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第11讲 反比例函数综合
(知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义
（反比利函数培优讲义解析版）
本节课主要针对第26章反比例函数进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了反比例函数章节典型例题、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。
知识点一 反比例函数概念
1. 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，我们就说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量、成反比例，就是，或表示为，其中是不等于0的常数．
2. 解析式形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，其中叫做比例系数．
3. 反比例函数的定义域是不等于零的一切实数．
知识点二 反比例函数图像及性质
1.反比例函数的图像
反比例函数（是常数，）的图像叫做双曲线，它有两支．
2.反比例函数的性质
(1)当时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐减小．
(2)当时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐增大．
(3)图像的两支都无限接近于轴和轴，但不会与轴和轴相交．
知识点三 反比例函数在实际问题中的应用
1.题意找出自变量与因变量之间的乘积关系
2.设出函数表达式
3.依题意求解函数表达式
4.根据反比例函数的表达式或性质解决相关回题
知识点四 反比例函数的实际应用
常见函数关系：
1.当圆杆体的体积一定时，圆杆的底面积是高的反比例函数
2.当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数
3.在使用杠杆时，如果阻力和阻力暨不变，则动力是动力避的反比例函数
4.电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数
一．反比例函数的定义（共4小题）
1．下列函数中，不是反比例函数的是（　　）
A． B．y＝5x﹣1 C． D．
【分析】反比例函数的一般形式为（k为常数，k≠0），选项C为正比例函数，不符合反比例函数定义．
【解答】解：反比例函数形式为（k≠0），
A：，是反比例函数，不符合题意；
B：，是反比例函数，不符合题意；
C：，是正比例函数，不是反比例函数，符合题意；
D：，是反比例函数，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
2．正多边形的一个外角的大小y（度）随着它的边数n的变化而变化，下列说法正确的是（　　）
A．y与n之间是正比例函数关系
B．y与n之间是反比例函数关系
C．y与n之间是一次函数关系
D．y与n之间是二次函数关系
【分析】根据多边形的外角和度数及正多边形的性质列得y关于x的函数关系式后进行判断即可．
【解答】解：由题意可得y（n≥3，且n为整数），
那么y与n之间是反比例函数关系，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的定义，正多边形和圆，根据题意列得正确的函数关系式是解题的关键．
3．若是关于x的反比例函数，则n的值是　﹣3　 ．
【分析】反比例函数形式可表示为 y＝kx﹣1（k≠0），因此指数部分需为﹣1，且系数不为零
【解答】解：∵函数 是关于 x 的反比例函数，
∴n2﹣10＝﹣1且n﹣3≠0．
由 n2﹣10＝﹣1得n2＝9，
∴n＝±3．
又∵n﹣3≠0，
∴n≠3．
∴若是关于x的反比例函数，则n＝﹣3．
故答案为﹣3．
【点评】本题考查反比例函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．
4．二胡是我国一种传统拉弦乐器，演奏二胡时，在同一张力下，它的振动弦的共振频率f（单位：赫兹）与长度l（单位：米）近似成反比例关系，即（k为常数，k≠0）．若某一振动弦的共振频率f为240赫兹，长度l为0.5米，如果f为400赫兹，则是l是　0.3　 米．
【分析】将f＝240，l＝0.5代入到，可求出反比例解析式，进而求解．
【解答】解：根据题意可知，，
解得：k＝120，
∴，
同理，将f＝400代入到中，得，
∴l＝0.3．
故答案为：0.3．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，频数与频率，掌握相应的定义是关键．
二．反比例函数的图象（共4小题）
5．函数y＝kx﹣k与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A．∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，
∴﹣k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、三、四象限，故本选项符合题意；
B．∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，
∴﹣k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意；
C．∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝kx﹣k的应该图象经过一、二、四象限，故本选项不符合题意；
D．∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答．
6．在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为5，则k的值是（　　）
A．10 B．5 C．﹣10 D．﹣5
【分析】依据题意，连接OA，得到S△OAB＝S△APB，根据k值的几何意义，即可得出结果．
【解答】解：连接OA，
∵AB⊥y，
∴AB∥OP，
∴S△OAB＝S△APB＝5，
∵A在反比例函数y的图象上，
∴S△OAB5．
∴|k|＝10，
又∵k＜0，
∴k＝﹣10．
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，熟知过双曲线上的任意一点分别一条坐标轴作垂线，连接点与原点，与坐标轴围成三角形的面积是是解题的关键．
7．反比例函数的图象如图所示，写出一个满足条件的m的整数值：　﹣2（答案不唯一）　 ．
【分析】根据反比例函数的图象两支分别位于第二、四象限，则有m+1＜0，求出m的取值范围，再进行取值即可．
【解答】解：观察图象可知m+1＜0，
解得m＜﹣1，则只要满足条件即可，
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
【点评】此题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质及其应用．
8．如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连结OA，BC，若点C（2，0），BD＝4，S△BCD＝5，则S△AOC＝　9　 ．
【分析】先求CD长度，再求点B坐标，进而得出函数解析式，可求得面积．
【解答】解：∵BD＝4，，
∴，
由条件可知，
∴，
把B坐标代入得k＝18，
∴该反比例函数的表达式为：，
∴．
故答案为：9．
【点评】本题考查了反比例函数图象的性质，熟练运用反比例函数性质是解题的关键．
三．反比例函数图象的对称性（共4小题）
9．在同一坐标系内，两个反比例函数y的图象与反比例函数y的图象（k为常数）具有以下对称性：既关于x轴，又关于y轴成轴对称，那么k的值是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】直接利用反比例函数的对称性得出两函数的系数互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：∵两个反比例函数y的图象与反比例函数y的图象（k为常数）具有以下对称性：既关于x轴，又关于y轴成轴对称，
∴k+1+k﹣3＝0，
解得：k＝1，
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数的对称性，正确得出两函数系数关系是解题关键．
10．如图所示，正比例函数y＝k1x与反比例函数y的图象有一个交点（2，﹣1），则这两个函数图象的另一个交点坐标是　（﹣2，1）　 ．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：由图象可知：直线y＝k1x经过原点与双曲线y相交于两点，
又由于双曲线y与直线y＝mx均关于原点对称．
则两点关于原点对称，一个交点的坐标为（2，﹣1），
则另一个交点的坐标为（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】本题考查反比例函数图象的中心对称性，即两点关于原点对称．
11．已知直线y＝（a﹣2b）x与双曲线y相交于点（，﹣2），那么它们的另一个交点坐标是 　（，2）　 ．
【分析】由直线y＝（a﹣2b）x与双曲线y相交于点（，﹣2），即可得出函数解析式，再求另一个交点坐标．
【解答】解：方法一：∵直线y＝（a﹣2b）x与双曲线y，相交于点（，﹣2），
∴a﹣2b3，xy＝3b+a
∴直线为y＝﹣3x．
双曲线为y．
解方程组：，
解得：，．
∴另一个交点为（，2）．
故答案为：（，2）．
方法二：∵直线y＝（a﹣2b）x是正比例函数，
∴直线y＝（a﹣2b）x与双曲线y的交点关于原点对称，
∵直线y＝（a﹣2b）x与双曲线y相交于点（，﹣2），
∴它们的另一个交点坐标为：（，2）．
故答案为：（，2）．
【点评】此题主要考查了反比例函数与方程组的相关知识点．先由点的坐标求函数解析式，然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现了数形结合的思想．
12．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y1（k为常数，k≠0）的图象与正比例函数y2＝ax（a为常数，a≠0）的图象相交于A、B两点．若点A的坐标为（2，3），则点B的坐标为　（﹣2，﹣3）　 ．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：根据题意，知
点A与B关于原点对称，
∵点A的坐标是（2，3），
∴B点的坐标为（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．关于原点对称的两点的横、纵坐标分别互为相反数．
四．反比例函数的性质（共4小题）
13．已知反比例函数的图象具有下列特征：在每个象限内，y的值随x的增大而增大，那么m的取值范围是（　　）
A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1
【分析】直接利用反比例函数的性质，进而得出m﹣1的符号，即可得出答案．
【解答】解：∵反比例函数的图象具有下列特征：在每个象限内，y的值随x的增大而增大，
∴m﹣1＜0，
解得m＜1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．
14．下列关于反比例函数的描述中，不正确的是（　　）
A．图象位于第一、三象限
B．点（﹣4，﹣2）在反比例函数的图象上
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．若点A（﹣2，y1），B（2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1＜y2
【分析】根据所给反比例函数解析式，结合反比例函数的性质对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：由题知，
因为反比例函数的解析式为，
所以该函数的图象位于第一、三象限．
故A选项不符合题意；
因为﹣4×（﹣2）＝8，
所以点（﹣4，﹣2）在反比例函数的图象上．
故B选项不符合题意；
因为当x＜0时，y随x的增大而减小，
所以C选项的描述错误．
故C选项符合题意；
因为点A（﹣2，y1），B（2，y2）都在反比例函数的图象上，
所以，
则y1＜y2，
故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键．
15．已知反比例函数，则下列描述不正确的是（　　）
A．图象必经过点（﹣1，﹣3）
B．图象位于第一、第三象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＞1时，y＞3
【分析】根据反比例函数的图象与系数的关系进行解答即可．
【解答】解：反比例函数，
A、∵k＝﹣1×（﹣3）＝3＞0，
∴点（﹣1，﹣3）一定在反比例函数上，确，不符合题意；
B、∵k＝3＞0，
∴函数图象位于第一、第三象限，正确，不符合题意；
C、∵k＝3＞0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵当x＜0时，恰好在第三象限内，
∴y随x的增大而减小，正确，不符合题意；
D、∵k＝3＞0，
∴反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴当x＞1时，0＜y＜3，原说法错误，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
16．已知反比例函数（k为常数且k≠0），当﹣3≤x≤﹣1时，y的最大值是6，则当1≤x≤3时，y的最小值为　﹣6　 ．
【分析】根据反比例函数的性质可知当x＝﹣1时，y取得最大值4，求出k的值，进一步根据反比例函数的性质求解即可．
【解答】解：∵反比例函数（k为常数且k≠0），当﹣3≤x≤﹣1时，y的最大值是6，
∴k＜0，
∴在每一个象限内，y随着x增大而增大，
当x＝﹣1时，y取得最大值6，
此时k＝﹣1×6＝﹣6，
∴y，
∴当x＝1时，y＝﹣6，
∴当1≤x≤3时，y的最小值为﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
五．反比例函数系数k的几何意义（共5小题）
17．如图，A为反比例函数的图象上的一点，AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C．若四边形OCAB的面积为6，则k的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求解即可．
【解答】解：设A点坐标为（x，y），
由条件可知AB＝|y|，OB＝|x|，
∴S矩形ACOB＝OB AB＝|xy|＝6，
∴|k|＝6，
∵反比例函数的图象在第四象限，
∴k＝﹣6．
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点向坐标轴引垂线，所得垂线与坐标轴围成矩形的面积为|k|是解题的关键．
18．对于反比例函数，下列说法错误的是（　　）
A．函数图象位于第二、四象限
B．若A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是图象上三个点，则y1＞y3＞y2
C．P为图象上任意一点，过P作PQ⊥y轴于Q，则△OPQ的面积是定值
D．函数值y随x的增大而减小
【分析】先判断出反比例函数系数的符号，再根据反比例函数的性质即可得出结论．
【解答】解：A、∵﹣（m2+1）＜0，
∴它的图象分布在第二、四象限，故本选项正确，不合题意；
D、∵它的图象分布在第二、四象限，
∴在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意；
B、∵A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是图象上三个点，
∴A（﹣1，y1）在第二象限，B（1，y2），C（2，y3）在第四象限，
∵在每一象限内y随x的增大而增大，
∴y2＜y3＜y1，故本选项正确，不合题意；
C、∵P为图象上任意一点，过P作PQ⊥y轴于Q，
∴△OPQ的面积（m2+1）是定值，故本选项正确，不合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y（k≠0）中，当k＞0时函数图象的两个分支分别位于一三象限是解答此题的关键．
19．如图，点A是反比例函数图象上一点，AB⊥x轴于点B，点C是y轴上的一动点，则△ABC的面积为　　 ．
【分析】连接OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△CAB，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAB|k|，便可求得结果．
【解答】解：连接OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△ABC，
而S△OAB|k|，
∴S△ABC，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
20．如图，点P（x1，m+2），Q（x2，m）（m＞0）为反比例函数图象上两点，过点P向坐标轴作垂线，垂足分别为A，B，过点Q向坐标轴作垂线，垂足分别为C，D，且QC与PB交于点M，连接PQ，若△PMQ的面积等于矩形PAOB面积的，则点P的坐标为　（，4）　 ．
【分析】由题意x1，x2，矩形PAOB面积＝10，PM＝2，由△PMQ的面积等于矩形PAOB面积的，得出△PMQ的面积，利用三角形面积公式求得MQ，则x2﹣x1，解方程求得m＝2，即可求得P的坐标．
【解答】解：∵点P（x1，m+2），Q（x2，m）（m＞0）为反比例函数图象上两点，
∴x1，x2，
∵过点P向坐标轴作垂线，垂足分别为A，B，过点Q向坐标轴作垂线，垂足分别为C，D，
∴矩形PAOB面积＝10，
∵△PMQ的面积等于矩形PAOB面积的，
∴△PMQ的面积，
∴，
由题意可知，PM＝2，
∴MQ，
∴x2﹣x1，
整理得m2+2m﹣8＝0，
解得m＝2或m＝﹣4（舍去），
∴，m+2＝4，
∴P（，4）．
故答案为：（，4）．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，根据三角形的面积列出关于m的方程是解题的关键．
21．如图，点A在双曲线上，点B在直线l：y＝mx﹣2b（m＞0，b＞0）上，点A与点B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，有下列结论：
①A（b，b）；
②当b＝2时，k＝4；
③m；
④S四边形AOCB＝2b2．
其中正确的结论有　②③　 ．（填写所有正确结论的序号）
【分析】①根据菱形的性质和勾股定理计算点A的坐标；
②根据①中的坐标，直接将b＝2代入即可解答；
③计算点B的坐标，代入一次函数的解析式可解答；
④根据菱形的面积＝底边×高可解答．
【解答】解：如图，
①y＝mx﹣2b中，当x＝0时，y＝﹣2b，
∴C（0，﹣2b），
∴OC＝2b，
∵四边形AOCB是菱形，
∴AB＝OC＝OA＝2b，
∵A与B关于x轴对称，
∴AB⊥OD，AD＝BD＝b，
∴OD，
∴A（，b）；
故①不正确；
②当b＝2时，点A的坐标为（2，2），
∴k＝22＝4，
故②正确；
③∵A（，b），A与B关于x轴对称，
∴B（，﹣b），
∵点B在直线y＝mx﹣2b上，
∴m﹣2b＝﹣b，
∴m，
故③正确；
④S四边形AOCB＝AB OD＝2b 2b2，
故④不正确；
所以本题结论正确的有：②③；
故答案为：②③．
【点评】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了坐标与图形性质，勾股定理，关于x轴对称，菱形的性质等知识，掌握函数图象上的点满足对应函数的解析式是解本题的关键．
六．反比例函数图象上点的坐标特征（共4小题）
22．已知点A（﹣6，y1），B（2，y2），C（4，y3）在反比例函数y的图象上，则下列判断正确的是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
【分析】根据k＞0可知反比例函数的图象在第一和第三象限，再由各点横坐标的值即可得出结论．
【解答】解：∵k＞0，
∵反比例函数的图象在第一和第三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵点A（﹣6，y1），B（2，y2），C（4，y3）在反比例函数y的图象上，
∴点A（﹣6，y1）在第三象限，点B（2，y2），C（4，y3）在第一象限，
∴y1＜0，y2＞0，y3＞0，
∵2＜4，
∴y2＞y3＞0，
∴y1＜y3＜y2．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例的图象与系数的关系是解题的关键．
23．在反比例函数y的图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）．若x1＞x2＞0＞x3，则下列各式正确的是（　　）
A．y3＞y1＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2
【分析】利用反比例函数的增减性判断即可．
【解答】解：∵在反比例函数y的图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）．若x1＞x2＞0＞x3，
∴反比例函数图象位于第二、四象限，（x1，y1），（x2，y2）分别在第四象限，（x3，y3）在第二象限，且在每个象限y随x的增大而增大，
则y3＞y1＞y2，
故选：A．
【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的增减性是解本题的关键．
24．若反比例函数经过点（2，6），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的点是（　　）
A．（3，﹣4） B．（4，3） C．（﹣1，12） D．（1，﹣12）
【分析】图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
【解答】解：∵反比例函数经过点（2，6），
∴k＝xy＝2×6＝12，
∵3×（﹣4）＝﹣12≠12，故选项A不符合题意，
∵4×3＝12，故选项B符合题意，
∵﹣1×12＝﹣12≠12，故选项C不符合题意，
∵1×（﹣12）＝﹣12≠12，故选项D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
25．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OC与x轴重合，边OB与y轴重合，点A的坐标为（8，4），将矩形ABOC折叠，使点A恰好落在原点O处，点C点落在点D处，折痕为EF，则图象过点D的反比例函数关系式为（　　）
A． B． C． D．
【分析】依据题意，作DM⊥x轴于点M，由矩形ABOC的顶点A的坐标为（8，4），可得AB＝OC＝8，AC＝OB＝4，从而OE＝AE，OD＝AC＝4，设BE＝m，则OE＝AE＝8﹣m，在Rt△BOE中，OE2＝BE2+OB2，可得BE＝3，OE＝8﹣3＝5，又证得△DOM∽△EOB，可得，，求得OM，DN，故D（，），代入解析式即可求得k．
【解答】解：作DM⊥x轴于点M，
∵矩形ABOC的顶点A的坐标为（8，4），
∴AB＝OC＝8，AC＝OB＝4，
∵将矩形ABOC折叠，使点A恰好落在原点O处，
∴OE＝AE，OD＝AC＝4，
设BE＝m，则OE＝AE＝8﹣m，
在Rt△BOE中，OE2＝BE2+OB2，
∴（8﹣m）2＝m2+42，
解得m＝3，
∴BE＝3，OE＝8﹣3＝5，
∵∠EOD＝∠A＝90°，
∴∠EOM+∠DOM＝90°，
∵∠BOE+∠EOM＝90°，
∴∠DOM＝∠BOE，
∵∠OBE＝∠DMO＝90°，
∴△DOM∽△EOB，
∴，
∴，
∴OM，DN，
∴D（，）
∵点D落在反比例函数y的图象上，
∴k（），
∴反比例函数关系式为y，
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理、三角形相似等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
七．待定系数法求反比例函数解析式（共4小题）
26．已知反比例函数的图象经过A（﹣2，3），B（1，﹣6），C（2，5）中的两点，则反比例函数的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【分析】把A（﹣2，3），B（1，﹣6），C（2，5）代入求得k的值，即可得到结论．
【解答】解：把A（﹣2，3），B（1，﹣6），C（2，5）代入得，
k＝﹣2×3＝﹣6，k＝1×（﹣6）＝﹣6，k＝2×5＝10，
∴反比例函数y经过A，B两点，
故选：B．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
27．如图，等边三角形OAB中，点O为原点，点A的坐标为（1，0），点B在第一象限，进行以下操作：①第一次，以A为旋转中心，将△OAB顺时针旋转30°得到△O1A1B1；第二次，以A为旋转中心，将△O1A1B1顺时针旋转30°得到△O2A2B2 ；②当点B落在x轴上时，以B为旋转中心延续前面的操作；③当点O落在x轴上时，以O为旋转中心延续前面的操作……当操作延续时，则经过点A21的反比例函数的表达式为（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先求出A1～A13的坐标，探究规律，利用规律即可求得A21坐标为（6，1），利用待定系数法解决问题即可．
【解答】解：由题意，A1（1，0），A2（1，0），A3（1，0），A4（1，0），A5（2，），A6（，），A7（2，1），A8（2，），A9（3，1），A10（，），A11（3，），A12（4，0），A13（4，0）， ，
发现12次一个循环，
∵21÷12＝1 9，
∴旋转21次时，顶点A21的纵坐标与A9相同，其坐标为（6，1），
∴经过点A21的反比例函数的表达式为y，
故选：D．
【点评】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，坐标与图形变化﹣旋转，规律型：点的坐标，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
28．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点C的坐标为（3，0），A，B（6，m）两点都在双曲线上，P是x轴正半轴上的点．
（1）反比例函数表达式中k的值是　6　 ．
（2）当△PAB的周长最小时，点P的坐标是　（5，0）　 ．
【分析】（1）过A作AT⊥x轴于T，过B作BK⊥x轴于K，证明△ATC≌△CKB（AAS），得A（3﹣m，3），即有k＝3（3﹣m）＝6m，解得m＝1，k＝6，即可解答；
（2）作A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于P，故当AP+BP最小时，△PAB周长最小，求得直线A′B的解析式，即可解答．
【解答】解：（1）过A作AT⊥x轴于T，过B作BK⊥x轴于K，如图：
由条件可知AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ACT＝90°﹣∠BCK＝∠CBK，
∵∠ATC＝90°＝∠CKB，
∴△ATC≌△CKB（AAS），
∴AT＝CK，CT＝BK，
∵C（3，0），B（6，m），
∴AT＝CK＝6﹣3＝3，CT＝BK＝m，
∴OT＝3﹣m，
∴A（3﹣m，3），
∵A（3﹣m，3），B（6，m）恰好落在反比例函数第一象限的图象上，
∴k＝3（3﹣m）＝6m，
∴m＝1，k＝6，
故答案为：6；
（2）作A（2，3）关于x轴的对称点A′（2，﹣3），连接A′B交x轴于P，如图：
∴当AP+BP最小时，△PAB周长最小，
由条件可知AP＝A′P，
∴当A′，P，B共线时，AP+BP最小，△PAB周长也最小，
设直线A′B的解析式为y＝kx+b，由条件可得：
，
解得，
∴y＝x﹣5，
令0＝x﹣5，解得x＝5，
∴P（5，0），
故答案为：（5，0）．
【点评】本题考查反比例函数，一次函数，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明△ATC≌△CKB（AAS），从而求出m的值．
29．正方形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OC＝6，一个反比例函数的图象经过点A，则该反比例函数的表达式为　　 ．
【分析】连接AB，交OC于E，根据正方形的性质得到AE＝OE＝3，∠AEO＝90°，根据k的几何意义求出|k|＝9，根据反比例函数图象经过第二象限得到k＝﹣9，即可求出反比例函数的表达式．
【解答】解：连接AB，交OC于E，如图，
∵四边形AOBC是正方形，OC＝6，
∴，∠AEO＝90°，
∵一个反比例函数的图象经过点A，
∴，
∵反比例函数的图象经过第二象限，
∴k＝﹣9，
∴该反比例函数的表达式为．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解题的关键．
八．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题）
30．如图，反比例函数的图象与一次函数y2＝x+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（1，2），y2与y轴交于点C，P是反比例函数在第一象限内图象上的一个动点．当S△OCP＝12时，点P的坐标为　（24，）　 ．
【分析】利用待定系数法求得两函数的解析式，然后设P（x，），先利用一次解析式确定C（0，1），再根据三角形面积公式得到1×|x|＝12，然后解绝对值方程得到x的值，从而得到P点坐标．
【解答】解：（1）把A（1，2）代入得2，
∴k＝2，
把A（1，2）代入y2＝x+b得2＝1+b，
解得b＝1，
∴y1，y2＝x+1，
设P（x，），
当x＝0时，y＝x+1＝1，
∴C（0，1），
∵S△OCP＝12，
∴1×|x|＝12，解得x＝±24，
∴P（24，）．
故答案为：（24，）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
31．如图，直线AB在第一象限交双曲线于A、B两点，交x轴于点C，已知AB＝BC，连结OA，则△OAC的面积为　12　 ．
【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，则BE∥AD，得到，设A点坐标为（，2a），则B（，a），利用S△OAB＝S△OAD+S梯形ABED﹣S△OBE＝S梯形ABED，得到S△OAB（2a+a）（）＝6，于是可求得S△OAC＝2S△OAB＝12．
【解答】解：连接OB，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，则BE∥AD，
∵AB＝AC，
∴，
设A点坐标为（，2a），则B（，a），
∵S△OAB＝S△OAD+S梯形ABED﹣S△OBE＝S梯形ABED，
∴S△OAB（2a+a）（）＝6，
∵AB＝BC，
∴S△OAC＝2S△OAB＝12，
故答案为：12．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了平行线分线段成比例定理，反比例图象上点的坐标特征，由S△OAB＝S△OAD+S梯形ABED﹣S△OBE＝S梯形ABED求得△OAB的面积是解题的关键．
32．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为　﹣4＜x＜0或x＞2　 ．
【分析】先求得n的值，然后观察函数图象即可求解．
【解答】解：∵反比例函数的图象过M、N两点
∴﹣2n＝﹣4×1，
解得n＝2，
∴N（2，﹣2），
观察图象可得，当﹣4＜x＜0或x＞2时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方，
∴不等式的解集为﹣4＜x＜0或x＞2，
故答案为：﹣4＜x＜0或x＞2．
【点评】此题主要考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知以上知识是解题的关键．
33．如图，反比例函数与过原点的直线交于点A，延长OA至点B使得AB＝OA，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，BC与反比例函数图象交于点D，则S△OBD＝　　 ．
【分析】通过设点A的坐标，利用中点性质得到点B的坐标，求得S△OBC，再结合反比例函数的系数k的几何意义得到S△OCD，最后通过面积的和差求出S△OBD．
【解答】解：反比例函数与过原点的直线交于点A，延长OA至点B使得AB＝OA，
设，
∵AB＝OA，
∴A是OB的中点，
∴，
∵BC⊥x轴，D在反比例函数上，
∴，
∴OC＝2a，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质、及其系数k的几何意义，中点坐标公式，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和利用中点坐标公式求点的坐标是解题的关键．
34．如图，一次函数y＝x与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A，过点A作AB⊥OA交x轴于点B，作BA1∥OA交反比例函数图象于点A1，过点A1作A1B1⊥A1B交x轴于点B1，再作B1A2∥BA1交反比例函数图象于点A2，依次进行下去，…，则点A2024的纵坐标为 　　 ．
【分析】由一次函数y＝x与反比例函数的图象交于点A，可得A（1，1）；易得△OAB是等腰直角三角形，则OB＝2分别过点A，A1，A2作x轴的垂线，垂足分别为 C，D，E，则△A1BD是等腰直角三角形，设BD＝m，则A1D＝m，则 A1（m+2，m）在反比例函数上，可得m 的值，求出点A1的坐标，同理可得A2的坐标，以此类推，可得结论．
【解答】解：如图，分别过点A，A1，A2作x轴的垂线，垂足分别为C，D，E．
联立方程组得，解得 ，
∴点A的坐标为（1，1）．
∴AC＝OC＝1，∠AOC＝45°，
∵AB⊥OA，
∴△OAB是等腰直角三角形．
∴OB＝2OC＝2，
∵A1B∥OA，
∴∠A1BD＝45°，
设 BD＝m，则 A1D＝m，
∴点 A1的坐标为（m+2，m），
∵点A1在反比例函数上，
∴m（m+2）＝1，
解得或（负值舍去）．
∴点A1的坐标为 ；
∵A1B1⊥A1B，
∴，
∴，
设 B1E＝t，则A2E＝t，
∴点A2的坐标为 ．
∵点A2在反比例函数 上，
∴，
解得 ，（负值舍去）．
∴点A2的坐标为；
同理点A3的坐标为；
以此类推，可得点A2024的纵坐标为，
故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是正确解答的前提．
九．根据实际问题列反比例函数关系式（共4小题）
35．某三角形的面积为15cm2，它的一边长为xcm，且此边上高为ycm，请写出y与x之间的关系式，并求出x＝5时，y的值．
【分析】三角形的面积＝边长×这边上高÷2，那么这边上高＝2×三角形的面积÷边长，进而把相关数值代入求值即可．
【解答】解：∵三角形的面积＝边长×这边上高÷2，三角形的面积为15cm2，一边长为xcm，此边上高为ycm，
∴；
当x＝5时，y＝6（cm）．
【点评】考查列反比例函数关系式及求值问题，根据三角形的面积得到求一边上的高的等量关系是解决本题的关键．
36．诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一，一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如表．
每天看的页数/页 10 12 15 20 30 60
需要的天数/天 25 20 15 10
（1）请填写完成上表．
（2）每天看的页数n与需要的天数t之间的数量关系为 t　 （用含n和t的式子表示）
（3）每天看的页数与需要的天数之间成 　反　 比例关系（填“正”或者“反”）
（4）如果要6天看完这本《中华诗词集锦》，平均每天要看多少页？
【分析】（1）根据题意求出每天看10页或每天看60页所用的天数，然后填表即可；
（2）根据总页数，表示每天看的页数n与需要的天数t之间的数量关系即可；
（3）根据关系式判断每天看的页数与需要的天数之间的比例关系即可；
（4）根据总页数和需要的天数求出平均每天要看的页数即可．
【解答】解：（1）填报如下：
每天看的页数/页 10 12 15 20 30 60
需要的天数/天 30 25 20 15 10 5
（2）每天看的页数n与需要的天数t之间的数量关系为：；
故答案为：t；
（3）根据题意可得：每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系；
故答案为：反；
（4）如果要6天看完这本《中华诗词集锦》，平均每天要看的页数为：
（页）．
【点评】本题主要考查了有理数混合运算，用关系式表示变量之间的关系，解题的关键是理解题意，读懂表格中的数据．
37．阅读与思考
下面是小宇学习了“反比例函数的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足I的反比例函数关系，它的图象如图所示． 问题一：请写出这个反比例函数的表达式：I　 .
问题二：如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
方法 分析问题 解答过程
解法一 因为I中电流I≤10，可以得到关于R的不等式并求解 解：∵I＝　　 ，且I≤10， ∴　　 ≤10， ∵R＞0， ∴10R≥※，（依据：★） ∴▲．
解法二 因为I，可以求出当电流I＝10时相应的R值，并通过反比例函数的增减性求R的取值范围
任务：
（1）问题一中反比例函数的表达式为 I　 ；
（2）问题二中※表示：　36　 ，★表示：　不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变　 ，▲表示：R≥3.6　 ；
（3）完成问题二中解法二的解答过程．
【分析】（1）根据函数图象上点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出U值，进而可得出反比例函数的表达式；
（2）由I，且I≤10，可得出10，结合R＞0，即可求出R的取值范围；
（3）利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出当I＝10时R的值，由36＞0且R＞0，利用反比例函数的性质，可得出I随R的增大而减小，再结合I≤10，即可求出R的取值范围．
【解答】解：（1）∵反比例函数I的图象过点（9，4），
∴4，
∴U＝36，
∴反比例函数的表达式为I．
故答案为：I；
（2）∵I，且I≤10，
∴10，
∵R＞0，
∴10R≥36（不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变），
∴R≥3.6．
故答案为：，，36，不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，R≥3.6；
（3）解法二：当I＝10时，10，
解得：R＝3.6，
∵36＞0，且R＞0，
∴I随R的增大而减小，
又∵I≤10，
∴R≥3.6．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、不等式的性质以及反比例函数的性质，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出U值；（2）利用不等式的性质，求出R的取值范围；（3）利用反比例函数的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，求出R的取值范围．
38．如图，某校科技小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围一个面积为30m2的矩形科技园ABCD，设AB的长为x（m），BC的长为y（m）．
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
（2）边AD和DC的长都是整数米，若围成矩形科技园ABCD三边的篱笆总长不超过20m，求出满足条件的所有围建方案．
【分析】（1）利用矩形的面积计算公式可得出xy＝30，进而可得出y，再结合墙长为6m，即可得出x≥5；
（2）由x，y均为整数，x≥5，且y，可得出x的可能值，结合2x+y≤20，可得出x可以为5，6，进而可得出各围建方案．
【解答】解：（1）依题意得：xy＝30，
∴y．
又∵墙长为6m，
∴6，
∴x≥5．
∴y关于x的函数表达式为y（x≥5）．
（2）∵x，y均为整数，x≥5，且y，
∴x可以为5，6，10，15，30．
又∵2x+y≤20，即2x20，
∴x可以为5，6，
∴共有2种围建方案，
方案1：AB的长为5m，BC的长为6m；
方案2：AB的长为6m，BC的长为5m．
【点评】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式以及不等式的解集，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）根据x，y均为整数及x≥5，找出x，y的值．
十．反比例函数的应用（共5小题）
39．一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，x轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），y轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（0≤x≤30）的速度y的大小关于时间x的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图象的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图象的一部分．
（1）根据图中信息，分别求出两段图象所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域；
（2）若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由．
【分析】（1）加速段设一次函数，代入两点求解析式及定义域；衰减段设反比例函数，代入点求解析式及定义域．
（2）另一辆车速度用延续的一次函数，分两段列速度差方程，验证解是否在对应定义域内．
【解答】解：（1）加速段：设解析式为y＝kx+b，代入（0，3），（8，7）得
，
解得，b＝3，
∴，0≤x≤8．
衰减段：设解析式为，代入（8，7）得
m＝8×7＝56，
∴，8＜x≤30．
（2）由题意可得另一辆车速度函数：（0≤x≤30）．
当0≤x≤8时，两车速度相同，速度差为0，无法达到10．
当8＜x≤30时，有，
，
x2﹣14x﹣112＝0，
解得或（舍去），
经检验，是原分式方程的解．
∴两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数自变量取值范围的确定及方程的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、结合自变量取值范围分析实际问题是解题的关键．
40．小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克/立方米）与时间x（月）成正比例．施工结束后，y与x成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题：
（1）施工过程中y关于x的函数解析式是 y＝1.25x（0≤x≤0.8）　 ；
（2）已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于0.08毫克/立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？
（3）施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到1%）
【分析】（1）施工过程中y与x成正比例函数，设出正比例函数解析式，把（0.8，1）代入即可求得相应的函数解析式；
（2）当x＞0.8时，y与x成反比例函数解析式，设出反比例函数解析式，把（0.8，1）代入即可求得相应的函数解析式，进而取y＝0.08，得到相应的x的值即为可以入住的时间；
（3）取x＝2，x＝4，得到相应的y的值，进而设降低的百分率为m，根据2月底的甲醛含量（1﹣降低的百分率）2＝4月底的甲醛含量，计算后取得合适的解即可．
【解答】解：（1）当0≤x≤0.8时，设y＝kx，
∵经过点（0.8，1），
∴0.8k＝1，
解得：k＝1.25，
∴y＝1.25x；
∴施工过程中y关于x的函数解析式为：y＝1.25x（0≤x≤0.8）．
故答案为：y＝1.25x（0≤x≤0.8）；
（2）当x＞0.8时，设y，
∵经过点（0.8，1），
∴a＝0.8，
∴y，
当y＝0.08时，x＝10．
答：小明一家从施工开始计算，至少经过10个月才可以入住；
（3）当x＝2时，y＝0.4，
当x＝4时，y＝0.2．
设这两个月降低的百分率为m，
0.4（1﹣m）2＝0.2，
（1﹣m）2，
解得：m1＝1（不合题意，舍去），m2＝10.293≈29%．
答：降低的百分率约为29%．
【点评】本题综合考查反比例函数的应用．用待定系数法求得不同取值范围内的函数解析式是解决本题的关键．
41．科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm．
（1）求h关于ρ的函数解析式；
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ．
【分析】（1）设h关于ρ的函数解析式为 ，把ρ＝1，h＝20代入解析式，解方程即可得到结论；
（2）把 h＝25 代入 ，求得ρ＝0.8，于是得到结论．
【解答】解：（1）设h关于ρ的函数解析式为 ，
把ρ＝1，h＝20代入解析式，得k＝1×20＝20，
∴h关于ρ的函数解析式为 ；
（2）把 h＝25 代入 ，得 ，
解得：ρ＝0.8，
答：该液体的密度ρ为 0.8g/cm3．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
42．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求y与x（10≤x≤24）的函数表达式；
（2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？
【分析】（1）应用待定系数法求函数解析式即可；
（2）观察图象可知：三段函数都有y≥12的点，而且BC段是恒温阶段，y＝20，所以计算AB和CD两段当y＝12时对应的x值，相减就是结论．
【解答】解：（1）设双曲线CD解析式为：，
∵C（10，20），
∴k＝200，
∴双曲线CD的解析式为：；
（2）设AB的解析式为：y＝mx+n（0≤x≤5），
把（0，10），（5，20）代入y＝mx+n中得：
，
解得：，
∴AB的解析式为：y＝2x+10，
当y＝12时，12＝2x+10，
解得x＝1，
把y＝12代入，
得，
解得：，
∴，
答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有小时．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是注意临界点的应用．
43．小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段OA与双曲线（一支）分别表示两人离家的距离y（km）与小王的行驶时间t（h）之间的函数关系的图象，请解决以下问题．
（1）线段OA的函数表达式为 y＝10x ；
（2）曲线CD的函数表达式为 y　 ；
（3）点K的坐标为 　（，﹣2）　 ；
（4）设小王和妈妈两人之间的距离为S（km），当S≤2时，求t的取值范围．
【分析】（1）设线段OA的函数表达式为y＝kt，把（0.8，8）代入y＝kt解方程得到线段OA的函数表达式为y＝10t；
（2）设曲线CD的函数表达式为y，把（0.1，8）代入y得解方程得到曲线CD的函数表达式为y；
（3）解方程组得即可得到点K的坐标为（，﹣2）；
（4）依据题意，根据题意分3种情况讨论即可．
【解答】解：（1）设线段OA的函数表达式为y＝kt，
把（0.8，8）代入y＝kt得8＝0.8k，
解得k＝10，
∴线段OA的函数表达式为y＝10t，
故答案为：y＝10t；
（2）设曲线CD的函数表达式为y，
把（0.1，8）代入y得，m＝0.1×8＝0.8，
∴曲线CD的函数表达式为y；
故答案为：y；
（3）解方程组得或，
∴点K的坐标为（，﹣2）；
故答案为：（，﹣2）；
（4）当10t＝2时，解得t＝0.2（负根已经舍去），
当10t2时，解得t＝0.4（负根已经舍去），
∴t的取值范围为0.2≤t≤0.4．
【点评】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，利用函数解析式进行解答．
十一．反比例综合题（共3小题）
44．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k≠0）与反比例函数在第一象限内的图象交于点A（2，a），点B（b，8）在直线OA上．
（1）求点A、B的坐标；
（2）点C在反比例函数的图象上，如果∠ABC＝45°，将直线OA平移，使其经过点C，求平移后所得直线的表达式．
【分析】（1）把点A（2，a）代入得a2，求得A（2，2），把A（2，2）代入y＝kx得2＝2k，求得直线OA的解析式为y＝x，把点B（b，8）代入y＝x得b＝8，得到B（8，8）；
（2）设C（m，），延长BC交x轴于D，求得∠BDO＝90°，得到OD＝BD＝8，求得C（8，），设平移后所得直线的表达式为y＝x+n，把C（8，）代入y＝x+n即可得到结论．
【解答】解：（1）把点A（2，a）代入得a2，
∴A（2，2），
把A（2，2）代入y＝kx得2＝2k，
∴k＝1，
∴直线OA的解析式为y＝x，
把点B（b，8）代入y＝x得b＝8，
∴B（8，8）；
（2）点C在反比例函数的图象上，
∴点C在点A的右侧，
设C（m，），
延长BC交x轴于D，
∵∠BOD＝∠ABC＝45°，
∴∠BDO＝90°，
∴OD＝BD＝8，
∴m＝8，
∴C（8，），
∵将直线OA平移，
∴设平移后所得直线的表达式为y＝x+n，
把C（8，）代入y＝x+n得8+n，
∴n，
∴平移后所得直线的表达式为y＝x．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
45．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于M、N两点．
（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接OM、ON，求三角形OMN的面积．
（3）连接OM，在x轴的正半轴上是否存在点Q，使△MOQ是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，说明理由．
【分析】（1）把N的坐标代入反比例函数，能求出反比例函数解析式，把M的坐标代入解析式，求出M的坐标，把M、N的坐标代入y＝ax+b，能求出一次函数的解析式；
（2）求出MN与x轴的交点坐标，求出△MOC和△NOC的面积即可；
（3）符合条件的有3个①OM＝OQ，②OM＝MQ，③MO＝OQ，根据M的坐标求出即可．
【解答】解：（1）把N（﹣1，﹣4）代入y得：k＝4，
∴y，
把M（2，m）代入得：m＝2，
∴M（2，2），
把N（﹣1，﹣4），M（2，2）代入y＝ax+b得：，
解得：a＝2，b＝﹣2，
∴y＝2x﹣2，
答：反比例函数的解析式是y，一次函数的解析式是y＝2x﹣2．
（2）设MN交x轴于C，
y＝2x﹣2，
当y＝0时，x＝1，
∴C（1，0），
OC＝1，
∴△MON的面积是S＝S△MOC+S△NOC1×21×|﹣4|＝3，
答：三角形MON的面积是3．
（3）当OM＝OQ时，Q的坐标是（2，0）；
当OM＝MQ时，Q的坐标是（4，0）；
当OQ＝QM时，Q的坐标是（2，0）；
答：在x轴的正半轴上存在点Q，使△MOQ是等腰三角形，所有符合条件的点Q的坐标是（2，0）或（4，0）或（2，0）．
【点评】本题综合考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，等腰三角形的判定等知识点，此题综合性比较强，题型较好，分类讨论思想的运用．
46．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，点D的横坐标为3．DE⊥x轴，垂足为E．
（1）写出点A、B、D的坐标，并求反比例函数的解析式；
（2）M是反比例函数图象上的一个动点且在点D右侧，过点M作MF⊥x轴，垂足为F、是否存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△AOB相似？如果存在，请求出所有满足条件的点M坐标，如果不存在，请说明理由．
（3）P是反比例函数图象上的一个动点且在第三象限，如果，求点P的坐标．
【分析】（1）先根据一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，再反比例函数的图象过点D和点D的横坐标为3，求出点D的坐标，从而可求得反比例函数的解析式；
（2）分△OAB∽△FEM、△OAB∽△FME两种情况讨论，分别求出点M坐标；
（3）先证明∠BAO＝∠PDC，根据等腰三角形的判定可得出AF＝DF，再利用勾股定理求得F点的坐标，然后求出直线DF的解析式，再求出它与反比例函数的交点，即可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，点D的横坐标为3．
当y＝0时，得：，
解得：x＝﹣3，
当x＝0时，得：y＝1；
∴A（﹣3，0），B（0，1），
将x＝3代入得：，
∴D（3，2），
∵反比例函数的图象过点D，将点D的坐标代入得：
2，
解得：k＝6，
∴反比例函数的解析式为；
（2）存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△AOB相似；理由如下：
如图1，A（﹣3，0），B（0，1），MF⊥AE于F，
∴∠AOB＝∠EFM，OA＝3，OB＝1，
∵DE⊥x轴，垂足为E，D（3，2），
∴E（3，0），
∴OE＝3，
∵M是反比例函数图象上的一个动点且在点D右侧，
∴设 （x＞3），
∴，F（x，0），
∴OF＝x，
∴EF＝OF﹣OE＝x﹣3，
∵点M、E、F为顶点的三角形与△AOB相似，M在D的右侧，
当△OAB∽△FEM时，得：，
∴，
解得：x1＝6（经检验，是分式方程的根，且符合题意），x2＝﹣3（不合题意，舍去），
∴M（6，1），
当△OAB∽△FME时，得：，
解得：（经检验，是分式方程的根，且符合题意），（不合题意，舍去），
∴，
∴，
综上所述，M（6，1）或；
（3）如图2，，，连结PD交x轴于点F，
∴∠BAO＝∠PDC，
∴AF＝DF，
∵A（﹣3，0），E（3，0），D（3，2），
∴AE＝3﹣（﹣3）＝6，DE＝2，
∴EF＝AE﹣AF＝6﹣AF＝6﹣DF，
又∵DE⊥x轴于点E，
∴DE2+EF2＝DF2，
∴22+（6﹣DF）2＝DF2，
解得：，
∴，
∴，
∴，
设直线DF的解析式为y＝kx+b，将点D，点F的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线DF的解析式为，
联立得：，
解得：或，
∴直线DF与反比例函数的交点为与D（3，2），
又∵P是反比例函数图象上的一个动点且在第三象限，
∴．
【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了求反比例函数解析式，解直角三角形的相关计算，一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与几何综合，用勾股定理解三角形，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
1．反比例函数的图象分布在第二、四象限内，则k的取值范围为 k＜1　 ．
【分析】依据题意，根据反比例函数的性质可得不等式：k﹣1＜0，进而可以得解．
【解答】解：由题意得，k﹣1＜0，
∴k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
2．如图，点A，B分别在反比例函数，的图象上，且AB∥x轴，点C在x轴的正半轴上，连接AC，BC，则△ABC的面积为　8　 ．
【分析】将y＝m（m＞0）分别代入两个反比例函数解析式，再结合三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：由题知，
将y＝m（m＞0）分别代入和得，
，
所以AB，
则．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键．
3．观察反比例函数的图象可以发现直线y＝x是它的一条对称轴，于是小明希望在用描点法绘制函数的图象时在每个象限都取5个点，使得除了双曲线与直线y＝x的交点以外的点的横纵坐标都是整数，考虑到正比例函数和反比例函数的对称性，他认为只需要再取四条经过原点的直线与双曲线的交点就能高效地找出余下八个点，这四条直线的斜率的和是　13　 ．
【分析】根据10＝1×10＝2×5＝﹣1×（﹣10）＝﹣2×（﹣5）可得反比例函数上横纵坐标均为整数的点有八个，分别位于四条经过原点的直线上，计算这四条直线斜率的和即可．
【解答】解：由条件可知反比例函数的图象上横纵坐标都为整数的点有（﹣5，﹣2），（﹣2，﹣5），（﹣10，﹣1），（﹣1，﹣10），（5，2），（2，5），（10，1），（1，10），
设经过点（﹣5，﹣2）的正比例函数解析式为y＝kx，
∴﹣5k＝﹣2，
∴，
∴经过点（﹣5，﹣2）的正比例函数解析式为，
同理可得经过点（﹣2，﹣5）的正比例函数解析式为，
经过点（﹣10，﹣1）的正比例函数解析式为，
经过点（﹣1，﹣10）的正比例函数解析式为y＝10x，
由正比例函数和反比例函数的对称性可知，横纵坐标互为相反数的两个点所在的直线一定经过原点，则这8个点分别在经过原点的四条直线上，
∴这四条直线的斜率的和是，
故答案为：13．
【点评】本题主要考查了反比例函数与正比例函数综合，熟练掌握以上知识点是关键．
4．双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中k代表优惠金额，m代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率P甲、P乙与顾客购买总金额m（元）之间的函数关系分别如图所示，其中P乙与m成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足200≤m＜400．
（1）k乙＝　100　 ；用含m的代数式表示k甲　＝0.4m ；
（2）当购买总金额m（元）在200≤m＜400的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么甲：　打6折促销　 乙：　优惠100元　 ；
（3）完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（200≤m＜400），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由．
【分析】（1）把m＝200，p乙＝0.5代入中即可求得k乙，然后根据P甲始终为0.4可得k甲与m的关系；
（2）根据（1）的结论和图象即可得出结果；
（3）先根据（2）题的促销方案求出在两家商场购买花钱一样多时的m的值，再结合图象分类求解即可．
【解答】解：（1）由条件可得k乙＝100，
由于P甲始终为0.4，即，
∴k甲＝0.4m；
故答案为：100，k甲＝0.4m；
（2）由（1）及优惠率p的含义可知：当购买总金额都为m元，且在200≤m＜400的条件下时
甲家商场采取的促销方案是：打6折促销，
乙家商场采取的促销方案是：优惠100元，
故答案为：打6折促销，优惠100元；
（3）当200≤m≤400时，甲家商场需花0.6m元，乙家商场需花（m﹣100）元，
当m﹣100＝0.6m时，解得m＝250，即当m＝250时，在两家商场购买花钱一样多，
再由图象易知，当200≤m＜250时，乙商场更优惠；当250＜m≤400时，甲商场更优惠．
【点评】本题考查了反比例函数的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意、从题目中得出反比例函数的模型．
1．已知三点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（1，﹣2）都在反比例函数的图象上，若x1＜0＜x2，则下列式子正确的是（　　）
A．y1＜y2＜0 B．y1＜0＜y2 C．y1＞y2＞0 D．y1＞0＞y2
【分析】先求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质求解即可．
【解答】解：∵点P3（1，﹣2）在反比例函数的图象上，
∴，解得k＝﹣2，
∴反比例函数解析式为，
∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2）都在反比例函数的图象上，x1＜0＜x2，
∴y1＞0＞y2，
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
2．下列关系式中的两个量成反比例的是（　　）
A．圆的面积与它的半径
B．正方形的周长与它的边长
C．路程一定时，速度与时间
D．长方形一条边确定时，周长与另一边
【分析】根据反比例函数的定义解答即可．
【解答】解：A、圆的面积＝π×半径2，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
B、正方形的周长＝边长×4，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
C、路程s一定时，速度v和时间t的关系s＝vt，是反比例函数，故本选项符合题意；
D、长方形一条a边确定时，周长s与另一边b的关系s＝2×（a+b），不是反比例关系，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．要注意：反比例函数的判断：判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．
3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y（k≠0）的图象大致（　　）
A． B．
C． D．
【分析】k＜0时的情况下，根据一次函数和反比例函数图象的特点进行判断即可．
【解答】解：∵k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数y的图象经过二、四象限，
故D选项的图象符合要求．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象，一次函数的图象，掌握当k＜0时，一次函数和反比例函数的图象都经过第二、四象限是解题的关键．
4．如图，过反比例函数y（x＞0）图象上的一点A作y轴的平行线交反比例函数y（x＞0）于点B，连接OA、OB．若S△AOB＝3，则k的值为 　﹣4　 ．
【分析】利用反比例函数系数k的几何意义，先求出S△AOC，再求出S△BOC，进而求出k的值即可．
【解答】解：∵点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，且AB∥y轴，
∴S△AOC|2|＝1，
又∵S△AOB＝3，
∴S△BOC＝3﹣1＝2，
∴|k|＝2，
而k＜0，
∴k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确计算的前提．
5．在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），B（0，4），C（﹣1，0），点P在反比例函数的图象上且在第一象限，PC与边AB相交于点Q，设△BCQ的面积为S1，△APQ的面积为S2，如果S2﹣S1＝5，那么点P的坐标是 　（1，6）　 ．
【分析】根据题意画出图形，易得SACP﹣S△ACB＝S2﹣S1＝5，据此求解即可．
【解答】解：如图，
∵S△ACB＝S1+S△ACQ，SACP＝S2+S△ACQ，
∴SACP﹣S△ACB＝S2﹣S1＝5，
∴AC yPAC yB＝5，
即5（yP﹣4）＝5，
解得yP＝6，
∴P（1，6）；
故答案为：（1，6）；
【点评】本题主要考查了反比例函数点的坐标特征与三角形面积内容，熟练掌握相关知识是解体的关键．
6．已知直线y＝3x和双曲线，把直线向左平行移动5个单位．
（1）求平移后所得的直线的函数解析式．
（2）平移后所得的直线与已知双曲线是否相交？如果相交，求出交点的坐标，如果不相交，请说明理由．
【分析】（1）依据题意，根据“左加右减，上加下减”的平移规律，结合直线向左平行移动5个单位，进而可以判断得解；
（2）依据题意，结合（1）所求解析式和反比例函数解析式联立方程组进而计算可得交点坐标．
【解答】解：（1）由题意，根据“左加右减，上加下减”的平移规律，
∵直线为y＝3x，
又直线向左平行移动5个单位，
∴平移后所得的直线的函数解析式为y＝3（x+5），即y＝3x+15．
（2）由题意，结合（1）联立方程组，
∴3x+15．
∴或．
∴交点为（，），（，）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．
7．已知：如图，点A坐标为（0，4），点B在双曲线的图象上．
（1）当△AOB面积为12时，求点B的坐标；
（2）点C在y轴负半轴，点D在线段BO的延长线上，当四边形ABCD为矩形时，求直线AB解析式．
【分析】（1）先根据三角形面积求出点B的横坐标，继而求出点B的纵坐标即可；
（2）由矩形性质可知：OA＝OB＝4，设OE＝m，则BE，由勾股定理可得m216，解得m＝2，继而得到点B（2，﹣2），利用待定系数法求出直线AB的解析式即可．
【解答】解：（1）设点B的横坐标为m，根据题意得：12，
解得m＝6，
当x＝6时，y，
∴B（6，）；
（2）如图所示，矩形ABCD，
由矩形性质可知：OA＝OB＝4，
设OE＝m，则BE，
由勾股定理可得m216，
解得m＝2（已舍去负值），
∴B（2，﹣2），
设直线AB的解析式为 y＝kx+4，
﹣22k+4，
解得k1．
∴直线AB的解析式为y＝﹣（）x+4．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义、待定系数法求一次函数解析式、矩形的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
8．人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示．
表一：地面所受压强与接触面积之间的关系
地面所受压强p（Pa） … 4×104 6×104 8×104 1×105 …
接触面积S（m2） … 1.2×10﹣3 8×10﹣4 6×10﹣4 4.8×10﹣4 …
表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系
地面材质 玻璃 木地板 大理石
能承受的最大压强p（Pa） 4.8×107 2.4×107 2.5×108
（1）求地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式（不写定义域）；
（2）求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？
【分析】（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系，设地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p，将一对数据代入即可求出F的值．
（2）将p＝2.5×108Pa代入（1）中所求函数表达式中，即可求出这种机器人与玻璃通道的最小接触面积．
【解答】解：（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系．
设地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p．
将（4×104，1.2×10﹣2）代入p，得F＝4×104×1.2×10﹣2＝4.8×102，
∴地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p．
（2）把p＝2.5×108代入p得，S＝1.92×10﹣6，
答：该机器人与地面的接触面积至少为1.92×10﹣6平方米．
【点评】本题主要考查了以物理知识为情境的反比例函数的应用相关知识，知道物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关系是解题的关键．计算时需要仔细．
9．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段OB、BC表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤5）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大棚内的温度低于10℃不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？
【分析】（1）根据图象设正比例函数解析式为y＝kx，根据图象可知函数解析式；
（2）把x＝5代入解析式y＝4x（0≤x≤5），即可求出恒定温度；
（3）根据图象可知整个图象由三部分组成：正比例函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式；根据各时间段的函数解析式算出y＝10时x的值，用24小时减去这些时间即可．
【解答】解：（1）设直线OB的函数解析式为：y＝kx（k≠0），根据题意，
∴可得方程8＝2k，
∴k＝4，
∴正比例函数解析式为y＝4x（0≤x≤5）；
根据图象可知：y＝20（5≤x≤10）；
（2）∵y＝4x（0≤x≤5）；
当x＝5时，y＝20，
∴恒定温度为：20℃．
（3）设10≤x≤24小时内函数解析式为：，
根据题意，可得方程：，
∴k＝200，
∴函数解析式为：，
∴24小时函数解析式为：，
∵当0≤x≤5时，10＝4x，
∴x＝2.5，
∵当10≤x≤24时，，
∴x＝20，
∴在20时～24时4小时之间是气温是低于10℃的，
∴气温低于10℃的总时间为：2.5+4＝6.5（h），
∴气温高于10℃的适宜温度是：24﹣6.5＝17.5（h）．
答：相对有利于水果生长的时间共17.5小时．
【点评】本题考查了一次函数、反比例函数和常函数解析式，解答本题的关键是找出临界点．
叶子啊；邮箱：18121039359；学号：68211650
10．五一期间，甲、乙两家商场都进行了促销活动，如何才能更好地衡量促销对消费者受益程度的大小呢？
某数学小组通过合作探究发现用优惠率（其中k表示优惠金额，m表示顾客购买商品的总金额）可以很好地进行衡量，优惠率p越大，消费者受益程度越大；反之就越小．经统计，若顾客在甲、乙两商场购买商品的总金额都为m（200≤m≤400）元时，优惠率分别为与，它们与m的关系图象如图所示，其中P甲与m成反比例关系；p乙保持定值．
（1）求出k甲的值，并用含m的代数式表示k乙．
（2）当购买总金额为m（200≤m≤400）元的条件下时，指出甲、乙两商场在五一期间采取的促销方案分别是什么？
（3）在五一期间，某种品牌、质量、规格等都相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m（200≤m≤400）元，你认为选择哪家商场购买该商品更划算？请说明理由．
【分析】（1）将坐标（200，0.5）代入，求出k甲的值，将p乙＝0.4代入，用含m的代数式表示k乙即可；
（2）分别根据k甲、k乙的含义作答即可；
（3）分别用含m的代数式表示出在甲、乙两个商场购买时的实付款并比较大小．
【解答】解：（1）将坐标（200，0.5）代入，
得0.5，
解得k甲＝100，
将p乙＝0.4代入，
得0.4，
解得k乙＝0.4m．
（2）∵k甲＝100，
∴当200≤m≤400时，甲商场优惠金额100元，
∵k乙＝0.4m，
∴100%＝60%，
∴当200≤m≤400时，乙商场打六折优惠．
（3）当200≤m＜250时，选择甲商场购买该商品更划算；当m＝250时，在甲、乙两个商场购买实付款相等；当250＜m≤400时，选择乙商场购买该商品更划算．理由如下：
在甲商场购买的实付款为（m﹣100）元，在甲商场购买的实付款为0.6m元，
当m﹣100＜0.6m时，解得m＜250，
当m﹣100＝0.6m时，解得m＝250，
当m﹣100＞0.6m时，解得m＞250，
∴当200≤m＜250时，选择甲商场购买该商品更划算；当m＝250时，在甲、乙两个商场购买实付款相等；当250＜m≤400时，选择乙商场购买该商品更划算．
【点评】本题考查反比例函数的应用，求出并理解k甲、k乙的含义，掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．第11讲 反比例函数综合
(知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义
本节课主要针对第26章反比例函数进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了反比例函数章节典型例题、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。
知识点一 反比例函数概念
1. 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，我们就说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量、成反比例，就是，或表示为，其中是不等于0的常数．
2. 解析式形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，其中叫做比例系数．
3. 反比例函数的定义域是不等于零的一切实数．
知识点二 反比例函数图像及性质
1.反比例函数的图像
反比例函数（是常数，）的图像叫做双曲线，它有两支．
2.反比例函数的性质
(1)当时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐减小．
(2)当时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量的值 逐渐增大时，的值随着逐渐增大．
(3)图像的两支都无限接近于轴和轴，但不会与轴和轴相交．
知识点三 反比例函数在实际问题中的应用
1.题意找出自变量与因变量之间的乘积关系
2.设出函数表达式
3.依题意求解函数表达式
4.根据反比例函数的表达式或性质解决相关回题
知识点四 反比例函数的实际应用
常见函数关系：
1.当圆杆体的体积一定时，圆杆的底面积是高的反比例函数
2.当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数
3.在使用杠杆时，如果阻力和阻力暨不变，则动力是动力避的反比例函数
4.电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数
一．反比例函数的定义（共4小题）
1．下列函数中，不是反比例函数的是（　　）
A． B．y＝5x﹣1 C． D．
2．正多边形的一个外角的大小y（度）随着它的边数n的变化而变化，下列说法正确的是（　　）
A．y与n之间是正比例函数关系
B．y与n之间是反比例函数关系
C．y与n之间是一次函数关系
D．y与n之间是二次函数关系
3．若是关于x的反比例函数，则n的值是　 　 ．
4．二胡是我国一种传统拉弦乐器，演奏二胡时，在同一张力下，它的振动弦的共振频率f（单位：赫兹）与长度l（单位：米）近似成反比例关系，即（k为常数，k≠0）．若某一振动弦的共振频率f为240赫兹，长度l为0.5米，如果f为400赫兹，则是l是　 　 米．
二．反比例函数的图象（共4小题）
5．函数y＝kx﹣k与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为5，则k的值是（　　）
A．10 B．5 C．﹣10 D．﹣5
7．反比例函数的图象如图所示，写出一个满足条件的m的整数值：　 　 ．
8．如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连结OA，BC，若点C（2，0），BD＝4，S△BCD＝5，则S△AOC＝　 　 ．
三．反比例函数图象的对称性（共4小题）
9．在同一坐标系内，两个反比例函数y的图象与反比例函数y的图象（k为常数）具有以下对称性：既关于x轴，又关于y轴成轴对称，那么k的值是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
10．如图所示，正比例函数y＝k1x与反比例函数y的图象有一个交点（2，﹣1），则这两个函数图象的另一个交点坐标是　 　 ．
11．已知直线y＝（a﹣2b）x与双曲线y相交于点（，﹣2），那么它们的另一个交点坐标是 　 　 ．
12．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y1（k为常数，k≠0）的图象与正比例函数y2＝ax（a为常数，a≠0）的图象相交于A、B两点．若点A的坐标为（2，3），则点B的坐标为　 　 ．
四．反比例函数的性质（共4小题）
13．已知反比例函数的图象具有下列特征：在每个象限内，y的值随x的增大而增大，那么m的取值范围是（　　）
A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1
14．下列关于反比例函数的描述中，不正确的是（　　）
A．图象位于第一、三象限
B．点（﹣4，﹣2）在反比例函数的图象上
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．若点A（﹣2，y1），B（2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1＜y2
15．已知反比例函数，则下列描述不正确的是（　　）
A．图象必经过点（﹣1，﹣3）
B．图象位于第一、第三象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＞1时，y＞3
16．已知反比例函数（k为常数且k≠0），当﹣3≤x≤﹣1时，y的最大值是6，则当1≤x≤3时，y的最小值为　 　 ．
五．反比例函数系数k的几何意义（共5小题）
17．如图，A为反比例函数的图象上的一点，AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C．若四边形OCAB的面积为6，则k的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
18．对于反比例函数，下列说法错误的是（　　）
A．函数图象位于第二、四象限
B．若A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是图象上三个点，则y1＞y3＞y2
C．P为图象上任意一点，过P作PQ⊥y轴于Q，则△OPQ的面积是定值
D．函数值y随x的增大而减小
19．如图，点A是反比例函数图象上一点，AB⊥x轴于点B，点C是y轴上的一动点，则△ABC的面积为　 　 ．
20．如图，点P（x1，m+2），Q（x2，m）（m＞0）为反比例函数图象上两点，过点P向坐标轴作垂线，垂足分别为A，B，过点Q向坐标轴作垂线，垂足分别为C，D，且QC与PB交于点M，连接PQ，若△PMQ的面积等于矩形PAOB面积的，则点P的坐标为　 　 ．
21．如图，点A在双曲线上，点B在直线l：y＝mx﹣2b（m＞0，b＞0）上，点A与点B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，有下列结论：
①A（b，b）；
②当b＝2时，k＝4；
③m；
④S四边形AOCB＝2b2．
其中正确的结论有　 　 ．（填写所有正确结论的序号）
六．反比例函数图象上点的坐标特征（共4小题）
22．已知点A（﹣6，y1），B（2，y2），C（4，y3）在反比例函数y的图象上，则下列判断正确的是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
23．在反比例函数y的图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）．若x1＞x2＞0＞x3，则下列各式正确的是（　　）
A．y3＞y1＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2
24．若反比例函数经过点（2，6），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的点是（　　）
A．（3，﹣4） B．（4，3） C．（﹣1，12） D．（1，﹣12）
25．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OC与x轴重合，边OB与y轴重合，点A的坐标为（8，4），将矩形ABOC折叠，使点A恰好落在原点O处，点C点落在点D处，折痕为EF，则图象过点D的反比例函数关系式为（　　）
A． B． C． D．
七．待定系数法求反比例函数解析式（共4小题）
26．已知反比例函数的图象经过A（﹣2，3），B（1，﹣6），C（2，5）中的两点，则反比例函数的解析式为（　　）
A． B． C． D．
27．如图，等边三角形OAB中，点O为原点，点A的坐标为（1，0），点B在第一象限，进行以下操作：①第一次，以A为旋转中心，将△OAB顺时针旋转30°得到△O1A1B1；第二次，以A为旋转中心，将△O1A1B1顺时针旋转30°得到△O2A2B2 ；②当点B落在x轴上时，以B为旋转中心延续前面的操作；③当点O落在x轴上时，以O为旋转中心延续前面的操作……当操作延续时，则经过点A21的反比例函数的表达式为（　　）
A． B． C． D．
28．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点C的坐标为（3，0），A，B（6，m）两点都在双曲线上，P是x轴正半轴上的点．
（1）反比例函数表达式中k的值是　 　 ．
（2）当△PAB的周长最小时，点P的坐标是　 　 ．
29．正方形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OC＝6，一个反比例函数的图象经过点A，则该反比例函数的表达式为　 　 ．
八．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题）
30．如图，反比例函数的图象与一次函数y2＝x+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（1，2），y2与y轴交于点C，P是反比例函数在第一象限内图象上的一个动点．当S△OCP＝12时，点P的坐标为　 　 ．
31．如图，直线AB在第一象限交双曲线于A、B两点，交x轴于点C，已知AB＝BC，连结OA，则△OAC的面积为　 　 ．
32．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为　 　 ．
33．如图，反比例函数与过原点的直线交于点A，延长OA至点B使得AB＝OA，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，BC与反比例函数图象交于点D，则S△OBD＝　 　 ．
34．如图，一次函数y＝x与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A，过点A作AB⊥OA交x轴于点B，作BA1∥OA交反比例函数图象于点A1，过点A1作A1B1⊥A1B交x轴于点B1，再作B1A2∥BA1交反比例函数图象于点A2，依次进行下去，…，则点A2024的纵坐标为 　 　 ．
九．根据实际问题列反比例函数关系式（共4小题）
35．某三角形的面积为15cm2，它的一边长为xcm，且此边上高为ycm，请写出y与x之间的关系式，并求出x＝5时，y的值．
36．诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一，一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如表．
每天看的页数/页 10 12 15 20 30 60
需要的天数/天 25 20 15 10
（1）请填写完成上表．
（2）每天看的页数n与需要的天数t之间的数量关系为 　 　 （用含n和t的式子表示）
（3）每天看的页数与需要的天数之间成 　 　 比例关系（填“正”或者“反”）
（4）如果要6天看完这本《中华诗词集锦》，平均每天要看多少页？
37．阅读与思考
下面是小宇学习了“反比例函数的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足I的反比例函数关系，它的图象如图所示． 问题一：请写出这个反比例函数的表达式：　 　 .
问题二：如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
方法 分析问题 解答过程
解法一 因为I中电流I≤10，可以得到关于R的不等式并求解 解：∵I＝　 　 ，且I≤10， ∴　 　 ≤10， ∵R＞0， ∴10R≥※，（依据：★） ∴▲．
解法二 因为I，可以求出当电流I＝10时相应的R值，并通过反比例函数的增减性求R的取值范围
任务：
（1）问题一中反比例函数的表达式为 　 　 ；
（2）问题二中※表示：　 　 ，★表示：　 　 ，▲表示：　 　 ；
（3）完成问题二中解法二的解答过程．
38．如图，某校科技小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围一个面积为30m2的矩形科技园ABCD，设AB的长为x（m），BC的长为y（m）．
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
（2）边AD和DC的长都是整数米，若围成矩形科技园ABCD三边的篱笆总长不超过20m，求出满足条件的所有围建方案．
十．反比例函数的应用（共5小题）
39．一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，x轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），y轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（0≤x≤30）的速度y的大小关于时间x的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图象的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图象的一部分．
（1）根据图中信息，分别求出两段图象所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域；
（2）若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由．
40．小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克/立方米）与时间x（月）成正比例．施工结束后，y与x成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题：
（1）施工过程中y关于x的函数解析式是 　 　 ；
（2）已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于0.08毫克/立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？
（3）施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到1%）
41．科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm．
（1）求h关于ρ的函数解析式；
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ．
42．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求y与x（10≤x≤24）的函数表达式；
（2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？
43．小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段OA与双曲线（一支）分别表示两人离家的距离y（km）与小王的行驶时间t（h）之间的函数关系的图象，请解决以下问题．
（1）线段OA的函数表达式为 　 　 ；
（2）曲线CD的函数表达式为 　 　 ；
（3）点K的坐标为 　 　 ；
（4）设小王和妈妈两人之间的距离为S（km），当S≤2时，求t的取值范围．
十一．反比例综合题（共3小题）
44．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k≠0）与反比例函数在第一象限内的图象交于点A（2，a），点B（b，8）在直线OA上．
（1）求点A、B的坐标；
（2）点C在反比例函数的图象上，如果∠ABC＝45°，将直线OA平移，使其经过点C，求平移后所得直线的表达式．
45．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于M、N两点．
（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接OM、ON，求三角形OMN的面积．
（3）连接OM，在x轴的正半轴上是否存在点Q，使△MOQ是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，说明理由．
46．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，点D的横坐标为3．DE⊥x轴，垂足为E．
（1）写出点A、B、D的坐标，并求反比例函数的解析式；
（2）M是反比例函数图象上的一个动点且在点D右侧，过点M作MF⊥x轴，垂足为F、是否存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与△AOB相似？如果存在，请求出所有满足条件的点M坐标，如果不存在，请说明理由．
（3）P是反比例函数图象上的一个动点且在第三象限，如果，求点P的坐标．
1．反比例函数的图象分布在第二、四象限内，则k的取值范围为 　 　 ．
2．如图，点A，B分别在反比例函数，的图象上，且AB∥x轴，点C在x轴的正半轴上，连接AC，BC，则△ABC的面积为　 　 ．
3．观察反比例函数的图象可以发现直线y＝x是它的一条对称轴，于是小明希望在用描点法绘制函数的图象时在每个象限都取5个点，使得除了双曲线与直线y＝x的交点以外的点的横纵坐标都是整数，考虑到正比例函数和反比例函数的对称性，他认为只需要再取四条经过原点的直线与双曲线的交点就能高效地找出余下八个点，这四条直线的斜率的和是　 　 ．
4．双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中k代表优惠金额，m代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率P甲、P乙与顾客购买总金额m（元）之间的函数关系分别如图所示，其中P乙与m成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足200≤m＜400．
（1）k乙＝　 　 ；用含m的代数式表示k甲　 　 ；
（2）当购买总金额m（元）在200≤m＜400的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么甲：　 　 乙：　 　 ；
（3）完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（200≤m＜400），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由．
1．已知三点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（1，﹣2）都在反比例函数的图象上，若x1＜0＜x2，则下列式子正确的是（　　）
A．y1＜y2＜0 B．y1＜0＜y2 C．y1＞y2＞0 D．y1＞0＞y2
2．下列关系式中的两个量成反比例的是（　　）
A．圆的面积与它的半径
B．正方形的周长与它的边长
C．路程一定时，速度与时间
D．长方形一条边确定时，周长与另一边
3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y（k≠0）的图象大致（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，过反比例函数y（x＞0）图象上的一点A作y轴的平行线交反比例函数y（x＞0）于点B，连接OA、OB．若S△AOB＝3，则k的值为 　 　 ．
5．在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），B（0，4），C（﹣1，0），点P在反比例函数的图象上且在第一象限，PC与边AB相交于点Q，设△BCQ的面积为S1，△APQ的面积为S2，如果S2﹣S1＝5，那么点P的坐标是 　 　 ．
6．已知直线y＝3x和双曲线，把直线向左平行移动5个单位．
（1）求平移后所得的直线的函数解析式．
（2）平移后所得的直线与已知双曲线是否相交？如果相交，求出交点的坐标，如果不相交，请说明理由．
7．已知：如图，点A坐标为（0，4），点B在双曲线的图象上．
（1）当△AOB面积为12时，求点B的坐标；
（2）点C在y轴负半轴，点D在线段BO的延长线上，当四边形ABCD为矩形时，求直线AB解析式．
8．人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示．
表一：地面所受压强与接触面积之间的关系
地面所受压强p（Pa） … 4×104 6×104 8×104 1×105 …
接触面积S（m2） … 1.2×10﹣3 8×10﹣4 6×10﹣4 4.8×10﹣4 …
表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系
地面材质 玻璃 木地板 大理石
能承受的最大压强p（Pa） 4.8×107 2.4×107 2.5×108
（1）求地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式（不写定义域）；
（2）求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？
9．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段OB、BC表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤5）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大棚内的温度低于10℃不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时
10．五一期间，甲、乙两家商场都进行了促销活动，如何才能更好地衡量促销对消费者受益程度的大小呢？
某数学小组通过合作探究发现用优惠率（其中k表示优惠金额，m表示顾客购买商品的总金额）可以很好地进行衡量，优惠率p越大，消费者受益程度越大；反之就越小．经统计，若顾客在甲、乙两商场购买商品的总金额都为m（200≤m≤400）元时，优惠率分别为与，它们与m的关系图象如图所示，其中P甲与m成反比例关系；p乙保持定值．
（1）求出k甲的值，并用含m的代数式表示k乙．
（2）当购买总金额为m（200≤m≤400）元的条件下时，指出甲、乙两商场在五一期间采取的促销方案分别是什么？
（3）在五一期间，某种品牌、质量、规格等都相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m（200≤m≤400）元，你认为选择哪家商场购买该商品更划算？请说明理由．

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