资源简介

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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024）） 册、章 上册第六单元
课标要求 根据《义务教育数学课程标准（2022 年版）》，结合北师大版（2024）八年级数学下册《平行四边形》章节，课标要求如下：内容要求：理解平行四边形的概念，探索并证明平行四边形的性质定理，探索并证明三角形的中位线定理学业要求：培养学生的逻辑推理、空间观念、几何直观、模型观念、运算能力：
内容分析 本章位于北师大版八年级下册第六章，是初中平面几何的核心内容，以 “定义 — 性质 — 判定 — 应用” 为主线，承接三角形、平行线等旧知，为后续学习矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形奠定基础，同时重点发展学生的几何直观、逻辑推理与规范表达能力。整体框架以 “定义→性质→判定→综合应用→拓展延伸” 为逻辑链，模块清晰、层层递进。教材特色：强化探究过程：通过观察、测量、旋转、说理等活动，引导学生从直观猜想过渡到严谨证明。新增 “持续思考” 栏目：聚焦元认知，强调几何学习的思维过程，而非仅记结论，证明前设 “分析” 环节：明确推理思路，降低证明难度，培养逻辑表达。
学情分析 八年级学生处于直观形象向抽象逻辑过渡的关键期，对平行四边形有直观认知，但从 “实验猜想” 到 “严谨证明” 的过渡存在明显挑战，几何证明规范性、知识迁移能力与综合题解题力分层显著，是本单元学习的核心痛点。小学已直观认识平行四边形，能识别特征与计算面积。七年级系统学习平行线、三角形 全等、图形平移旋转，为本单元证明提供核心工具。掌握多边形内角和与一般四边形概念 ，对 “边、角、对角线” 的研究路径有初步经验。具备观察、测量、折纸、旋转等动手 操作能力，喜欢 “探索 — 发现” 的学习方式。有小组合作交流经验，能在任务中分享 思路、协作探究。。
单元目标 教学目标一、知识与技能目标1、理解平行四边形的定义，掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，并能进行简单计算与推理。2、掌握平行四边形的判定定理，能根据已知条件准确判断一个四边形是否为平行四边形。3、理解三角形中位线定理，能运用中位线定理进行线段平行与数量关系的证明与计算。4、能规范书写几何证明过程，正确使用几何符号语言，初步掌握将四边形问题转化为三角形问题的解题方法。二、过程与方法目标1、经历 “观察 — 操作 — 猜想 — 证明 — 归纳” 的探究过程，发展合情推理与演绎推理能力。2、在探究平行四边形性质与判定的活动中，体会转化、类比、分类讨论等数学思想。3、通过小组合作交流、一题多解等活动，提高分析问题、表达思路和解决问题的能力。4、初步学会从复杂图形中分离出基本图形，提升几何直观与识图能力。三、情感态度与价值观目标1、感受平行四边形在生活中的广泛应用，体会几何与现实生活的联系，激发学习兴趣。2、在自主探究与合作交流中获得成功体验，增强学习数学的自信心。3、培养严谨求实的科学态度，养成规范书写、步步有据的良好学习习惯。4、初步形成几何建模意识，提升运用数学知识解决实际问题的意愿与能力。教学重点· 平行四边形的概念、性质与判定定理的理解与应用。· 三角形中位线定理的探索、证明与应用。· 综合运用性质与判定进行推理证明和计算。教学难点· 性质与判定的灵活选择，避免混淆。· 性质定理的严谨证明（如通过连接对角线构造全等三角形）。· 三角形中位线定理的推导与综合应用（与平行四边形结合）。· 规范几何证明格式，培养演绎推理能力
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架课时安排课时编号单元主要内容课时数01平行四边形性质定理（1）102平行四边形性质定理（2）103平行四边形判断定理（1）104平行四边形判断定理（2）105平行线间的距离106三角形的中线107回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务平行四边形性质定理（1）1.知识技能：理解平行四边形的概念，探索并掌握平行四边形的性质定理。2.数学能力：经历观察、实验、猜想、证明的过程，发展学生合情推理和演绎推理的能力，应用平行四边形的性质解决简单的数学问题和实际问题，进一步培养几何直观和应用意识。3.数学思想：在平行四边形性质的发现、探索、应用的过程中，进一步渗透类比、转化与化归及数形结合的数学思想。1、学生回顾知识，导入新课。2、回顾平行四边形的定义，理解定义的两重含义。3、观看动画演示，理解平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形。4、证明平行四边形性质定理：平行四边形的对边相等。5、证明平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等。6、小组合作完成例题1、2的学习，注意证明过程的严谨性和书写的规范性。7、课堂练习8、课堂总结环节一：回顾知识环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置平行四边形性质定理（2）探索并证明平行四边形的对角线互相平分的性质，并能进行平行四边形性质的简单应用。掌握解决平行四边形问题的基本思路是化为三角形问题来处理，渗透转化思想。通过小组交流合作探究学习，促进同学间的情感交流，体会学习的乐趣，在自我评价中学会自我肯定，增强学习的自信心。回顾上节课内容。注重用数学语言表示平行四边形性质。2、找平行四边形中相等的线段。3、通过计算、推理验证对角线互相平分4、推理验证等腰三角形的两底角相等，两对角线的长度相等。5、应用平行四边形性质3解决实际问题，注意推理过程的严谨性。6、课堂练习7、课堂总结环节一：回顾知识环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置平行四边形的判断定理（1）会利用平行四边形的定义去证明平行四边形的2 种判定方法，理解平行四边形的这两种判定方法，并学会简单运用。经历平行四边形判断定理的探索过程，在有关活动中发展学生的合情推理意识，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力。通过平行四边形判别条件的探索，培养学生面对挑战，勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情。回顾知识，自然过渡到新知探究。2、用学具按要求摆出平行四边形。3、发现平行四边形的判断定理，并推理证明。4、试着用数学语言表示平行四边形判断定理1、25、独立思考，应用所学知识切入进行证明，形成分析思路，注意问题转化。6、课堂练习7、课堂总结环节一：回顾知识环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置平行四边形的判断定理（2）1、理解、证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理,并学会简单运用.2、经历平行四边行判别条件的探索过程,在探究活动中发展学生的合情推理意识.进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力.3、通过平行四边形判别条件的探索,培养学生面对挑战,勇于克服困难的意志,鼓励学生大胆尝试,从中获得成功的体验,激发学生的学习热情.1、学生回顾平行四边形的判断定理1、2，并正确的用几何语言来描述。2、按要求摆平行四边形。并猜测对角线互相平分。3、验证猜测的正确性。4、推理验证正确性。5、用对角线互相平分这一定理来解决实际问题。6、课堂练习7、课堂总结环节一：回顾知识环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置平行线间的距离理解平行线间距离的定义：明确两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，就是这两条平行线间的距离。能利用“平行线间的距离处处相等”这一性质，解决几何图形中的面积计算、线段等量证明等问题。通过观察、操作、验证等活动，提升抽象概括能力。在证明“平行线间的距离处处相等”时，锻炼演绎推理和逻辑表达能力。完成检测题。复习平行四边形的定义，性质定理和判断定理。探究什么是平行线之间的距离、性质。学习例题。5、课堂练习6、课堂总结环节一：课前检测环节二：回顾知识环节三；探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结环节七：作业布置三角形的中线理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题；进一步经历“探索—猜想—证明”的过程，发展学生合情推理的能力、探究能力、演绎推理的能力； 在命题的证明过程中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力；4、在定理的证明和应用过程中体会归纳、类比、转化等数学思想方法.1、回顾旧知。2、画中位线，猜测中位线的位置和数量关系。3、验证猜测的正确性。4、运用知识解决问题，学生自学例题1、2，注意关注学困生和学生证明的严谨性。5、课堂练习6、课堂总结环节一：回顾知识环节二；探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置回顾与思考1、能够熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述证明过程。2、掌握三角形中位线的定义和性质，明确三角形中位线与中线的不同并能运用它进行有关的论证和计算。3、会熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。1、展示展示架构图。2、回顾平行四边形的性质定理、判断定理、三角形的中位线进行知识梳理。3、进行相应的练习。综合运用知识解决实际问题。4、课堂练习5、课堂总结环节一：知识架构环节二；知识梳理环节三：课堂练习环节四：课堂总结环节五：布置作业
《平行四边形》单元教学设计
活动一：复习旧知
活动二：探究性质定理1、2
任务一：平行四边形性质定理（1）
活动三：典例分析
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：复习旧知
活动二：探究性质定理3
任务二：平行四边形性质定理（2）
活动三：典例分析
平行四边形
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：复习旧知
活动二：探究判断定理1、2
任务三：平行四边形判断定理（1）
活动三：典例分析
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：复习旧知
活动二：探究判定定理3
任务四：平行四边形判断定理（2）
活动三：典例分析
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动一：课前检测
活动二：复习旧知
活动三：探究新知
任务五：平行线之间的距离
活动四：典例分析
活动五：课堂练行四边形
活动六：课堂总结
活动一：温故知新
活动二：探究新知
活动三：典例分析
任务六：三角形中位线
活动思：课堂练习
活动五：课堂总结
活动一：知识架构
活动二：知识梳理
任务六：回顾与思考
活动三：课堂练习
活动思：课堂总结
活动五：作业布置
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第六章 《平行四边形》导学案
回顾与思考
学习目标与重难点
学习目标：
1、能够熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述证明过程。
2、掌握三角形中位线的定义和性质，明确三角形中位线与中线的不同并能运用它进行有关的论证和计算。
3、会熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。
学习重点：
熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。
学习难点：
学会对证明方法的总结，通过讨论交流，进一步发展学生的合作交流意识。
预习自测
教学过程
一知识架构
二知识梳理
一、平行四边形的性质
（1）、平行四边形是中心对称图形.
（2）、对边平行； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC ，AB∥DC.
（3）对边相等， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC ，AB=DC.
（4）对角相等，∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠ A=∠C，∠ B=∠D.
（5）、对角线互相平分，∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA=OC，OB=OD.
边学边练
1 .如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（　　）
A．∠1=∠2 B．∠BAD=∠BCD C．AB=CD D．AC=BC
第1题 第2题 第3题 第4题
2.如图，已知 ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC．
3.如图，在 ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
4.如图，在 ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，则△BOC的周长是（　　）
A．45cm B．59cm C．62cm D．90cm
二、平行四边形的判定：
（1）两组对边分别平行（定义）
∵ AD∥BC ，AB∥DC,∴ 四边形ABCD是平行四边形.
（2）、两组对边相等
∵ AD=BC ，AB=DC,∴ 四边形ABCD是平行四边形.
（3）一组对边平行且相等
∵ AB=DC，AB∥DC,∴ 四边形ABCD是平行四边形.
（4）、对角线互相平分
∵ OA=OC，OB=OD,∴ 四边形ABCD是平行四边形.
边学边练
5、如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）
A．OA=OC，OB=OD B．∠BAD=∠BCD，AB∥CD C．AD∥BC，AD=BC D．AB=CD，AO=CO
第5题 第6题
6.如图，点D、C在BF上，AC∥DE，∠A=∠E，BD=CF，
（1）求证：AB=EF．
（2）连接AF，BE，猜想四边形ABEF的形状，并说明理由．
三、三角形的中位线
（1）.三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
（2）.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
用符号语言表示
∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC,
边学边练
7、已知:三角形的各边分别为6cm,8cm, 12cm，则连接各边中点所成三角形的周长为 cm.
8、已知:三角形的周长为64cm，则连接各边中点所成三角形的周长为 cm.
9、如图，△ABC的周长为a，D、E、F分别为△ABC各边中点,
△DEF的周长为 .
（2）G、H、I分别为△DEF各边中点,△GHI的周长为 .
（3）像这样下去,第3个三角形的周长为 .
（4）第n个三角形的周长为 .
10.如图,D、E、F分别是△ABC三边的中点你能发现△DEF的面积与△ABC的面积有什么关系吗？为什么？
11.若三角形的三条中位线之比为 6 : 5 : 4 ,三角形的周长为 60 cm,那么该三角形中最长边的边长为 cm;
综合运用
1 2、 如图，已知E、F分别是 ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．求证：四边形AECF是平行四边形
如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是BO、OD的中点，且四边形AECF是平行四边形，试判断四边形ABCD是不是平行四边形，并说明理由．
三、课堂练习、巩固提高
1. 在平行四边形 ABCD 中，∠B=80 ，则 ∠A= ，∠D= 。
2. 在 Rt△ABC 中，若斜边上的中线长为 5，则斜边的长为 ．
3．平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（　　）
A．4cm，6cm B．6cm，8cm C．8cm，12cm D．20cm，30cm
如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E,F分别是AB,
CD的中点，AD=BC，∠PEF=18°，则∠PFE的度数 .
5.如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的直线分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF．
如图，AB,CD相交于点O,AC ∥DB,AO=BO, E,F分别为OC,OD的中点，连接AE,AF,BE,BF. 求证：四边形AEBF是平行四边形.
在四边形ABCD中,若分别给出六个条件: ①AB∥CD ②AD=BC ③OA=OC ④AD∥ BC ⑤AB=CD ⑥OB=OD 现在,以其中的两个为一组,能直接确定四边形ABCD为平行四边形的条件是： （只填序号)
8.如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE, BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形
能力提升：
9.在□ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6 cm，BF＝12 cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1 cm/s的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2 cm/s的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动．当点P运动　 s时，以P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形．
拓展迁移
10.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5 cm，E，F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在□ABCD之外），且DE＝OD，BF＝OB，连接AE，CE，CF，AF．
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形．
（2）若DE＝OD，BF＝OB，上述结论还成立吗？由此你能得出什么结论？
（3）若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AECF的周长．
总结反思、拓展升华
1、平行四边形的定义：
。
2、平行四边形的性质定理：
①是中心对称图形，
②容易变形（不稳定性）
③边 .
④角 .
⑤对角线 .
3、平行四边形的判定定理：
①边 .（定义）
②角 .
③边角 .
④对角线 .
三角形中位线定理：
。
5、数学思想：归类、类比、转化
【作业布置】
基础达标：
1、如图， ABCD的周长是28 cm，△ABC的周长是22 cm，则AC的长为(　　)
A．6 cm B．12 cm C．4 cm D．8 cm
2、如图，在平行四边ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）
（1）∠DCF=∠BCD，（2）EF=CF； （3）SΔBEC=2SΔCEF；（4）∠DFE=3∠AEF
第1题 第2题 第3题
3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为 (　 　)
A．1 B．2 C． D．1＋
4．如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论:①； ②∠A=∠BHE； ③AB=BH； ④△BCF≌△DCE， 其中正确的结论是(　 　)
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
5.如图所示，小明为了测量学校里一池塘AB的宽度，选取可以直接到达A，B两点O处，再分别取OA，OB的中点M，N，量得MN＝20 m，则池塘AB的宽度为 m. MN与AB的位置关系 .
第4题 第5题 第7题
6.如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F.
(1)求证：AD＝BF；
(2)若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积．
能力提升：
7.如图，平行四边形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝12 cm，点P在AD边上以每秒1 cm 的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止(同时点Q也停止)，在运动以后，以P，D，Q，B四点组成平行四边形的次数有 次．
8.已知： ABCD中，M,N分别是AD,BC的中点.连接AN,DN,BM,CM.且AN与BM交于点P,CM与DN交于点Q.
（1）图中有 个平行四边形.
（2)求证：PM=NQ
拓展迁移：
9.如图，点O是△ABC内一点，连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接，得到四边形DEFG.求证：四边形DEFG是平行四边形.
10.两个全等的直角三角形重叠放在直线l上，如图①所示，AB＝6 cm，AC＝10 cm，∠ABC＝90°，将Rt△ABC在直线l上左右平移(如图②)．
(1)求证：四边形ACFD是平行四边形．
(2)怎样移动Rt△ABC，使得四边形ACFD的面积等于△ABC的面积的一半？
(3)将Rt△ABC向左平移4 cm，求四边形DHCF的面积．
知识梳理参考答案：
D
2、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，（平行四边形的对角相等，对边相等）
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠EAB= ∠BAD，∠FCD= ∠BCD，
∴∠EAB= ∠FCD，
在△ABE和△CDF中 ∠B＝∠D AB＝CD ∠EAB＝∠FCD
∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF．
∵AD=BC
∴AF=EC．
3、A
4、B
5、D
6、（1）证明：∵AC∥DE，
∴∠ACD=∠EDF，
∵BD=CF，∴BD+DC=CF+DC，
即BC=DF，
又∵∠A=∠E，∴△ABC≌△EFD（AAS），
∴AB=EF；
（2）解：猜想：四边形ABEF为平行四边形，
理由如下：由（1）知△ABC≌△EFD，
∴∠B=∠F，∴AB∥EF，
又∵AB=EF，
四边形ABEF为平行四边形.（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
13
32
10、解：S△DEF= S△ABC.
理由如下：由题意得DE,DF,EF是△ABC的中位线，
∴DE∥BC, DF∥AC,EF∥AB,
∴四边ADFE,BDEF,DECF都是平行四边形，
∴S△DEF= S△ADE= S△BDF= S△CEF,
∴S△DEF= S△ABC.
11、解析:设三角形的三条中位线之长分别为6x,5x,4x，
则三角形的三条边长之长分别为12x,10x,8x，
依题意有 12x＋10x＋8x＝60，
解得 x＝2.
所以，最长边12x＝24（cm）.
12、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，（平行四边形的对边平行且相等）
∴AF∥EC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
13、证明：∵平行四边形AECF，
∴OA=OC，OE=OF，
（平行四边形的对角线互相平分）
∵E、F分别是BO、OD的中点，
∴2OE=2OF，即OB=OC，
∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
(对角线互相平分的四边形是平行四边形
课堂练习参考答案
（1）100° （2）80°
10
D
18°
5、证明：∵ 平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在 △AOE 和 △COF 中，∠EAO=∠FCO,AO=CO,∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF．
6、证明：∵AC ∥DB ∴∠C=∠D
在△AOC和△BOD中
∠C=∠D ；∠AOC=∠BOD；AO=BO
∴△AOC≌△BOD（AAS）
∴OC=OD
∵ E,F分别为OC,OD的中点∴OE=OF
∵AO=BO ∴四边形AEBF是平行四边形
①④；①⑤；②④；②⑤；③;⑥
8、解析：（1）先证BC=EF,再根据SSS证△ABC≌△DFE；
（2）由（1）得AB∥DF,根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形
9、3或5
解答提示：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC，AD＝BC.∠ADB＝∠CBD.
又因为∠FBM＝∠CBM，所以∠FBD＝∠FDB.
所以FB＝FD＝12 cm.
因为AF＝6 cm，所以AD＝18 cm.
因为E是BC的中点，所以CE＝BC＝AD＝9 cm.
要使以P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形，则PF＝EQ即可.
设当点P运动t s时，以P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形，
则6﹣t＝9﹣2t或6﹣t＝2t﹣9，
解得t＝3或t＝5．所以t的值为3或5．
10、1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵DE＝OD，BF＝OB， ∴DE＝BF ∴OE＝OF.
∴四边形AFCE为平行四边形．
（2）解：∵DE＝OD，BF＝OB，OD＝OB，
∴DE＝BF. ∴OE＝OF.
又∵OA=OC，∴四边形AFCE为平行四边形．
所以上述结论成立，由此可得出结论：若DE＝OD，BF＝OB（n≥3，且n是整数），四边形AFCE为平行四边形．
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC. ∠DAC＝∠BCA．
又∵CA平分∠BCD，
∴∠BCA＝∠DCA. ∠DCA＝∠DAC. AD＝CD．
因为OA＝OC，所以OE⊥AC.
所以OE是AC的垂直平分线，所以AE＝CE．
因为∠AEC＝60°，所以△ACE是等边三角形.
所以AE＝CE＝AC＝2OA＝10 cm.
所以C四边形AECF＝2（AE+CE）＝2×（10+10）＝40 （cm）．
课外作业参考答案
D
①②④
A
A
40;平行
6、解：(1)∵E是AB边上的中点，
∴AE＝BE.
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠F.
在△ADE和△BFE中，∠ADE＝∠F，∠DEA＝∠FEB，AE＝BE，∴△ADE≌△BFE.
∴AD＝BF
(2)过点D作DM⊥AB与M，
则DM同时也是平行四边形ABCD的高
．∴S△AED＝ ×AB·DM=8
∴S四边形EBCD＝S ABCD－S△ADE＝32－8＝24
7、解析：设运动时间为t, 分下情况；
①Q点在C-B,12-4t=12-t,无解
②Q点在C-B--C ,4t-12=12-t, t=4.8
③Q点在C-B-C-B,36-4t=12-t, t=8
④Q点在C-B-C-B-C,4t-36=12-t, t=9.6
（1）四
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD ∥BC AD=BC
∵ M,N是AD,BC的中点
∴AM=MD BN=NC
∴AM=NC MD=BN
∵ AD ∥BC AM=NC
∴四边形ANCM是平行四边形
∴AN ∥MC
∵ AD ∥BC MD=BN∴四边形MDNB是平行四边形
∴BM ∥ND∴四边形PNQM是平行四边形
∴PM=NQ
9、证明：∵D, G是AB,AC的中点∴DG是△ABC的中位线
∴DG ∥BC， DG= BC
∵E, F是OB,OC的中点
∴EF是△OBC的中位线
∴EF ∥BC， EF= BC
∴ DG ∥ EF, DG = EF
∴四边形DEFG是平行四边形
10、解：(1)证明：∵四边形ACFD是由Rt△ABC平移形成的，
∴AD∥CF，AC∥DF.
∴四边形ACFD为平行四边形．
(2)解：由题易得BC=8(cm)，
△ABC的面积＝24 cm2. 要使得四边形ACFD的
面积等于△ABC的面积的一半，即6×CF＝24÷2，
解得CF＝2 cm，
∴将Rt△ABC向左(或右)平移2 cm，可使四边形ACFD的面积等于△ABC的面积的一半．
(3)解：将Rt△ABC向左平移4 cm，
则BE＝AD=CF＝4 cm. 又∵BC＝8 cm，
∴CE＝4 cm＝AD.
由(1)知四边形ACFD是平行四边形，
∴AD∥BF.∴∠HAD＝∠HCE.
又∵∠DHA＝∠EHC，
∴△DHA≌△EHC(AAS)．
∴DH＝HE＝3 cm. ∴S△ADH＝6 cm.
∴四边形DHCF的面积为 －S△HEC＝24－6＝18(cm2)．
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第六章 平行四边形
回顾与思考
01
教学目标
02
知识框架
03
知识梳理
04
课堂练习
06
作业布置
05
课堂小结
01
教学目标
能够熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述证明过程。
01
掌握三角形中位线的定义和性质，明确三角形中位线与中线的不同并能运用它进行有关的论证和计算。
02
会熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。
03
02
知识架构
平行四边形
定义
性质定理
判断定理
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
平行四边形的一组对边平行且相等
平行四边形的两组对角相等
平行四边形的对角线互相平分
互 逆
命 题
三角形中线定理：
三角形两边中点连线平行于第三边，且等于第三边的一半。
02
知识梳理
一、平行四边形的性质
平行四边形是
中心对称图形.
几 何 语 言
文字叙述
对边平行
对边相等
对角相等
∴ AD=BC ，AB=DC.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ A=∠C，∠ B=∠D.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
对角线互
相平分
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC ，AB∥DC.
02
边学边练
1 .如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（　　）
A．∠1=∠2 B．∠BAD=∠BCD
C．AB=CD D．AC=BC
D
解析】A: ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠1=∠2，故A正确；
B: ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，故B正确；
C: ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，故C正确；
D: AC和BC不是对边，故AC≠BC
故D错误。
02
边学边练
2.如图，已知 ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，（平行四边形的对角相等，对边相等）
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠EAB= ∠BAD，∠FCD= ∠BCD，∴∠EAB= ∠FCD，
在△ABE和△CDF中
∠B＝∠D
AB＝CD
∠EAB＝∠FCD ∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF．
∵AD=BC ∴AF=EC．
02
边学边练
3.如图，在 ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
AC=10cm，BD=6cm
∴OA=OC= AC=5cm，
OB=OD= BD=3cm，
∵∠ODA=90°，
∴AD= =4cm．
A
02
边学边练
4.如图，在 ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，则△BOC的周长是（　　）
A．45cm B．59cm C．62cm D．90cm
B
【解析】∵在 ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，
∴AO=CO=12cm，BO=19cm，AD=BC=28cm，
∴△BOC的周长是：BO+CO+BC=12+19+28=51(cm)．
02
知识梳理
二、平行四边形的判定
几 何 语 言
文字叙述
两组对边相等
一组对边平行且相等
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵ AD=BC ，AB=DC,
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∵ AB=DC，AB∥DC,
对角线互相平分
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∵ OA=OC，OB=OD,
两组对边分别平行（定义）
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∵ AD∥BC ，AB∥DC,
02
边学边练
5、如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）
A．OA=OC，OB=OD
B．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
C．AD∥BC，AD=BC
D．AB=CD，AO=CO
D
【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A正确。
两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故B正确。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C正确
一组对边平行，一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，故D错误。
02
边学边练
6.如图，点D、C在BF上，AC∥DE，∠A=∠E，BD=CF，
（1）求证：AB=EF．
（2）连接AF，BE，猜想四边形ABEF的形状，并说明理由．
（1）证明：∵AC∥DE，
∴∠ACD=∠EDF，
∵BD=CF，∴BD+DC=CF+DC，
即BC=DF，
又∵∠A=∠E，∴△ABC≌△EFD（AAS），
∴AB=EF；
02
边学边练
（2）猜想：四边形ABEF为平行四边形，
理由如下：由（1）知△ABC≌△EFD，
∴∠B=∠F，∴AB∥EF，
又∵AB=EF，
四边形ABEF为平行四边形.（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
2）连接AF，BE，猜想四边形ABEF的形状，并说明理由．
02
知识梳理
三、三角形的中位线
1.三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
用符号语言表示
∵DE是△ABC的中位线
∴DE∥BC,
02
边学边练
7、已知:三角形的各边分别为6cm,8cm, 12cm，则连接各边中点所成三角形的周长为_______ cm.
8、已知:三角形的周长为64cm，则连接各边中点所成三角形的周长为_____cm.
9、如图，△ABC的周长为a
D、E、F分别为△ABC各边中点,△DEF的周长为 .
G、H、I分别为△DEF各边中点,△GHI的周长为 .
像这样下去,第3个三角形的周长为 .
第n个三角形的周长为 .
13
32
a
1
2
a
1
4
a
1
8
a
1
2n
02
边学边练
10.如图,D、E、F分别是△ABC三边的中点你能发现△DEF的面积与△ABC的面积有什么关系吗？为什么？
解：S△DEF= S△ABC.
理由如下：由题意得DE,DF,EF是△ABC的中位线，
∴DE∥BC, DF∥AC,EF∥AB,
∴四边ADFE,BDEF,DECF都是平行四边形，
∴S△DEF= S△ADE= S△BDF= S△CEF,
∴S△DEF= S△ABC.
●
●
●
A
B
C
D
E
F
02
边学边练
11.若三角形的三条中位线之比为 6 : 5 : 4 ,三角形的周长为 60 cm,那么该三角形中最长边的边长为＿＿＿;
解析:设三角形的三条中位线之长分别为6x,5x,4x，
则三角形的三条边长之长分别为12x,10x,8x，
依题意有 12x＋10x＋8x＝60，
解得 x＝2.
所以，最长边12x＝24（cm）.
24
02
综合运用
1 2、 如图，已知E、F分别是 ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．求证：四边形AECF是平行四边形
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，（平行四边形的对边平行且相等）
∴AF∥EC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
02
综合运用
13、如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是BO、OD的中点，且四边形AECF是平行四边形，试判断四边形ABCD是不是平行四边形，并说明理由．
证明：∵平行四边形AECF，
∴OA=OC，OE=OF，
（平行四边形的对角线互相平分）
∵E、F分别是BO、OD的中点，
∴2OE=2OF，即OB=OC，
∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1. 在平行四边形 ABCD 中，∠B=80 ，则 ∠A= ，∠D= 。
2. 在 Rt△ABC 中，若斜边上的中线长为 5，则斜边的长为 ．
3．平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（　　）
A．4cm，6cm B．6cm，8cm C．8cm，12cm D．20cm，30cm
4. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，
E,F分别是AB,CD的中点，AD=BC，∠PEF=18°，
则∠PFE的度数_____
100°
80°
10
D
A
B
C
D
E
F
P
18°
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
5.如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的直线分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF．
证明：∵ 平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在 △AOE 和 △COF 中，∠EAO=∠FCO,AO=CO,∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF．
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
6.如图，AB,CD相交于点O,AC ∥DB,AO=BO, E,F分别为OC,OD的中点，连接AE,AF,BE,BF. 求证：四边形AEBF是平行四边形.
证明：∵AC ∥DB ∴∠C=∠D
在△AOC和△BOD中
∠C=∠D ；∠AOC=∠BOD；AO=BO
∴△AOC≌△BOD（AAS）
∴OC=OD
∵ E,F分别为OC,OD的中点∴OE=OF
∵AO=BO ∴四边形AEBF是平行四边形
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
7.在四边形ABCD中,若分别给出六个条件:①AB∥CD ②AD=BC ③OA=OC ④AD∥ BC ⑤AB=CD ⑥OB=OD 现在,以其中的两个为一组,能直接确定四边形ABCD为平行四边形的条件是____________________________ (只填序号)
A
B
C
D
O
①④；①⑤；②④；②⑤；③;⑥
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
8.如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE, BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形
解析：（1）先证BC=EF,再根据SSS证△ABC≌△DFE；
（2）由（1）得AB∥DF,根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
9.在□ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6 cm，BF＝12 cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1 cm/s的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2 cm/s的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动．当点P运动　 　s时，以P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形．
3或5
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
解答提示：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC，AD＝BC.∠ADB＝∠CBD.
又因为∠FBM＝∠CBM，所以∠FBD＝∠FDB.
所以FB＝FD＝12 cm.
因为AF＝6 cm，所以AD＝18 cm.
因为E是BC的中点，所以CE＝BC＝AD＝9 cm.
要使以P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形，则PF＝EQ即可.
设当点P运动t s时，以P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形，则6﹣t＝9﹣2t或6﹣t＝2t﹣9，
解得t＝3或t＝5．所以t的值为3或5．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
10.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5 cm，E，F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在□ABCD之外），且DE＝ OD，BF＝ OB，连接AE，CE，CF，AF．
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形．
（2）若DE＝ OD，BF＝ OB，上述结论还
成立吗？由此你能得出什么结论？
（3）若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求
四边形AECF的周长．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵DE＝ OD，BF＝ OB， ∴DE＝BF ∴OE＝OF.
∴四边形AFCE为平行四边形．
（2）解：∵DE＝ OD，BF＝ OB，OD＝OB，
∴DE＝BF. ∴OE＝OF.
又∵OA=OC，∴四边形AFCE为平行四边形．
所以上述结论成立，由此可得出结论：若DE＝ OD，BF＝ OB（n≥3，且n是整数），四边形AFCE为平行四边形．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC. ∠DAC＝∠BCA．
又∵CA平分∠BCD，
∴∠BCA＝∠DCA. ∠DCA＝∠DAC. AD＝CD．
因为OA＝OC，所以OE⊥AC.
所以OE是AC的垂直平分线，所以AE＝CE．
因为∠AEC＝60°，所以△ACE是等边三角形.
所以AE＝CE＝AC＝2OA＝10 cm.
所以C四边形AECF＝2（AE+CE）＝2×（10+10）＝40 （cm）．
05
课堂小结
平 行 四 边 形
性质
①对边平行且相等
②对角相等，邻角互补
③对角线互相平分
判别
①两组对边分别平行的
②两组对边分别相等的
④对角线互相平分的
四 边 形
③一组对边平行且相等的
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1、如图， ABCD的周长是28 cm，△ABC的周长是22 cm，则AC的长为(　　)
A．6 cm B．12 cm C．4 cm D．8 cm
2、如图，在平行四边ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是_______（把所有正确结论的序号都填在横线上）
（1）∠DCF=∠BCD，（2）EF=CF；
（3）SΔBEC=2SΔCEF；（4）∠DFE=3∠AEF
D
①②④
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为 (　 　)
A．1 B．2 C． D．1＋
4．如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论:①； ②∠A=∠BHE； ③AB=BH； ④△BCF≌△DCE， 其中正确的结论是(　　)
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
A
A
06
作业布置
5.如图所示，小明为了测量学校里一池塘AB的宽度，选取可以直接到达A，B两点O处，再分别取OA，OB的中点M，N，量得MN＝20 m，则池塘AB的宽度为________m.
MN与AB的位置关系_____.
40
平行
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
6.如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F.
(1)求证：AD＝BF；
(2)若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积．
解：(1)∵E是AB边上的中点，
∴AE＝BE.
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠F.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
在△ADE和△BFE中，∠ADE＝∠F，∠DEA＝∠FEB，AE＝BE，∴△ADE≌△BFE.
∴AD＝BF
(2)过点D作DM⊥AB与M，
则DM同时也是平行四边形ABCD的高
．∴S△AED＝ × AB·DM=8
∴S四边形EBCD＝S ABCD－S△ADE＝32－8＝24
M
7.如图，平行四边形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝12 cm，点P在AD边上以每秒1 cm 的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止(同时点Q也停止)，在运动以后，以P，D，Q，B四点组成平行四边形的次数有 次．
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3
设运动时间为t, 分下情况；
①Q点在C-B,12-4t=12-t,无解
②Q点在C-B--C ,4t-12=12-t, t=4.8
③Q点在C-B-C-B,36-4t=12-t, t=8
④Q点在C-B-C-B-C,4t-36=12-t, t=9.6
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
8.已知： ABCD中，M,N分别是AD,BC的中点.连接AN,DN,BM,CM.且AN与BM交于点P,CM与DN交于点Q.
（1）图中有 个平行四边形.
（2)求证：PM=NQ
D
P
Q
B
N
C
M
A
四
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
D
P
Q
B
N
C
M
A
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD ∥BC AD=BC
∵ M,N是AD,BC的中点
∴AM=MD BN=NC
∴AM=NC MD=BN
∵ AD ∥BC AM=NC
∴四边形ANCM是平行四边形
∴AN ∥MC
∵ AD ∥BC MD=BN∴四边形MDNB是平行四边形
∴BM ∥ND∴四边形PNQM是平行四边形
∴PM=NQ
06
作业布置
9.如图，点O是△ABC内一点，连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接，得到四边形DEFG.求证：四边形DEFG是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
G
O
证明：∵D, G是AB,AC的中点∴DG是△ABC的中位线
∴DG ∥BC， DG= BC
∵E, F是OB,OC的中点
∴EF是△OBC的中位线
∴EF ∥BC， EF= BC
∴ DG ∥ EF, DG = EF
∴四边形DEFG是平行四边形
【综合拓展类作业】
06
作业布置
【综合拓展类作业】
10.两个全等的直角三角形重叠放在直线l上，如图①所示，AB＝6 cm，AC＝10 cm，∠ABC＝90°，将Rt△ABC在直线l上左右平移(如图②)．
(1)求证：四边形ACFD是平行四边形．
(2)怎样移动Rt△ABC，使得四边形ACFD的面积等于△ABC的面积的一半？
(3)将Rt△ABC向左平移4 cm，求四边形DHCF的面积．
06
作业布置
【综合拓展类作业】
.解：(1)证明：∵四边形ACFD是由Rt△ABC平移形成的，
∴AD∥CF，AC∥DF.
∴四边形ACFD为平行四边形．
(2)解：由题易得BC=8(cm)，
△ABC的面积＝24 cm2. 要使得四边形ACFD的
面积等于△ABC的面积的一半，即6×CF＝24÷2，
解得CF＝2 cm，
∴将Rt△ABC向左(或右)平移2 cm，可使四边形ACFD的面积等于△ABC的面积的一半．
06
作业布置
【综合拓展类作业】
.(3)解：将Rt△ABC向左平移4 cm，
则BE＝AD=CF＝4 cm. 又∵BC＝8 cm，
∴CE＝4 cm＝AD.
由(1)知四边形ACFD是平行四边形，
∴AD∥BF.∴∠HAD＝∠HCE.
又∵∠DHA＝∠EHC，
∴△DHA≌△EHC(AAS)．
∴DH＝HE＝3 cm. ∴S△ADH＝6 cm2.
∴四边形DHCF的面积为 －S△HEC＝24－6＝18(cm2)．
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北师大版（2026）八年级数学下册第六章《平行四边形》教学设计
6.2平行四边形的判断定理（1）
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 六
课题 平行四边形的判断定理（1） 课时 1
课标要求 概念理解：理解平行四边形的概念，了解四边形的不稳定性。性质与判定：探索并证明平行四边形的性质定理：对边相等、对角相等、对角线互相平分。探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。距离概念：了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离。三角形中位线：探索并证明三角形的中位线定理。核心素养培养要求推理能力：在参与观察、实验、猜想、证明等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。空间观念：建立符号意识和空间观念，初步形成几何直观，发展形象思维与抽象思维。数学思想：体会数形结合思想、转化思想在平行四边形知识学习中的应用。
教材分析 北师大版（2024）《平行四边形回顾与思考》的内容设计精准贴合初中数学核心素养培养目标，基础平行四边形板块概念与性质：系统回顾平行四边形的定义（两组对边分别平行的四边形），以及对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分这三大核心性质，同时明确其中心对称图形的特性。判定定理：梳理出"两组对边分别相等""一组对边平行且相等""对角线互相平分"三类判定方法，并配套典型例题帮助理解定理的应用场景，比如利用对角线关系判定平行四边形的证明题。拓展延伸板块三角形中位线：作为平行四边形知识的延伸，重点讲解三角形中位线的定义（连接三角形两边中点的线段）和定理（平行于第三边且等于第三边的一半），并通过实际例题展示其在求解线段长度、证明线段平行等问题中的应用。素养导向：聚焦数学核心能力培养逻辑推理能力：通过大量的证明题训练，引导学生掌握"由已知推未知"的逻辑链条，比如在证明平行四边形时，从定义、性质、判定定理中选择合适的依据进行严谨推导。直观想象能力：借助图形变换（如平移、旋转）帮助学生理解平行四边形的中心对称性，以及三角形中位线与第三边的位置关系，培养学生在脑海中构建几何图形的能力。数学建模能力：设置实际应用问题，比如利用平行四边形的稳定性解决生活中的栅栏搭建问题，让学生学会将实际问题转化为数学模型，再运用平行四边形知识求解。
学情分析 学生的知识技能基础：学生在前面的学习中已经掌握了全等三角形的性质和判定，在本章前几节课中，又对平行四边形的判定、性质做了进一步学习，通过一定题量的练习，学生已经对有关内容得以掌握。在本章后面几节课中，又学习了三角形中位线的定义和性质，并探索了连接四边形各边中点所成的四边形的形状等结论，学生在初一时已经掌握了三角形内角和定理，本章学生也掌握了多边形的内角和、外角和公式，对如何探究内角和、外角和的问题有了一定的认识。学生的能力基础：在相关知识的学习过程中，学生对推理证明的基本要求、基本步骤和基本方法已经掌握，已经能利用平行四边形的判定和性质解决特殊四边形的有关命题，并且也能利用有关知识对探究型题目加以分析和证明。学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，已经经历了“探索——发现——猜想——证明”的过程，体会了合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用。掌握了简单证明的方法，解决了简单的现实问题，同时在以前的数学学习中学生已经经历很多合作学习的过程，具有一定的合作学习经验和合作与交流的能力。
核心素养目标 1、能够熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述证明过程。2、掌握三角形中位线的定义和性质，明确三角形中位线与中线的不同并能运用它进行有关的论证和计算。3、会熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。
教学重点 熟练应用所学定理进行证明。体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。
教学难点 学会对证明方法的总结，通过讨论交流，进一步发展学生的合作交流意识。
教学准备 课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、知识架构 布置预习内容 （章节知识架构图） ，引导学生回顾章节主要内容，对章节内容有大致了解。
二、知识梳理 一、平行四边形的性质1、平行四边形是中心对称图形.2、对边平行； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC ，AB∥DC.对边相等， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC ，AB=DC.对角相等，∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠ A=∠C，∠ B=∠D.5、对角线互相平分，∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA=OC，OB=OD.边学边练1 .如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（　D　）A．∠1=∠2 B．∠BAD=∠BCD C．AB=CD D．AC=BC 2.如图，已知 ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，（平行四边形的对角相等，对边相等）∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴∠EAB= ∠BAD，∠FCD= ∠BCD，∴∠EAB= ∠FCD，在△ABE和△CDF中∠B＝∠D AB＝CD ∠EAB＝∠FCD ∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF．∵AD=BC ∴AF=EC．3.如图，在 ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（　A　）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 4.如图，在 ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，则△BOC的周长是（　B　）A．45cm B．59cm C．62cm D．90cm 二、平行四边形的判定： 两组对边分别平行（定义）∵ AD∥BC ，AB∥DC,∴ 四边形ABCD是平行四边形.2、两组对边相等∵ AD=BC ，AB=DC,∴ 四边形ABCD是平行四边形.一组对边平行且相等∵ AB=DC，AB∥DC,∴ 四边形ABCD是平行四边形.4、对角线互相平分∵ OA=OC，OB=OD,∴ 四边形ABCD是平行四边形.边学边练5、如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　D　）A．OA=OC，OB=OD B．∠BAD=∠BCD，AB∥CD C．AD∥BC，AD=BC D．AB=CD，AO=CO 6.如图，点D、C在BF上，AC∥DE，∠A=∠E，BD=CF，（1）求证：AB=EF．（2）连接AF，BE，猜想四边形ABEF的形状，并说明理由．（1）证明：∵AC∥DE，∴∠ACD=∠EDF，∵BD=CF，∴BD+DC=CF+DC，即BC=DF，又∵∠A=∠E，∴△ABC≌△EFD（AAS），∴AB=EF；连接AF，BE，猜想四边形ABEF的形状，并说明理由．解：猜想：四边形ABEF为平行四边形，理由如下：由（1）知△ABC≌△EFD，∴∠B=∠F，∴AB∥EF，又∵AB=EF，四边形ABEF为平行四边形.（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）三、三角形的中位线1.三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.用符号语言表示∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC,边学边练7、已知:三角形的各边分别为6cm,8cm, 12cm，则连接各边中点所成三角形的周长为 13 cm.
8、已知:三角形的周长为64cm，则连接各边中点所成三角形的周长为 32 cm.9、如图，△ABC的周长为a，D、E、F分别为△ABC各边中点,（1）△DEF的周长为【】（2）G、H、I分别为△DEF各边中点,△GHI的周长为【】 （3）像这样下去,第3个三角形的周长为【 】（4）第n个三角形的周长为【】 10.如图,D、E、F分别是△ABC三边的中点你能发现△DEF的面积与△ABC的面积有什么关系吗？为什么？解：S△DEF= S△ABC.理由如下：由题意得DE,DF,EF是△ABC的中位线，∴DE∥BC, DF∥AC,EF∥AB,∴四边ADFE,BDEF,DECF都是平行四边形，∴S△DEF= S△ADE= S△BDF= S△CEF,∴S△DEF= S△ABC.11.若三角形的三条中位线之比为 6 : 5 : 4 ,三角形的周长为 60 cm,那么该三角形中最长边的边长为 24 cm;解析:设三角形的三条中位线之长分别为6x,5x,4x，则三角形的三条边长之长分别为12x,10x,8x，依题意有 12x＋10x＋8x＝60，解得 x＝2.所以，最长边12x＝24（cm）.综合运用1 2、 如图，已知E、F分别是 ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．求证：四边形AECF是平行四边形证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，（平行四边形的对边平行且相等）∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是BO、OD的中点，且四边形AECF是平行四边形，试判断四边形ABCD是不是平行四边形，并说明理由．证明：∵平行四边形AECF，∴OA=OC，OE=OF，（平行四边形的对角线互相平分）∵E、F分别是BO、OD的中点，∴2OE=2OF，即OB=OC，∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形.(对角线互相平分的四边形是平行四边形） 回顾平行四边形的性质定理、判断定理、三角形的中位线进行知识梳理。进行相应的练习。综合运用知识解决实际问题。 对平行四边形的性质定理、判断定理，三角形的中位线整理复习，梳理知识后进行针对练习，讲练结合把学习主动权交给学生。
五、尝试 基础达标：1. 在平行四边形 ABCD 中，∠B=80 ，则 ∠A= 100° ，∠D= 80° 。2. 在 Rt△ABC 中，若斜边上的中线长为 5，则斜边的长为 10 ．3．平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（　D　）A．4cm，6cm B．6cm，8cm C．8cm，12cm D．20cm，30cm4. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E,F分别是AB,CD的中点，AD=BC，∠PEF=18°，则∠PFE的度数 18° . 第4题 第5题5.如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的直线分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF．证明：∵ 平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O， ∴AO=CO，AD∥BC， ∴∠EAO=∠FCO，在 △AOE 和 △COF 中，∠EAO=∠FCO,AO=CO,∠AOE=∠COF, ∴△AOE≌△COF， ∴AE=CF．6.如图，AB,CD相交于点O,AC ∥DB,AO=BO, E,F分别为OC,OD的中点，连接AE,AF,BE,BF. 求证：四边形AEBF是平行四边形.证明：∵AC ∥DB ∴∠C=∠D在△AOC和△BOD中 ∠C=∠D ；∠AOC=∠BOD；AO=BO∴△AOC≌△BOD（AAS）∴OC=OD∵ E,F分别为OC,OD的中点∴OE=OF∵AO=BO ∴四边形AEBF是平行四边形在四边形ABCD中,若分别给出六个条件:①AB∥CD ②AD=BC ③OA=OC ④AD∥ BC ⑤AB=CD ⑥OB=OD 现在,以其中的两个为一组,能直接确定四边形ABCD为平行四边形的条件是①④；①⑤；②④；②⑤；③;⑥(只填序号) 第7题 第8题8.如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE, BE=FC．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形解析：（1）先证BC=EF,再根据SSS证△ABC≌△DFE；（2）由（1）得AB∥DF,根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形能力提升：9.在□ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6 cm，BF＝12 cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1 cm/s的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2 cm/s的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动．当点P运动　3或5 s时，以P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形．解答提示：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD∥BC，AD＝BC.∠ADB＝∠CBD.又因为∠FBM＝∠CBM，所以∠FBD＝∠FDB.所以FB＝FD＝12 cm.因为AF＝6 cm，所以AD＝18 cm.因为E是BC的中点，所以CE＝BC＝AD＝9 cm.要使以P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形，则PF＝EQ即可.设当点P运动t s时，以P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形，则6﹣t＝9﹣2t或6﹣t＝2t﹣9，解得t＝3或t＝5．所以t的值为3或5．拓展迁移10.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5 cm，E，F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在□ABCD之外），且DE＝OD，BF＝OB，连接AE，CE，CF，AF．（1）求证：四边形AFCE为平行四边形．（2）若DE＝OD，BF＝OB，上述结论还成立吗？由此你能得出什么结论？（3）若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AECF的周长．1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD．∵DE＝OD，BF＝OB， ∴DE＝BF ∴OE＝OF.∴四边形AFCE为平行四边形．（2）解：∵DE＝OD，BF＝OB，OD＝OB，∴DE＝BF. ∴OE＝OF.又∵OA=OC，∴四边形AFCE为平行四边形．所以上述结论成立，由此可得出结论：若DE＝OD，BF＝OB（n≥3，且n是整数），四边形AFCE为平行四边形．（3）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. ∠DAC＝∠BCA．又∵CA平分∠BCD，∴∠BCA＝∠DCA. ∠DCA＝∠DAC. AD＝CD．因为OA＝OC，所以OE⊥AC.所以OE是AC的垂直平分线，所以AE＝CE．因为∠AEC＝60°，所以△ACE是等边三角形.所以AE＝CE＝AC＝2OA＝10 cm.所以C四边形AECF＝2（AE+CE）＝2×（10+10）＝40 （cm）． 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 1、平行四边形的定义： 。2、平行四边形的性质定理：①是中心对称图形，②容易变形（不稳定性）③边 .④角 .⑤对角线 .3、平行四边形的判定定理：①边 .（定义）②角 .③边角 .④对角线 .三角形中位线定理： 。5、数学思想：归类、类比、转化 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1、如图， ABCD的周长是28 cm，△ABC的周长是22 cm，则AC的长为(　D　)A．6 cm B．12 cm C．4 cm D．8 cm2、如图，在平行四边ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是 ①②④ （把所有正确结论的序号都填在横线上）（1）∠DCF=∠BCD，（2）EF=CF； （3）SΔBEC=2SΔCEF；（4）∠DFE=3∠AEF 第1题 第2题 第3题3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为 (　A 　) A．1 B．2 C． D．1＋ 4．如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论:①； ②∠A=∠BHE； ③AB=BH； ④△BCF≌△DCE， 其中正确的结论是(　A　)A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④5.如图所示，小明为了测量学校里一池塘AB的宽度，选取可以直接到达A，B两点O处，再分别取OA，OB的中点M，N，量得MN＝20 m，则池塘AB的宽度为 40 m. MN与AB的位置关系 平行 . 第4题 第5题 第6题6.如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F.(1)求证：AD＝BF；(2)若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积． 解：(1)∵E是AB边上的中点，∴AE＝BE.∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠F.在△ADE和△BFE中，∠ADE＝∠F，∠DEA＝∠FEB，AE＝BE，∴△ADE≌△BFE.∴AD＝BF(2)过点D作DM⊥AB与M，则DM同时也是平行四边形ABCD的高．∴S△AED＝ ×AB·DM=8∴S四边形EBCD＝S ABCD－S△ADE＝32－8＝24能力提升：7.如图，平行四边形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝12 cm，点P在AD边上以每秒1 cm 的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止(同时点Q也停止)，在运动以后，以P，D，Q，B四点组成平行四边形的次数有 3 次．解析：设运动时间为t, 分下情况；①Q点在C-B,12-4t=12-t,无解②Q点在C-B--C ,4t-12=12-t, t=4.8③Q点在C-B-C-B,36-4t=12-t, t=8④Q点在C-B-C-B-C,4t-36=12-t, t=9.68.已知： ABCD中，M,N分别是AD,BC的中点.连接AN,DN,BM,CM.且AN与BM交于点P,CM与DN交于点Q. （1）图中有 四 个平行四边形.（2)求证：PM=NQ证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD ∥BC AD=BC∵ M,N是AD,BC的中点∴AM=MD BN=NC∴AM=NC MD=BN ∵ AD ∥BC AM=NC ∴四边形ANCM是平行四边形 ∴AN ∥MC∵ AD ∥BC MD=BN∴四边形MDNB是平行四边形∴BM ∥ND∴四边形PNQM是平行四边形∴PM=NQ拓展迁移：9.如图，点O是△ABC内一点，连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接，得到四边形DEFG.求证：四边形DEFG是平行四边形.证明：∵D, G是AB,AC的中点∴DG是△ABC的中位线 ∴DG ∥BC， DG= BC∵E, F是OB,OC的中点 ∴EF是△OBC的中位线 ∴EF ∥BC， EF= BC ∴ DG ∥ EF, DG = EF∴四边形DEFG是平行四边形10.两个全等的直角三角形重叠放在直线l上，如图①所示，AB＝6 cm，AC＝10 cm，∠ABC＝90°，将Rt△ABC在直线l上左右平移(如图②)．(1)求证：四边形ACFD是平行四边形．(2)怎样移动Rt△ABC，使得四边形ACFD的面积等于△ABC的面积的一半？(3)将Rt△ABC向左平移4 cm，求四边形DHCF的面积．解：(1)证明：∵四边形ACFD是由Rt△ABC平移形成的，∴AD∥CF，AC∥DF. ∴四边形ACFD为平行四边形．(2)解：由题易得BC=8(cm)，△ABC的面积＝24 cm2. 要使得四边形ACFD的面积等于△ABC的面积的一半，即6×CF＝24÷2，解得CF＝2 cm，∴将Rt△ABC向左(或右)平移2 cm，可使四边形ACFD的面积等于△ABC的面积的一半．(3)解：将Rt△ABC向左平移4 cm，则BE＝AD=CF＝4 cm. 又∵BC＝8 cm，∴CE＝4 cm＝AD.由(1)知四边形ACFD是平行四边形，∴AD∥BF.∴∠HAD＝∠HCE. 又∵∠DHA＝∠EHC，∴△DHA≌△EHC(AAS)．∴DH＝HE＝3 cm. ∴S△ADH＝6 cm. ∴四边形DHCF的面积为 －S△HEC＝24－6＝18(cm2)．
教学反思
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