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第3讲矩形的性质及判定
(知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义
本节课主要针对第23章矩形进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了矩形相关概念、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。
概念总结：
定义：有一个角是直角的平行四边形
性质：四个角都是直角；对角线相等
判定：①有一个直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形
易混淆点
对角线相等的四边形不一定是矩形（可能是等腰梯形）
一．矩形的性质（共10小题）
1．如图，四边形ABCD和四边形EFGH是两个全等的矩形，E是边BC的中点，联结DF、AG．如果DF⊥AG，BC＝4，那么AB的值为（　　）
A．1 B． C． D．
【分析】设AG，BC交于M，BC，DF交于N，可证明△ABM≌△GHM得到BM ＝HM，由线段中点的定义可推出BM＝HM＝3，则可推出EM＝CM＝1，证明△EFN≌△CDN，得到EN＝CNCE＝1，则可证明点M和点N重合；证明△ABM∽△MCD，得到，即，据此可得答案．
【解答】解：如图所示，设AG，BC交于M，BC，DF交于N，
∵四边形ABCD和四边形EFGH是两个全等的矩形，
∴AB＝GH，∠ABM＝∠GHM＝90°，EH＝BC＝4；
∵∠AMB＝∠GMH，
∴△ABM≌△GHM（AAS），
∴BM＝HM，
∵E是边BC的中点，
∴BE＝CEBC＝2，
∴BH＝BE+EH＝6，
∴BM＝HM＝1，BH＝3，
∴CM＝BC﹣BM＝1，EM＝BM﹣BE＝1，
∴EM＝CM；
同理可证明△EFN≌△CDN，
∴EN＝CN＝1，CE＝1
∴EM＝EN，即点M和点N重合；
∵DF⊥AG，
∴∠AMD＝90°，
∴∠BMA+∠CMD＝90°，
由矩形的性质可得AB＝CD，∠B＝∠BCD＝90°，
∴∠BAM+∠BMA＝90°，
∴∠BAM＝∠CMD，
∴△ABM∽△MCD/
∴到，即，
解得AB或AB（舍去），
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等图形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，证明M，N重合是解题关键．
2．如图，长方形ABCD的长是14cm，宽是5cm，动点P从点A出发，沿边AD以每秒3cm的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边BC以每秒1.5cm的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发　　 秒时，长方形ABCD被线段PQ分成的两个图形成中心对称．
【分析】设运动时间为t秒，根据长方形ABCD被线段PQ分成的两个图形成中心对称，得到PD＝BQ，列出方程求解即可．
【解答】解：设运动时间为t秒，则AP＝3tcm，PD＝（14﹣3t）cm，BQ＝1.5 tcm，
当PD＝BQ时，长方形ABCD被线段PQ分成的两个图形成中心对称，
则14﹣3t＝1.5t，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查动点问题和中心对称，正确掌握动点问题的解题思路是解题的关键．
3．如图，某校准备在一个矩形场地ABCD中修建两条甬道，一条是矩形甬道EFGH，一条是平行四边形甬道MNQP，其余部分为草坪，若AB＝a，BC＝b，MN＝2EF＝2c，则草坪面积是（　　）
A．ab﹣bc﹣2ac+2c2 B．ab﹣ac﹣2bc+2c2
C．ab﹣ac﹣2bc+c2 D．ab﹣bc﹣2ac+c2
【分析】解法一：先说明EF＝c，再观察得到S草坪＝SABCD﹣S矩形EFGH﹣（S MNLI+S JPQK），然后代入相关数据计算即可．解法二：平移甬道：把矩形甬道向上移至顶部，平行四边形甬道左移至左侧，让甬道靠边缘，矩形甬道面积是bc，平行四边形底为2c，高是a﹣c，面积为 2c（a﹣c），用大矩形面积ab减去两条甬道面积，即ab﹣bc﹣2c（a﹣c），化简得ab﹣bc﹣2ac+2c2．
【解答】解法一：如图：∵MN＝2EF＝2c，
∴EF＝c，
∴S草坪＝SABCD﹣S矩形EFGH﹣（S MNLI+S JPQK）
＝AB BC﹣FG EF﹣MN（AB﹣EF）
＝ab﹣bc﹣2c （a﹣c）
＝ab﹣bc﹣2ac+2c2．
故选：A．
解法二：平移矩形甬道EFGH：将其向上平移至与矩形ABCD上边缘重合，其宽度为EF ＝c，长度为b，
平移平行四边形甬道MNQP：向左平移至与左边缘重合，其底为MN＝2c，高为AB﹣EF＝a﹣c，
重组草坪形状：平移后甬道位于边缘，剩余草坪形成新矩形，长为b﹣c、宽为a﹣c，
草坪面积＝大矩形面积﹣矩形甬道面积﹣平行四边形甬道面积，即：S ＝ ab﹣bc﹣2c（a﹣c）＝ab﹣bc﹣2ac+2c．
故选：A．
【点评】本题主要考查了整式的加减、求阴影部分的面积等知识点，明确各部分图形的面积关系成为解题的关键．
4．如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将∠ABD调整为75°，若∠D保持不变，则图中∠ECF应（　　）
A．减少20° B．减少10° C．增加20° D．增加10°
【分析】根据三角形外角的性质得到∠BCD＝∠ABD﹣∠D＝40°，再由平角的定义即可求出∠ECF．
【解答】解：∵∠ABD＝75°，∠D＝35°，
∴∠BCD＝∠ABD﹣∠D＝75°﹣35°＝40°，
∵∠ACE＝90°，
∴∠ECF＝180°﹣∠BCD﹣∠ACE＝180°﹣40°﹣90°＝50°，
∴50°﹣30°＝20°，即图中∠ECF应20°，
综上所述，只有选项C正确，符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了三角形外角性质，矩形性质，掌握相关性质是解题的关键．
5．阅读：对于线段AB与点O（点O与AB不在同一直线上），如果同一平面内点Q满足射线OQ与线段AB交于点P，且，那么称点Q为点O关于线段AB的“友好点”．
问题：如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E、F分别在边AD、AB上，且AE＝AF＝1，连结EF，设点M是点A关于线段EF的“友好点”，如果点C与点M之间距离为d，那么d的取值范围为 　2d≤4　 ．
【分析】如图，设AM交EF于点P，根据新定义可得，过点B作BG∥FE交AD于点G，根据平行线分线段成比例定理可知：点M在线段BG上，连接CG，过点C作CM1⊥BG于点M1，最后由勾股定理和三角形的面积即可解答．
【解答】解：如图，设AM交EF于点P，
∵点M是点A关于线段EF的“友好点”，
∴，
∵AE＝AF＝1，AB＝3，AD＝4，
∴，即当M与B重合时，CM有最大值，此时CM'＝4，
过点B作BG∥FE交AD于点G，
∴AG＝AB＝3，
∴点M在线段BG上，DG＝4﹣3＝1，
连接CG，过点C作CM1⊥BG于点M1，
由勾股定理得：BG3，
∵S△BCG3×43CM1，
∴CM1＝2，
∵点C与点M之间距离为d，
∴d的取值范围为：2d≤4．
故答案为：2d≤4．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，新定义“友好点”，三角形面积等知识，解决本题的关键是理解和运用“友好点”．
6．在一张足够大的纸上画长方形ABCD，其中AB＝16cm，宽BC＝12cm．为了在这个长方形边上贴上装饰，用半径为1厘米的圆形固体胶棒在长方形一侧紧贴边移动，如图，胶棒沿着长方形的四边内侧移动一圈涂过的面积是　（92+π）　 cm2．（结果保留π）
【分析】如图所示，圆滚过的面积＝长方形的面积﹣中间白色长方形的面积﹣四个直角处的面积和；四个直角处的面积和＝边长为2厘米的正方形的面积﹣半径为l的圆的面积，据此解答即可．
【解答】解：如图中，圆滚过的面积＝长方形的面积﹣中间白色长方形的面积﹣四个直角处的面积和；四个直角处的面积和＝边长为2厘米的正方形的面积﹣半径为l的圆的面积，
空白部分的长＝16﹣4＝8（cm），宽＝12﹣4＝8（cm），
∴圆滚过的面积为：16×12﹣12×8﹣4×（1×1π×1）＝（92+π）cm2．
故答案为：（92+π）．
【点评】本题考查了圆的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．如图，在长方形ABCD中，AB＝12厘米，AD＝16厘米，点E为AD中点，已知点P在线段AB上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BC上由点C向点B运动，如果△AEP与△BPQ恰好全等，那么点Q的运动速度是 　6或　 厘米/秒．
【分析】根据△AEP与△BPQ全等，得到AE＝PB，可计算出运动时间，再根据BQ＝AP，即可计算出点Q的运动速度．
【解答】解：设运动时间为ts，Q的运动速度xcm/s，
由题意得AP＝2tcm，QC＝xtcm，
∴BQ＝（16﹣xt）cm，PB＝（12﹣2t）cm，
∵△AEP与△BPQ全等，
∴BQ＝AP，AE＝PB或BP＝AP，AE＝BQ，
当BQ＝AP，AE＝PB时，
∵AE＝8cm，
∴12﹣2t＝8cm，
∴t＝2，
∴AP＝2t＝4cm，
∴16﹣xt＝4，
∴x＝6；
当BP＝AP，AE＝BQ时，
，
解方程组得t＝3，x，
故点Q的运动速度是6cm/s或cm/s．
故答案为：6或．
【点评】本题考查矩形的性质和全等三角形的性质，根据三角形全等对应的边相等建立等式是解本题的关键．
8．如图①，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝90°，点E、F分别在边AD、BC上，∠1＝30°，如图②，将纸带先沿直线EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿FS折叠一次，使点H落在线段EF上点M的位置，那么∠2的度数为　45°　 ．
【分析】由折叠性质和平行可得∠EFH＝160°，从而求得∠EFS∠EFH＝80，即可求解．
【解答】解：由折叠可得：∠GEF＝∠1＝30°，
∵AD∥BC，
∴FH∥EG．
∴∠GEF+∠EFH＝180°，
∴∠EFH＝150°，
∴∠EFS∠EFH＝75°，
∵AD∥BC，
∴∠EFB＝∠1＝30°，
∴∠2＝∠EFS﹣∠EFB＝45°，
故答案为：45°．
【点评】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，正确理解折叠的性质是解题的关键．
9．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E是CD的中点，连接AE交BD于点F，延长AE到点P，使FP＝AF，连接CF，CP，DP．
（1）求证：四边形CFDP是平行四边形；
（2）若四边形CFDP是矩形，且，求AB的长度．
【分析】（1）根据矩形的性质推出OF是△ACP的中位线，利用ASA证明△DEF≌△CEP，根据全等三角形的性质得到EF＝EP，结合DE＝CE，即可判定四边形CFDP是平行四边形；
（2）根据矩形的性质、勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，
∵FP＝AF，
∴OF是△ACP的中位线，
∴OF∥CP，
∴∠FDE＝∠PCE（两直线平行，内错角相等），
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△DEF和△CEP中，
，
∴△DEF≌△CEP（ASA），
∴EF＝EP，
又∵DE＝CE，
∴四边形CFDP是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB，∠ADE＝90°，
∴根据勾股定理，AD2+DE2＝AE2，
若四边形CFDP是矩形，则，
，FP＝CD，
∵AF＝FP，
∴，
∴，
∴AD2＝2CD2，
∴或（不符合题意，舍去），
∵，
∴CD＝AB＝1，所以AB的长度为1．
【点评】此题考查了矩形的性质，平行四边的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，利用矩形的性质证明△DEF≌△CEP是解题的关键．
10．如图，已知，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线分别与边BC及边DC的延长线相交于点E，F，G，点G为EF中点，连接DG．
（1）如果AB＝2，BC＝4，求△ADG的面积；
（2）联结BD，求∠BDG的度数．
【分析】（1）作辅助线，构建全等三角形，先根据角平分线和矩形的对边平行得：DF＝AD＝4，并求出CF＝AB＝2，证明△ABE≌△FCE，则AE＝EF，由△AGH∽△AFD，列比例式求DG的长，代入面积公式可得结论；
（2）如图2，作辅助线，想办法证明△BGD是等腰直角三角形，就可以得出结论，关键是证明△BMG≌△DNG即可．
【解答】解：（1）如图1，过G作GH⊥AD于H，交BC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD＝BC＝4，DC＝AB＝2，
∴∠BAE＝∠AFD，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠FAD，
∴∠AFD＝∠FAD，
∴DF＝AD＝4，
∴CF＝DF﹣DC＝4﹣2＝2，
∴AB＝CF，
∵∠AEB＝∠FEC，∠BAE＝∠AFD，
∴△ABE≌△FCE，
∴AE＝EF，
∵G是EF的中点，
∴EG＝GFEF，
∴，
∵GH∥DF，
∴△AGH∽△AFD，
∴，
∴，
∴GH＝3，
∴S△ADGAD GH4×3＝6；
（2）如图2，过G作GN⊥DF于N，连接CG，
∵∠GHD＝∠HDN＝∠GND＝90°，
∴四边形HGND是矩形，
∴DH＝GN，
在Rt△ECF中，∵∠F＝45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∵G是EF的中点，
∴CG⊥EF，
∵∠F＝45°，
∴∠FCG＝45°，
∴∠CGN＝45°，
∴GN＝NC，
∴四边形MGNC是正方形，
∴GM＝GN＝CN＝FN，
∵BC＝AD＝FD，
∴BC﹣CM＝DF﹣FN，
即BM＝DN，
∵∠BMG＝∠GNC＝90°，
∴△BMG≌△DNG，
∴BG＝DG，
∠BGM＝∠DGN，
∴∠BGM+∠MGD＝∠DGN+∠MGD，
即∠BGD＝90°，
∴△BGD是等腰直角三角形，
∴∠BDG＝45°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、矩形、正方形的性质和判定、角平分线的定义、等腰直角三角形的性质等知识，运用的知识点较多，熟练掌握这些知识点是关键，尤其是第二问，作辅助线，构建并证明△BMG≌△DNG是关键．
二．矩形判定（共14小题）
11．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连结EB、EC、DB，添加一个条件，不能判定四边形DBCE为矩形的是（　　）
A．∠ADB＝90° B．AB＝BE C．BE＝CD D．BE⊥CD
【分析】先证四边形DBCE为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，BC＝AD，BC∥AD，AB∥CD，
∵DE＝AD，
∴BC＝DE，
∵BC∥AD，
∴BC∥DE，
∴四边形DBCE是平行四边形
A、∵∠ADB＝90°，
∴∠BDE＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴平行四边形DBCE是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AB＝BE时，AB＝CD，
∴BE＝CD，
∴平行四边形DBCE是矩形，故选项A不符合题意；
C、∵BE＝CD，
∴平行四边形DBCE是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵BE⊥CD，
∴平行四边形DBCE是菱形，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
12．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．AC＝BD B．OA＝OB C．∠DAC＝∠BAC D．∠ABC＝∠BAD
【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
C、不能证明四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝∠BAD，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理．
13．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，如果添加一个条件使得 ABCD是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（　　）
A．∠DAO+∠ADO＝90° B．∠DAC＝∠ACD
C．∠DAC＝∠BAC D．∠DAB＝∠ABC
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵∠DAO+∠ADO＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴ ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴ ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵∠DAB＝∠ABC，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，掌握矩形的判定是解题的关键．
14．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D
【分析】由矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AD＝BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴AB的长为AD与BC间的距离，
∵AB＝CD，
∴CD⊥AD，CD⊥BC，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；
D、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，∠D+∠C＝180°，
∵∠A＝∠D，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
15．已知四边形ABCD中，AD∥BC，AC＝BD，下列说法不正确的是（　　）
A．如果AD＝BC，那么四边形ABCD是矩形
B．如果AB＝DC，那么四边形ABCD是矩形
C．如果AB∥DC，那么四边形ABCD是矩形
D．如果∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是矩形
【分析】根据矩形的判定判断即可．
【解答】解：A、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故不符合题意；
B、当AD∥BC，AB＝DC，AC＝BD，不能判定四边形ABCD是矩形，故符合题意；
C、∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故不符合题意；
D、如图，
∵AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，
∵AC＝BD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
16．平行四边形的四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
【分析】画出图形，根据角的平分线的性质和平行线的性质，三角形内角和定理及矩形的判定定理求答．
【解答】解：根据图形，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，
又∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
则得到：∠1+∠3＝90°，
根据三角形内角和定理得到：∠AFB＝∠EFG＝90°，
同理，平行四边形的相邻角的平分线一定互相垂直，
因而平行四边形的四个内角的平分线，如果能围成四边形，四边形的四个内角一定是直角，即四边形是矩形．
故选：A．
【点评】本题解决的关键是根据平行四边形的对边平行，利用平行线的性质．
17．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，顺次连接 ABCD各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC⊥BD；②C△ABO＝C△CBO；③∠DAO＝∠CBO；④∠DAO＝∠BAO，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．
【解答】解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．
①∵AC⊥BD，∴新的四边形成为矩形，符合条件；
②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝DO．
∵C△ABO＝C△CBO，∴AB＝BC．
根据等腰三角形的性质可知BO⊥AC，∴BD⊥AC．所以新的四边形成为矩形，符合条件；
③∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CBO＝∠ADO．
∵∠DAO＝∠CBO，∴∠ADO＝∠DAO．
∴AO＝OD．
∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；
④∵∠DAO＝∠BAO，BO＝DO，
∴AO⊥BD，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴新四边形是矩形．符合条件．
所以①②④符合条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查矩形的判定、平行四边形的性质、三角形中位线的性质．
18．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O，请添加一个条件AC＝BD或∠ABC＝90°　 ，可得平行四边形ABCD是矩形．
【分析】矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角是直角；可针对这些特点来添加条件．
【解答】解：若使 ABCD变为矩形，可添加的条件是：
AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形），∠ABC＝90°等（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
故答案为：任意写出一个正确答案即可，如：AC＝BD或∠ABC＝90°．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与矩形的判定，熟练掌握矩形是特殊的平行四边形是解题关键．
19．如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，如所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是 AC⊥BD ．（只需写出一个符合要求的条件）
【分析】根据平行公理的推论求出EF∥GH，EH∥FG，推出平行四边形EFGH，证出∠E＝90°即可．
【解答】解：添加的条件是AC⊥BD，
∵BD∥EF，BD∥GH，
∴EF∥GH，
同理EH∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EF∥BD，AC⊥BD，
∴EF⊥AC，
∵EH∥AC，
∴EF⊥EH，
∴∠E＝90°，
∴平行四边形EFGH是矩形，
故答案为：AC⊥BD．
【点评】本题主要考查对矩形的判定，平行四边形的判定，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，能求出平行四边形EFHGH和∠E＝90°是解此题的关键．
20．在四边形ABCD中，如果∠A＝90°，那么还不能判定四边形ABCD是矩形，现再给出如下说法：①对角线AC、BD互相平分，那么四边形ABCD是矩形；②∠B＝∠C＝90°，那么四边形ABCD是矩形；③对角线AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形．其中正确的说法有　①②　 ．（把你认为正确说法的序号全部填上）．
【分析】根据矩形的判定定理逐一进行判断．
【解答】解：①对角线AC、BD互相平分的四边形是平行四边形，又∠A＝90°，所以四边形ABCD是矩形，正确；
②∠A＝90°，∠B＝∠C＝90°，根据三个角是直角的四边形是矩形，正确；
③只有对角线相等，不能判定其为平行四边形，也就不能判定四边形ABCD是矩形，所以不正确．
故应填：①②．
【点评】本题重在对矩形判定方法的考查，（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）有三个角是直角的四边形是矩形．
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此判定．
熟练掌握其判定方法即可轻松解答此类问题．
21．如图，已知在 ABCD中，点E、F分别是边AD、CD的中点，过点E、F的直线交BA、BC的延长线于点G、H，联结AC．
（1）求证：四边形ACHE是平行四边形；
（2）联结CE，如果CE＝AE，求证：四边形ACFG是矩形．
【分析】（1）先由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得出AD∥BC，即AE∥CH．再由点E、F分别是边AD、CD的中点，根据三角形中位线定理得出EF∥AC，即EH∥AC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得出四边形ACHE是平行四边形；
（2）根据直角三角形的判定定理和平行四边形的性质，余角矩形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AE∥CH．
∵点E、F分别是边AD、CD的中点，
∴EF∥AC，即EH∥AC，
∴四边形ACHE是平行四边形；
（2）连接CE，
∵点E是边AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AE＝CE，
∴CE＝AE＝DE，
∴CEAD，
∴∠ACD＝90°，
∵四边形ACHE是平行四边形，
∴四边形ACFG是矩形．
【点评】此题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，线段中点的定义，解题的关键是熟记平行四边形的各种判定方法并且熟练运用．
22．如图，已知在 ABCD中，点E、F分别是边AD、CD的中点，过点E、F的直线交BA的延长线于点G，联结AC．
（1）求证：四边形ACFG是平行四边形；
（2）联结CE，如果CE＝AE，求证：四边形ACFG是矩形．
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AG＝DF＝CF可得结论；
（2）证明∠ACF＝90°可得结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BG∥CD，
∴∠G＝∠EFD，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠AEG＝∠DEF，
∴△AEG≌△DEF（ASA），
∴AG＝DF，
∵F是CD的中点，
∴CF＝DF，
∴AG＝CF，
∵AG∥CF，
∴四边形ACFG是平行四边形；
（2）∵△AEG≌△DEF，
∴AE＝DE，
∵AE＝EC，
∴CE＝AE＝DE，
∴∠ACF＝90°，
∵四边形ACFG是平行四边形，
∴四边形ACFG是矩形．
【点评】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
23．如图，在 ABCD中，点E为AD中点，延长CD、BE交于点F，联结AF、BD．
（1）求证：DC＝DF；
（2）当∠BED＝2∠C时，求证：四边形ABDF是矩形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，再证△AEB≌△DEF（ASA），得AB＝DF，即可得出结论；
（2）先证四边形ABDF是平行四边形，得AD＝2AE，BF＝2BE，再证∠DAB＝∠EBA，得BE＝AE，则AD＝BF，然后由矩形的判定即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠EAB＝∠EDF，
∵点E为AD中点，
∴AE＝DE，
在△AEB和△DEF中，
，
∴△AEB≌△DEF（ASA），
∴AB＝DF，
∴DC＝DF；
（2）∵AB＝DF，AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AD＝2AE，BF＝2BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠C，
∵∠BED＝2∠C，
∴∠BED＝2∠DAB，
又∵∠BED＝∠DAB+∠EBA，
∴∠DAB＝∠EBA，
∴BE＝AE，
∴AD＝BF，
∴平行四边形ABDF是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
24．如图，在 ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，点E、F在对角线BD上，且MF∥EN．
（1）求证：△DMF≌△BNE；
（2）如果EF＝AB，求证：四边形ENFM是矩形．
【分析】（1）由平行四边形的性质结合已知条件证得AD∥BC，DM＝BN＝AM，由平行线的性质证得∠ADB＝∠CBD，∠EFM＝∠FEN，根据AAS定理即可证得结论；
（2）连接MN，证得四边形ENFM是平行四边形，四边形ABNM是平行四边形，得到AB＝MN，进而得到MN＝EF，根据矩形的判定定理即可证得结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵M、N分别是边AD、BC的中点，
∴DM＝BN＝AM，
∵MF∥EN，
∴∠EFM＝∠FEN，
∴∠DFM＝∠BEN，
在△DMF和△BNE中，
，
∴△DMF≌△BNE（AAS）；
（2）连接MN，
∵△DMF≌△BNE，
∴MF＝NE，
∵MF∥EN，
∴四边形ENFM是平行四边形，
∵AM＝BN，AM∥BN，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∴AB＝MN，
∵EF＝AB，
∴MN＝EF，
∴四边形ENFM是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
三．矩形判定及性质综合（共12小题）
25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2AD＝10，点E，F分别是AB，BC的中点，连接EF，DE，则线段DE的长是（　　）
A． B． C． D．8
【分析】连接DF，证明四边形ADCF是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到EF＝BE＝AE，进而证明△BEF是等边三角形，再证明四边形ADFB是平行四边形，得到DF＝AB，根据等边对等角的性质，得出∠AED＝∠ADE＝30°，进而推出∠DEF＝90°，最后利用勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，连接DF，
∵BC＝2AD＝10，点F是BC的中点，
∴AD＝BF＝CF＝5，
∵AD∥CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵DC⊥BC，
∴∠C＝90°，
∴四边形ADCF是矩形，
∴∠AFC＝∠AFB＝90°，
∵E是AB的中点，
∴EF＝BE＝AE，
∵∠B＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴EF＝BF＝BE＝5，∠BEF＝60°，
∴AB＝10，
∵AD∥BF，AD＝BF，
∴四边形ADFB是平行四边形，
∴DF＝AB＝10，
∵AD∥BC，∠B＝60°，
∴∠DAE＝120°，
∵AE＝BE＝BF＝AD，
∴∠AED＝∠ADE＝30°，
∴∠DEF＝90°，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．
26．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（　　）
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
【分析】先由勾股定理求出AB＝5，再证四边形CEMF是矩形，得EF＝CM，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出CM＝2.4，即可得出答案．
【解答】解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB5，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF＝CM，
∵点P是EF的中点，
∴CPEF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积AB×CMAC×BC，
∴CM2.4，
∴CPEFCM＝1.2，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
27．如图，在△ABC中∠BCA＝90°，点P为斜边AB上一动点，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC，垂足分别为D，E，连接DE．若AB＝13，BC＝12，则DE的长不可能等于（　　）
A． B．5 C． D．6
【分析】证明四边形CEPD为矩形，进而得到DE＝CP，根据垂线段最短，得到CP⊥AB时CP最短，勾股定理求出AC的长，等积法求出CP的最小值，进行判断即可．
【解答】解：在△ABC中，∠BCA＝90°，PD⊥BC，PE⊥AC，垂足分别为D，E，连接CP，
∴四边形CEPD为矩形，
∴DE＝CP，
∵点P为斜边AB上一动点，
∴当CP⊥AB时CP最短，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：，
当CP⊥AB时，则，即5×12＝13CP，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴DE的长不可能为；
故选：A．
【点评】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，解答本题的关键要明确垂线段的性质：垂线段最短．
28．如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（　　）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判定书架是矩形，由矩形的性质可得结论．
【解答】解：用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，如果相等，则是矩形，依据是对角线相等的平行四边形为矩形，然后由矩形的四个角都是直角可得侧边和上、下底都垂直，
∴②③是正确的，
故选：D．
【点评】本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的判定定理解决实际问题是解此题的关键．
29．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论：
①当t＝4s时，四边形ABMP为矩形；
②当t＝5s时，四边形CDPM为平行四边形；
③当CD＝PM时，t＝4或5s；
④当CD＝PM时，t＝4或6s．
其中结论正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题意，表示出DP，BM，AP和CM的长，当四边形ABMP为矩形时，根据AP＝BM，列出方程求解即可；当四边形CDPM为平行四边形时，根据DP＝CM，列出方程求解即可；当CD＝PM时，分两种情况：四边形CDPM是平行四边形时；四边形CDPM是等腰梯形，分别列方程求解即可．
【解答】解：根据题意，可得DP＝tcm，BM＝tcm，
∵AD＝10cm，BC＝8cm，
∴AP＝（10﹣t）cm，CM＝（8﹣t）cm，
当四边形ABMP为矩形时，AP＝BM，
即10﹣t＝t，解得t＝5，故①不正确；
当四边形CDPM为平行四边形时，则DP＝CM，
即8﹣t＝t，解得t＝4，故②不正确；
当CD＝PM时，分两种情况：
当四边形CDPM是平行四边形时，则DP＝CM，
即8﹣t＝t，解得t＝4，
当四边形CDPM是等腰梯形时，
过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示，
则∠MGP＝∠CHD＝90°，
∵CD＝PM，GM＝HC，
∴Rt△MGP≌Rt△CHD（HL），
∴GP＝HD，
∴，
又BM＝t，∠A＝∠B＝90°，MG⊥AD，
∴AG＝BM，
即，
解得t＝6，
综上可得，当CD＝PM时，
t＝6或t＝4，
故③错误，④正确，
∴正确的结论有1个．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，涉及动点问题，用含t的代数式表示各线段的长度是解题的关键．
30．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则PF长度的最小值是 　1.2　 ．
【分析】连接MC，根据矩形的性质可得MC＝EF，则，当CM⊥AB时，CM取得最小值，根据等面积法求解即可，进而可得最小值．
【解答】解：如图，连接MC，
∵∠ACB＝90°，ME⊥AC，MF⊥BC，
∴四边形MECF是矩形，
∴MC＝EF，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴，
∵点P是EF的中点，
∴，
∴CM⊥AB时，CM取得最小值，此时PF取得最小值，
∵，
∴，
∴，
∴PF长度的最小值是1.2．
故答案为：1.2．
【点评】本题考查矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积，堆出是解题的关键．
31．如图，在正方形ABCD中，点P在AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，EF＝3，则PD的长为　3　 ．
【分析】连接PB，易得PD＝PB，再证四边形PEBF是矩形，可得PD＝PB＝EF＝3．
【解答】解：连接PD，
在正方形ABCD，∠ABC＝90°，PB＝PD，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠PEB＝∠PFB＝∠ABC＝90°，
∴四边形PEBF是矩形，
∴PB＝EF＝3，
∴PD＝3；
故答案为：3．
【点评】本题主要考查矩形的判定和性质、正方形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
32．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，过点A作AE∥BC，且AEBC，联结EC．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）联结BE，如果∠CBE＝30°，EC，求点A到直线BE的距离．
【分析】（1）由等腰三角形三线合一性质得出AD⊥BC，BD＝CD，再证四边形ADCE是平行四边形，然后由∠ADC＝90°，即可得出结论；
（2）过点A作AH⊥BE于H，证明△AOE≌△DOB，得到AO＝DO，EO＝BO，在Rt△BOD中，根据勾股定理和含30度直角三角形的性质求得AE＝BD，根据三角形的面积公式即可求出AH．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC，BD＝CDBC，
∴∠ADC＝90°，
∵AEBC，
∴AE＝CD，
∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCE为矩形；
（2）解：过点A作AH⊥BE于H，设AD，BE相交于O，
由（1）知，四边形ADCE是矩形，DB＝CD，
∴AE＝CD，AD＝EC，∠EAD＝∠BDA＝90°，
∴AE＝DB，
在△AOE和△DOB中，
，
∴△AOE≌△DOB（AAS），
∴AO＝DO，EO＝BO，
在Rt△BOD中，∠CBE＝30°，
∴EO＝BO＝2DO，
∴BD，
∴AE，
∵S△AOEAO AEEO AH，
∴AH，
∴点A到直线BE的距离为．
【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形面积和矩形面积的计算等知识，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质和矩形的判定与性质是解题的关键．
33．如图，已知 ABCD，过点D作DE⊥BC交CB延长线于点E，过点C作CF∥DE交AD的延长线于点F．
（1）求证：四边形DECF是矩形；
（2）设DE边与AB相交于点G，连结CG、BD，若CG＝BD，求证：∠FDC＝∠BGE．
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，由CF∥DE，得到四边形DECF是平行四边形，由DE⊥BC得到∠DEC＝90°，即可得到结论；
（2）证明四边形DGBC为等腰梯形，求出DG＝CB＝AD，然后根据矩形的性质和三角形内角和定理求出∠BGE＝∠DGA＝45°，∠FDC＝∠FDE﹣∠CDG＝45°即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵CF∥DE，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴四边形DECF是矩形；
（2）如图，
∵BG∥CD，CG＝BD，
∴四边形DGBC为等腰梯形，
∴DG＝CB，
∵AD＝BC，
∴AD＝DG，
∵∠ADG＝∠FDG＝90°，
∴∠DAG＝∠DGA＝45°，
∴∠BGE＝∠DGA＝45°，
∵AB∥DC，
∴∠CDG＝∠DGA＝45°，
∴∠FDC＝∠FDE﹣∠CDG＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FDC＝∠BGE．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键．
34．如图，已知CE、CF分别是∠ACB和它的邻补角∠ACD的角平分线，AE⊥CE，垂足为点E，AF∥EC，联结EF，分别交AB、AC于点G、H．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）试猜想GH与BC之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）根据CE、CF分别是∠ACB和∠ACD的平分线得到∠ECF＝90°，推导出EC⊥CF，然后根据AE⊥CE，得到AE∥FC，再利用AF∥EC证得四边形AECF是矩形；
（2）根据矩形的性质得到内错角相等即可证得两条直线平行．
【解答】证明：（1）如图所示，
∵CE、CF分别是∠ACB和它的邻补角∠ACD的角平分线，
∴∠2∠ACB，∠3∠ACD，
∵∠ACB+∠ACD＝180°，
∴∠2+∠3（∠ACB+∠ACD）＝90°，
∴EC⊥CF，
∵AE⊥CE，
∴AE∥FC，
又∵AF∥EC，
∴四边形AECF是矩形；
（2）GH∥BC．理由如下：
∵四边形AECF是矩形，
∴EF＝AC，EHEF，AH＝HCAC，
∴EH＝HC，
∴∠2＝∠5，
又∵CE平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠5，
∴GH∥BC，
∴，
∴GHBC．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及平行线的判定的知识，解题的关键是了解矩形的几个判定定理．
35．已知，如图，BE，BD是△ABC中∠ABC的内、外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥BE于点E，延长AE交BC的延长线于点N．
求证：DE＝BN．
【分析】利用矩形的判定方法得出∠DBE＝∠ADB＝∠AEB＝90°，再根据全等三角形的判定得出AB＝BN．
【解答】证明：∵BE、BD是△ABC中∠ABC的内、外角平分线，
∴∠DBE180°＝90°，
∵AD⊥BD于D，AE⊥BE于E，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
则∠DBE＝∠ADB＝∠AEB＝90°，
在△ABE和△NBE中，
，
∴△ABE≌△NBE（ASA），
∴AB＝BN，
∵四边形ADBE是矩形，
∴DE＝AB，
∴DE＝BN．
【点评】此题主要考查了矩形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
36．如图，在四边形ABCD的中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO，△OAB是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若S四边形ABCD＝4，求BD的长．
【分析】（1）证明△AOB≌△COD（ASA），得BO＝DO，AB＝CD，则四边形ABCD是平行四边形，再由等边三角形的性质得OA＝OB，则AC＝BD，即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质得AB＝OA＝OB，再由矩形的性质和勾股定理得BCAB，然后由矩形的面积求出AB＝2，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠OCD，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴BO＝DO，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵△OAB是等边三角形，
∴OA＝OB，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB，
∵AO＝CO，
∴AC＝2OA，
∴AC＝2AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴BCAB，
∵S四边形ABCD＝AB BCAB2＝4，
∴AB2＝4，
∴AB2，
∴OB＝2，
∴BD＝2OB＝4．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（　　）
A． B． C． D．5
【分析】连接PC，当CP⊥AB时，PC最小，利用三角形面积解答即可．
【解答】解：连接PC，如图所示，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∴PC的最小值为：4.8．
∴线段EF长的最小值为4.8．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为　　 ．
【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DEAF是矩形，可得EF＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【解答】解：连接AD、EF，
∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，
∴BC15，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∴EF＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积AB×ACBC×AD，
∴AD，
∴EF的最小值为，
∵点G为四边形DEAF对角线交点，
∴GFEF；
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知，那么BD的长是　2　 ．
【分析】根据矩形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，证明△AOB是等边三角形，进而求出BD的长．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∴∠ADB＝30°，
∵AD
∴AB＝1，
∴BD＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝10，点E、F分别是边AB、CD的中点，点G、H在对角线AC上．如果四边形EGFH是矩形，那么AG的长等于 　5　 ．
【分析】通过证明四边形AEFD是平行四边形，可得AD＝FE＝10，又勾股定理可求AO的长，即可求解．
【解答】解：如图，连接EF，交AC于O，
∵四边形ABCD是矩形，四边形EGFH是矩形，
∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝10，EF＝GH，EO＝FO＝GO，
∵E、F分别是边AB、DC的中点，
∴AE＝DF＝2.5，
又∵AB∥CD，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AD＝FE＝10，
∴EO＝5＝GO，
∵∠BAD＝90°，
∴四边形AEFD是矩形，
∴∠AEO＝90°，
∴AO，
∴AG＝AO﹣GO5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
5．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交边AB、CD于点E、F，联结AF、CE．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）如果四边形ABCD为矩形，AD＝8，CD＝16，求EF的长．
【分析】（1）由矩形的性质可CF∥AE，进而得出∠FCO＝∠EAO，结合O为对角线AC的中点得出△AOE≌△COF，即CF＝AE，即可得出四边形AECF是平行四边形，结合EF⊥AC即可得出四边形AECF是菱形；
（2）根据勾股定理求出AC，然后根据菱形的性质和勾股定理求出OF，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CF∥AE，
∴∠FCO＝∠EAO，
∵O为对角线AC的中点，
∴AO＝CO，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴CF＝AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，AD＝8，CD＝16，
∴∠D＝90°，
∴AC8，
∴OAAC＝4，
∵四边形AECF是菱形，
∴AF＝CF，
∴DF＝CD﹣CF＝16﹣AF，
∵AD2+DF2＝AF2，
∴82+（16﹣AF）2＝AF2，
∴AF＝10，
∴OF2，
∴EF＝2OF＝4．
【点评】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键．
1．如图，四边形ABCD是菱形，点P为AD边上一动点（不与点A，D重合），PE⊥AC于点E，PF⊥DB于点F．若AC＝6，BD＝12，则EF的最小值为　　 ．
【分析】连接OP，作OH⊥AB于点H，根据菱形的性质得到AC⊥BD，OA＝OCAC6＝3，OB＝ODBD12＝6，根据勾股定理得到AB3，根据三角形的面积公式得到OH，根据矩形的性质得到EF＝OP，于是得到结论．
【解答】解：连接OP，作OH⊥AB于点H，
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，
∴AC⊥BD，OA＝OCAC6＝3，OB＝ODBD12＝6，
∴∠AOB＝90°，
∴AB3，
∵AB OHOA OD＝S△AOB，
∴3OH3×6，
解得OH，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠PEO＝∠PFO＝∠EOF＝90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∴EF＝OP，
∴OP≥OH，
∴EF，
∴EF的最小值为，
故答案为：．
【点评】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度、垂线段最短等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
2．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，点P以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q以acm/s的速度由点C向点D运动，且其中一点到达终点时，另一点也停止运动．若运动ts后，以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为　2或　 ．（温馨提示：长方形的四个角都等于90°）
【分析】分两种情况分别计算：当△ABP≌△PCQ时；当△ABP≌△QCP时；分别根据全等三角形对应边相等的性质列方程求解即可．
【解答】解：∵点P运动的时间为运动ts，
∴BP＝2tcm，CQ＝atcm，
∴PC＝（10﹣2t）cm．
根据题意得∠B＝∠C＝90°．
①若△ABP≌△PCQ，则BP＝CQ，AB＝PC，
∴6＝10﹣2t，2t＝at，
∴t＝2，a＝2；
②若△ABP≌△QCP，则BP＝CP，AB＝CQ，
∴2t＝10﹣2t，at＝6，
∴，．
综上所述，a的值为2或．
故答案为：2或．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
3．在矩形ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝5，E为射线AB上一点，将△ADE沿DE翻折，得到△A1DE（点A的对应点为A1），联结A1A、A1B，当△A1AB为等腰三角形时，AE长是　或或15或6　 ．
【分析】由等腰三角形分类讨论，依次画出图形，结合折叠的性质求解即可．
【解答】解：①当点E在线段AB上时，且AA1＝AB，
如图，此时点A1在AB的垂直平分线MN上，
∵DNCD＝3，A1D＝AD＝5，
∴A1N4，
∴A1M＝MN﹣A1N＝1，
在Rt△A1EM中，EM2+A1M2＝A1E2，
则（3﹣AE）2+1＝AE2，
解得AE；
②如图，当点E在线段AB上，且AA1＝AB时，
如图，记DE交AA1于点O，
则DE垂直平分AA1，
∵AA1＝AB＝6，
∴OA＝3，则OD4，
∵∠ADO＝∠EAO＝90°﹣∠DAO，
∴cos∠EAO＝cos∠ADO，即，
∴AE；
③当点E在AB延长线，且AA1＝AB，
如图，此时点A1在AB的垂直平分线MN上，
∵DNCD＝3，A1D＝AD＝5，
∴A1N4，
∴A1M＝MN+A1N＝9，
在Rt△A1EM中，EM2+A1M2＝A1E2，
则（AE﹣3）2+81＝AE2，
解得AE＝15；
④当BA＝BA1时，如图，
此时点E、B都在AA1垂直平分线上，
∴点E、B重合，
∴AE＝6；
综上，AE的长为或或15或6．
故答案为：或或15或6．
【点评】本题主要考查了翻折的性质、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝7，AE平分∠BAD，则DE的长为　5　 ．
【分析】根据矩形的性质CD＝AB＝4，AD∥BC，∠C＝90°，再根据平行线的性质与角平分线定义得出∠BAE＝∠AEB，从而得出BE＝AB＝4，继而得出CE＝3，再利用勾股定理求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，AD∥BC，∠C＝90°，
∴∠DAE＝∠AEB（两直线平行内错角相等），
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB＝4，
∴CE＝BC﹣BE＝7﹣4＝3，
∴．
故答案为：5．
【点评】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，角平分线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为点E、F，联结EF，则线段EF的最小值为 　2.4　 ．
【分析】连接PC，当CP⊥AB时，PC最小，利用三角形面积解答即可．
【解答】解：连接PC，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，
∴PC的最小值为：2.4．
∴线段EF长的最小值为2.4．
故答案为：2.4．
【点评】本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若BE＝1，AE＝2，则AC＝　5　 ．
【分析】由矩形的性质得出OA＝OB，设OA＝OB＝x，则OE＝x﹣1，在Rt△AOE中，由勾股定理得出方程，解方程求出OA，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OCAC，OB＝ODBD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
设OA＝OB＝x，则OE＝x﹣1，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝90°，
由勾股定理得：AE2+OE2＝OA2，
即22+（x﹣1）2＝x2，
解得：x，
∴OA，
∴AC＝2OA＝5；
故答案为：5．
【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键，属于中考常考题型．
7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF，若AB，则AF的长为 　　 ．
【分析】由矩形的性质和垂直平分线的性质可证△ODC是等边三角形，可得OD＝OC＝CD，由勾股定理可求BC的长，由直角三角形的性质可求CF＝1，由勾股定理可求AF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AO＝CO＝BO＝DO，
∵DF垂直平分OC，
∴OD＝DC，
∴OD＝DC＝OC，
∴△ODC是等边三角形，
∴OD＝OC＝CD，
∴AC＝2，
∴BC3，
∵△ODC是等边三角形，DE⊥AC，
∴∠CDE＝∠ODE＝30°，
∴DCCF，
∴CF＝1，
∴BF＝2，
∴AF，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求出BF的长是本题的关键．
8．如图，已知AD是△ABC的中线，M是AD的中点，过A点作AE∥BC，CM的延长线AE相交于点E，与AB相交于点F．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）如果∠BAD＝∠CAD，求证：四边形AEBD是矩形．
【分析】（1）证明△AEM≌△DCM（AAS），得AE＝CD，再证明AE＝BD，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）延长AD至G，使GD＝AD，连接CG，证明△CDG≌△BDA（SAS），得GC＝AB，∠G＝∠BAD，再证明∠G＝∠CAD，则GC＝AC，得AB＝AC，然后由等腰三角形的性质得AD⊥BC，则∠ADB＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵M是AD的中点，
∴AM＝DM，
∵AE∥BC，
∴∠AEM＝∠DCM，
又∵∠AME＝∠DMC，
∴△AEM≌△DCM（AAS），
∴AE＝CD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴AE＝BD，
又∵AE∥BD，
∴四边形AEBD是平行四边形；
（2）如图，延长AD至G，使GD＝AD，连接CG，
∵∠CDG＝∠BDA，CD＝BD，
∴△CDG≌△BDA（SAS），
∴GC＝AB，∠G＝∠BAD，
∵∠ABD＝∠CAD，
∴∠G＝∠CAD，
∴GC＝AC，
∴AB＝AC，
∵AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
由（1）可知，四边形AEBD是平行四边形，
∴平行四边形AEBD是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
9．如图，矩形（长方形）ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AC，BC，AD于点O，E，F．
（1）求证：AF＝CE；
（2）若BE＝3，AF＝5，求AB的长．
【分析】（1）利用垂直平分线的性质以及矩形的性质，即可△AOF≡△COE（ASA），进而得出AF＝CE；
（2）连接AE，先求得CE＝5＝AE，BC＝BE+CE＝8，即可运用勾股定理得到AB长．
【解答】（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≡△COE（ASA），
∴AF＝CE；
（2）如图，连接AE，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∵AF＝CE，AF＝5，
∴CE＝5＝AE，
∴BC＝BE+CE＝3+5＝8，
∵AB4．
【点评】本题考查矩形的性质、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是利用全等三角形以及勾股定理矩形进行推理计算．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD、AE为腰作等腰△ADE，且∠ADE＝∠ABC，连接CE，过E作EF∥BC交CA延长线于F，连接BF．
（1）求证：∠ECA＝∠ABC；
（2）如果AF＝AB，求证：四边形FBDE是矩形．
【分析】（1）证明△ABD≌△ACE（SAS），即可得出结论；
（2）先证四边形FBDE是平行四边形，再证∠CBF＝90°，然后由矩形的判定即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC，
同理∠DAE＝180°﹣2∠ADE，
∵∠ABC＝∠ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ECA＝∠ABC；
（2）∵∠ECA＝∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ECF＝∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠ACB，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EF＝EC，
∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝EC，
∴BD＝EF，
∴四边形FBDE是平行四边形，
∵AF＝AB＝AC，
∴∠AFB＝∠ABF，∠ABC＝∠ACB，
∵∠AFB+∠ABF+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABF+∠ABC＝90°，
即∠CBF＝90°，
∴平行四边形FBDE是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
11．某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形ABCD），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样．
（1）若大玻璃的长AD为2米，则乙玻璃的边AE＝　0.4　 米，AF＝　0.6　 米；
（2）若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，则按方案一和方案二切割的玻璃片数量分别为多少？
【分析】（1）根据矩形的性质即可得到结论；
（2）根据题意得，丙型玻璃是乙型玻璃的2倍，列方程组，解方程组即可得到结论．
【解答】解：（1）AE＝2÷5＝0.4（米），
由方案一可得丙的长＝2÷2＝1（米），
由方案二可得丙的宽＝2÷5＝0.4（米），
AF＝AB﹣BF＝1﹣0.4＝0.6（米），
故答案为：0.4，0.6；
（2）根据题意得，丙型玻璃是乙型玻璃的2倍，
，
解得：．
答：按方案一和方案二切割的玻璃片数量分别为10块16块．
【点评】本题考查了矩形的性质，二元一次方程组的应用，正确地识别图形是解题的关键．
第1页（共1页）第3讲矩形的性质及判定
(知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义
本节课主要针对第23章矩形进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了矩形相关概念、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。
概念总结：
定义：有一个角是直角的平行四边形
性质：四个角都是直角；对角线相等
判定：①有一个直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形
易混淆点
对角线相等的四边形不一定是矩形（可能是等腰梯形）
一．矩形的性质（共10小题）
1．如图，四边形ABCD和四边形EFGH是两个全等的矩形，E是边BC的中点，联结DF、AG．如果DF⊥AG，BC＝4，那么AB的值为（　　）
A．1 B． C． D．
2．如图，长方形ABCD的长是14cm，宽是5cm，动点P从点A出发，沿边AD以每秒3cm的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边BC以每秒1.5cm的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发　 　 秒时，长方形ABCD被线段PQ分成的两个图形成中心对称．
3．如图，某校准备在一个矩形场地ABCD中修建两条甬道，一条是矩形甬道EFGH，一条是平行四边形甬道MNQP，其余部分为草坪，若AB＝a，BC＝b，MN＝2EF＝2c，则草坪面积是（　　）
A．ab﹣bc﹣2ac+2c2 B．ab﹣ac﹣2bc+2c2
C．ab﹣ac﹣2bc+c2 D．ab﹣bc﹣2ac+c2
4．如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将∠ABD调整为75°，若∠D保持不变，则图中∠ECF应（　　）
A．减少20° B．减少10° C．增加20° D．增加10°
5．阅读：对于线段AB与点O（点O与AB不在同一直线上），如果同一平面内点Q满足射线OQ与线段AB交于点P，且，那么称点Q为点O关于线段AB的“友好点”．
问题：如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E、F分别在边AD、AB上，且AE＝AF＝1，连结EF，设点M是点A关于线段EF的“友好点”，如果点C与点M之间距离为d，那么d的取值范围为 　 　 ．
6．在一张足够大的纸上画长方形ABCD，其中AB＝16cm，宽BC＝12cm．为了在这个长方形边上贴上装饰，用半径为1厘米的圆形固体胶棒在长方形一侧紧贴边移动，如图，胶棒沿着长方形的四边内侧移动一圈涂过的面积是　 　 cm2．（结果保留π）
7．如图，在长方形ABCD中，AB＝12厘米，AD＝16厘米，点E为AD中点，已知点P在线段AB上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BC上由点C向点B运动，如果△AEP与△BPQ恰好全等，那么点Q的运动速度是 　 　 厘米/秒．
8．如图①，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝90°，点E、F分别在边AD、BC上，∠1＝30°，如图②，将纸带先沿直线EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿FS折叠一次，使点H落在线段EF上点M的位置，那么∠2的度数为　 　 ．
9．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E是CD的中点，连接AE交BD于点F，延长AE到点P，使FP＝AF，连接CF，CP，DP．
（1）求证：四边形CFDP是平行四边形；
（2）若四边形CFDP是矩形，且，求AB的长度．
10．如图，已知，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线分别与边BC及边DC的延长线相交于点E，F，G，点G为EF中点，连接DG．
（1）如果AB＝2，BC＝4，求△ADG的面积；
（2）联结BD，求∠BDG的度数．
二．矩形判定（共14小题）
11．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连结EB、EC、DB，添加一个条件，不能判定四边形DBCE为矩形的是（　　）
A．∠ADB＝90° B．AB＝BE C．BE＝CD D．BE⊥CD
12．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．AC＝BD B．OA＝OB C．∠DAC＝∠BAC D．∠ABC＝∠BAD
13．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，如果添加一个条件使得 ABCD是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（　　）
A．∠DAO+∠ADO＝90° B．∠DAC＝∠ACD
C．∠DAC＝∠BAC D．∠DAB＝∠ABC
14．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D
15．已知四边形ABCD中，AD∥BC，AC＝BD，下列说法不正确的是（　　）
A．如果AD＝BC，那么四边形ABCD是矩形
B．如果AB＝DC，那么四边形ABCD是矩形
C．如果AB∥DC，那么四边形ABCD是矩形
D．如果∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是矩形
16．平行四边形的四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
17．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，顺次连接 ABCD各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC⊥BD；②C△ABO＝C△CBO；③∠DAO＝∠CBO；④∠DAO＝∠BAO，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O，请添加一个条件　 　 ，可得平行四边形ABCD是矩形．
19．如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，如所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是 　 　 ．（只需写出一个符合要求的条件）
20．在四边形ABCD中，如果∠A＝90°，那么还不能判定四边形ABCD是矩形，现再给出如下说法：①对角线AC、BD互相平分，那么四边形ABCD是矩形；②∠B＝∠C＝90°，那么四边形ABCD是矩形；③对角线AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形．其中正确的说法有　 　 ．（把你认为正确说法的序号全部填上）．
21．如图，已知在 ABCD中，点E、F分别是边AD、CD的中点，过点E、F的直线交BA、BC的延长线于点G、H，联结AC．
（1）求证：四边形ACHE是平行四边形；
（2）联结CE，如果CE＝AE，求证：四边形ACFG是矩形．
22．如图，已知在 ABCD中，点E、F分别是边AD、CD的中点，过点E、F的直线交BA的延长线于点G，联结AC．
（1）求证：四边形ACFG是平行四边形；
（2）联结CE，如果CE＝AE，求证：四边形ACFG是矩形．
23．如图，在 ABCD中，点E为AD中点，延长CD、BE交于点F，联结AF、BD．
（1）求证：DC＝DF；
（2）当∠BED＝2∠C时，求证：四边形ABDF是矩形．
24．如图，在 ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，点E、F在对角线BD上，且MF∥EN．
（1）求证：△DMF≌△BNE；
（2）如果EF＝AB，求证：四边形ENFM是矩形．
三．矩形判定及性质综合（共12小题）
25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2AD＝10，点E，F分别是AB，BC的中点，连接EF，DE，则线段DE的长是（　　）
A． B． C． D．8
26．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（　　）
A．1.2 B．1.5 C．2.4 D．2.5
27．如图，在△ABC中∠BCA＝90°，点P为斜边AB上一动点，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC，垂足分别为D，E，连接DE．若AB＝13，BC＝12，则DE的长不可能等于（　　）
A． B．5 C． D．6
28．如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（　　）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
29．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论：
①当t＝4s时，四边形ABMP为矩形；
②当t＝5s时，四边形CDPM为平行四边形；
③当CD＝PM时，t＝4或5s；
④当CD＝PM时，t＝4或6s．
其中结论正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
30．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则PF长度的最小值是 　 　 ．
31．如图，在正方形ABCD中，点P在AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，EF＝3，则PD的长为　 　 ．
32．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，过点A作AE∥BC，且AEBC，联结EC．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）联结BE，如果∠CBE＝30°，EC，求点A到直线BE的距离．
33．如图，已知 ABCD，过点D作DE⊥BC交CB延长线于点E，过点C作CF∥DE交AD的延长线于点F．
（1）求证：四边形DECF是矩形；
（2）设DE边与AB相交于点G，连结CG、BD，若CG＝BD，求证：∠FDC＝∠BGE．
34．如图，已知CE、CF分别是∠ACB和它的邻补角∠ACD的角平分线，AE⊥CE，垂足为点E，AF∥EC，联结EF，分别交AB、AC于点G、H．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）试猜想GH与BC之间的数量关系，并证明你的结论．
35．已知，如图，BE，BD是△ABC中∠ABC的内、外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥BE于点E，延长AE交BC的延长线于点N．
求证：DE＝BN．
36．如图，在四边形ABCD的中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO，△OAB是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若S四边形ABCD＝4，求BD的长．
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（　　）
A． B． C． D．5
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为　 　 ．
3．在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知，那么BD的长是　 　 ．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝10，点E、F分别是边AB、CD的中点，点G、H在对角线AC上．如果四边形EGFH是矩形，那么AG的长等于 　 　 ．
5．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交边AB、CD于点E、F，联结AF、CE．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）如果四边形ABCD为矩形，AD＝8，CD＝16，求EF的长．
1．如图，四边形ABCD是菱形，点P为AD边上一动点（不与点A，D重合），PE⊥AC于点E，PF⊥DB于点F．若AC＝6，BD＝12，则EF的最小值为　 　 ．
2．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，点P以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q以acm/s的速度由点C向点D运动，且其中一点到达终点时，另一点也停止运动．若运动ts后，以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为　 　 ．（温馨提示：长方形的四个角都等于90°）
3．在矩形ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝5，E为射线AB上一点，将△ADE沿DE翻折，得到△A1DE（点A的对应点为A1），联结A1A、A1B，当△A1AB为等腰三角形时，AE长是　 　 ．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝7，AE平分∠BAD，则DE的长为　 　 ．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为点E、F，联结EF，则线段EF的最小值为 　 　 ．
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若BE＝1，AE＝2，则AC＝　 　 ．
7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF，若AB，则AF的长为 　 　 ．
8．如图，已知AD是△ABC的中线，M是AD的中点，过A点作AE∥BC，CM的延长线AE相交于点E，与AB相交于点F．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）如果∠BAD＝∠CAD，求证：四边形AEBD是矩形．
9．如图，矩形（长方形）ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AC，BC，AD于点O，E，F．
（1）求证：AF＝CE；
（2）若BE＝3，AF＝5，求AB的长．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD、AE为腰作等腰△ADE，且∠ADE＝∠ABC，连接CE，过E作EF∥BC交CA延长线于F，连接BF．
（1）求证：∠ECA＝∠ABC；
（2）如果AF＝AB，求证：四边形FBDE是矩形．
11．某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形ABCD），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样．
（1）若大玻璃的长AD为2米，则乙玻璃的边AE＝　 　 米，AF＝　 　 米；
（2）若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，则按方案一和方案二切割的玻璃片数量分别为多少？
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