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三角形中位线与重心 精讲精练培优讲义
【新教材沪教版五四制】
知识点一：三角形的中位线
1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．
3.其他性质：（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形．
（3）三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行．
数量关系：可以证明线段的倍分关系．
（4）常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半．
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形．
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分．
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等．
知识点二：三角形的重心
1.定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.
2.性质：三角形重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.
考点1 三角形中位线
如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（　　）
A．1 B．2 C．1.5 D．2.5
【分析】先根据三角形中位线定理求出DE的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF的长即可得到答案．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，
∴，D是AB的中点，
∵∠AFB＝90°，
∴，
∴EF＝DE﹣DF＝1，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟知三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝12，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，EF＝10，则BD的长度是（　　）
A． B．20 C． D．16
【分析】取AB的中点H，连接EH交AC于点P，设AC交BD于点Q，由AC⊥BD，得∠AQB＝90°，由点E、F分别是边AD、BC的中点，根据三角形中位线定理得HE∥BD，且HEBD，HF∥AC，且HFAC＝6，则∠EHF＝∠APH＝∠AQB＝90°，而EF＝10，则HE8，则BD＝2HE＝16，于是得到问题的答案．
【解答】解：取AB的中点H，连接EH交AC于点P，设AC交BD于点Q，
∵AC⊥BD，
∴∠AQB＝90°，
∵点E、F分别是边AD、BC的中点，AC＝12，
∴HE∥BD，且HEBD，HF∥AC，且HFAC＝6，
∴∠EHF＝∠APH＝∠AQB＝90°，
∵EF＝10，
∴HE8，
∴BD＝2HE＝16，
故选：D．
【点评】此题重点考查三角形中位线定理、平行线的性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N在BC边上，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　）
A．2 B．2.5 C．2.4 D．1.2
【分析】当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积求出CM，再求出答案即可．
【解答】解：如图，连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE是CMN的中位线，
∴DECM，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得：AB5，
∵S△ABC，
∴CM，
∴DE1.2，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等知识点，注意：三角形的中位线等于第三边的一半．
如图是人字梯及其侧面示意图，AB，AC为支撑架，DE为拉杆，D，E分别是AB，AC的中点，若DE＝40cm，则B，C两点的距离为（　　）
A．50cm B．60cm C．70cm D．80cm
【分析】根据三角形中位线定理即可求得答案．
【解答】解：连接BC，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC，
∴BC＝2DE，
∵DE＝40cm，
∴BC＝80cm，
∴B，C两点的距离为80cm．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解决问题的关键．
如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，分别找出AC和BC的中点M、N，测得MN＝20m，那么A、B两点的距离是（　　）
A．10m B．20m C．30m D．40m
【分析】根据三角形中位线的性质即可得出答案．
【解答】解：在△ABC中，AC和BC的中点M、N，
∴MN为△ABC的中位线．
∴AB＝2MN，
∵MN＝20m，
∴AB＝40m．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形中位线的性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
如图，点D，E是△ABC的边AB，AC的中点，已知BC＝6，则DE＝　3　 ．
【分析】由题意知DE是△ABC的中位线，由中位线定理即可求解．
【解答】解：∵点D、E是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
由三角形中位线定理可知，，
故答案为：3．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，掌握此定理是关键．
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC＝10，AD＝12，那么DE＝ 　6.5　 ．
【分析】根据等腰三角形性质得BDBC＝5，在Rt△ABD中，由勾股定理得AB＝13，再根据直角三角形斜边AB中线的性质即可得出DE的长．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝10，
∴BDBC＝5，∠ADB＝90°，
∴△ABD是直角三角形，
在Rt△ABD中，AD＝12，
由勾股定理得：AB13，
∵点E为AB的中点，
∴DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，
∴DEAB＝6.5．
故答案为：6.5．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，理解等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，勾股定理是解决问题的关键．
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为 　　 ．
【分析】连接CD，设CD的中点为F，连接FN，FM，依题意得FN是△CDE的中位线，FM是△ACD的中位线，进而得FN∥CD，FNCE，FM＝∥AD，FMAD＝2，则△FMN是直角三角形，再由勾股定理即可得出MN的长．
【解答】解：连接CD，设CD的中点为F，连接FN，FM，如图所示：
在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，
∴AD⊥CE，
∵点M、N分别是AC、DE的中点，
∴FN是△CDE的中位线，FM是△ACD的中位线，
∴FN∥CD，FNCE，FM＝∥AD，FMAD＝2，
∴FM⊥FN，
∴△FMN是直角三角形，
在Rt△FMN中，由勾股定理得：MN，
∴MN的长度为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理，勾股定理是解决问题的关键，正确地添加辅助线下，构造三角形的中位线是解决问题的难点．
如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，点F是DE上一点，且AF⊥BF．若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为　3　 ．
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到DF的长，然后利用三角形的中位线求出DE长，再利用EF＝DE﹣DF解题即可．
【解答】解：∵AF⊥BF，点D是AB的中点，
∴DFAB＝5，
∵D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE8，
∴EF＝DE﹣DF＝8﹣5＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线性质是解题的关键．
如图，△ABC中，AB＝AC，以∠C为斜边作Rt△ADC．使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝29°，E、F分别是BC、AC的中点，则∠EDF＝　46.5°　 ．
【分析】根据三角形中位线的性质得出EF∥AB，进而根据平行线的性质可得∠EFC＝29°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，即可得∠CFD＝58°，进而根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理，即可求解．
【解答】解：∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF∥AB，
∵∠CAB＝29°，
∴∠EFC＝29°，
又∵∠ADC＝90°，
∴，
∵∠CAD ＝29°，
∴∠CFD＝58°，
∴∠EFD＝87°，
∵AB＝AC，
∴EF＝FD，
∴，
故答案为：46.5°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点，AE⊥BE，AB＝10，AC＝6，则DE的长为 　2　 ．
【分析】首先延长BE、AC交于点F，可证△ABE≌△AFE，根据全等三角形的性质可证AB＝AF＝10，BE＝FE，从而可得CF＝4，又根据点D是BC的中点，可证DE是△BFC的中位线，根据中位线的性质可得DE的长度．
【解答】解：如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，延长BE、AC交于点F，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠AEF＝90°，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（ASA），
∴AB＝AF＝10，BE＝FE，
∵AB＝10，AC＝6，
∴AF＝10，
∴CF＝AF﹣AC＝10﹣6＝4，
∵点D是BC的中点，
∴DE是△BFC的中位线，
∴．
故答案为：2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
如图，在四边形ABCD中，AB⊥AC，E是边BC上一点，连接AE，DE，DE交AC于点F，G为AE的中点，连接GF．若CF＝DF＝EF，AB＝6，BC＝10，则线段GF的最小值为　　 ．
【分析】证明GFAD，GF∥AD，若AD最小时，GF有最小值，即AD⊥CD时，AD最小，如图，证明四边形AECD是矩形，得出AE⊥BC，AD＝CE，由勾股定理求出CE，则可得出答案．
【解答】解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝6，BC＝10，
∴AC8，
∵CF＝DF＝EF，
∴∠BCD＝90°，
又∵G为AE的中点，
∴GF为△AED的中位线，
∴GFAD，GF∥AD，
若AD最小时，GF有最小值，即AD⊥CD时，AD最小，如图，
则AD∥EC∥GF，
∴AF＝FC，
∴四边形AECD为平行四边形，
∵∠BCD＝90°，
∴四边形AECD是矩形，
∴AE⊥BC，AD＝CE，
∴AE，
∴CE，
∴AD，
∴线段GF的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
如图，AD是△ABC的高，E，F是AB，AC的中点，若AB＝12，AC＝10，则四边形AEDF的周长为　22　 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质分别求出DE、DF，根据线段中点的概念分别求出AE、AF，进而求出四边形AEDF的周长．
【解答】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴△ADB和△ADC是直角三角形，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴，，
∴四边形AEDF的周长＝AE+DE+DF+AF＝6+5+6+5＝22，
故答案为：22．
【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，熟记直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
如图，DE为△ABC的中位线，且BF平分∠ABC交DE于点F．若AB＝6，BC＝10，则EF＝　2　 ．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得ED∥BC，，再根据角平分线的性质以及平行线的性质求出∠DBF＝∠DFB，根据等角对等边的性质可得BD＝FD，然后代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝10，
∴ED∥BC，，
∴∠DFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴BD＝FD，
∵AB＝6，ED是△ABC的中位线，
∴，
∴EF＝DE﹣DF＝DE﹣BD＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，角平分线的定义，平行线的性质，以及等角对等边的性质，熟记性质以及定理，求出BD＝FD是解题的关键．
如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为　　 ．
【分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA＝BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，
在△BNA和△BNE中，
．
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BA＝BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD＝AB+AC＝19﹣BC＝19﹣7＝12，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，
∴MNDE．
故答案为：．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在AC的延长线上，且CF＝DE．求证：DC∥EF．
【分析】由已知条件易证DE是△ACB的中位线，所以DE∥AC，又因为DE＝CF，所以四边形DCFE是平行四边形，进而可证明DC∥EF．
【解答】证明：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ACB的中位线，
∴DE∥AC，
又∵DE＝CF，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴DC∥EF．
【点评】本题考查了三角形中位线定理的运用以及平行四边形的判定，解题的关键是熟记平行四边形的各种判定方法．
如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，∠ACB的平分线交DE于点F，连接AF，若AC＝10，BC＝16，求DF的长．
【分析】根据三角形中位线定理得到DEBC，DE∥BC，根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠EFC＝∠ECF，根据等腰三角形的判定求出EF，计算即可．
【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，AE＝EC＝5，
∴DEBC16＝8，DE∥BC，
∴∠EFC＝∠FCB，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ECF＝∠FCB，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EF＝EC＝5，
∴DF＝DE﹣EF＝8﹣5＝3．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
已知，如图，在△ABD中，∠ADB＝90°，点C在BD上，点E在AB上，AE＝BE＝DC，点G是CE的中点．求证：
（1）DG⊥EC；
（2）∠B＝2∠GDC．
【分析】（1）连接DE，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到DEAB＝AE＝BE，得到DE＝DC，再根据等腰三角形的三线合一证明；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠EDC＝2∠GDC，∠EDC＝B，等量代换即可证明．
【解答】证明：（1）如图，连接DE，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AE＝BE，
则DEAB＝AE＝BE，
∵DC＝AE，
∴DE＝DC，
∵点G是CE的中点，
∴DG⊥EC；
（2）∵DE＝DC，点G是CE的中点，
∴∠EDC＝2∠GDC，
∵DE＝BE，
∴∠EDC＝B，
∴∠B＝2∠GDC．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，正确理解等腰三角形的三线合一是解题的关键．
已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E是边BC的中点，在图中作点D，使得ED∥AB，且∠CDB＝90°，分别联结AE，AD，过点A作AF⊥BC，垂足为点F．
（1）求证：AD平分∠BAE；
（2）求证：∠CAF＝2∠DAE．
【分析】（1）根据斜边上的中线，得到AE＝DE，等边对等角得到∠DAE＝∠ADE，平行线的性质，得到∠BAD＝∠ADE，进而得到∠BAD＝∠DAE，即可得证；
（2）根据等边对等角，得到∠C＝∠EAC，等角的余角相等，得到∠CAF＝∠BAE，即可得证．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，∠CDB＝90°，点E是边BC的中点，
∴AEBC，DEBC，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE，
∵ED∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠DAE，
∴AD平分∠BAE；
（2）∵∠BAC＝90°，点E是边BC的中点，
∴，
∴∠C＝∠EAC，
∵AF⊥BC，
∴∠C+∠CAF＝90°，
∴∠CAF＝∠BAE；
由（1）知：AD平分∠BAE，
∴∠CAF＝∠BAE＝2∠DAE．
【点评】本题考查斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键：
如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点．
（1）若BD＝CE，那么FG与GH有什么数量和位置关系？请说明理由；
（2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD＝8，CE＝6，求GM的长．
【分析】（1）根据中位线的性质得出FG∥DB，GH∥EC，，，根据BD＝CE得出FG＝GH，根据平行线的性质及直角三角形两锐角互余的性质得出∠FGH＝90°即可得答案；
（2）连接FM、HM，根据中位线的性质得出GF∥HM，根据平行线的性质，结合FG⊥GH得出∠GHM＝90°，根据中位线的性质求出GH＝3，HM＝4，利用勾股定理即可得答案．
【解答】解：（1）FG＝GH且FG⊥GH．理由如下：
∵F、G、H分别是DE、BE、BC的中点，
∴，，FG∥DB，GH∥EC，
∵DB＝EC，
∴FG＝GH．
∵GH∥EC，FG∥DB，
∴∠DBE＝∠FGE，∠EGH＝∠AEG，
∵∠A＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠FGH＝∠FGE+∠EGH＝∠ABE+∠AEB＝90°，
∴FG＝GH且FG⊥GH．
（2）如图所示：连接FM、HM，
∵M、H分别是BC和DC的中点，
∴MH∥BD，，
由（1）可知：GF∥BD，，
∴GF∥HM，
∵FG⊥GH，
∴∠GHM＝180°﹣90°＝90°，
∵G、H、M分别是BE、BC、DC的中点，
∴，，
∴．
【点评】本题考查了三角形中位线的性质、平行线的性质及勾股定理等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．
【三角形中位线定理】
已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．
求证：BD＝AC．
【分析】【三角形中位线定理】根据三角形中位线定理即可得到结论；
【应用】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝4，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，计算即可；
【拓展】取DC的中点H，连接MH、NH，则MH、NH分别是△ACD、△BCD的中位线，由中位线的性质定理可得MH∥AC且MHAC，NH∥BD且NHBD，根据等腰三角形的性质即可得结论．
【解答】解：【三角形中位线定理】DE∥BC，DEBC；
理由：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DEBC；
【应用】连接BD，如图所示，
∵E、F分别是边AB、AD的中点，
∴EF∥BD，BD＝2EF＝4，
∴∠ADB＝∠AFE＝45°，
∵BC＝5，CD＝3，
∴BD2+CD2＝25，BC2＝25，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°；
【拓展】证明：取DC的中点H，连接MH、NH．
∵M、H分别是AD、DC的中点，
∴MH是△ADC的中位线，
∴MH∥AC且MHAC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），
同理可得NH∥BD且NHBD．
∵EF＝EG，
∴∠EFG＝∠EGF，
∵MH∥AC，NH∥BD，
∴∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM，
∴∠HMN＝∠HNM，
∴MH＝NH，
∴AC＝BD．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．
考点2 三角形重心定理
如图，点G是△ABC的重心，AB≠AC，则下列结论正确的是（　　）
A．∠BAD＝∠CAD B．AD⊥BC C．AG＝DG D．BD＝CD
【分析】三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，由此即可求解．
【解答】解：∵点G是△ABC的重心，
∴BD＝CD，AG＝2DG，
故C不符合题意，D符合题意；
∵AB≠AC，
∴∠BAD≠∠CAD，AD和BC不垂直，
故A、B不符合题意
故选：D．
【点评】本题考查三角形的重心，关键是掌握三角形的重心的性质．
如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡．此时，薄板与支点接触的点就是三角形匀质薄板的（　　）
A．重心，即三边中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边上高所在直线的交点
D．内部任意一点
【分析】支点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答．
【解答】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三条中线的交点，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的重心的概念和性质，掌握数学知识在实际生活中的应用是解题的关键．
如何确定质地均匀的三角形薄板的重心（　　）
A．画出三角形三条角平分线的交点
B．画出三角形三条高线的交点
C．画出三角形三条垂直平分线的交点
D．画出三角形三条中线的交点
【分析】对于质地均匀的三角形薄板，其重心与几何重心一致，而三角形的几何重心是三条中线的交点．
【解答】解：∵三角形的重心是三条中线的交点，且均匀薄板的重心即为几何重心，
∴应画出三角形三条中线的交点．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形重心的定义，掌握其相关知识点是解题的关键．
如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的垂直平分线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
【分析】角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此可解．
【解答】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭应在△ABC三条角平分线的交点处．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别是解题的关键．
如图，将一块透明的三角形匀质薄板（记作△ABC）放入正方形网格中，其三个顶点都在网格线的交点上，在点D，E，F，G（都在网格线的交点上）中，该三角形薄板的重心是（　　）
A．点D B．点E C．点F D．点G
【分析】设AB边上的格点为M，AC边上的格点为N，连接AM，BN，设正方形网格中的小正方形的边长为1，根据正方形网格的特点得：M与BN的交点为点D，由勾股定理得BM＝CM，AN＝CN，然后根据三角形重心的定义即可得出答案．
【解答】解：设AB边上的格点为M，AC边上的格点为N，连接AM，BN，如图所示：
设正方形网格中的小正方形的边长为1，
根据正方形网格的特点得：AM与BN的交点为点D，
由勾股定理得：BM，CM，AN，CN，
∴BM＝CM，AN＝CN，
∴AM是BC边上的中线，BN是AC边上的中线，
根据三角形重心的定义得：△ABC的重心是点D．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形重心的定义，勾股定理，理解三角形重心的定义，根据正方形网格的特点，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
如图，在△ABC中，点E为AC边中点，AD⊥BC于D，CF平分∠ACB，则△ABC的重心一定在（　　）
A．线段AD上 B．线段BE上 C．线段CF上 D．线段ED上
【分析】根据三角形重心的定义以及AD⊥BC于D，CF平分∠ACB得△ABC的重心不一定在线段AD上，不一定在线段CF上，也不一定线段ED上，一定在线段BE上，据此即可得出答案．
【解答】解：对于选项A，
∵AD⊥BC于D，
∴AD是△ABC的高，
∴△ABC的重心不一定在 线段AD上，
故该选项不符合题意；
对于选项B，
∵点E为AC边中点，
∴BE是△ABC的中线，
∴△ABC的重心一定在线段BE上，
故该选项符合题意；
对于选项C，
∵CF平分∠ACB，
∴CF是△ABC的角平分线，
∴△ABC的重心不一定在线段CF上，
故该选项不符合题意；
对于选项D，
根据三角形重心的定义得：△ABC的重心不一定在线段ED上，
故该选项不符合题意，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的重心，理解三角形的重心是该三角形三边中线的交点是解决问题的关键．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是△ABC的重心，如果AB＝10，那么点C与点O的距离为　　 ．
【分析】连接CO，延长CO交AB于D，由三角形重心的性质得到D是AB的中点，OCCD，由直角三角形斜边中线的性质求出CDAB＝5，即可得到OC的长．
【解答】解：连接CO，延长CO交AB于D，
∵点O是△ABC的重心，
∴D是AB的中点，OCCD，
∵ACB＝90°，AB＝10，
∴CDAB＝5，
∴OCCD
∴点C与点O的距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查三角形的重心，关键是掌握三角形重心的性质．
在△ABC中，设∠B，∠C的角平分线相交于点O．若点O也是△ABC的重心（三角形三条中线的交点），则∠BOC＝　120　 °．
【分析】先根据角平分线的交点O是重心可知：△ABC是等边三角形，即可解答．
【解答】解：如图，延长BO交AC于D，截取DE＝BD，连接AE，
∵∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点O．若点O也是△ABC的重心（三角形三条中线的交点），
∴AD＝CD，∠ABD＝∠CBD，
∵∠ADE＝CDA，
∴△ADE≌△CDB（SAS），
∴∠E＝∠CBD，
∴∠E＝∠ABD，
∴AB＝AE，
∴AD⊥BE，
∴BD垂直平分AC，
∴AB＝BC，
同理得：AC＝BC，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝180﹣30°﹣30°＝120°；
故答案为：120．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，角平分线和重心，掌握角平分线的定义和等腰三角形的三线合一的性质是解本题的关键．
物体重心的位置对于物体保持平衡稳定的状态至关重要．若用一个支点顶住匀质薄板的重心，则薄板能保持平衡．如图，△ABC表示一块质地均匀的木板，图中所示的网格由边长相同的小正方形组成．若要使三角形木板ABC保持平衡，则可以用一根细针顶住的点为E ．
【分析】根据题意，找出表示三角形重心的点即可．
【解答】解：由题知，
因为要使三角形木板ABC保持平衡，
所以细针需要顶住的点为三角形ABC的重心．
如图所示，
则三角形ABC的重心为点E，
所以可以用一根细针顶住的点为E．
故答案为：E．
【点评】本题主要考查了三角形的重心，熟知三角形重心的定义是解题的关键．
31．上学的每一天同学们都要从自砺大道上走过，某天壮壮同学想如果我们将自砺大道抽象成一个几何图案会是什么样子呢？于是他就用匀质薄板制作成下面的图案，结合我们课本中学习过的找重心的知识，请计算出该薄板的重心到直线BF的距离是　8　 cm．
注：已知所有的拐角处的角都是直角，AB＝CD＝10cm，CE＝20cm，BF＝80cm．重心计算公式如下：．
【分析】根据三角形重心的计算公式进行计算即可．
【解答】解：由题知，
令上方长方形的面积为S1，下面长方形的面积为S2，
建立平面直角坐标系如图所示，
因为AB＝CD＝10cm，CE＝20cm，BF＝80cm，
所以S1＝700，S2＝300．
因为上方长方形的重心为（﹣5，45），下方长方形的重心为（﹣15，5），
则该薄板重心的横坐标为8，
所以该薄板的重心到直线BF的距离是8cm．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了三角形的重心，根据三角形重心的公式进行准确的计算是解题的关键．
如图，△ABC中，点F是△ABC的两条中线AD、BE的交点，若AD＝6，则DF＝　2　 ．
【分析】取AD的中点H，连接EH，先证明EH是△ACD的中位线，推出，从而得到△AHE∽△ACD，△HEF∽△DBF，那么，，不妨设FH＝a，那么DF＝2a，那么AD＝6a，，从而得出答案．
【解答】解：取AD的中点H，连接EH，如图所示：
∵点F是△ABC的两条中线AD、BE的交点，
∴BD＝CD，AE＝CE，
∴EH是△ACD的中位线，
∴，
∴△AHE∽△ACD，△HEF∽△DBF，
∴，，
不妨设FH＝a，那么DF＝2a，
∴DH＝3a，
∴AH＝DH＝3a，
∴AD＝AH+DH＝6a，
∴，
∵AD＝6，
∴DF＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了三角形中位线，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
如果直角三角形的斜边长为12，那么它的重心与斜边中点之间的距离为 　2　 ．
【分析】在△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝12，点G是△ABC的重心，连接AG，连接CG并延长交AB于点D，在CD的延长线取一点F，使DF＝DG，连接BG并延长交AC于点E，则GF＝2DG，进而得CD＝AD＝BDAB＝6，AE＝CE，证明四边形AGBF是平行四边形得AF∥BG，进而得GE是△ACF的中位线，由此得CG＝GF＝2DG，则CD＝3DG＝6，据此即可得出重心与斜边中点之间的距离．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝12，点G是△ABC的重心，
连接AG，连接CG并延长交AB于点D，在CD的延长线取一点F，使DF＝DG，连接BG并延长交AC于点E，如图所示：
∴GF＝DF+DG＝2DG，
∴CD，AE分别是△ABC的中线，
∴CD＝AD＝BDAB＝6，AE＝CE，
又∵DF＝DG，
∴四边形AGBF是平行四边形，
∴AF∥BG，
即AF∥GE，
∵AE＝CE，
∴GE是△ACF的中位线，
∴CG＝GF＝2DG，
∴CD＝CG+DG＝3DG＝6，
∴DG＝2，
即重心与斜边中点之间的距离为2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了三角形的重心，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，理解三角形重心的定义，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理是解决问题的关键．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，若GE＝3，则线段CB的长度为　9　 ．
【分析】延长AG交BC于D，如图，利用三角形重心的性质得到CD＝BD，AG＝2GD，再证明GE∥CD，则可判断△AEG∽△ACD，然后利用相似比可求出CD的长，进而得到线段CB的长度．
【解答】解：延长AG交BC于D，如图，
由重心性质可知：，AG＝2GD，
∵GE⊥AC，
∴∠AEG＝90°，
而∠C＝90°，
∴GE∥CD，
∴△AEG∽△ACD，
∴，
∴，
∴BC＝2CD＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握以上知识点是关键．
已知：如图，在△ABC中，∠A＝60°，设AB＝c，AC＝b，如果b2+c2﹣4（b+c）+8＝0．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）△ABC的中线BD，CE交于点O，用等式表示线段OD与OB之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）利用非负数的性质证明b＝c＝2，可得结论；
（2）结论：OB＝2OD．证明OB＝OC，OC＝2OD即可．
【解答】（1）证明：∵b2+c2﹣4（b+c）+8＝0，
∴（b2﹣4b+4）+（c2﹣4c+4）＝0，
∴（b﹣2）2+（c﹣2）2＝0，
∵（b﹣2）2≥0，（c﹣2）2≥0，
∴b＝2，c＝2，
∴AB＝AC＝2，
∵∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）结论：OB＝2OD．
理由：∵△ABC是等边三角形，CE，BD是中线，
∴BD⊥AC，∠ABD＝∠DBC＝∠ACE＝∠ECB＝30°，
∴OB＝OC，
∵∠ODC＝90°，∠DCO＝30°，
∴OC＝2OD，
∴OB＝2OD．
【点评】本题考查三角形的重心，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
如图，△ABC的周长为18cm，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，CO的延长线交AB于点F，且BD＝3cm，AE＝2cm，求AF的长．
【分析】由AD，BE分别是BC，AC边上的中线，得到BC＝6cm，AC＝4cm，进而由周长为18cm得到AB＝8cm，根据三角形的三条中线相交于一点，得到CF是AB的中线，即可求出AF的长．
【解答】解：∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴BC＝2BD＝6cm，AC＝2AE＝4cm，
∵△ABC的周长为18cm，
∴AB+AC+BC＝18cm，
∴AB＝18﹣6﹣4＝8cm，
∵三角形的三条中线相交于一点，
∴CF是AB的中线，
∴，
∴AF的长为4cm．
【点评】本题考查了三角形的中线的定义和性质，三角形的周长，掌握三角形的三条中线相交于一点是解题的关键．
如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，BE，CD相交于点O，点F，G分别是线段OB，OC的中点．求证：DG，EF互相平分．
【分析】根据三角形中位线定理求证DE∥FG，且DE＝FG即可证明四边形DFGE是平行四边形，再推出DG，EF互相平分，即得证．
【解答】证明：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，点F，G分别是线段OB，OC的中点．
∴DE是△ABC的中位线，FG是△OBC的中位线，
∴DE∥BC，且DEBC，FG∥BC，且FGBC，
∴DE∥FG，且DE＝FG，
∴四边形DFGE是平行四边形，
∴DG，EF互相平分．
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线定理和平行四边形的判定与性质定理是求证的关键．
考点3 综合创新题
综合与实践：对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如长方形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心．以下是具体公式和步骤，请你根据以下素材，完成任务．
素材1 在使用分割法前，需先掌握以下基本图形的重心位置
图形 重心 说明
长方形 几何中心 对角线的交点
三角形 三条中线交点，坐标为 顶点坐标为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）
圆 几何中心 圆心
素材2 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤：1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等．2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积．3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标．4．代入公式计算：把步骤2和3的相应结果分别代入重心坐标公式，计算出组合图形重心坐标，其中．
素材3 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为， 其中．
任务1 求阴影部分图形的重心坐标． 任务2 求阴影部分图形的重心坐标．
【分析】任务一：将图形分为：矩形OABC和矩形CDEF，根据素材二计算即可；
任务二：将图形分为：直角三角形AOB、矩形ABCD和直角三角形CEF，根据素材二计算即可．
【解答】解：任务一：如图：
矩形OABC的重心G（2，3），面积s1＝6×4＝24，矩形CDEF的重心H（5，2），面积s2＝8，
∴，，
∴重心坐标为；
任务二：如图：
①直角三角形AOB，，，重心，面积，
②矩形ABCD重心H（3，3），面积s2＝6×2＝12，
③直角三角形，重心，面积s3＝4，
∴，，
重心坐标为．
【点评】本题考查重心的有关性质及重心的应用，熟练掌握重心的有关性质及重心的应用是解题的关键．
综合与实践
【探究课题】三角形重心性质的探究．
【课本重现】三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．如图，取一块质地均匀的三角形纸板ABC，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于平衡状态．
【提出问题】探究的值是多少？
老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题．
【解决问题】
任务1：若△AOC的面积为6，求△BOC的面积．
任务2：求的值．
【分析】任务1：根据点O为△ABC重心得AE＝BE，BD＝CD，AF＝CF，由此得S△ACE＝S△BCE，S△OAE＝S△OBE，由此得S△ACE﹣S△OAE＝S△BCE﹣S△OBE，即S△BOC＝S△AOC＝6；
任务2：根据BD＝CD得S△OCD＝S△OBD，则S△BOC＝2S△OCD，由任务1可知S△AOC＝S△BOC＝2S△OCD，再根据即可得出答案．
【解答】解：任务1：∵点O为△ABC的重心，
∴AD，CE，BF是△ABC的中点，
∴AE＝BE，BD＝CD，AF＝CF，
∵△ACE的边AE上的高与△BCE的边BE上的高相同，
∴S△ACE＝S△BCE，
同理得：S△OAE＝S△OBE，
∴S△ACE﹣S△OAE＝S△BCE﹣S△OBE，
∴S△BOC＝S△AOC＝6；
任务2：∵△OCD的边CD上的高与△OBD的边BD上的高相同，且BD＝CD，
∴S△OCD＝S△OBD，
∴S△BOC＝2S△OCD，
由任务1可知：S△AOC＝S△BOC，
∴S△AOC＝2S△OCD，
∴△AOC的边AO上的高与△OCD的边DO上的高相同，
∴，
∴．
【点评】此题主要考查了三角形的重心，三角形的面积，解决问题的关键是理解三角形重心的定义，等底（或同底）同高（或等高）的两个三角形的面积相等，同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比．
在图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
（1）①如图1．当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝　2　 ，b＝　2　 ．
②如图2．当∠ABE＝30°，c＝8时，a＝　4　 ，b＝　4　 ．
（2）观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明．
【分析】（1）先判断△ABP是等腰直角三角形，再得到△EFP也是等腰直角三角形，最后计算即可；
（2）先设AP＝m，BP＝n，表示出线段PE，PF，最后利用勾股定理即可．
【解答】解：（1）①如图1，连接EF，则EF是△ABC的中位线，
∴EFAB，
∵∠ABE＝45°，AE⊥EF，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∵EF∥AB，
∴△EFP也是等腰直角三角形，
∴AP＝BP＝2，EP＝FP＝1，
∴AE＝BF，
∴a＝BC＝2BF＝2，b＝AC＝2AE＝2；
故答案为：2，2；
②如图2，
连接EF，则EF是△ABC的中位线．
∵∠ABE＝30°，AE⊥BF，AB＝8，
∴AP＝4，BPAP＝4，
∵EF∥AB，EFAB＝4，
∴PFEF＝2，PE2，
∴AE＝2，BF＝2，
∴BC＝a＝2BF＝4，b＝AC＝2AE＝4；
故答案为：4，4．
（2）a2+b2＝5c2，理由如下：
如图3，连接EF，
设AP＝m，BP＝n，
则c2＝AB2＝m2+n2，
∵EF∥AB，EFAB，
∴PEBPn，PFAPm，
∴AE2＝AP2+PE2＝m2n2，BF2＝PF2+BP2m2+n2，
∴b2＝AC2＝4AE2＝4m2+n2，a2＝BC2＝4BF2＝4n2+m2，
∴a2+b2＝5（m2+n2）＝5c2．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理和勾股定理是解本题的关键．
我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P．像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
特例探索
（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝　2　 ，b＝　2　 ；
如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝　4　 ，b＝　4　 ；
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
【分析】（1）先判断△ABP是等腰直角三角形，再得到△EFP也是等腰直角三角形，最后计算即可；
（2）先设AP＝m，BP＝n，表示出线段PE，PF，最后利用勾股定理即可．
【解答】解：（1）①如图1，连接EF，则EF是△ABC的中位线，
∴EFAB，
∵∠ABE＝45°，AE⊥EF
∴△ABP是等腰直角三角形，
∵EF∥AB，
∴△EFP也是等腰直角三角形，
∴AP＝BP＝2，EP＝FP＝1，
∴AE＝BF，
∴a＝BC＝2BF，b＝AC＝2AE＝2
故答案为：2，2；
②如图2，
连接EF，则EF是△ABC的中位线．
∵∠ABE＝30°，AE⊥BF，AB＝4，
∴AP＝2，BPAP＝2，
∵EF∥AB，EFAB＝2，
∴PFEF＝1，PEPF，
∴AE，BF，
∴BC＝a＝2BF＝2，b＝AC＝2AE＝2；
故答案为：2，2．
（2）a2+b2＝5c2，理由如下：
如图3，连接EF，
设AP＝m，BP＝n，
则c2＝AB2＝m2+n2，
∵EF∥AB，EFABn，
∴PEBPn，PFAPm，
∴AE2＝AP2+PE2＝m2n2，BF2＝PF2+BP2m2+n2，
∴b2＝AC2＝4AE2＝4m2+n2，a2＝BC2＝4BF2＝4n2+m2
∴a2+b2＝5（m2+n2）＝5c2．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理、菱形的性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理和勾股定理是解本题的关键．
如图，AB、AC、BC是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（　　）
A．△ABC三条中线的交点位置
B．△ABC三条角平分线的交点位置
C．△ABC三条高的交点位置
D．△ABC三边的垂直平分线的交点位置
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．
【解答】解：∵要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，
∴加油站应该在△ABC三条角平分线的交点处．
综上所述，只有选项B正确，符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的重心，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，关键掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质．
对一个形状规则的匀质长方形薄板，其重心位置在（　　）
A．长方形的任意一个顶点处
B．长方形两条对角线的交点处
C．长方形的一条边上
D．长方形的外部
【分析】匀质规则形状物体的重心在其几何中心，对于长方形，几何中心是两条对角线的交点．
【解答】解：∵长方形薄板匀质且形状规则，
∴重心位于几何中心，
又∵长方形的几何中心是两条对角线的交点，
∴重心在两条对角线的交点处，
综上所述，只有选项B正确，符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的重心，矩形的性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
下列说法正确的是（　　）
A．三角形的三条高线交三角形内部于一点
B．三角形的三条角平分线交于一点，且到三角形的三个顶点的距离相等
C．到角两边距离相等的点一定在角平分线上
D．三角形的三条中线的交点叫做这个三角形的重心
【分析】根据三角形的高、角平分线、中线的性质、重心逐项判断即可．
【解答】解：根据三角形的高、角平分线、中线的性质逐项分析判断如下：
A．钝角三角形的三条高线所在直线交点在三角形外部，故A选项错误，不符合题意；
B．三角形的三条角平分线交于一点，到三边距离相等，但到顶点距离不一定相等，故选项B错误，不符合题意；
C．到角两边距离相等的点可能在内角平分线或外角平分线上，不一定在内角平分线上，故选项C错误，不符合题意；
D．三角形的三条中线交于一点，该点称为重心，故选D正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查三角形的基本概念和性质，掌握三角形的高、角平分线、中线的性质是解题的关键．
如图，△ABC的中线AD，BE相交于点F，FH⊥BC，垂足为H．若S△ABC＝15，BC＝6，则FH长为 　　 ．
【分析】连接FC，由三角形的中线与面积的关系可得S△BEC＝S△ABE＝S△ABDS△ABC，然后可得S△CEF＝S△DBF＝S△CDF，则有S△BCFS△BEC＝5，进而问题可求解．
【解答】解：连接FC，如图所示：
∵AD、BE是△ABC的中线，S△ABC＝15，
∴S△BEC＝S△ABE＝S△ABDS△ABC，
∴S△ABF+S△AEF＝S△ABF+S△BDF，
∴S△AEF＝S△BDF，
∵S△CEF＝S△AEF，S△DBF＝S△CDF，
∴S△CEF＝S△DBF＝S△CDF，
∴S△BCFS△BEC＝5，
∵S△BCFBC FH6FH＝5，
∴FH．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形的中线与面积的关系，熟练掌握三角形的中线与面积的关系是解题的关键．
如图，在等腰直角△ABC中，中线AE，CF相交于点G，若AB＝6，则AG长为　　 ．
【分析】根据直角三角形的性质求出CF，根据重心的概念求出GF，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，F是AB的中点，CA＝CB，
∴AFAB＝3，CF⊥AB，
∵△ABC的中线AE，CF相交于点G，
∴点G是△ABC的重心，
∴GFCF＝1，
由勾股定理得，AG，
故答案为：．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的重心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图，G是△ABC重心．求证：BE＝3GE．
【分析】根据题意，可以得到DE是△ABC的中位线，从而可以得到DE∥AB且DEAB，然后即可得到△DEG∽△BAC，即可得到EG和BE的比值，进而可得出结论．
【解答】证明：连接DE，
∵点G是△ABC的重心，
∴点E和点D分别是AC和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB且DEAB，
∴△DEG∽△BAG，
∴，
∴，
∴BE＝3GE，
【点评】本题考查三角形的重心、三角形的中位线、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
如图，△ABC的周长为24cm，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，AD，BE相交于点O，CO的延长线交AB于点F，且BD＝4cm，AE＝3.5cm，求AF的长．
【分析】根据三角形的重心性质，得CF是△ABCD的中线，再根据三角形的中线性质与三角形的周长公式便可求得AF．
【解答】解：∵BD＝4cm，AE＝3.5cm，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴AC＝2AE＝7cm，BC＝2BD＝8cm，
∵△ABC的周长为24cm，
∴AB＝24﹣7﹣8＝9（cm），
∵O点是中线AD，BE的交点，
∴CF是AB边上的中线，
∴AFAB＝4.5（cm）．
【点评】本题考查了三角形的重心，关键是三角形的重心得CF是AB边上的中线．
（1）如图1，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，AD平分∠BAC．求证：AD＝AC；
（2）如图2，在△ABC中，点E在BC边上，中线BD与AE相交于点P，AP＝BC．求证：PE＝BE．
【分析】（1）求∠BAC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，∠BADBAC＝20°，再求∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+20°＝80°，得∠C＝∠ADC，即可证明；
（2）过点A作AF∥BC交BD的延长线于点F，先证明△ADF≌△CDB，得AF＝BC，得AP＝AF，证出∠APF＝∠F，再得∠BPE＝∠PBE，即可证明．
【解答】证明：（1）在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BADBAC＝20°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+20°＝80°，
∵∠C＝80°，
∴∠C＝∠ADC，
∴AD＝AC；
（2）过点A作AF∥BC交BD的延长线于点F，
∴∠F＝∠DBC，∠FAD＝∠C，
∵AD＝CD，
∴△ADF≌△CDB（AAS），
∴AF＝BC，
∵AP＝BC，
∴AP＝AF，
∴∠APF＝∠F，
∵∠APF＝∠BPE，∠F＝∠DBC，
∴∠BPE＝∠PBE，
∴PE＝BE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，解题关键是利用倍长中线构造全等三角形．
如图，在△ABC中，AB＝AC，中线BE和CD交于点O．
（1）求证BE＝CD；
（2）若∠A＝60°，求证OC＝2OD．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，BD＝CE，然后证明△BCD≌△CBE，从而得到CD＝BE；
（2）证明△ABC为等边三角形，则BE、CD为△ABC的角平分线和高，∠ABC＝∠ACB＝60°，再证明OB＝OC，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2OD，从而得到OC＝2OD．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BE和CD为△ABC的中线，
∴BDAB，CEAC，
∴BD＝CE，
在△BCD和△CBE中，
，
∴△BCD≌△CBE（SAS），
∴CD＝BE；
（2）∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵BE和CD为△ABC的中线
∴BE、CD为△ABC的角平分线和高，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠BCD＝30°，CD⊥AB，
∴OB＝OC，
在Rt△BOD中，∵∠BDO＝90°，∠DBO＝30°，
∴OB＝2OD，
∴OC＝2OD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的边等于斜边一半，等腰三角形的性质，解决此题的关键是OB＝OC，OB＝2OD．
如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G．
（1）求证：AG＝2DG；
（2）若△ABC是等边三角形，DG＝1，求△ABC的周长；
（3）若S△AFG＝8，请直接写出S△DCG的值．
【分析】（1）取 CE 的中点 M，连接 DM，利用中位线的性质即可获证；
（2）由（1）可求出AD，再根据等边三角形的性质即可求出周长；
（3）利用同高不等底三角形面积之比等于底边之比即可求解．
【解答】解：（1）取 CE 的中点 M，连接 DM，
∴EC＝2EM，
∵AD，BE 分别为△ABC 的中线，
∴BD＝CD，AE＝EC，
∴DM∥BE，
∴，
∴，
∴AG＝2DG；
（2）
（2）由（1）得：
AG＝2DG＝2，
∴AD＝AG+DG＝3，
∵△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∴，
∴，
∴，
∴△ABC的周长为：；
（3）∵AF＝BF，
∴S△AFG＝S△BFG，
∴S△BFG＝8，
∴S△ABG＝16，
∵，
∴，
∵BD＝DC，
∴S△DGC＝S△BDG＝8．
【点评】本题考查了中位线的性质，等边三角形的性质，关键是熟练掌握中位线的性质．1.定义一连接三角形两边中点的线段
位置关系：平行于第三边
2.三角形中位线定理
数量关系：等于第三边的一半
位置证明：可证明两直线平行
一、三角形的中位线
3.性质与作用
数量证明：可证明线段的倍分关系
结论1：三条中位线构成新三角形，周长=原三角形周长的一半
结论2：三条中位线将原三角形分成四个全等三角形
4.常用结论
结论3：三条中位线划分出三个面积相等的平行四边形
三角形的中位线与重心
结论4：三角形中线与相交的中位线互相平分
结论5：两条中位线的夹角=其所对顶角
1.定义一三条中线的交点
二、
三角形的重心
2.性质一重心到顶点的距离=到对边中点距离的2倍三角形中位线与重心 精讲精练培优讲义
【新教材沪教版五四制】
知识点一：三角形的中位线
1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．
3.其他性质：（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形．
（3）三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行．
数量关系：可以证明线段的倍分关系．
（4）常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半．
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形．
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分．
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等．
知识点二：三角形的重心
1.定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.
2.性质：三角形重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.
考点1 三角形中位线
如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（　　）
A．1 B．2 C．1.5 D．2.5
如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝12，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，EF＝10，则BD的长度是（　　）
A． B．20 C． D．16
如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N在BC边上，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　）
A．2 B．2.5 C．2.4 D．1.2
如图是人字梯及其侧面示意图，AB，AC为支撑架，DE为拉杆，D，E分别是AB，AC的中点，若DE＝40cm，则B，C两点的距离为（　　）
A．50cm B．60cm C．70cm D．80cm
如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，分别找出AC和BC的中点M、N，测得MN＝20m，那么A、B两点的距离是（　　）
A．10m B．20m C．30m D．40m
如图，点D，E是△ABC的边AB，AC的中点，已知BC＝6，则DE＝　 　 ．
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC＝10，AD＝12，那么DE＝ 　 　 ．
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为 　 　 ．
如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，点F是DE上一点，且AF⊥BF．若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为　 　 ．
如图，△ABC中，AB＝AC，以∠C为斜边作Rt△ADC．使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝29°，E、F分别是BC、AC的中点，则∠EDF＝　 　 ．
如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点，AE⊥BE，AB＝10，AC＝6，则DE的长为 　 　 ．
如图，在四边形ABCD中，AB⊥AC，E是边BC上一点，连接AE，DE，DE交AC于点F，G为AE的中点，连接GF．若CF＝DF＝EF，AB＝6，BC＝10，则线段GF的最小值为　 　 ．
如图，AD是△ABC的高，E，F是AB，AC的中点，若AB＝12，AC＝10，则四边形AEDF的周长为　 　 ．
如图，DE为△ABC的中位线，且BF平分∠ABC交DE于点F．若AB＝6，BC＝10，则EF＝　 　 ．
如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为　 　 ．
已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在AC的延长线上，且CF＝DE．求证：DC∥EF．
如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，∠ACB的平分线交DE于点F，连接AF，若AC＝10，BC＝16，求DF的长．
已知，如图，在△ABD中，∠ADB＝90°，点C在BD上，点E在AB上，AE＝BE＝DC，点G是CE的中点．求证：
（1）DG⊥EC；
（2）∠B＝2∠GDC．
已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E是边BC的中点，在图中作点D，使得ED∥AB，且∠CDB＝90°，分别联结AE，AD，过点A作AF⊥BC，垂足为点F．
（1）求证：AD平分∠BAE；
（2）求证：∠CAF＝2∠DAE．
如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点．
（1）若BD＝CE，那么FG与GH有什么数量和位置关系？请说明理由；
（2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD＝8，CE＝6，求GM的长．
【三角形中位线定理】
已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．
求证：BD＝AC．
考点2 三角形重心定理
如图，点G是△ABC的重心，AB≠AC，则下列结论正确的是（　　）
A．∠BAD＝∠CAD B．AD⊥BC C．AG＝DG D．BD＝CD
如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡．此时，薄板与支点接触的点就是三角形匀质薄板的（　　）
A．重心，即三边中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边上高所在直线的交点
D．内部任意一点
如何确定质地均匀的三角形薄板的重心（　　）
A．画出三角形三条角平分线的交点
B．画出三角形三条高线的交点
C．画出三角形三条垂直平分线的交点
D．画出三角形三条中线的交点
如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的垂直平分线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
如图，将一块透明的三角形匀质薄板（记作△ABC）放入正方形网格中，其三个顶点都在网格线的交点上，在点D，E，F，G（都在网格线的交点上）中，该三角形薄板的重心是（　　）
A．点D B．点E C．点F D．点G
如图，在△ABC中，点E为AC边中点，AD⊥BC于D，CF平分∠ACB，则△ABC的重心一定在（　　）
A．线段AD上 B．线段BE上 C．线段CF上 D．线段ED上
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是△ABC的重心，如果AB＝10，那么点C与点O的距离为　 　 ．
在△ABC中，设∠B，∠C的角平分线相交于点O．若点O也是△ABC的重心（三角形三条中线的交点），则∠BOC＝　 　 °．
物体重心的位置对于物体保持平衡稳定的状态至关重要．若用一个支点顶住匀质薄板的重心，则薄板能保持平衡．如图，△ABC表示一块质地均匀的木板，图中所示的网格由边长相同的小正方形组成．若要使三角形木板ABC保持平衡，则可以用一根细针顶住的点为　 　 ．
上学的每一天同学们都要从自砺大道上走过，某天壮壮同学想如果我们将自砺大道抽象成一个几何图案会是什么样子呢？于是他就用匀质薄板制作成下面的图案，结合我们课本中学习过的找重心的知识，请计算出该薄板的重心到直线BF的距离是　 　 cm．
注：已知所有的拐角处的角都是直角，AB＝CD＝10cm，CE＝20cm，BF＝80cm．重心计算公式如下：．
如图，△ABC中，点F是△ABC的两条中线AD、BE的交点，若AD＝6，则DF＝　 　 ．
如果直角三角形的斜边长为12，那么它的重心与斜边中点之间的距离为 　 　 ．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，若GE＝3，则线段CB的长度为　 　 ．
已知：如图，在△ABC中，∠A＝60°，设AB＝c，AC＝b，如果b2+c2﹣4（b+c）+8＝0．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）△ABC的中线BD，CE交于点O，用等式表示线段OD与OB之间的数量关系，并证明．
如图，△ABC的周长为18cm，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，CO的延长线交AB于点F，且BD＝3cm，AE＝2cm，求AF的长．
37．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，BE，CD相交于点O，点F，G分别是线段OB，OC的中点．求证：DG，EF互相平分．
考点3 综合创新题
综合与实践：对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如长方形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心．以下是具体公式和步骤，请你根据以下素材，完成任务．
素材1 在使用分割法前，需先掌握以下基本图形的重心位置
图形 重心 说明
长方形 几何中心 对角线的交点
三角形 三条中线交点，坐标为 顶点坐标为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）
圆 几何中心 圆心
素材2 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤：1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等．2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积．3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标．4．代入公式计算：把步骤2和3的相应结果分别代入重心坐标公式，计算出组合图形重心坐标，其中．
素材3 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为， 其中．
任务1 求阴影部分图形的重心坐标． 任务2 求阴影部分图形的重心坐标．
综合与实践
【探究课题】三角形重心性质的探究．
【课本重现】三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．如图，取一块质地均匀的三角形纸板ABC，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于平衡状态．
【提出问题】探究的值是多少？
老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题．
【解决问题】
任务1：若△AOC的面积为6，求△BOC的面积．
任务2：求的值．
在图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
（1）①如图1．当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝　 　 ，b＝　 　 ．
②如图2．当∠ABE＝30°，c＝8时，a＝　 　 ，b＝　 　 ．
（2）观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明．
我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P．像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
特例探索
（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝　 　 ，b＝　 　 ；
如图2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝　 　 ，b＝　 　 ；
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
如图，AB、AC、BC是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（　　）
A．△ABC三条中线的交点位置
B．△ABC三条角平分线的交点位置
C．△ABC三条高的交点位置
D．△ABC三边的垂直平分线的交点位置
对一个形状规则的匀质长方形薄板，其重心位置在（　　）
A．长方形的任意一个顶点处
B．长方形两条对角线的交点处
C．长方形的一条边上
D．长方形的外部
下列说法正确的是（　　）
A．三角形的三条高线交三角形内部于一点
B．三角形的三条角平分线交于一点，且到三角形的三个顶点的距离相等
C．到角两边距离相等的点一定在角平分线上
D．三角形的三条中线的交点叫做这个三角形的重心
如图，△ABC的中线AD，BE相交于点F，FH⊥BC，垂足为H．若S△ABC＝15，BC＝6，则FH长为 　 　 ．
如图，在等腰直角△ABC中，中线AE，CF相交于点G，若AB＝6，则AG长为　 　 ．
三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图，G是△ABC重心．求证：BE＝3GE．
如图，△ABC的周长为24cm，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，AD，BE相交于点O，CO的延长线交AB于点F，且BD＝4cm，AE＝3.5cm，求AF的长．
49．（1）如图1，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，AD平分∠BAC．求证：AD＝AC；
（2）如图2，在△ABC中，点E在BC边上，中线BD与AE相交于点P，AP＝BC．求证：PE＝BE．
如图，在△ABC中，AB＝AC，中线BE和CD交于点O．
（1）求证BE＝CD；
（2）若∠A＝60°，求证OC＝2OD．
如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G．
（1）求证：AG＝2DG；
（2）若△ABC是等边三角形，DG＝1，求△ABC的周长；
（3）若S△AFG＝8，请直接写出S△DCG的值．

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