资源简介

(共31张PPT)
第二十一章 四边形
21.3.1 矩形（第2课时）
1．掌握矩形的判定定理；
2．能综合运用平行四边形与矩形的知识进行判定；
3．能解决矩形判定的综合问题．
1．说一说矩形的定义？
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形．
2．说一说矩形的性质？
（1）角：矩形的四个角都是直角．
（2）边：对边平行且相等．
（3）对角线：矩形的对角线互相平分且相等．
（4）对称性：矩形是轴对称图形，每组对边中点所在的直线是它的对称轴．
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________．
一半
接下来研究矩形的判定．由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形．除了此方法，还有没有其他判定方法呢？
与研究平行四边形的判定类似，我们研究矩形的性质定理的逆命题，看一看它们是否成立．
思考：我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
分析：如图所示，由 ABCD的对角线AC，BD相等，再根据AB＝DC，BC＝CB，可以证明△ABC≌△DCB，从而∠ABC＝∠DCB，又∠ABC与∠DCB互补，所以它们都是直角．这样，就证明了 ABCD是矩形．
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形．
已知：如图所示，由 ABCD的对角线AC，BD相等．
求证： ABCD是矩形．
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，AB//CD．
∴∠ABC＋∠DCB＝180°．
∵AC＝BD，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB．
∴∠ABC＝∠DCB．
∴∠ABC＝90°．
∴平行四边形 ABCD 是矩形．
即：对角线相等的平行四边形是矩形．
矩形的判定定理1：
对角线相等的平行四边形是矩形．
符号语言：
在平行四边形ABCD中，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
想一想：工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等．你知道其中的道理吗？
对角线相等的平行四边形是矩形．
思考：我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？
不是矩形
不是矩形
两个角是直角
一个角是直角
三个角是直角
是矩形
已知：在四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．
求证：四边形 ABCD 是矩形．
证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，
∴AD//BC，AB/CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
∵∠A＝90°，
∴四边形 ABCD 是矩形．
即：有三个角是直角的四边形是矩形．
B
C
D
A
矩形的判定定理2：
有三个角是直角的四边形是矩形．
符号语言：
在四边形 ABCD 中，
∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形 ABCD 是矩形．
B
C
D
A
例：如图所示， ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．
求证：四边形EFGH是矩形．
分析：根据已知条件，容易证明四边形EFGH的一个内角∠F为直角，同理可证∠H，∠AEB也为直角，从而证明四边形EFGH是矩形．
例：如图所示， ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．
求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD．
∴∠BAD＋∠ADC＝180°．
又AF，DF分别平分∠BAD，∠ADC，
∴∠DAF＋∠ADF＝∠BAD＋∠ADC＝（∠BAD＋∠ADC）＝90°．
∴∠F＝90°．
同理∠H＝∠AEB＝90°．
∴∠FEH＝∠AEB＝90°．
∴四边形EFGH是矩形．
矩形的判定方法
（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）对角线：对角线相等的平行四边形是矩形．
（3）角：有三个角是直角的四边形是矩形．
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
矩形的判定
角
定义法
对角线
有一个角是直角的平行四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 21.3.1 矩形（第2课时） 单元 第二十一章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．掌握矩形的判定定理； 2．能综合运用平行四边形与矩形的知识进行判定； 3．能解决矩形判定的综合问题．
重点 掌握矩形的判定定理，能运用定理判定一个四边形或平行四边形为矩形．
难点 综合运用平行四边形与矩形的知识，灵活选择判定方法解决复杂几何证明问题．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．说一说矩形的定义？ 2．说一说矩形的性质？ 3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________．
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助矩形的性质，研究矩形的判定。 思考：我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 猜想：对角线相等的平行四边形是________． 分析：如图所示，由 ABCD的对角线AC，BD相等，再根据AB＝DC，BC＝CB，可以证明△ABC≌△DCB，从而∠ABC＝∠DCB，又∠ABC与∠DCB互补，所以它们都是直角．这样，就证明了 ABCD是矩形． 已知：如图所示，由 ABCD的对角线AC，BD相等． 求证： ABCD是矩形． 归纳：矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是________． 符号语言： 在平行四边形ABCD中， ∵AC＝____， ∴平行四边形ABCD是______． 想一想：工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等．你知道其中的道理吗？ 思考：我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？ ______矩形 ______矩形 ______矩形 已知：在四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°． 求证：四边形 ABCD 是矩形． 归纳：矩形的判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形． 符号语言： 在四边形 ABCD 中， ∵∠A＝∠B＝∠C＝______， ∴四边形 ABCD 是_______． 例：如图所示， ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H． 求证：四边形EFGH是矩形． 分析：根据已知条件，容易证明四边形EFGH的一个内角∠F为直角，同理可证∠H，∠AEB也为直角，从而证明四边形EFGH是矩形． 证明： 归纳：矩形的判定方法 （1）定义法：有一个角是直角的平行四边形是________． （2）对角线：对角线________的平行四边形是矩形． （3）角：有三个角是________的四边形是矩形．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中、相交于点，，当____时，是矩形． 3．如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点．求证：四边形是矩形． 选做题： 4．如图，在边长为定值的平行四边形中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（都不与端点重合），且满足，连接，，，，下列说法中，错误的是（ ） A．线段的长度为定值 B．当为的中点时，四边形为矩形 C．四边形始终是平行四边形 D． 【综合拓展类练习】 5．如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列说法错误的是（ ） A．对角线互相平分的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．三个角是直角的四边形是矩形 2．如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，要使四边形成为矩形，可添加一个条件是_________．(只要写出一个条件即可) 3．如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA＝∠PCB． 求证：四边形ABCD是矩形． 选做题： 4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥．不能使四边形ABCD成为矩形的组合是（ ） A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥ 【综合拓展类作业】 5．已知：如图，在中，是的一条角平分线，是外角，的平分线，，垂足为点． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，交于点，请判断四边形的形状，并证明； (3)线段与有怎样的关系？请直接写出你的结论．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第十课时《21.3.1 矩形（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是特殊平行四边形学习的重要组成部分，承接矩形的定义与性质，是平行四边形判定方法的延伸与拓展，也是后续学习菱形、正方形判定的基础．本节课通过探究矩形性质的逆命题，推导并证明“对角线相等的平行四边形是矩形”“有三个角是直角的四边形是矩形”等判定定理，既是对平行四边形判定方法的深化，也是对全等三角形、平行线性质等知识的综合运用，为解决几何证明、实际应用问题提供了新的工具．通过本节课的学习，学生能进一步完善特殊平行四边形的知识体系，掌握“性质—逆命题—证明—判定”的几何探究方法，体会类比、转化的数学思想，提升逻辑推理与综合应用能力，在初中几何教学中起到承上启下、巩固提升的关键作用．
学习者分析 学生已掌握平行四边形的判定、矩形的定义与性质，具备一定的几何推理、逻辑证明能力，对“性质与判定互逆”的探究方法有初步认知．但学生对矩形判定定理的理解不够深入，易混淆矩形与平行四边形的判定条件，在综合运用平行四边形与矩形的知识解决判定问题时，难以快速选择合适的判定路径，部分学生对证明过程中条件的组织、推理的严谨性把握不足，需要教师通过对比辨析、例题引导，帮助学生梳理思路，提升知识的综合应用能力．
教学目标 1．掌握矩形的判定定理； 2．能综合运用平行四边形与矩形的知识进行判定； 3．能解决矩形判定的综合问题．
教学重点 掌握矩形的判定定理，能运用定理判定一个四边形或平行四边形为矩形．
教学难点 综合运用平行四边形与矩形的知识，灵活选择判定方法解决复杂几何证明问题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．掌握矩形的判定定理； 2．能综合运用平行四边形与矩形的知识进行判定； 3．能解决矩形判定的综合问题．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．说一说矩形的定义？ 答案：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形． 2．说一说矩形的性质？ 答案：（1）角：矩形的四个角都是直角． （2）边：对边平行且相等． （3）对角线：矩形的对角线互相平分且相等． （4）对称性：矩形是轴对称图形，每组对边中点所在的直线是它的对称轴． 3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________． 答案：一半 导言：接下来研究矩形的判定．由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形．除了此方法，还有没有其他判定方法呢？ 与研究平行四边形的判定类似，我们研究矩形的性质定理的逆命题，看一看它们是否成立．学生活动2： 学生积极回答老师提出的问题活动意图说明： 通过复习矩形的定义和性质，为探究矩形的性质做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 思考：我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形． 分析：如图所示，由 ABCD的对角线AC，BD相等，再根据AB＝DC，BC＝CB，可以证明△ABC≌△DCB，从而∠ABC＝∠DCB，又∠ABC与∠DCB互补，所以它们都是直角．这样，就证明了 ABCD是矩形． 已知：如图所示，由 ABCD的对角线AC，BD相等． 求证： ABCD是矩形． 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD，AB//CD． ∴∠ABC＋∠DCB＝180°． ∵AC＝BD，BC＝CB， ∴△ABC≌△DCB． ∴∠ABC＝∠DCB． ∴∠ABC＝90°． ∴平行四边形 ABCD 是矩形． 即：对角线相等的平行四边形是矩形． 归纳：矩形的判定定理1： 对角线相等的平行四边形是矩形． 符号语言： 在平行四边形ABCD中， ∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形． 想一想：工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等．你知道其中的道理吗？ 预设：对角线相等的平行四边形是矩形． 思考：我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？ 预设： 不是矩形 不是矩形 是矩形 已知：在四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°． 求证：四边形 ABCD 是矩形． 证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°， ∴AD//BC，AB/CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． ∵∠A＝90°， ∴四边形 ABCD 是矩形． 即：有三个角是直角的四边形是矩形． 归纳：矩形的判定定理2： 有三个角是直角的四边形是矩形． 符号语言： 在四边形 ABCD 中， ∵∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴四边形 ABCD 是矩形． 例：如图所示， ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H． 求证：四边形EFGH是矩形． 分析：根据已知条件，容易证明四边形EFGH的一个内角∠F为直角，同理可证∠H，∠AEB也为直角，从而证明四边形EFGH是矩形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD． ∴∠BAD＋∠ADC＝180°． 又AF，DF分别平分∠BAD，∠ADC， ∴∠DAF＋∠ADF＝∠BAD＋∠ADC＝（∠BAD＋∠ADC）＝90°． ∴∠F＝90°． 同理∠H＝∠AEB＝90°． ∴∠FEH＝∠AEB＝90°． ∴四边形EFGH是矩形． 归纳：矩形的判定方法 （1）定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）对角线：对角线相等的平行四边形是矩形． （3）角：有三个角是直角的四边形是矩形．学生活动3： 学生先独立思考，然后小组合作探究后认真听老师的归纳总结活动意图说明： 以矩形性质的逆命题为切入点，引导学生经历猜想、证明的探究过程，推导并掌握矩形的判定定理，渗透类比与转化思想，完善特殊平行四边形的知识体系．通过例题，强化判定定理的综合应用，训练学生分析复杂图形、灵活选择判定方法的能力，规范推理过程，落实几何核心素养。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：21.3.1矩形（第2课时）矩形的判定方法： （1）定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）对角线：对角线相等的平行四边形是矩形． （3）角：有三个角是直角的四边形是矩形．教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．如图，在中、相交于点，，当____时，是矩形． 答案：6 3．如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点．求证：四边形是矩形． 证明：∵四边形是平行四边形， ， ． ， ． ，平分， ， 同理可得， ． 又∵， ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是矩形． 选做题： 4．如图，在边长为定值的平行四边形中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（都不与端点重合），且满足，连接，，，，下列说法中，错误的是（ ） A．线段的长度为定值 B．当为的中点时，四边形为矩形 C．四边形始终是平行四边形 D． 答案：B 【综合拓展类练习】 5．如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 证明：（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）∵四边形是矩形，点E为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列说法错误的是（ ） A．对角线互相平分的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．三个角是直角的四边形是矩形 答案：A 2．如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，要使四边形成为矩形，可添加一个条件是_________．(只要写出一个条件即可) 答案：（或或等） 3．如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA＝∠PCB． 求证：四边形ABCD是矩形． 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形． 选做题： 4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥．不能使四边形ABCD成为矩形的组合是（ ） A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥ 答案：C 【综合拓展类作业】 5．已知：如图，在中，是的一条角平分线，是外角，的平分线，，垂足为点． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，交于点，请判断四边形的形状，并证明； (3)线段与有怎样的关系？请直接写出你的结论． 证明：（1）在中，是的角平分线， ，， ， 为的外角的平分线， ， ， ， ， 四边形为矩形； （2）四边形是平行四边形，理由如下： 由（1）知，四边形为矩形，则． 又， ， 四边形是平行四边形； （3），．理由： 四边形为矩形， ， ， 是的中位线， ∴，．
教学反思 本节课通过逆命题探究、定理证明与例题应用，多数学生能掌握矩形的判定定理．但部分学生易混淆矩形与平行四边形的判定条件，综合运用多种判定方法解决问题时思路不清晰，证明步骤的严谨性不足．后续需加强判定条件的对比辨析，强化证明过程的规范训练，增加变式练习，引导学生梳理判定思路，提升逻辑推理与知识迁移能力，落实几何核心素养．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑