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第8讲变量与函数
(知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义
本节课主要针对第25章一次函数进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了函数相关概念、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。
知识点一 常量和变量
在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量,数值始终不变的量为常量.
注意：
变量和常量是相对而言的，判断的前提是“在同一个变化过程中”.当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变；
“常量”是已知数,是指在整个变化过程中保持不变的量,不能认为式中出现的字母就是变量,如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量;
判断一个量是不是变量,关键是看在变化过程中其数值是否发生变化;
变量、常量与字母的指数没有关系,如S=r 中,变量是“S和“r”（不能说r ）,常量是“n”.指出一个变化过程中的常量时,必须连同它前面的符号一起写出.
知识点二 自变量与函数
1.函数
一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.
例如,在s=60t中,有两个变量s与t,当t变化时，s也随之发生变化,并且对于t在其取值范围内的每一个值，s 都有唯一确定的值与之对应,我们就称t是自变量,s是t的函数
注意：函数是相互关系，一定要说谁是谁的函数，不能直接说s是函数.
2.对函数定义的理解
(1)有两个变量.例如，在三角形中，若三个内角的度数分别为x,y,z，则有关系
中有三个变量，y就不是x的函数.
函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系,且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化
函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量x的每一个确定的值,有且只有一个值与之对应;对自变量x的不同取值，y的值可以相同,如:函数,当和时，的值都是
例如，如:,当x=1时,有两个值与之对应,所以不是的函数.
3.自变量、因变量
在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值唯一确定的另一个变量即为因变量，也就是该自变量的函数.
知识点三 函数解析式与函数关系的表达
1.函数解析式
表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式.
2.函数关系的三种表示形式
（1）用数学式子表示:如教材例题1中，气温的摄氏度与华氏度之间的函数关系用数学式子表示;
（2）用表格来表示，如教材例题1中用表格表示摄氏度x与华氏度y之间的函数关系;
（3）用图像来表示，如教材例题2中，用一个图像表示当地某一天的气温随时间变化情况.
注意：有些函数关系是没有关系式的，如心电图中的时间与生物电流的关系
知识点四 函数的定义域与函数值
1.函数的定义域
函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域.
常见函数解析式中，函数的定义域的求解方法:
类型 特点 自变量取值范围 举例
整式型 等号右边是关于 自变量的整式 全体实数 (x取全体实数)
分式型 等号右边是关于 自变量的分式 使分母不为0的 实数
根式型 等号右边是关于 自变量的开偶次 方的式子 使根号下的式子 大于或等于0的 实数
零(或负 整数)次 幂型 等号右边是关于 自变量的零(或 负整数)次幂 使底数不为0的 实数
综合型 两种及以上类型综合 满足各部分都有意义
在实际问题中，自变量的取值还必须使实际问题有意义.
2.函数值
如果变量是自变量的函数，那么对于在定义域内取定的一个值，变量的对应值叫做当时的函数值.
3.符号“”的意义
为了深入研究函数，我们把语句“是的函数”用记号来表示.这里表示自变量，表示随变化而变化的规律.
注意：
(1)记号表示“是的函数”,不是表示“”与“”的积;
(2)在同一个问题中同时研究几个不同的函数时,表示函数的记号中,括号外的字母可采用不同的字母,如
(3)在函数用记号表示时,表示当时对应的函数值;
(4)函数的自变量取遍定义域中的所有值,对应的函数值的全体叫做这个函数的值域，如函数,它的值域是 .
一．常量与变量（共9小题）
1．若等腰三角形底边长为a，底边上的高为h，则该三角形的面积.若h为定长，则（　　）
A．S，a是变量 B．S，h是常量 C．h，a是变量 D．S，a是常量
【考点】常量与变量．
【分析】根据常量与变量的意义，即可解答．
【解答】解：若等腰三角形底边长为a，底边上的高为h，则该三角形的面积.若h为定长，则S，a是变量，
故选：A．
【点评】本题考查了常量与变量，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
2．下列说法正确的是（　　）
A．在圆的面积公式S＝πr2中，常量是π、r，变量是S
B．加工100个零件，工作效率p与时间t之间的关系式是100＝pt，p、t都是变量
C．以固定的速度v0向上抛一个小球，小球的高度h（m）与小球运动的时间t（s）之间的关系式是，常量是4.9，变量是h、t
D．在匀速运动公式S＝vt中，常量是t，变量是S、v
【考点】常量与变量．
【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题．
【解答】解：A．在圆的面积公式S＝πr2中，常量是π，变量是S、r，故该选项不正确，不符合题意；
B．加工100个零件，工作效率p与时间t之间的关系式是100＝pt，p、t都是变量，故该选项正确，符合题意；
C．以固定的速度v0向上抛一个小球，小球的高度h（m）与小球运动的时间t（s）之间的关系式是，常量是﹣4.9，变量是h、t，故该选项不正确，不符合题意；
D．在匀速运动公式S＝vt中，常量是v，变量是S、t，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了常量与变量的知识，常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．
3．程程在收拾家务时，把32个玩具随机放入两个箱子（每个箱子都放），第一个箱子放入a个，第二个箱子放入b个．这个问题中的变量是（　　）
A．a B．6 C．a和32 D．a和b
【考点】常量与变量．
【分析】变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量；常量：在某一变化过程中，数值始终保持不变的量，据此求解即可．
【解答】解：根据变量和常量的概念可知：这个问题中的变量是a和b．
故选：D．
【点评】此题考查了变量和常量的概念，掌握其概念是解答本题的关键．
4．“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中因变量是　气温　 ．
【考点】常量与变量．
【分析】“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语中早、午、晚是时间，早穿皮袄说明早上冷，午穿纱说明中午热，说明温度随着时间在变化．
【解答】解：“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜．”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，温度随时间变化而变化，其中自变量是时间，因变量是温度．
故答案为：温度．
【点评】本题考查了函数的基本概念，掌握常量与变量的概念是解题的关键．
5．在圆面积公式S＝πr2中，常量是　π　 ．
【考点】常量与变量．
【分析】根据函数中常量与变量的规定解答即可．
【解答】解：在圆面积公式S＝πr2中，常量是π，
故答案为：π．
【点评】本题考查了函数的常量与变量，熟练掌握 函数的概念是关键．
6．在某地，人们发现在一定条件下某种蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系：用蟋蟀1分钟叫的次数x加上30，再把结果除以7，就近似地得到该地当时的气温y（单位：℃）．在这个问题中，变量是　蟋蟀1分钟叫的次数和该地当时的气温　 ．
【考点】常量与变量．
【分析】根据变量的定义结合具体问题情境进行判断即可．
【解答】解：变量是蟋蟀1分钟叫的次数和该地当时的气温．
故答案为：蟋蟀1分钟叫的次数和该地当时的气温．
【点评】此题考查了函数的变量，正确记忆相关知识点是解题关键．
7．如图是小西骑自行车离家的距离s（km）与时间t（h）之间的关系．
（1）在这个变化过程中自变量是　离家时间t ，因变量是　离家距离s ；
（2）小西　2　 时到达离家最远的地方，此时离家　30　 km；
（3）问小西几时与家相距20km？
【考点】常量与变量．
【分析】（1）根据题中小西骑自行车离家的距离s（km）与时间t（h）之间的关系即可得到答案；
（2）根据题中小西骑自行车离家的距离s（km）与时间t（h）之间的关系得到，当t＝2时，s＝30即可得到答案；
（3）由图象可知，分离家与返家两种情况求解即可得到答案．
【解答】解：（1）由题中图象可知，在这个变化过程中自变量是离家时间t，因变量是离家距离s，
故答案为：离家时间t，离家距离s；
（2）由图象可知，当t＝2时，s＝30，
即小西2时到达离家最远的地方，此时离家30km，
故答案为：2，30；
（3）如图所示：
由题意可得：
，
∴，
∴AB所在直线的表达式为s＝20t﹣10，
当s＝20时，20＝20t﹣10，解得；
在返回过程中，当t＝4时，s＝20；
综上所述，小西1.5h或4h与家相距20km．
【点评】本题考查函数图象获取信息，看懂图象，数形结合求解是解决问题的关键．
8．周长为20cm的矩形，若它的一边长是xcm，面积是Scm2．
（1）请用含x的式子表示S，并指出常量与变量；
（2）当x＝6时，求S的值．
【考点】常量与变量．
【分析】（1）根据函数的定义来确定常量与变量；根据矩形的面积公式写出S与x之间的关系式；
（2）代入数值求S的值．
【解答】解：（1）S＝xx2+10x，
周长20cm是常量；一边xcm，面积Scm2是变量．
（2）当x＝6时，
S＝﹣x2+10x
＝﹣62+10×6
＝﹣36+60
＝24．
【点评】本题考查了二次函数的定义，二次函数的解析式，函数值，解题的关键是列函数的解析式．
9．如图，长方形ABCD的四个顶点在互相平行的两条直线上，AB＝10cm，当点C，D在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化．
（1）在这个变化过程中，自变量是 BC（AD）　 ，因变量是 　长方形ABCD的面积　 ；
（2）如果长方形的长BC为x（cm），那请用含x的式子表示长方形ABCD的面积y（cm2）；
（3）当长方形的长BC从15cm变到20cm时，长方形的面积怎么变化？
【考点】常量与变量．
【分析】（1）根据函数的定义求解；
（2）通过长方形的面积＝长×宽求解；
（3）分别代入两值求解．
【解答】解：（1）在这个变化过程中，ABCD的面积随BC（AD）的长度变化而变化，
∴在这个变化过程中，自变量为BC（AD）的长，因变量为长方形ABCD的面积，
故答案为：BC（AD），长方形ABCD的面积；
（2）长方形的面积＝AB×BC，即y＝10x；
（3）当BC＝15cm时，y＝10x＝10×15＝150（cm2），
当BC＝20cm时，y＝10x＝10×20＝200（cm2），
所以当长BC从15cm变到20cm时，长方形的面积从150cm2变到200cm2．
【点评】本题考查函数的定义及函数关系式，解题关键是熟练掌握函数的定义及通过题干求关系式的方法．
二．函数的概念（共7小题）
10．下列关系中，不能表示y是x的函数的是（　　）
A．
x … 1 2 4 5 …
y … 2 5 5 2 …
B．y＝x﹣1
C．
D．
【考点】函数的概念．
【分析】根据函数的概念选择，C选项显示对于一个x有两个y值与其对应．
【解答】解：∵函数的定义是在一个变化过程中有两个变量x，y对于每一个变量x取一个值，y有唯一值与其对应，就说y是x的函数，但是C选项的图象显示
对于一个x有两个y值与其对应，故C选项不能表示y是x的函数，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的一般概念，准确掌握函数的定义是解题的关键．
11．下列各图能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数的概念．
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此进行判断即可．
【解答】解：A中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，不符合题意，
B中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么y是x的函数，符合题意，
C中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，不符合题意，
D中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查函数的概念，熟练掌握其定义是解题的关键．
12．写出一个函数y＝﹣（x+1）2（答案不唯一）　 ，使得该函数在x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
【考点】函数的概念．
【分析】由题可知对称轴为x＝﹣1，又根据在对称轴左侧y随x的增大而增大，右侧y随x的增大而减小，所以二次项系数为负数，所以只需写出一个二次项系数为负数，且对称轴为x＝﹣1的二次函数即可．
【解答】解：∵该函数在x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
∴满足条件的函数可写为：y＝﹣（x+1）2，
故答案为：y＝﹣（x+1）2（答案不唯一）．
【点评】本题考查二次函数的性质．熟练掌握该知识点是关键．
13．“早穿皮袄，午穿纱”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，　气温　 随　时间　 变化而变化．
【考点】函数的概念．
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
【解答】解：“早穿皮袄，午穿纱”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间变化而变化．
故答案为：气温，时间．
【点评】本题主要考查了函数的概念，对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
14．一空水池现需注满水，水池深4.9m，现以不变的流量注水，数据如下表．可以推断注满水池所需的时间是　3.5h ．
水的深度h/m 0.7 1.4 2.1 2.8
注水时间t/h 0.5 1 1.5 2
【考点】函数的概念．
【分析】根据常量与变量解决此题．
【解答】解：由表可知，注水的速度是不变的，
注水的速度是v＝（1.4﹣0.7）÷0.5＝1.4（m/h）．
∴注满水池所需的时间是4.9÷1.4＝3.5（h）．
故答案为：3.5h．
【点评】本题考查函数，熟练掌握函数的变化规律是解决问题得关键．
15．设f（x）表示关于x的函数，若f（m+n）＝f（m）+f（n），且f（6）＝18，那么f（2）＝　4　 ．
【考点】函数的概念．
【分析】根据f（m+n）＝f（m）+f（n），把f（6）化为f（2+4）代入计算即可．
【解答】解：∵若f（m+n）＝f（m）+f（n），f （6）＝18，
∴f （6）＝f（2+4）＝f（2）+f（2+2）
＝f（2）+f（2）+f（2）4＝18，
∴f（2）＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了函数的概念，能够把f（6）化为f（2+4）是解题的关键．
16．豌豆苗的呼吸作用强度受温度影响很大，观察图，回答问题：
（1）说明哪个量是自变量，哪个量是自变量的函数．
（2）温度在什么范围内时豌豆苗的呼吸作用强度逐渐变强？在什么范围内逐渐减弱？温度对豌豆苗的呼吸作用强度的影响．
【考点】函数的概念；常量与变量．
【分析】（1）根据函数图象即可得到结论；
（2）根据图象中提供的信息即可得到结论．
【解答】解：（1）此图反映的自变量是温度，呼吸作用强度是温度的函数；
（2）由图象知，温度在0℃到35℃范围内时豌豆苗的呼吸作用强度逐渐变强；在35℃到50℃范围内逐渐减弱．
【点评】本题考查了常量和变量，函数的概念，正确的识别图象是解题的关键．
三．函数关系式（共8小题）
17．人工智能逐渐融入我们的生活．如图所示，某餐厅购买一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．如表记录着地面所受压强、机器人与地面的接触面积之间的关系：
地面所受压强ρ（Pa） 6×105 8×105 1.2×106 1.6×106
接触面积S（m2） 8×10﹣4 6×10﹣4 4×10﹣4 3×10﹣4
则地面所受压强ρ（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为　ρ　 ．
【考点】函数关系式；科学记数法—表示较大的数；科学记数法—表示较小的数．
【分析】计算表格中p与S的对应值的乘积，发现它们的积相等，进而得到它们成反比例关系，再写出关系式即可．
【解答】解：∵6×105×8×10﹣4＝480＝8×105×6×10﹣4＝1.2×106×4×10﹣4＝1.6×106×3×10﹣4，
∴地面所受压强ρ（Pa）与接触面积S（m2）成反比例关系，
即ρ，
故答案为：ρ．
【点评】本题考查函数关系式，理解反比例函数关系的定义是正确解答的关键．
18．两个正方形的周长之和是32cm．若以两个正方形面积之和y（cm2）为因变量，其中一个正方形的边长x（单位：cm）为自变量，则它们之间的关系式是y＝2x2﹣16x+64　 ．
【考点】函数关系式；常量与变量．
【分析】根据两个正方形的周长之和为32cm，可求出另一个正方形的边长为 （8﹣x）cm，再利用正方形面积公式得到面积之和的函数关系式．
【解答】解：根据题意，其中一个正方形的周长为：4xcm，
∴另一个正方形的周长为：（32﹣4x）cm，
∴另一个正方形的边长为：，
故一个正方形的面积为：x2 cm2，
另一个正方形的面积为：（8﹣x）2 cm2，
综上所述，两个正方形的面积和为：y＝x2+（8﹣x）2，
即y＝2x2﹣16x+64．
故答案为：y＝2x2﹣16x+64．
【点评】本题考查了函数关系式，常量与变量，掌握函数关系式的表示方法是关键．
19．某商场将一商品在保持销售价50元/件不变的前提下，规定凡购买超过3件者，超出的部分打5折出售．若顾客购买x（x＞3）件，应付y元，则y与x间的关系式是y＝25x+75（x＞3）　 ．
【考点】函数关系式．
【分析】根据“前3件每件50元”，以后超过的件数按每件25元计算，据此列出函数关系式即可．
【解答】解：y＝50×3+50×50%（x﹣3）＝150+25x﹣75＝25x+75（x＞3），
即若顾客购买x（x＞3）件，应付y元，y与x间的关系式是y＝25x+75（x＞3）．
故答案为：y＝25x+75（x＞3）．
【点评】本题主要考查函数关系式，弄清题目中的数量关系是解题的关键．
20．已知用于某爆破工程的炸药包的导火线长150cm，正常情况下，导火线每秒钟燃烧3cm，则导火线燃烧时的剩余长度y（cm）与燃烧时间x（s）之间的函数关系式是y＝150﹣3x（0≤x≤50）　 ．
【考点】函数关系式．
【分析】要确定剩余长度y与燃烧时间x的函数关系式，需先分析两者的数量关系．已知导火线原长150cm，每秒燃烧3cm，则燃烧x秒的长度为3xcm．根据“剩余长度 ＝ 原长度﹣燃烧长度”，可得y＝150﹣3x．再确定自变量取值范围，当y＝0时，150﹣3x＝0，解得x＝50，所以x的取值范围是0≤x≤50，最终函数关系式为y＝150﹣3x（0≤x≤50）．
【解答】解：由题意得，燃烧的长度为3xcm．
∵当y＝0时，150﹣3x＝0，
∴x＝50，
因此，函数关系式为y＝150﹣3x（0≤x≤50，）．
故答案为：y＝150﹣3x（0≤x≤50）．
【点评】本题考查一次函数的实际应用知识点，运用建模思想，根据“剩余长度 ＝ 原长度﹣燃烧长度”的数量关系构建一次函数模型．解题关键是明确变量之间的数量关系，易错点是忽略自变量的取值范围（导火线燃烧时间不能为负且剩余长度不能为负．
21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点P是BC上一点，设BP长为x且0≤x＜8，△APC的面积为S．
（1）求S与x之间的函数解析式，S＝24﹣3x ；
（2）当△APC的面积为18时，则BP的长为　2　 ．
【考点】函数关系式．
【分析】（1）由题意得PC＝8﹣x，由三角形面积公式即可求解；
（2）由（1）中所得，解方程即可求解．
【解答】解：（1）PC＝8﹣x，由三角形面积公式可得：
，
故答案为：S＝24﹣3x；
（2）由条件可知S＝24﹣3x＝18，
解得：x＝2，即BP＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查求函数表达式，已知函数值求自变量的值，求出函数表达式是解题的关键．
22．如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，x节链条总长度为ycm，则y关于x的函数关系式是 y＝1.8x+1　 ．
【考点】函数关系式．
【分析】先求出1节链条的长度，2节链条的总长度，3节链条的总长度，然后从数字找规律，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
1节链条的长度＝2.8cm，
2节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）]cm，
3节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×2]cm，
..．
∴x节链条总长度y＝[2.8+（2.8﹣1）×（x﹣1）]＝（1.8x+1）（cm），
故答案为：y＝1.8x+1．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，从数字找规律是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．P，Q是△ABC边上的两个动点，点P从点A出发沿A→B方向运动，速度为1cm/s，到达点B停止运动；点Q从点B出发沿B→C→A方向运动，速度为2cm/s，到达点A停止运动．它们同时出发，设出发时间为x秒．
（1）BP＝　（8﹣x）cm （用含x的代数式表示）；
（2）当x＝　　 秒时，PQ∥AC；
（3）设△PQB的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【考点】函数关系式；列代数式．
【分析】（1）根据运动过程即可求解；
（2）当PQ∥AC时，，即可得x；
（3）按照运动时间进行分类讨论，当0＜x≤3时，，当3＜x＜8时，过点Q作QH⊥AH于点H，则QH∥BC，可得△AHQ∽△ABC，可得，可得，，即可得y关于x的函数关系式．
【解答】解：（1）由题意可得：
∴BP＝（8﹣x）cm，
故答案为：（8﹣x）cm；
（2）当PQ∥AC时，，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）当0＜x≤3时，BQ＝2x，BP＝8﹣x，
＝﹣x2+8x，
当3＜x＜8时，过点Q作QH⊥AH于点H，则QH∥BC，
∴△AHQ∽△ABC，
∴，
∵∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴．
【点评】本题考查列代数式，平行线分线段对应成比例，用勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质综合，二次函数综合．
24．某次茶艺比赛中指定使用的饮水机工作流程为：先将20℃的饮用水加热到100℃，然后马上停止加热，水温开始下降．已知整个过程中水温y（℃）与通电时间x（min）的关系如下表所示：
x（min） 0 1 2 3 4 8 10 20 …
y（℃） 20 40 60 m 100 50 40 20 …
（1）在水温上升过程中，x与y满足某种数量关系，m＝　80　 ；
（2）在水温下降过程中，x与y满足某种比例关系，这种比例关系是　反比例　 比例关系：用式子表示x与y之间的这种关系为xy＝400　 ；
（3）比赛组织方要求，参赛选手必须把组织方提供的20℃的饮用水用该款饮水机加热到100℃，然后降温到80℃方可使用，求从饮水机加热开始到可以使用需要等待多长时间？
【考点】函数关系式．
【分析】（1）观察表格可知，在水温上升过程中，每加热一分钟，水温就上升20℃，据此求解即可；
（2）观察表格可知，在水温下降过程中，x与y的乘积等于400，据此可得答案；
（3）根据（2）所求求出当y＝80时，x＝5，据此可得答案．
【解答】解：（1）在水温上升过程中，每加热一分钟，水温就上升20℃，
∴m＝80，
故答案为：80；
（2）x与y满足反比例关系，且xy＝400，
故答案为：反比例，xy＝400；
（3）在xy＝400中，当y＝80时，x＝5，
∴从饮水机加热开始到可以使用需要等待5min．
【点评】本题主要考查了代数式求值，反比例关系，有理数加法的实际应用，熟练掌握以上知识点是关键．
四．函数自变量的取值范围（共7小题）
25．函数中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣2且 B．x≤2且
C．x≤2 D．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据分式中分母不等于0，二次根式的被开方数大于或等于0，列式求解即可．
【解答】解：由条件可知x≥﹣2；
∵分母1﹣2x≠0，
∴；
故选：A．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，掌握相关知识点是解题的关键．
26．函数中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣2 B．x≥﹣2且x≠1 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≠1
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据二次根式（a≥0），以及分母不为0，可得x+2≥0且x﹣1≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
x+2≥0且x﹣1≠0，
∴x≥﹣2且x≠1，
故选：B．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式（a≥0），以及分母不为0是解题的关键．
27．若使函数的自变量的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是（　　）
A．0＜b＜c B．0＜c＜b C．b＜0＜c D．c＜0＜b
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】函数的自变量x取值范围是一切实数，即分母一定不等于0，即方程x2﹣2bx+c2＝0无解．即Δ＝4b2﹣4c2＜0，即可解得b、c的关系．
【解答】解：根据题意可知，函数的分母一定不等于0，
∴x2﹣2bx+c2＝0无解，
即Δ＝4b2﹣4c2＝4（b+c）（b﹣c）＜0，
解得：c＜b＜﹣c或﹣c＜b＜c，
当c＞b＞0时，一定满足要求．
故选：A．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握函数自变量的取值范围的计算方法是关键．
28．函数y的定义域是 x≠0　 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据分母不为0，可得x≠0，即可得出答案．
【解答】解：由题意得：x≠0，
故答案为：x≠0．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
29．小明在探究事物的变化过程时发现，在某个变化过程中也可能有三个变量，参考本学期学习函数的经验，小明将这三个变量设为x、y和z，如果在变量x和y的允许取值范围内，变量z随着x和y的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，小明就将变量z叫做变量x和y的二元函数，例如，小明认为x、y两数的积z，就是x和y的二元函数．同样为了继续研究二元函数，小明把语句“z是x和y的二元函数”用记号z＝f（x，y）来表示．现在，小明在研究过程中发现了一个二元函数f（x，y），满足特征f（x，x）＝0，f（x，f（y，z））＝f（x，y）﹣z，那么f（2025，2024）＝　﹣1　 ．
【考点】函数自变量的取值范围；常量与变量；函数的概念．
【分析】根据题意先推出f（x，f（x，z））＝﹣z，然后推出f（z，0）＝﹣z，再通过把f（2025，2024）＝f（2025，f（2024，2024））+2024化简求解即可．
【解答】解：∵f（x，x）＝0，f（x，f（y，z））＝f（x，y）﹣z，
∴f（x，f（x，z））+z＝f（x，x）＝0，
∴f（x，f（x，z））＝﹣z，
令x＝z，则f（z，f（z，z））＝f（z，0）＝﹣z．
∴f（2025，2024）＝f（2025，f（2024，2024））+2024＝f（2025，0）+2024＝﹣2025+2024＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了函数的新定义，通过变量代换对函数进行变形是解答本题的关键．
30．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是　1≤x≤2　 ，最小值是　3　 ”．
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2时，值最小为3”．
小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，则在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．”
请你根据他们的解题解决下面的问题：
（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x的取值范围是　4≤x≤6　 ，最小值是　8　 ．
（2）已知y＝|x+4|﹣|x+2|，求y的最大值和最小值及相应的x的取值范围，并写出解答过程．
（3）求x为何值时，式子有最小值，并求出此最小值．
【考点】函数自变量的取值范围；有理数；数轴；绝对值；非负数的性质：绝对值．
【分析】根据绝对值几何意义解答即可；
（1）根据绝对值分类讨论求解即可；
（2）根据绝对值分类讨论求解即可；
（3）根据绝对值的几何意义即可求解；
【解答】解：当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x取值范围是﹣1≤x≤2，最小值是3．
故答案为：﹣1≤x≤2；3；
（1）当x＜2时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|＝20﹣4x＞12；
当2≤x＜4时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|＝16﹣2x＞8；
当4≤x≤6时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|＝8；
当6＜x≤8时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|＝2x﹣4≥12；
当x＞8时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|＝4x﹣20＞12；
∴式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x的取值范围是4≤x≤6，最小值是8．
故答案为：4≤x≤6；8．
（2）当x≤﹣4时，y＝|x+4|﹣|x+2|＝﹣x﹣4+x+2＝﹣2；
当﹣4＜x＜﹣2时，y＝|x+4|﹣|x+2|＝x+4+x+2＝2x+6；
当x≥﹣2时，y＝|x+4|﹣|x+2|＝x+4﹣x﹣2＝2；
∴当x≥﹣2，y最大值为2；当x≤﹣4，y最小值为﹣2；
（3）原式＝|x﹣（）|+|x﹣（）|+|x﹣（）|+...+|x﹣（）|，
∵表示x在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和，
∴当时，有最小值，最小值为
．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小，分类讨论是解题关键．
31．一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩油量为y（升），行驶路程为x（千米）
（1）上述变化过程中，哪个量是自变量，哪个量是因变量；
（2）用含x的代数式表示y；（写出自变量的取值范围）
（3）当x＝10时，y是多少？当y＝24时，x是多少？
【考点】函数自变量的取值范围；常量与变量．
【分析】（1）根据自变量及因变量的定义结合题意可得出答案；
（2）根据题意所述结合（1）所判断的自变量与因变量即可列出函数关系式；
（3）分别令x＝10，及y＝24代入即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：自变量是行驶路程，因变量是剩油量，
故答案为：行驶路程，剩油量；
（2）根据每行1千米，耗油0.6升及总油量为48升可得：y＝48﹣0.6x，
由题意可得，
∴，
解得0≤x≤80，
故答案为：y＝48﹣0.6x（0≤x≤80）；
（3）当x＝10时，y＝48﹣0.6x＝48﹣0.6×40＝42；
当y＝24时，y＝48﹣0.6x＝24，解得x＝40；
故答案为：42，40．
【点评】本题考查了自变量及因变量的定义以及一次函数的简单应用，穿插了函数值及函数关系式的知识．
五．函数值（共6小题）
32．变量y与x的关系式为y＝﹣2x+4，当x＝﹣1时，y的值为（　　）
A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣6
【考点】函数值；函数关系式．
【分析】将 x＝﹣1 代入关系式y＝﹣2x+4直接计算即可．
【解答】解：∵变量y与x的关系式为y＝﹣2x+4，
∴当x＝﹣1时，
y＝﹣2×（﹣1）+4＝2+4＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了函数值，函数关系式，掌握相关知识是关键．
33．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．若输入x的值为1时，则输出y的值为（　　）
A．0 B．2 C．﹣3 D．3
【考点】函数值．
【分析】根据输入的x的值为4时，输出的y的值为5，求出b＝﹣3，进而求出输入x的值为1时，输出y的值即可．
【解答】解：根据流程图与有理数运算可得：
若输入的x的值为4时，输出的y的值为5，
则2×4+b＝5，解得b＝﹣3，
∵1＜3，
∴输出的数是﹣3×1+3＝0，
故选：A．
【点评】本题考查了流程图与有理数运算，理解流程图是解题关键．
34．当x＝3时，y＝3x+1的函数值是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【考点】函数值．
【分析】根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【解答】解：当x＝3时，y＝3x+1＝3×3+1＝10，
故选：A．
【点评】本题考查了函数值，利用自变量与函数值的对应关系是解题关键．
35．在一次函数y＝x+1中，若x＝3，则函数值y＝　4　 ．
【考点】函数值．
【分析】把x＝3代入y＝x+1即可．
【解答】解：当x＝3时
y＝x+1＝3+1＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了一次函数函数值的求解，掌握正确的代入法是解决问题的关键．
36．某地的气温T（℃）与海拔高度h（m）之间的关系可以近似的用来表示，根据这个关系式，当海拔高度h为450m时，此地的气温T为　7　 ℃．
【考点】函数值．
【分析】将h＝450代入关系式计算即可．
【解答】解：某地的气温T（℃）与海拔高度h（m）之间的关系可以近似的用来表示，
当h＝450时，，
故答案为：7．
【点评】本题考查函数值，正确进行计算是解题关键．
37．如图，某种杆秤在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，C为0刻度点，当秤盘不放物品时，提起提纽，移动秤砣所挂的位置，秤杆处于平衡．若秤盘中放入x克物品后，秤砣所挂的位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡，y与x的关系式为y＝10+2x，当x＝25克时，y的长度是　60　 毫米．
【考点】函数值．
【分析】根据已知的函数关系式y＝10+2x，将自变量x＝25代入，进而求出对应的函数值y．
【解答】解：已知函数关系式y＝10+2x，
由条件可得y＝10+2×25＝60（毫米）．
故答案为：60．
【点评】本题考查的是一次函数的求值，熟练掌握函数值的代入计算方法是解题的关键．
六．函数图像（共7小题）
38．周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时后达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往海滨公园．如图是他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题：
（1）图中自变量是t ，因变量是s ；
（2）小明家到滨海公园的路程为　30　 km，小明在中心书城逗留的时间为　1.7　 h；
（3）小明出发　2.5　 小时后爸爸驾车出发；
（4）图中A点表示　2.5小时后小明继续坐公交车到滨海公园　 ；
（5）小明从中心书城到滨海公园的平均速度为　12　 km/h，小明爸爸驾车的平均速度为　30　 km/h；（补充；爸爸驾车经过　　 追上小明）；
（6）小明从家到中心书城时，他离家路程s与坐车时间t之间的关系式为s＝15t（0≤t≤0.8）　 ．
【考点】函数的图象；常量与变量；函数关系式．
【分析】（1）根据图象进行判断，即可得出自变量与因变量；
（2）根据图象中数据进行计算，即可得到路程与时间；
（3）根据图象即可得到爸爸驾车出发的时间；
（4）根据点A的坐标即可得到点A的实际意义；
（5）根据相应的路程除以时间，即可得出速度；
（6）根据点A的坐标，得出小明的速度，再根据路程＝速度×时间，可得他离家路程s与小明离家时间t之间的关系式．
【解答】解：（1）他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，
自变量是t，因变量是s，
故答案为：t，s；
（2）由图可得，小明家到滨海公园的路程为30km，
小明在中心书城逗留的时间为2.5﹣0.8＝1.7（h）；
故答案为：30，1.7；
（3）由图可得，小明出发2.5小时后爸爸驾车出发；
故答案为：2.5；
（4）由图可得，A点表示2.5小时后小明继续坐公交车到滨海公园；
故答案为：2.5小时后小明继续坐公交车到滨海公园；
（5）小明从中心书城到滨海公园的平均速度为，
小明爸爸驾车的平均速度为；
爸爸驾车经过追上小明；
故答案为：12，30，；
（6）小明从家到中心书城时，他的速度为，
∴他离家路程s与坐车时间t之间的关系式为s＝15t（0≤t≤0.8），
故答案为：s＝15t（0≤t≤0.8）．
【点评】本题主要考查了函数图象，以及行程问题的数量关系的运用，解答时理解清楚函数图象的意义是解答此题的关键．
39．甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程s（米）与时间t（秒）的函数关系如图所示，填 　甲　 （“甲”或“乙”先到终点）．
【考点】函数的图象．
【分析】这次赛跑中先到达终点的是用时较少的，据此可得答案．
【解答】解：由图象可知，甲用了12秒，乙用了14秒，所以甲先到终点．
故答案为：甲．
【点评】本题主要考查了图象的读图分析能力，要能根据图象的性质和图象上的数据并结合实际意义得到正确的结论．
40．某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图1所示的小孔成像实验．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，绘制了火焰的像高y（单位：cm）与物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的函数图象（如图2所示），为便于观察，在实验中要求火焰的像高不得低于4cm，求小孔到蜡烛的距离至多是 　6　 厘米．
【考点】函数的图象．
【分析】根据函数图象即可得出结论．
【解答】解：由函数图象可知，火焰的像高y（单位：cm）随物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的增大而减小，
由函数图象可得：当y≥4时x≤6，
∴小孔到蜡烛的距离至多是6厘米，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是函数的图象，从图象上得出相关信息是解题关键．
41．甲和乙在一次赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么下列结论正确的是　②③④　 ．（填序号）
①甲比乙先出发；②甲比乙先到终点；③甲速是乙速的2倍；④甲、乙所行路程一样多．
【考点】函数的图象．
【分析】根据图示信息逐项分析判断即可．
【解答】解：甲乙是同时出发的，所以①错，不符合题意；
甲比乙先到终点，乙用时是甲的2倍，所以甲的速度是乙的2倍，所以②、③对，符合题意；
由图示可知，甲乙所行路程一样多，所以④对，符合题意；
答：正确的结论为②③④．
故答案为：②③④．
【点评】本题主要考查行程问题，从图中获取所需信息是解题的关键．
42．某高效记忆训练营对新学员开展提升记忆力的培训．在完成有关记忆方法的理论学习后，新学员先接受为期T日（T可取0，1或2）的记忆强化训练，然后开始每日记忆测试．测试内容为：1分钟内观看并记忆一组无序数字并立即默写．记一名新学员在测试阶段的第x日每分钟正确默写的数字量为y．根据测试经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当T＝0和T＝2时，部分数据如下：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
T＝0时y的值 0 6 7 9 10 14 17 20 21 23
T＝2时y的值 0 20 25 28 m 33 35 37 38 39
T＝2时，从测试阶段的第2日起，一名新学员每日比前一日多记忆的数字量（即：日增长量）逐渐减少或保持不变．
对于给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对（x，y）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接．得到曲线 T.当T＝1时，曲线C1如图所示．
（1）观察曲线C1，当整数x的值为 　3　 时，y的值首次超过20；
（2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T＝2时的曲线C2；
（3）完成理论学习后，为调动新学员培训的积极性，该训练营在强化训练和记忆测试阶段组织了竞赛比拼．小明和小雯也积极参与到活动之中．
①若新学员单日每分钟至少记忆30个数字可获得“记忆达人”称号，根据上述函数关系，小明最早在完成理论学习后的第 　6　 日可获得“记忆达人”证书；
②竞赛规定新学员在完成理论学习后的3日内记忆数字个数的总数最多可获得“最佳学员”称号，若小雯希望获得此称号，根据上述函数关系，在这3日中小雯应先进行 　1　 日的强化训练．
【考点】函数的图象；函数的概念；函数值．
【分析】（1）找C1图象上y的值首次超过20时的x值；
（2）根据第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，第5日比第3日多试制5个合格产品，可知第4日比第3日多3个合格产品，即得；运用表格数据在平面直角坐标系描点画出函数图象；
（3）①根据单日每分钟至少记忆30个数字，结合图象即可判断得解；
②依据题意，由小雯获得“最佳学员”称号的强化天数需在“完成理论学习后的3日内”（总天数T+x≤3）使记忆数字总数最多，结合T＝2、T＝1、T＝0，从而可以得解．
【解答】解：（1）由曲线C1看出，当整数x的值为3时，y的值首次超过20，
故答案为：3；
（2）∵T＝2日的强化训练时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在测试阶段的第3日单日记忆的数字量28个，第5日单日记忆的数字量33个，
∴相差33﹣28＝5（个），
把5分成两个接近的数，5＝3+2，
∴第4日增加3个，第5日增加2个，
∴m＝28+3＝31，
画出T＝2时的曲线C2：
（3）①T＝0：y最大为23，无法满足；T＝1：曲线C1显示x＝9时y≈30，总天数为1+9＝10日；
T＝2：x＝4时，y＝31≥30，总天数为2+4＝6日．
因此，小明最早在完成理论学习后的第6日获得证书．
故答案为：6；
②小雯获得“最佳学员”称号的强化天数需在“完成理论学习后的3日内”（总天数T+x≤3）使记忆数字总数最多：
T＝2：强化2天，测试1天（x＝1），总数为20；
T＝1：强化1天，测试2天（x＝2），总数约为10+15＝25；
T＝0：强化0天，测试3天（x＝3），总数为6+7+9＝22，
总数最大为25，对应强化天数T＝1，
因此小雯应先进行1日的强化训练．
故答案为：1．
【点评】本题考查了表格法与图象法表示函数．熟练掌握函数表示的表格法与图象法，根据表格信息画函数图象，函数的图象和性质，函数的增减性质，求函数值或自变量的值，是解题的关键．
43．某品牌新能源汽车充满电后，电池中剩余电量y（kw h）与汽车行驶路程x（km）之间的关系如图所示（不计电池耗损及天气影响）．根据图象回答下列问题：
（1）充满电最多可以行驶 　500　 km．
（2）汽车每行驶100km消耗 　12　 kw h．
（3）电池中的剩余电量不大于15（kw h）时，汽车将自动报警．那么行驶多少千米后，汽车将自动报警？
（4）现有一台充满电的新能源汽车，小明驾驶此车行驶了260km，正好到达充电站，此时充电桩充电费用为1.2元/（kw h），请你帮小明算一算此时将电车充满电需花费多少元？
【考点】函数的图象．
【分析】（1）根据函数图象即可解答；
（2）根据函数图象即可解答；
（3）先求出y与x的函数关系式，再令y＝15，求得x的值即可；
（4）先求出x＝260的函数值，再求出需要冲的电量，然后再求费用即可．
【解答】解：（1）由函数图象可知：充满电最多可以行驶500km．
故答案为：500；
（2）汽车每行驶100km消耗60÷5＝12kw h．
故答案为：12；
（3）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，
把（0，60），（500，0）代入y＝kx+b，可得，解得：．
∴此函数解析式；
当y＝15时，可得：，解得：x＝375．
答：行驶375km后，汽车将自动报警．
（4）当x＝260时，，
则将电车充满电需花费1.2×（60﹣28.8）＝37.44．
答：将电车充满电需花费37.44元．
【点评】本题主要考查了从函数图象上获取信息、求函数解析式、一次函数的应用等知识点，正确求得函数解析式成为解题的关键．
44．已知小林同学的家、碧沙岗公园、新华书店在同一条直线上，小林从家匀速走15分钟到碧沙岗公园，在公园休息了一阵后又匀速走到新华书店买书，然后再匀速走回家．下面给出的图象反映了在这个过程中小林离家的距离y（km）与离家的时间x（分钟）之间的对应关系，请根据相关信息，解答下列问题：（1）在这个变化过程中，自变量是 　时间　 ；因变量是 　距离　 ．
（2）填空：①在这个变化过程中，碧沙岗公园到新华书店的距离为 　1　 km；
②小林从碧沙岗公园到新华书店的步行速度为 　　 km/分钟．
（3）当小林离家的距离为1km时，请你求出他离家的时间．
【考点】函数的图象；常量与变量．
【分析】（1）根据函数的定义可得答案；
（2）①根据函数图象相应点的纵坐标可得碧沙岗公园到新华书店的距离；②根据“速度＝路程÷时间”可得答案；
（3）分去和返回两种情况解答即可．
【解答】解：（1）在这个变化过程中，自变量是时间，因变量是距离．
故答案为：时间，距离；
（2）①在这个变化过程中，碧沙岗公园到新华书店的距离为：2.5﹣1.5＝1（km），
故答案为：1；
②小林从碧沙岗公园到新华书店的步行速度为：1÷（45﹣30）（km/分钟），
故答案为：；
（3）当小林离家的距离为1km时，他离家的时间为：16（分钟）或65+（90﹣65）73（分钟）．
【点评】本题考查了函数的图象，常量和变量，解答问题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合思想解答．
1．已知f（x）＝x2﹣1，那么　5　 ．
【考点】函数值．
【分析】将代入函数f（x）＝x2﹣1中，直接计算即可．
【解答】解：已知f（x）＝x2﹣1，
由函数定义，．
故答案为：5．
【点评】本题考查了新定义运算，函数解析式的运用，读懂题意是解题的关键．
2．在函数y中，自变量x的取值范围是x≤2且x≠0　 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，2﹣x≥0且x≠0，
解得x≤2且x≠0．
故答案为：x≤2且x≠0．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3．用一根绳子围成一个长方形，其中一边长为xm，且长方形的周长为10m．若长方形的另一边长为ym．用式子表示y与x的关系为y＝5﹣x ．
【考点】函数关系式．
【分析】根据长方形周长的计算方法进行计算即可．
【解答】解：由题意得，2（x+y）＝10，
即y＝5﹣x，
故答案为：y＝5﹣x．
【点评】本题考查函数关系式，理解函数的定义，掌握长方形周长的计算方法是正确解答的关键．
4．在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进1km所用的时间，即“配速”（单位：min/km）．小华参加5km的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中正确的是　①②③　 ．
①第1km所用的时间最长；
②第5km的平均速度最大；
③第2km和第3km的平均速度相同；
④前2km的平均速度大于最后2km的平均速度．
【考点】函数的图象．
【分析】根据“速度＝路程÷时间”解答即可．
【解答】解：由图象可知，
第1km所用的时间最长，约4.5分钟，故①说法正确；
第5km所用的时间最长最小，即平均速度最大，故②说法正确；
第2km和第3km的平均速度相同，故③说法正确；
前2km的平均速度小于最后2km的平均速度，故④说法错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查函数的图象，掌握时间、速度、路程之间的数量关系是解题的关键．
1．如图①，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，，AD＝6，BC＝7，点P是边AD上的动点，连接BP，作∠BPF＝∠ADC，设射线PF交线段BC于E，交射线DC于F．
（1）如果射线PF经过点C（即点E、F与点C重合，如图②所示），求AP的长；
（2）若点F在DC的延长线上，不与点C重合，设AP＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围．
【考点】函数关系式；函数自变量的取值范围．
【分析】（1）如图所示，过点C作CM⊥AD延长线于点M，则∠M＝90°，可证四边形ABCM是矩形，由勾股定理得到PC2＝3+（1+PD）2，再证明△CDP∽△BPC，得到PC2＝BC PD＝7PD，联立方程，解一元二次方程即可；
（2）如图所示，在AP上取点N，使得∠ABN＝30°，则∠ANB＝60°，∠BNP＝120°，根据解直角三角形的计算得到AN＝1，BN＝2，则NP＝x﹣1，DP＝6﹣x，再证明△NBP∽△DPF，即可得到y关于x的函数解析式，结合（1）中AP的长为2或5即可得到x的取值范围．
【解答】解：（1）如图所示，过点C作CM⊥AD延长线于点M，则∠M＝90°，
由条件可知∠ABC＝90°＝∠A＝∠M，
∴四边形ABCM是矩形，
∴，
∴DM＝AM﹣AD＝7﹣6＝1，
由勾股定理可得：
，
，
∵AD∥BC，
∴∠DPC＝∠PCB，且∠BPC＝∠ADC，
∴△CDP∽△BPC，
∴，则PC2＝BC PD＝7PD，
∴3+（1+PD）2＝7PD，
整理得，PD2﹣5PD+4＝0，则（PD﹣1）（PD﹣4）＝0，
解得PD＝1或PD＝4，
∴当PD＝1时，AP＝AD﹣PD＝5；
当PD＝4时，AP＝AD﹣PD＝2；
∴AP的长为2或5；
（2）如图所示，在AP上取点N，使得∠ABN＝30°，则∠ANB＝60°，∠BNP＝120°，
∴，
∴，BN＝2AN＝2，
∴NP＝AP﹣AN＝x﹣1，DP＝AD﹣AP＝6﹣x，
由（1）得，，
∴∠CDM＝60°，则∠PDF＝120°＝∠BNP＝∠BPF，
∴∠NBP+∠NPB＝∠NPB+∠DPF＝60°，
∴∠NBP＝∠DPF，
∴△NBP∽△DPF，
∴，即，
∴，
∴2＜x＜5，
∴y关于x的函数解析式及x的取值范围为：．
【点评】本题主要考查矩形的判定和性质，解直角三角形的计算，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键．
2．阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算“※”为：a*b，求1*（﹣2）的值．
小明是这样解决问题的：由新定义可知a＝1，b＝﹣2，又b＜0，所以1*（﹣2）．
请你参考小明的解题思路，回答下列问题：
（1）计算：2*3的值；
（2）若5*m，求m的值；
（3）函数y＝2*x（x≠0）的图象大致是D （填字母）．
【考点】函数的图象．
【分析】（1）根据新定义进行解答即可；
（2）根据新定义分两种情况进行解答即可；
（3）分x＞0和x＜0两种情况进行分析即可得到答案．
【解答】解：（1）由定义运算“※”为：a*b，得；
故答案为：；
（2）∵当m＞0时，，
解得m＝6，
当m＜0时，，
解得m＝﹣6，
∴m＝±6；
故答案为：±6；
（3）∵当x＞0时，，
∴此时是双曲线的第一象限部分；
∵当x＜0时，，
∴此时是双曲线的第二象限部分；
故函数y＝2*x（x≠0）的图象大致是D．
【点评】此题考查了反比例函数的图象和性质，实数的新定义运算等知识．
3．小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质．研究过程如下：
绘制函数的图象．
列表：表格中是x，y的几组对应值．
x ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2
y 0 ﹣1 ﹣2 4 3 m
描点：根据表中数值描出点（x，y），并补充描出点（0，m）．
连线：用平滑的曲线顺次连接各点．
请你帮助小明解决下列问题
（1）表格中m＝　2　 ，并把图象补充完整；
（2）探究函数的性质：
判断下列说法是否正确（正确的填√，错误的填×）．
①函数值y随x的增大而减小．（　×　 ）
②函数图象关于点（﹣1，1）对称．（　√　 ）
③函数图象与直线x＝﹣1没有交点．（　√　 ）
【考点】函数的图象．
【分析】（1）根据题意，把x＝0代入计算得到m＝2，运用描点、连线的方法得到函数图象；
（2）根据函数图象进行判定解．
【解答】解：（1）根据题意，当x＝0时，，
∴m＝2，
描点，连线如图所示，
故答案为：2；
（2）每一个分支上，函数值y随x的增大而减小，故①×；
函数图象关于点（﹣1，1）对称，故②√；
函数图象与直线x＝﹣1没有交点，故③√；
故答案为：①×，②√，③√．
【点评】本题主要考查函数图象的性质，理解表格信息，掌握描点、连线，函数图象性质是解题的关键．
4．电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响，下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．以下是部分实验数据：x为温度（单位：℃），y1为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，y2为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量．（电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量）．
x/℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 40 50
y1 0.93 0.98 1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.95
y2 0.72 0.85 0.93 0.98 0.99 1.0 0.98 0.97
（1）可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，在同一平面直角坐标系xOy中，已经画出y1与x的函数图象，请画出y2与x的函数图象；
（2）在温度为　20　 ℃时两款电池相对容量相同．
（3）在　10或40　 ℃下锰酸锂电池的相对容量与在﹣10℃下磷酸铁锂电池的相对容量相等；
（4）随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量是如何变化的？
（5）由于冬季天气较冷，小林爸爸准备购买一台电动汽车送小林上学，考虑到续航持久性，你认为小林爸爸买车时应该选择配置上述两种电池的哪一种电池（不考虑价格等因素），请说明你的理由．
【考点】函数的图象．
【分析】（1）先描点，再连线，即可得出y2与x的函数图象；
（2）根据表格中的数据进行解答即可；
（3）根据表格中的数据得出答案即可；
（4）根据函数图象进行解答即可；
（5）根据表格中数据进行解答即可．
【解答】解：（1）如图：
（2）在温度为20℃时两款电池相对容量相同，
故答案为：20；
（3）在10℃或40℃下锰酸锂电池的相对容量与在﹣10℃下磷酸铁锂电池的相对容量相等，
故答案为：10或40；
（4）随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量都是先增大后减小；
（5）小林爸爸买车时应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车；理由如下：
根据表格中的数据可知：在温度较低时，磷酸铁锂电池的相对容量比锰酸锂电池的相对容量要大，所以考虑到续航持久性，应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车．
【点评】本题主要考查了画函数图象，表格表示变量之间的关系，解题的关键是理解题意，熟练掌握画函数图象的基本步骤．
5．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，点P沿折线A→B→C向终点C运动，在AB上的速度为每秒2个单位长度，在BC上的速度为每秒个单位长度．过点P作PD⊥AC于点D，以PD为边向右侧作矩形PDEF，且PD＝2PF．设点P的运动时间为t秒，矩形PDEF和△ABC重叠部分图形的面积为S．
（1）当点F在BC上时，t＝　2　 ．
（2）当矩形PDEF和△ABC重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围．
【考点】函数关系式．
【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，得到AB＝AC＝6，，∠B＝∠C＝45°，当点F在BC上时，由题意得PD＝2t，，则PB＝AB﹣PD＝6﹣2t，由矩形PDEF，得到∠BFP＝∠B＝45°，则PB＝PF，据此列方程求解即可；
（2）当P在AB上，F到BC之前时；当P在AB上，F到BC之后时；当P在BC上时，三种情况分类讨论，分别画出图形，表示出对应线段的长度，求出当矩形PDEF和△ABC重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式即可，注意证明等腰直角三角形．
【解答】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，
∴AB＝AC＝6，，∠B＝∠C＝45°
当点F在BC上时，由题意得PD＝2t，，则PB＝AB﹣PD＝6﹣2t，
∵矩形PDEF，
∴PF∥AC，
∴∠BFP＝∠B＝45°，
∴PB＝PF，
∴t＝6﹣2t，
解得t＝2，
故答案为：2；
（2）当P在AB上，F到BC之前时，0＜t≤2，如图，
此时矩形PDEF和△ABC重叠部分的图形为矩形PDEF，
S＝S矩形PDEF＝PD PF＝2t 2t＝2t2；
当P在AB上，F到BC之后时，2＜t≤3，如图，
此时矩形PDEF和△ABC重叠部分的图形为五边形，不合题意；
当P在BC上时，如图，设EF与BC交点G，
此时矩形PDEF和△ABC重叠部分的图形为梯形PDEG，
此时由题意可得：，，
∵，
∴，
解得3＜t＜6，
∵矩形PDEF，
∴∠FPG＝∠C＝∠PGF＝∠EGC＝∠DPC＝45°，
∴PF＝FG，EG＝EC，PD＝DC，
∴，
∴PD＝EF＝12﹣2t，
∵PD＝2PF，
∴EG＝EF﹣FG＝6﹣t，
∴矩形PDEF和△ABC重叠部分的图形面积；
综上所述，S．
【点评】本题考查动点问题的函数解析式，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质．
6．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙离A点的距离分别为S甲、S乙（km）与行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示．
（1）A、B两地之间的路程为　240　 km；
（2）经　2　 小时，甲、乙两人相遇，此时距B地的距离为　160　 km；
（3）甲出发多少小时后，甲、乙两人相距180km？
【考点】函数的图象．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以得到答案；
（2）根据函数图象中的数据利用“速度＝路程÷时间”即可求解求出两人的速度，根据速度、时间、路程之间的关系求解；
（3）分情况讨论，相遇前、相遇后且乙到达终点前、乙到达终点后，列式计算即可求解．
【解答】解：（1）由图可知，甲乙两地相距240km；
故答案为：240；
（2）甲的速度为240÷6＝40（km/h），乙的速度为240÷3＝80（km/h）；
甲、乙两人相遇时所用时间为：240÷（40+80）＝2（h），
此时距B地的距离为80×2＝160（km），
故答案为：2，160；
（3）设甲出发xh后甲、乙两人相距180km．
分三种情况：
相遇前，（40+80）x＝240﹣180，
解得x＝0.5；
相遇后且乙到达终点前，（40+80）x﹣180＝240，
解得x＝3.5，3.5＞3，不合题意，舍去；
乙到达终点后，40x＝180，
解得x＝4.5；
综上可知，甲出发0.5或4.5h后甲、乙两人相距180km．
【点评】本题考查函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程的思想和数形结合的思想解答．
7．周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时后到达中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明坐公交车的同时，爸爸驾车沿相同的路线前往滨海公园，结果比小明早到0.5小时．如图是他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题：
（1）小明家到滨海公园的路程为　30　 km，小明在中心书城逗留的时间为　1.7　 h；
（2）小明两次乘坐公交车，其中最快的速度为　15　 km/h：小明爸爸驾车的速度为　30　 km/h；
（3）小明从家出发多长时间和爸爸处在同一位置？
【考点】函数的图象．
【分析】（1）直接根据图象得出答案即可；
（2）根据相应的路程除以时间，即可得出速度；
（3）设小明从家出发x小时和爸爸处在同一位置，列方程求出x的值，进而可求出此地距离滨海公园距离．
【解答】解：（1）小明家到滨海公园的路程为30km，
小明在中心书城逗留的时间为2.5﹣0.8＝1.7（h），
故答案为：30，1.7；
（2）小明从家到中心书城时，他的速度为，
小明从中心书城到滨海公园的平均速度为，
∴小明两次乘坐公交车，其中最快的速度为15km/h；
小明爸爸驾车的平均速度为，
故答案为：15，30；
（3）设小明从家出发x小时和爸爸处在同一位置，由题意得：
30（x﹣2.5）＝12+12（x﹣2.5），
解得：，
答：小明从家出发小时和爸爸处在同一位置．
【点评】本题主要考查了从函数图象获取信息，以及一元一次方程的应用，解题的关键是根据实际问题并结合函数的图象得到进一步解题的有关信息．第8讲变量与函数
(知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义
本节课主要针对第25章一次函数进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了函数相关概念、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。
知识点一 常量和变量
在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量,数值始终不变的量为常量.
注意：
变量和常量是相对而言的，判断的前提是“在同一个变化过程中”.当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变；
“常量”是已知数,是指在整个变化过程中保持不变的量,不能认为式中出现的字母就是变量,如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量;
判断一个量是不是变量,关键是看在变化过程中其数值是否发生变化;
变量、常量与字母的指数没有关系,如S=r 中,变量是“S和“r”（不能说r ）,常量是“n”.指出一个变化过程中的常量时,必须连同它前面的符号一起写出.
知识点二 自变量与函数
1.函数
一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.
例如,在s=60t中,有两个变量s与t,当t变化时，s也随之发生变化,并且对于t在其取值范围内的每一个值，s 都有唯一确定的值与之对应,我们就称t是自变量,s是t的函数
注意：函数是相互关系，一定要说谁是谁的函数，不能直接说s是函数.
2.对函数定义的理解
(1)有两个变量.例如，在三角形中，若三个内角的度数分别为x,y,z，则有关系
中有三个变量，y就不是x的函数.
函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系,且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化
函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量x的每一个确定的值,有且只有一个值与之对应;对自变量x的不同取值，y的值可以相同,如:函数,当和时，的值都是
例如，如:,当x=1时,有两个值与之对应,所以不是的函数.
3.自变量、因变量
在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值唯一确定的另一个变量即为因变量，也就是该自变量的函数.
知识点三 函数解析式与函数关系的表达
1.函数解析式
表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式.
2.函数关系的三种表示形式
（1）用数学式子表示:如教材例题1中，气温的摄氏度与华氏度之间的函数关系用数学式子表示;
（2）用表格来表示，如教材例题1中用表格表示摄氏度x与华氏度y之间的函数关系;
（3）用图像来表示，如教材例题2中，用一个图像表示当地某一天的气温随时间变化情况.
注意：有些函数关系是没有关系式的，如心电图中的时间与生物电流的关系
知识点四 函数的定义域与函数值
1.函数的定义域
函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域.
常见函数解析式中，函数的定义域的求解方法:
类型 特点 自变量取值范围 举例
整式型 等号右边是关于 自变量的整式 全体实数 (x取全体实数)
分式型 等号右边是关于 自变量的分式 使分母不为0的 实数
根式型 等号右边是关于 自变量的开偶次 方的式子 使根号下的式子 大于或等于0的 实数
零(或负 整数)次 幂型 等号右边是关于 自变量的零(或 负整数)次幂 使底数不为0的 实数
综合型 两种及以上类型综合 满足各部分都有意义
在实际问题中，自变量的取值还必须使实际问题有意义.
2.函数值
如果变量是自变量的函数，那么对于在定义域内取定的一个值，变量的对应值叫做当时的函数值.
3.符号“”的意义
为了深入研究函数，我们把语句“是的函数”用记号来表示.这里表示自变量，表示随变化而变化的规律.
注意：
(1)记号表示“是的函数”,不是表示“”与“”的积;
(2)在同一个问题中同时研究几个不同的函数时,表示函数的记号中,括号外的字母可采用不同的字母,如
(3)在函数用记号表示时,表示当时对应的函数值;
(4)函数的自变量取遍定义域中的所有值,对应的函数值的全体叫做这个函数的值域，如函数,它的值域是 .
一．常量与变量（共9小题）
1．若等腰三角形底边长为a，底边上的高为h，则该三角形的面积.若h为定长，则（　　）
A．S，a是变量 B．S，h是常量 C．h，a是变量 D．S，a是常量
2．下列说法正确的是（　　）
A．在圆的面积公式S＝πr2中，常量是π、r，变量是S
B．加工100个零件，工作效率p与时间t之间的关系式是100＝pt，p、t都是变量
C．以固定的速度v0向上抛一个小球，小球的高度h（m）与小球运动的时间t（s）之间的关系式是，常量是4.9，变量是h、t
D．在匀速运动公式S＝vt中，常量是t，变量是S、v
3．程程在收拾家务时，把32个玩具随机放入两个箱子（每个箱子都放），第一个箱子放入a个，第二个箱子放入b个．这个问题中的变量是（　　）
A．a B．6 C．a和32 D．a和b
4．“早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，气温随时间的变化而变化，其中因变量是　 　 ．
5．在圆面积公式S＝πr2中，常量是　 　 ．
6．在某地，人们发现在一定条件下某种蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系：用蟋蟀1分钟叫的次数x加上30，再把结果除以7，就近似地得到该地当时的气温y（单位：℃）．在这个问题中，变量是　 　 ．
7．如图是小西骑自行车离家的距离s（km）与时间t（h）之间的关系．
（1）在这个变化过程中自变量是　 　 ，因变量是　 　 ；
（2）小西　 　 时到达离家最远的地方，此时离家　 　 km；
（3）问小西几时与家相距20km？
8．周长为20cm的矩形，若它的一边长是xcm，面积是Scm2．
（1）请用含x的式子表示S，并指出常量与变量；
（2）当x＝6时，求S的值．
9．如图，长方形ABCD的四个顶点在互相平行的两条直线上，AB＝10cm，当点C，D在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化．
（1）在这个变化过程中，自变量是 　 　 ，因变量是 　 　 ；
（2）如果长方形的长BC为x（cm），那请用含x的式子表示长方形ABCD的面积y（cm2）；
（3）当长方形的长BC从15cm变到20cm时，长方形的面积怎么变化？
二．函数的概念（共7小题）
10．下列关系中，不能表示y是x的函数的是（　　）
A．
x … 1 2 4 5 …
y … 2 5 5 2 …
B．y＝x﹣1
C．
D．
11．下列各图能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
12．写出一个函数　 　 ，使得该函数在x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
13．“早穿皮袄，午穿纱”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，　 　 随　 　 变化而变化．
14．一空水池现需注满水，水池深4.9m，现以不变的流量注水，数据如下表．可以推断注满水池所需的时间是　 　 ．
水的深度h/m 0.7 1.4 2.1 2.8
注水时间t/h 0.5 1 1.5 2
15．设f（x）表示关于x的函数，若f（m+n）＝f（m）+f（n），且f（6）＝18，那么f（2）＝　 　 ．
16．豌豆苗的呼吸作用强度受温度影响很大，观察图，回答问题：
（1）说明哪个量是自变量，哪个量是自变量的函数．
（2）温度在什么范围内时豌豆苗的呼吸作用强度逐渐变强？在什么范围内逐渐减弱？温度对豌豆苗的呼吸作用强度的影响．
三．函数关系式（共8小题）
17．人工智能逐渐融入我们的生活．如图所示，某餐厅购买一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．如表记录着地面所受压强、机器人与地面的接触面积之间的关系：
地面所受压强ρ（Pa） 6×105 8×105 1.2×106 1.6×106
接触面积S（m2） 8×10﹣4 6×10﹣4 4×10﹣4 3×10﹣4
则地面所受压强ρ（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为　 　 ．
18．两个正方形的周长之和是32cm．若以两个正方形面积之和y（cm2）为因变量，其中一个正方形的边长x（单位：cm）为自变量，则它们之间的关系式是　 　 ．
19．某商场将一商品在保持销售价50元/件不变的前提下，规定凡购买超过3件者，超出的部分打5折出售．若顾客购买x（x＞3）件，应付y元，则y与x间的关系式是　 　 ．
20．已知用于某爆破工程的炸药包的导火线长150cm，正常情况下，导火线每秒钟燃烧3cm，则导火线燃烧时的剩余长度y（cm）与燃烧时间x（s）之间的函数关系式是　 　 ．
21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点P是BC上一点，设BP长为x且0≤x＜8，△APC的面积为S．
（1）求S与x之间的函数解析式，　 　 ；
（2）当△APC的面积为18时，则BP的长为　 　 ．
22．如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，x节链条总长度为ycm，则y关于x的函数关系式是 　 　 ．
23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．P，Q是△ABC边上的两个动点，点P从点A出发沿A→B方向运动，速度为1cm/s，到达点B停止运动；点Q从点B出发沿B→C→A方向运动，速度为2cm/s，到达点A停止运动．它们同时出发，设出发时间为x秒．
（1）BP＝　 　 （用含x的代数式表示）；
（2）当x＝　 　 秒时，PQ∥AC；
（3）设△PQB的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
24．某次茶艺比赛中指定使用的饮水机工作流程为：先将20℃的饮用水加热到100℃，然后马上停止加热，水温开始下降．已知整个过程中水温y（℃）与通电时间x（min）的关系如下表所示：
x（min） 0 1 2 3 4 8 10 20 …
y（℃） 20 40 60 m 100 50 40 20 …
（1）在水温上升过程中，x与y满足某种数量关系，m＝　 　 ；
（2）在水温下降过程中，x与y满足某种比例关系，这种比例关系是　 　 比例关系：用式子表示x与y之间的这种关系为　 　 ；
（3）比赛组织方要求，参赛选手必须把组织方提供的20℃的饮用水用该款饮水机加热到100℃，然后降温到80℃方可使用，求从饮水机加热开始到可以使用需要等待多长时间？
四．函数自变量的取值范围（共7小题）
25．函数中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣2且 B．x≤2且
C．x≤2 D．
26．函数中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣2 B．x≥﹣2且x≠1 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≠1
27．若使函数的自变量的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是（　　）
A．0＜b＜c B．0＜c＜b C．b＜0＜c D．c＜0＜b
28．函数y的定义域是 　 　 ．
29．小明在探究事物的变化过程时发现，在某个变化过程中也可能有三个变量，参考本学期学习函数的经验，小明将这三个变量设为x、y和z，如果在变量x和y的允许取值范围内，变量z随着x和y的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，小明就将变量z叫做变量x和y的二元函数，例如，小明认为x、y两数的积z，就是x和y的二元函数．同样为了继续研究二元函数，小明把语句“z是x和y的二元函数”用记号z＝f（x，y）来表示．现在，小明在研究过程中发现了一个二元函数f（x，y），满足特征f（x，x）＝0，f（x，f（y，z））＝f（x，y）﹣z，那么f（2025，2024）＝　 　 ．
30．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是　 　 ，最小值是　 　 ”．
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2时，值最小为3”．
小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，则在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．”
请你根据他们的解题解决下面的问题：
（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x的取值范围是　 　 ，最小值是　 　 ．
（2）已知y＝|x+4|﹣|x+2|，求y的最大值和最小值及相应的x的取值范围，并写出解答过程．
（3）求x为何值时，式子有最小值，并求出此最小值．
31．一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩油量为y（升），行驶路程为x（千米）
（1）上述变化过程中，哪个量是自变量，哪个量是因变量；
（2）用含x的代数式表示y；（写出自变量的取值范围）
（3）当x＝10时，y是多少？当y＝24时，x是多少？
五．函数值（共6小题）
32．变量y与x的关系式为y＝﹣2x+4，当x＝﹣1时，y的值为（　　）
A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣6
33．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．若输入x的值为1时，则输出y的值为（　　）
A．0 B．2 C．﹣3 D．3
34．当x＝3时，y＝3x+1的函数值是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
35．在一次函数y＝x+1中，若x＝3，则函数值y＝　 　 ．
36．某地的气温T（℃）与海拔高度h（m）之间的关系可以近似的用来表示，根据这个关系式，当海拔高度h为450m时，此地的气温T为　 　 ℃．
37．如图，某种杆秤在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，C为0刻度点，当秤盘不放物品时，提起提纽，移动秤砣所挂的位置，秤杆处于平衡．若秤盘中放入x克物品后，秤砣所挂的位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡，y与x的关系式为y＝10+2x，当x＝25克时，y的长度是　 　 毫米．
六．函数图像（共7小题）
38．周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时后达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往海滨公园．如图是他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题：
（1）图中自变量是　 　 ，因变量是　 　 ；
（2）小明家到滨海公园的路程为　 　 km，小明在中心书城逗留的时间为　 　 h；
（3）小明出发　 　 小时后爸爸驾车出发；
（4）图中A点表示　 　 ；
（5）小明从中心书城到滨海公园的平均速度为　 　 km/h，小明爸爸驾车的平均速度为　 　 km/h；（补充；爸爸驾车经过　 　 追上小明）；
（6）小明从家到中心书城时，他离家路程s与坐车时间t之间的关系式为　 　 ．
39．甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程s（米）与时间t（秒）的函数关系如图所示，填 　 　 （“甲”或“乙”先到终点）．
40．某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图1所示的小孔成像实验．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，绘制了火焰的像高y（单位：cm）与物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的函数图象（如图2所示），为便于观察，在实验中要求火焰的像高不得低于4cm，求小孔到蜡烛的距离至多是 　 　 厘米．
41．甲和乙在一次赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么下列结论正确的是　 　 ．（填序号）
①甲比乙先出发；②甲比乙先到终点；③甲速是乙速的2倍；④甲、乙所行路程一样多．
某高效记忆训练营对新学员开展提升记忆力的培训．在完成有关记忆方法的理论学习后，新学员先接受为期T日（T可取0，1或2）的记忆强化训练，然后开始每日记忆测试．测试内容为：1分钟内观看并记忆一组无序数字并立即默写．记一名新学员在测试阶段的第x日每分钟正确默写的数字量为y．根据测试经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当T＝0和T＝2时，部分数据如下：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
T＝0时y的值 0 6 7 9 10 14 17 20 21 23
T＝2时y的值 0 20 25 28 m 33 35 37 38 39
T＝2时，从测试阶段的第2日起，一名新学员每日比前一日多记忆的数字量（即：日增长量）逐渐减少或保持不变．
对于给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对（x，y）所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接．得到曲线 T.当T＝1时，曲线C1如图所示．
（1）观察曲线C1，当整数x的值为 　 　 时，y的值首次超过20；
（2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T＝2时的曲线C2；
（3）完成理论学习后，为调动新学员培训的积极性，该训练营在强化训练和记忆测试阶段组织了竞赛比拼．小明和小雯也积极参与到活动之中．
①若新学员单日每分钟至少记忆30个数字可获得“记忆达人”称号，根据上述函数关系，小明最早在完成理论学习后的第 　 　 日可获得“记忆达人”证书；
②竞赛规定新学员在完成理论学习后的3日内记忆数字个数的总数最多可获得“最佳学员”称号，若小雯希望获得此称号，根据上述函数关系，在这3日中小雯应先进行 　 　 日的强化训练．
43．某品牌新能源汽车充满电后，电池中剩余电量y（kw h）与汽车行驶路程x（km）之间的关系如图所示（不计电池耗损及天气影响）．根据图象回答下列问题：
（1）充满电最多可以行驶 　 　 km．
（2）汽车每行驶100km消耗 　 　 kw h．
（3）电池中的剩余电量不大于15（kw h）时，汽车将自动报警．那么行驶多少千米后，汽车将自动报警？
（4）现有一台充满电的新能源汽车，小明驾驶此车行驶了260km，正好到达充电站，此时充电桩充电费用为1.2元/（kw h），请你帮小明算一算此时将电车充满电需花费多少元？
44．已知小林同学的家、碧沙岗公园、新华书店在同一条直线上，小林从家匀速走15分钟到碧沙岗公园，在公园休息了一阵后又匀速走到新华书店买书，然后再匀速走回家．下面给出的图象反映了在这个过程中小林离家的距离y（km）与离家的时间x（分钟）之间的对应关系，请根据相关信息，解答下列问题：（1）在这个变化过程中，自变量是 　 　 ；因变量是 　 　 ．
（2）填空：①在这个变化过程中，碧沙岗公园到新华书店的距离为 　 　 km；
②小林从碧沙岗公园到新华书店的步行速度为 　 　 km/分钟．
（3）当小林离家的距离为1km时，请你求出他离家的时间．
1．已知f（x）＝x2﹣1，那么　 　 ．
2．在函数y中，自变量x的取值范围是　 　 ．
3．用一根绳子围成一个长方形，其中一边长为xm，且长方形的周长为10m．若长方形的另一边长为ym．用式子表示y与x的关系为　 　 ．
4．在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进1km所用的时间，即“配速”（单位：min/km）．小华参加5km的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中正确的是　 　 ．
①第1km所用的时间最长；
②第5km的平均速度最大；
③第2km和第3km的平均速度相同；
④前2km的平均速度大于最后2km的平均速度．
1．如图①，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，，AD＝6，BC＝7，点P是边AD上的动点，连接BP，作∠BPF＝∠ADC，设射线PF交线段BC于E，交射线DC于F．
（1）如果射线PF经过点C（即点E、F与点C重合，如图②所示），求AP的长；
（2）若点F在DC的延长线上，不与点C重合，设AP＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围．
2．阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算“※”为：a*b，求1*（﹣2）的值．
小明是这样解决问题的：由新定义可知a＝1，b＝﹣2，又b＜0，所以1*（﹣2）．
请你参考小明的解题思路，回答下列问题：
（1）计算：2*3的值；
（2）若5*m，求m的值；
（3）函数y＝2*x（x≠0）的图象大致是　 　 （填字母）．
3．小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质．研究过程如下：
绘制函数的图象．
列表：表格中是x，y的几组对应值．
x ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2
y 0 ﹣1 ﹣2 4 3 m
描点：根据表中数值描出点（x，y），并补充描出点（0，m）．
连线：用平滑的曲线顺次连接各点．
请你帮助小明解决下列问题
（1）表格中m＝　 　 ，并把图象补充完整；
（2）探究函数的性质：
判断下列说法是否正确（正确的填√，错误的填×）．
①函数值y随x的增大而减小．（　 　 ）
②函数图象关于点（﹣1，1）对称．（　 　 ）
③函数图象与直线x＝﹣1没有交点．（　 　 ）
4．电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响，下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．以下是部分实验数据：x为温度（单位：℃），y1为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，y2为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量．（电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量）．
x/℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 40 50
y1 0.93 0.98 1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.95
y2 0.72 0.85 0.93 0.98 0.99 1.0 0.98 0.97
（1）可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，在同一平面直角坐标系xOy中，已经画出y1与x的函数图象，请画出y2与x的函数图象；
（2）在温度为　 　 ℃时两款电池相对容量相同．
（3）在　 　 ℃下锰酸锂电池的相对容量与在﹣10℃下磷酸铁锂电池的相对容量相等；
（4）随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量是如何变化的？
（5）由于冬季天气较冷，小林爸爸准备购买一台电动汽车送小林上学，考虑到续航持久性，你认为小林爸爸买车时应该选择配置上述两种电池的哪一种电池（不考虑价格等因素），请说明你的理由．
5．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，点P沿折线A→B→C向终点C运动，在AB上的速度为每秒2个单位长度，在BC上的速度为每秒个单位长度．过点P作PD⊥AC于点D，以PD为边向右侧作矩形PDEF，且PD＝2PF．设点P的运动时间为t秒，矩形PDEF和△ABC重叠部分图形的面积为S．
（1）当点F在BC上时，t＝　 　 ．
（2）当矩形PDEF和△ABC重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围．
6．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙离A点的距离分别为S甲、S乙（km）与行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示．
（1）A、B两地之间的路程为　 　 km；
（2）经　 　 小时，甲、乙两人相遇，此时距B地的距离为　 　 km；
（3）甲出发多少小时后，甲、乙两人相距180km？
7．周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时后到达中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明坐公交车的同时，爸爸驾车沿相同的路线前往滨海公园，结果比小明早到0.5小时．如图是他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题：
（1）小明家到滨海公园的路程为　 　 km，小明在中心书城逗留的时间为　 　 h；
（2）小明两次乘坐公交车，其中最快的速度为　 　 km/h：小明爸爸驾车的速度为　 　 km/h；
（3）小明从家出发多长时间和爸爸处在同一位置？

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