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同步探究学案
课题 21.3.1 矩形（第1课时） 单元 第二十一章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．理解矩形的定义； 2．掌握矩形的特殊性质：四个角都是直角，对角线相等； 3．运用矩形性质探究直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质．
重点 理解矩形的定义，掌握矩形的特殊性质（四个角都是直角、对角线相等），并能运用性质解决基础问题．
难点 通过矩形的性质推导直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，理解构造矩形的转化思想．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．什么叫平行四边形？ 2．说一说平行四边形具有那些性质？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助平行四边形的定义和性质，研究矩形的定义和性质。 先来看角满足特殊条件的平行四边形．如图，当平行四边形的一个角为直角时，这时的平行四边形是特殊的平行四边形． 归纳：有一个角是________的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形． 矩形是特殊的_____________，但平行四边形不一定是_________． 如图，记作矩形ABCD． 矩形也是常见的几何图形．门窗框、书桌面、地砖等（如图所示）都有矩形的形象． 你还能举出一些例子吗？ 与研究平行四边形一样，对于矩形，仍重点研究它的性质和判定． 思考：因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？你能自己完成证明吗？ 矩形具有平行四边形的所有性质 即： （1）边：对边平行且相等． （2）角：对角相等． （3）对角线：对角线互相平分． 猜想：矩形的四个角都是________；矩形的对角线_______． （1）已知：如图，在矩形 ABCD 中，∠A＝90°，求∠B，∠C，∠D 的度数． （2）已知：如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O． 求证：AC＝BD． 观察动图并回答：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴呢？ 矩形是________图形，有_____条对称轴，每组对边中点连线所在的_______就是它的对称轴． 归纳：矩形特有的性质 （1）角：矩形的四个角都是______． （2）对角线：矩形的对角线_______． （3）对称性：矩形是________图形，每组对边中点所在的直线是它的对称轴． 例：如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4．求矩形ABCD的对角线的长． 上一节我们运用平行四边形的判定和性质研究了三角形的中位线，下面利用矩形的性质研究直角三角形的一个性质． 思考：如图所示，BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？ 你能证明你发现的结论吗？ 猜想：可以发现BO＝AC． 分析：类似于证明三角形中位线定理的过程，如图所示，延长BO到点D，使OD＝OB，连接AD，CD，则四边形ABCD是矩形．根据矩形的性质，BD＝AC．所以BO＝BD＝AC． 证明： 归纳：直角三角形的一个性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的________． 符号语言： Rt△ABC中， ∵∠ABC＝90°，O是AC的______， ∴ BO＝
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，矩形的对角线，相交于点，于点，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．矩形对角线夹角为，较短的边长为12，则对角线长为__________． 3．如图，在矩形中，点分别在边上，连接，求证： ． 选做题： 4．如图，将矩形放在平面直角坐标系中，轴，，，若点，则B点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．如图，在中，平分，于点，为的中点，连接．求证：．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列说法不正确的是（ ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形具有的性质矩形都有 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2．如图，在矩形中，对角线、相交于O点，若，则的度数为_____________． 3．如图，在中，，点D，E，F分别是边，，的中点．若，求的长． 选做题： 4．如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2026次相遇地点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 5．如图，在矩形中，；，垂足分别为、．连接、． (1)求证：． (2)判断四边形的形状，并说明理由．
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第二十一章 四边形
21.3.1 矩形（第1课时）
1．理解矩形的定义；
2．掌握矩形的特殊性质：四个角都是直角，对角线相等；
3．运用矩形性质探究直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质．
1．什么叫平行四边形？
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．
2．说一说平行四边形具有那些性质？
（1）边：平行四边形的对边平行且相等．
（2）角：平行四边形的对角相等．
（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分．
上一节我们研究了平行四边形，当平行四边形的角、边满足某些特殊条件时，就得到特殊的平行四边形．本节就来研究这些特殊的平行四边形——矩形．
先来看角满足特殊条件的平行四边形．如图，当平行四边形的一个角为直角时，这时的平行四边形是特殊的平行四边形．
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形．
矩形是特殊的平行四边形，
但平行四边形不一定是矩形．
　　如图，记作矩形ABCD．
A
B
C
D
矩形也是常见的几何图形．门窗框、书桌面、地砖等（如图所示）都有矩形的形象．
与研究平行四边形一样，对于矩形，仍重点研究它的性质和判定．
你还能举出一些例子吗？
思考：因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．
猜想：矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等．
但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
你能自己完成证明吗？
（1）边：平行四边形的对边平行且相等．
（2）角：平行四边形的对角相等．
（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分．
已知：如图，在矩形 ABCD 中，∠A＝90°，求∠B，∠C，∠D 的度数．
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB//CD，AD//BC．
∵∠A＝90°，
∴∠B＝90°．
∴∠C＝∠D＝90°．
即：矩形的四个角都是直角．
猜想：矩形的四个角都是直角．
猜想：矩形的对角线相等．
已知：如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O．
求证：AC＝BD．
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，
AD＝BC，AB＝BA，
∴△DAB≌△CBA．
∴AC＝BD．
即：矩形的对角线相等．
观察动图并回答：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴呢？
矩形是轴对称图形，有两条对称轴，每组对边中点连线所在的直线就是它的对称轴．
矩形特有的性质
（1）角：矩形的四个角都是直角．
（2）对角线：矩形的对角线相等．
（3）对称性：矩形是轴对称图形，每组对边中点所在的直线是它的对称轴．
例：如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4．求矩形ABCD的对角线的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分．
∴OA＝OB．
又　∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形．
∴OA＝AB＝4．
∴AC＝BD＝2OA＝8．
上一节我们运用平行四边形的判定和性质研究了三角形的中位线，下面利用矩形的性质研究直角三角形的一个性质．
思考：如图所示，BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？
你能证明你发现的结论吗？
猜想：可以发现BO＝AC．
分析：类似于证明三角形中位线定理的过程，如图所示，延长BO到点D，使OD＝OB，连接AD，CD，则四边形ABCD是矩形．根据矩形的性质，BD＝AC．所以BO＝BD＝AC．
证明：延长 BO 至 D，使 OD = BO，连接 AD，CD.
∵ AO = OC，BO = OD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵∠ABC = 90°，
∴ 平行四边形 ABCD 是矩形.
∴ AC = BD.
∴ BO＝BD＝AC．
直角三角形的一个性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
符号语言：
Rt△ABC中，
∵∠ABC＝90°，O是AC的中点，
∴ BO＝AC
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
【综合拓展类练习】
矩形
定义
边和对角线
对称性
角
性质
直角三角形斜边上的中线的性质
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第九课时《21.3.1 矩形（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是人教版八年级下册特殊平行四边形的起始课时，承接平行四边形的定义与性质，是从一般到特殊的几何探究的重要延伸．本课通过探究矩形的定义与特殊性质，既是对平行四边形性质的深化与拓展，也是后续学习菱形、正方形性质的重要基础，同时通过矩形性质推导直角三角形斜边中线定理，搭建起四边形与三角形知识的桥梁．本节课的学习能帮助学生完善平行四边形知识体系，掌握“一般到特殊”的几何探究方法，体会转化、类比的数学思想，提升逻辑推理与几何应用能力，为后续特殊平行四边形的判定、复杂几何证明奠定坚实基础，在初中几何教学中起到承上启下、引领方法的关键作用．
学习者分析 学生已熟练掌握平行四边形的定义与性质，具备一定的几何推理、逻辑证明能力，对矩形（长方形）有丰富的生活认知．但学生对矩形的“特殊性”缺乏系统的几何探究，容易混淆矩形与平行四边形的性质差异，对“从平行四边形到矩形”的一般到特殊的逻辑理解不够深入，在运用矩形性质推导直角三角形斜边中线定理时，难以理解构造矩形的转化思路，部分学生几何语言表达不规范，需要教师通过对比辨析、引导探究，帮助学生深化理解，提升知识的综合应用能力．
教学目标 1．理解矩形的定义； 2．掌握矩形的特殊性质：四个角都是直角，对角线相等； 3．运用矩形性质探究直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质．
教学重点 理解矩形的定义，掌握矩形的特殊性质（四个角都是直角、对角线相等），并能运用性质解决基础问题．
教学难点 通过矩形的性质推导直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，理解构造矩形的转化思想．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解矩形的定义； 2．掌握矩形的特殊性质：四个角都是直角，对角线相等； 3．运用矩形性质探究直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．什么叫平行四边形？ 答案：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形． 2．说一说平行四边形具有那些性质？ 答案：（1）边：平行四边形的对边平行且相等． （2）角：平行四边形的对角相等． （3）对角线：平行四边形的对角线互相平分． 导言：上一节我们研究了平行四边形，当平行四边形的角、边满足某些特殊条件时，就得到特殊的平行四边形．本节就来研究这些特殊的平行四边形——矩形．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习平行四边形的定义和性质，为探究矩形的定义和性质做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 讲解：先来看角满足特殊条件的平行四边形．如图，当平行四边形的一个角为直角时，这时的平行四边形是特殊的平行四边形． 归纳：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形． 指出：矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形． 如图，记作矩形ABCD． 讲解：矩形也是常见的几何图形．门窗框、书桌面、地砖等（如图所示）都有矩形的形象． 追问：你还能举出一些例子吗？ 指出：与研究平行四边形一样，对于矩形，仍重点研究它的性质和判定． 思考：因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 预设：（1）边：平行四边形的对边平行且相等． （2）角：平行四边形的对角相等． （3）对角线：平行四边形的对角线互相平分． 猜想：矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等． 追问：你能自己完成证明吗？ （1）已知：如图，在矩形 ABCD 中，∠A＝90°，求∠B，∠C，∠D 的度数． 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB//CD，AD//BC． ∵∠A＝90°， ∴∠B＝90°． ∴∠C＝∠D＝90°． 即：矩形的四个角都是直角． （2）已知：如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O． 求证：AC＝BD． 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠DAB＝∠ABC＝90°， AD＝BC，AB＝BA， ∴△DAB≌△CBA． ∴AC＝BD． 即：矩形的对角线相等． 观察动图并回答：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴呢？ 预设：矩形是轴对称图形，有两条对称轴，每组对边中点连线所在的直线就是它的对称轴． 归纳：矩形特有的性质 （1）角：矩形的四个角都是直角． （2）对角线：矩形的对角线相等． （3）对称性：矩形是轴对称图形，每组对边中点所在的直线是它的对称轴． 例：如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4．求矩形ABCD的对角线的长． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC与BD相等且互相平分． ∴OA＝OB． 又　∠AOB＝60°， ∴△OAB是等边三角形． ∴OA＝AB＝4． ∴AC＝BD＝2OA＝8． 讲解：上一节我们运用平行四边形的判定和性质研究了三角形的中位线，下面利用矩形的性质研究直角三角形的一个性质． 思考：如图所示，BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？ 你能证明你发现的结论吗？ 猜想：可以发现BO＝AC． 分析：类似于证明三角形中位线定理的过程，如图所示，延长BO到点D，使OD＝OB，连接AD，CD，则四边形ABCD是矩形．根据矩形的性质，BD＝AC．所以BO＝BD＝AC． 证明：延长 BO 至 D，使 OD = BO，连接 AD，CD. ∵ AO = OC，BO = OD， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵∠ABC = 90°， ∴ 平行四边形 ABCD 是矩形. ∴ AC = BD. ∴ BO＝BD＝AC． 归纳：直角三角形的一个性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 符号语言： Rt△ABC中， ∵∠ABC＝90°，O是AC的中点， ∴ BO＝AC 学生活动3： 学生先认真观察，然后小组合作探究班内交流，最后认真听老师的点评和讲解活动意图说明： 从平行四边形到矩形，引导学生探究并掌握矩形的特殊性质，再通过构造矩形推导直角三角形斜边中线定理，渗透从一般到特殊的转化思想；通例题强化性质应用，训练学生综合解题能力，落实几何核心素养环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：21.3.1矩形（第1课时）一、矩形的定义 二、矩形的特有性质 三、直角三角形的一个性质教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，矩形的对角线，相交于点，于点，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．矩形对角线夹角为，较短的边长为12，则对角线长为__________． 答案：24 3．如图，在矩形中，点分别在边上，连接，求证： ． 证明：四边形是矩形， ，即． 在和中，， ， ． 选做题： 4．如图，将矩形放在平面直角坐标系中，轴，，，若点，则B点的坐标为（ ） A． B． C． D． 答案：A 【综合拓展类练习】 5．如图，在中，平分，于点，为的中点，连接．求证：． 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列说法不正确的是（ ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形具有的性质矩形都有 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 答案：C 2．如图，在矩形中，对角线、相交于O点，若，则的度数为_____________． 答案：56° 3．如图，在中，，点D，E，F分别是边，，的中点．若，求的长． 解：∵点D，E分别是边，的中点，， ∴． ∵在中，，点F是边的中点， ∴． 选做题： 4．如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2026次相遇地点的坐标是（ ） A． B． C． D． 答案：D 【综合拓展类作业】 5．如图，在矩形中，；，垂足分别为、．连接、． (1)求证：． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 证明：（1）四边形为矩形， ∴，， ， ，， ， ， ． （2）四边形为平行四边形，理由如下： ∵，， ， 又， 四边形是平行四边形．
教学反思 本节课通过实例引入、性质探究与定理推导，多数学生能掌握矩形的定义与基本性质．但部分学生对矩形与平行四边形的性质差异理解不透彻，对直角三角形斜边中线定理的证明思路理解困难，运用性质解决综合问题时思路不清晰．后续需加强对比辨析，强化构造辅助线的方法引导，增加变式练习，规范证明书写，提升学生的逻辑推理与知识迁移能力．
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