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第5讲正方形性质及判定
(知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义
定义：既是矩形又是菱形的四边形
性质：具有矩形和菱形的所有性质
易混淆点正方形具有矩形和菱形的所有性质
知识拓展
正方形中角含半角模型
（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD.

图示（1） 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°

（2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，
则：EF=DF-BE.

图示（2） 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°
（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，
∠BAD+∠C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF= ∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF.

图示（3） 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小

【专题说明】
半角模型应用比较广泛：理解半角模型的定义，掌握正方形背景中半角模型的模型的应用，掌握等腰直角三角形背景中半角模型的应用尤为重要。
【知识总结】
过等腰三角形顶点作两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。


常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。


一、半角模型特征
1、共端点的等线段； 2、共顶点的倍半角；
二、半角模型辅助线的作法
1、旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角；
2、旋转的条件：具有公共端点的等线段；
3、旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。
一．正方形性质（共11小题）
1．下列说法正确的是（　　）
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
【分析】根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的性质和轴对称图形的性质即可求解．
【解答】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意；
B．矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意；
C．正方形的每一条对角线平分一组对角，故C选项符合题意；
D．平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形和轴对称图形的性质，解题的关键是逐个判断四个选项即可得出正确答案．
2．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，如图，在正方形ABCD的BC边上取中点E，以点E为圆心，线段DE长为半径作圆，交BC的延长线于点F，过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，得到长方形CDGF．若AB＝2，则CF的长是（　　）
A． B． C． D．
【分析】依据题意，根据正方形的性质可得AB＝BC＝CD＝2，∠BCD＝90°，根据线段中点的定义求出CE＝1，根据勾股定理求出，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，
∴AB＝BC＝CD＝2．∠BCD＝90°，
∵E是BC中点，
∴，
在直角三角形CDE中，由勾股定理得：，
由题意知，
∴，
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，矩形的性质，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．
3．如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC、BD相交于点O，点E在CA的延长线上，OE＝5，联结DE，若F为DE的中点，则线段AF的长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先有正方形的性质和勾股定理得到OA＝3，推出AE＝2，延长DA到G，使AG＝AD，连接EG，过点E作AG的垂线，垂足为H，再证明AF为△DGE的中位线，接着证明Rt△EAH是等腰直角三角形，进而由勾股定理得到，则，由勾股定理得EG，最后由得到答案．
【解答】解：延长DA到G，使AG＝AD，连接EG，过点E作AG的垂线，垂足为H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC＝OD＝OB，∠DOC＝90°．
∴在Rt△DOC中，OD2+OC2＝DC2．
∵，
∴OA＝OC＝OD＝OB＝3．
∵OE＝5，
∴AE＝OE﹣OA＝5﹣3＝2．
∵F为DE的中点，A为GD的中点，
∴AF为△DGE的中位线．
∴．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAH＝∠DAC＝45°．
∴△EAH是等腰直角三角形．
∴AH＝EH，AH2+EH2＝AE2．
∵AE＝2，
∴．
∴．
在Rt△EHG中，由勾股定理得，
∴．
∴．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
4．如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且G是AB的中点，连接AE，若AB＝4，则AE的长为（　　）
A． B． C．5 D．2
【分析】过点E作EM⊥AD交BC于点N，交AD于点M，则MN＝4，再证明△BCG≌△NEC，得出NE＝BC＝4，再利用勾股定理即可解答．
【解答】解：过点E作EM⊥AD交BC于点N，交AD于点M，则MN＝4，
∵G是AB的中点，
∴BGAB＝2，
∵四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，
∴CG＝CE，∠B＝90°＝∠CNE，∠GCE＝90°，
∴∠BCG+∠BCE＝∠BCE+∠CEN，
∴∠GCB＝∠CEN，
∴△BCG≌△NEC（AAS），
∴NE＝BC＝4，CN＝BGAB＝2，
∴ME＝8，AM＝BN＝2，
∴AE2．
故选：D．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
5．如图，正方形ABCD中，点E是DC边上一点，DE＝2a，EC＝a，△ADE经过某一种图形的运动得到△ABF，点E落在直线BC上的点F处，则CF的长度是 a或5a ．（用含a的代数式表示）
【分析】根据题意分两种情况进行讨论即可．
【解答】解：∵△ADE经过某一种图形的运动得到△ABF，点E落在直线BC上的点F处，
∴有两种情况，
当△ADE经过翻折得到△ABF时，如图，
此时，CF＝CE＝a，
当△ADE经过翻折得到△ABF时，如图，
此时，CF＝BC+BF，BF＝DE＝2a，
E＝2a，EC＝a，
∴BC＝DC＝3a，
∴CF＝5a，
故答案为：a或5a．
【点评】本题考查旋转，翻折的性质，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题关键．
6．如图，点P是正方形ABCD边BC上一点，且，点Q是边DC的中点，那么的值为 　2　 ．
【分析】依题意得AD＝CD＝BC，∠C＝∠D＝90°，进而得CQ＝DQCD，在Rt△PCQ中，由勾股定理得QP，在Rt△ADQ中，由勾股定理得AQ，由此即可得出的值．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC，∠C＝∠D＝90°，
∴△PCQ和△ADQ都是直角三角形，
∵点P是正方形ABCD边BC上一点，且BP，PC，
∴BC＝BP+PC，
∴AD＝CD＝BC，
∵点Q是边DC的中点，
∴CQ＝DQCD，
在Rt△PCQ中，由勾股定理得：QP，
在Rt△ADQ中，由勾股定理得：AQ，
∴2，
∴的值为2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
7．如图，正方形CEFG的顶点G正方形ABCD的边CD上，AF与CD交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为 　3　 ．
【分析】证明△ADH∽△FGH，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD＝6，AD∥BC，
∵四边形CEFG是正方形，
∴CE＝GF＝CG＝2，GF∥BC，
∴DG＝CD﹣CG＝4，
∵AD∥BC，GF∥BC，
∴AD∥GF，
∴△ADH∽△FGH，
∴，
即，
解得DH＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解决本题的关键是得到△ADH∽△FGH．
8．中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处（即EA＝8里），出西门往前直走2里到B处（即DB＝2里），此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是 　8　 里．
【分析】先根据正方形的性质得出OB∥CE，再根据相似三角形的性质列方程求解．
【解答】解：设正方形是每一面城墙的长度为2x里，
∵正方形的中心为O，
∴OD＝CD＝OE＝CE＝x里，OB∥CE，
∴△ACE∽△ABO，
∴，
即：，
解得：x＝4，或x＝﹣4（不合题意，舍去），
∴2x＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了正方形的性质，掌握正方形的性质和相似三角形的性质是解题的关键．
9．如图，点E是边长为8的正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与点B、D重合），连接AE，以AE为边向左侧作正方形AEFG，点P为AD的中点连接PG、DG，DG与BA的延长线交于点H，在点E运动过程中，线段PG的最小值是 　2　 ．
【分析】先证明△GAD≌△EAB，求出∠PDG＝45°，进而得出点G在线段DH上，当PG⊥DH时，PG最短，此时△PDG为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可求出PG的长度，即可得出答案．
【解答】解：四边形ABCD、四边形AEFG均为正方形，
∴∠DAB＝∠GAE＝90°，AD＝AB，AG＝AE，∠ABD＝45°，
∴∠DAB﹣∠DAE＝∠GAE﹣∠DAE，即∠GAD＝∠EAB，
在△GAD和△EAB中，
，
∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴∠PDG＝∠ABD＝45°，
∴点G在线段DH上，
∴当PG⊥DH时，PG最短，
∵正方形ABCD的边长为8，点P为AD的中点，
∴DP＝4，
∵PG⊥DH，∠PDG＝45°，
∴△PDG为等腰直角三角形，
∴PGPD＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质是解决问题的关键．
10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为边BC的中点，点F在边DC上，FH垂直平分线段AE，垂足为点H，求DF的长．
【分析】连接AF，EF，根据正方形性质得AD＝CD＝BC＝2，EC＝1，设DF＝a，则CF＝2﹣a，根据线段垂直平分性质得，FA＝FE，然后由勾股定理构造关于a方程即可得出DF的长．
【解答】解：连接AF，EF，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，
∴AD＝CD＝BC＝2，∠C＝∠D＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴ECBC＝1，
设DF＝a，则CF＝CD﹣DF＝2﹣a，
∵FH垂直平分线段AE，
∴FA＝FE，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：FA2＝AD2+DF2，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：FE2＝EC2+CF2，
∴AD2+DF2＝EC2+CF2，
∴22+a2＝12+（2﹣a）2，
解得：a，
∴DF＝a．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握正方形的性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键．
11．如图，已知正方形ABCD中，AB＝2，AC为对角线，AE平分∠DAC，EF⊥AC，垂足为F．求FC的长．
【分析】利用正方形的性质求出AC2，再根据角平分线的性质可得EF＝ED，进而可证明AF＝AD＝2即可解答．
【解答】解：∵正方形ABCD中，AB＝2，AC为对角线，
∴AB＝BC＝AD＝2，
∴AC2，
∵AE平分∠DAC，EF⊥AC，ED⊥AD，
∴EF＝ED，
∵EA＝EA，
∴Rt△EAF≌Rt△EAD（HL），
∴AF＝AD＝2，
∴FC＝AC﹣AF＝22．
【点评】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，证明AF＝AD＝2，是解答本题的关键．
二．正方形判定（共11小题）
12．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是（　　）
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AB＝BC D．AC＝BD
【分析】由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形．
【解答】解：由∠A＝∠B＝∠C＝90°可判定四边形ABCD为矩形，
因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定四边形ABCD为正方形，
故选：C．
【点评】本题考查正方形的判定．正方形的判定方法有：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；
③先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
13．已知四边形ABCD中，∠A＝90°，AB∥CD，∠B＝∠D，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（　　）
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．BC＝CD D．AC＝BD
【分析】根据平行线的性质得到∠A＝∠C，根据平行四边形的判定，矩形的判定以及正方形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠A＝∠C，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴添加BC＝CD，
∴四边形ABCD是正方形，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
14．下列说法正确的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．有一个角是直角的四边形是矩形
【分析】利用平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理对各选项逐一判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，原说法错误，本选项不符合题意；
B、一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形不一定是菱形，原说法错误，本选项不符合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形，正确，本选项符合题意；
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原说法错误，本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理，解题的关键是了解平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理，难度一般．
15．已知矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列条件中能判定四边形ABCD是正方形的是（　　）
A．OA＝OC B．OA＝OB C．OA⊥OB D．AC＝BD
【分析】由矩形的性质得OA＝OC，可知由OA＝OC不能判定四边形ABCD是正方形，可判断A不符合题意；由矩形的性质得OA＝OCAC，OB＝ODBD，且AC＝BD，所以OA＝OB，可知由OA＝OB不能判定四边形ABCD是正方形，可判断B不符合题意；因为OA⊥OB，即AC⊥BD，所以矩形ABCD是正方形，可判断C符合题意；由矩形的性质得AC＝BD，可知由AC＝BD不能判定四边形ABCD是正方形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交于点O，
∴OA＝OC，
∴由OA＝OC不能判定四边形ABCD是正方形，
故A不符合题意；
∵矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴OA＝OCAC，OB＝ODBD，且AC＝BD，
∴OA＝OB，
∴由OA＝OB不能判定四边形ABCD是正方形，
故B不符合题意；
∵矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且OA⊥OB，即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，
故C符合题意；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴由AC＝BD不能判定四边形ABCD是正方形，
故D不符合题意，
故选：C．
【点评】此题重点考查矩形的性质、正方形的判定等知识，正确理解和应用矩形的性质及正方形的判定方法是解题的关键．
16．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O．添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的有（　　）个．
①添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形
②添加“∠BAD＝90°”，则四边形ABCD是矩形
③添加“OA＝OC”，则四边形ABCD是菱形
④添加“∠ABC＝∠BCD＝90°”，则四边形ABCD是正方形
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】先说明AC是BD的垂直平分线，可得BO＝DO，∠AOB＝∠BOC＝90°，再证明△ABO≌△CDO，可得判断①；当∠BAD＝90°时，无法证明四边形ABCD是矩形，说明②即可；然后证明四边形ABCD是平行四边形，再根据AC⊥BD，可得四边形ABCD是菱形，判断③；接下来结合已知说明AB∥CD，可得四边形ABCD是菱形，进而得出菱形ABCD是正方形，判断④即可．
【解答】解：在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O．
∴AC是BD的垂直平分线，
∴BO＝DO，∠AOB＝∠BOC＝90°．
当AB∥CD时，∠BAO＝∠DCO．
∵BO＝DO，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴△ABO≌△CDO，
∴AB＝CD＝AD＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．故①正确；
当∠BAD＝90°时，无法证明四边形ABCD是矩形，所以②不正确；
当AO＝CO时，
∵BO＝DO，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．所以③正确；
当∠ABC＝∠BCD＝90°时，∠ABC+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD，
由①得四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC＝90°，
∴菱形ABCD是正方形．所以④正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了特殊平行四边形的判定，线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，正确进行计算是解题关键．
17．对角线　相等且互相垂直平分　 的四边形是正方形．
【分析】判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
【解答】解：如果该四边形为平行四边形，那么其对角线互相平分；
如果该四边形为菱形，那么其对角线互相垂直且四边相等；
如果该四边形为矩形，那么其对角线互相相等；
所以对角线相等且互相垂直平分的四边形，
一定是一个四边相等的矩形，也就是正方形．
故答案为相等且互相垂直平分．
【点评】此题考查学生对正方形判定的理解和掌握，要求学生熟练掌握正方形的概念和性质．
18．欢欢到商店买一块手帕（四边形），为了检验这块手帕是否是方的（正方形），她的做法如下：第①步：分别以对角线为折叠线进行折叠，结果另两个顶点都能互相重合；第②步：以一组对边的中点所在的直线为折叠线进行折叠，四个顶点两两重合．结果欢欢认定这块手帕是方的．其中步骤①验证了手帕是　菱形　 （填“平行四边形”、“矩形”或“菱形”）．
【分析】根据菱形和正方形的定义及两者的关系即可得出答案．
【解答】解：菱形的四条边相等，两条对角线互相平分，每一条对角线平分一组对角；
正方形的四条边相等，四个角都是直角．正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
第①步：分别以对角线为折叠线进行折叠，结果另两个顶点都能互相重合，说明是平行四边形，且四条边相等，故是菱形．
故答案为：菱形．
【点评】本题考查了正方形和菱形的判定，注意掌握正方形和菱形的定义、判定方法是关键．
19．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G，连接EG．
（1）求证：四边形AEGF是菱形；
（2）如果∠B＝∠BAE＝30°，求证：四边形AEGF是正方形．
【分析】（1）先证△ABE≌△ADF，得到AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，根据FG∥AE，得到∠EAG＝∠FGA，从而得到FG＝AF＝AE，所以可得四边形AEGF是平行四边形，进而得到其为菱形；
（2）由全等三角形的性质及平行四边形的性质得出∠EAF＝90°，由正方形的判定可得出答案．
【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAC，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，
∴∠EAG＝∠FAG，
∵FG∥AE，
∴∠EAG＝∠FGA，
∴∠FAG＝∠FGA，
∴FG＝AF＝AE，
∵FG∥AE，
∴四边形AEGF是平行四边形，
又∵AF＝AE，
∴四边形AEGF是菱形；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝∠BAE＝30°，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF＝30°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B＝150°，
∴∠EAF＝∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF＝150°﹣30°﹣30°＝90°，
∵四边形AEGF是菱形，
∴四边形AEGF是正方形．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC 与它的邻补角的平分线，CE⊥AE于点E．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）联结ED交AC于点O，若∠AOE＝2∠B，求证：四边形ADCE是正方形．
【分析】（1）由AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，可得AD⊥BC，CE⊥AE于点，所以可得出四边形ADCE为矩形；
（2）证出AD＝CD，由正方形的判定可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，
∵AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠DAC+∠CAE＝90°，即∠DAE＝90°，
∵△ABC为等腰三角形，
∴AD为高，
∴∠ADC＝90°
又∵CE⊥AE，
∴∠ADC＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）证明：如图，
∵四边形ADCE为矩形，
∴AC＝DE，OE＝OD，OA＝OC，
∴OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠AOE＝∠COD＝2∠B，
∴2∠B+∠OCD+∠ODC＝180°，
∴4∠B＝180°，
∴∠B＝45°，
∴∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴AD＝CD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE是正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
21．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD，E是对角线BD上的一点，且AE＝CE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果AB＝BE，且∠ABE＝2∠DCE，求证：四边形ABCD是正方形．
【分析】（1）（1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE＝∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE＝∠CBD，易得∠CDB＝∠CBD，可得BC＝CD，易得AD＝BC，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD＝CD可得四边形ABCD是菱形；
（2）由全等三角形的性质得到∠DAE＝∠DCE，进而得到∠ABE＝2∠DAE，由菱形的性质得到AB＝AD，进而得到∠ABE＝∠ADE，由三角形的外角的性质结合已知条件得到∠BAE＝3∠DAE，可得∠BAD＝4∠DAE，根据三角形内角和定理求得4∠DAE＝90°，即∠BAD＝90°，即可得到四边形ABCD是正方形．
【解答】证明：（1）在△ADE与△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE＝∠CDE，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDE，
∴∠ABD＝∠ADE，
∴AB＝AD，
∵AD＝CD，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵△ADE≌△CDE，
∴∠DAE＝∠DCE，
∵∠ABE＝2∠DCE，
∴∠ABE＝2∠DAE，
由（1）知，四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴∠ABE＝∠ADE＝2∠DAE
∴∠AEB＝∠ADE+∠DAE＝3∠DAE，
∵AB＝BE，
∴∠BAE＝∠AEB＝3∠DAE，
∴∠BAD＝∠BAE+∠DAE＝4∠DAE，
∵∠ABE+∠ADE+∠BAD＝180°，
∴2∠DAE+2∠DAE+4∠DAE＝180°，
∴4∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，根据全等三角形判定证得△ADE≌△CDE是解题的关键．
22．已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA＝CB，延长BC至点E，使CE＝BC，联结DE．
（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；
（2）当∠ACB＝90°时，求证：四边形ACED是正方形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出BO＝DO，根据线段垂直平分线性质得出BC＝CD，求出BC＝CE＝CD即可；
（2）根据邻补角互补求出∠ACE＝90°，求出四边形ACED是平行四边形，再根据正方形的判定推出即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵AC⊥BD，
∴BC＝CD，
∵BC＝CE，
∴BC＝CE＝CD，
即BE＝2CD；
（2）
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BC＝CE，
∴AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC＝CE，∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是正方形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，正方形的判定等知识点，能灵活运用知识点进行推出是解此题的关键，注意：有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形是正方形．
三．正方形性质与判定综合（共10小题）
23．符号“ ”读作“推出”，表示这个符号左边的数学事实可以推出右边的数学事实．下面是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形．下列用符号“ ”表示的推出过程正确的是（　　）
A．① ② ③ B．① ③ ② C．② ③ ① D．③ ① ②
【分析】对于选项A，根据四边形对角线互相垂直平分且相等时，则该四边形是正方形，由此可对选项A进行判断；
对于选项B，根据四边形对角线互相垂直平分时，则该四边形是菱形，由此可对选项B进行判断；
对于选项C，根据正方形是特殊的菱形，菱形的对角线互相垂直即可对选项C进行判断；
对于选项D，根据菱形对角线相等时，则该菱形为正方形，由此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：对于选项A，
∵四边形的对角线互相垂直平分且相等时，则该四边形是正方形，
∴根据四边形的对角线互相垂直不能推出该四边形是正方形，
故选项A不正确，不符合题意；
对于选项B，
∵四边形的对角线互相垂直平分时，则该四边形是菱形
∴根据四边形对角线互相垂直不能推出该四边形是菱形，
故选项B不正确，不符合题意；
∵正方形是特殊的菱形，菱形的对角线互相垂直，
∴当四边形是正方形时可以推出该四边形是菱形，可以推出该四边形的对角线互相垂直，
故选项C正确，符合题意；
对于选项D，
∵对角线相等（或有一个角是直角）的菱形是正方形，
∴当四边形是菱形时不能推出该四边形是正方形，
故选项D不正确，不符合题意，
故选：C．
【点评】此题主要考查了正方形的判定与性质，菱形的判定，理解正方形是特殊的菱形，熟练掌握正方形的判定与性质，菱形的判定是解决问题的关键，
24．小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），∠DAB＝60°，则图2中对角线AC的长为（　　）
A．20cm B． C． D．
【分析】先利用正方形的性质得到AB＝AD＝10cm，在图2中，连接BD交AC于O，证明△ABD是等边三角形得BD＝10cm，再根据菱形的性质和勾股定理求得AO的长即可求．
【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，AC＝10cm，
∴AB＝ADAC＝10cm，
在图2中，连接BD交AC于O，
∵∠ABC＝60°，AB＝AD＝10cm，
∴△ABD是等边三角形，则BD＝10cm，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO5cm，AO＝CO，AC⊥BD，
∴AO5（cm），
∴AC＝2AO＝10（cm），
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解答的关键．
25．如图，正方形ABCD的边长为6，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，给出四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②若G为BD上任意一点，则AG＝EF；③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值6；④点G在运动过程中，线段EF的最小值为．其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【分析】先证明四边形GFCE是矩形，再证明GE＝GF，则四边形CEGF是正方形，即可判定①正确；连接GC，由四边形GFCE是矩形，得EF＝GC，再证明△ADG≌△CDG（SAS），得AG＝GC，则 AG＝EF，即可判定②正确；证明GE＝ED，GF＝CE，从而得GE+GF＝ED+CE＝CD＝4，即可判定③正确；根据EF＝GC，所以当CG最小时，EF最小，所以当CG⊥BD时，CG最小，利用S△BCDBD CGBC CD，求得CG＝2，即得线段EF的最小值为2，即可判定④错误．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，AD＝DC，∠CBG＝∠CDG＝∠ADG＝45°，
∵GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC＝∠GED＝∠GFC＝∠GFB＝90°，
∴四边形GFCE是矩形，∠EGD＝∠EDG＝45°，∠FGB＝∠CBG＝45°，
∴DGGE，BGGF，
∵G为BD的中点，
∴DG＝BG，
∴GE＝GF，
∴四边形GFCE是正方形，
故①正确；
连接GC，
∵四边形GFCE是矩形，
∴EF＝GC，
在△ADG与△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG＝GC，
∴AG＝EF，
故②正确；
∵∠EGD＝∠EDG＝45°，
∴GE＝ED，
∵四边形GFCE是矩形，
∴GF＝CE，
∴GE+GF＝ED+CE＝CD＝4，
即GE+GF的值为定值4，故③正确；
∵EF＝GC，
∴当CG最小时，EF最小，
∴当CG⊥BD时，CG最小，
在Rt△BCD中，BDCD＝4，
∵S△BCDBD CGBC CD，
∴4CG＝4×4，
∴CG＝2，
∴线段EF的最小值为2，
故④错误；
∴正确的有①②③，
故选：A．
【点评】此题考查了正方形的判定与性质，垂线段最短，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键．
26．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，过点B的直线l∥AC，D是BC边中点，延长AD交l于点E，点F在l上且恰好满足AB平分∠EAF，已知，则AF＝　　 ．
【分析】如图：过A作AG⊥l，则四边形AGBC是矩形，易证四边形AGBC是正方形，可得AG＝AC＝BC，∠BAC＝∠BAG，在证明△ACD≌△EBD（ASA）可得、，由勾股定理可得，再证明△AGF≌△ACD（ASA），最后根据全等三角形的性质即可解答．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，过点B的直线l∥AC，
∴∠FBC＝90°，
如图，AC＝BC，过A作AG⊥l于点G，则四边形AGBC是矩形，
∴四边形AGBC是正方形，
∴∠BAC＝∠BAG，AG＝AC＝BC，
∵∠ACB＝90°，过点B的直线l∥AC，
∴∠DBF＝∠C＝∠DBE＝90°，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（ASA），
∴，
∴，
在直角三角形ACD中，由勾股定理得：，
∵AB平分∠EAF，
∴∠EAB＝∠FAB，
∴∠CAB﹣∠EAB＝∠GAB﹣∠FAB，
∴∠CAD＝∠GAF，
在△AGF和△ACD中，
，
∴△AGF≌△ACD（ASA），
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正方形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键．
27．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作射线OM、ON分别交边BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，连结EF．给出下面四个结论：①△OEC≌△OFD；②CF＝OC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④∠OEF＝45°；⑤BE2+CE2＝OE2．上述结论中，所有正确的序号是　①③④　 ．
【分析】由正方形的性质得OC＝OAAC，OD＝OBBD，AC＝BD，AC⊥BD，则OC＝OD，∠COD＝90°，而∠EOF＝90°，可证明∠COE＝∠DOF，推导出∠OCE＝∠ODF＝45°，即可根据“ASA”证明△OEC≌△OFD，可判断①正确；由F为CD上的动点，O为AC上的定点，可知CF与OC不一定相等，可判断②错误；由S△OEC＝S△OFD，推导出S四边形CEOF＝S△CODS正方形ABCD，可判断③正确；由OE＝OF，∠EOF＝90°，得∠OEF＝∠OFE＝45°，可判断④正确；由CB＝CD，CE＝DF，证明BE＝CF，则BE2+CE2＝CF2+CE2＝EF2＝2OE2≠OE2，可判断⑤错误，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O，
∴CB＝CD，AC＝BD，OC＝OAAC，OD＝OBBD，AC⊥BD，∠BCD＝90°，
∴OC＝OD，S△COD＝S△DOA＝S△AOB＝S△BOCS正方形ABCD，∠COD＝90°，
∵点E、F分别在BC、CD上，且∠EOF＝90°，
∴∠COE＝∠DOF＝90°﹣∠CON，
∴∠OCE＝∠OCD∠BCD＝45°，∠ODF＝∠OCD＝45°，
∴∠OCE＝∠ODF，
在△OEC和△OFD中，
，
∴△OEC≌△OFD（ASA），
故①正确；
∴OE＝OF，CE＝DF，
∵F为CD上的动点，O为AC上的定点，
∴线段CF的长度不确定，而OC的长度确定，
∴CF与OC不一定相等，
故②错误；
∵S△OEC＝S△OFD，
∴S四边形CEOF＝S△OEC+S△OFC＝S△OFD+S△OFC＝S△CODS正方形ABCD，
故③正确；
∵OE＝OF，∠EOF＝90°，
∴∠OEF＝∠OFE＝45°，
故④正确；
∵CB＝CD，CE＝DF，
∴CB﹣CE＝CD﹣DF，
∴BE＝CF，
∴BE2+CE2＝CF2+CE2＝EF2，
∵EF2＝OE2+OF2＝2OE2，
∴BE2+CE2＝2OE2≠OE2，
故⑤错误，
故答案为：①③④．
【点评】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出OC＝OD，∠COE＝∠DOF，∠OCE＝∠ODF，进而证明△OEC≌△OFD是解题的关键．
28．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝17，CD＝7，作AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）先证△ABE≌△ADF（AAS），可得AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，进而即可得证；
（2）设DF＝x，则AE＝CF＝7+x，EC＝17﹣x，从而建立方程求解即可．
【解答】（1）证明：∵在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE+∠ADC＝180°，
∵∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ABE＝∠ADF，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠F＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，
∴∠BAE+∠DAE＝∠DAF+∠DAE，即∠EAF＝∠BAD＝90°，
∴∠AEC＝∠F＝∠EAF＝90°，
∴四边形AECF是矩形，
∵AE＝AF，
∴四边形AECF是正方形；
（2）解：设DF＝x，则AE＝CF＝7+x，
由（1）知△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF＝x，S△ABE＝S△ADF，
∴S四边形ABCD＝S正方形AECF，
∵BC＝17，
∴EC＝BC﹣BE＝17﹣x．
由（1）知四边形AECF是正方形，
∴AE＝EC，
∴7+x＝17﹣x，
解得x＝5，
∴CE＝17﹣5＝12，
∴S四边形ABCD＝S正方形AECF＝CE2＝144，
∴四边形ABCD的面积为144．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、正方形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
29．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
【分析】（1）根据正方形的性质证明△ABE≌△ADE（SAS），即可解决问题；
（2）①作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得到EN＝EM，然后证得∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF，根据正方形的判定即可证得矩形DEFG是正方形；
②证明△ADE≌△CDG（SAS），可得AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，证明CE⊥CG，连接EG，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9．
∵CG＝3，
∴CE＝6，
连接EG，
∴EG3，
∴DEEG＝3．
∴正方形DEFG的边长为3．
【点评】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是正确作出辅助线，证得△DEN≌△FEM．
30．半角模型探究
如图，正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝AE+CF；
（2）当AE＝1时，求CF的长．
（3）探究延伸：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，BC+CD＝8．E、F分别是边BC、CD上的点，且．求△CEF的周长．
【分析】（1）由旋转可得DE＝DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF＝90°，由∠EDF＝45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF＝∠MDF，再由DF＝DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF＝CF+AE；
（2）由（1）的全等得到AE＝CM＝1，正方形的边长为3，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF＝MF＝x，可得出BF＝BM﹣FM＝BM﹣EF，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．
（3）拓展延伸：如图，在正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，同（2）可得结论EF＝AE+CF仍然成立，再结合BC+CD＝8，即可作答．
【解答】（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
∴EF＝CF+AE；
（2）解：设EF＝MF＝x，
∵正方形ABCD的边长为3，
∴BC＝3，
∵将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM，AE＝1，
∴CM＝1，
∴BM＝BC+CM＝3+1＝4，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝4﹣x，
∴EB＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得，EB2+BF2＝EF2，
∴22+（4﹣x）2＝x2，
解得，
则EF＝MF＝x．
∴；
（3）解：如图②，将△ADF绕点A顺时针旋转角度为∠BAD的度数，得到△ABH，
由旋转可得AH＝AF，BH＝DF，∠DAF＝∠BAH，∠D＝∠ABH，
∵，
∴，
∴∠HAE＝∠EAF，
∵∠ABH+∠ABE＝∠D+∠ABE＝180°，
∴点H、B、E三点共线，
在△AEH和△AEF中，
，
∴△AEH≌△AEF（SAS），
∴EF＝HE，
∵HE＝BH+BE，
∴EF＝DF+BE；
∵BC+CD＝8，
∴BE+EC+CF+DF＝8，（BE+DF）+EC+CF＝8，
则（BE+HB）+EC+CF＝8，
∴EH+EC+CF＝8，
∴EF+EC+CF＝8，
则△CEF的周长为8．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
31．如图，四边形ABCD与BEFG都是正方形，AG、CE相交于点O，AG、BC相交于点M，BG、CE相交于点N．
（1）求证：AG＝CE；
（2）求证：AG⊥CE．
【分析】（1）由正方形的性质得出AB＝CB，∠ABC＝∠GBE＝90°，BG＝BE，得出∠ABG＝∠CBE，由SAS证明△ABG≌△CBE，得出对应边相等即可；
（2）由△ABG≌△CBE，得出对应角相等∠BAG＝∠BCE，由∠BAG+∠AMB＝90°，对顶角∠AMB＝∠CMO，得出∠BCE+∠CMO＝90°，证出∠COM＝90°即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝∠GBE＝90°，BG＝BE，
∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，
∴∠ABG＝∠CBE，
在△ABG和△CBE中，
，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG＝CE；
（2）∵△ABG≌△CBE，
∴∠BAG＝∠BCE，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAG+∠AMB＝90°，
∵∠AMB＝∠CMO，
∴∠BCE+∠CMO＝90°，
∴∠COM＝90°，
∴AG⊥CE．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
32．（一）感知：如图①，在正方形ABCD中，E为边A，B上一点（点E不与点A，B重合），连接DE，过点A作AF⊥DE，交BC于点F，易证：DE＝ AF ．（填写相等的线段）
（二）探究：如图②，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，CD上的点（E，F不与正方形的顶点重合），连接EF，作EF的垂线分别交边AD，BC于点G，H，垂足为O．若E为AB的中点，DF＝1，AB＝4，求GH的长．
（三）应用：如图③，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，BF，AE相交于点G．若AB＝3，图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△ABG的面积为 　　 ，△ABG的周长为 　　 ．
【分析】（一）设DE与AF交于点K，先证明∠ADE＝∠BAF，进而依据“ASA”判定△ADE和△BAF全等得DE＝AF，据此即可得出答案；
（二）过点D作DP∥EF交AB于点P，过点A作AQ∥GH交BC于点Q，根据EF⊥GH得DP⊥GH，同（一）可证明△ADP和△BAQ全等得DP＝AQ，再证明四边形中DFEP，四边形中DFEP都是平行四边形得EF＝DP，PE＝DF，GH＝AQ，进而得GH＝EF，再根据已知得AEAB＝2，PE＝DF＝1，则AP＝1，然后在Rt△ADP中，由勾股定理求出DP即可得出GH的长；
（三）设图中阴影部分的面积为S，依题意得S：9＝2：3，则S＝6，进而得S△ABG+S四边形GEDF＝3，证明△ABE和△BCF全等得∠BAE＝∠CBF，S△ABE＝S△BCF，由此得S△ABG，再证明∠AGB＝90°，设BG＝a，AG＝b，由S△ABGab得ab＝6，由勾股定理得a2+b2＝9，进而得（a+b）2＝15，则a+b，据此可得△ABG的周长．
【解答】解：（一）设DE与AF交于点K，如图①所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BA，∠DEA＝∠ABF＝90°，
∵AF⊥DE，
∴△ADK是直角三角形，
∴∠ADE+∠DAK＝90°，
又∵∠BAF+∠DAK＝∠DEA＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（ASA），
∴DE＝AF，
故答案为：AF；
（二）过点D作DP∥EF交AB于点P，过点A作AQ∥GH交BC于点Q，如图②所示：
∵EF⊥GH，
∴DP⊥GH，
同（一）可证明：△ADP≌△BAQ（SAS），
∴DP＝AQ，
∵四边形ABCD是正方形，且AB＝4，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝AB＝4，
又∵DP∥EF，AQ∥GH，
∴四边形中DFEP，四边形中DFEP都是平行四边形，
∴EF＝DP，PE＝DF，GH＝AQ，
∴GH＝EF，
∵点E为AB的中点，DF＝1，
∴AEAB＝2，PE＝DF＝1，
∴AP＝AE﹣PE＝1，
在Rt△ADP中，由勾股定理得：DP，
∴GH＝EF；
（三）∵四边形ABCD是正方形，且AB＝3，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，正方形ABCD的面积为9，
设图中阴影部分的面积为S，
∵图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴S：9＝2：3，
∴S＝6，
∴S△ABG+S四边形GEDF＝9﹣6＝3，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，S△ABE＝S△BCF，
∴∠ABG+∠CBF＝∠ABE＝90°，S△ABE﹣S△BGE＝S△BCF﹣S△BGE，
∴ABG+∠BAE＝90°，S△ABG＝S四边形GEDF，
∴S△ABG，
在△ABG中，∠AGB＝180°﹣（ABG+∠BAE）＝90°，
即△ABG是直角三角形，
设BG＝a，AG＝b，其中a＞0，b＞0，
∴S△ABGab，
∴ab＝6，
由勾股定理得：a2+b2＝AB2＝9，
∴（a+b）2＝9﹣2ab＝15，
∴a+b，a+b0，不合题意，舍去，
∴△ABG的周长为：BG+AG+AB＝a+b+3．
故答案为：；．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．
1．如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF，②AG＝AD，③∠CHG＝∠DAG，④HGAD，其中错误的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】①由正方形性质得AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠DCB＝∠ADC＝90°，AB∥CD，进而得AE＝BE＝BF＝CF＝CH＝DH，由此可依据“SAS”判定△BCE和△CDF全等，则∠BCE＝∠CDF，进而可证明∠CGD＝90°，据此可对结论结论①进行判断；
②连接AH，证明四边形AECH是平行四边形得AH∥CE，进而得AH⊥DF，再根据直角三角形斜边中线性质得HG＝HD＝HCCD，则∠AHG＝∠AHD，由此可依据“SAS”判定△AHG和△AHD全等，再根据全等三角形的判定即可对结论②进行判断；
③根据△AHG和△AHD全等得∠DAG＝2∠DAH，证明∠DAH＝∠HDG得∠DAG＝2∠DAH＝2∠HDG，再根据三角形外角性质及HG＝HD得∠CHG＝2∠HGD，由此可对结论③进行判断；
④由HG＝HD＝HCCD，AD＝CD即可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠DCB＝∠ADC＝90°，AB∥CD，
∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，
∴AE＝BE＝BF＝CF＝CH＝DH，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠BCE＝∠CDF，
∵∠BCE+∠DCG＝∠BCD＝90°，
∴∠CDF+∠DCG＝90°，
在△CDG中，∠CGD＝180°﹣（∠CDF+∠DCG）＝90°，
即CE⊥DF，
故结论①正确；
②连接AH，如图所示：
∵AB∥CD，AE＝CH，
∴四边形AECH是平行四边形，
∴AH∥CE，
∵CE⊥DF，
∴AH⊥DF，
∴∠CGD＝90°，点H是CD的中点，
∴GH是Rt△CDG的斜边CD上的中线，
∴HG＝HD＝HCCD，
又∵AH⊥DF，
∴∠AHG＝∠AHD，
在△AHG和△AHD中，
，
∴△AHG≌△AHD（SAS），
∴AG＝AD，
故结论②正确；
③∵△AHG≌△AHD，
∴∠GAH＝∠DAH，
∴∠DAG＝2∠DAH，
∵AH⊥DF，∠ADC＝90°，
∴∠DAH+∠ADG＝90°，∠ADG+∠HDG＝90°，
∴∠DAH＝∠HDG，
∴∠DAG＝2∠DAH＝2∠HDG，
∵∠CHG是△HDG的外角，
∴∠CHG＝∠HDG+∠HGD，
∵HG＝HD，
∴∠HDG＝∠HGD，
∴∠CHG＝2∠HGD，
∴∠CHG＝∠DAG，
故结论③正确；
④∵HG＝HD＝HCCD，AD＝CD，
∴HGAD，
故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①②③④，错误的结论有0个．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
2．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为S1＝18，S2＝12，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（　　）
A．6 B．16 C． D．
【分析】先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论．
【解答】解：∵三个小正方形的面积分别为18、12、2，
∴三个小正方形的边长分别为、、．
由题图知：大正方形的边长为：．
∴
．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的应用，用小正方形的边长表示出大正方形的边长是解决本题的关键．
3．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝2EC．其中有正确结论的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】可以证明△ANP≌△FPE，即可证得①④是正确的，根据三角形的内角和定理即可判断②正确；根据P的任意性可以判断③⑤的正确性．
【解答】解：延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．
∵四边形ABCD是正方形．
∴∠ABP＝∠CBD
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴四边形BNPE是正方形，∠ANP＝∠EPF，
∴NP＝EP，
∴AN＝PF
在△ANP与△FPE中，
∵，
∴△ANP≌△FPE（SAS），
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP（故①④正确）；
△APN与△FPM中，∠APN＝∠FPM，∠NAP＝∠PFM
∴∠PMF＝∠ANP＝90°
∴AP⊥EF，（故②正确）；
∵四边形PECF为矩形，
∴PF∥BC，PF＝BC，
∴∠DPF＝45°，
∴PDPFCE，
故⑤不正确；
∵AP＝EF，AD＝BC＝PE+CE，PDCE，
∴只有PE＝CE或PE＝（1）CE时，△APD才是等腰三角形，
故③不正确；
故正确的是：①②④．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，正确证明△ANP≌△FPE，以及理解P的任意性是解决本题的关键．
4．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E为AD中点，点G、F分别在边DC、AB上．联结BE、FG，且线段BE、FG的夹角为45°．若DG＝1，则FB的长为 　　 ．
【分析】连接EG，BG，过点F作FH⊥BE于点H，证明△FQH是等腰直角三角形，得FH＝QH，利用勾股定理逆定理证明△BEG是直角三角形，得∠BEG＝90°，所以△EQG是等腰直角三角形，然后证明△BFH∽△BEA，得，代入值即可解决问题．
【解答】解：如图，连接EG，BG，过点F作FH⊥BE于点H，
∵线段BE、FG的夹角为45°，
∴∠FQH＝45°，
∴△FQH是等腰直角三角形，
∴FH＝QH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，AD＝CD＝BC＝AB＝4，
∵DG＝1，
∴CG＝3，
∴BG2＝BC2+CG2＝42+32＝25，
∵E为AD中点，
∴AE＝DE＝2，
∴BE2＝AB2+AE2＝42+22＝20，GE2＝DG2+DE2＝12+22＝5，
∴BE2+GE2＝BG2，
∴△BEG是直角三角形，
∴∠BEG＝90°，
∵∠EQG＝45°，
∴△EQG是等腰直角三角形，
∴EQ＝EG，
∵BE＝2，
∴BQ＝BE﹣EQ，
∴BH＝BQ﹣QHFH，
∵∠FBH＝∠EBA，∠FHB＝∠EAB＝90°，
∴△BFH∽△BEA，
∴，
∴，
∴FH，BF，
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解决本题的关键是证明△BEG是直角三角形．
5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，B、C、E三点共线，点G在CD上，BC＝3，CE＝1，那么AF的长是 　　 ．
【分析】延长FG交AB于点H，依题意得BE＝BC+CE＝4，证明四边形BEFG是矩形得BH＝EF＝1，FH＝BE＝4，AH＝2，然后在Rt△AHF中，由勾股定理即可求出AF的长．
【解答】解：延长FG交AB于点H，如图所示：
∵BC＝3，CE＝1，B、C、E三点共线，
∴BE＝BC+CE＝4，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴AB＝BC＝3，∠B＝90°，CE＝CG＝3，∠E＝∠EFG＝90°，
∵∠B＝∠E＝∠EFG＝90°，
∴四边形BEFG是矩形，
∴BH＝EF＝1，FH＝BE＝4，∠BHF＝∠AHF＝90°，
∴AH＝AB﹣BH＝3﹣1＝2，
在Rt△AHF中，由勾股定理得：AF．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，理解方形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质，勾股定理及时解决问题的关键．
6．如图：已知△ABC是边长为2的等边三角形，正方形DEFG的顶点D、E分别在边AC、AB上，点F、G在边BC上，那么正方形的边长是　　 ．
【分析】假设正方形DEFG的边长为x，根据正方形的性质和等边三角形的性质表示出相关的线段，根据锐角三角函数求出，根据线段的和差列出方程求解即可．
【解答】解：∵四边形DEFG为正方形，
∴∠CGD＝∠DGF＝90°，DE∥BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，
∴∠C＝∠ADE＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
设正方形DEFG的边长为x，
∴AD＝DE＝x，
∴，
∴CD+AD＝AC，
即x＝2，
解得x＝46，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，正方形的性质，锐角三角函数，二次根式的化简，解题的关键是掌握以上性质．
7．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 　105°　 ．
【分析】利用“边角边”证明△ABC≌△DEA，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠DAE，然后求出∠1+∠3＝90°，再判断出∠2＝45°，然后计算即可得解．
【解答】解：6个边长相等的正方形的组合图形，如图，
在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠1＝∠DAE，
∵∠3+∠DAE＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
又∵∠2＝45°，
∴（∠1+∠3）+∠290°+45°＝105°，
故答案为：105°．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质．
8．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，D在CG上，BC＝1，CG＝3，H是AF的中点，则CH的长是 　　 ．
【分析】延长AD交EF于点M，连接AC，EC，根据正方形性质得AD＝CD＝BC＝1，∠ACD＝45°，CG＝GF＝3，∠GCF＝45°，进而得GD＝2，证明四边形GDMF是矩形得FM＝GD＝2，DM＝GF＝3，则AM＝4，由勾股定理求出AF，再证明∠ACF＝90°，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可得出CH的长．
【解答】解：延长AD交EF于点M，连接AC，EC，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，BC＝1，
∴AD＝CD＝BC＝1，∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，
∴∠GDM＝∠ADC＝90°，
∵四边形CEFG是正方形，CG＝3，
∴CG＝GF＝3，∠G＝∠GFE＝90°，∠GCF＝45°，
∴GD＝CG﹣CD＝2，
∵∠GDM＝∠G＝∠GFE＝90°，
∴四边形GDMF是矩形，
∴FM＝GD＝2，DM＝GF＝3，∠AMF＝90°，
在Rt△AMF中，AM＝AD+DM＝4，
由勾股定理得：AF，
∵∠ACF＝∠ACD+∠GCF＝90°，
∴△ACF是直角三角形，
∵H是AF的中点，
∴CH是Rt△ACF斜边AF上的中线，
∴CHAF．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理是解决问题的关键．
9．如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC，已知AB＝2．求CE的长．
【分析】如图所示，过点E作EF⊥AC于F，先由勾股定理求出，再由角平分线的性质得到BE＝EF，设BE＝EF＝x，利用等面积法得到，解方程即可得到答案．
【解答】解：如图所示，过点E作EF⊥AC于F，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2
∴，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，∠B＝90°，由角平分线的性质可得：
∴BE＝EF，
设BE＝EF＝x，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，角平分线的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
10．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝CD，∠BAC＝∠ACD，延长BC至点E，使CE＝BC，联结DE．
（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；
（2）当AC⊥BC，且CE＝2CO时，求证：四边形ACED是正方形．
【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得出BO＝DO，根据线段垂直平分线性质得出BC＝CD，求出BC＝CE＝CD即可；
（2）根据邻补角互补求出∠ACE＝90°，求出四边形ACED是平行四边形，再根据正方形的判定推出即可．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵AC⊥BD，
∴BC＝CD，
∵BC＝CE，
∴BC＝CE＝CD，
∴BE＝2CD；
（2）∵AC⊥BC，如图，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BC＝CE，
∴AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝2OA＝2CO，
∵CE＝2CO，
∴AC＝CE，∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是正方形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，正方形的判定等知识点，解此题的关键是掌握有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形是正方形．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，当△ABC再满足什么条件时，四边形CDBE是正方形（说明理由）．
【分析】（1）证出AC∥DE，得出四边形ADEC是平行四边形，即可得出结论；
（2）先根据第一问的结论结合D是中点，由CE和DB平行且相等得到平行四边形，然后根据对角线垂直，得到菱形，最后再根据菱形得到正方形的条件随便写一个即可．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即 CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：当∠A＝45°，△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形；理由如下：
∵∠ACB＝90°，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD．
又由（1）得CE＝AD，
∴BD＝CE．
∴四边形CDBE是平行四边形．
∵DE⊥BC，
∴平行四边形CDBE是菱形．
∴∠CDB＝90°时，菱形CDBE是正方形．
此时，△ABC是等腰直角三角形，则∠A＝45°．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定、熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
12．定义，我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型．常见的图形为正方形、正三角形、等腰直角三角形等，在解决“半角模型”的问题时，旋转是一种常用的方法．
已知，如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，
（1）在图1中，连接EF，为了证明结论“EF＝BE+DF”，小亮将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；
（2）如图2，当∠EAF绕点A旋转到图2位置时，试探究EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？
【分析】（1）利用旋转的性质，证明△AGE≌△AFE即可；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD重合，点E与点G对应到AD，证明△AEF≌△AGF即可求得EF＝DF﹣BE．
【解答】（1）证明：如图1中，
由旋转可得GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，∠ABG＝∠ADF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝∠ADF＝∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠ABG＝180°，
∴G，B，C三点在一条直线上，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，
在△AGE和△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GE＝EF，
∵GE＝GB+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF．
（2）解：结论：EF＝DF﹣BE，
理由：如图2中，把△ABE绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD重合，点E与点G对应，
∴△ABE≌△ADG，
∴BE＝DG，
同（1）可证得△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝GF，
∴EF＝DF﹣DG＝DF﹣BE．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法构造全等三角形．
13．如图，在正方形ABCD中，G是对角线CA的延长线上的点，以线段AG为边作正方形AEFG，连接BE，与边AD交于点P，连接DG，与BE交于点H．
（1）求证：BE＝DG；
（2）判断BE与DG的位置关系，并说明理由；
（3）若，AG＝2，求DG的长．
【分析】（1）根据正方形的性质，证明△BEA≌△DGA即可；
（2）利用两个锐角互余的三角形是直角三角形得出直角，然后即可得出垂直；
（3）过点G作GM⊥DA，交DA的延长线于点M，证明△AGM是等腰直角三角形，利用勾股定理求出相关线段的长度，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAD+∠EAD＝∠EAG+∠EAD，即∠BAE＝∠DAG．
在△BEA和△DGA中，，
∴△BEA≌△DGA（SAS），
∴BE＝DG；
（2）解：BE⊥DG．
理由：由（1）知∠BAD＝90°，△BEA≌△DGA，
∴∠ABE＝∠ADG．
∵∠DAB＝90°，
∴∠ABE+∠BPA＝90°，
∵∠BPA＝∠DPH，
∴∠ADG+∠DPH＝90°，
∴∠DHP＝90°，
∴BE⊥DG；
（3）解：过点G作GM⊥DA，交DA的延长线于点M．
由题意可得：∠DAC＝45°，
∴∠GAM＝∠DAC＝45°．
∵GM⊥DA，
∴∠AMG＝90°，
∴∠AGM＝180°﹣∠AMG﹣∠GAM＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴AM＝GM，
∴△AGM是等腰直角三角形．
∵AG2＝AM2+GM2＝22，
∴（负值已舍去）．
∵，
∴，
∴．
∴．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，利用两个锐角互余的三角形是直角三角形证明垂直，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
第1页（共1页）第5讲正方形性质及判定
(知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义
定义：既是矩形又是菱形的四边形
性质：具有矩形和菱形的所有性质
易混淆点正方形具有矩形和菱形的所有性质
知识拓展
正方形中角含半角模型
（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD.

图示（1） 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°

（2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，
则：EF=DF-BE.

图示（2） 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°
（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，
∠BAD+∠C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF= ∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF.

图示（3） 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小

【专题说明】
半角模型应用比较广泛：理解半角模型的定义，掌握正方形背景中半角模型的模型的应用，掌握等腰直角三角形背景中半角模型的应用尤为重要。
【知识总结】
过等腰三角形顶点作两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。


常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。


一、半角模型特征
1、共端点的等线段； 2、共顶点的倍半角；
二、半角模型辅助线的作法
1、旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角；
2、旋转的条件：具有公共端点的等线段；
3、旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。
一．正方形性质（共11小题）
1．下列说法正确的是（　　）
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
2．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，如图，在正方形ABCD的BC边上取中点E，以点E为圆心，线段DE长为半径作圆，交BC的延长线于点F，过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，得到长方形CDGF．若AB＝2，则CF的长是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC、BD相交于点O，点E在CA的延长线上，OE＝5，联结DE，若F为DE的中点，则线段AF的长为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且G是AB的中点，连接AE，若AB＝4，则AE的长为（　　）
A． B． C．5 D．2
5．如图，正方形ABCD中，点E是DC边上一点，DE＝2a，EC＝a，△ADE经过某一种图形的运动得到△ABF，点E落在直线BC上的点F处，则CF的长度是 　 　 ．（用含a的代数式表示）
6．如图，点P是正方形ABCD边BC上一点，且，点Q是边DC的中点，那么的值为 　 　 ．
7．如图，正方形CEFG的顶点G正方形ABCD的边CD上，AF与CD交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为 　 　 ．
8．中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处（即EA＝8里），出西门往前直走2里到B处（即DB＝2里），此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是 　 　 里．
9．如图，点E是边长为8的正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与点B、D重合），连接AE，以AE为边向左侧作正方形AEFG，点P为AD的中点连接PG、DG，DG与BA的延长线交于点H，在点E运动过程中，线段PG的最小值是 　 　 ．
10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为边BC的中点，点F在边DC上，FH垂直平分线段AE，垂足为点H，求DF的长．
11．如图，已知正方形ABCD中，AB＝2，AC为对角线，AE平分∠DAC，EF⊥AC，垂足为F．求FC的长．
二．正方形判定（共11小题）
12．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是（　　）
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AB＝BC D．AC＝BD
13．已知四边形ABCD中，∠A＝90°，AB∥CD，∠B＝∠D，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（　　）
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．BC＝CD D．AC＝BD
14．下列说法正确的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．有一个角是直角的四边形是矩形
15．已知矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列条件中能判定四边形ABCD是正方形的是（　　）
A．OA＝OC B．OA＝OB C．OA⊥OB D．AC＝BD
16．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O．添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的有（　　）个．
①添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形
②添加“∠BAD＝90°”，则四边形ABCD是矩形
③添加“OA＝OC”，则四边形ABCD是菱形
④添加“∠ABC＝∠BCD＝90°”，则四边形ABCD是正方形
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
17．对角线　 　 的四边形是正方形．
18．欢欢到商店买一块手帕（四边形），为了检验这块手帕是否是方的（正方形），她的做法如下：第①步：分别以对角线为折叠线进行折叠，结果另两个顶点都能互相重合；第②步：以一组对边的中点所在的直线为折叠线进行折叠，四个顶点两两重合．结果欢欢认定这块手帕是方的．其中步骤①验证了手帕是　 　 （填“平行四边形”、“矩形”或“菱形”）．
19．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G，连接EG．
（1）求证：四边形AEGF是菱形；
（2）如果∠B＝∠BAE＝30°，求证：四边形AEGF是正方形．
20．如图，在三角形ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC 与它的邻补角的平分线，CE⊥AE于点E．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）联结ED交AC于点O，若∠AOE＝2∠B，求证：四边形ADCE是正方形．
21．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD，E是对角线BD上的一点，且AE＝CE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果AB＝BE，且∠ABE＝2∠DCE，求证：四边形ABCD是正方形．
22．已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA＝CB，延长BC至点E，使CE＝BC，联结DE．
（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；
（2）当∠ACB＝90°时，求证：四边形ACED是正方形．
三．正方形性质与判定综合（共10小题）
23．符号“ ”读作“推出”，表示这个符号左边的数学事实可以推出右边的数学事实．下面是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形．下列用符号“ ”表示的推出过程正确的是（　　）
A．① ② ③ B．① ③ ② C．② ③ ① D．③ ① ②
24．小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），∠DAB＝60°，则图2中对角线AC的长为（　　）
A．20cm B． C． D．
25．如图，正方形ABCD的边长为6，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，给出四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②若G为BD上任意一点，则AG＝EF；③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值6；④点G在运动过程中，线段EF的最小值为．其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
26．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，过点B的直线l∥AC，D是BC边中点，延长AD交l于点E，点F在l上且恰好满足AB平分∠EAF，已知，则AF＝　 　 ．
27．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作射线OM、ON分别交边BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，连结EF．给出下面四个结论：①△OEC≌△OFD；②CF＝OC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④∠OEF＝45°；⑤BE2+CE2＝OE2．上述结论中，所有正确的序号是　 　 ．
28．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝17，CD＝7，作AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是正方形；
（2）求四边形ABCD的面积．
29．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
30．半角模型探究
如图，正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝AE+CF；
（2）当AE＝1时，求CF的长．
（3）探究延伸：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，BC+CD＝8．E、F分别是边BC、CD上的点，且．求△CEF的周长．
31．如图，四边形ABCD与BEFG都是正方形，AG、CE相交于点O，AG、BC相交于点M，BG、CE相交于点N．
（1）求证：AG＝CE；
（2）求证：AG⊥CE．
32．（一）感知：如图①，在正方形ABCD中，E为边A，B上一点（点E不与点A，B重合），连接DE，过点A作AF⊥DE，交BC于点F，易证：DE＝ 　 　 ．（填写相等的线段）
（二）探究：如图②，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，CD上的点（E，F不与正方形的顶点重合），连接EF，作EF的垂线分别交边AD，BC于点G，H，垂足为O．若E为AB的中点，DF＝1，AB＝4，求GH的长．
（三）应用：如图③，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，BF，AE相交于点G．若AB＝3，图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△ABG的面积为 　 　 ，△ABG的周长为 　 　 ．
1．如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF，②AG＝AD，③∠CHG＝∠DAG，④HGAD，其中错误的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为S1＝18，S2＝12，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（　　）
A．6 B．16 C． D．
3．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝2EC．其中有正确结论的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E为AD中点，点G、F分别在边DC、AB上．联结BE、FG，且线段BE、FG的夹角为45°．若DG＝1，则FB的长为 　 　 ．
5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，B、C、E三点共线，点G在CD上，BC＝3，CE＝1，那么AF的长是 　 　 ．
6．如图：已知△ABC是边长为2的等边三角形，正方形DEFG的顶点D、E分别在边AC、AB上，点F、G在边BC上，那么正方形的边长是　 　 ．
7．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 　 　 ．
8．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，D在CG上，BC＝1，CG＝3，H是AF的中点，则CH的长是 　 　 ．
9．如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC，已知AB＝2．求CE的长．
10．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝CD，∠BAC＝∠ACD，延长BC至点E，使CE＝BC，联结DE．
（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；
（2）当AC⊥BC，且CE＝2CO时，求证：四边形ACED是正方形．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，当△ABC再满足什么条件时，四边形CDBE是正方形（说明理由）．
12．定义，我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型．常见的图形为正方形、正三角形、等腰直角三角形等，在解决“半角模型”的问题时，旋转是一种常用的方法．
已知，如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，
（1）在图1中，连接EF，为了证明结论“EF＝BE+DF”，小亮将△ADF绕点A顺时针旋转90°后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；
（2）如图2，当∠EAF绕点A旋转到图2位置时，试探究EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？
13．如图，在正方形ABCD中，G是对角线CA的延长线上的点，以线段AG为边作正方形AEFG，连接BE，与边AD交于点P，连接DG，与BE交于点H．
（1）求证：BE＝DG；
（2）判断BE与DG的位置关系，并说明理由；
（3）若，AG＝2，求DG的长．
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