资源简介

第23章 四边形章节复习<解答题专题突破>
(知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义
本节课主要针对第23章四边形解答题专题复习。在本节课中，我们梳理了多边形、平行四边形、矩形、菱形、三角形、中位线和重心概念、解答解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本章知识点。
知识点一 多边形概念
1.多边形定义：由不在同一直线上的三条或三条以上线段首尾顺次连接而成的封闭图形。
2.分类：三角形、四边形、五边形……n边形（n≥3）
3.内角和定理：n边形的内角和 = (n-2)×180°
对角线条数：n边形(n≥3)的对角线条数=n(n-3)÷2
4.外角和定理：任意多边形的外角和 = 360°
常考题型及解题方法
题型分类 典型例题 解题思路
求内角和 十边形的内角和是多少？ 直接代入公式：(10-2)×180° = 1440°
已知内角和求边数 一个多边形的内角和是2160°，求边数 设边数为n，(n-2)×180=2160，解得n=14
正多边形角度计算 正五边形的每个外角是多少？ 外角和÷边数=360°÷5=72°
内外角关系 一个多边形的内角和是外角和的6倍，求边数 (n-2)×180=6×360，解得n=14
知识点二 平行四边形
1.定义：两组对边分别平行的四边形
2.性质：对边相等且平行；对角相等；对角线互相平分；是中心对称图形
3.判定方法：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分
知识点三 矩形、菱形、正方形
1.矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形
性质：四个角都是直角；对角线相等
判定：①有一个直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形
2.菱形
定义：一组邻边相等的平行四边形
性质：四条边相等；对角线互相垂直；面积=×对角线乘积
判定：①一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形
3.正方形
定义：既是矩形又是菱形的四边形
性质：具有矩形和菱形的所有性质
注意：易混淆点
1. 对角线相等的四边形不一定是矩形（可能是等腰梯形）
2. 对角线垂直的四边形不一定是菱形
3. 正方形具有矩形和菱形的所有性质
知识点四 三角形中位线与重心.
1.中位线定理：中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半
2.重心：三条中线的交点；重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍；重心将三角形面积三等分
一．多边形（共5小题）
1．一个多边形的内角和是它外角和的2倍，求这个多边形的边数．
2．已知正多边形的一个内角是它的外角的4倍，求这个正多边形的边数．
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝116°，AC平分∠BCD，E是BC上一点，EF∥AC交AB于点F．
（1）求∠DAC的大小；
（2）若∠BFE＝3∠B，求∠BAC的大小．
4．如图，已知∠A＝50°，∠D＝40°
（1）求∠1度数；
（2）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
5．如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）
①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°．
②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．
（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数．
二．平行四边形（共8小题）
6．如图所示，在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，求证四边形AECF是平行四边形．
7．如图，在 ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF⊥AE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
8．已知：如图，在平行四边形ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF，连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE＝OF．
9．已知 ABCD，点O为对角线AC的中点，过点O分别作直线EF，GH，直线EF交边AD、BC于点E、F，直线GH交边AB、CD于点G、H．求证：四边形EHFG为平行四边形．
10．如图，在 ABCD中，E为边CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC．
（1）求证：E为CD的中点；
（2）如果点F为AE的中点，联结CF交BE于点G．写出BG与EG满足的数量关系，并说明理由．
11．平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC上，联结AF、BE交于点G，联结CE、DF交于点H，四边形EGFH是矩形．
（1）如图1，联结GH，如果GH∥AD，求证：①AE＝ED；②AD＝2AB；
（2）如图2，若AE＝CF＝a，BF＝DE＝b，且a＜b，又EF＝AB，用含a、b的代数式表示AB的长．请直接写出结果：AB＝ 　 　 ．
12．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，某数学学习小组要在AC上找两点E、F，使四边形BEDF为平行四边形，现在，甲、乙两个同学给出了两种不同的方案如下：
甲方案：分别取AO，CO的中点E，F；
乙方案：作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F；
请回答下列问题：
（1）你认为按照甲方案得到的四边形是平行四边形吗？
答：　 　 （填是或者不是）
（2）你认为按照乙的方案得到的四边形是平行四边形吗？如果是，请证明，如果不是，请说明理由．
（3）请你给出一种和他们不同的方案，请用文字表达你的方案，并在图中标记字母．（不必证明）
13．【阅读材料】
老师提出的问题： 同学们的方案：
如图，在平行四边形ABCD中，AD＜AB，∠A为锐角．在对角线BD上如何确定点E、F的位置，使四边形AECF为平行四边形？ 方案1：分别作AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，交BD于点E、F．
方案2：取BD的两个三等分点E、F．
方案3：在BD上任意取一点E，联结AE，再以C为圆心，AE长为半径画弧，交BD于点F．
【解决问题】
（1）写出以上三种方案中正确方案，并选择一种正确的方案，在图中画出图形，并说明理由；
（2）除了这些同学们已经研究的方案之外，你还有其他方案吗？请写出方案，画出图形，并说明理由．
三．矩形的性质与判定（共6小题）
14．如图，已知在 ABCD中，点E、F分别是边AD、CD的中点，过点E、F的直线交BA的延长线于点G，联结AC．
（1）求证：四边形ACFG是平行四边形；
（2）联结CE，如果CE＝AE，求证：四边形ACFG是矩形．
15．如图，已知，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线分别与边BC及边DC的延长线相交于点E，F，G，点G为EF中点，连接DG．
（1）如果AB＝2，BC＝4，求△ADG的面积；
（2）联结BD，求∠BDG的度数．
16．如图，已知AD是△ABC的中线，M是AD的中点，过A点作AE∥BC，CM的延长线AE相交于点E，与AB相交于点F．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）如果∠BAD＝∠CAD，求证：四边形AEBD是矩形．
17．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E是CD的中点，连接AE交BD于点F，延长AE到点P，使FP＝AF，连接CF，CP，DP．
（1）求证：四边形CFDP是平行四边形；
（2）若四边形CFDP是矩形，且，求AB的长度．
18．如图，已知在 ABCD中，点E、F分别是边AD、CD的中点，过点E、F的直线交BA、BC的延长线于点G、H，联结AC．
（1）求证：四边形ACHE是平行四边形；
（2）联结CE，如果CE＝AE，求证：四边形ACFG是矩形．
19．某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形ABCD），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样．
（1）若大玻璃的长AD为2米，则乙玻璃的边AE＝　 　 米，AF＝　 　 米；
（2）若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，则按方案一和方案二切割的玻璃片数量分别为多少？
四．菱形的性质与判定（共7小题）
20．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝8，∠ABD＝90°，求菱形BEDF的面积．
21．已知：如图，在 ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：DE＝BF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
22．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点，AF、CE与对角线BD分别相交于点G、H，联结EG、FH．
（1）求证：AG＝CH；
（2）当AD⊥BD时，求证：四边形EHFG是菱形．
23．已知：在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为E、F．
（1）如图①，如果∠BAE＝∠EAF，求证：AE＝BE；
（2）如图②，如果对角线BD与AE、AF交于点M、N，且BM＝MN，求证：∠EAF＝2∠BAE．
24．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，O是BD上的点，BO＝DO，∠ABD＝∠CBD，连结AO并延长交BC于点E．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）过点C作CF⊥AE，垂足为点F，若BE＝CE，求证：四边形ODCF是矩形．
25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的中线，点E是AD的中点，过A作AF∥BC交BE的延长线于点F，联结CF．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）如果AC＝6，四边形ADCF的面积是30，求AB的长．
26．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AC与BD相交于点O，AC⊥BD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作点DH⊥AB，垂足为点H，联结OH，求证：∠DHO＝∠DCO．
五．正方形的性质与判定（共7小题）
27．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AF＝CE．对角线BD分别交EC、AF于点M、N，联结AM、CN．求证：四边形AMCN是菱形．
28．如图所示，正方形ABCD中，，点E、F分别为边AB，BC的中点，联结AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，联结MN，求MN的长度．
29．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝CD，∠BAC＝∠ACD，延长BC至点E，使CE＝BC，联结DE．
（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；
（2）当AC⊥BC，且CE＝2CO时，求证：四边形ACED是正方形．
30．如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上一点（点E与点A、B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F．
（1）求证：AF＝DE；
（2）联结DF、EF，如果△DEF的面积为，求AE的长．
31．如图，P是边长为4的正方形ABCD对角线AC上一点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE＝PB．
（1）若AP＝1，求CE的长；
（2）求证：PE⊥PD．
32．我们知道正方形是四条边相等，四个内角都等于90°的四边形．
（1）如图1，已知正方形ABCD，点E是边CD上一点，延长CB到点F，使得BF＝DE，作∠EAF的平分线交边BC于点G．求证：BG+DE＝EG．
（2）如图2，已知△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，若BD＝2，CD＝1．求△ABC的面积．
33．阅读理解题．定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“和谐线”，该四边形叫做“和谐四边形”．如图，在四边形ABDC中，对角线BC平分∠ACD和∠ABD，那么对角线BC叫“和谐线”，四边形ABDC就称为“和谐四边形”．
问题：
（1）下列四边形：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，其中是“和谐四边形”的有 　 　 ；（填序号）
（2）四边形ABCD是“和谐四边形”，，∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，求四边形ABCD“和谐线”的长．（画出图形并写出解答过程）
六．三角形的中位线与重心（共6小题）
34．已知：如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝AC，E、F、G分别是BC、AD、CD的中点，EF、CA的延长线相交于点H．
求证：（1）∠CGE＝∠ACD+∠CAD；
（2）AH＝AF．
35．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使，连结DE，DF，DE交AF于点P．
（1）求证：AP＝FP；
（2）若BC＝10，求DF的长．
36．如图等边三角形ABC的边长为2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至F，使CFBC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF
（2）求EF的长．
37．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E是边BC的中点，在图中作点D，使得ED∥AB，且∠CDB＝90°，分别联结AE，AD，过点A作AF⊥BC，垂足为点F．
（1）求证：AD平分∠BAE；
（2）求证：∠CAF＝2∠DAE．
38．已知，如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，P，Q分别是BG，CG的中点．求证：
（1）四边形EFPQ是平行四边形；
（2）BG＝2GE，CG＝2GF．
39．【三角形中位线定理】
已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．
求证：BD＝AC．
1．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
2．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，E为AC的中点，在图中作点D，使AD∥BE，且∠ADC＝90°，在AD上取点F，使FD＝BE，分别连接EF、ED、BD．试判断EF与BD之间具有怎样的位置关系．
3．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交边AB、CD于点E、F，联结AF、CE．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）如果四边形ABCD为矩形，AD＝8，CD＝16，求EF的长．
1．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．
（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；
（2）当线段AC与BD满足怎样的关系时，四边形DEBF是矩形？请直接写出合适的关系，不需要说明理由．
2．已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，对角线AC、BD相交于点O，E在边BC的延长线上，且OE＝OB，∠ADB＝∠OEB．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）联结DE，求证：DE⊥BE．
3．如图，在 ABCD中，∠BAD＝32°，分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF．延长AB交边EC于点H，点H在E、C两点之间，连接AE、AF．
（1）求证：△ABE≌△FDA．
（2）当AE⊥AF时，求∠EBH的度数．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为边AB、AC上的点，DE∥BC，联结BE，点G为BE的中点，联结DG，并延长交边BC于F．
（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；
（2）如果∠C＝2∠BEF，求证：四边形DBFE是菱形．
证明：
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，点E为BC的中点
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）联结BD，如果BD平分∠ABC，AD＝2，求BD的长．
6．如图，已知平行四边形ABCD，E是边AB的中点，点F在边AD上，连接FE并延长交CB的延长线于点G，连接BF、AG．
（1）如果∠AFG＝∠C，求证：四边形AGBF是矩形；
（2）如果F是边AD的中点，且，求证：四边形ABCD是菱形．
7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在边BC上，点F在边BC的延长线上，四边形AEFD的对角线AF分别交DE、DC于点P、Q，且PD＝PE，DE平分∠ADF．
（1）求证：四边形AEFD是菱形；
（2）如果BC＝EF，∠EDC＝∠EFP，求证：四边形ABCD为矩形．
8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD的中点，AE与BF交于点O，连接OD．
（1）写出线段AE与BF的数量关系和位置关系，并证明；
（2）求证：∠BAO＝∠DOF．
9．在正方形ABCD中，E为正方形内一点，且AE＝AB，延长BE交CD于F，延长DE交BC于P．
（1）求证：∠DEF＝45°；
（2）求证：．
10．如图，在正方形ABCD中，G是对角线CA的延长线上的点，以线段AG为边作正方形AEFG，连接BE，与边AD交于点P，连接DG，与BE交于点H．
（1）求证：BE＝DG；
（2）判断BE与DG的位置关系，并说明理由；
（3）若，AG＝2，求DG的长．
11．如图1，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、AF、EF，∠EAF＝45°．
（1）求证：EA平分∠BEF；
（2）如图2，在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝12，QH＝4，则HR的长度为多少？
12．如图，四边形ABCD为平行四边形，线段AC为对角线，点E、F分别为线段BC、AD的中点，连接EF交AC于点O．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若OF＝3，求CD的长．
13．如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CFBC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长；
（3）求四边形DEFC的面积．第23章 四边形章节复习<解答题专题突破>
(知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义
--答案解析版--
本节课主要针对第23章四边形解答题专题复习。在本节课中，我们梳理了多边形、平行四边形、矩形、菱形、三角形、中位线和重心概念、解答解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本章知识点。
知识点一 多边形概念
1.多边形定义：由不在同一直线上的三条或三条以上线段首尾顺次连接而成的封闭图形。
2.分类：三角形、四边形、五边形……n边形（n≥3）
3.内角和定理：n边形的内角和 = (n-2)×180°
对角线条数：n边形(n≥3)的对角线条数=n(n-3)÷2
4.外角和定理：任意多边形的外角和 = 360°
常考题型及解题方法
题型分类 典型例题 解题思路
求内角和 十边形的内角和是多少？ 直接代入公式：(10-2)×180° = 1440°
已知内角和求边数 一个多边形的内角和是2160°，求边数 设边数为n，(n-2)×180=2160，解得n=14
正多边形角度计算 正五边形的每个外角是多少？ 外角和÷边数=360°÷5=72°
内外角关系 一个多边形的内角和是外角和的6倍，求边数 (n-2)×180=6×360，解得n=14
知识点二 平行四边形
1.定义：两组对边分别平行的四边形
2.性质：对边相等且平行；对角相等；对角线互相平分；是中心对称图形
3.判定方法：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分
知识点三 矩形、菱形、正方形
1.矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形
性质：四个角都是直角；对角线相等
判定：①有一个直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形
2.菱形
定义：一组邻边相等的平行四边形
性质：四条边相等；对角线互相垂直；面积=×对角线乘积
判定：①一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形
3.正方形
定义：既是矩形又是菱形的四边形
性质：具有矩形和菱形的所有性质
注意：易混淆点
1. 对角线相等的四边形不一定是矩形（可能是等腰梯形）
2. 对角线垂直的四边形不一定是菱形
3. 正方形具有矩形和菱形的所有性质
知识点四 三角形中位线与重心.
1.中位线定理：中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半
2.重心：三条中线的交点；重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍；重心将三角形面积三等分
一．多边形（共5小题）
1．一个多边形的内角和是它外角和的2倍，求这个多边形的边数．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°以及外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
根据题意得，（n﹣2） 180°＝2×360°，
解得n＝6．
即这个多边形的边数是6．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
2．已知正多边形的一个内角是它的外角的4倍，求这个正多边形的边数．
【分析】根据多边形的内角和与外角的关系，可得关于n的一元一次方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：设这个正多边形的边数n边形，由题意，得
（n﹣2）×180°＝4×360°．
解得n＝10，
答：这个正多边形的边数是10．
【点评】本题考查了夺标性的内角与外角，利用了正多边形的内角和与外角和的关系．
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝116°，AC平分∠BCD，E是BC上一点，EF∥AC交AB于点F．
（1）求∠DAC的大小；
（2）若∠BFE＝3∠B，求∠BAC的大小．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠D+∠BCD＝180°，即可算出∠BCD的度数，根据角平分线的定义可得∠ACD的度数，根据平行线的性质即可得出答案；
（2）根据平行线的性质可得∠BEF＝∠ACB，由已知和三角形的内角和可得∠BFE＝3∠B，∠BEF+∠BFE+∠B＝180°，即可算出∠B的度数，根据平行线的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠D+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣116°＝64°，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD，
∴∠DAC＝∠ACB＝32°；
（2）∵EF∥AC，
∴∠BEF＝∠ACB＝32°，
∵∠BFE＝3∠B，∠BEF+∠BFE+∠B＝180°，
∴3∠B+∠B+32°＝180°，
∴∠B＝37°，
∴∠BAC＝∠BFE＝3×37°＝111°．
【点评】本题主要考查了多边形内角和和平行线的性质，熟练掌握多边形内角和和平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
4．如图，已知∠A＝50°，∠D＝40°
（1）求∠1度数；
（2）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
【分析】（1）根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∠1＝∠A+∠D＝90°；
（2）∵∠1＝∠A+∠D，∠2＝∠B+∠E，∠1+∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
5．如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）
①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°．
②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°．
（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数．
【分析】（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解；
②过一个顶点和相邻边上的点作出直线即可求解；
③过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解；
（2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）设新多边形的边数为n，
则（n﹣2） 180°＝2520°，
解得n＝16，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
故原多边形的边数可以为15，16或17．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解．
二．平行四边形（共8小题）
6．如图所示，在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，求证四边形AECF是平行四边形．
【分析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AE∥CF，再证AE＝CF，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴AEAB，CFCD，
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
7．如图，在 ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF⊥AE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AB＝CD，AD∥BC，则∠DAE＝∠E，而∠DAE＝∠BAE，所以∠E＝∠BAE，则AB＝BE，即可证明BE＝CD；
（2）连接AC、DE，由AD∥BC，点E在BC的延长线上，得AD∥EC，∠D＝∠FCE，由AB＝BE，BF⊥AE，根据等腰三角形的“三线合一”得AF＝EF，而∠AFD＝∠EFC，即可根据“ASA”证明△AFD≌△EFC，得AD＝EC，即可证明四边形ACED是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E，
∵∠BAD的角平分线AE交BC的延长线于点E，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠E＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD．
（2）连接AC、DE，
∵AD∥BC，点E在BC的延长线上，
∴AD∥EC，∠D＝∠FCE，
由（1）得AB＝BE，
∵BF⊥AE，
∴AF＝EF，
在△AFD和△EFC中，
，
∴△AFD≌△EFC（ASA），
∴AD＝EC，
∴四边形ACED是平行四边形．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，推导出∠E＝∠BAE，进而证明AB＝BE是解题的关键．
8．已知：如图，在平行四边形ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF，连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE＝OF．
【分析】通过证明△AOE≌△COF，即可求证．
【解答】证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝DF，
∴AB+BE＝CD+DF，
∴AE＝CF，
∵AB∥CD，
∴∠E＝∠F，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
9．已知 ABCD，点O为对角线AC的中点，过点O分别作直线EF，GH，直线EF交边AD、BC于点E、F，直线GH交边AB、CD于点G、H．求证：四边形EHFG为平行四边形．
【分析】由平行四边形得到OA＝OC，AD∥BC，∠DAO＝∠BCO，证明出△AOE≌△COF（ASA），得到OE＝OF，同理得到OG＝OH，即可证明四边形EHFG为平行四边形．
【解答】证明：已知 ABCD，点O为对角线AC的中点，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴同理可证，△AOG≌△COH，
∴OG＝OH，
∴四边形EHFG为平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
10．如图，在 ABCD中，E为边CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC．
（1）求证：E为CD的中点；
（2）如果点F为AE的中点，联结CF交BE于点G．写出BG与EG满足的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据平行四边形性质得AD＝BC，AB∥CD，则∠DEA＝∠BAE，∠CEB＝∠ABE，再根据角平分线定义得，∠DAE＝∠BAE，∠CBE＝∠ABE，进而得∠DAE＝∠DEA，∠CBE＝∠CEB，则DE＝AD，CE＝BC，继而得DE＝CE，据此即可得出结论；
（2）设BE的中点为H，连接FH，则BH＝EH，证明FH是△EAB的中位线得FH∥AB，FHAB，进而根据平行四边形性质得FH∥CD，FHCD，由（1）的结论得ECCD，则FH＝EC，由此即可证明△GFH和△GCE全等，则EG＝HG，据此即可得出BG与EG满足的数量关系．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，∠CEB＝∠ABE，
∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC，
∴∠DAE＝∠BAE，∠CBE＝∠ABE，
∴∠DAE＝∠DEA，∠CBE＝∠CEB，
∴DE＝AD，CE＝BC，
又∵AD＝BC，
∴DE＝CE，
∴点E为CD的中点；
（2）解：BG与EG满足的数量关系是：BG＝3EG，理由如下：
设BE的中点为H，连接FH，如图所示：
∴BH＝EH，
∵点F为AE的中点，
∴FH是△EAB的中位线，
∴FH∥AB，FHAB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴FH∥CD，FHCD，
由（1）可知：点E为CD的中点，
∴ECCD，
∴FH＝EC，
∵FH∥CD，
∴∠GFH＝∠GCE，∠GHF＝∠GEC，
在△GFH和△GCE中，
，
∴△GFH≌△GCE（ASA），
∴EG＝HG，
∴EH＝2EG，
∴BH＝EH＝2EG，
∴BG＝BH+HG＝2EG+EG＝3EG．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
11．平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC上，联结AF、BE交于点G，联结CE、DF交于点H，四边形EGFH是矩形．
（1）如图1，联结GH，如果GH∥AD，求证：①AE＝ED；②AD＝2AB；
（2）如图2，若AE＝CF＝a，BF＝DE＝b，且a＜b，又EF＝AB，用含a、b的代数式表示AB的长．请直接写出结果：AB＝ 　　 ．
【分析】（1）①根据题意，结合图形，易得到四边形AGHE及EGHD都是平行四边形，即可证得结论；
②根据题意，得到四边形ABFE为平行四边形，结合已知条件，得到四边形ABFE是菱形，即可得到结论；
（2）根据题意，结合图形，得到△AEG与△BGF为等腰直角三角形，求出AG和BG，利用勾股定理得到结果．
【解答】（1）证明：①连接EF，如图1所示：
∵四边形EGFH是矩形，
∴FD∥BE，AF∥EC，
即GE∥HD，AG∥EH，
又∵GH∥AD，
∴GH∥AE，GH∥ED，
∴四边形AGHE及EGHD都是平行四边形，
∴AE＝GH，ED＝GH，
∴AE＝ED；
②由①得，E为AD中点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵GH∥AD，
∴GH∥BC，
同理可得F为BC中点，
∴AE＝BF，
∵AE∥BF，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∵四边形EGFH是矩形，
∴∠EGF＝90°，即AF⊥BE，
∴四边形ABFE是菱形，
∴，
∴AD＝2AB；
（2）解：如图所示：过点A作 AM⊥BC于点M，EN⊥BC于点N，
则AM∥EN，
∵ ABCD中AE∥MN，
∴四边形AMNE为平行四边形，
∴AM＝EN，
∵AB＝EF，
∴Rt△ABM≌Rt△EFN（HL），
∴∠ABM＝∠EFN，
∵BF＝FB，
∴△ABF≌△EFB（SAS），
∴∠AFB＝∠EBF，AF＝BE，
∴GB＝GF，
∴BE﹣BG＝AF﹣GF，即AG＝EG，
∵矩形EGFH中∠EGF＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∴△AEG与△BGF为等腰直角三角形，
∵AE＝a，BF＝b，
∴AG，BG，
∴AB
．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形，矩形，菱形的性质应用，熟练掌握相关特殊四边形的性质是解题的关键．
12．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，某数学学习小组要在AC上找两点E、F，使四边形BEDF为平行四边形，现在，甲、乙两个同学给出了两种不同的方案如下：
甲方案：分别取AO，CO的中点E，F；
乙方案：作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F；
请回答下列问题：
（1）你认为按照甲方案得到的四边形是平行四边形吗？
答：　是　 （填是或者不是）
（2）你认为按照乙的方案得到的四边形是平行四边形吗？如果是，请证明，如果不是，请说明理由．
（3）请你给出一种和他们不同的方案，请用文字表达你的方案，并在图中标记字母．（不必证明）
【分析】（1）如图，连接BD，根据平行四边形的性质得到AO＝CO，BO＝DO，求得EO＝FO，根据平行四边形的判定定理得到四边形BEDF为平行四边形；
（2）根据平行四边形 到现在得到AD＝BC，AD∥CB，根据全等三角形的性质得到BE＝DF，AE＝CF，根据平行四边形的判定定理得到四边形BEDF为平行四边形；
（3）在AC上取AE＝CF，即可得到四边形BEDF为平行四边形．
【解答】解：（1）甲的方案得到的四边形是平行四边形；
证明：如图，连接BD，
∵在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵E，F分别为AO，CO的中点，
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF为平行四边形；
故答案为：是；
（2）乙的方案得到的四边形是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥CB，
∴∠EAD＝∠FCB，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF，∠BEF＝∠AFD＝90°
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴BE＝DF，AE＝CF，
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）在AC上取AE＝CF，即可得到四边形BEDF为平行四边形，
证明：如图，连接BD，
∵在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣CF，
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF为平行四边形．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
13．【阅读材料】
老师提出的问题： 同学们的方案：
如图，在平行四边形ABCD中，AD＜AB，∠A为锐角．在对角线BD上如何确定点E、F的位置，使四边形AECF为平行四边形？ 方案1：分别作AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，交BD于点E、F．
方案2：取BD的两个三等分点E、F．
方案3：在BD上任意取一点E，联结AE，再以C为圆心，AE长为半径画弧，交BD于点F．
【解决问题】
（1）写出以上三种方案中正确方案，并选择一种正确的方案，在图中画出图形，并说明理由；
（2）除了这些同学们已经研究的方案之外，你还有其他方案吗？请写出方案，画出图形，并说明理由．
【分析】（1）方案一：连接OC交BD于点O，证明△ADE和△CBF全等得DE＝BF，进而得OE＝OF，再根据OA＝OC即可判定四边形AECF是平行四边形；
方案二，连接OC交BD于点O，根据OD＝OBBD，DE＝EF＝BFBD得OE＝OFBD，再根据OA＝OC即可判定四边形AECF是平行四边形，
方案三：连接OC交BD于点O，根据AD＝CB，AE＝CF，∠ADE＝∠CBF，无法判定△ADE和△CBF全等，无法得到DE＝BF，故不能四边形AECF是平行四边形；
（2）过点A，C分别作BD的垂线，垂足分别为E，F，则四边形AECF是平行四边形（答案不唯一），证明△ADE和△CBF全等得DE＝BF，进而得OE＝OF，再根据OA＝OC即可判定四边形AECF是平行四边形．
【解答】解：（1）方案一、二正确，方案三不正确，理由如下：
方案一：连接OC交BD于点O，如图1①所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，∠BAD＝∠BCD，OA＝OC，OD＝OB，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠DAE∠BAD，∠BCF∠BCD，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE＝BF，
∵OD＝OB，
∴OD﹣DE＝OB﹣BF，
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
故方案一正确；
方案二，连接OC交BD于点O，如图1②所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OBBD，
∴点E，F是BD的两个三等分点，
∴DE＝EF＝BFBD，
∴OE＝OD﹣DEBDBDBD，OF＝OB﹣BFBDBDBD，
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
方案三：连接OC交BD于点O，如图1③所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，OA＝OC，OD＝OB，
∴∠ADE＝∠CBF，
依题意得：AE＝CF，
在△ADE和△CBF中，
AD＝CB，AE＝CF，∠ADE＝∠CBF，
不符合全等三角形的判定条件，无法证明DE＝BF，
故方案三不正确；
（2）有，过点A，C分别作BD的垂线，垂足分别为E，F，则四边形AECF是平行四边形（答案不唯一），理由如下：
连接OC交BD于点O，如图2所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，OA＝OC，OD＝OB，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴DE＝BF，
∵OD＝OB，
∴OD﹣DE＝OB﹣BF，
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
三．矩形的性质与判定（共6小题）
14．如图，已知在 ABCD中，点E、F分别是边AD、CD的中点，过点E、F的直线交BA的延长线于点G，联结AC．
（1）求证：四边形ACFG是平行四边形；
（2）联结CE，如果CE＝AE，求证：四边形ACFG是矩形．
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AG＝DF＝CF可得结论；
（2）证明∠ACF＝90°可得结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BG∥CD，
∴∠G＝∠EFD，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠AEG＝∠DEF，
∴△AEG≌△DEF（ASA），
∴AG＝DF，
∵F是CD的中点，
∴CF＝DF，
∴AG＝CF，
∵AG∥CF，
∴四边形ACFG是平行四边形；
（2）∵△AEG≌△DEF，
∴AE＝DE，
∵AE＝EC，
∴CE＝AE＝DE，
∴∠ACF＝90°，
∵四边形ACFG是平行四边形，
∴四边形ACFG是矩形．
【点评】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
15．如图，已知，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线分别与边BC及边DC的延长线相交于点E，F，G，点G为EF中点，连接DG．
（1）如果AB＝2，BC＝4，求△ADG的面积；
（2）联结BD，求∠BDG的度数．
【分析】（1）作辅助线，构建全等三角形，先根据角平分线和矩形的对边平行得：DF＝AD＝4，并求出CF＝AB＝2，证明△ABE≌△FCE，则AE＝EF，由△AGH∽△AFD，列比例式求DG的长，代入面积公式可得结论；
（2）如图2，作辅助线，想办法证明△BGD是等腰直角三角形，就可以得出结论，关键是证明△BMG≌△DNG即可．
【解答】解：（1）如图1，过G作GH⊥AD于H，交BC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD＝BC＝4，DC＝AB＝2，
∴∠BAE＝∠AFD，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠FAD，
∴∠AFD＝∠FAD，
∴DF＝AD＝4，
∴CF＝DF﹣DC＝4﹣2＝2，
∴AB＝CF，
∵∠AEB＝∠FEC，∠BAE＝∠AFD，
∴△ABE≌△FCE，
∴AE＝EF，
∵G是EF的中点，
∴EG＝GFEF，
∴，
∵GH∥DF，
∴△AGH∽△AFD，
∴，
∴，
∴GH＝3，
∴S△ADGAD GH4×3＝6；
（2）如图2，过G作GN⊥DF于N，连接CG，
∵∠GHD＝∠HDN＝∠GND＝90°，
∴四边形HGND是矩形，
∴DH＝GN，
在Rt△ECF中，∵∠F＝45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∵G是EF的中点，
∴CG⊥EF，
∵∠F＝45°，
∴∠FCG＝45°，
∴∠CGN＝45°，
∴GN＝NC，
∴四边形MGNC是正方形，
∴GM＝GN＝CN＝FN，
∵BC＝AD＝FD，
∴BC﹣CM＝DF﹣FN，
即BM＝DN，
∵∠BMG＝∠GNC＝90°，
∴△BMG≌△DNG，
∴BG＝DG，
∠BGM＝∠DGN，
∴∠BGM+∠MGD＝∠DGN+∠MGD，
即∠BGD＝90°，
∴△BGD是等腰直角三角形，
∴∠BDG＝45°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、矩形、正方形的性质和判定、角平分线的定义、等腰直角三角形的性质等知识，运用的知识点较多，熟练掌握这些知识点是关键，尤其是第二问，作辅助线，构建并证明△BMG≌△DNG是关键．
16．如图，已知AD是△ABC的中线，M是AD的中点，过A点作AE∥BC，CM的延长线AE相交于点E，与AB相交于点F．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）如果∠BAD＝∠CAD，求证：四边形AEBD是矩形．
【分析】（1）证明△AEM≌△DCM（AAS），得AE＝CD，再证明AE＝BD，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）延长AD至G，使GD＝AD，连接CG，证明△CDG≌△BDA（SAS），得GC＝AB，∠G＝∠BAD，再证明∠G＝∠CAD，则GC＝AC，得AB＝AC，然后由等腰三角形的性质得AD⊥BC，则∠ADB＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵M是AD的中点，
∴AM＝DM，
∵AE∥BC，
∴∠AEM＝∠DCM，
又∵∠AME＝∠DMC，
∴△AEM≌△DCM（AAS），
∴AE＝CD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴AE＝BD，
又∵AE∥BD，
∴四边形AEBD是平行四边形；
（2）如图，延长AD至G，使GD＝AD，连接CG，
∵∠CDG＝∠BDA，CD＝BD，
∴△CDG≌△BDA（SAS），
∴GC＝AB，∠G＝∠BAD，
∵∠ABD＝∠CAD，
∴∠G＝∠CAD，
∴GC＝AC，
∴AB＝AC，
∵AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
由（1）可知，四边形AEBD是平行四边形，
∴平行四边形AEBD是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
17．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E是CD的中点，连接AE交BD于点F，延长AE到点P，使FP＝AF，连接CF，CP，DP．
（1）求证：四边形CFDP是平行四边形；
（2）若四边形CFDP是矩形，且，求AB的长度．
【分析】（1）根据矩形的性质推出OF是△ACP的中位线，利用ASA证明△DEF≌△CEP，根据全等三角形的性质得到EF＝EP，结合DE＝CE，即可判定四边形CFDP是平行四边形；
（2）根据矩形的性质、勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，
∵FP＝AF，
∴OF是△ACP的中位线，
∴OF∥CP，
∴∠FDE＝∠PCE（两直线平行，内错角相等），
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△DEF和△CEP中，
，
∴△DEF≌△CEP（ASA），
∴EF＝EP，
又∵DE＝CE，
∴四边形CFDP是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB，∠ADE＝90°，
∴根据勾股定理，AD2+DE2＝AE2，
若四边形CFDP是矩形，则，
，FP＝CD，
∵AF＝FP，
∴，
∴，
∴AD2＝2CD2，
∴或（不符合题意，舍去），
∵，
∴CD＝AB＝1，所以AB的长度为1．
【点评】此题考查了矩形的性质，平行四边的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，利用矩形的性质证明△DEF≌△CEP是解题的关键．
18．如图，已知在 ABCD中，点E、F分别是边AD、CD的中点，过点E、F的直线交BA、BC的延长线于点G、H，联结AC．
（1）求证：四边形ACHE是平行四边形；
（2）联结CE，如果CE＝AE，求证：四边形ACFG是矩形．
【分析】（1）先由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得出AD∥BC，即AE∥CH．再由点E、F分别是边AD、CD的中点，根据三角形中位线定理得出EF∥AC，即EH∥AC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得出四边形ACHE是平行四边形；
（2）根据直角三角形的判定定理和平行四边形的性质，余角矩形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AE∥CH．
∵点E、F分别是边AD、CD的中点，
∴EF∥AC，即EH∥AC，
∴四边形ACHE是平行四边形；
（2）连接CE，
∵点E是边AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AE＝CE，
∴CE＝AE＝DE，
∴CEAD，
∴∠ACD＝90°，
∵四边形ACHE是平行四边形，
∴四边形ACFG是矩形．
【点评】此题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，线段中点的定义，解题的关键是熟记平行四边形的各种判定方法并且熟练运用．
19．某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形ABCD），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样．
（1）若大玻璃的长AD为2米，则乙玻璃的边AE＝　0.4　 米，AF＝　0.6　 米；
（2）若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，则按方案一和方案二切割的玻璃片数量分别为多少？
【分析】（1）根据矩形的性质即可得到结论；
（2）根据题意得，丙型玻璃是乙型玻璃的2倍，列方程组，解方程组即可得到结论．
【解答】解：（1）AE＝2÷5＝0.4（米），
由方案一可得丙的长＝2÷2＝1（米），
由方案二可得丙的宽＝2÷5＝0.4（米），
AF＝AB﹣BF＝1﹣0.4＝0.6（米），
故答案为：0.4，0.6；
（2）根据题意得，丙型玻璃是乙型玻璃的2倍，
，
解得：．
答：按方案一和方案二切割的玻璃片数量分别为10块16块．
【点评】本题考查了矩形的性质，二元一次方程组的应用，正确地识别图形是解题的关键．
四．菱形的性质与判定（共7小题）
20．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝8，∠ABD＝90°，求菱形BEDF的面积．
【分析】（1）先证三角形全等得到对角线互相平分，再结合对角线垂直判定菱形；
（2）利用直角三角形锐角互余和等边对等角知识得到BE的长度，进而求出菱形的对角线长度得到面积．
【解答】解：（1）在平行四边形ABCD中，OB＝OD，AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO．
∵EF⊥BD，
∴∠EOD＝∠FOB＝90°．
在△EOD和△FOB中，
，
∴△EOD≌△FOB（ASA），
∴OE＝OF．
又OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∵EF⊥BD，
∴平行四边形BEDF是菱形；
（2）∠ABD＝90°，AB＝6，AD＝8，
．
∴BE＝DE，．
∴∠EBD＝∠EDB．
∵∠ABD＝90°，
∴∠EBD+∠ABE＝90°，∠BAD+∠EDB＝90°，
∴∠ABE＝∠BAD，
∴AE＝BE＝DE，即E是AD的中点，
∴．
∵BE＝4，，
∴，
∴EF＝2OE＝2×3＝6，
∴．
【点评】本题综合考查了平行四边形的性质、菱形的判定以及菱形面积计算等知识，正确进行计算是解题关键．
21．已知：如图，在 ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：DE＝BF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，B＝CD，然后证明出四边形DEBF是平行四边形，即可得到DE＝BF；
（2）首先证明出四边形AGBD是平行四边形，如图所示，连接DG，由菱形得到DE＝BE，然后证明出AB＝DG，即可得到平行四边形AGBD是矩形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴，，
∴BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE＝BF；
（2）解：矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AG∥DB，
∴四边形AGBD是平行四边形，
如图所示，连接DG
∵E为边AB的中点，
∴点E在DG上，
∵四边形BEDF是菱形，
∴DE＝BE，
∵AE＝BE，DE＝EG，
∴AB＝DG，
∴平行四边形AGBD是矩形．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，解题的关键是相关性质的熟练掌握．
22．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点，AF、CE与对角线BD分别相交于点G、H，联结EG、FH．
（1）求证：AG＝CH；
（2）当AD⊥BD时，求证：四边形EHFG是菱形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB＝CD，求得AE，CF，得到AE＝CF，根据全等三角形的性质得到EH＝FG，得到AG＝CH；
（2）连接EF，由（1）知，EH＝FG，EH∥FG，得到四边形EHFG是平行四边形，求得AD∥EF，根据菱形的判定定理得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB＝CD，
∵点E、F分别是边AB、CD的中点，
∴AE，CF，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE，AF∥CE，
∴∠AFD＝∠FCH，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠FCE，∠EBH＝∠FDG，
∴∠DFG＝∠BEH，
∵BE，
∴BE＝DF，
∴△BEH≌△DFG（ASA），
∴EH＝FG，
∴AG＝CH；
（2）连接EF，
由（1）知，EH＝FG，EH∥FG，
∴四边形EHFG是平行四边形，
∵点E、F分别是边AB、CD的中点，
∴AE＝DF，
∵AE∥DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，
∵AD⊥BD，
∴EF⊥BD，
∴四边形EHFG是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
23．已知：在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为E、F．
（1）如图①，如果∠BAE＝∠EAF，求证：AE＝BE；
（2）如图②，如果对角线BD与AE、AF交于点M、N，且BM＝MN，求证：∠EAF＝2∠BAE．
【分析】（1）欲证AE＝BE，可以通过证明∠B＝45°＝∠BAE，根据等腰直角三角形的性质得出；
（2）根据菱形的性质，由AAS证明△ABE≌△ADF，由于∠BAN＝90°，通过证明△AMN是等边三角形，得出∠MAN＝60°，则有∠MAB＝30°，从而证明∠EAF＝2∠BAE．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
又∵AF⊥CD，
∴AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
又∵∠BAE＝∠EAF，
∴∠BAE＝45°，∠AEB＝90°，
∴∠B＝45°＝∠BAE，
∴AE＝BE．
（2）∵菱形ABCD，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF，
又∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD，
在△ABE与△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴∠BAE＝∠DAF，AB＝AD，
∴∠ABM＝∠ADN，
∴△ABM≌△ADN（ASA），
∴AM＝AN，
又∵∠BAN＝90°，BM＝MN，
∴AM＝MN＝AN，
∴∠MAN＝60°，
∴∠MAB＝30°，
∴∠EAF＝2∠BAE．
【点评】本题主要考查菱形的边的性质，同时综合利用全等三角形的判定方法及等腰三角形和等边三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
24．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，O是BD上的点，BO＝DO，∠ABD＝∠CBD，连结AO并延长交BC于点E．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）过点C作CF⊥AE，垂足为点F，若BE＝CE，求证：四边形ODCF是矩形．
【分析】（1）由AD∥BC，得到∠ADB＝∠CBD，∠DAE＝∠BEA，结合BO＝DO，证明△AOD≌△EOB（AAS），推出AO＝EO，易证四边形ABED是平行四边形，再根据∠ABD＝∠CBD，推出∠ABD＝∠ADB，得到AB＝AD，即可证明；
（2）由（1）知四边形ABED是菱形，可得∠BOF＝∠DOF＝90°，由CF⊥AE，推出∠CFE＝90°，结合BE＝CE，证明△ECF≌△EOB（AAS），推出OB＝CF，进而得到CF＝DO，由∠BOF＝∠CFE＝90°证明BD∥CF，易证四边形ODCF是平行四边形，结合∠CFE＝90°，即可证明结论．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，∠DAE＝∠BEA，
∵BO＝DO，
∴△AOD≌△EOB（AAS），
∴AO＝EO，
∵BO＝DO，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴四边形ABED是菱形；
（2）由（1）知四边形ABED是菱形，
∴BD⊥AE，
∴∠BOF＝∠DOF＝90°，
∵CF⊥AE，
∴∠CFE＝90°，即∠CFE＝∠BOF，
∵BE＝CE，∠CEF＝∠BEO，
∴△ECF≌△EOB（AAS），
∴OB＝CF，
∴CF＝DO，
∵∠BOF＝∠CFE＝90°，
∴BD∥CF，
∴四边形ODCF是平行四边形，
∵∠CFE＝90°，
∴四边形ODCF是矩形．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的中线，点E是AD的中点，过A作AF∥BC交BE的延长线于点F，联结CF．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）如果AC＝6，四边形ADCF的面积是30，求AB的长．
【分析】（1）由AF∥BC，得∠AFE＝∠DBE，而∠AEF＝∠DEB，AE＝DE，即可证明△AFE≌△DBE，则AF＝DB，因为AD是斜边BC上的中线，所以AD＝DB＝DCBC，由AF∥DC，且AF＝DC，证明四边形ADCF是平行四边形，而AD＝DC，则四边形ADCF是菱形；
（2）联结DF，由菱形的性质得AC⊥DF，则S菱形ADCF6DF＝30，求得DF＝10，再证明四边形ABDF是平行四边形，则AB＝DF＝10．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF＝DB，
∵AD是斜边BC上的中线，
∴AD＝DB＝DCBC，
∴AF∥DC，且AF＝DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD＝DC，
∴四边形ADCF是菱形．
（2）解：联结DF，
∵四边形ADCF是菱形，且AC＝6，S菱形ADCF＝30，
∴AC⊥DF，
∴6DF＝30，
∴DF＝10，
∵AF∥DB，AF＝DB，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AB＝DF＝10，
∴AB的长为10．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、菱形的面积公式等知识，证明△AFE≌△DBE是解题的关键．
26．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AC与BD相交于点O，AC⊥BD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作点DH⊥AB，垂足为点H，联结OH，求证：∠DHO＝∠DCO．
【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形解答即可；
（2）根据菱形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝OD＝OB，进而根据直角三角形两个锐角互余即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥DC，
∵DH⊥AB，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠HDO＝∠OHD，
∵DH⊥AB，AB∥DC，
∴DH⊥CD，
∴∠HDO＝90°﹣∠CDO＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCO．
【点评】本题考查了菱形的性质和直角三角形的性质，解题关键是根据菱形和直角三角形的性质得出角之间的关系．
五．正方形的性质与判定（共7小题）
27．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AF＝CE．对角线BD分别交EC、AF于点M、N，联结AM、CN．求证：四边形AMCN是菱形．
【分析】连接AC交BD于点O，先依据“HL”判定Rt△ADF和△CBE全等得∠DAN＝∠BCM，进而依据“ASA”判定△DAN和△BCM全等得DN＝BM，由此得ON＝OM，然后再根据OA＝OC，AC⊥BD即可判定四边形AMCN是菱形．
【解答】证明：连接AC交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CB，OA＝OC，OD＝OB，∠ADF＝∠CBE＝90°，∠ADN＝∠CBM＝45°，AC⊥BD，
在Rt△ADF和△CBE中，
，
∴Rt△ADF≌△CBE（HL），
∴∠DAN＝∠BCM，
在△DAN和△BCM中，
，
∴△DAN≌△BCM（ASA），
∴DN＝BM，
∴OD﹣DN＝OB﹣BM，
∴ON＝OM，
又∵OA＝OC，AC⊥BD，
∴四边形AMCN是菱形．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，菱形的判定是解决问题的关键．
28．如图所示，正方形ABCD中，，点E、F分别为边AB，BC的中点，联结AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，联结MN，求MN的长度．
【分析】连接AM，并延长交CD于点H，连接HF，依题意得AE＝CF，证明△MHD和△MAE全等得DH＝AD，HM＝AM，进而得CH，MN是△AFH的中位线，则MNHF，然后利用勾股定理求出HF即可得出MN的长．
【解答】解：连接AM，并延长交CD于点H，连接HF，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，∠C＝90°，
∵点E，F分别是AB，BC的中点，
∵AEAB，CFBC，
∵点M是DE的中点，
∴DM＝EM，
∴AB∥CD，
∴∠MDH＝∠MEA，∠MHD＝∠MAE，
在△MHD和△MAE中，
，
∴△MHD≌△MAE（AAS），
∴DH＝AD，HM＝AM，
∴CH＝CD﹣DH，
在Rt△CHF中，由勾股定理得：HF2，
∵HM＝AM，点N是AF的中点，
∴MN是△AFH的中位线，
∴MNHF＝1．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解决问题的关键．
29．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝CD，∠BAC＝∠ACD，延长BC至点E，使CE＝BC，联结DE．
（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；
（2）当AC⊥BC，且CE＝2CO时，求证：四边形ACED是正方形．
【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得出BO＝DO，根据线段垂直平分线性质得出BC＝CD，求出BC＝CE＝CD即可；
（2）根据邻补角互补求出∠ACE＝90°，求出四边形ACED是平行四边形，再根据正方形的判定推出即可．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵AC⊥BD，
∴BC＝CD，
∵BC＝CE，
∴BC＝CE＝CD，
∴BE＝2CD；
（2）∵AC⊥BC，如图，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BC＝CE，
∴AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝2OA＝2CO，
∵CE＝2CO，
∴AC＝CE，∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是正方形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，正方形的判定等知识点，解此题的关键是掌握有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形是正方形．
30．如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上一点（点E与点A、B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F．
（1）求证：AF＝DE；
（2）联结DF、EF，如果△DEF的面积为，求AE的长．
【分析】（1）先证得∠AED＝∠AFB，很容易证明△ABF与△DAE全等，由此得出AF＝DE进而可得结论；
（2）根据三角形的面积求得AE，再根据股定理求得DE，根据（1）中AF＝DE即可得出结论．
【解答】（1）证明：AF⊥DE，∠B＝90°，
∴∠AED＝∠AFB，
在△ABF与△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AF＝DE．
（2）解：∵△ABF≌ADAE，
设AE＝BF＝x，
∴BE＝CF＝4﹣x，
∴△DEF的面积＝S正方形﹣S△ADE﹣S△EBF﹣S△DCF
＝4×44x（4﹣x） x4（4﹣x）
＝8﹣2xx2．
∴yx2﹣2x+8，
解得x＝3或1，
∴AE＝3或AE＝1．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质的应用，本题的关键是知道两线段之间的垂直关系．
31．如图，P是边长为4的正方形ABCD对角线AC上一点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE＝PB．
（1）若AP＝1，求CE的长；
（2）求证：PE⊥PD．
【分析】（1）可通过构建等腰直角三角形来求解．过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F，那么△AGP和△PFC都是等腰直角三角形，四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，可得AG＝BF＝PG．而PB＝PE，PF⊥BE，那么根据等腰三角形三线合一的特点可得出BF＝FE＝AG＝PG，从而CE＝BC﹣2AG＝4．
（2）由（1）可知：PG＝EF，GD＝PF，易证△EFP≌△PGD，可得∠GDP＝∠EPF，而∠GDP+∠GPD＝90°，那么可得出∠GPD+∠EPF＝90°，由此可得出PD⊥PE．
【解答】解：（1）过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F．如图所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．
又∵AP＝1，AD＝4，
∴GP＝AG＝BF，GD＝FC＝FP，
又∵PB＝PE，PF⊥BE
∴BF＝FE，
∴CE＝4﹣24
（2）由（1）得：
在△EFP和△PGD中
∵△EFP≌△PGD（SAS），
∴∠1＝∠2．
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°．
∴∠DPE＝90°．
∴PE⊥PD．
【点评】本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定以及等腰直角三角形性质等知识点，通过构建全等三角形来得出相关的边和角相等是解题的关键．
32．我们知道正方形是四条边相等，四个内角都等于90°的四边形．
（1）如图1，已知正方形ABCD，点E是边CD上一点，延长CB到点F，使得BF＝DE，作∠EAF的平分线交边BC于点G．求证：BG+DE＝EG．
（2）如图2，已知△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，若BD＝2，CD＝1．求△ABC的面积．
【分析】（1）根据SAS定理，即可证明△ABF≌△ADE，可得AE＝AF，再证明△EAG≌△FAG，可得结论；
（2）作辅助线，构建正方形AEMF，设正方形AEMF的边长是x，则BM＝x﹣2；CM＝x﹣1，由勾股定理列方程可得x的值，即是高AD的长，可得面积．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，
∴∠ABF＝∠D＝90°，
在△ABF与△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AE＝AF，
∵AG平分∠EAF，
∴∠FAG＝∠EAG，
∵AG＝AG，
∴△EAG≌△FAG，
∴EG＝FG＝BF+BG＝DE+BG；
（2）如图2，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．
∵AD⊥BC，△AEB是由△ADB折叠所得，
∴∠1＝∠3，∠E＝∠ADB＝90°，BE＝BD＝2，AE＝AD，
又∵△AFC是由△ADC折叠所得，
∴∠2＝∠4，∠F＝∠ADC＝90°，FC＝CD＝1，AF＝AD，
∴AE＝AF，
又∵∠1+∠2＝45°，
∴∠3+∠4＝45°，
∴∠EAF＝90°，
∴四边形AEMF是正方形，
设正方形AEMF的边长是x，
∴BM＝x﹣2；CM＝x﹣1，
在Rt△BMC中，由勾股定理得：
BC2＝CM2+BM2，即（2+1）2＝（x﹣1）2+（x﹣2）2，
x2﹣3x﹣2＝0，
解得x或x（舍去），
∴AE＝AD，
∴S△ABCBC AD3．
【点评】本题考查的是正方形的判定定理及性质、勾股定理、图形翻折变换的性质，并运用类比的思想解决问题，第2问能根据题意作辅助线是解答此题的关键．
33．阅读理解题．定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“和谐线”，该四边形叫做“和谐四边形”．如图，在四边形ABDC中，对角线BC平分∠ACD和∠ABD，那么对角线BC叫“和谐线”，四边形ABDC就称为“和谐四边形”．
问题：
（1）下列四边形：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，其中是“和谐四边形”的有 　③④　 ；（填序号）
（2）四边形ABCD是“和谐四边形”，，∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，求四边形ABCD“和谐线”的长．（画出图形并写出解答过程）
【分析】（1）由平行四边形及特殊的平行四边形的性质可知，平行四边形和矩形不是“和谐四边形”，根据全等三角形的性质可以证明菱形是“和谐四边形”，而正方形是特殊的菱形，所以正方形是“和谐四边形”；
（2）分两种情况，一是AC为“和谐线”，则∠BAC＝∠DAC∠BAD＝30°，所以BCAC，由勾股定理得（3）2+（AC）2＝AC2，求出AC的长即可；二是BD为“和谐线”，作DE⊥AB于点E，可证明∠EDB＝∠EBD＝45°，∠ADE＝30°，则BE＝DEAE，所以AEAE＝3，求出AE的长，再求BE、DE的长，最后根据勾股定理求得BD的长．
【解答】解：（1）∵平行四边形和矩形的对角线不一定平分其对角，
∴平行四边形和矩形不是“和谐四边形”；
如图，菱形ABCD，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，
∴菱形是“和谐四边形”，
∵正方形是特殊的菱形，
∴正方形是“和谐四边形”，
故答案为：③④．
（2）如图2，AC是“和谐线”，
∵∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，AB＝3，
∴∠BAC＝∠DAC∠BAD＝30°，
∴BCAC，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴（3）2+（AC）2＝AC2，
∴AC＝22；
如图3，BD是“和谐线”，作DE⊥AB于点E，则∠AED＝∠BED＝90°，
∵∠ABD＝∠CBD∠ABC＝45°，
∴∠EDB＝∠EBD＝45°，
∴BE＝DE，
∵∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，
∴BE＝DEAE，
∴AEAE＝3，
∴AE，
∴BE＝DE3，
∴BD3，
综上所述，四边形ABCD“和谐线”的长是22或3．
【点评】此题重点考查平行四边形及特殊的平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、新定义问题的求解等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
六．三角形的中位线与重心（共6小题）
34．已知：如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝AC，E、F、G分别是BC、AD、CD的中点，EF、CA的延长线相交于点H．
求证：（1）∠CGE＝∠ACD+∠CAD；
（2）AH＝AF．
【分析】（1）由题目的已知条件可得EG是△BDC的中位线，所以EG∥BD，由此可得∠CGE＝∠BDC，再根据三角形外角和定理即可证明∠CGE＝∠ACD+∠CAD；
（2）连接FG，易证△FGE是等腰三角形，所以∠GFE＝∠GEF，再根据平行线的性质以及对顶角相等可证明∠H＝∠AFH，进而可得：AH＝AF，
【解答】证明（1）∵E，G分别是BC，CD的中点，
∴EG是△BDC的中位线，
∴EG∥BD，
∴∠CGE＝∠BDC，
∵∠BDC＝∠ACD+∠CAD，
∴∠CGE＝∠ACD+∠CAD；
（2）连接FG，
∵E，F，G分别是BC，AD，CD的中点，
∴EGBD，FGAC，
∵BD＝AC，
∴GE＝GF，
∴∠GFE＝∠GEF，
∵FG∥HC，
∴∠GFE＝∠H，
∵∠GEF＝∠BFE＝∠AFH，
∴∠H＝∠AFH，
∴AH＝AF．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
35．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使，连结DE，DF，DE交AF于点P．
（1）求证：AP＝FP；
（2）若BC＝10，求DF的长．
【分析】（1）连接EF、AE，证四边形AEFD是平行四边形即可．
（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得AE长即可．
【解答】（1）证明：连接EF，AE．
∵点E，F分别为BC，AC的中点，
∴EF∥AB，EFAB．
又∵ADAB，
∴EF＝AD．
又∵EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．
∴AF与DE互相平分，
∴AP＝FP；
（2）解：在Rt△ABC中，
∵E为BC的中点，BC＝10，
∴AEBC＝5．
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴DF＝AE＝5．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，解答本题的关键是明确有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
36．如图等边三角形ABC的边长为2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至F，使CFBC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF
（2）求EF的长．
【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DEBC，进而得出DE＝FC；
（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC＝EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理即可得出EF的长．
【解答】解：（1）证明：∵DE分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
又∵，
∴DE＝CF；
（2）∵△ABC是等边三角形，D是AB的中点，
∴，CD⊥AB，
在Rt△BDC中，BD2+CD2＝BC2，
即，
∴CD＝3，
又∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥CF，
∵DE＝CF，
∴四边形DCFE是平行四边形，
∴EF＝CD＝3．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质和三角形中位线定理等知识，得出四边形DCFE是平行四边形是解题的关键．
37．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E是边BC的中点，在图中作点D，使得ED∥AB，且∠CDB＝90°，分别联结AE，AD，过点A作AF⊥BC，垂足为点F．
（1）求证：AD平分∠BAE；
（2）求证：∠CAF＝2∠DAE．
【分析】（1）根据斜边上的中线，得到AE＝DE，等边对等角得到∠DAE＝∠ADE，平行线的性质，得到∠BAD＝∠ADE，进而得到∠BAD＝∠DAE，即可得证；
（2）根据等边对等角，得到∠C＝∠EAC，等角的余角相等，得到∠CAF＝∠BAE，即可得证．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，∠CDB＝90°，点E是边BC的中点，
∴AEBC，DEBC，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE，
∵ED∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠DAE，
∴AD平分∠BAE；
（2）∵∠BAC＝90°，点E是边BC的中点，
∴，
∴∠C＝∠EAC，
∵AF⊥BC，
∴∠C+∠CAF＝90°，
∴∠CAF＝∠BAE；
由（1）知：AD平分∠BAE，
∴∠CAF＝∠BAE＝2∠DAE．
【点评】本题考查斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键：
38．已知，如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，P，Q分别是BG，CG的中点．求证：
（1）四边形EFPQ是平行四边形；
（2）BG＝2GE，CG＝2GF．
【分析】（1）证明EF是△ABC的中位线，PQ是△BCG的中位线，由三角形中位线定理即可得出EF∥PQ，EF＝PQ，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出对角线互相平分GE＝GP，GF＝GQ，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵BE，CF是△ABC的中线，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC且EFBC，
∵P，Q分别是BG，CG的中点，
∴PQ是△BCG的中位线，BG＝2GP，CG＝2GQ，
∴PQ∥BC且PQBC，
∴EF∥PQ且EF＝PQ，
∴四边形EFPQ是平行四边形．
（2）由（1）得：四边形EFPQ是平行四边形，
∴GE＝GP，GF＝GQ，
∵BG＝2GP，CG＝2GQ，
∴BG＝2GE，CG＝2GF．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形中位线是解决问题的关键．
39．【三角形中位线定理】
已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．
求证：BD＝AC．
【分析】【三角形中位线定理】根据三角形中位线定理即可得到结论；
【应用】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝4，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，计算即可；
【拓展】取DC的中点H，连接MH、NH，则MH、NH分别是△ACD、△BCD的中位线，由中位线的性质定理可得MH∥AC且MHAC，NH∥BD且NHBD，根据等腰三角形的性质即可得结论．
【解答】解：【三角形中位线定理】DE∥BC，DEBC；
理由：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DEBC；
【应用】连接BD，如图所示，
∵E、F分别是边AB、AD的中点，
∴EF∥BD，BD＝2EF＝4，
∴∠ADB＝∠AFE＝45°，
∵BC＝5，CD＝3，
∴BD2+CD2＝25，BC2＝25，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°；
【拓展】证明：取DC的中点H，连接MH、NH．
∵M、H分别是AD、DC的中点，
∴MH是△ADC的中位线，
∴MH∥AC且MHAC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），
同理可得NH∥BD且NHBD．
∵EF＝EG，
∴∠EFG＝∠EGF，
∵MH∥AC，NH∥BD，
∴∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM，
∴∠HMN＝∠HNM，
∴MH＝NH，
∴AC＝BD．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．
1．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
【分析】（1）先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形；
（2）先求出AE＝5，由勾股定理进而得到AF＝3，再由中位线定理得到OEABAD＝5，得到FG＝5，最后BG＝AB﹣AF﹣FG＝2．
【解答】（1）证明：由四边形ABCD为菱形可知：点O为BD的中点，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG为平行四边形
∵EF⊥AB，
∴平行四边形OEFG为矩形．
（2）解：由条件可知：AE，
∵∠EFA＝90°，EF＝4，
∴在Rt△AEF中，AF3．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝10，
∴OEAB＝5，
∵四边形OEFG为矩形，
∴FG＝OE＝5，
∴BG＝10﹣3﹣5＝2．
故答案为：OE＝5，BG＝2．
【点评】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握．
2．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，E为AC的中点，在图中作点D，使AD∥BE，且∠ADC＝90°，在AD上取点F，使FD＝BE，分别连接EF、ED、BD．试判断EF与BD之间具有怎样的位置关系．
【分析】连接BF，证明四边形BEDF是菱形，由菱形的性质可得出结论．
【解答】解：EF⊥BD．
连接BF，
∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，E为AC的中点，
∴BE＝DEAC，
∴四边形BEDF是菱形，
∴EF与BD互相垂直平分．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
3．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交边AB、CD于点E、F，联结AF、CE．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）如果四边形ABCD为矩形，AD＝8，CD＝16，求EF的长．
【分析】（1）由矩形的性质可CF∥AE，进而得出∠FCO＝∠EAO，结合O为对角线AC的中点得出△AOE≌△COF，即CF＝AE，即可得出四边形AECF是平行四边形，结合EF⊥AC即可得出四边形AECF是菱形；
（2）根据勾股定理求出AC，然后根据菱形的性质和勾股定理求出OF，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CF∥AE，
∴∠FCO＝∠EAO，
∵O为对角线AC的中点，
∴AO＝CO，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴CF＝AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，AD＝8，CD＝16，
∴∠D＝90°，
∴AC8，
∴OAAC＝4，
∵四边形AECF是菱形，
∴AF＝CF，
∴DF＝CD﹣CF＝16﹣AF，
∵AD2+DF2＝AF2，
∴82+（16﹣AF）2＝AF2，
∴AF＝10，
∴OF2，
∴EF＝2OF＝4．
【点评】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键．
1．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．
（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；
（2）当线段AC与BD满足怎样的关系时，四边形DEBF是矩形？请直接写出合适的关系，不需要说明理由．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得OB＝OD，OA＝OC，结合题意得出OE＝OF，即可得证；
（2）由题意结合平行四边形的性质可得，结合当EF＝BD时，四边形DEBF是矩形，得出，即可得解．
【解答】（1）证明：在 ABCD中，OB＝OD，OA＝OC，
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴，，
∴OE＝OF，
∴四边形DEBF为平行四边形；
（2）解：当AC＝2BD时，四边形DEBF是矩形，
理由：
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴，，
∴，
∵当EF＝BD时，四边形DEBF是矩形，
∴，
∴AC＝2BD．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
2．已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，对角线AC、BD相交于点O，E在边BC的延长线上，且OE＝OB，∠ADB＝∠OEB．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）联结DE，求证：DE⊥BE．
【分析】（1）根据等边对等角得出∠OBE＝∠OEB，进而利用平行四边形的判定解答即可；
（2）根据平行四边形的性质和证明证明OE＝OB＝OD可得结论．
【解答】证明：（1）∵OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵∠ADB＝∠OEB，
∴∠OBE＝∠ADB，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）联结DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵OE＝OB，
∴OE＝OB＝OD，
∴∠DEB＝90°，
∴DE⊥BE．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．如图，在 ABCD中，∠BAD＝32°，分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF．延长AB交边EC于点H，点H在E、C两点之间，连接AE、AF．
（1）求证：△ABE≌△FDA．
（2）当AE⊥AF时，求∠EBH的度数．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，又由BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF，即可证得AB＝FD，EB＝AD，∠ABE＝∠FDA，则可证得结论；
（2）由△ABE≌△FDA，可得∠AEB＝∠DAF，又由AE⊥AF，∠BAD＝32°，即可求得∠EAB+∠DAF＝90°﹣∠BAD＝58°，继而求得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，
∵BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF，
∴AB＝FD，EB＝AD，∠ABE＝∠FDA，
在△ABE和△FDA中，
，
∴△ABE≌△FDA（SAS）；
（2）∵△ABE≌△FDA，
∴∠AEB＝∠DAF，
∵AE⊥AF，∠BAD＝32°，
∴∠EAB+∠DAF＝90°﹣∠BAD＝58°，
∴∠EBH＝∠EAB+∠AEB＝∠EAB+∠DAF＝58°．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得AB＝FD，EB＝AD，∠ABE＝∠FDA是关键．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为边AB、AC上的点，DE∥BC，联结BE，点G为BE的中点，联结DG，并延长交边BC于F．
（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；
（2）如果∠C＝2∠BEF，求证：四边形DBFE是菱形．
证明：
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DEG＝∠FBG，∠EDG＝∠BFG，由AAS定理证明，△DEG≌△FBG，得到DE＝FB，根据平行四边形的判定即可证的结论；
（2）根据平行线的性质和等腰三角形的性质证得∠EFC＝∠C，由三角形外角定理与已知条件证得∠BEF＝∠EBF，得到BF＝EF，即可证的结论．
【解答】证明：（1）∵DE∥BC，
∴∠DEG＝∠FBG，∠EDG＝∠BFG，DE∥FB，
∵点G为BE的中点，
∴EG＝BG，
在△DEG和△FBG中，
，
∴△DEG≌△FBG（AAS），
∴DE＝FB，
∴四边形DBFE是平行四边形；
（2）由（1）知四边形DBFE是平行四边形，
∴BD∥EF，
∴∠ABC＝∠EFC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠EFC＝∠C，
∵∠C＝2∠BEF，
∴∠EFC＝2∠BEF＝∠BEF+∠EBF，
∴∠BEF＝∠EBF，
∴BF＝EF，
∴平行四边形DBFE是菱形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，等腰三角形的性质和判定，三角形外角定理，综合运用相关知识是解决问题的关键．
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，点E为BC的中点
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）联结BD，如果BD平分∠ABC，AD＝2，求BD的长．
【分析】（1）由直角三角形的性质可得AE＝AD＝EC，且AD∥BC，可证四边形AECD是平行四边形，即可得结论；
（2）由角平分线的性质和平行线的性质可得AD＝AB＝CD，可证四边形ABCD是等腰梯形，可得BD＝AC，由勾股定理可求AC的长，即可得BD的长．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，点E为BC的中点，
∴AE＝ECBC
∵BC＝2AD，
∴ADBC
∴AD＝EC，且AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，且AE＝EC，
∴四边形AECD是菱形
（2）如图，
∵AD∥BC，AD＜BC
∴四边形ABCD是梯形，
∵BD平分∠ABD，
∴∠ABD＝∠DBC∠ABC
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD
∵四边形AECD是菱形，
∴AD＝DC＝2
∴AB＝DC＝2
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC＝BD
∵BC＝2AD＝4．
∴BD＝AC2
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，求证BD＝AC是本题的关键．
6．如图，已知平行四边形ABCD，E是边AB的中点，点F在边AD上，连接FE并延长交CB的延长线于点G，连接BF、AG．
（1）如果∠AFG＝∠C，求证：四边形AGBF是矩形；
（2）如果F是边AD的中点，且，求证：四边形ABCD是菱形．
【分析】（1）先证出△AEF≌△BEG，再根据∠AFG＝∠C，得到AB＝GF，即可证明；
（2）连接BD，得到EF是△ABD的中位线，从而证得△ADB≌△CDB，得出AD＝AC，即可证明．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠FAE＝∠C，
∴∠EAF＝∠EBG，
∵E是边AB的中点，
∴EA＝EB，
又∵∠AEF＝∠BEG，
∴△AEF≌△BEG（ASA），
∴AF＝BG，EF＝EG，
又∵AD∥BC，
∴四边形AGBF是平行四边形，
∵∠AFG＝∠C，
∴∠AFG＝∠FAE，
∴EA＝EF，
∴AB＝GF，
∴四边形AGBF是矩形；
（2）连接BD，如图，
∵E是边AB的中点，F是边AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥BD，
∴∠AFE＝∠ADB，
又∵，
∴，
∴∠ADB＝∠CDB，
又∵∠DAB＝∠C，BD＝BD，
∴△ADB≌△CDB（AAS），
∴AD＝DC，
∴四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，三角形的中位线，熟练掌握矩形和菱形的判定是解题的关键．
7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在边BC上，点F在边BC的延长线上，四边形AEFD的对角线AF分别交DE、DC于点P、Q，且PD＝PE，DE平分∠ADF．
（1）求证：四边形AEFD是菱形；
（2）如果BC＝EF，∠EDC＝∠EFP，求证：四边形ABCD为矩形．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADP＝∠FED，根据角平分线的定义得到∠ADP＝∠FDE，等量代换得到∠FDE＝∠FED，求得DF＝EF，根据全等三角形的性质得到AD＝EF，根据菱形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到FP⊥DE，求得∠BCD＝90°，于是得到四边形ABCD为矩形．
【解答】证明：（1）∵AD∥EF，
∴∠ADP＝∠FED，
∵DE平分∠ADF，
∴∠ADP＝∠FDE，
∴∠FDE＝∠FED，
∴DF＝EF，
在△ADP与△FEP中，
，
∴△ADP≌△FEP（ASA），
∴AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵DF＝EF，
∴四边形AEFD是菱形；
（2）∵AD＝EF，AD∥EF，BC＝EF，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵DF＝EF，PD＝PE，
∴FP⊥DE，
∵∠EDC＝∠EFP，∠CQF＝∠DQP，
∴∠DPQ＝∠FCQ＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD为矩形．
【点评】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键
8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD的中点，AE与BF交于点O，连接OD．
（1）写出线段AE与BF的数量关系和位置关系，并证明；
（2）求证：∠BAO＝∠DOF．
【分析】（1）根据正方形性质得AB＝BC＝CD＝DA，∠ABE＝∠C＝∠BAD＝90°，再根据点E，F分别是边BC，CD的中点得BE＝CF，由此依据“SAS”判定△ABE和△BCF全等得AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，然后根据∠ABO+∠CBF＝90°得∠ABO+∠BAE＝90°，进而得∠AOB＝90°，据此可得线段AE与BF的数量关系和位置关系；
（2）过点D作DH⊥AE于点H，设BE＝a，则AB＝BC＝2a，先由勾股定理及三角形面积公式求出AE，OB，AO，证明△ADH和△BAO全等得AH＝OB，由此得AH＝OH，则DH是线段OB的垂直平分线，继而得DA＝DO，则∠DAH＝∠DOH，然后根据∠DOF+∠DOH＝90°，∠BAO+∠DAH＝90°即可得出结论．
【解答】（1）解：线段AE与BF的数量关系是：AE＝BF，位置关系是：AE⊥BF，证明如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABE＝∠C＝∠BAD＝90°，
∵点E，F分别是边BC，CD的中点，
∴BEBC，CFCD，
∴BE＝CF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，
∵∠ABE＝∠ABO+∠CBF＝90°，
∴∠ABO+∠BAE＝90°，
在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABO+∠BAE）＝90°，
∴AE⊥BF，
∴线段AE与BF的数量关系是：AE＝BF，位置关系是：AE⊥BF；
（2）证明：过点D作DH⊥AE于点H，如图所示：
设BE＝a，则AB＝BC＝2a，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE，
由（1）可知：AE⊥BF，
由三角形的面积公式得：S△ABEAE OBAB BE，
∴OB，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：AO，
∵AE⊥BF，DH⊥AE于点H，
∴∠DHA＝AOB＝90°，
∴△DAH和△ABO都是直角三角形，
在Rt△DAH中，∠ADH+∠DAH＝90°，
又∵∠BAD＝∠BAO+∠DAH＝90°，
∴∠ADH＝∠BAO，
在△ADH和△BAO中，
，
∴△ADH≌△BAO（AAS），
∴AH＝OB，
∴OH＝OA﹣AH，
∴AH＝OH，
又∵DH⊥AE于点H，
∴DH是线段OB的垂直平分线，
∴DA＝DO，
∴∠DAH＝∠DOH，
∵AE⊥BF，
∴∠DOF+∠DOH＝90°，
又∵∠BAD＝∠BAO+∠DAH＝90°，
∴∠BAO＝∠DOF
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．
9．在正方形ABCD中，E为正方形内一点，且AE＝AB，延长BE交CD于F，延长DE交BC于P．
（1）求证：∠DEF＝45°；
（2）求证：．
【分析】（1）根据AE＝AB，设∠ABE＝∠AEB＝α，则∠BAE＝180°﹣2α，进而得∠EAD＝2α﹣90°，再根据AB＝AD＝AE得∠AED＝135°﹣α，由此得∠AEB+∠AED＝135°，据此即可得出结论；
（2）过点A作AK⊥DE于点K，过点F作FH⊥DE于点H，证明△ADK和△DFH相似得，即DK DF＝FH BC①，根据AE＝AD，AK⊥DE于点K得DKDE②，证明△EHF是等腰直角三角形，由勾股定理得FHEF③，将②，③代入①即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AE＝AB，
∴△ABE是等腰三角形
∴设∠ABE＝∠AEB＝α，
∴∠BAE＝180°﹣（∠ABE+∠AEB）＝180°﹣2α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴AE＝AD，∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝90°﹣（180°﹣2α）＝2α﹣90°，
∴∠AED＝∠ADE
在△ADE是等腰三角形，
∴∠AED＝∠ADE+∠EAD＝180°，
∴2∠AED+2α﹣90°＝180°，
∴∠AED＝135°﹣α，
∴∠AEB+∠AED＝α+＝135°﹣α＝135°，
∴∠DEF＝180°﹣（∠AEB+∠AED）＝45°；
（2）过点A作AK⊥DE于点K，过点F作FH⊥DE于点H，如图所示：
∴∠AKD＝∠DHF＝∠EHF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠ADC＝90°，
在Rt△ADK中，∠DAK+∠ADK＝90°，
∵∠FDH+∠ADK＝∠ADC＝90°，
∴∠DAK＝∠FDH，
在△ADK和△DFH中，
∠AKD＝∠DHF＝90°，∠DAK＝∠FDH，
∴△ADK∽△DFH，
∴，
∴DK DF＝FH AD，
又∵AD＝BC，
∴DK DF＝FH BC①，
∵AE＝AD，AK⊥DE于点K，
∴DKDE②，
由（1）可知：∠DEF＝45°，
∴△EHF是等腰直角三角形，
∴EH＝FH，
由勾股定理得：EFFH，
∴FHEF③，
将②，③代入①，得：DE DFEF BC，
∴DE DFEF BC．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，理解正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解决问题的关键．
10．如图，在正方形ABCD中，G是对角线CA的延长线上的点，以线段AG为边作正方形AEFG，连接BE，与边AD交于点P，连接DG，与BE交于点H．
（1）求证：BE＝DG；
（2）判断BE与DG的位置关系，并说明理由；
（3）若，AG＝2，求DG的长．
【分析】（1）根据正方形的性质，证明△BEA≌△DGA即可；
（2）利用两个锐角互余的三角形是直角三角形得出直角，然后即可得出垂直；
（3）过点G作GM⊥DA，交DA的延长线于点M，证明△AGM是等腰直角三角形，利用勾股定理求出相关线段的长度，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAD+∠EAD＝∠EAG+∠EAD，即∠BAE＝∠DAG．
在△BEA和△DGA中，，
∴△BEA≌△DGA（SAS），
∴BE＝DG；
（2）解：BE⊥DG．
理由：由（1）知∠BAD＝90°，△BEA≌△DGA，
∴∠ABE＝∠ADG．
∵∠DAB＝90°，
∴∠ABE+∠BPA＝90°，
∵∠BPA＝∠DPH，
∴∠ADG+∠DPH＝90°，
∴∠DHP＝90°，
∴BE⊥DG；
（3）解：过点G作GM⊥DA，交DA的延长线于点M．
由题意可得：∠DAC＝45°，
∴∠GAM＝∠DAC＝45°．
∵GM⊥DA，
∴∠AMG＝90°，
∴∠AGM＝180°﹣∠AMG﹣∠GAM＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴AM＝GM，
∴△AGM是等腰直角三角形．
∵AG2＝AM2+GM2＝22，
∴（负值已舍去）．
∵，
∴，
∴．
∴．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，利用两个锐角互余的三角形是直角三角形证明垂直，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
11．如图1，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、AF、EF，∠EAF＝45°．
（1）求证：EA平分∠BEF；
（2）如图2，在△PQR中，∠QPR＝45°，高PH＝12，QH＝4，则HR的长度为多少？
【分析】（1）延长CB到T，使得BT＝DF，连接AT，证明△ADF≌△ABT，△EAF≌△EAT，解答即可；
（2）把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ，MR，二线交于点G，故PD＝PH＝PM，QD＝QH，RH＝RM，四边形PDGM是矩形，故四边形PDGM是正方形，QR＝QD+RM，故PD＝PH＝PM＝DG，设RH＝RM＝x，则QR＝QH+RH＝x+4，GR＝MG﹣RH＝12﹣x，根据勾股定理，解答即可．
【解答】（1）解：延长CB到T，使得BT＝DF，连接AT，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠ABE＝∠ABT＝90°，AD＝AB，
∵，
∴△ADF≌△ABT（SAS），
∴AF＝AT（全等三角形对应边相等），∠DAF＝∠BAT（全等三角形对应角相等），
∴∠FAT＝∠DAB＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠EAT＝45°，
∵，
∴△EAF≌△EAT（SAS），
∴EF＝ET（全等三角形对应边相等），∠AEF＝∠AET（全等三角形对应角相等），
∴AE平分∠BEF；
（2）解：把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ，MR，二线交于点G，
根据题意，得∠D＝∠PHQ＝90°，∠M＝∠PHR＝90°，∠QPD＝∠QPH，∠RPM＝∠RPH，
∴∠QPD+∠QPH+∠RPM+∠RPH＝2（∠QPH+∠RPH）＝2∠QPR，
又∠QPR＝45°，
∴∠DPM＝90°，
故四边形PDGM是矩形，
∴PD＝PH＝PM，QD＝QH，RH＝RM（矩形的性质），
故四边形PDGM是正方形，QR＝QD+RM，
∴PD＝PH＝PM＝DG（正方形的性质），
∵PH＝12，QH＝4，
∴PD＝PH＝PM＝DG＝12，DQ＝QH＝4，
∴QG＝DG﹣DQ＝12﹣4＝8，
设RH＝RM＝x，则QR＝QH+RH＝x+4，GR＝MG﹣RH＝12﹣x，
根据勾股定理，得（x+4）2＝（12﹣x）2+82，
整理得，32x＝192，
解得x＝6，
故HR的长度为6．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
12．如图，四边形ABCD为平行四边形，线段AC为对角线，点E、F分别为线段BC、AD的中点，连接EF交AC于点O．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若OF＝3，求CD的长．
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，再证明AF＝CE，然后根据平行四边形的判定方法得到结论；
（2）先根据平行四边形的性质得到OA＝OC，则可判断OF为△ACD的中位线，然后根据三角形中位线定理求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E、F分别为线段BC、AD的中点，
∴AFAD，CEBC，
∴AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）解：∵四边形AECF为平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AF＝DF，
∴OF为△ACD的中位线，
∴CD＝2OF＝2×3＝6．
【点评】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．也考查了平行四边形的判定与性质．
13．如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CFBC，连接CD和EF．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长；
（3）求四边形DEFC的面积．
【分析】（1）利用三角形中位线定理即可解决问题．
（2）先求出CD，再证明四边形DEFC是平行四边形即可．
（3）过点D作DH⊥BC于H，求出CF、DH即可解决问题．
【解答】解：（1）在△ABC中，
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DEBC，
∵CFBC，
∴DE＝CF．
（2）∵AC＝BC，AD＝BD，
∴CD⊥AB，
∵BC＝4，BD＝2，
∴CD2，
∵DE∥CF，DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴EF＝CD＝2．
（3）过点D作DH⊥BC于H．
∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°，
∴DHDC，
∵DE＝CF＝2，
∴S四边形DEFC＝CF DH＝22．
【点评】本题考查等边三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，记住平行四边形的面积公式，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．

展开更多......

收起↑