为无盖圆柱形容器底面圆的周长，请计算此时圆柱形容器的体积，并在图2上画出裁剪示意图．（标注尺寸，π取3）
方案B：如果要求制作的无盖圆柱形容器的体积最大，请设计出符合要求的方案，并在图3上画出裁剪示意图，同时通过计算说明理由．（标注尺寸，π取3）
【任务三】为了提高长方形铁皮的利用率，完成方案A、B后，在各自剩余材料中先裁剪一个尽可能大的长方形铁片，再在长方形铁片的内部截取一个尽可能大的完整半圆面，将其制作成一个无底面的圆锥形容器，此时在方案A和方案B中，哪种方案对长方形铁皮的利用率高？（材料不拼接使用，π取3）
2．（2025春 杨浦区校级期末）点动成线，线动成面，面动成体，立体之美，无处不在，需要我们会用数学的眼光观察现实世界．如图，直角三角形ABC，绕AB边旋转一周所得的圆锥放到一个盛有水的圆柱形容器中，完全浸没，水面上升至8cm，求未放入圆锥前圆柱形容器内的水面高度？
3．（2025 五华区开学）科科在学习“圆锥的体积”时，用等底等高的圆柱和圆锥形容器进行了如下实验．
第一步：把圆柱形容器装满水后，再全部倒入烧杯，静止后，水面对准烧杯的300mL刻度处． 第二步：把烧杯里面的水全部倒入圆锥形容器，倒满3次刚好倒完． 第三步：从圆锥形容器里面测量的高是10cm．
请根据科科的实验操作解决下面的问题．
（1）圆锥的底面积是多少平方厘米？
（2）把圆柱形容器装满水后，接着放入一块棱长为2cm的正方体铁块，铁块浸没后会溢出多少水？
4．（2025 二七区开学）在学习了圆柱和圆锥的体积之后，琪琪用圆柱体容器和圆锥体容器进行了下面两个实验：
（1）实验一：琪琪在圆柱体容器里面装了一些水（如图），水深6厘米，再将这些水倒入一个圆锥体容器中．如果倒入等底的圆锥体容器中恰好倒满，则琪琪应该选择高是多少厘米的圆锥体容器？
（2）实验二：琪琪按下面的步骤测量了一块不规则石头的体积．根据测量过程，请你求出石头的体积．
5．（2025 大同开学）某冷饮公司今年夏天生产的一款奶油冰激凌（如图①），奶油冰激凌可以近似的看成两个圆锥的组合体（如图②）．上方奶油部分是底面半径3cm、高4cm的圆锥，下方脆壳部分（忽略厚度不计）是底面半径3cm、高9cm的圆锥．根据生产要求，下方脆壳中会加入部分奶油，脆壳中奶油占脆壳体积的．制作这样一个冰激凌需要多少立方厘米的奶油？
1．（2025春 宝山区校级期末）一个圆柱和一个圆锥，体积之比是4：3，底面半径之比是2：5，那么这个圆柱和圆锥的高之比是 　 　 ．
2．（2025春 闵行区期末）把一个圆锥从顶点沿高将它切成两半，表面积增加了48cm2，如果圆锥的底面周长是18.84cm，那么这个圆锥的体积是 　 　 cm3．
3．（2025春 杨浦区校级期末）实验室里有一个圆柱和一个圆锥模型，它们底面直径都是20厘米，高都是15厘米，它们的体积一共是 　 　 立方厘米．（π取3.14）
4．（2025春 松江区校级月考）一个深30厘米的圆柱形容器，外圆直径是22厘米，壁厚1厘米，已装深27.5厘米的水，现放入一个底面直径10厘米，高30厘米的圆锥形铁块，则将有 　 　 立方厘米的水溢出．
1．（2025春 杨浦区校级期末）如图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，且水面半径也正好是圆锥底面半径的一半，则这个容器还能装水 　 　 升．
2．（2025春 宝山区校级期末）一个高为30cm的圆锥形容器盛满水，倒入和它等底等高的圆柱形容器中，水的高度为 　 　 cm．
3．（2025春 徐汇区校级期末）一个直角三角形，两条直角边长是3cm、4cm．斜边长5cm．如果绕直角边旋转一周，那么所占空间是 　 　 立方厘米．（结果保留π）
4．（2025春 杨浦区校级期末）一个圆柱和一个圆锥的底面半径之比为3：4，高之比为2：1，则它们的体积之比是 　 　 ．
5．（2025春 虹口区期末）计算图中圆柱的表面积以及圆锥的体积．（π取3.14）
（1）
（2）
6．（2025秋 昆明期中）中国航天员科研训练中心研发的“太空菜园”装置，在“天宫二号”进行生菜在轨培养试验成功后，某科技小组设计了一个微型种植舱模型．将该模型抽象出来的几何图形如图所示，整个种植舱由圆柱形生长舱和圆锥形营养舱组成，总高度为80厘米，营养舱的高度为总高度的，生长舱与营养舱的底面圆周长均为60π厘米．（备注：，结果保留π）
（1）营养舱的高度为　 　 厘米，底面半径为　 　 厘米；
（2）求该微型种植舱模型的体积．
7．（2025秋 鲁山县校级月考）一个直角三角尺的两条直角边长分别是6和8，它的斜边长是10，将这个三角尺绕着它的一边所在的直线旋转一周．
（1）如果绕着长为6的直角边所在的直线旋转一周，那么形成的几何体的体积是多少？（结果保留π）
（2）绕着斜边所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着长为8的直角边所在的直线旋转一周形成的几何体的体积哪个大？通过计算说明理由．
8．（2024 中山市校级开学）某餐厅为了获得完美餐品，上餐用如图的沙漏计时，并推出“菜品30分钟不上齐免单”措施．周日，冬冬全家去此餐厅用餐，可以免单吗？请说明理由．
9．（2024秋 翁源县期中）圆锥形一次性水杯通常被称为“锥形纸杯”或“尖底杯”，它们通常由纸浆制成，具有一定的强度和耐用性，可以容纳冷饮或热饮．这种水杯的设计使得它们可以方便地堆叠和存放，同时也方便手持和饮用．因此，它们通常用于机场、咖啡店、快餐店等场所，作为临时饮用容器，如图是锥形纸杯．
（1）锥形纸杯底面半径为r，高为h，求锥形纸杯的容积；
（2）若r＝34mm，h＝90mm，π取3，求一个锥形纸杯可装多少水？
10．（2024 阳谷县校级开学）这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色的水．其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米．已知水的流速是1.57立方厘米/分．
（1）圆锥内漏完水需要多少时间？
（2）请你在图2中用阴影表示出此时圆柱内的水．
11．（2023 鄠邑区开学）如图，一个底面半径为12cm的圆柱形容器，里面装有水，水面高度为5cm，将一个圆柱形铁块和一个圆锥形铁块（圆柱铁块和圆锥铁块的底面半径相等，高相等）同时放入这个容器中，水面上升到9cm，这个圆锥形铁块的体积是多少？（π取3）
12．（2021秋 香坊区期末）蜂窝煤是由煤炼制而成的．如图1，每个蜂窝煤中都有12个相同的空心小圆柱，每个蜂窝煤底面的直径为12cm，高为10cm，其中空心小圆柱底面的直径均为2cm．
（1）求一个蜂窝煤大约需要用煤多少立方厘米（结果保留π）？
（2）如图2，现有一堆煤，近似于一个圆锥，它的底面直径为4米，高为0.9米，如果用这堆煤来制作图1中的蜂窝煤，可以制作多少个蜂窝煤？
（3）如图3，若将12个这种蜂窝煤按如图所示的方式放入有盖的包装箱内，则这个箱子的表面积至少是多少（箱子厚度忽略不计）？第8讲 圆锥及其侧面展开图 精讲提升培优讲义
2026年沪教新版六年级下8.2
（答案详解版）
1、能根据给定的底面半径、高或母线长，正确计算圆锥的侧面积、表面积和体积。
2、能根据侧面展开图的条件（扇形半径、弧长、圆心角），逆向求解圆锥的底面半径、高或母线长，并完成相关计算。
3、能熟练运用“等底等高”条件下圆柱与圆锥的体积关系（圆柱体积是圆锥的3倍），解决两者的体积、高或底面积的互求问题。
4、能处理圆柱与圆锥的底面积之比、高之比已知时，求其体积之比的问题，反之亦然。
*本讲义内容设置：①重点知识梳理；②典例精讲；③创新及压轴题；④课后针对性练习。
知识点一 圆锥的组成和特征
1、定义与构成：圆锥是由一个底面（圆形）和一个侧面（曲面）围成的几何体。
相关概念：
·母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段。圆锥有无数条母线，且长度都相等。
·高：从圆锥的顶点到底面圆心的连线。注意：母线长度不等于高。
·识别：能从实物中抽象出圆锥模型。
【典型例题1】（2025春 上海校级期末）如图，圆锥底面圆的半径为3，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（　　）
A．4π B．6π C．8π D．16π
【分析】根据圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为圆锥底面圆的半径为3，
所以圆锥底面圆的周长为：2×π×3＝6π，
则圆锥的侧面展开图中的长为6π．
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆锥的计算，熟知圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等是解题的关键．
【即学即练1】（2025春 上海校级月考）把一个圆锥从顶点沿高将它切成两半，表面积增加了24cm2，已知圆锥的底面周长是18.84cm，那么这个圆锥的高是 　 　 cm．（π取3.14）
【分析】先求出圆锥的底面圆的直径，再根据表面积的变化及三角形的面积公式求出圆锥的高即可．
【解答】解：由条件可知圆锥的底面圆的直径为18.34÷3.14＝6cm，
∵表面积增加了24cm2，
∴圆锥的高为24÷2×2÷6＝4cm，
故答案为：4．
【点评】本题考查了圆锥的高，理解题意是解题的关键．
知识点二 圆锥的侧面展开图、表面积
沿着圆锥的任意一条母线（）把它的侧面剪开，得到的是一个扇形，这样得到的平面图形叫作圆锥的侧面展开图。
①扇形的半径等于圆锥的母线②扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
圆锥的侧面积公式：（其中表示圆锥的侧面积，和分别表示它的底面周长，底面半径和母线长）
圆锥的表面积：
【典型例题2】（2012 上海模拟）如图，小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5cm，弧长是6π cm，那么围成的圆锥的高度是 　4　 cm．
【分析】已知弧长即已知围成的圆锥的底面半径的长是6πcm，这样就求出底面圆的半径．扇形的半径为5cm就是圆锥的母线长是5cm．就可以根据勾股定理求出圆锥的高．
【解答】解：设底面圆的半径是r则2πr＝6π，
∴r＝3cm，∴圆锥的高4cm．
【点评】由题意得圆锥的底面周长为6πcm，母线长5cm，从而底面半径为3cm，利用勾股定理求得圆锥高为4cm．
【即学即练2】（2024 上海模拟）用圆心角为120°，半径为6cm的扇形做成一个无底的圆锥侧面，则此圆锥的底面半径为　2　 cm．
【分析】先利用弧长公式求出弧长，再根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是4π，求出半径．
【解答】解：半径为6cm的扇形的弧长是4πcm，
设圆锥的底面半径是r，则得到2πr＝4π，
解得：r＝2cm．
此圆锥的底面半径为2cm．
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
知识点三 圆锥的体积
圆锥的体积公式为：（其中表示圆锥的体积，表示它的底面积，表示它的高，是底面圆半径.）
【典型例题3】（2025春 香坊区校级月考）冷饮公司今年夏天要生产一款奶油冰激凌（如图），它的底面半径是3厘米．装这样一个冰激凌需要多少立方厘米的奶油？（π取3.14）
【分析】根据圆锥的体积公式进行列式计算即可．
【解答】解：由圆锥的体积公式可知，
3.14×32×43.14×32×9
＝3.14×12+3.14×27
＝37.68+84.78
＝122.46（立方厘米），
答：装这样一个冰激凌需要122.46立方厘米的奶油．
【点评】本题考查圆锥的体积，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
【即学即练3】（2025春 上海期末）一个圆柱和一个圆锥的体积之比是9：1，它们的底面积之比是1：3，如果圆柱的高是3米，那么圆锥的高是　 　 米．
【分析】根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式：，设圆锥的体积为V，底面积为3S，则圆柱的体积9V，底面积是S，再把相关数据代入公式计算即可解答．
【解答】解：根据题意，设圆锥的体积为V，底面积为3S，则圆柱的体积9V，底面积是S，圆柱的高为：，圆锥的高为：，圆锥的高比圆柱的高，所以圆锥的高是：（米），
答：圆锥的高是米．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了圆柱的体积、圆锥的体积，牢记掌握圆柱、圆柱的体积公式成为解题的关键．
*学习方法：通过实验（倒沙或水）理解圆锥体积是等底等高圆柱的1/3。注意母线、高、半径构成直角三角形。
*易错点：计算侧面积时误用底面半径乘高；体积忘记乘1/3；母线当成高。
模块一：圆锥的认识（共2小题）
1．（2025秋 平顶山月考）下列物体中，可以抽象成圆锥的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据圆锥的基本图象对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A.抽象出来是球；
B.抽象出来是圆柱；
C.抽象出来是圆台；
D.抽象出来是圆锥；
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的识别，正确的识别图象是解决本题的关键．
2．圆锥由一个底面和一个侧面围成，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的 　母线　 ．
【分析】据圆锥的特征可知，从圆锥的顶点到底面圆周上任意一点的线段是圆锥的母线，由此解答即可．
【解答】解：圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线．
故答案为：母线．
【点评】此题主要考查了圆锥的母线的含义，应注意基础知识的积累．
模块二：圆锥的侧面展开图表面积（共7小题）
3．（2025春 上海校级期末）下列关于圆柱和圆锥的说法错误的是（　　）
A．圆锥有无数条母线，且长度都和圆锥的高长度相等
B．圆柱有无数条母线，且长度都和圆柱的高长度相等
C．沿着圆锥的任意一条母线把圆锥的侧面剪开，展开图是一个扇形
D．沿着圆柱的任意一条母线把圆柱的侧面剪开，展开图是一个长方形
【分析】根据圆锥和圆柱的定义以及特征判断即可．
【解答】解：A．圆锥有无数条母线，且长度都和圆锥的高长度不相等，故选项A符合题意；
B．圆柱有无数条母线，且长度都和圆柱的高长度相等，故选项B不符合题意；
C．沿着圆锥的任意一条母线把圆锥的侧面剪开，展开图是一个扇形，故选项C不符合题意；
D．沿着圆柱的任意一条母线把圆柱的侧面剪开，展开图是一个长方形，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了圆柱和圆锥以及几何体的展开图，关键是掌握圆柱与圆锥的特点．
4．（2025春 上海校级月考）如图，在正方形铁皮上剪下一个圆和扇形，恰好能围成一个圆锥模型，如果圆的半径为r，扇形的半径为R，那么r：R＝（　　）
A．1：4 B．1：2 C．1：π D．2：π
【分析】由题意得圆锥的底面周长等于等于扇形的弧长，据此求解即可．
【解答】解：由由题意得圆锥的底面周长等于等于扇形的弧长可得：
，
∴r：R＝1：4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，正确理解圆锥的底面周长等于扇形的弧长是解题的关键．
5．（2025春 上海校级期末）某学生用一张半径为5dm的扇形薄纸板制作一个圆锥形生日帽．如果做成的圆锥形生日帽的底面半径为3dm，则该扇形薄纸板的面积为　47.1dm2 （π取3.14）．
【分析】根据圆锥底面半径，可以求出圆锥底面周长，根据扇形面积公式可求出扇形面积．
【解答】解：圆锥的底面圆周长为：2×3π＝6π（dm），
则扇形弧长为6πdm，
∴S扇形，
故答案为：47.1dm2．
【点评】本题考查了圆锥的计算，掌握圆锥的性质、扇形的面积公式是求解的关键．
6．（2025春 上海校级期末）草帽是中国特有的传统草编工艺品．乐乐决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为25cm、底面周长为62.8cm的圆锥形草帽（如图）．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠，则此扇形卡纸的圆心角的度数为　144°　 ．（π取3.14）
【分析】根据扇形的弧长公式计算即可．
【解答】解：设扇形卡纸的圆心角的度数为n°，
由题意得62.8，
解得n＝144，
所以此扇形卡纸的圆心角的度数为144°．
故答案为：144°．
【点评】本题考查了圆锥的计算，关键是熟练掌握扇形弧长公式．
7．（2025春 上海校级月考）图中，h1＝h2，d1＝d2，把左边瓶里的饮料倒入圆锥形的杯子里，最多能倒满（ 　6　 ）杯．
【分析】观察图形，分别求出圆柱和圆锥的体积，将二者相除即可求出答案．
【解答】解：根据题意可知，饮料瓶中的体积为：，
圆锥形杯子的体积为：，
∴左边瓶里的饮料倒入圆锥形的杯子里，最多能倒满．
故答案为：6．
【点评】本题考查了认识立体图形，掌握圆柱和圆锥的体积公式是关键．
8．（2025春 闵行区校级期末）如果圆锥的底面圆的周长是20πcm，侧面展开后所得的扇形的圆心角是120°，求该圆锥的表面积．
【分析】根据底面周长可求得底面半径，进而可求得底面积，根据扇形的弧长＝圆锥的底面周长可得到母线长，进而求得侧面积．
【解答】解：设圆锥的母线长为lcm，
∵圆锥的底面圆的周长是20π cm，
∴底面圆的半径为10（cm），
∵20π，
∴l＝30，
∴π×102100π+300π＝400π（cm2）．
答：该圆锥的全面积为400π cm2．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是根据底面周长得到圆锥的底面半径和母线长．
9．（2024秋 赣榆区期中）如图①，已知圆锥的母线长l＝16cm，若以顶点O为中心，将此圆锥按图②放置在平面上逆时针滚动3圈后所形成的扇形的圆心角θ＝270°．
（1）求圆锥的底面半径；
（2）求圆锥的表面积．
【分析】（1）根据圆锥底面圆周长的3倍＝扇形的弧长，构建方程求解即可．
（2）根据表面积＝底面积+侧面积，计算即可．
【解答】解：（1）由题意3×2πr，
∴r＝4．
（2）圆锥的表面积＝π 42 2π 4 16＝80π．
【点评】本题考查圆锥的计算，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
模块三：圆锥体积（共16小题）
10．（2025秋 郑州月考）如果一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，它们的体积一共是48立方厘米，那么圆柱的体积是（　　）立方厘米．
A．36 B．24 C．16 D．26
【分析】设圆柱的体积是V，则等底等高的圆锥体的体积为，根据题意列出关于V的一元一次方程求解即可得出答案．
【解答】解：设圆柱的体积是V，则等底等高的圆锥的体积为，
则，
整理得，V＝48，
解得V＝36，
则圆柱的体积是36立方厘米，
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆柱的体积与圆锥的体积，关键是相关知识的熟练掌握．
11．（2025 福州开学）在数学实验活动中，胡老师用一个圆锥形容器装水，水面高度是圆锥高的一半（如图），那么容器中水的体积是整个圆锥容积的（　　）（容器厚度忽略不计）
A． B． C． D．
【分析】设水面的高度为h，则圆锥的高度为2h，根据题意表示出容器中水的体积和整个圆锥的容积求解即可．
【解答】解：设水面的高度为h，则圆锥的高度为2h，
∴根据题意列式得，，
∴容器中水的体积是整个圆锥容积的．
综上所述，只有选项A正确，符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了圆锥的体积，关键是圆锥体积公式的熟练掌握．
12．（2025春 杨浦区校级期末）一个圆柱的底面周长和一个圆锥的底面周长之比是3：4，它们的体积之比是9：7，那么圆柱和圆锥的高之比是（　　）
A．16：7 B．7：16 C．16：21 D．21：16
【分析】根据圆的周长公式知道底面周长的比就是半径的比，设圆柱的底面半径是3r，则圆锥的底面半径是4r，设圆柱的高为h1，圆锥的高为h2，再根据圆柱和圆锥的体积公式计算即可．
【解答】解：∵一个圆柱的底面周长和一个圆锥的底面周长之比是3：4，
∴圆柱的底面半径和圆锥的底面半径之比是3：4，
设圆柱的底面半径是3r，则圆锥的底面半径是4r，设圆柱的高为h1，圆锥的高为h2，
根据题意可知：π×（3r）2h1：π×（4r）2h2＝9：7，
所以h1：h2＝16：21．
故选：C．
【点评】本题考查的是圆锥的体积、圆柱的体积，熟记圆锥、圆柱的体积公式是解题的关键．
13．（2025春 宝山区校级期末）一个陀螺的上端可近似地看作一个圆锥，下端可近似地看作一个圆柱，结构示意图如图所示．已知B、C分别是圆柱上、下底面的圆心，AC＝8，AB＝3，底面半径为2，则该陀螺的体积为（结果保留π）（　　）
A．24π B．32π C． D．9π
【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式即可求解．
【解答】解：该陀螺的体积为π×22×3+π×22×（8﹣3）＝4π+20π＝24π．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆锥的体积、圆柱的体积，熟记圆锥、圆柱的体积公式是解题的关键．
14．（2025春 黄浦区期末）仔细观察图：在一个盛有450毫升水的量杯中放入一个圆柱体，水面对应的刻度为600毫升，若再放入一个与圆柱等底等高的圆锥，则此时的水面对应的刻度为（　　）
A．150毫升 B．650毫升 C．50毫升 D．无法确定
【分析】先根据量杯中测量到的体积增量求出圆柱的体积，再由等底等高圆锥和圆柱体积的关系求出圆锥的体积，进而求出最终水面对应的刻度．
【解答】解：在量杯中放入圆柱体后，体积增量为：
600﹣450＝150（毫升）．
∴所以圆柱的体积为150立方厘米．
∵V圆锥ShV圆柱150＝50（立方厘米）．
∴放入圆锥后水面对应的刻度为：
600+50＝650（毫升）．
故答案为：B．
【点评】本题考查了圆柱与圆锥的体积，关键是熟练掌握等底等高圆锥和圆柱的体积关系．
15．（2025春 崇明区期末）下面与圆锥体积相等的圆柱是（　　）
A．A B．B C．C D．D
【分析】根据圆锥和圆柱的体积公式求解即可．
【解答】解：圆锥的体积为π12＝81π，
A选项圆柱的体积为π12＝243π，
B选项圆柱的体积为π12＝27π，
C选项圆柱的体积为π4＝81π，
D选项圆柱的体积为π4＝9π，
故选：C．
【点评】本题主要考查圆锥和圆柱的体积，解题的关键是掌握圆锥和圆柱的体积公式．
16．（2025秋 上海校级月考）如果圆锥的底面半径为2米，圆锥的体积为6π立方米，那么圆锥的高为 　4.5　 米．
【分析】根据圆锥的体积公式进行解答．
【解答】解：6π×3÷（22π）
＝18π÷4π
＝4.5（米），
故答案为：4.5．
【点评】本题考查了圆锥的体积，解题的关键是根据圆锥体积公式来解答．
17．（2025春 杨浦区校级期末）一个圆柱的体积是12立方分米，4个与它等底等高的圆锥的体积是 　16　 立方分米．
【分析】等底等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积等于等底等高的圆柱体积的，由此可解．
【解答】解：∵等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，
∴一个圆锥的体积是：12＝4（立方分米），
∴4个与它等底等高的圆锥的体积是4×4＝16（立方分米）．
故答案为：16．
【点评】本题考查的是圆锥的体积、圆柱的体积，熟记圆锥、圆柱的体积公式是解题的关键．
18．（2025春 徐汇区校级期末）如图，将圆柱形容器和圆锥形容器均盛满水．同时开启两容器底部的放水孔开始漏水．19分钟后，圆柱形容器的水面高度降至原高度的，圆锥形容器的水面高度降至原高度的（此时水面半径为圆锥底面半径的），假设每个容器的漏水速度始终保持不变，当圆锥形容器中的水漏完后，再过 　11　 分钟，圆柱形容器中的水恰好漏完．
【分析】利用圆锥的体积公式进行求解即可．
【解答】解：假设圆锥底面圆半径为r，则19分钟后圆锥底面圆半径为，
根据题意得，开始时圆锥中水的体积为，
19分钟后剩下水的体积为，
∴19分钟漏掉的水的体积为，
∴圆锥容器漏水速度为，
∴圆锥中剩下的水漏完所需时间为（分钟），
由题意可得：圆柱中所剩的水漏完所需时间为19分钟，
19﹣8＝11（分钟），
故答案为：11．
【点评】本题主要考查了圆锥的体积公式以及列代数式，解题的关键是熟练掌握圆柱的体积公式．
19．（2025春 闵行区期末）一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知它们的体积之和是24立方厘米，那么圆柱的体积是 　18　 立方厘米．
【分析】根据“等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍”计算即可．
【解答】解：2418（立方厘米），
∴圆柱的体积是18立方厘米．
故答案为：18．
【点评】本题考查圆锥和圆柱的体积，掌握“等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍”是解题的关键．
20．（2025春 金山区校级月考）如图所示的容器中放入底面相等并且高都是3分米的圆柱和圆锥形铁块，根据图（1）图（2）的变化知，圆柱形铁块的体积是 　9.42　 立方分米．
【分析】由圆柱和圆锥的体积公式可知，等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的．设圆柱的体积是V立方分米，根据“圆柱的体积+圆锥的体积＝21.98”列方程并求解即可．
【解答】解：由圆柱和圆锥的体积公式可知，等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的．
设圆柱的体积是V立方分米．
根据题意，得2VV＝21.98，
解得V＝9.42，
∴圆柱形铁块的体积是9.42立方分米．
故答案为：9.42．
【点评】本题考查圆锥和圆柱的体积，由圆柱和圆锥的体积公得到“等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的“是解题的关键．
21．（2025春 上海校级期末）如图，一个密闭玻璃容器是由一个圆柱和一个圆锥组成的，里面装有一些水．（单位：dm）（1）容器中水的体积是多少？（玻璃的厚度不计）
（2）如果把这个容器倒过来（如图），从圆锥顶点到水面的高度是多少？
【分析】（1）根据圆柱的体积公式计算即可；
（2）先计算圆锥的体积并与水的体积比较大小，若水的体积≤圆锥的体积，则根据圆锥的体积公式计算圆锥顶点到水面的高度即可；若水的体积＞圆锥的体积，则要计算出圆锥的底面到水面的高度，再加上圆锥的高即为从圆锥顶点到水面的高度．
【解答】解：（1）（）2π×6＝471（dm3），
∴容器中水的体积是471dm3．
（2）圆锥的体积为（）2π×6＝157（dm3），
157＜471，
6+（471﹣157）÷[（）2π]＝10（dm），
∴从圆锥顶点到水面的高度是10dm．
【点评】本题考查圆锥和圆柱的体积，掌握其体积公式是解题的关键．
22．（2025春 闵行区校级期末）如图所示为一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体，剩下的体积是多少立方厘米？
【分析】用正方体的体积减去底面直径为6厘米，高为6厘米的圆锥的体积即可．
【解答】解：6×6×63.14×（）2×6
＝216﹣56.52
＝159.48（立方厘米），
答：剩下的体积是159.48立方厘米．
【点评】本题考查了正方体和圆锥的体积，熟练掌握体积公式是关键．
23．（2025春 静安区校级期末）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，其上方为圆柱，下方尖锐，玩耍时可用绳子缠绕，用力抽绳，使其直立旋转．爷爷准备帮乐乐制作一个陀螺，他先将木料初加工成一个底面周长是25.12厘米、高是8厘米的圆柱，然后将圆柱的下部削成锥形，这样陀螺上面的部分还是圆柱，下面的部分是圆锥（如图），这时圆锥和圆柱高度的比是3：5．陀螺的体积是多少立方厘米？
【分析】先根据底面周长求出底面半径，再求出圆锥和圆柱的高，最后根据公式计算即可．
【解答】解：底面半径为25.12÷3.14÷2＝4（厘米），圆柱的高为85（厘米），圆锥的高为83（厘米），
∴3.14×42×53.14×42×3＝301.44（立方厘米），
答：陀螺的体积是301.44立方厘米．
【点评】本题考查了圆锥和圆柱的体积，熟练掌握圆锥和圆柱的体积公式是关键．
24．（2025春 浦东新区校级月考）打谷场上，有一个近似于圆锥的小麦堆如图a，测得底面直径为16m，高为1.5m，每立方米的小麦约重750千克．
（1）求这堆小麦约有多少吨？（π取3.14，得数保留整数吨）
（2）图b为装小麦的粮仓，粮仓下面为一圆柱，上面为一圆锥，已知圆柱底面半径为1米，粮仓下面圆柱的侧面积为4π平方米，图b中粮仓上面圆锥的高为图a中小麦堆的高的，将打谷场上的这堆小麦全部装入图b同样的粮仓中，至少需要这样的粮仓几个？
【分析】（1）先利用圆锥的体积公式计算出图a的圆锥的体积，然后利用每立方米的小麦约重750千克计算小麦的质量；
（2）设圆柱的高为h，利用圆柱的侧面积得到2π×1×h＝4π，解得h＝2，再计算出图b中粮仓上面圆锥的高为0.45m，接着计算出图b的粮仓的体积，然后用图a的体积除以图b的体积即可．
【解答】解：（1）圆锥形的小麦堆的体积π×82×1.5＝100.48（m3），
所以这堆小麦的质量为：100.48×750＝75360（千克）≈75（吨）；
（2）设圆柱的高为h，
根据题意得2π×1×h＝4π，解得h＝2，
图b中粮仓上面圆锥的高为1.50.45（m），
∴图b的粮仓的体积为π×12×0.45+π×12×2≈6.751（m3），
∵100.48÷6.751≈15，
∴至少需要这样的粮仓15个．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆柱的计算．
25．（2025春 崇明区期末）一个密闭玻璃容器是由一个圆柱和一个圆锥组成的，里面装有一些水（如图1，单位：厘米，玻璃的厚度忽略不计）．
（1）容器中水的体积是多少立方厘米？
（2）如果将这个容器倒过来（如图2），从水面到圆锥顶点的高度是多少厘米？
【分析】（1）直接根据圆柱的体积计算公式求解即可；
（2）先求出这个容器的总体积，进而求出图2中空白部分的体积，再求出空白部分圆柱的高即可得到答案．
【解答】解：（1）容器中水的体积：3.14×（8÷2）×（8÷2）×6＝301.44（立方厘米），
答：容器中水的体积是301.44立方厘米．
（2）圆柱的体积：3.14×（8÷2）×（8÷2）×9＝452.16（立方厘米），
圆锥的体积：（立方厘米），
所以图2中空白部分的体积为452.16+100.48﹣301.44＝251.2（立方厘米），
所以从水面到圆锥顶点的高度：6+9﹣251.2÷[3.14×（8÷2）×（8÷2）]＝10（厘米），
答：从水面到圆锥顶点的高度是10厘米．
【点评】本题主要考查了圆锥的体积，圆柱的体积，掌握其体积公式是解题的关键．
模块四：圆柱与圆锥综合（共8小题）
26．（2025秋 让胡路区校级月考）妈妈榨了一大杯橙汁（如图1）招待客人，如果倒入如图2所示的杯子中，可以倒满（　　）杯．（两个杯子的杯口同样大）
A．3 B．6 C．9 D．12
【分析】圆柱的体积公式＝πr2 h，圆锥的体积公式．设图1，图2底面圆的半径为r，根据题意用橙汁的体积除以图2所示的杯子的体积，即可解答．
【解答】解：设图1，图2底面圆的半径为r，
根据题意可以倒满（杯）．
故选：C．
【点评】本题考查了圆柱的体积，圆锥的体积，解本题的关键在熟练掌握圆柱和圆锥的体积公式．
27．（2025 利州区开学）一个圆柱形容器中装有一部分水（如图），如果要将容器中的水倒入圆锥形容器中，正好能够装满的是（　　）（单位：cm）
A． B． C． D．
【分析】根据圆柱体和圆锥体的体积关系，分别求出圆柱体内水的体积，各选项中圆锥体的体积，进行判断即可．
【解答】解：选项A、B的圆锥形容器的底面积与圆柱形容器的底面积相同，则圆锥形容器的高应为5×3＝15（cm），则A选项的圆锥形容器可以正好装满；
根据图形可知，水的体积为；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查圆柱和圆锥的体积，关键是掌握圆柱和圆锥的体积公式．
28．（2025秋 大庆校级期末）把一个底面半径是5厘米的圆锥，完全浸没在一个底面直径是20厘米的圆柱形水槽中（如图），取出圆锥后，水面下降了3厘米，这个圆锥高　36　 厘米．
【分析】根据下降的水的体积等于圆锥的体积，以及圆柱体和圆锥的体积公式进行计算即可．
【解答】解：（厘米）；
所以这个圆锥的高为36厘米，
故答案为：36．
【点评】本题考查圆柱的体积和圆锥的体积，关键是相关公式的熟练掌握．
29．（2025秋 渭滨区校级月考）把一个圆柱削成一个最大的圆锥，体积减少了90cm3，那么圆锥体积是　45　 cm3．
【分析】把一个圆柱削成一个最大的圆锥，也就是削成的圆锥与圆柱等底等高，因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以削去部分的体积相当于圆锥的体积的（3﹣1）倍，据此求出圆锥的体积，即可求解．
【解答】解：90÷（3﹣1）
＝90÷2
＝45cm3，
故答案为：45．
【点评】本题考查了等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系，掌握其相关知识点是解题的关键．
30．（2025春 青浦区校级期末）（1）如图1，求阴影部分面积．（结果保留π）
（2）如图2是从圆柱体中挖去一个圆锥后的剩余部分，请计算它的体积．（结果保留π）
【分析】（1）根据S阴影部分＝S小正方形+S扇形﹣S三角形进行计算即可；
（2）根据V剩余部分＝V圆柱﹣V圆锥进行计算即可．
【解答】解：（1）图1中，S阴影部分＝S小正方形+S扇形﹣S三角形
＝2×22×6
＝4+4π﹣6
＝4π﹣2；
（2）剩余部分的体积V＝V圆柱﹣V圆锥
＝π×（）2×20π×（）2×10
＝720π﹣120π
＝600π．
【点评】本题考查圆锥的体积，圆柱的体积，掌握圆柱、圆锥体积的计算方法是正确解答的关键．
31．（2025春 黄浦区期末）如图，是一个圆柱和圆锥组成的粮仓．已知粮仓底部直径为6m，粮仓顶部顶点到地面的高度为9m，粮仓下半部分高度为3m，求该粮仓的容积．（说明：不考虑粮仓的厚度，结果保留π）
【分析】根据粮仓的形状，上面是一个圆锥，下面是一个圆柱，分别计算它们的容积，然后相加即可．
【解答】解：π×（）2×3π×（）2×（9﹣3）＝27π+18π＝45π（m3），
答：该粮仓的容积为45πm3．
【点评】本题考查了圆柱和圆锥的体积，熟练掌握体积公式是关键．
32．（2024 离石区开学）如图所示，玻璃容器的底面直径为12cm，它的里面装有部分水，水中浸没着一个高9cm的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5cm，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？
【分析】根据题意可知，把圆锥从容器中取出后，下降部分水的体积就等于这个圆锥的体积求解即可．
【解答】解：
＝56.52×3÷9
＝18.84（cm2），
答：这个铅锤的底面积是18.84cm．
【点评】此题考查圆柱的体积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
33．（2025春 上海校级月考）蒙古包，作为蒙古族传统的居住形式，承载着浓厚的游牧文化和历史底蕴．它的上面近似于圆锥形，下面近似于圆柱形．如图，一个蒙古包圆柱底面的周长是20πm，高是2m，圆锥的高是1.2m．
（1）蒙古包的上面圆锥部分的侧面展开图是 　扇形　 （填图形名称）；下面圆柱部分的侧面展开图是 　矩形　 （填图形名称），圆柱部分的侧面展开图的面积是 　40π　 m2（结果保留π）．
（2）这个蒙古包的体积是多少立方米？（结果保留π）．
【分析】（1）根据圆柱和圆锥的侧面展开图得出结论，再根据圆柱的侧面积公式计算圆柱的侧面积；
（2）先根据圆柱的底面周长求出圆柱的底面半径，再根据圆柱和圆锥的体积公式计算即可．
【解答】解：（1）圆锥的侧面展开图是扇形，圆柱的侧面展开图是矩形；
圆柱部分的侧面展开图的面积是20π×2＝40π（m2），
故答案为：扇形，矩形，40π；
（2）∵圆柱底面的周长是20πm，
∴圆柱底面半径为：r10（m），
∴圆柱的体积：πr2×2＝π×100×2＝200π（m3），
圆锥的体积：πr2×1.2π×120＝40π（m3），
∴蒙古包的体积为200π+40π＝240π（m3）．
【点评】本题考查几何体的展开图，圆柱的体积和圆锥的体积，关键是掌握几何体的展开图．
1．（2025春 普陀区期末）综合与实践：用长方形铁皮制作无盖的圆柱形容器
实践方案：将一块长方形铁皮裁剪成两个小长方形铁片：其中一个长方形铁片作为圆柱的侧面；在另一个长方形铁片中剪出一个最大的圆面作为底面．（不考虑连接的重叠部分）
【任务一】如图1，已知长方形铁皮的长为16.56cm，按图中的裁剪方式剪出的长方形和圆正好能做一个无盖的圆柱形容器，求这个圆柱形容器的体积．（π取3.14）
【任务二】如图2，用一块长为24cm，宽为18cm的长方形铁皮制作无盖圆柱形容器．
方案A：如果以24cm作为无盖圆柱形容器底面圆的周长，请计算此时圆柱形容器的体积，并在图2上画出裁剪示意图．（标注尺寸，π取3）
方案B：如果要求制作的无盖圆柱形容器的体积最大，请设计出符合要求的方案，并在图3上画出裁剪示意图，同时通过计算说明理由．（标注尺寸，π取3）
【任务三】为了提高长方形铁皮的利用率，完成方案A、B后，在各自剩余材料中先裁剪一个尽可能大的长方形铁片，再在长方形铁片的内部截取一个尽可能大的完整半圆面，将其制作成一个无底面的圆锥形容器，此时在方案A和方案B中，哪种方案对长方形铁皮的利用率高？（材料不拼接使用，π取3）
【分析】任务一：设圆柱底面圆半径为r，根据题意可得2r+2πr＝16.56，得出r＝2cm，根据圆柱的体积公式求解即可．
任务二：方案A：根据题意可得r＝24÷（2π）＝4cm，故圆柱形容器的高10cm，根据圆柱的体积公式求解再画出示意图即可；
方案B：以18cm作为无盖圆柱形容器底面圆的周长，则r＝18+（2π）＝3cm，故圆柱形容器的高18cm，根据圆柱的体积公式求解再画出示意图即可；
任务三：如图1，方案A剩余部分最大长方形铁片的长和宽分别为16cm，8cm，则该半圆的半径为8cm，根据利用率＝（半圆面积+圆的面积+小长方形的面积）÷大长方形的面积求解即可；如图2，方案B剩余部分最大长方形铁片的长和宽分别为12cm，6cm，则该半圆的半径为 6cm，根据利用率＝（半圆面积+圆的面积+小长方形的面积）÷大长方形的面积求解即可．
【解答】解：任务一：设圆柱底面圆半径为r，根据题意可得2r+2πr＝16.56，即2r+6.28r＝16.56，
解得：r＝2，
则这个圆柱形容器的体积＝πr2×2r≈3.14×22×2×2＝50.24cm3；
任务二：方案A：根据题意可得r＝24÷（2π）＝24÷6＝4cm，
故圆柱形容器的高＝18﹣2×4＝10cm，
该圆柱形容器的体积＝10×π×42＝10×3×16＝480cm3，
示意图如下：
方案B：以18cm作为无盖圆柱形容器底面圆的周长，
则r＝18÷（2π）＝18÷6＝3cm，
故圆柱形容器的高＝24﹣2×3＝18cm，
示意图如下：
该圆柱形容器的体积＝18×π×32＝18×3×9＝486cm3，
∵486＞180，
故以18cm作为无盖圆柱形容器底面圆的周长时体积最大．
任务三：如图1，方案A剩余部分最大长方形铁片的长和宽分别为24﹣8＝16cm，8cm，
∵16＝2×8，该半圆的半径为8cm，
∴该半圆的面积，
利用率
如图2，方案B剩余部分最大长方形铁片的长和宽分别为18﹣6＝12cm，6cm，
∵12＝2×6，该半圆的半径为6cm，
∴该半圆的面积，
利用率，
∵93.8%＞88.9%，
故方案B利用率更高．
【点评】本题考查了圆柱的体积和展开图，圆面积，理解题意是解题的关键．
2．（2025春 杨浦区校级期末）点动成线，线动成面，面动成体，立体之美，无处不在，需要我们会用数学的眼光观察现实世界．如图，直角三角形ABC，绕AB边旋转一周所得的圆锥放到一个盛有水的圆柱形容器中，完全浸没，水面上升至8cm，求未放入圆锥前圆柱形容器内的水面高度？
【分析】先确定圆锥的底面半径和高，然后再用圆锥的体积公式求出圆锥的体积；设未放入圆锥前圆柱形容器内的水面高度为h，根据“放入圆锥后的总体积＝圆锥体积+未放入圆锥的水的体积”列方程求解即可．
【解答】解：设未放入圆锥前圆柱形容器内的水面高度为h，
圆锥的体积为：．
由题意可得：，
解得h＝6.72．
答：设未放入圆锥前圆柱形容器内的水面高度为6.72cm．
【点评】本题主要考查了圆锥的体积、圆柱的体积，掌握圆锥、圆柱的体积公式成为解题的关键．
3．（2025 五华区开学）科科在学习“圆锥的体积”时，用等底等高的圆柱和圆锥形容器进行了如下实验．
第一步：把圆柱形容器装满水后，再全部倒入烧杯，静止后，水面对准烧杯的300mL刻度处． 第二步：把烧杯里面的水全部倒入圆锥形容器，倒满3次刚好倒完． 第三步：从圆锥形容器里面测量的高是10cm．
请根据科科的实验操作解决下面的问题．
（1）圆锥的底面积是多少平方厘米？
（2）把圆柱形容器装满水后，接着放入一块棱长为2cm的正方体铁块，铁块浸没后会溢出多少水？
【分析】（1）根据题意可知圆锥的体积为300÷3＝100立方厘米，再根据圆锥体积计算公式求解即可；
（2）根据题意可知溢出的水的体积即为正方体的体积，据此求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：300÷3＝100，
，
，
S＝30平方厘米，
答：圆锥的底面积是30平方厘米；
（2）由题意得：溢出的水的体积即为正方体的体积，
2×2×2＝8cm3，
答：铁块浸没后会溢出8cm3水．
【点评】本题主要考查了圆锥的体积计算，正方体的体积计算，掌握体积公式是解题的关键．
4．（2025 二七区开学）在学习了圆柱和圆锥的体积之后，琪琪用圆柱体容器和圆锥体容器进行了下面两个实验：
（1）实验一：琪琪在圆柱体容器里面装了一些水（如图），水深6厘米，再将这些水倒入一个圆锥体容器中．如果倒入等底的圆锥体容器中恰好倒满，则琪琪应该选择高是多少厘米的圆锥体容器？
（2）实验二：琪琪按下面的步骤测量了一块不规则石头的体积．根据测量过程，请你求出石头的体积．
【分析】（1）等底等高的圆柱与圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，由此可解；
（2）石头的体积等于排开水的体积，利用圆柱体积公式即可求解．
【解答】解：（1）6×3＝18（厘米），
答：琪琪应该选择高是18厘米的圆锥体容器，
（2）π×（12÷2）2×（8﹣6）﹣120
＝3.14×36×2﹣120
＝226.08﹣120
＝106.08（立方厘米），
答：石头的体积为106.08立方厘米．
【点评】本题考查圆柱与圆锥的体积，掌握等底等高的圆柱与圆锥的体积关系是解题的关键．
5．（2025 大同开学）某冷饮公司今年夏天生产的一款奶油冰激凌（如图①），奶油冰激凌可以近似的看成两个圆锥的组合体（如图②）．上方奶油部分是底面半径3cm、高4cm的圆锥，下方脆壳部分（忽略厚度不计）是底面半径3cm、高9cm的圆锥．根据生产要求，下方脆壳中会加入部分奶油，脆壳中奶油占脆壳体积的．制作这样一个冰激凌需要多少立方厘米的奶油？
【分析】根据圆锥体的体积公式分别计算出上方奶油部分的体积和下方脆壳中加入的奶油体积，然后进行计算即可．
【解答】解：由题意可知：上方奶油部分的体积是，下方脆壳中加入的奶油体积是，
所以制作这样一个冰激凌需要的奶油体积是12π+9π＝21π（立方厘米），
答：制作这样一个冰激凌需要21π立方厘米的奶油．
【点评】本题考查了求圆锥体的体积，掌握圆锥体积公式是解题的关键．
1．（2025春 宝山区校级期末）一个圆柱和一个圆锥，体积之比是4：3，底面半径之比是2：5，那么这个圆柱和圆锥的高之比是 　25：9　 ．
【分析】分别表示出圆柱和圆锥的体积，再进行相比得到答案．
【解答】解：设圆柱的底面圆半径为2r，高为h1，圆锥底面圆半径为5r，高为h2，
∵圆柱和圆锥的体积之比是4：3，
∴4：3，
∴44：3，
∴h1：h2＝25：9，
故答案为：25：9．
【点评】本题主要考查了圆柱与圆锥的体积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
2．（2025春 闵行区期末）把一个圆锥从顶点沿高将它切成两半，表面积增加了48cm2，如果圆锥的底面周长是18.84cm，那么这个圆锥的体积是 　75.36　 cm3．
【分析】根据圆锥的底面周长，求出圆锥的底面直径，再求出圆锥的高，最后求出圆锥的体积．
【解答】解：由条件可知圆锥的底面直径为：18.84÷3.14＝6（cm），
∵把一个圆锥从顶点沿高将它切成两半，表面积增加了48cm2，
∴圆锥的高为：48÷2×2÷6＝8（cm），
∴圆锥的体积为：．
故答案为：75.36．
【点评】本题主要考查了圆锥的体积计算，熟练掌握该知识点是关键．
3．（2025春 杨浦区校级期末）实验室里有一个圆柱和一个圆锥模型，它们底面直径都是20厘米，高都是15厘米，它们的体积一共是 　6280　 立方厘米．（π取3.14）
【分析】直接根据圆锥与圆柱的体积公式计算即可．
【解答】解：它们的体积一共是3.14×（）2×153.14×（）2×15＝4710+1570＝6280（立方厘米）．
故答案为：6280．
【点评】本题主要考查了圆柱的体积、圆锥的体积，牢记掌握圆柱、圆柱的体积公式是解题的关键．
4．（2025春 松江区校级月考）一个深30厘米的圆柱形容器，外圆直径是22厘米，壁厚1厘米，已装深27.5厘米的水，现放入一个底面直径10厘米，高30厘米的圆锥形铁块，则将有 　0　 立方厘米的水溢出．
【分析】分别根据圆柱和圆锥的体积公式求出圆柱形容器剩余的容积和圆锥形铁块的体积，比较圆柱形容器剩余的容积和圆锥形铁块的体积大小并计算即可．
【解答】解：圆柱形容器的内圆半径为22÷2﹣1＝10（厘米），
圆柱形容器剩余的容积为（30﹣27.5）π×102＝250π（立方厘米），
圆锥形铁块的体积为π（）2×30＝250π（立方厘米），
∵250π＝250π，
∴将有0立方厘米的水溢出．
故答案为：0．
【点评】本题考查圆柱和圆锥的体积，掌握圆柱和圆锥的体积计算公式是解题的关键．
1．（2025春 杨浦区校级期末）如图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，且水面半径也正好是圆锥底面半径的一半，则这个容器还能装水 　35　 升．
【分析】水面半径是r分米，水面高度为h分米，则装满水时水面半径是r分米，圆锥的高为h分米，求出圆锥的容积，容器中现在水的容积，据此可求出装满水的体积是现在水的体积的倍数，从而可求出装满水的容积，再减去现在水的容积，就是所求的答案．
【解答】解：根据图形可知，水面半径是r分米，水面高度为h分米，则装满水时水面半径是r分米，圆锥的高为h分米，
∴水的体积为：π×（r）2hπr2h，
容器的容积为：πr2h，
∴水的体积与容积之比是：πr2h：πr2h＝1：8，
∵水的体积是5升，
∴容器的容积是5×8＝40（升），
∴40﹣5＝35（升），
∴还能装下35升水．
故答案为：35．
【点评】此题考查了圆锥的体积公式的灵活应用，这里根据题干得出水的底面半径与容器的底面半径之比是解决本题的关键．
2．（2025春 宝山区校级期末）一个高为30cm的圆锥形容器盛满水，倒入和它等底等高的圆柱形容器中，水的高度为 　10　 cm．
【分析】等底等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积等于等底等高的圆柱体积的，由此可解．
【解答】解：∵圆锥的体积等于等底等高的圆柱体积的，
∴一个高为30cm的圆锥形容器盛满水，倒入和它等底等高的圆柱形容器中，水的高度为3010（cm）．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是圆锥的体积、圆柱的体积，熟记圆锥、圆柱的体积公式是解题的关键．
3．（2025春 徐汇区校级期末）一个直角三角形，两条直角边长是3cm、4cm．斜边长5cm．如果绕直角边旋转一周，那么所占空间是 　16π或12π　 立方厘米．（结果保留π）
【分析】分绕3cm的直角边旋转一周和绕4cm的直角边旋转一周，两种情况进行求解即可．
【解答】解：当绕3cm的直角边旋转一周时：（立方厘米）；
当绕4cm的直角边旋转一周时，（立方厘米）；
故答案为：16π或12π．
【点评】本题考查求圆锥的体积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
4．（2025春 杨浦区校级期末）一个圆柱和一个圆锥的底面半径之比为3：4，高之比为2：1，则它们的体积之比是 　27：8　 ．
【分析】设圆柱的底面半径是3r，则圆锥的底面半径是4r，设圆柱的高是2h，则圆锥的高是h，再根据圆柱与圆锥的体积公式计算即可．
【解答】解：设圆柱的底面半径是3r，则圆锥的底面半径是4r，设圆柱的高是2h，则圆锥的高是h，
∴它们的体积之比是π×（3r）2×2h：π×（4r）2×h＝27：8．
故答案为：27：8．
【点评】本题主要考查了圆柱的体积、圆锥的体积，牢记掌握圆柱、圆柱的体积公式是解题的关键．
5．（2025春 虹口区期末）计算图中圆柱的表面积以及圆锥的体积．（π取3.14）
（1）
（2）
【分析】（1）根据圆柱的表面积公式计算即可；
（2）根据圆锥的体积公式计算即可．
【解答】解：（1）S＝6π×12+2×（）2π＝282.6，
∴该圆柱的表面积是282.6．
（2）V（）2π×12＝314，
∴该圆锥体积是314．
【点评】本题考查圆柱的表面积、圆锥的体积，掌握其计算公式是解题的关键．
6．（2025秋 昆明期中）中国航天员科研训练中心研发的“太空菜园”装置，在“天宫二号”进行生菜在轨培养试验成功后，某科技小组设计了一个微型种植舱模型．将该模型抽象出来的几何图形如图所示，整个种植舱由圆柱形生长舱和圆锥形营养舱组成，总高度为80厘米，营养舱的高度为总高度的，生长舱与营养舱的底面圆周长均为60π厘米．（备注：，结果保留π）
（1）营养舱的高度为　20　 厘米，底面半径为　30　 厘米；
（2）求该微型种植舱模型的体积．
【分析】（1）理解题意，进行列式计算得营养舱的高度为20厘米，结合圆周长公式进行列式计算，得底面半径为30厘米，即可作答．
（2）分别算出圆柱的体积，圆锥的体积，再相加，即可作答．
【解答】解：（1）∵总高度为80厘米，营养舱的高度为总高度的，
∴（厘米），
∵生长舱与营养舱的底面圆周长均为60π厘米．
∴60π÷π÷2＝30（厘米），
即营养舱的高度为20厘米，底面半径为30厘米，
故答案为：20，30；
（2）由（1）得营养舱的高度为20厘米，底面半径为30厘米；
∴80﹣20＝60（厘米），即圆柱形生长舱的高度为60厘米，
则（立方厘米），
∴该微型种植舱模型的体积为60000π立方厘米．
【点评】本题考查了圆柱的体积，圆锥的体积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
7．（2025秋 鲁山县校级月考）一个直角三角尺的两条直角边长分别是6和8，它的斜边长是10，将这个三角尺绕着它的一边所在的直线旋转一周．
（1）如果绕着长为6的直角边所在的直线旋转一周，那么形成的几何体的体积是多少？（结果保留π）
（2）绕着斜边所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着长为8的直角边所在的直线旋转一周形成的几何体的体积哪个大？通过计算说明理由．
【分析】（1）确定旋转后几何体为圆锥，底面半径为另一直角边8，高为旋转的直角边6；代入圆锥体积公式计算．
（2）绕斜边旋转：先由直角三角形面积法（两直角边乘积＝斜边×斜边上的高）求出底面半径，明确几何体为两同底圆锥组合（高之和为斜边10），代入体积公式算体积；绕长为8的直角边旋转：确定几何体为圆锥，底面半径为6、高为8，代入体积公式算体积；最后比较两者体积大小．
【解答】解：（1）根据题意得形成的几何体的体积是；
（2）①如图，根据题意得6×8＝10r，
∴，
所以绕着斜边所在的直线旋转一周形成的几何体是由两个底面半径为 ，两高之和为10的圆锥组成的，体积为 ，
②绕着长直角边所在的直线旋转一周形成的几何体是一个底面半径为6，高为8的圆锥，体积为 ，
故绕着长直角边所在的直线旋转一周形成的几何体的体积大．
【点评】本题考查了圆锥的体积公式及直角三角形绕不同边旋转形成几何体的判断，解题的关键是明确旋转后几何体的形状（圆锥或两个同底圆锥的组合体），并准确确定圆锥的底面半径和高．绕直角边旋转时形成单个圆锥，底面半径为另一条直角边，高为旋转的直角边；绕斜边旋转时形成两个同底圆锥的组合体，需先通过面积法求出底面半径，两圆锥高之和为斜边长度．
8．（2024 中山市校级开学）某餐厅为了获得完美餐品，上餐用如图的沙漏计时，并推出“菜品30分钟不上齐免单”措施．周日，冬冬全家去此餐厅用餐，可以免单吗？请说明理由．
【分析】根据圆锥的体积计算公式： 即可计算出沙漏上部分沙子的体积，然后用沙漏下半部分显示的体积除以每分钟沙漏下漏的体积求出时间，根据 时间是否超出30分钟即可判断．
【解答】解：3.14×1＝3.14（cm3），
94.2÷3.14＝30（分钟）
答：不能免单，因为30分钟内可以上齐菜品．
【点评】本题考查圆锥的体积，解题的关键是掌握圆锥体积的计算方法．
9．（2024秋 翁源县期中）圆锥形一次性水杯通常被称为“锥形纸杯”或“尖底杯”，它们通常由纸浆制成，具有一定的强度和耐用性，可以容纳冷饮或热饮．这种水杯的设计使得它们可以方便地堆叠和存放，同时也方便手持和饮用．因此，它们通常用于机场、咖啡店、快餐店等场所，作为临时饮用容器，如图是锥形纸杯．
（1）锥形纸杯底面半径为r，高为h，求锥形纸杯的容积；
（2）若r＝34mm，h＝90mm，π取3，求一个锥形纸杯可装多少水？
【分析】（1）根据锥形的体积公式即可得出答案；
（2）把r和h的值代入计算即可．
【解答】解：（1）锥形纸杯的容积：h；
（2）当r＝34mm，h＝90mm，π取3.14时，
πr2h3×342×90＝104040（mm3），
答：一个锥形纸杯可装水104040mm3．
【点评】本题考查了圆锥的体积，熟练掌握圆锥的体积公式是关键．
10．（2024 阳谷县校级开学）这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色的水．其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米．已知水的流速是1.57立方厘米/分．
（1）圆锥内漏完水需要多少时间？
（2）请你在图2中用阴影表示出此时圆柱内的水．
【分析】（1）根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式求出圆锥容器内水的体积，然后根据“包含”除法的意义，用除法解答．
（2）因为等底等等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此解答即可．
【解答】解：（1）
＝56.52÷1.57
＝36（分钟），
答：圆锥内漏完水需要36分钟．
（2），
作图如下：
【点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系是关键．
11．（2023 鄠邑区开学）如图，一个底面半径为12cm的圆柱形容器，里面装有水，水面高度为5cm，将一个圆柱形铁块和一个圆锥形铁块（圆柱铁块和圆锥铁块的底面半径相等，高相等）同时放入这个容器中，水面上升到9cm，这个圆锥形铁块的体积是多少？（π取3）
【分析】水面上升的体积，就是圆柱和圆锥铁块的体积．根据圆柱的体积计算公式“V＝Sh”即可求出水面上升的体积，即圆柱和圆锥的体积和，等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，利用体积除以（3+1）即可求出圆锥的体积．
【解答】解：3×122×（9﹣5）÷（3+1）
＝3×144×4÷4
＝432（cm3）．
答：这个圆锥形铁块的体积是432cm3．
【点评】此题主要考查某些实物体积的测量方法，关键是熟悉等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍的知识点．
12．（2024秋 香坊区期末）蜂窝煤是由煤炼制而成的．如图1，每个蜂窝煤中都有12个相同的空心小圆柱，每个蜂窝煤底面的直径为12cm，高为10cm，其中空心小圆柱底面的直径均为2cm．
（1）求一个蜂窝煤大约需要用煤多少立方厘米（结果保留π）？
（2）如图2，现有一堆煤，近似于一个圆锥，它的底面直径为4米，高为0.9米，如果用这堆煤来制作图1中的蜂窝煤，可以制作多少个蜂窝煤？
（3）如图3，若将12个这种蜂窝煤按如图所示的方式放入有盖的包装箱内，则这个箱子的表面积至少是多少（箱子厚度忽略不计）？
【分析】（1）求一块蜂窝煤的用煤量，就用这块蜂窝煤的总体积减去16个圆柱形小孔的体积；由此根据圆柱的体积公式V＝sh＝π（d÷2）2h分别求出蜂窝煤的体积和圆孔的体积，再用蜂窝煤的总体积减去12个圆孔的体积即可；
（2）求出圆锥的体积，可得结论；
（3）判断出长方体的长，宽，高，可得结论．
【解答】解：（1）煤球的体积：π×（12÷2）2×10＝360π（立方厘米），
煤球的12个圆柱形孔的体积是：π×（2÷2）2×10×12＝120π（立方厘米），
煤球的体积是：360π﹣120π＝240π（立方厘米）．
（2）圆锥的体积π×2002×90＝1200000π（立方厘米），
5000（个），
∴这堆煤来制作图1中的蜂窝煤，可以制作5000个蜂窝煤．
（3）这个长方体的长为48厘米，宽为36厘米，高为10厘米，
所以这个长方体的表面积为：2×（48×36+36×10+48×10）＝5136（平方厘米）．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，圆柱，圆锥的体积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

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