资源简介

24.2圆的确定
【教材分析】
本节课的教学内容是沪科版九年级下册第24章第2节《圆的确定》.
本节课的内容是通过探究确定圆的条件及三角形的外接圆等相关概念,让学生明白确定圆的条件是“不在同一直线上的三点”.如果一个圆过定点，已知它的圆心，那么这个圆的半径也就是一定的，因此过一点作圆的实质就是确定圆心和半径.教科书首先与作直线类比，引入经过已知点的作圆的问题即探究经过一个点、两个点、三个点分别能否作出圆、能作多少个圆的问题，归纳总结出“不在同一直线上的三点确定一个圆”的结论.在此基础上，自然引入三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形等概念.
【学情分析】
学生在之前的学习中,已经接触过了圆的相关概念,知道圆心和半径确定了,圆也就确定了.除此之外,之前还学习过线段垂直平分线的性质和画法以及探究过“两点确定一条直线”,因此在学习圆的确定时,是具备相应的知识和思想基础的.但是过两点和过三点作圆时确定圆心的方法是绘制已知两点所连线段的垂直平分线,通过垂直平分线的交点来确定圆心,在这个过程中部分学生可能无法建立圆与垂直平分线两者之间的关联.
【教学目标】
1.了解不在同一直线上的三点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念.
2.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程,形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性.
3.学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果,发展实践能力与创新精神.
【教学重点与难点】
1.教学重点：
1.理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆并掌握其作法.
2.了解三角形的外接圆、外心.
2.教学难点：探究并理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
【教法与学法】
本节课我采用问题探究式的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，在经历发现、分析和解决问题的过程中，让学生去观察、探索、操作、验证、应用，从真正意义上完成对知识的自我建构.
另外，在教学过程中，我采用多媒体辅助教学，以直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率.
【教学过程】
一、复习回顾，引入新课
生活数学：
一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出整个圆形碎片，以便进行更深入的研究吗？
师：我们平时在纸上是如何画出圆的？请同学们在纸上操作一下.
生用圆规动手完成.
师：画圆时，我们主要确定了哪几个关键要素？
生：圆规的一只脚确定圆心，另一只脚确定半径.
师总结：作圆时，确定了圆心和半径，圆就唯一确定了.
【设计意图】：在作圆的过程中，让学生思考作圆的关键因素：圆心和半径.
师：请同学们回忆一下，我们之前是如何确定一条直线的？
生：两点可以确定一条直线.
师：是的，我们知道过一点可以作无数条直线；过两点可以确定一条直线.那几个点可以确定一个圆呢？下面我们将共同探讨这个问题《圆的确定》.
【设计意图】：从学生熟悉的直线的确定入手,引入本节课的课题:圆的确定.可以激发学生的好奇心,培养学生学习数学的兴趣.此时我把学生带入下一环节.
二、合作交流，探究新知
这个环节我一共设置了七个问题.
问题1.已知平面上一个点A,你可以作一个圆,使它经过这个点吗 请你试一试.
师:展示学生的作图.并且追问:你是怎么作出来的 你能作出几个这样的圆 为什么经过此点的圆有无数个？
【设计意图】：先从经过一个点作圆入手,通过展示学生作品,提问作法,让学生认识到作圆就是要确定圆心和半径也就是要确定定点和定长. 通过这个问题设定的思维场景，学生的思维有了一个自然的呈现状态。
问题2.你再添一个点B，可以作圆吗 可以做多少个？
学生作圆，使它经过已知点A，B.
教师提问：展示学生的作图.并且追问:你是怎么作出来的 圆心选在哪里能作出过A、B的圆？你能作出几个这样的圆
学生通过分析讨论，发现过A、B的圆的圆心应该选在AB的垂直平分线上，所以应先作出AB的垂直平分线，进而发现圆心的位置不唯一，圆有无数个.
【设计意图】：在问题1的基础上，让学生进行大胆设想，圆心所处的位置的特殊性，学生在老师设置的问题下会产生好奇心,一是可以不断激发学生学习数学的兴趣,二是激发本节课学生探究的热情,三是对此问题的思考也是进一步深入思考的入口.这也是本节课的“萌芽问题”，让学生通过“萌芽问题”引发思考，激活思维.
问题3.再添一个点C，三点能不能确定一个圆呢？你打算添在哪？
生:分组讨论.动手操作，分成两类：C与AB在同一直线上；C与AB不在同一直线上.
【设计意图】：在问题 2 的基础上，通过添加点，使学生在添加点的过程中感受三点的位置区别，从而发现问题，解决问题，为下面进行分类讨论铺垫.也能更好的引导学生在探究问题中考虑问题的全面性.
问题4.作过平面上不在同一直线三个点的圆,如何找圆心
生:分组讨论,动手操作.
师:展示作品.并且追问:你是怎么作出来的 你能作出几个这样的圆
生：讨论总结，过不在同一条直线的三点确定一个圆.
【设计意图】：在问题 2 的基础上，由“两个点到三个点”继续深化研究。而通过问题 2 的思维方向，学生对解决“如何过不在同一条直线的三个点作一个圆”的尺规作图显得得心应手，并在实践中自己能够总结得出“过不在同一条直线的三点确定一个圆”的结论.这也是这一节课的主枝问题.
问题5.能否作出过同一直线上的三个点的圆 为什么？
生：操作讨论，总结发现不能.
【设计意图】：在问题2,4的思维上，学生自然地考虑到通过找垂直平分线的交点确定圆心，但两条垂直平分线没有交点，因此对定理中“不在同一直线上”的条件理解的更加深刻清晰.
师生合作：归纳生成定理“过不在同一条直线的三点确定一个圆”.
师追问：能否利用上面的结论解决开始的问题情境呢？
生：分组讨论，我们可以在这个圆上任取3个点，把问题转化为作过这三个点的圆的问题.
师：我们知道,不在同一条直线的三个点首尾顺次连接可以构成一个三角形,那么这个圆就经过三角形的三个顶点.此时，我们称这个圆叫这个三角形的外接圆，圆心称为三角形的外心.
问题6.三角形的外心有几个？有什么性质？
生:分组讨论,合作交流.
教师给出相关定义.
【设计意图】：哲学家黑格尔说过：“创造性思维需要有丰富的想象。”比如在这个问题上如果直接告诉学生新概念，学生很容易对新概念产生误解和混淆。此时顺着学生思维发展的方向，先逐步探究圆心的由来，再由三个点联想到三角形，在此基础上自然定义三角形的外接圆、三角形的外心等概念。引导学生在旧知识的基础上自然生长出新概念，不仅加深对新概念的理解，也让学生从实践中体会数学的乐趣和价值.
问题 7：现在你知道如何将如图所示的破损圆盘复原了吗？
组织学生进行讨论总结方法.
师生总结：可以在破损圆盘上任取三个点，将问题转化成过不在直线上作一个圆的过程.
【设计意图】：在问题导学过程中，教学目标提出后，常常把学生要思考的内容连成串，精心设计问题生长的路径，引导学生思维合理生长。在这里，从问题 1 到问题 4 是研究过平面内的点作圆的问题，通过问题5强化对定理的认识，由问题 4 发散出的问题 6 则是种子萌芽后的自然生长.最后通过问题7回到开始的情境中，既能承接本节课，又能培养学生运用数学知识解决实际问题的能力.
三、强化训练，巩固双基
例题.若已知△ABC，我们可以用直尺与圆规作出过这个三角形三个顶点的圆.
拓展提升：任意四个点是不是可以作一个圆，你会怎样研究呢？
【设计意图】：例题的设置，不仅能够让学生理解两道习题各有侧重，其中第1题是一道作图题，进一步提高学生运用所学知识动手操作的能力.第2题是课堂延伸的问题，不仅能让学生更加深刻的感悟本节课的方法，也能更加深入的去探讨本节课的内容.
练习的设置体现了新课标提出的让不同的学生在数学上得到不同发展的教学理念.这一环节总的设计意图是反馈教学，内化知识.
四、总结归纳，拓展深化
我的理解是，小结归纳不应该仅仅是知识的简单罗列，而应该是优化认知结构，完善知识体系的一种有效手段，为充分发挥学生的主体作用，从学习的知识、方法、体验各个方面进行归纳，并让学生自己谈这节课的收获与体会。
五、 布置作业，提高升华
以作业的巩固性和发展性为出发点，我设计了必做题和思考题，必做题是对本节课内容的一个反馈，选做题是对本节课知识的一个延伸。从问题 1 起，学生经历了探究作一个圆过一个点、过两个点、过不在同一条直线的三个点的过程，自然会提出过在同一条直线上的三个点能否作圆这个问题.虽然这不是本节课要探究的内容,但是由本节课的主枝问题自然延伸出来的,所以我认为教师不应丧失让部分学生进一步发展数学思维的机会。更何况，思维需要在一个较好的情境中才能自然生长.
【教学评价】
纵观整节课，以问题驱动方式开展教学，学生得到的不仅仅是一个结果，更重要的是在探究过程中思维不断生长，从简单到复杂、从易到难、从封闭到开放，从课标要求到适度拓展，并且不同层次的学生都能得到发展。
恩格斯说，“思维是地球上最美丽的花朵。”数学教学过程是学生数学核心素养不断提升的过程，这就需要教师在学生思维发展的过程中，设计具有挑战性、引导性、延伸性的问题，不断促进学生思维向更深更远的地方生长。这样的数学教学过程，才是学生数学思维不断生长的过程.

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