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多边形内角和外角和
(知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义
本节课主要针对第23章四边形进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了多边形相关概念、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。
1、概念总结：
多边形定义：由不在同一直线上的三条或三条以上线段首尾顺次连接而成的封闭图形。
分类：三角形、四边形、五边形……n边形（n≥3）
内角和定理：n边形的内角和 = (n-2)×180°
外角和定理：任意多边形的外角和 = 360°
2、常考题型解题方法总结
题型分类 典型例题 解题思路
求内角和 十边形的内角和是多少？ 直接代入公式：(10-2)×180° = 1440°
已知内角和求边数 一个多边形的内角和是2160°，求边数 设边数为n，(n-2)×180=2160，解得n=14
正多边形角度计算 正五边形的每个外角是多少？ 外角和÷边数=360°÷5=72°
内外角关系 一个多边形的内角和是外角和的6倍，求边数 (n-2)×180=6×360，解得n=14
易错提醒
1. 外角和恒为360°，与边数无关
2. 求边数时方程要列正确，注意是(n-2)不是n
3. 多边形边数增加1，内角和增加180°
一．多边形内角和（共17小题）
1．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．部分多边形的三角剖分方法如图，如：四边形三角剖分得到两个三角形，它的内角和为180°×2＝360°，用你发现的规律求七边形的内角和是（　　）
A．1260° B．900° C．720° D．540°
2．若一个正多边形的中心角的度数为72°，则这个多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．若一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．六边形的内角和为（　　）
A．720° B．630° C．540° D．360°
5．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AD，EH，AE，DH，AE与DH交于点O，则∠DAO的度数是（　　）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
6．若连接多边形一个顶点与其他不相邻顶点的线段，可将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．从十边形的一个顶点出发，分别用线段连接与它不相邻的其他顶点，可将这个十边形分成三角形的个数是（　　）
A．10个 B．9个 C．8个 D．7个
8．学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（　　）
A．11条 B．10条 C．9条 D．8条
9．如图，∠1、∠2、∠3是四边形ABCD的3个外角，若∠1+∠2+∠3＝280°，则∠A＝　 　 °．
10．如图，将七边形ABCDEFG沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDQP，则该六边形的周长一定比原七边形的周长　 　 （填：“大”或“小”），其判断依据是　 　 ．
11．用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”．20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中Dn表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形ABCD，有两种剖分方式（即：D4＝2），请你用上面的公式计算D6＝　 　 ．
12．若一个多边形从同一个顶点出发，可以作6条对角线，则这个多边形的边数为　 　 ．
13．如图，在正五边形ABCDE中，连接AD，BE相交于点P，则∠DPB的度数为　 　 ．
14．在交通行驶中，看到“停”的标志牌，表示车主需要停下车让行，其形状是一个正八边形，则其中一个内角度数为　 　 °．
15．如图所示，按某种方法将多边形分割成若干个三角形．图①中的三角形可分割出2个三角形，图②中的四边形可分割出3个三角形，图③中的五边形可分割出4个三角形，…以此类推，n边形可分割出　 　 个三角形．
16．我们可以应用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”探索n边形的内角和．
（1）探索：在图①中探索∠1+∠2与∠A的关系，并证明；
（2）应用：在图②中运用（1）所得的结论，证明四边形的内角和为360°；
（3）推广：在图③中将（2）的思路延伸，说明n边形的内角和为（n﹣2） 180°．
17．综合与实践
（1）思考探究：如图1，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于点P，则∠P与∠A的关系是 　 　 ．
（2）类比探究：如图2，在四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，α+β＞180°，四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交于点P，求∠P的度数．（用含α，β的代数式表示）
（3）拓展迁移：如图3，将（2）中α+β＞180°改为α+β＜180°，其他条件不变，请写出∠P＝ 　 　 ．（用含α，β的代数式表示）
二．多边形外角和（共17小题）
18．已知在一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是　 　 边形．
19．如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的边数是 　 　 ．
20．如图，正五边形ABCDE中，以CD为边作等边△CDF，连接BF，则∠CBF的度数为 　 　 ．
21．若多边形的每一个外角都是45°，则该多边形的内角和的度数为 　 　 ．
22．如图，已知正方形ABCD的中心为O．将正方形ABCD绕点O逆时针旋转60°得到正方形A′B′C′D′，两个正方形的公共点为G，H，I，J，K，L，M，N．对八边形GHIJKLMN给出下面四个结论：
①该八边形各边长都相等；
②该八边形各内角都相等；
③点O到该八边形各顶点的距离都相等；
④点O到该八边形各边的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
23．如图，四边形ABCD中，∠A＝80°，BC、CD的垂直平分线交于A点，则∠BCD的度数为（　　）
A．150° B．140° C．130° D．120°
24．一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（　　）
A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形
25．一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是（　　）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
26．如图，已知∠1+∠2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（　　）
A．120° B．110° C．100° D．80°
27．若一个多边形的每个内角都是相邻外角的2倍，则这个多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
28．一个正多边形的每个内角与相邻外角的度数比为5：1，求这个正多边形的边数．
29．综合与探究
【感知】如图1，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．
【应用】
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠BPC＝　 　 ；若∠BAC＝70°，则∠BPC＝　 　 ；
（2）求∠BPC与∠A之间的关系并证明；
【拓展】
（3）如图2，在四边形ABCD中，BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，求∠BPC与∠A+∠D的数量关系．
30．阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
（1）“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？
（2）明明求的是几边形的内角和？
（3）多加的那个外角为多少度？
31．观察图形，按要求完成：
（1）在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．
①如图1，若∠B＝∠C，则∠C＝　 　 °；
②如图2，若∠ABC的平分线BE交DC于点E、且BE∥AD，则∠C＝　 　 °；
③如图3，若∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，则∠BEC＝　 　 °；
（2）如图3，当∠A＝α，∠D＝β时，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，请说明∠BEC与α，β之间的数量关系．
32．如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点D．
【问题解决】
（1）若∠ABC＝80°，∠A＝60°，则∠D＝ 　 　 ．
【猜想证明】
（2）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有∠A的式子表示∠D）
【拓展提高】
（3）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的数量关系，并说明理由．
33．在学习了三角形的内角和与外角和后，老师给大家布置了一道题目：如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数．下面是小华的解答过程．
解：∵　 　 （已知）， ∴， 同理，可得∠PCB＝　 　 ， 在△BPC中，三角形三个内角和等于180°， ∴　 　 ＝180°， ∴∠BPC＝180°﹣　 　 ＝　 　 ．
请将小华的解答过程中的空白处填上恰当的内容．
34．在八年级上册第十三章《三角形》的学习中，涉及到三角形角的性质和应用广泛，其中有内角、外角、对顶角、邻补角、角平分线，还有内角和、外角和，有的还要设未知数建立方程，或设参数建立等式解决问题，内涵丰富，方法多样．
（1）如图1，AP，CP分别平分∠BAD和∠BCD，若∠ABC＝30°，∠ADC＝20°，求∠P的度数．
（2）如图2，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝40°，∠ADC＝25°，求此时∠P的度数．
（3）在图3中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B，∠D之间的数量关系，并直接写出结论．
1．已知一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，求这个多边形的边数．
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
3．已知一个多边形的内角和等于其外角和的4倍，求这个多边形的边数．
4．已知正x边形的内角和为1080°，边长为2．
（1）求正x边形的周长；
（2）若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小63°，求n的值．
5．如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC且与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点D．
（1）若∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，求∠D的度数；
（2）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否变化？由此你能得出什么结论？（用含有∠A的式子表示∠D）
（3）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的数量关系，并说明理由．
1．我们知道：三角形的内角和为180°，所以在求四边形的内角和时，我们可以将四边形分割成两个三角形，这样其内角和就是180°×2＝360°；同理五边形的内角和是 　 　 度；那么n边形的内角和是 　 　 度；如果有一个n边形的内角和是1620°，那么n的值是 　 　 ．
2．一个多边形的内角和是它外角和的2倍，求这个多边形的边数．
3．已知一个多边形的每个内角都是144°，求这个多边形的内角和．
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝116°，AC平分∠BCD，E是BC上一点，EF∥AC交AB于点F．
（1）求∠DAC的大小；
（2）若∠BFE＝3∠B，求∠BAC的大小．
5．如图，已知∠A＝50°，∠D＝40°
（1）求∠1度数；
（2）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
6．一个多边形的内角和是1260°，从这个多边形的一个顶点出发可以作　 　 条对角线．
7．如图，已知四边形ABCD中，AD∥CB，BD平分∠ABC，∠A：∠DBA＝4：1．
（1）求∠A的度数；
（2）如果△BDC是直角三角形，直接写出∠C的度数．
8．如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）
①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°．
②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．
（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数．
9．一个多边形的每个外角都等于40°，求这个多边形的内角和．
10．已知多边形的每一个内角都等于135°，求这个多边形的边数．
11．一个n边形的一个外角为x°，与这个外角不相邻的所有内角和为y°，则x与y的关系是什么？
12．正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正x边形的内角和为1080°，边长为2．
（1）求正x边形的周长；
（2）若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小63°，求n的值．
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝70°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝55°．求证：AE∥DC．
14．一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为7：2．
（1）求这个n边形一个内角的度数．
（2）求这个n边形的内角和．
15．如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，EF平分∠AED，CF平分∠BCD，若∠EDC＝80°，求∠EFC的度数．
16．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
17．如图，这是某校园小公园中的腾飞雕塑的平面示意图．已知雕塑的右边边线AB和底座CD都与地面MN垂直，同时，AE与DE的夹角∠AED＝75°，DE与底座CD的夹角∠CDE＝125°，求∠BAE的度数．
18．在四边形ABCD中，O在其内部，满足∠ABO∠ABC，∠DCO∠DCB．
（1）如图1，当n＝2时，如果∠A+∠D＝260°，直接写出∠O的度数　 　 ；
（2）当n＝3时，M、N分别在AB、DC的延长线上，BC下方一点P，满足∠CBP＝2∠PBM，∠BCP＝2∠PCN，
①如图2，判断∠O与∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，延长线段BO、PC交于点Q，△BQP中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出∠A+∠D的度数为　 　 ．
第1页（共1页）多边形内角和外角和
(知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义
本节课主要针对第23章四边形进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了多边形相关概念、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。
1、概念总结：
多边形定义：由不在同一直线上的三条或三条以上线段首尾顺次连接而成的封闭图形。
分类：三角形、四边形、五边形……n边形（n≥3）
内角和定理：n边形的内角和 = (n-2)×180°
外角和定理：任意多边形的外角和 = 360°
2、常考题型解题方法总结
题型分类 典型例题 解题思路
求内角和 十边形的内角和是多少？ 直接代入公式：(10-2)×180° = 1440°
已知内角和求边数 一个多边形的内角和是2160°，求边数 设边数为n，(n-2)×180=2160，解得n=14
正多边形角度计算 正五边形的每个外角是多少？ 外角和÷边数=360°÷5=72°
内外角关系 一个多边形的内角和是外角和的6倍，求边数 (n-2)×180=6×360，解得n=14
易错提醒
1. 外角和恒为360°，与边数无关
2. 求边数时方程要列正确，注意是(n-2)不是n
3. 多边形边数增加1，内角和增加180°
一．多边形内角和（共17小题）
1．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．部分多边形的三角剖分方法如图，如：四边形三角剖分得到两个三角形，它的内角和为180°×2＝360°，用你发现的规律求七边形的内角和是（　　）
A．1260° B．900° C．720° D．540°
【分析】根据题意得出七边形三角剖分得到五个三角形，然后计算其内角和即可．
【解答】解：七边形三角剖分得到五个三角形，
它的内角和为180°×5＝900°，
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，三角形内角和定理，多边形的对角线，理解题意是解题的关键．
2．若一个正多边形的中心角的度数为72°，则这个多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据正多边形中心角的计算方法列方程求解即可．
【解答】解：设这个正多边形为正n边形，由题意得，
72°，
解得n＝5，
经检验n＝5是原方程的解，
即正多边形为正五边形，
故选：B．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握正多边形中心角的计算方法是正确解答的关键．
3．若一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据题意，利用多边形的外角和360°除以60°即可得出答案．
【解答】解：∵多边形的内角和为360°，一个多边形的每一个外角都是60°，
∴这个多边形的边数为：360°÷60°＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的外角和定理是解题的关键．
4．六边形的内角和为（　　）
A．720° B．630° C．540° D．360°
【分析】根据多边形内角和公式计算即可．
【解答】解：六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，
故选：A．
【点评】本题考查了多边形内角和公式，熟练掌握（n﹣2） 180°是关键．
5．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AD，EH，AE，DH，AE与DH交于点O，则∠DAO的度数是（　　）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
【分析】根据正八边形的性质以及圆周角定理进行计算即可．
【解答】解：如图，由正八边形的对称性可知，点O是正八边形的中心，
所以∠DAO∠DOE22.5°，
故选：B．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握正八边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键．
6．若连接多边形一个顶点与其他不相邻顶点的线段，可将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据“连接n边形的一个顶点与其他不相邻顶点，可将其分成（n﹣2）个三角形”，即可得出答案．
【解答】解：5+2＝7（边）．
故选：B．
【点评】本题主要考查多边形的对角线，熟练掌握“连接n边形的一个顶点与其他不相邻顶点，可将其分成（n﹣2）个三角形”是解题的关键．
7．从十边形的一个顶点出发，分别用线段连接与它不相邻的其他顶点，可将这个十边形分成三角形的个数是（　　）
A．10个 B．9个 C．8个 D．7个
【分析】从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成（n﹣2）个三角形，依此作答．
【解答】解：从十边形的一个顶点出发，分别用线段连接与它不相邻的其他顶点，可以把这个十边形分成三角形的个数是：10﹣2＝8．
故选：C．
【点评】本题考查多边形的对角线，从n边形的一个顶点出发，有n﹣3条对角线，把多边形分成（n﹣2）个三角形，这是解题的关键．
8．学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（　　）
A．11条 B．10条 C．9条 D．8条
【分析】根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角的条数是边数﹣3，即可得出答案．
【解答】解：四边形从一个顶点出发，可以画1条对角线，
五边形从一个顶点出发，可以画2条对角线，
六边形从一个顶点出发，可以画3条对角线，
∴十二边形从一个顶点出发，可以画9条对角线，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形对角线的条数问题，掌握相关知识是解题的关键．
9．如图，∠1、∠2、∠3是四边形ABCD的3个外角，若∠1+∠2+∠3＝280°，则∠A＝　100　 °．
【分析】先根据多边形外角和定理求出∠4的度数，即可求出∠BAD的度数．
【解答】解：如图，
根据多边形外角和定理得∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，
∵∠1+∠2+∠3＝280°，
∴∠4＝360°﹣280°＝80°，
∴∠BAD＝180°﹣∠4＝180°﹣80°＝100°，
故答案为：100．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键．
10．如图，将七边形ABCDEFG沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDQP，则该六边形的周长一定比原七边形的周长　小　 （填：“大”或“小”），其判断依据是　两点之间线段最短　 ．
【分析】设七边形ABCDEFG的周长为x，则x＝AB+BC+CD+DQ+QE+EF+FG+GP+PA，设六边形ABCDQP的周长为y，则y＝AB+BC+CD+DQ+QP+PA，进而得x﹣y＝QE+EF+FG+GP﹣QP，根据“两点之间线段最短”得QE+EF+FG+GP＞QP，由此得QE+EF+FG+GP﹣QP＞0，则x﹣y＞0，继而得x＞y，由此即可得答案．
【解答】解：设七边形ABCDEFG的周长为x，则x＝AB+BC+CD+DQ+QE+EF+FG+GP+PA，
设六边形ABCDQP的周长为y，
则y＝AB+BC+CD+DQ+QP+PA，
∴x﹣y＝QE+EF+FG+GP﹣QP，
根据“两点之间线段最短”得：QE+EF+FG+GP＞QP，
∴QE+EF+FG+GP﹣QP＞0，
∴x﹣y＞0，
∴x＞y，
∴七边形ABCDEFG的周长＞六边形ABCDQP的周长，
即六边形的周长一定比原七边形的周长小，依据是：两点之间线段最短，
故答案为：小；两点之间线段最短．
【点评】此题主要考查了多边形的周长，线段的性质，理解两点之间线段最短是解决问题的关键．
11．用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”．20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中Dn表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形ABCD，有两种剖分方式（即：D4＝2），请你用上面的公式计算D6＝　14　 ．
【分析】根据D4＝2，可得出D5，由D5可得出D6．
【解答】解：用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”．
∵D4＝2，，
∴D5＝5，
∵，
∴D6＝14；
故答案为：14．
【点评】本题考查了多边形的对角线，解答本题的关键是发现D4＝2．
12．若一个多边形从同一个顶点出发，可以作6条对角线，则这个多边形的边数为　9　 ．
【分析】根据“对于n边形，从同一个顶点出发可作的对角线条数为n﹣3”，即可得出答案．
【解答】解：6+3﹣9（条）．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查多边形的对角线，熟练掌握“对于n边形，从同一个顶点出发可作的对角线条数为n﹣3”，是解题的关键．
13．如图，在正五边形ABCDE中，连接AD，BE相交于点P，则∠DPB的度数为　108°　 ．
【分析】根据正五边形的性质以及全等三角形的判定和性质得到∠AEB＝∠EDA，再根据三角形的外角的性质得到∠DPB＝∠AED＝108°即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝AE＝DE，∠BAE＝∠AED108°，
在△ABE和△EAD中，
∵，
∴△ABE≌△EAD（SAS），
∴∠AEB＝∠EDA，
∴∠DPB＝∠EDA+∠DEP＝∠AEB+∠DEP＝∠AED＝108°，
故答案为：108°．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握正五边形的性质，全等三角形的判定和性质以及三角形外角的性质是正确解答的关键．
14．在交通行驶中，看到“停”的标志牌，表示车主需要停下车让行，其形状是一个正八边形，则其中一个内角度数为　135　 °．
【分析】根据正多边形的每个外角相等，用外角和360°除以边数即可求解外角，再进一步求解即可．
【解答】解：根据题意可知，“停”的标志牌，其形状是一个正八边形，正八边形的每个外角等于360°÷8＝45°，
∴其中一个内角度数为180°﹣45°＝135°；
故答案为：135．
【点评】本题考查了正多边形的外角与内角，掌握正多边形的外角与内角的关系是关键．
15．如图所示，按某种方法将多边形分割成若干个三角形．图①中的三角形可分割出2个三角形，图②中的四边形可分割出3个三角形，图③中的五边形可分割出4个三角形，…以此类推，n边形可分割出　（n﹣1）　 个三角形．
【分析】通过观察三角形、四边形、五边形分割成三角形的个数，分析多边形的边数n与分割出的三角形个数之间的数量关系，进而归纳出一般规律．
【解答】解：当多边形为三角形（n＝3）时，可分割出2个三角形；
当多边形为四边形（n＝4）时，可分割出3个三角形；
当多边形为五边形（n＝5）时，可分割出4个三角形；
……，
对于n边形，分割出的三角形个数为（n﹣1）．
故答案为：（n﹣1）．
【点评】本题考查了图形的规律探索，解题关键是通过观察特殊多边形的分割结果，归纳出n边形的一般规律．
16．我们可以应用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”探索n边形的内角和．
（1）探索：在图①中探索∠1+∠2与∠A的关系，并证明；
（2）应用：在图②中运用（1）所得的结论，证明四边形的内角和为360°；
（3）推广：在图③中将（2）的思路延伸，说明n边形的内角和为（n﹣2） 180°．
【分析】（1）根据三角形外角的性质及三角形的内角和定理即可得出答案；
（2）根据（1）得∠BAD+∠ADC＝180°+∠A，再根据∠A+∠B+∠C＝180°，进而得出答案；
（3）从n边形的一个顶点出发，可作（n﹣3）条对角线，把n边形分成（n﹣2）个三角形，根据每个三角形的内角和是180°，进而得出答案．
【解答】（1）解：∠1+∠2＝180°+∠A，理由如下：
∵∠1＝∠A+∠ACB，∠2＝∠A+∠ABC，
∴∠1+∠2＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A．
（2）证明：由（1）可得，∠BAD+∠ADC＝180°+∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAD+∠ADC+∠B+∠C＝180°+∠A+∠B+∠C＝360°．
（3）证明：从n边形的一个顶点出发，可作（n﹣3）条对角线，把n边形分成（n﹣2）个三角形，
因为每个三角形的内角和是180°，
所以n边形的内角和为（n﹣2） 180°．
【点评】本题主要考查多边形内角与外角、三角形的外角性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
17．综合与实践
（1）思考探究：如图1，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于点P，则∠P与∠A的关系是 　∠P∠A ．
（2）类比探究：如图2，在四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，α+β＞180°，四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交于点P，求∠P的度数．（用含α，β的代数式表示）
（3）拓展迁移：如图3，将（2）中α+β＞180°改为α+β＜180°，其他条件不变，请写出∠P＝ 　90°αβ　 ．（用含α，β的代数式表示）
【分析】（1）由BP平分∠ABC，设∠ABP＝∠CBP＝θ，则∠ABC＝2θ，由三角形外角性质得∠ACD＝∠A+∠ABC＝∠A+2θ，∠DCP＝∠P+∠CBP＝∠P+θ，再由CP平分∠ACD得∠ACD＝2∠DCP，由此得∠A+2θ＝2∠P+2θ，进而得∠P与∠A的关系；
（2）延长BA，CD相交于F，则∠FAD＝180°﹣α，∠CDA＝180°﹣β，由三角形内角和定理得∠F＝180°﹣（∠FAD+∠CDA）＝α+β﹣180°，再根据由（1）的结论即可得出∠P的度数；
（3）∠ABC的平分线BM的反向延长线与∠DCE的平分线CN的反向延长线交于点P，设∠ABM＝∠CBM＝θ，∠DCN＝∠ECN＝γ，则∠ABC＝2θ，∠DCE＝2γ，∠BCP＝γ，∠BCD＝180°﹣2γ，根据三角形外角性质得∠CBM＝∠P+∠BCP，由此得∠P＝θ﹣γ，在四边形ABCD中，根据四边形内角和等于360°得α+β+2θ+180°﹣2γ＝360°，由此得θ﹣γ＝90°αβ，据此可得出∠P的度数．
【解答】解：（1）∴BP平分∠ABC，
设∠ABP＝∠CBP＝θ，
∴∠ABC＝2θ，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC＝∠A+2θ，
∵∠DCP是△BCP的外角，
∴∠DCP＝∠P+∠CBP＝∠P+θ，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠DCP，
∴∠A+2θ＝2∠P+2θ，
∴∠P与∠A的关系是：∠P∠A，
故答案为：∠P∠A；
（2）∵∠BAD＝α，∠CDA＝β，α+β＞180°，
∴延长BA，CD相交于点F，如图2所示：
∴∠FAD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣α，∠CDA＝180°﹣∠CDA＝180°﹣β，
在△FAD中，∠F＝180°﹣（∠FAD+∠CDA）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠DCE，
∴由（1）的结论得：∠P∠Fαβ﹣90°；
（3）∵∠A＝α，∠D＝β，α+β＜180°，
∴∠ABC的平分线BM的反向延长线与∠DCE的平分线CN的反向延长线交于点P，如图3所示：
设∠ABM＝∠CBM＝θ，∠DCN＝∠ECN＝γ，
∴∠ABC＝2θ，∠DCE＝2γ，∠BCP＝γ，
∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝180°﹣2γ，
∵∠MBC是△PBC的外角，
∴∠CBM＝∠P+∠BCP，
∴∠P＝∠CBM﹣∠BCP＝θ﹣γ，
∴在四边形ABCD中，∠A+∠D+∠ABC+∠DCE＝360°，
∴α+β+2θ+180°﹣2γ＝360°，
∴θ﹣γ＝90°αβ，
∴∠P＝90°αβ．
故答案为：90°αβ．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，四边形的内角和，理解角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角性质，四边形的内角和等于360°是解决问题的关键．
二．23.1.2多边形外角和（共17小题）
18．已知在一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是　六　 边形．
【分析】根据题意，设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和公式和多边形的外角和定理，可得（n﹣2）×180°＝360°×2，解一元一次方程即可得出答案．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
由题意，得（n﹣2）×180°＝360°×2，
解得：n＝6，即这个多边形是六边形．
故答案为：六．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式，多边形外角和定理是解题的关键．
19．如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的边数是 　6　 ．
【分析】设这个多边形的边数是x，根据多边形的内角和公式列出方程式，进而得出答案．
【解答】解：设这个多边形的边数是x，
180×（x﹣2）＝720，
解得：x＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查多边形的内角与外角，找到等量关系是解题的关键．
20．如图，正五边形ABCDE中，以CD为边作等边△CDF，连接BF，则∠CBF的度数为 　66°　 ．
【分析】根据等边三角形、正五边形的性质及多边形内角和定理，可得出CB＝CF，∠CDF＝∠CFD＝60°，∠BCD＝108°，设∠CBF＝x°，则∠CFB＝x°，再在四边形BCDF中，利用内角和定理，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，△CDF是等边三角形，
∴CB＝CF＝CD，∠CDF＝∠CFD＝60°，∠BCD108°，
设∠CBF＝x°，则∠CFB＝x°，
根据题意得：∠CBF+∠BCD+∠CDF+∠BFD＝180°×（4﹣2），
即x+108+60+x+60＝360，
解得：x＝66，
∴∠CBF＝66°．
故答案为：66°．
【点评】本题考查了多边形内角与外角、等边三角形的性质以及解一元一次方程，牢记“多边形的内角和为（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）”是解题的关键．
21．若多边形的每一个外角都是45°，则该多边形的内角和的度数为 　1080°　 ．
【分析】先利用360°÷45°求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°计算即可求解．
【解答】解：多边形的边数为：360°÷45°＝8，
多边形的内角和是：（8﹣2）×180°＝1080°．
故答案为：1080°．
【点评】本题主要考查了正多边形的外角与边数的关系，以及多边形内角和公式，利用外角和为360°求出多边形的边数是解题的关键．
22．如图，已知正方形ABCD的中心为O．将正方形ABCD绕点O逆时针旋转60°得到正方形A′B′C′D′，两个正方形的公共点为G，H，I，J，K，L，M，N．对八边形GHIJKLMN给出下面四个结论：
①该八边形各边长都相等；
②该八边形各内角都相等；
③点O到该八边形各顶点的距离都相等；
④点O到该八边形各边的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【分析】连接OH、AA′、ON、OA′、OG、OD，再根据题意分别求该八边形的各边长和内角，点O到该八边形各顶点的距离、点O到该八边形各边的距离，逐个判断，即可解题．
【解答】解：连接OH、AA′、ON、OA′、OG、OD，
由旋转性质可知：∠OAB＝∠OAD＝∠OA′G＝∠OA′N＝45°，∠AOA′＝60°，OA＝OD＝OA′，
∴△AOA′是等边三角形，
∴∠OAA′＝∠OA′A＝60°，
∴∠GAA′＝∠GA′A＝15°，
∴∠HGA＝∠NGA′＝30°，GA＝GA′，
∴∠NGH＝180°﹣∠NGA′＝150°，∠GHI＝90°+30°＝120°，
在△AGH和△A′GN中，
，
∴△AGH≌△A′GN（ASA），
∴GH＝GN，
同理可得GH＝GN＝HI＝IJ＝JK＝KL＝LM＝MN，∠ANM＝120°，
∴结论①正确，符合题意；
∵∠NGH＝150°≠120°＝∠GHI，
∴结论②错误，不符合题意；
在△AOG和△A′OG中，
，
∴△AOG≌△A′OG（SSS），
∴，，
∴∠NGO＝∠HGO＝75°，
在△DON和△A′ON中，
，
∴△DON≌△A′ON（SSS），
∴∠DNO＝∠A′NO＝120°，
∴∠GNO＝∠A′NO﹣∠A′NG＝60°，
∴∠NGO≠∠GNO，
∴NO≠GO，
∴结论③错误，不符合题意；
∵点O到该八边形各边的距离就是中心到正方形各边的距离，
∴点O到该八边形各边的距离都相等，即结论④正确，符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、旋转性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定．
23．如图，四边形ABCD中，∠A＝80°，BC、CD的垂直平分线交于A点，则∠BCD的度数为（　　）
A．150° B．140° C．130° D．120°
【分析】根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质求解即可．
【解答】解：连接AC，
∵BC、CD的垂直平分线交于A点，
∴AB＝AC，AC＝AD，
∴∠B＝∠ACB，∠D＝∠ACD，
在△ABC中，∠ACB（180°﹣∠BAC）＝90°∠BAC，
同理，∠ACD＝90°∠CAD，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝180°（∠BAC+CAD）＝180°∠BAD，
∵∠BAD＝80°，
∴∠BCD＝140°．
故选：B．
【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形内角和公式及等腰三角形的性质是解题的关键．
24．一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（　　）
A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形
【分析】设这个多边形为n，根据题意列出方程式，即可得出答案．
【解答】解：设这个多边形为n，
180°（n﹣2）＝360°×4，
解得：n＝10．
故选：C．
【点评】本题主要考查多边形内角与外角，熟练掌握方程思想是解题的关键．
25．一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是（　　）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
【分析】多边形的外角和是360度，因为是正多边形，所以每一个外角都是45°，即可得到外角的个数，从而确定多边形的边数．
【解答】解：根据多边形的外角和是360度，因为是正多边形，所以每一个外角都是45°可得：
360÷45＝8，所以这个正多边形是正八边形．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握该知识点是关键．
26．如图，已知∠1+∠2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（　　）
A．120° B．110° C．100° D．80°
【分析】根据多边形的外角和是360°和已知条件进行计算即可．
【解答】解：∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，∠1+∠2+∠3+∠4＝280°，
∴∠5＝360°﹣（∠1+∠2+∠3+∠4）＝360°﹣280°＝80°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握多边形的外角和是360°．
27．若一个多边形的每个内角都是相邻外角的2倍，则这个多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】设多边形的一个外角是x°，则相邻的内角是2x°，根据邻补角的定义得出x+2x＝180，即可求出x，再根据多边形内角和定理即可求出多边形的边数．
【解答】解：设多边形的一个外角是x°，则相邻的内角是2x°，
根据题意得x+2x＝180，
解得x＝60，
所以多边形的每个内角是120°，
设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2）×180°＝120°n，
解得n＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
28．一个正多边形的每个内角与相邻外角的度数比为5：1，求这个正多边形的边数．
【分析】设出外角的度数，利用外角与相邻内角和为180°求得外角度数，360°除以这个外角度数即得所求的多边形的边数．
【解答】解：设这个正多边形的每个外角为x，则每个内角为5x，
由题意得，x+5x＝180°，
解得x＝30°，
360°÷30°＝12，
故这个正多边形的边数为12．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，熟练掌握正多边形的每个内角与相邻外角组成平角，每个内角都相等是解决问题的关键．
29．综合与探究
【感知】如图1，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．
【应用】
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠BPC＝　120°　 ；若∠BAC＝70°，则∠BPC＝　125°　 ；
（2）求∠BPC与∠A之间的关系并证明；
【拓展】
（3）如图2，在四边形ABCD中，BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，求∠BPC与∠A+∠D的数量关系．
【分析】（1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可；
（2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解；
（3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解．
【解答】解：（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，
由条件可知，
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝120°．
若∠BAC＝70°，
∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴，，
∴，
∵∠BAC＝70°，
∴，
故答案为：120°；125°；
（2）；理由如下：
∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴，，
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB
＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
；
（3）∠A+∠D＝2∠BPC．
如图，延长BA，CD，交于点E，由（2）知，，
由条件可知∠BAD+∠CDA＝∠E+∠E+∠ADE+∠DAE＝180°+∠E，
∴∠E＝∠BAD+∠CDA﹣180°，
∴
，
即∠BAD+∠CDA＝2∠BPC．
【点评】本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
30．阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
（1）“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？
（2）明明求的是几边形的内角和？
（3）多加的那个外角为多少度？
【分析】（1）根据多边形内角和公式判断即可；
（2）根据多边形内角和公式判断即可；
（3）由（2）即可得出答案．
【解答】解：（1）由多边形内角和180°（n﹣2）可知，多边形内角和是180的倍数，而2020不是180的倍数，故不可能是多边形内角和；
（2）由多边形内角和180°（n﹣2）可知，2020÷180＝11……40，所以n﹣2＝11，所以n＝13故多边形是十三边形；
（3）由（2）计算可知余数为40°，所以多加的外角为40°．
【点评】本题考查了多边形内角和公式，熟记多边形内角和180°（n﹣2）是解题的关键．
31．观察图形，按要求完成：
（1）在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．
①如图1，若∠B＝∠C，则∠C＝　70　 °；
②如图2，若∠ABC的平分线BE交DC于点E、且BE∥AD，则∠C＝　60　 °；
③如图3，若∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，则∠BEC＝　110　 °；
（2）如图3，当∠A＝α，∠D＝β时，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，请说明∠BEC与α，β之间的数量关系．
【分析】（1）①根据四边形内角和等于360°求出∠B+∠C的度数，再除以2即可求解；
②先根据平行线的性质得到∠ABE的度数，再根据角平分线定义和四边形内角和即可求解；
③根据四边形内角和求出∠ABC+∠BCD的度数，再根据角平分线定义得到∠EBC+∠ECB的度数，最后根据三角形内角和即可求解；
（2）先根据四边形的内角和等于360°求出∠ABC+∠BCD的度数，再根据角平分线的定义求出（∠ABC+∠BCD）的度数，然后利用三角形的内角和定理列式即可求出∠BEC的度数．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°，
∴∠B+∠C＝360°﹣（140°+80°）＝140°，
∵∠B＝∠C，
∴∠C＝70°．
故答案为：70；
②∵BE∥AD，
∴∠ABE+∠A＝180°，
∴∠ABE＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°，
∵∠ABC的角平分线BE交DC于点E，
∴∠ABC＝80°，
∴∠C＝360°﹣（140°+80°+80°）＝60°．
故答案为：60；
③∵四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°，
∴∠B+∠C＝360°﹣（140°+80°）＝140°，
∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，
∴∠EBC+∠ECB＝70°，
∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：110；
（2）∵四边形ABCD中，∠A＝α，∠D＝β，
∴∠B+∠C＝360°﹣（α+β），
∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，
∴∠EBC+∠ECB＝180°（α+β），
∴∠BEC＝180°﹣[180°（α+β）]（α+β），
故答案为：（α+β）．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解决此题的关键是综合运用四边形的内角和以及三角形的内角和，熟练运用平行线性质和角平分线的定义．
32．如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点D．
【问题解决】
（1）若∠ABC＝80°，∠A＝60°，则∠D＝ 　30°　 ．
【猜想证明】
（2）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有∠A的式子表示∠D）
【拓展提高】
（3）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；
（2）根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；
（3）由（2）的结论，再根据三角形内角和定理进行计算即可．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝80°，∠A＝60°，
∴∠ACE＝80°+60°＝140°，
∵CD是∠ACE的平分线，
∴∠ACD＝∠ECD140°＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD80°＝40°，
∵∠ECD＝∠D+∠CBD，
∴∠D＝∠ECD﹣∠CBD＝70°﹣40°＝30°，
故答案为：30°；
（2）当∠A保持不变，则∠D不会变化，∠D∠A，理由：
∵CD是∠ACE的平分线，
∴∠ACD＝∠ECD∠ACE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD∠ABC，
∵∠ECD＝∠D+∠CBD，
∴∠D＝∠ECD﹣∠CBD
∠ACE∠ABC
（∠ACE﹣∠ABC）
∠A；
（3）∠BMN+∠CNM﹣2∠D＝180°，理由：
如图，延长BM，CN相交于点F，由（2）可得∠D∠F，即∠F＝2∠D，
∵∠F+∠FMN+∠FNM＝180°，∠BMN＝∠F+∠FNM，∠CNM＝∠F+∠FMN，
∴∠BMN+∠CNM＝∠F+∠FNM+∠F+∠FMN＝180°+∠F，
即∠BMN+∠CNM＝180°+2∠D，
也就是∠BMN+∠CNM﹣2∠D＝180°．
【点评】本题考查角平分线，三角形内角和定理，以及多边形的内角与外角，掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线的定义是正确解答的关键．
33．在学习了三角形的内角和与外角和后，老师给大家布置了一道题目：如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数．下面是小华的解答过程．
解：∵BP平分∠ABC （已知）， ∴， 同理，可得∠PCB＝　25°　 ， 在△BPC中，三角形三个内角和等于180°， ∴　∠BPC+∠PBC+∠PCB ＝180°， ∴∠BPC＝180°﹣　∠PBC﹣∠PCB ＝　115°　 ．
请将小华的解答过程中的空白处填上恰当的内容．
【分析】根据角平分线的定义求出∠PBC，∠PCB的值，然后根据三角形内角和求解即可．
【解答】解：∵BP平分∠ABC，（已知），
∴．
同理可得．
在△BPC中，三角形三个内角和等于180°，
∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°，
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝115°．
故答案为：BP平分∠ABC，25°，∠BPC+∠PBC+∠PCB，∠PBC﹣∠PCB，115°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，正确进行计算是解题关键．
34．在八年级上册第十三章《三角形》的学习中，涉及到三角形角的性质和应用广泛，其中有内角、外角、对顶角、邻补角、角平分线，还有内角和、外角和，有的还要设未知数建立方程，或设参数建立等式解决问题，内涵丰富，方法多样．
（1）如图1，AP，CP分别平分∠BAD和∠BCD，若∠ABC＝30°，∠ADC＝20°，求∠P的度数．
（2）如图2，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝40°，∠ADC＝25°，求此时∠P的度数．
（3）在图3中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B，∠D之间的数量关系，并直接写出结论．
【分析】（1）根据“8字形”图形可得，∠BAP+∠ABC＝∠BCP+∠P，∠PAO+∠P＝∠PCD+∠ADC，再结合角平分线的性质可得，∠BAP＝∠PAO，∠BCP＝∠PCD，代入整理并求解即可．
（2）根据角平分线的性质可得，∠1＝∠2，∠3＝∠4，再结合“8字形”图形求解即可．
（3）根据角平分线的性质可得，∠PAO＝∠BAP，∠PCE＝∠BCP，再结合“8字形”图形求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，
∵∠1+∠ABC＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠ADC，
由条件可知∠1＝∠2，∠3＝∠4，
则有∠2+∠ABC＝∠4+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠ADC，
两式相减可得，∠ABC﹣∠P＝∠P﹣∠ADC，
即2∠P＝∠ABC+∠ADC，
∵∠ABC＝30°，∠ADC＝20°，
∴
（2）如图所示，
∵直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，
∵∠PAB＝∠1，∠P+∠PAB＝∠ABC+∠4，
∴∠P+∠1＝∠ABC+∠4，
∵∠P+∠PAD＝∠ADC+∠PCD，
∴∠P+（180°﹣∠2）＝∠ADC+（180°﹣∠3），
整理可得，∠P﹣∠2＝∠ADC﹣∠3，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠P﹣∠1＝∠ADC﹣∠4，
将∠P+∠1＝∠ABC+∠4与∠P﹣∠1＝∠ADC﹣∠4两式作加法，
2∠P＝∠ABC+∠ADC，
∵∠ABC＝40°，∠ADC＝25°，
∴．
（3）由条件可知∠PAO＝∠BAP，∠PCE＝∠BCP，
又∵∠PAO+∠P＝∠PCD+∠D，∠BAO+∠B＝∠OCD+∠D，
又∵∠PCD＝180°﹣∠PCE＝180°﹣∠BCP，
∵∠BAO＝2∠PAO，∠OCD＝180°﹣∠BCE＝180°﹣2∠BCP，
∴∠PAO+∠P＝180°﹣∠BCP+∠D，2∠PAO+∠B＝180°﹣2∠BCP+∠D，
∴．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质与三角形内角和定理是解决本题的关键．
1．已知一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，求这个多边形的边数．
【分析】设这个多边形的边数为n．根据多边形的内角和公式与外角和可得（n﹣2）×180°＝360°×2+180°，再解方程即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n．
根据题意，得（n﹣2）×180°＝360°×2+180°，
解得n＝7．
所以这个多边形的边数为7．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和，一元一次方程的应用，掌握多边形的内角和公式与外角和为360°是关键．
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
【分析】如图连接BC，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和∠3＝∠1+∠2＝∠D+∠E，即可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
【解答】解：如图连接BC，
根据三角形的外角性质得∠3＝∠1+∠2＝∠D+∠E，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
【点评】本题考查了多边形外角与内角，三角形内角和定理，三角形的外角性质，运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，将已知角转化在同一个三角形中，再根据三角形内角和定理求解．
3．已知一个多边形的内角和等于其外角和的4倍，求这个多边形的边数．
【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案．
【解答】解：设这个多边形的边数为x，依题意得：
（x﹣2）×180＝360×4，
解得x＝10，
答：这个多边形的边数为10．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，明确多边形的内角和公式是解题关键．
4．已知正x边形的内角和为1080°，边长为2．
（1）求正x边形的周长；
（2）若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小63°，求n的值．
【分析】（1）根据多边形的内角和公式（n﹣2）×180°列式进行计算求得边数．
（2）根据（1）求出正x边形每个内角的度数，正n边形的每个外角的度数，根据多边形的外角和为360°解题即可．
【解答】解：（1）由题意可得180×（x﹣2）＝1080，
解得x＝8．
正x边形的周长为8×2＝16；
（2）正x边形每个内角的度数为1080°÷8＝135°，
正n边形的每个外角的度数为135°﹣63°＝72°，
360°÷72°＝5，
∴n的值为5．
【点评】本题主要考查多边形内角和外角，正确记忆相关知识点是解题关键．
5．如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC且与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点D．
（1）若∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，求∠D的度数；
（2）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否变化？由此你能得出什么结论？（用含有∠A的式子表示∠D）
（3）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及外角的性质进行计算即可；
（2）由三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；
（3）延长交于点A，将问题转化为（2）即可．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝75°，BD平分∠ABC，
∴，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝180°﹣45°＝135°，
∵CD平分∠ACE，
∴，
∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC＝30°，
（2）不变化，理由如下：
∵BD平分∠ABC，
∴，
∵CD平分∠ACE，
∴，
∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC
，
即；
（3），
延长BM、CN交于点A，
∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）
＝180°﹣[360°﹣（∠BMN+∠CNM）]
＝∠BMN+∠CNM﹣180°
∴∠A＝∠BMN+∠CNM﹣180°，
由（3）可得，
∴．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，掌握三角形内角和是以及三角形外角的性质是正确解答的关键．
1．我们知道：三角形的内角和为180°，所以在求四边形的内角和时，我们可以将四边形分割成两个三角形，这样其内角和就是180°×2＝360°；同理五边形的内角和是 　540　 度；那么n边形的内角和是 　（180n﹣360）　 度；如果有一个n边形的内角和是1620°，那么n的值是 　11　 ．
【分析】利用从同一顶点作出的对角线把多边形分成三角形的个数规律，再利用三角形的内角和等于180°可得五边形的内角和n边形的内角和；由个n边形的内角和是1620°，利用多边形的内角和公式可得n．
【解答】解：180°×（5﹣2）＝540°；
180°（n﹣2）＝（180n﹣360）°；
∵（n﹣2）×180°＝1620°，
∴n﹣2＝9，
∴n＝11，
故答案为：540；（180n﹣360）；11．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式的推导，关键是理解从同一顶点作出的对角线把多边形分成三角形的个数规律．
2．一个多边形的内角和是它外角和的2倍，求这个多边形的边数．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°以及外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
根据题意得，（n﹣2） 180°＝2×360°，
解得n＝6．
即这个多边形的边数是6．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
3．已知一个多边形的每个内角都是144°，求这个多边形的内角和．
【分析】根据多边形的内角和定理：180° （n﹣2）求解即可．
【解答】解：由题意可得：180° （n﹣2）＝144° n，
解得n＝10．
故多边形是十边形，
∴内角和为180°×（10﹣2）＝1440°．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理．n边形的内角和为：180° （n﹣2）．此类题型直接根据内角和公式计算可得．
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝116°，AC平分∠BCD，E是BC上一点，EF∥AC交AB于点F．
（1）求∠DAC的大小；
（2）若∠BFE＝3∠B，求∠BAC的大小．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠D+∠BCD＝180°，即可算出∠BCD的度数，根据角平分线的定义可得∠ACD的度数，根据平行线的性质即可得出答案；
（2）根据平行线的性质可得∠BEF＝∠ACB，由已知和三角形的内角和可得∠BFE＝3∠B，∠BEF+∠BFE+∠B＝180°，即可算出∠B的度数，根据平行线的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠D+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣116°＝64°，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD，
∴∠DAC＝∠ACB＝32°；
（2）∵EF∥AC，
∴∠BEF＝∠ACB＝32°，
∵∠BFE＝3∠B，∠BEF+∠BFE+∠B＝180°，
∴3∠B+∠B+32°＝180°，
∴∠B＝37°，
∴∠BAC＝∠BFE＝3×37°＝111°．
【点评】本题主要考查了多边形内角和和平行线的性质，熟练掌握多边形内角和和平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
5．如图，已知∠A＝50°，∠D＝40°
（1）求∠1度数；
（2）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
【分析】（1）根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∠1＝∠A+∠D＝90°；
（2）∵∠1＝∠A+∠D，∠2＝∠B+∠E，∠1+∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
6．一个多边形的内角和是1260°，从这个多边形的一个顶点出发可以作　6　 条对角线．
【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．
【解答】解：设此多边形的边数为x，由题意得：
（x﹣2）×180＝1260，
解得x＝9，
从这个多边形的一个顶点出发可以作6条对角线数．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了多边形的对角线，多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式180°（n﹣2）．
7．如图，已知四边形ABCD中，AD∥CB，BD平分∠ABC，∠A：∠DBA＝4：1．
（1）求∠A的度数；
（2）如果△BDC是直角三角形，直接写出∠C的度数．
【分析】（1）根据平行线的判定，可得答案；
（2）根据三角形的内角和，平行线的性质，可得答案．
【解答】解：（1）AD∥CB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD．
∵∠A：∠DBA＝4：1，
∵∠ABC+∠A＝180°，
∴∠A＝120°．
（2）∵AD∥CB，∠A＝120°，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°．
由三角形的内角和，得
∠C＝180°﹣∠DBC﹣∠BDC＝180°﹣30°﹣90°＝60°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，利用平行线的判定与性质是解题关键．
8．如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）
①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°．
②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．
（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数．
【分析】（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解；
②过一个顶点和相邻边上的点作出直线即可求解；
③过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解；
（2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）设新多边形的边数为n，
则（n﹣2） 180°＝2520°，
解得n＝16，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
故原多边形的边数可以为15，16或17．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解．
9．一个多边形的每个外角都等于40°，求这个多边形的内角和．
【分析】由一个多边形的每个外角都等于40°，根据n边形的外角和为360°计算出多边形的边数n，然后根据n边形的内角和定理计算即可．
【解答】解：设这个多边形是n边形，则40°×n＝360°，
解得 n＝9．
这个多边形的内角和为（9﹣2）×180°＝1260°．
答：这个多边形的内角和为1260°．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角，n边形的内角和定理：n边形的内角和＝（n﹣2） 180°；注意熟记n边形的外角和为360°．
10．已知多边形的每一个内角都等于135°，求这个多边形的边数．
【分析】一个多边形的每一个内角都等于135°，内角与相邻的外角互补，因而每个外角是45度．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：边数是：360÷45＝8．
【点评】本题考查多边形内角和外角的知识，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
11．一个n边形的一个外角为x°，与这个外角不相邻的所有内角和为y°，则x与y的关系是什么？
【分析】根据多边形的内角和公式求解即可．
【解答】解：根据题意得，
180°﹣x°+y°＝（n﹣2）×180°，
解得x＝y﹣（n﹣3） 180°，
故答案为：x＝y﹣（n﹣3） 180°．
【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
12．正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正x边形的内角和为1080°，边长为2．
（1）求正x边形的周长；
（2）若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小63°，求n的值．
【分析】（1）根据多边形的内角和公式（n﹣2）×180°列式进行计算求得边数．
（2）根据（1）求出正x边形每个内角的度数，正n边形的每个外角的度数，根据多边形的外角和为360°解题即可．
【解答】解：（1）由多边形内角和的计算方法可得，
180°×（x﹣2）＝1080°，
解得x＝8，
即这个正多边形为正八边形，
所以正八边形的周长为8×2＝16；
（2）由于正八边形每个内角的度数为1080°÷8＝135°，
正n边形的每个外角的度数为135°﹣63°＝72°，
360°÷72°＝5，
∴n的值为5．
【点评】本题主要考查多边形内角和外角和，掌握多边形的内角和的计算方法以及外角和是360°是正确解答的关键．
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝70°．
（1）求∠BAD的度数；
（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝55°．求证：AE∥DC．
【分析】（1）根据平行线的性质得∠B+∠BAD＝180°，结合已知即可求得∠BAD；
（2）根据角平分线的性质得∠BAE＝∠DAE＝55°，结合平行线的性质得∠DAE＝∠AEB＝55°，进一步依据平行线的判定即可判定AE∥DC．
【解答】（1）解：因为AD∥BC，
所以∠B+∠BAD＝180°．
又因为∠B＝70°，
所以∠BAD＝180°﹣70°＝110°；
（2）证明：因为AE平分∠BAD，∠BAD＝110°，
所以∠BAE＝∠DAE＝55°．
又因为AD∥BC，
所以∠DAE＝∠AEB＝55°．
因为∠BCD＝55°＝∠AEB，
所以AE∥DC．
【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，以及角平分线的性质，掌握平行线的判定和性质，以及角平分线的性质是正确解答的关键．
14．一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为7：2．
（1）求这个n边形一个内角的度数．
（2）求这个n边形的内角和．
【分析】（1）因为一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为7：2，所以，即可作答．
（2）因为一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为7：2，所以，算出这个多边形是九边形，结合多边形的内角和公式进行列式计算，即可作答．
【解答】解：（1）由条件可得，
∴该n边形的一个内角的度数为140°；
（2）∵一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为7：2，
∴，360°÷40°＝9，
∴（9﹣2）×180°＝1260°，
则这个n边形的内角和为1260°．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
15．如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，EF平分∠AED，CF平分∠BCD，若∠EDC＝80°，求∠EFC的度数．
【分析】根据已知条件设∠AEF＝∠DEF＝α，∠BCF＝∠DCF＝β，再根据AE∥BC，得出∠A+∠B＝180，．再根据五边形的内角和为540°，得出∠AED+∠D+∠BCD，求出α+β的值，最后根据∠EFC＝360°﹣∠D﹣（α+β），即可得出∠EFC的度数．
【解答】解：∵EF平分∠AED，CF平分∠BCD，
设∠AEF＝∠DEF＝α，∠BCF＝∠DCF＝β，
∵AE∥BC，
∴∠A+∠B＝180°．
∵五边形的内角和为540°，
∴∠AED+∠D+∠BCD＝540°﹣180°＝360°，
即2α+80°+2β＝360°，
∴α+β＝140°，
∵∠EDC＝80°，
∴∠EFC＝360°﹣∠D﹣（α+β）＝360°﹣80°﹣140°＝140°．
【点评】本题考查的是平行线的性质及多边形内角和定理，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键．
16．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
【分析】根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，依题意得，
（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
整理得，180°n＝1260°，
n＝7．
∴这个多边形的边数是7．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，关键是多边形内角和定理的熟练掌握．
17．如图，这是某校园小公园中的腾飞雕塑的平面示意图．已知雕塑的右边边线AB和底座CD都与地面MN垂直，同时，AE与DE的夹角∠AED＝75°，DE与底座CD的夹角∠CDE＝125°，求∠BAE的度数．
【分析】作DG⊥AB于点G，利用四边形内角和定理求得∠CDG＝90°，再利用四边形内角和定理即可求解．
【解答】解：AE与DE的夹角∠AED＝75°，DE与底座CD的夹角∠CDE＝125°，
作DG⊥AB于点G，
∵∠DCB＝∠CBG＝∠DGB＝90°，
∴∠CDG＝360°﹣3×90°＝90°，
∵∠CDE＝125°，
∴∠EDG＝360°﹣90°﹣125°＝145°，
∵∠AED＝75°，
∴∠BAE＝360°﹣75°﹣90°﹣145°＝50°．
【点评】本题考查了四边形内角和定理，正确进行计算是解题关键．
18．在四边形ABCD中，O在其内部，满足∠ABO∠ABC，∠DCO∠DCB．
（1）如图1，当n＝2时，如果∠A+∠D＝260°，直接写出∠O的度数　130°　 ；
（2）当n＝3时，M、N分别在AB、DC的延长线上，BC下方一点P，满足∠CBP＝2∠PBM，∠BCP＝2∠PCN，
①如图2，判断∠O与∠P之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，延长线段BO、PC交于点Q，△BQP中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出∠A+∠D的度数为　210°或240°　 ．
【分析】（1）首先根据四边形的内角和及角平分线的定义，求出∠OBC+∠OCD，进而根据三角形的内角和定理即可求解；
（2）①首先由已知求出∠OBC∠ABC，∠PBC∠MBC，根据平角的定义得出∠PBO＝∠PBC+∠OBC180°＝120°，同理∠PCO＝120°，根据四边形的内角和定理即可求解；
②在△BQP中，由①得∠PBQ＝120°，根据题意分二种情况进行讨论：（a）∠P＝2∠Q，（b）∠Q＝2∠P，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵∠ABO∠ABC，∠DCO∠DCB，
∴当n＝2时，∠ABO∠ABC，∠DCO∠DCB，
∴∠ABC＝2∠CBO，∠DCB＝2∠OCB，
∵∠A+∠D＝260°，∠A+∠D+∠ABC+∠DCB＝360°，
∴∠ABC+∠DCB＝100°，
∴∠CBO+∠OCB＝50°，
∴∠O＝180°﹣（∠CBO+∠OCB）＝130°；
故答案为：130°；
（2）①∠O+∠P＝120°．
证明：∵∠ABO∠ABC，∠DCO∠DCB，
∴当n＝3时，∠OBC∠ABC，∠OCB∠DCB，
∵∠CBP＝2∠PBM，∠BCP＝2∠PCN，
∴∠CBP∠CBM，∠BCP∠BCN，
∴∠PBO＝∠PBC+∠OBC（∠CBM+∠ABC）180°＝120°，
同理∠PCO＝120°，
∵∠O+∠P+∠PBO+∠PCO＝360°，
∴∠O+∠P＝360°﹣120°﹣120°＝120°．
②由①得：∠PBQ＝120°，∠PCO＝120°，
如果△BQP中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分二种情况：
（a）∠P＝2∠Q，
∵∠PBQ＝120°，
∴∠Q＝20°，则∠P＝40°，
∴∠PBC+∠BCP＝180°﹣40°＝140°，
∴∠CBO+∠OCB＝2×120°﹣140°＝100°，
∵∠OBC∠ABC，∠OCB∠DCB，
∴∠ABC+∠DCB＝150°，
∴∠A+∠D＝360°﹣150°＝210°；
（b）∠Q＝2∠P，
∵∠PBQ＝120°，
∴∠P＝20°，则∠Q＝40°，
∴∠PBC+∠BCP＝180°﹣20°＝160°，
∴∠CBO+∠OCB＝2×120°﹣160°＝80°，
∵∠OBC∠ABC，∠OCB∠DCB，
∴∠ABC+∠DCB＝120°，
∴∠A+∠D＝360°﹣120°＝240°．
综上所述，∠A+∠D的度数为：210°或240°．
故答案为：210°或240°．
【点评】本题考查四边形的内角和及角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟知四边形的内角和是360°是解题的关键．3；邮箱：15665858793；学号：4117480
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