资源简介

6.1 二元一次方程组和它的解
一．教材分析
二元一次方程是华东师大版七年级数学下册第六章第一节内容，课程标准对本节的具体要求是：学生经历从实际问题中抽象出二元一次方程（组）的过程，并会解简单的二元一次方程组，了解二元一次方程，二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数据是不是某个二元一次方程（组）的解。
二元一次方程是继一元一次方程后又一个刻画现实世界的有效数学模型，它既是一元一次方程知识的延伸和拓广，又是今后学习一般线性方程组及平面解析几何等知识的基础，具有承上启下的作用。
学生通过体会模型思想，通过对实际问题的分析，探索具体问题中的数量关系，能根据数量关系列出方程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效模型，树立模型观念，建立符号意识。列方程（组）解应用题是一种解决数学问题的重要思想方法，凸显了方程作为一种数学模型的重要特征。
二．学情分析
学生已经掌握了一元一次方程的有关知识，所以本节课的学习可以类比一元一次方程的“元”和“次”去发现并得出二元一次方程的概念。学生从熟知的“鸡兔同笼”经典问题出发，感受中国古代数学文化的智慧，用不同的方法建立数学模型解决问题，通过观察和类比概括出二元一次方程（组）的概念，在分析与比较中提升抽象概括的能力，树立模型意识，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
对学生来说，对二元一次方程（组）解的理解是有困难的，尤其是对二元一次方程组解的理解，本节课尝试引导学生分析同一字母所代表的含义，再通过列举数值，表格分析等活动，突破难点。
三．教学目标分析
通过对实际问题的分析，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，能自主思考，分析现实情境中的数量关系，通过设未知数，建立方程模型，提升分析问题，解决问题的能力。
理解二元一次方程，二元一次方程组及其解等概念，认识二元一次方程（组），会判断一组数是不是二元一次方程组的解，提高对“元”和“次”的认识，提高类比分析和抽象概括的能力。
教学重点：理解二元一次方程，二元一次方程组及其解等概念，进一步体会方程的模型思想，树立模型观念。
教学难点：对二元一次方程组的解的理解。
教学过程设计
创设情境，引入新课
问题与情景1：我国古算名题“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”你能解决“鸡兔同笼”问题吗？能用几种方法？
设计意图：以经典的古算题“鸡兔同笼”引入，激发学生的学习兴趣和解决问题的方法的多样性，期待学生用算术方法，一元一次方程或二元一次方程组的方法解决问题，回忆一元一次方程的学习内容（定义，解法，应用），通过方法的比较，引发思考，从而顺理成章地引出章标题。如果学生没有列出二元，可以引导学生观察问题中有几个未知量，几个等量关系，列出二元方程从而导入课题。
探究新知，形成概念
探究活动1：二元一次方程的概念
问题与情景2：五只雀，六只燕，共重十六两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问雀燕各几两？
教师设问：你是否能用两个未知数来表达这个问题？需要几个式子来表达？
设每只麻雀重x两，每只燕子重y两。根据共重十六两。可列方程：5x+6y=16. 若互换其中一只，恰好一样重。可列方程：4x+y=5y+x
设计意图：以《九章算术》的燕雀问题引入，不仅可以激发学习兴趣，让学生再次经历建模的过程和体会博大的数学文化。在问题情境中，如果有学生认为用一元一次方程也可以解答，教师要肯定其做法，并将答案保留下来，放到第二节二元一次方程组解法的学习中，让学生更有学习的好奇心与积极性。
教师设问：你能给刚刚列出来的方程取个名字吗？试试看？
x+y=35, 5x+6y=16
2x+4y=94, 4x+y=5y+x
设计意图：让学生根据观察和已有的经验，初步给刚刚所列的4个方程取名字。学生根据一元一次方程的学习经验，给他们取名二元一次方程。如果学生说不出来的情况下，引导学生可以类比一元方程给他们取名，让学生进一步感知方程。
教师设问：根据刚刚取名之后的二元一次方程，对二元一次方程进行再认识，引起学生的认知冲突，给后面下定义清除障碍。弄清二元一次方程的本质属性，让学生能够对次数和方程的本质有一个更清晰的认识。
教师设问：同学，你们能给二元一次方程下个定义吗？
设计意图：由数学情境挖掘数学本质属性，去掉问题背景，发现所列方程的共性。概括出二元一次方程的概念。即含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。教师引导学生剖析概念中的关键词，体会“所含未知数的项的次数”，进一步加深对概念的理解。
例1：下列方程是二元一次方程吗？为什么？
2a+3b=13， m2-n=10， +2y=5.
探究活动2：二元一次方程组的概念。
设问：上面的方程x+y=35，与2x+4y=94中的x所代表的对象相同吗？y呢？其中的某一个方程能刻画问题1的情境吗？
学生活动：学生思考后回答x，y的含义分别相同，并指出分别代表什么含义。一个方程不能表达问题1的情境。
归纳：x,y的含义分别相同，并且一个方程不能完全表达这个问题，必须用两个方程才能去表达这个问题，也就是x,y必须同时满足这两个方程，把它们用大括号联立起来，得, 这样就组成了一个二元一次方程组。同理可得
设问：那同学们能不能给二元一次方程组下个定义呢？
设计意图：引导学生体会两个方程中x，y所代表的对象分别相同，且需要同时满足两个方程，从而得出二元一次方程组的概念；像这样，共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。通过对概念中关键词的分析，体会“共”的含义，进一步巩固对概念的理解。
教师活动：根据学生初步总结出来的概念，补充较特殊的方程，引起认知冲突，完善概念。
例2：下列方程组是一元二次方程组吗？为什么？
（2）
设计意图：经历认知冲突后进一步完善概念，培养学生发现问题的能力。
例2：下列方程组是一元二次方程组吗》为什么？
（2） （3）
（4） （6）
探究活动3：二元一次方程的解的概念。
问题与情境3：你能找到适合方程x+y=35的x，y的值吗？
请同学们完成表格:
x 30 5 10 25 22 13 31
y 5 30 25 10 13 22 4
设问1：你是怎样完成表格的？
设问2：你能类比一元一次方程的解，说一说什么是二元一次方程的解吗？
学生活动：学生先列举出x，y的值，并阐述方法：确定一个x值就能求出一个y值；确定一个y值就能求出一个x值，体会这样的x，y值可以找到无数组，然后完成表格，学生找到x，y的值，完成表格。通过类比，概括出二元一次方程组的概念：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
例3：下面4组数据中，是二元一次方程2x + y = 10的解的是（ D ）
B. C. D.
设计意图：巩固方程的解的概念，体会二元一次方程有无数个解。
探究活动4：二元一次方程组的解的概念。
问题与情境4：你能用什么样的方法找到适合方程组 的x，y的值吗？利用表格探究：
x 23
y 12
设计意图：学生由表格可观察出两个二元一次方程的公共解，很自然的引入二元一次方程组的解的概念；二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。二元一次方程组的解也是基于同一字母代表同一个含义，这样对于每个方程来讲相同字母才是一样的，教师应引导学生体会这一点。
例4：二元一次方程组的解是（ C ）
B. C. D.
设计意图：学生独立思考及小组交流，代表讲述方法，说明理由，巩固二元一次方程组的解的理解。
收获与思考
通过本节课的学习，你有哪些收获？
设计意图：通过回顾本节的知识和数学思想方法，发展学生归纳总结能力，发挥学生的主体作用。学生谈一谈还想学习的内容，为本章后续的学习埋下伏笔，形成知识体系。同时也是今后研究分式方程，一元二次方程基本的思路。
布置作业，巩固新知
1.教科书第31页习题6.1A组第1（2）（3）题，第2（2）题。
2.请你自己编写一个二元一次方程组，并利用它编制一道数学应用题。

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