资源简介

8.1 平方根
课程：初中数学
教材：初中数学人教版七年级下册
章节：8.1 平方根
教材分析
本节课以“已知平方求原数”为切入点，通过具体实例引入平方根概念，类比平方与开平方的互逆关系，归纳正数、0、负数平方根的特点，进而定义算术平方根，并借助几何拼图与估算活动渗透无理数思想，最后通过计算器探究算术平方根的变化规律。教学过程遵循“情境导入—概念建构—性质探究—应用拓展”逻辑链，注重从具体到抽象、数形结合与合情推理。本节内容上承有理数与乘方运算，下启实数体系与二次根式运算，是学生首次接触无限不循环小数和非负数开方限制的关键一课，有助于发展数感、符号意识与估算能力，为后续学习勾股定理、二次函数及实数运算奠定坚实基础。
学情分析
八年级学生已掌握有理数的运算、乘方运算及简单方程求解，理解“一个数的平方”含义，具备初步的逆向思维意识，为学习平方根奠定了知识基础；此阶段学生抽象思维逐步发展，但对“互为逆运算”“双重符号表示”及“无限不循环小数”等概念仍较陌生，易混淆平方根与算术平方根，对负数无平方根的理解易受正整数经验干扰；本节课要求学生能准确区分平方根与算术平方根，理解 与 的含义及适用条件，掌握开平方与平方的互逆关系，并能借助计算器估算 的近似值，发展数感与符号意识，提升从具体到抽象的数学理解能力，为后续学习实数、二次根式及函数奠定关键基础。
教学目标
1.理解平方根与算术平方根的概念及区别，掌握 与 的含义与读法，发展数学抽象与符号意识，提升数学表达与辨析能力。
2.能依据 求具体数的平方根，理解正数、0、负数平方根的存在性，通过逆运算思想强化运算能力与逻辑推理素养。
3.会估算 等无理数的近似值，借助计算器探索算术平方根的变化规律，培养数感、估算能力与数据处理素养。
重点难点
重点：
掌握平方根、算术平方根的定义；能求非负数的平方根与算术平方根。
难点：
区分平方根与算术平方根；理解 这类无限不循环小数的意义。
课堂导入
课堂导入设计
同学们，我们先做个“反向挑战”：
已知一个数的平方是25，你能说出这个数是多少吗？没错，5和-5都满足。那如果平方结果是16、是0呢？
我们之前学过，知道一个数可以求它的平方，今天我们就来研究这个运算的“逆过程”——已知平方结果，如何反推原数。
这个逆运算会引出一个新的概念：平方根。通过今天的学习，我们还会搞清楚正数、0、负数的平方根各有什么特点，甚至认识像 这样特殊的无限不循环小数。
接下来就让我们一起走进平方根的世界。
算术平方根
探究新知
（一）知识精讲
同学们，我们已经知道正数 有两个平方根，其中正的平方根 叫作 的算术平方根。今天我们要通过一个具体的例子来深入理解这个概念。请看这个探究问题：怎样用两个面积为1 dm 的小正方形拼成一个面积为2 dm 的大正方形？
如图8.1-2所示，我们可以将两个小正方形分别沿对角线剪开，得到4个直角三角形。将这4个直角三角形重新拼合，就能组成一个面积为2 dm 的大正方形。设这个大正方形的边长为 dm，根据面积公式可以得到方程 。由于边长必须为正数，所以 dm。
接下来我们来探究 的具体大小。通过逐步逼近的方法：
因为 ，所以 ；
因为 ，所以 ；
继续精确计算可以得到 ， ，等等。
事实上， ，它是一个无限不循环小数。类似地， 、 、 等很多正有理数的算术平方根也都是无限不循环小数。
（二）师生互动
教师提问：同学们，通过刚才的探究，我们发现 是一个无限不循环小数。那么，你们能举出其他类似的例子吗？比如 的大小范围是怎样的？
学生回答：我们可以用类似的方法来估算 。因为 ，所以 ；又因为 ，所以 。
教师追问：很好！那为什么这些数的算术平方根都是无限不循环小数呢？它们和我们之前学过的有理数有什么区别？
学生思考后回答：因为这些数的平方不能表示为两个整数的比，所以它们的算术平方根不是有理数，而是无限不循环小数。
（三）设计意图
通过具体的拼图操作和逐步逼近的计算方法，帮助学生直观理解算术平方根的概念和性质。培养学生的动手操作能力、数形结合思想和估算能力。引导学生从具体到抽象，逐步建立对无理数的认识，体会数学的严谨性和精确性。通过师生互动，激发学生的探究兴趣，培养他们的数学思维能力和问题解决能力。
新知应用
例3题目：
求下列各数的算术平方根：
(1) ； (2) ； (3) 。
解答：
我们根据算术平方根的定义来逐题求解：
定义回顾：一个非负数 的算术平方根，是指非负数 ，使得 ，记作 。特别地， ；负数没有算术平方根（初中阶段不讨论）。
(1) 求 的算术平方根：
我们要找一个非负数 ，使得 。
因为 ，且 ，满足定义；
而 ，但 ，不是算术平方根（只是平方根之一）。
所以， 的算术平方根是 ，即
(2) 求 的算术平方根：
我们要找一个非负数 ，使得 。
观察分子分母： ， ，所以
且 ，符合非负要求；
而 虽然也满足平方等于 ，但它是负数，不符合“算术”平方根的定义。
所以， 的算术平方根是 ，即
(3) 求 的算术平方根：
先将小数转化为分数或观察其结构：
，
验证： ，且 ；
所以， 的算术平方根是 ，即
（也可写成分数形式： ，故 ，但题目未要求，保留小数即可。）
总结：
1.题目考查内容
① 算术平方根的概念与定义（强调“非负性”）；
② 对常见数（整数、分数、有限小数）的算术平方根的识别与计算；
③ 平方运算与开平方运算的互逆关系（即若 ，则 ，其中 ）。
2.题目求解要点
① 紧扣定义：必须找到满足 且 的唯一解；
② 区分平方根与算术平方根：正数有两个平方根（一正一负），但算术平方根只有唯一一个，且一定是非负数；
③ 数的形式转化技巧：
　　- 整数 → 想“哪个正整数的平方等于它”；
　　- 分数 → 分别对分子、分母开方（前提是均为完全平方数），即 （ ，且 ）；
　　- 小数 → 化为科学记数法或观察小数位数（如 有 4 位小数，其算术平方根应有 2 位小数）；
④ 书写规范：结果必须用 符号表示等价关系，如 ，不可省略等号或写成“ ”。
新知巩固
题目：
怎样用两个面积为 的小正方形拼成一个面积为 的大正方形？这个大正方形的边长是多少？进一步探究： 的大小范围如何逐步确定？它是一个什么类型的小数？
解答：
第一步：理解问题中的数量关系
每个小正方形面积为 ，两个共 。拼成的大正方形面积也为 。设其边长为 ，根据正方形面积公式：
由于边长是实际存在的长度，必须取非负数，因此只取算术平方根：
所以大正方形的边长是 。
第二步：估算 的大小（夹逼法）
我们知道：
，所以 ；
再试一位小数： ，所以 ；
再试两位小数： ，所以 ；
再试三位小数： ，所以 ；
依此类推，可不断缩小范围，得到越来越精确的近似值。
第三步：认识 的本质
通过计算器或更精细计算可知：
它的小数部分既不终止，也不循环，因此 是一个无限不循环小数，即无理数。
同理， 、 、 等正有理数的算术平方根（当被开方数不是完全平方数时）也都是无限不循环小数，属于无理数。
总结：
1.题目考查内容
算术平方根的概念与符号表示（ 表示非负数 的非负平方根）；
利用面积建立方程 并求解实际问题中的边长；
用“夹逼法”估算无理数 的近似值；
理解无限不循环小数的意义，初步认识无理数，为后续实数学习奠基。
2.题目求解要点
明确算术平方根的定义：对 ， 是满足 且 的唯一解；
实际问题中边长必须为正数，故舍去负平方根；
估算时需按位逐步尝试（个位→十分位→百分位→千分位…），每次比较平方值与目标数的大小关系；
每次确定一位小数，都依赖前一步的范围，并通过试算验证不等式是否成立；
最终确认 不是有限小数，也不是循环小数，从而理解其无理性。
3.同类型题目解题步骤
建模：根据几何或实际情境列出形如 （ ）的方程；
取算术平方根：写出 ，强调 ；
估算：
　　① 找两个相邻整数 ，使 ，得 ；
　　② 在区间 内取一位小数 ，计算平方，确定更小区间；
　　③ 重复上述过程，逐位逼近；
判断数的类型：若无法找到有限或循环小数形式，且已知 不是完全平方数，则 是无理数；
规范作答：写出边长（或结果）为 ，并说明其近似范围及数的类别。
算术平方根的应用
探究新知
（一）知识精讲
同学们，让我们一起来探究算术平方根在实际计算中的应用。首先观察这张表格：
当我们使用计算器计算这些正有理数的算术平方根时，会发现一个有趣的规律。比如计算 、 、 时，结果分别是1、10、100。这说明被开方数扩大100倍，其算术平方根就扩大10倍。
接下来，我们用计算器计算 ≈1.732（保留三位小数）。根据刚才发现的规律，可以推导出：
≈0.1732
≈17.32
≈173.2
这个规律告诉我们：被开方数的小数点每向左或向右移动两位，其算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动一位。
（二）师生互动
教师提问：同学们，根据刚才的规律，如果已知 ≈2.236，那么 的近似值是多少呢？
学生回答：应该是22.36，因为被开方数扩大了100倍，算术平方根就扩大10倍。
教师追问：很好！那如果要求 的近似值，又该怎么计算呢？
学生思考后回答：应该是0.7071，因为 = = ≈1.4142/2≈0.7071。
教师继续引导：很棒！那你们能不能总结出更一般的规律呢？
学生讨论后回答：对于任意正数a， =10 ， = /10。
（三）设计意图
通过具体实例的计算和观察，培养学生发现数学规律的能力。让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程，体会数学规律的发现过程。通过计算器的使用，增强学生的数感和估算能力，同时培养他们严谨的计算习惯。师生互动环节的设计旨在引导学生深入思考，建立数学知识之间的联系，培养他们的推理能力和数学表达能力。
新知应用
例4题目：
用计算器求下列各式的值：
(1) ； (2) （结果保留小数点后三位）。
解答：
我们来一步一步操作并理解每一步的意义：
(1) 求
首先明确： 表示 3136 的算术平方根，即一个非负数，它的平方等于 3136。
使用计算器时，不同品牌按键顺序略有差异，但通用顺序是：先按 键（或有些计算器需先输入数字再按 ），再输入 ，最后按 。
注意：题目中写作“ ”，逗号仅为千位分隔符，实际输入时不输入逗号，只输 。
显示结果为 。
验证： ，完全正确。
所以 ，这是一个精确值（因为 3136 是完全平方数）。
(2) 求 （保留小数点后三位）
是一个无限不循环小数（无理数），不能写成有限小数或分数，只能取近似值。
按键顺序同上： ，计算器显示如
要求保留小数点后三位，即精确到千分位，需看第四位小数（即万分位）：
显示值约为 ，第四位是 ，所以舍去，不进位。
因此 。
注意：“ ”读作“约等于”，表示这是近似值，不是精确相等。
总结：
1.题目考查内容
① 算术平方根的概念与表示；
② 利用计算器求正有理数的算术平方根（含完全平方数的精确值与非完全平方数的近似值）；
③ 近似值的取法——四舍五入到指定小数位数。
2.题目求解要点
① 区分“精确值”与“近似值”：若被开方数是完全平方数（如 ），结果为整数，是精确值；否则（如 ）必须用“ ”表示近似值。
② 计算器操作规范：输入数字时不加逗号；注意按键顺序（部分计算器需先输数字再按 ，部分相反，应以说明书或课堂实操为准）。
③ 近似要求的处理：保留 位小数 → 观察第 位数字，按“四舍五入”法则取舍。
例5题目：
小丽想用一块面积为 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 的长方形纸片，使它的长与宽的比为 。但她不知道能否裁得出来。小明说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”
你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？
解答：
我们来从实际裁剪的几何限制出发，一步步分析是否可行：
第一步：设未知数，列方程
设长方形的长为 ，宽为 （符合 的比例）。
则面积为：
已知面积为 ，所以：
两边同除以 6：
第二步：求 的实际意义值
因为 表示长度的一部分，必须为正数，所以取算术平方根：
于是：
长方形的长为 ，
宽为 。
第三步：估算 的大小（关键！）
我们知道：
， ，
所以 ，即 。
更精确地：
因为 比 大 ，而 ，
所以 （可用计算器验证： ）。
因此：
即长方形的长约为 。
第四步：对比正方形纸片的边长
正方形面积为 ，所以边长为：
而长方形的长（约 ）已经超过了正方形的边长（ ）。
题目强调“沿着边的方向裁出”，即长方形的长和宽必须分别平行于正方形的边，不能旋转、不能斜裁。
→ 所以长方形的长必须 ≤ 正方形边长（20 cm），宽也必须 ≤ 20 cm。
但 ，无法放入。
结论：
小明的说法“面积大就能裁出面积小的”是错误的——面积只是必要条件，不是充分条件。
裁剪是否可行，还要看形状与尺寸是否适配（即长、宽都不能超过原纸片的边长）。
总结：
1.题目考查内容
① 算术平方根在实际问题中的应用（建模、估算、比较大小）；
② 利用不等式和平方数估算无理数的大致范围（如 介于 和 之间）；
③ 数学建模意识：将生活问题转化为数学问题（设元→列方程→解方程→验算合理性）；
④ 对“面积大小关系”与“可裁剪性”的辨析，体现数学的严谨性。
2.题目求解要点
① 设元要体现比例关系（设 、 ），避免设两个独立未知数；
② 解出 后，必须估算其数值范围，不能停留在符号形式；
③ 关键比较对象是“长方形的长”与“正方形的边长”，而非面积；
④ 明确实际约束条件：“沿边方向裁出” → 长、宽均不可超过正方形边长 ；
⑤ 学会质疑生活直觉（如“面积大就一定能裁”），用数学推理作出判断。
新知巩固
题目：
用计算器计算下表中各数的算术平方根（结果保留小数点后三位），观察规律；再利用 ，依据规律求 、 、 的近似值，并判断能否由 直接求出 的近似值。
被开方数
算术平方根
解答：
第一步：用计算器计算并填表（以标准科学计算器为例，按键顺序为：输入被开方数 → 按 键）
填表如下：
被开方数
算术平方根
第二步：观察规律
比较被开方数与对应算术平方根的小数点位置变化：
从 到 ：被开方数扩大 倍 → 算术平方根扩大 倍（ ）；
从 到 ：被开方数扩大 倍 → 算术平方根扩大 倍（ ）；
从 到 ：被开方数缩小 倍（即除以 ）→ 算术平方根缩小 倍（ ）；
从 到 ：被开方数缩小 倍 → 算术平方根缩小 倍（ ）。
归纳规律（核心结论）：
若被开方数扩大（或缩小） 倍（即乘以 ，其中 为整数），则其算术平方根扩大（或缩小） 倍。
即： ，其中 ， 为整数。
验证：
；
；
。
第三步：尝试求
注意到 ，指数 是奇数，不能写成 形式（即不是 的偶数次幂）。
因此， ，而 无法仅通过移动小数点由 得到，必须另行计算或查表/计算器。
用计算器得： ，不等于 移动一位小数点（如 或 ），验证了该规律仅适用于被开方数是原数乘以 的偶数次幂的情形。
总结：
1.题目考查内容
算术平方根的概念与性质；
科学计算器的基本使用；
幂的运算与平方根的运算关系： （ ）；
数的大小估计与数量级意识（义务教育数学课程标准“数与代数”领域中“理解平方根的意义，会用计算器求平方根”的要求）。
2.题目求解要点
准确使用计算器计算并保留规定精度；
对比被开方数与结果的小数点移动位数，发现“被开方数每扩大 倍，算术平方根扩大 倍”的本质是 ；
明确规律成立的前提：被开方数变化倍数必须是 的偶数次幂（即 ）；
区分可直接推导（如 ）与不可直接推导（如 ）的情形，后者需借助 分解后再估算。
3.同类型题目解题步骤
计算基准值：用计算器求出一个简单正数（如 、 、 ）的近似值；
改写目标数：将待求平方根的数表示为“基准数 × ”的形式（若不能，则尝试分解为“基准数 × 非平方数”，再分别处理）；
应用规律：若形式匹配，直接按 计算；
验证合理性：检查结果的数量级是否符合预期（例如 ，而 ， ，合理）；
说明局限性：若指数为奇数（如 ），则需引入 等辅助值，或换用其他方法估算。
教学反思
本节课围绕平方根概念展开，通过“已知平方求原数”的逆向思维引入，借助具体数值（如9）、表格填空、几何探究（拼正方形得 ）及计算器实践，系统构建了平方根与算术平方根的定义、性质与表示方法，并渗透了无限不循环小数的初步认识。教学基本达成课标“理解平方根意义，会用符号表示，知道算术平方根的非负性”目标，学生能辨析 与 ，理解开方与平方互为逆运算。成功之处在于情境真实、逻辑递进、数形结合；不足在于对负数无平方根的代数本质（实数范围内平方的非负性）挖掘不够深入，部分学生仍混淆平方根与算术平方根的适用条件，后续需强化概念辨析与反例辨析训练。

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