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第25章 一次函数章节题型精讲
(函数概念+正比例函数+一次函数)复习讲义
（解析版）
本节课主要针对第25章一次函数进行专题复习。在本节课中，我们梳理了函数常考题型、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。
知识点一 函数解析式与函数关系的表达
1.函数解析式
表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式.
2.函数关系的三种表示形式
（1）用数学式子表示:如教材例题1中，气温的摄氏度与华氏度之间的函数关系用数学式子表示;
（2）用表格来表示，如教材例题1中用表格表示摄氏度x与华氏度y之间的函数关系;
（3）用图像来表示，如教材例题2中，用一个图像表示当地某一天的气温随时间变化情况.
注意：有些函数关系是没有关系式的，如心电图中的时间与生物电流的关系
知识点二 函数的定义域与函数值
1.函数的定义域
函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域.
常见函数解析式中，函数的定义域的求解方法:
类型 特点 自变量取值范围 举例
整式型 等号右边是关于 自变量的整式 全体实数 (x取全体实数)
分式型 等号右边是关于 自变量的分式 使分母不为0的 实数
根式型 等号右边是关于 自变量的开偶次 方的式子 使根号下的式子 大于或等于0的 实数
零(或负 整数)次 幂型 等号右边是关于 自变量的零(或 负整数)次幂 使底数不为0的 实数
综合型 两种及以上类型综合 满足各部分都有意义
在实际问题中，自变量的取值还必须使实际问题有意义.
2.函数值
如果变量是自变量的函数，那么对于在定义域内取定的一个值，变量的对应值叫做当时的函数值.
3.符号“”的意义
为了深入研究函数，我们把语句“是的函数”用记号来表示.这里表示自变量，表示随变化而变化的规律.
注意：
(1)记号表示“是的函数”,不是表示“”与“”的积;
(2)在同一个问题中同时研究几个不同的函数时,表示函数的记号中,括号外的字母可采用不同的字母,如
(3)在函数用记号表示时,表示当时对应的函数值;
(4)函数的自变量取遍定义域中的所有值,对应的函数值的全体叫做这个函数的值域，如函数,它的值域是 .
知识点三 正比例函数
1．正比例函数的概念
(1)如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数．
(2)解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数．正比例函数的定义域是一切实数．确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式
2．正比例函数的图象
(1)一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线；
(2)图像画法：列表、描点、连线．
3．正比例函数的性质
(1)当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大．
(2)当时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小．
知识点四 一次函数的概念
一般地，解析式形如（，是常数，且）的函数叫做一次函数；
一次函数的定义域是一切实数；
当时，解析式就成为（是常数，且）这时，y是x的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例；
一般地，我们把函数（c为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问题确定．
知识点五 一次函数的图像
一次函数的图像：
一般地，一次函数（，是常数，且）的图像是一条直线．一次函数的图像也称为直线，这时，我们把一次函数的解析式称为这一直线的表达式．
画一次函数的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线．
一次函数的截距：
一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距，
一般地，直线（）与y轴的交点坐标是，直线（）的截距是b．
一次函数图像的平移：
一般地，一次函数（）的图像可由正比例函数的图像平移
得到．当时，向上平移个单位；当时，向下平移个单位．
（函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”）
直线位置关系：
如果，那么直线与直线平行．
反过来，如果直线与直线平行，那么，．
知识点六 一次函数的性质
一次函数的增减性：
一般地，一次函数（为常数，）具有以下性质：
当时，函数值随自变量的值增大而增大，图像为上升；
当时，函数值随自变量的值增大而减小，图像为下降．
一次函数图像的位置情况：
直线（，）过且与直线平行，由直线在平面直角坐标系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得）
当，且时，直线经过一、二、三象限；
当，且时，直线经过一、三、四象限；
当，且时，直线经过一、二、四象限；
当，且时，直线经过二、三、四象限．
一．函数关系式（共5小题）
1．下列函数中，与y＝x表示同一个函数的是（　　）
A．y B．y C．y D．y
【分析】函数y＝x中，自变量和函数值均可取任意实数，依次分析四个选项，自变量和函数值均可取任意实数的为正确答案．
【解答】解：A、x不能为0；
B、y不能为负数；
C、y不能为负数；
D、正确．
故选：D．
【点评】本题考查了函数关系式，掌握函数的性质是本题的关键．
2．将写成y＝f（x）的形式为 y（x）　 ．
【分析】根据等式的基本性质，将y表含x的代数式表示出来即可．
【解答】解：去分母，得x（3y﹣3）＝2+2y，
去括号，得3xy﹣3x＝2+2y，
移项、提取公因式y，得（3x﹣2）y＝3x+2，
y的系数化1，得y（x）．
故答案为：y（x）．
【点评】本题考查函数关系式，掌握等式的基本性质是解题的关键．
3．上海与杭州两地之间的距离是140km，若汽车以每小时60km的速度匀速从杭州开往上海，则汽车距杭州的路程s与行驶的时间t之间的函数关系式为　　 ．
【分析】根据题意得到时间t的取值范围，再结合路程、时间、速度之间的关系列出函数关系式即可．
【解答】解：由条件可知．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了根据实际问题列一次函数关系，正确掌握路程、时间、速度之间的关系是解题关键．
4．已知Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝BC＝8，矩形MNPQ中，NP＝9，MN＝2，P与A重合且N、P、C共线．现矩形MNPQ沿NP射线以每秒1cm速度向右移动，P与C重合则停止．设移动t秒后，重叠部分面积为S，求：S关于t的函数解析式及定义域．
【分析】分两种情况画出图形，再利用重叠部分的面积公式列函数关系式即可．
【解答】解：运动过程中，重叠部分图形的形状在发生改变，重叠部分面积也随之而变化，由此进行以下分类讨论：
∵Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝BC＝8，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∵矩形MNPQ中，NP＝9，MN＝2，
∴MN＝PQ＝2，PN＝MQ＝9，
∴当AP＝PQ＝2时，t＝2，
当0＜t≤2时，如图1所示，重叠部分为等腰直角三角形，腰长为xcm，
得：；
当C，P重合时，t＝8，
当2＜t≤8时，如图2所示，过R作RS⊥PN于S，则AS＝SR＝2，
重叠部分为直角梯形，梯形高即为矩形宽为2cm，
梯形下底长为tcm，上底长为（t﹣2）cm，
得：；
综上所述，．
【点评】本题主要考查了求函数关系式，掌握矩形的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
5．如图，梯形ABCD，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，BC＝4，∠ADC的平分线交边BC于点E．
（1）如果AB＝1，CD＝2，求AD的长；
（2）如果∠C＝45°，设AB＝x，四边形ABED的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）设F是DE的中点，连接AF，如果AF∥CD，且BE＝2AB，求AB的长．
【分析】（1）过点D作DM⊥BC交BC于点M，可证四边形ABMD是矩形，根据AD∥BC，DE平分∠ADC，得到DC＝CE＝2，然后利用勾股定理即可求解；
（2）利用勾股定理求出，然后表示出AD、BE的长即可求解；
（3）延长AF交BC于点N，即可证明四边形ADCN是平行四边形，则AN＝CD＝EC＝4﹣2AB，再证明△ADF≌△NEF（AAS），求出，然后利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）过点D作DM⊥BC交BC于点M，如图，
∴∠DMC＝90°，
∴四边形ABMD是矩形，
∴AB＝DM＝1，
∵AD∥BC，DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠DEC＝∠EDC，
∴DC＝CE＝2，
由勾股定理可得，，
∴．
（2）由（1）可知，DM＝AB＝x，
∵∠C＝45°，
∴DM＝MC＝x，
∴AD＝BM＝BC﹣MC＝4﹣x，
由勾股定理可得，，
∴，
∴，
∵BE＞0，AB＞0，
∴，
解得，
∴．
（3）延长AF交BC于点N，如图，
∵AD∥BC，AF∥CD，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∴AD＝NC，AN＝DC，
∵BE＝2AB，BC＝4，
∴EC＝BC﹣BE＝4﹣2AB，
∵AD∥BC，DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠DEC＝∠EDC，
∴DC＝CE，
∴AN＝CD＝EC＝4﹣2AB，
∵F是DE的中点，AF∥CD，
∴DF＝EF，∠ADF＝∠NEF，∠DAF＝∠ENF，
∴△ADF≌△NEF（AAS），
∴AD＝EN，
∴，
∴BN＝BE+EN＝2AB+2﹣AB＝AB+2，
由勾股定理得，AB2+BN2＝AN2，
即AB2+（AB+2）2＝（4﹣2AB）2，
解得5，
∵AB＜BE＜BC，
∴．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定和勾股定理是解题的关键．
二．函数自变量的取值范围（共3小题）
6．函数y的定义域是 x≠0　 ．
【分析】根据分母不为0，可得x≠0，即可得出答案．
【解答】解：由题意得：x≠0，
故答案为：x≠0．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
7．函数的自变量x的取值范围是x＜3　 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：3﹣x＞0，
解得：x＜3，
故答案为：x＜3．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
8．小明在探究事物的变化过程时发现，在某个变化过程中也可能有三个变量，参考本学期学习函数的经验，小明将这三个变量设为x、y和z，如果在变量x和y的允许取值范围内，变量z随着x和y的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，小明就将变量z叫做变量x和y的二元函数，例如，小明认为x、y两数的积z，就是x和y的二元函数．同样为了继续研究二元函数，小明把语句“z是x和y的二元函数”用记号z＝f（x，y）来表示．现在，小明在研究过程中发现了一个二元函数f（x，y），满足特征f（x，x）＝0，f（x，f（y，z））＝f（x，y）﹣z，那么f（2025，2024）＝　﹣1　 ．
【分析】根据题意先推出f（x，f（x，z））＝﹣z，然后推出f（z，0）＝﹣z，再通过把f（2025，2024）＝f（2025，f（2024，2024））+2024化简求解即可．
【解答】解：∵f（x，x）＝0，f（x，f（y，z））＝f（x，y）﹣z，
∴f（x，f（x，z））+z＝f（x，x）＝0，
∴f（x，f（x，z））＝﹣z，
令x＝z，则f（z，f（z，z））＝f（z，0）＝﹣z．
∴f（2025，2024）＝f（2025，f（2024，2024））+2024＝f（2025，0）+2024＝﹣2025+2024＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了函数的新定义，通过变量代换对函数进行变形是解答本题的关键．
三．函数的图象（共3小题）
9．一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为t（小时），航行过的路程为S（千米），则S关于t的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】理解函数图象横纵坐标表示的意义，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
【解答】解：第一段是顺水航行，速度大于静水速度，图象陡一些，
到达乙地后停留一段时间，路程没有变化，图象平行于横轴，
从乙地逆水航行返回到甲地，路程逐步增加，是逆水航行，速度小于静水速度，图象平缓一些，
∴图象D符合上述特征，
故选：D．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义是关键．
10．小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示．若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小亮从学校骑车回家用的时间是（　　）
A．37.2分钟 B．48分钟 C．33分钟 D．30分钟
【分析】首先小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，回家也是先上坡后下坡，而据图象知道上坡路程是36百米，下坡路程是60百米，由此先求出上坡和下坡的速度，再根据返回时原来上坡变为下坡，下坡变为上坡，利用时间＝路程÷速度即可求出小亮从学校骑车回家用的时间．
【解答】解：由图可得，去校时，上坡路的距离为36百米，所用时间为18分，
∴上坡速度＝36÷18＝2（百米/分），
下坡路的距离是96﹣36＝60百米，所用时间为30﹣18＝12（分），
∴下坡速度＝60÷12＝5（百米/分）；
∵去学校时的上坡回家时变为下坡、去学校时的下坡回家时变为上坡，
∴小亮从学校骑车回家用的时间是：60÷2+36÷5＝30+7.2＝37.2（分钟）．
故选：A．
【点评】此题主要考查学生的读图获取信息的能力，需要注意去学校时的上坡，返回家时是下坡，去学校时的下坡，返回家时是上坡．
11．某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
（1）图中的自变量是 　时间（或t）　 ；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是 　5　 分钟；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度为 　25　 米/分；
（4）图中a表示的数是 　2　 ；b表示的数是 　15　 ；
（5）图中点A表示的实际意义是 　在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米　 ．
【分析】（1）根据图象信息得出自变量；
（2）根据图象信息得出无人机在75米高的上空停留的时间12﹣7＝5分钟即可；
（3）根据“速度＝路程÷时间”计算即可；
（4）根据速度、时间与路程的关系列式计算解得即可；
（5）根据点的实际意义解答即可．
【解答】解：（1）横轴是时间，纵轴是高度，所以自变量是时间（或t），因变量是高度（或h）；
故答案为：时间（或t）；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是12﹣7＝5（分钟）；
故答案为：5；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度＝25（米/分）；
故答案为：25；
（4）图中a表示的数是（分钟）；b表示的数是（分钟）；
故答案为：2，15；
（5）图中点A表示在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米；
故答案为：在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米．
【点评】此题考查函数图象问题，从图象中获取信息是学习函数的基本功，要结合题意熟练掌握．
四．动点问题的函数图象（共5小题）
12．如图（图1中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y与点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图2所示，则CD的长度为 　6　 cm．
【分析】由函数图象可得，AB＝4，S△AFB＝12，AB+BC+CD+DE＝16，根据三角形的面积求得AF＝6，再由BC+DE＝AF＝6，即可求解．
【解答】解：由图可得，AB＝4，S△AFB＝12，
∴，即AF＝6，
如图，过点C作CG⊥AF，
∵∠A＝∠B＝∠AGC＝90°，∠F＝∠E＝∠D＝90°，
∴四边形ABCG和四边形GFED是矩形，
∴BC＝AG，GF＝DE，
∴BC+DE＝AF＝6，
又∵AB+BC+CD+DE＝16，
∴CD＝6（cm），
故答案为：6．
【点评】本题考查函数图象和动点问题，理解题意，从图象中找出相关信息是解题的关键．
13．如图①，在△ABC中，AB＝AC，动点P从点A出发，沿折线A﹣B﹣C运动到点C，其中BP的长与运动时间t的关系如图②．则△ABC的面积为 　48　 cm2．
【分析】由题意可知AB＝AC＝10，BC＝12，过点A作AD⊥BC于点D，由三线合一可得BD＝6，再根据勾股定理可得AD＝8，最后根据三角形的面积公式可得结论．
【解答】解：由图②可知，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，
过点A作AD⊥BC于点D，如图：
∵AB＝AC，
∴BDBC＝6cm，
∴AD8（cm），
∴S△ABCBC AD12×8＝48（cm2），
故答案为：48．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，勾股定理，直角三角形的性质，解本题的关键是根据图形得出BC的长．
14．如图， ABCD中，∠DAB＝60°，点P按A→D→C→B方向运动，到达点B时运动停止，运动开始时以每秒3个长度单位匀速运动，达到D点后，改为每秒a个单位匀速运动，到达C后，改为每秒b个单位匀速运动．在整个运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的函数关系如图所示．求：
（1）求AB、BC的长；
（2）求a，b的值．
【分析】（1）由图象可知，当点P在BC上运动时，3秒钟到C，有知道P的运动速度，所以可以求出BC的长；
（2）由（1）可知DC＝AB，AD＝BC＝9，结合给出的函数图象即可求出a和b的值．
【解答】解：（1）过点D作DH⊥AB于点H，
从图象可知，当点P在AD上运动时，3秒钟到C，
∴AD＝BC＝3×3＝9，
∵∠DAB＝60°，DH⊥AB
∴∠ADH＝30°，
∵AD＝9，
∴AH，DH，
∵从图象可知，当3≤t≤10时，△ABP面积不变为30，
∴AB DH＝30，
即AB＝30，
∴AB．
（2）当点P在线段CD上时，tCD＝7，则a7；
当点P在线段CB上时，tCB＝4，则b．
【点评】本题是一次函数的综合题，重点考查了动点问题的函数图象，考查了学生观察图象的能力和解决问题的能力．
15．如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向运动至点A处停止，设P点运动的路程为x（cm），△ABP的面积为y（cm2），y关于x的函数图象如图2所示，
①求长方形ABCD的面积；
②当0＜x≤5时，求y关于x的函数解析式；
③当x为何值时，S△ABP＝10．
【分析】（1）根据函数的图象、结合图形求出BC、CD的值，根据矩形的面积公式得出结论；
（2）根据三角形的面积公式解答即可；
（3）分P在BC和AD上两种情况解答即可．
【解答】解：（1）由图象可知，点P的运动的路程x取值范围为5≤x≤13时，△ABR的面积保持不变，此时点R在CD边上运动，
则BC＝5，CD＝13﹣5＝8，
则矩形面积为5×8＝40；
（2）当0＜x≤5时，求y关于x的函数解析式为yx，即y＝4x；
（3）当P在BC上时，4x＝10，解答x＝2.5；
当P在AD上时，（5+5+8﹣x）＝10，解得x＝15.5，
即x为2.5或15.5时，S△ABP＝10．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，关键是根据所给函数图象和点的运动轨迹判断点所在的位置．
16．甲乙两人先后由A地沿同一路线前往B地，甲先出发，一小时后乙再出发，半小时后在离A地12千米处乙追上甲，此时两人正好到达AB的中点．然后两人各自保持原速不变，先后到达B地．若甲由A地出发的行驶时间为x小时，甲、乙离开A地的距离为y1千米和y2千米，函数图象如图所示．
（1）请直接写出甲的速度是　8　 千米/小时；
（2）请直接写出y1和y2关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）乙到达B地后立即从原路返回A地．过程中，他离开A地的距离y3（千米）关于x（小时）的函数图象如图所示．请直接写出乙在返回途中与甲相遇时，x＝　　 小时．
【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”即可算出甲车的速度；
（2）设乙车离A地的距离y与时间x的函数关系式，观察函数图象找出点的坐标利用待定系数法即可求出函数关系式，分别求出定义域即可；
（3）根据题意得到y3（千米）关于x（小时）的函数解析式为：y3＝﹣16x+56，y1关于x的函数关系式为：y1＝8x，解方程组即可得到结论．
【解答】解：（1）甲的速度千米/小时；
故答案为：8；
（2）设y1＝k1x，把点（1.5，12）代入得到k1＝8
∴y1＝8x，
由题意可得，（小时），即0≤x≤3；
设y2＝kx+b，由条件可知：
，
∴，
∴y2＝24x﹣24；
由题意可得，（1.5﹣1）×2＝1（小时），即1≤x≤2；
（3）设y3（千米）关于x（小时）的函数解析式为：y3＝mx+n，
∴，
∴，
∴y3的函数解析式为：y3＝﹣16x+56，
∵y1关于x的函数关系式为：y1＝8x，
解 得，，
∴乙在返回途中与甲相遇时，小时．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是观察函数图象找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式．
五．正比例函数图像和性质（共4小题）
17．如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，下列用“＜”表示a，b，c的不等关系正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
【分析】在图中画出直线x＝1，得出此直线与三个正比例函数图象的交点，再根据它们的位置关系即可解决问题．
【解答】解：作直线x＝1如图所示，
则点A坐标为（1，b），点B坐标为（1，a），点C坐标为（1，c），
结合A，B，C三个点的位置可知，
c＜a＜b．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正比例函数的图象，熟知正比例函数的图象与性质是解题的关键．
18．如果正比例函数y＝m的图象在二、四象限，那么m的值是 　﹣2　 ．
【分析】首先根据正比例函数的定义可得m2﹣3＝1，且m≠0，解出m的值，再根据图象经过第二、四象限，可得m＜0，进而确定m．
【解答】解：由题意得：m2﹣3＝1，且m≠0，
解得：m＝±2．
∵图象经过第二、四象限，
∴m＜0，
∴m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握正比例函数的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
19．已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），如果y的值随x的值增大而减小，那么该正比例函数的图象经过第 　二、四　 象限．
【分析】根据正比例函数的性质可得k＜0，进而得出该正比例函数的图象经过第二、四象限．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），y的值随x的值增大而减小，
∴k＜0，
∴该正比例函数的图象经过第二、四象限．
故答案为：二、四．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，图象经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；当k＜0时，图象经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数．”是解题的关键．
20．已知，且y是关于x的正比例函数．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若x≤2，求函数y的最小值．
【分析】（1）根据正比例函数定义求出k值即可；
（2）根据正比例函数性质解答出最小值即可．
【解答】解：（1）∵，且y是关于x的正比例函数，
∴k2﹣3＝1，k≠2，
∴k＝﹣2，
∴y＝﹣4x，
（2）∵y＝﹣4x中k＝﹣4＜0，y随x的增大而减小，且x≤2，
∴当x＝2时，函数有最小值，最小值为y＝﹣8．
【点评】本题考查了正比例函数的定义和性质，熟练掌握该知识点是关键．
六．一次函数图像和性质（共7小题）
21．若a＜﹣1，则一次函数y＝（a+1）x+1﹣a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先根据a＜﹣1判断出a+1与1﹣a的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
【解答】解：∵a＜﹣1，
∴a+1＜0，1﹣a＞0，
∴一次函数y＝（a+1）x+1﹣a的图象经过第一、二、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
22．下列一次函数中，y的值随x值的增大而减小的是（　　）
A．y＝4x﹣8 B．y＝﹣x+3 C．y＝2x+5 D．y＝7x﹣6
【分析】依据题意，由一次函数的性质，在直线y＝kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
【解答】解：由题意得，y＝kx+b中，k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一次函数的性质，在直线y＝kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
23．已知函数y＝kx+b，其中常数k＞0、b＞0，那么这个函数的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据函数y＝kx+b，其中常数k＞0、b＞0判断出函数的图象所经过的象限即可．
【解答】解：∵函数y＝kx+b中k＞0、b＞0，
∴函数图象经过一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
24．一次函数，如果y＜0，那么x的取值范围是 　　 ．
【分析】根据y＜0可得，再解不等式即可．
【解答】解：一次函数，
当y＜0时，，
∴，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查的是一次函数与不等式，正确进行计算是解题关键．
25．已知：关于x的函数y＝（2m﹣3）x+（1﹣m），y随x的增大而减少，并且与y轴的交点在y轴的负半轴，则m的取值范围是 　1＜m　 ．
【分析】根据一次函数y＝kx+b的图象在坐标平面内的位置以及性质，来确定k，b的取值范围．
【解答】解：∵y＝（2m﹣3）x+（1﹣m），y随x的增大而减少，并且与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴解得，1＜m，
故答案为：1＜m．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
26．一次函数y＝（b﹣1）x﹣3+b不经过第二象限，则b的取值范围为 　1＜b≤3　 ．
【分析】对于一次函数y＝kx+b而言，k＞0，b＜0 y＝kx+b的图象在一、三、四象限，由此可求解．
【解答】解：∵一次函数y＝（b﹣1）x﹣3+b不经过第二象限，
∴函数图象经过第一、三象限或函数图象经过第一、三、四象限，
∴b﹣1＞0且﹣3+b≤0，
解得1＜b≤3．
故答案为：1＜b≤3．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．
27．如图，点C的坐标是（2，2），A为坐标原点，CB⊥x轴于B，CD⊥y轴于D，点E是线段BC的中点，过点A的直线y＝kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为 　1或3　 ．
【分析】分两种情况：①当点F在DC之间时，作出辅助线，求出点F的坐标即可求出k的值；②当点F与点C重合时求出点F的坐标即可求出k的值．
【解答】解：∵C的坐标是（2，2），A为坐标原点，CB⊥x轴于B，CD⊥y轴于D，
∴四边形ABCD是正方形，
①如图，作AG⊥EF交EF于点G，连接AE，
∵AF平分∠DFE，
∴DA＝AG＝2，
在RT△ADF和RT△AGF中，
，
∴RT△ADF≌RT△AGF（HL），
∴DF＝FG，
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝CE＝1，
∴AE，
∴GE1，
∴在RT△FCE中，EF2＝FC2+CE2，即（DF+1）2＝（2﹣DF）2+1，解得DF，
∴点F（，2），
把点F的坐标代入y＝kx得：2k，解得k＝3；
②当点F与点C重合时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AF平分∠DFE，
∴F（2，2），
把点F的坐标代入y＝kx得：2＝2k，解得k＝1．
故答案为：1或3．
【点评】本题主要考查了一次函数综合题，涉及角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，正方形的性质理，及勾股定解题的关键是分两种情况求出k．
七．一次函数图象与几何变换（共5小题）
28．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求AB的长；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PABS△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，则可得到OA、OB的长，然后依据勾股定理可求得AB的长，
（2）依据翻折的性质可得到AC的长，于是可求得OC的长，从而可得到点C的坐标；设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．，Rt△OCD中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到点D（0，﹣6）．
（3）先求得S△PAB的值，然后依据三角形的面积公式可求得BP的长，从而可得到点P的坐标．
【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4，
∴B（0，4）．
∴OB＝4
令y＝0得：0x+4，解得：x＝3，
∴A（3，0）．
∴OA＝3．
在Rt△OAB中，AB5．
（2）∵AC＝AB＝5，
∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，
∴C（8，0）．
设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．
在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，
∴D（0，﹣6）．
（3）存在，理由如下：
∵S△PABS△OCD，
∴S△PAB6×8＝12．
∵点P在y轴上，S△PAB＝12，
∴BP OA＝12，即3BP＝12，解得：BP＝8，
∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．
【点评】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
29．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：yx与x轴交于点A，直线l2：y＝2x+b与x轴交于点B，且与直线l1交于点C（﹣1，m）．
（1）求m和b的值；
（2）求△ABC的面积；
（3）若将直线l2向下平移t（t＞0）个单位长度后，所得到的直线与直线l1的交点在第一象限，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）把点C（﹣1，m）代入yx和y＝2x+b，即可求得m、b的值；
（2）先求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）平移后的直线的解析式为y＝2x+4﹣t，代入（0，43）和A（53，0），分别求得t的值，根据图象即可求得．
【解答】解：（1）把点C（﹣1，m）代入得，m（﹣1）2，
∴C（﹣1，2），
把C（﹣1，2）代入y＝2x+b得，2＝﹣2+b，
解得b＝4；
（2）∵直线l1：yx和与x轴交于点A，直线l2：y＝2x+4与x轴交于点B，
∴A（，0），B（﹣2，0），
∴AB，
∴S△ABC；
（3）将直线l2向下平移t（t＞0）个单位长度后，所得到的直线的解析式为y＝2x+4﹣t，
∵直线l1：yx和与y轴交点为（0，），
把（0，）代入y＝2x+4﹣t得，4﹣t，解得t，
把A（，0）代入y＝2x+4﹣t得，4﹣t＝0，解得t，
∴平移后所得到的直线与直线l1的交点在第一象限，t的取值范围是t．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数图象与几何变换，三角形的面积，求得交点的坐标是解题的关键．
30．在直角坐标xOy中，直线l1与y＝2x﹣3平行，且经过点（0，5），将直线l1向上平移3个单位，得到直线l2
（1）求这两条直线的解析式；
（2）如果直线l2与x轴、y轴分别交于点A，B，求△AOB的面积．
【分析】（1）根据平移可知k＝2，利用待定系数法求出解析式即可；
（2）根据l2解析式求出A，B两点坐标，然后求出面积即可．
【解答】解：（1）∵l1与y＝2x﹣3平行，
设直线l1的解析式为：y＝2x+b，
把点（0，5）代入得：b＝5，
∴直线l1的解析式为：y＝2x+5，
∴直线l1向上平移3个单位，得到直线l2的解析式为：y＝2x+5+3＝2x+8，
（2）解：令y＝0，则2x+8＝0，
解得：x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
当x＝0时，y＝8，
∴B（0，8）
∴．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴交点坐标，掌握一次函数图象平行时k值不变是解题的关键．
31．规定：如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即y＝ax+b和y＝bx+a（其中|k|≠|b|），称这样的两个一次函数为“互助”函数，例如y＝﹣2x+3与y＝3x﹣2就是一组“互助”函数．根据规定解答下列问题：
（1）晓风对“当a为定值时，改变b的值，‘互助’函数y＝ax+b和y＝bx+a的图象的变化情况”进行探究，可以发现y＝ax+b的图象是在 　平移　 ；y＝bx+a的图象是在 　旋转　 ，（填“翻折”、“平移”或“旋转”）
（2）晓华对“一组‘互助’函数的交点坐标”进行探究，
①一次函数y＝5x+4与它的互助一次函数的交点坐标为 　（1，9）　 ；
②一次函数y＝5x+b与它的互助一次函数的交点坐标为 　（1，b+5）　 ；（用含有b的式子表示）
③一次函数y＝ax+b与它的互助一次函数的交点坐标为 　（1，a+b）　 ．（用含有a、b的式子表示）
（3）若一次函数y＝（m+3）x+4m和它的“互助”函数与y轴围成的三角形的面积为9，求m的值．
（4）对于一次函数y＝3x﹣1和y＝2x+5，现将它们同时平移，应如何同时平移才能使要平移后的两个一次函数为“互助”函数？（提示：从先向左或右平移几个单位长度，再向上或下平移几个单位长度说明）
【分析】（1）依据题意，由a为定值时，改变b的值，可得此时y＝ax+b的图象是在平移，而y＝bx+a的图象在旋转，进而可以得解；
（2）①依据题意，由一次函数为y＝5x+4，可得其互助一次函数为y＝4x+5，从而联立方程组计算即可得解；
②依据题意，一次函数为y＝5x+b，则它的互助一次函数为y＝bx+5，然后联立方程组，可得x＝1，y＝b+5，进而得解；
③依据题意，由一次函数为y＝ax+b，从而它的互助一次函数为y＝bx+a，然后联立方程组，进而计算可以得解；
（3）依据题意，由一次函数为y＝（m+3）x+4m，可得当x＝0时，y＝4m，则一次函数y＝（m+3）x+4m与y轴的交点为A（0，4m），然后再由其互助一次函数为y＝4mx+（m+3），可得当x＝0时，y＝m+3，则一次函数y＝4mx+（m+3）与y轴的交点为B（0，m+3），从而AB＝|4m﹣（m+3）|＝|3m﹣3|，进而可得S△ABCAB×1|3m﹣3|＝9，最后计算可以得解；
（4）依据题意，设同时向左平移a个单位，向上平移b个单位后得到的两个一次函数为“互助”函数，从而平移后的函数分别为y＝3（x+a）﹣1+b和y＝2（x+a）+5+b，故当x＝1时，y＝3（1+a）﹣1+b＝2（1+a）+5+b，求出a＝5，然后由平移后得到的两个一次函数为“互助”函数，则14+b＝2，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵当a为定值时，改变b的值，
∴此时y＝ax+b的图象是在平移．
又∵当x＝0时，y＝bx+a过（0，a），
∴此时y＝bx+a的图象在旋转．
故答案为：平移；旋转．
（2）①∵一次函数为y＝5x+4，
∴它的互助一次函数为y＝4x+5．
联立方程组，
∴x＝1，y＝9．
∴一次函数y＝5x+4与它的互助一次函数的交点坐标为（1，9）．
故答案为：（1，9）．
②∵一次函数为y＝5x+b，
∴它的互助一次函数为y＝bx+5．
联立方程组，
∴x＝1，y＝b+5．
∴一次函数y＝5x+b与它的互助一次函数的交点坐标为（1，b+5）．
故答案为：（1，b+5）．
③∵一次函数为y＝ax+b，
∴它的互助一次函数为y＝bx+a．
联立方程组，
∴x＝1，y＝a+b．
∴一次函数y＝ax+b与它的互助一次函数的交点坐标为（1，a+b）．
故答案为：（1，a+b）．
（3）由题意，∵一次函数为y＝（m+3）x+4m，
∴当x＝0时，y＝4m，则一次函数y＝（m+3）x+4m与y轴的交点为A（0，4m）．
∵一次函数为y＝4mx+（m+3），
∴当x＝0时，y＝m+3，则一次函数y＝4mx+（m+3）与y轴的交点为B（0，m+3）．
∴AB＝|4m﹣（m+3）|＝|3m﹣3|．
又∵一次函数y＝（m+3）x+4m和它的“互助”函数的图象的交点C为（1，5m+3），
∴S△ABCAB×1|3m﹣3|＝9．
∴m＝7或﹣5．
（4）由题意，设同时向左平移a个单位，向上平移b个单位后得到的两个一次函数为“互助”函数，
∴平移后的函数分别为y＝3（x+a）﹣1+b和y＝2（x+a）+5+b．
∴当x＝1时，y＝3（1+a）﹣1+b＝2（1+a）+5+b．
∴a＝5．
∴平移后的函数分别为y＝3x+14+b和y＝2x+15+b．
又∵平移后得到的两个一次函数为“互助”函数，
∴14+b＝2．
∴b＝﹣12．
∴同时向左平移5个单位，向下平移12个单位后得到的两个一次函数为“互助”函数，
【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、两条直线相交或平行问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
32．已知一次函数图象与直线平行，且过点（6，﹣4）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求该一次函数与坐标轴围成的三角形的周长．
【分析】（1）根据平行可得k，再把（6，﹣4）代入解析式即可得出答案；
（2）求得直线与坐标轴的交点A（3，0），B（0，4），然后利用勾股定理求得AB，进而即可求得该一次函数与坐标轴围成的三角形的周长．
【解答】解：设一次函数的表达式y＝kx+b，
∵一次函数图象与直线平行，
∴k，
∵一次函数yx+b的图象过点（6，﹣4），
∴b＝﹣4，
∴b＝4，
∴一次函数的解析式为yx+4；
（2）设一次函数yx+4与x轴的交点为A，y轴的交点为B，
令y＝0，则x+4＝0，解得x＝3，
∴A（3，0），
令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB5，
∴OA+OB+AB＝3+4+5＝12，
∴该一次函数与坐标轴围成的三角形的周长为12．
【点评】本题考查了两直线相交和平行，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，掌握两直线平行时k的值相等是解题的关键．
八．一次函数应用（共4小题）
33．共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．已知：A品牌电动车骑行xmin，收费yA元，且；B品牌电动车骑行xmin，收费yB元，且，A，B两种品牌电动车所收费用y与骑行时间x之间的函数图象如图所示．
（1）说明图中函数yA与yB图象的交点P表示的实际意义．
（2）已知王老师家与学校的距离为9km，且王老师骑电动车的平均速度为300m/min，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由．
（3）请直接写出当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元．
【分析】（1）根据函数图象可得交点P的坐标，结合x，y所表示的实际意义即可解答；
（2）依据题意，先利用待定系数法，求出y2的解析式，然后根据“时间＝路程÷速度”求出小明从家骑行到工厂所需时间，再分别求出选择A和B品牌共享电动车所需费用，比较即可求解；
（3）分两种情况讨论：当0＜x≤10时，y2﹣y1＝3；当x＞10时，y2﹣y1＝3或y1﹣y2＝3．以此列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）由图象可得，P（20，8），
交点P表示的实际意义是：当骑行时间为20min时，A，B两种品牌的共享电动车收费都为8元．
（2）由题意，设当x＞10时，y2＝k1x+b，
将点（10，6），（20，8）代入得，
，
∴．
∴当x＞10时，y2＝0.2x+4．
∴y2．
又由题意，王老师从家骑行到学校所需时间为9000÷300＝30（min），
∴A品牌所需费用为0.4×30＝12（元），B品牌所需费用为0.2×30+4＝10（元），
∵12＞10，
∴选择B品牌共享电动车更省钱．
（3）由题意，当0＜x≤10时，y2﹣y1＝3，
∴6﹣0.4x＝3，
∴x＝7.5．
当x＞10时，y2﹣y1＝3或y1﹣y2＝3，
∴0.2x+4﹣0.4x＝3或0.4x﹣（0.2x+4）＝3，
∴x＝5（舍去）或x＝35．
综上，当x的值为7.5或35时，两种品牌共享电动车收费相差3元．
【点评】本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式、解一元一次方程，利用待定系数法正确求出函数解析式，并学会利用分类讨论思想解决问题．
34．工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为y甲（个），乙组加工零件的数量为y乙（个），其函数图象如图所示．
（1）求y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（2）求a的值，并说明a的实际意义；
（3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个．
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（2）根据函数图象中的数据，可以得到甲的速度，然后即可计算出a的值，然后再说明a的实际意义即可；
（3）根据题意，可以列出相应的方程，然后即可得到甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个．
【解答】解：（1）设y乙与t之间的函数关系式是y乙＝kt+b，
，
解得，
即y乙与t之间的函数关系式是y乙＝120t﹣600（5≤t≤8）；
（2）由图象可得，
甲的工作效率为120÷3＝40（个/时），
a＝120+40×（8﹣4）＝280，
即a的值是280，实际意义是当甲加工8小时时，一共加工了280个零件；
（3）设甲组加工c小时时，甲、乙两组加工零件的总数为480个，
120+40（c﹣4）+（120c﹣600）＝480，
解得c＝7，
即甲组加工7小时时，甲、乙两组加工零件的总数为480个．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
35．某同学从家出发骑车去学校参加活动，当她骑行一段时间，突然想买一些食品当午饭，于是又折返回刚经过的一家商店，买好东西后又继续骑车．如图是该同学离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）该同学折返前，他骑车的速度是 　300　 米/分钟，其中路程s关于所用时间t的函数关系式为 s＝300t ；
（2）由于途中返回买东西比直接去学校多走了 　1200　 米；
（3）当该同学距离学校300米时，所用时间为 　4或　 分钟．
【分析】（1）根据题意以及图象可知即可求解；
（2）根据图象中的数据即可求解；
（3）分开始去时和买好东西后又继续去时两种情况解答即可．
【解答】解：（1）该同学折返前，他骑车的速度是1200÷4＝300米/分钟，
∴s＝300t；
故答案为：300；s＝300t．
（2）该同学途中返回买东西比直接去学校多走了：（1200﹣600）×2＝1200（米）；
故答案为：1200；
（3）根据图象可得，当该同学出发后4分钟时，距离学校1500﹣1200＝300米，
当该同学买好东西后又继续骑车时速度为（1500﹣600）÷（14﹣12）＝450米/分钟，
（分钟），
（分钟），
故答案为：4或．
【点评】本题考查了函数的图象，函数的解析式，解题的关键是熟练掌握函数的图象．
36．A、B两城间的公路长为450千米，甲、乙两车同时从A城出发沿这一公路驶向B城，甲车到达B城1小时后沿原路返回．如图是他们离A城的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．
（1）甲车返回过程中y与x之间的函数解析式是y＝﹣90x+900　 ，定义域是　5≤x≤10　 ；
（2）乙车行驶6小时与返回的甲车相遇，乙车的行驶速度的速度是　60　 ；
（3）在（2）的条件下，当甲车出发　或或　 小时，甲乙两车相距180千米．
【分析】（1）设出一次函数解析式，代入图象上的两个点（5，450），（10，0），即可解答；
（2）把x＝6代入（1）中的函数解析式，求得路程（甲、乙距A城的距离），进一步求得速度即可解答；
（3）分三种情况讨论：①在甲车到达B城前，②在甲车从B城返回时，③甲车到达B城后停留1小时过程中，分别求解即可．
【解答】解：（1）设甲车返回过程中y与x之间的函数解析式y＝kx+b，
由条件可得，
解得，
∴y＝﹣90x+900，函数的定义域为5≤x≤10；
故答案为：y＝﹣90x+900；5≤x≤10；
（2）当x＝6时，y＝﹣90×6+900＝360，
乙车的行驶速度（千米/小时）；
故答案为：60；
（3）分三种情况讨论：
①在甲车到达B城前，设甲车出发t小时，即0＜t≤4时，甲乙两车相距180千米，此时甲车速度为450÷4＝112.5（千米/小时），乙车速度为60千米/小时，
则112.5t﹣60t＝180，
解得：小时；
②在甲车从B城返回时，设甲车出发t小时，即5＜t≤10时，甲乙两车相距180千米，乙车行驶的路程为60t千米，甲车离A城的路程为﹣90t+900千米，
则|﹣90t+900﹣60t|＝180，
解得：（不合题意，舍去）或小时，
③甲车到达B城后停留1小时过程中，设甲车出发t小时，即 4＜t≤5时，甲乙两车相距180千米，乙车行驶的路程为60t千米，
则450﹣60t＝180，
解得：小时，
综上，当甲车出发小时或小时或小时，甲乙两车相距180千米．
故答案为：或或．
【点评】此题考查一次函数的实际运用，利用待定系数法求函数解析式，以及基本数量关系：路程÷时间＝速度，解答时注意数形结合．
九．一次函数综合压轴题（共3小题）
37．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标是（1，0），联结BC．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果点D在线段BC上，且∠CBO＝∠CAD，求点D的坐标；
（3）如果点P在直线y＝x+4上，且△ABC与△POB相似，求线段BP长度．
【分析】（1）根据一次函数的性质得出AC＝OA+OC＝5，进而可以求出△ABC的面积；
（2）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，∠CBO＝∠CAD，点D在线段BC上，证明△CBO≌△EAO，求出直线AE的解析式即可解答；
（3）过点P作PE⊥y轴于点E，根据P在直线y＝x+3上，设P（x，x+3），可得PE＝BE＝|x|，所以PB＝|x|，分两种情况讨论：①当△ABC∽△BOP时，②当△ABC∽△BPO时，分别列式计算求出x的值，即可求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
∴OB＝4，
令y＝0，则x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
∴OA＝4，
∵点C的坐标是（1，0），
∴OC＝1，
∴AC＝OA+OC＝5，
∴△ABC的面积AC OB5×4＝10；
（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，
∵B（0，4），点C的坐标是（1，0），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣4x+4，
∠CBO＝∠CAD，点D在线段BC上，如图，设AD与y轴交于点E，
∵OA＝OB＝4，∠COB＝∠EOA，
又∵∠CBO＝∠CAD，
∴△CBO≌△EAO（ASA），
∴OE＝OC＝1，
∴E（0，1），
设直线AE的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AE的解析式为yx+1，
联立y＝﹣4x+4，得：，
解得：，
∴点D的坐标为（）；
（3）如图，过点P作PE⊥y轴于点E，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∴PE＝BE，
∵P在直线y＝x+4上，AO＝BO＝4，AB＝4，
设P（x，x+4），
∴PE＝BE＝|x|，
∴PB|x|，
①当△ABC∽△BOP时，
∴，
∴
∴|x|，
∴BP；
②当△ABC∽△BPO时，
∴，
∴
∴|x|，
∴BP．
综上所述：BP的长为或．
【点评】本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，待定系数法，求两直线的交点坐标，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
38．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知直线l：y＝x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且．OC＝2点D在线段AC上，且∠CDB＝∠ABC，过点C作BC的垂线，交BD的延长线于点E，连接AE．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线CE的函数解析式；
（3）如果点P是直线CE上的动点，连接DP，当△DEP与△ABC相似时，求点P坐标．
【分析】（1）证明△ACB∽△BCD，得到，求出CD即可求OD的长，则D点坐标可求；
（2）先求直线BD的解析式为y＝3x+4，设E（t，3t+4），过E作EG⊥y轴，过B作BH⊥y轴，过点C作HG⊥x轴，GH与BH交于H点，EG与GH交于G点，证明△BCH∽△CEG，求出E（﹣2，﹣2），再求直线CE的解析式即可；
（3）由∠CED＝∠CAB＝45°，可判断出点P只能在射线EC上，设P（m，m﹣1），①当时，求出，再求P（，）；②当时，同理求出P（0，﹣1）．
【解答】解：（1）由题意得A（﹣4，0），B（0，4），C（2，0），
..OA＝4，OB＝4，AC＝6，
∴BC＝2，
∵∠ACB＝∠BCD，∠CDB＝∠ABC，
∴△ACB∽△BCD，
∴，
∴，
∴，
∴点D坐标是；
（2）设直线BD的解析式为y＝kx+4，
∴k+4＝0，
解得k＝3，
∴直线BD的解析式为y＝3x+4，
设E（t，3t+4），
过E作EG⊥y轴，过B作BH⊥y轴，过点C作HG⊥x轴，GH与BH交于H点，EG与GH交于G点，
∵∠BCE＝90°，
∴∠BCH+∠ECG＝90°，
∵∠CEG+∠ECG＝90°，
∴∠BCH＝∠CEG，
∴△BCH∽△CEG，
∴，即，
解得t＝﹣2，
∴E（﹣2，﹣2），
设直线CE的解析式为y＝k'x+b，
∴，
解得，
∴直线CE的解析式为yx﹣1；
（3）∠CED＝∠CAB＝45°，△DEP∽△ABC，
∴点P只能在射线EC上，
设P（m，m﹣1），
∵，AC＝6，，
①当时，即，
∴，
∴CE＝2，
∴，
∴，
解得m或m（舍）；
∴P（，）；
②当时，同理可得：，
∴P（0，﹣1）；
综上所述，点P坐标是或（0，﹣1）．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形相似判定及性质是解题的关键．
39．如图，直线与x轴，y轴及直线分别交于点A（﹣2，0），B，C．
（1）求点B和点C的坐标；
（2）M为x轴上点A右侧一动点，以AB，AM为邻边作 ABNM，连接CM，CN．
①求CM+CN的最小值；
②在点M移动过程中，∠CMN能否等于45°？若能，请求出此时点M的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）先求出直线AB的解析式，再求两直线交点坐标即可；
（2）①作C点关于x轴的对称点G，连接MG，则CM＝MG，过点G点作GH∥AB，过点N作NH∥MG，交于H点，则四边形MGHN是平行四边形，MG＝HN，根据AB∥GH，AB＝GH，求出H（4，﹣1），则CM+CN的最小值为CH的长；
②过点C作CQ⊥MC交MN于点Q，过C点作EF∥x轴，过点M作ME⊥EF交于E点，过点Q作QF⊥EF交于F点，证明△CME≌△QCF（AAS），设M（m，0），则Q（4，m），Q点在直线MN上，可得2m＝m，求出m即可求M点坐标．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）代入，
∴﹣1+b＝0，
解得b＝1，
∴yx+1，
当x＝0时，y＝1，
∴B（0，1），
当x+5x+1时，解得x＝2，
∴C（2，2）；
（2）①作C点关于x轴的对称点G，连接MG，则CM＝MG，
过点G点作GH∥AB，过点N作NH∥MG，交于H点，
∴四边形MGHN是平行四边形，
∴MG＝HN，
∵四边形ABMN是平行四边形，
∴AB∥MN，AB＝MN，
∵C（2，2），∴G（2，﹣2），
∵AB＝MN＝GH，
∴H（4，﹣1），
∵CM+CN＝NH+CN≥CH，
∴CM+CN的最小值为CH的长，
∵CH，
∴CM+CN的最小值为；
②∠CMN能等于45°，理由如下：
过点C作CQ⊥MC交MN于点Q，过C点作EF∥x轴，过点M作ME⊥EF交于E点，过点Q作QF⊥EF交于F点，
∵∠CMN＝45°，
∴MC＝CQ，
∵∠ECM+∠FCQ＝90°，∠ECM+∠CME＝90°，
∴∠FCQ＝∠CME，
∴△CME≌△QCF（AAS），
∴EC＝FQ，EM＝CF＝2，
设M（m，0），
∴Q（4，m），
∵AB∥MN，
∴直线MN的解析式为yxm，
∴2m＝m，
解得m，
∴M（，0）．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称求最短距离，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
1．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则下列说法正确的是（　　）
A．y随x的增大而减小
B．关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2
C．当x＞﹣2时，y＜0
D．k＞0，b＜0
【分析】根据函数图象和一次函数的性质，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵图象过第一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0，y随x的增大而增大，故A，D错误；
又∵图象与x轴交于（﹣2，0），
∴kx+b＝0的解为x＝﹣2，故B正确；
当x＞﹣2时，图象在x轴上方，y＞0，故C错误；
故选：B．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
2．如图，直线y＝x+1与直线y＝mx﹣n相交于点M（1，b），则关于x，y的方程组的解为 　　 ．
【分析】首先利用待定系数法求出b的值，进而得到M点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．
【解答】解：∵直线y＝x+1经过点M（1，b），
∴b＝1+1，
解得b＝2，
∴M（1，2），
∴关于x的方程组的解为，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解．
3．正比例函数y＝kx，y＝mx，y＝nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则比例系数k、m、n的大小关系是 k＞m＞n （用“＞”号连接）．
【分析】由y＝nx经过二、四象限，y＝kx与y＝mx经过一、三象限，可知n＜0，k＞0，m＞0；再由当x＝1时，y＝kx的图象在y＝mx的上方，即可判断k与m的大小．
【解答】解：∵正比例函数y＝nx经过二、四象限，y＝kx与y＝mx经过一、三象限，
∴n＜0，k＞0，m＞0．
又∵y＝kx经过（1，k），y＝mx经过（1，m），
当x＞0时，y＝kx的图象在y＝mx的上方，
∴k＞m，
故答案为：k＞m＞n．
【点评】本题考查了正比例函数图象及性质，掌握正比例函数的性质是解题关键．
4．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为s（km）与甲行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示．
（1）结合图象，在点M、N、P三个点中，点 N 代表的实际意义是乙到达终点；
（2）求甲、乙各自的速度；
（3）当乙到达终点时，求甲、乙两人的距离．
【分析】（1）根据图象判断即可；
（2）分别根据“速度＝路程÷时间”计算即可；
（3）当乙到达终点时，甲在这段时间内骑行的路程就是甲、乙两人的距离，根据“路程＝速度×时间”计算即可．
【解答】解：（1）结合图象，在点M、N、P三个点中，点N代表的实际意义是乙到达终点．
故答案为：N．
（2）40（千米/小时），80（千米/小时）．
答：甲的速度为40千米/小时，乙的速度为80千米/小时．
（3）40×3＝120（千米）．
答：当乙到达终点时，求甲、乙两人的距离为120千米．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的数量关系是解题关键．
1．如果一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、三、四象限，那么k、b应满足的条件是（　　）
A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＞0 C．k＞0，b＜0 D．k＜0，b＜0
【分析】根据一次函数的性质得出即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、三、四象限，
∴k＞0，b＜0，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质和图象，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．
2．对于一次函数y＝3x﹣2，下列说法错误的是（　　）
A．y随x的增大而增大
B．图象经过第二、三、四象限
C．图象与正比例函数y＝3x的图象平行
D．点M（﹣2，y1），N（1，y2）都在直线y＝3x﹣2上，则y1＜y2
【分析】图象的平移，根据k＝3＞0，b＝﹣2＜0，逐项分析判断，即可求解．
【解答】解：由条件可知一次函数y随x的增大而增大，图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，图象与正比例函数y＝3x的图象平行，
∵﹣2＜1，
∴y1＜y2，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象的分布和性质，熟练掌握该知识点是关键．
3．已知小丽家、便利店、体育馆在同一直线上，某天小丽从家步行到便利店买了一瓶水，再到体育馆锻炼，最后骑共享单车回家．小丽离家距离y与时间x之间的关系如图所示．下列结论错误的是（　　）
A．小丽家到便利店距离500米
B．小丽在便利店停留了5分钟
C．小丽步行的速度是0.1km/min
D．小丽骑自行车的速度是步行速度的1.5倍
【分析】由函数图象分别得出选项的结论，然后作出判断即可．
【解答】解：由图象知，
A、小丽家到便利店距离是0.5千米＝500米，故A选项不符合题意；
B、小丽在便利店停留了10﹣5＝5（分钟），故B选项不符合题意；
C、小丽步行的速度是0.1（km/min），故C选项不符合题意；
D、小丽骑自行车的速度是0.2（km/min），
2，
小丽骑自行车的速度是步行速度的2倍，故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查函数图象的知识，熟练根据函数图象获取相应的信息是解题的关键．
4．甲、乙两车沿着相同路线从A地前往B地，两车行驶的路程y（km）与甲车出发后的时间t（h）的对应关系如图所示，那么下列结论中错误的是（　　）
A．甲车的平均速度为60km/h
B．乙车的平均速度为100km/h
C．在甲车出发2小时后两车相遇
D．乙比甲车先到达B地
【分析】AB．分别根据速度＝路程÷时间计算即可；
C．设在甲车出发x小时后两车相遇，利用路程＝速度×时间，根据两车相遇时各自的路程相等列关于x的一元一次方程并求解即可；
D．观察图象判断即可．
【解答】解：甲车的平均速度为300÷5＝60（km/h），
∴A正确，不符合题意；
乙车的平均速度为300÷（4﹣1）＝100（km/h），
∴B正确，不符合题意；
设在甲车出发x小时后两车相遇，
则60x＝100（x﹣1），
解得x＝2.5，
∴在甲车出发2.5小时后两车相遇，
∴C错误，符合题意；
乙比甲车先到达B地，
∴D正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
5．一次函数y＝kx+b与y＝2x+1平行，且经过点（﹣3，4），则表达式为：y＝2x+10　 ．
【分析】根据一次函数与y＝2x+1平行，可求得k的值，再把点（﹣3，4）代入即可求得一次函数的解析式．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b与y＝2x+1平行，
∴k＝2，
又∵函数经过点（﹣3，4）
∴4＝﹣6+b，解得：b＝10
∴函数的表达式为y＝2x+10．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，比较简单，同学们要熟练掌握．
6．如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为 　　 ．
【分析】首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，
∴纵坐标为y＝﹣1+3＝2，
∴两直线交点坐标（1，2），
∴关于x，y的方程组的解为，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解．
7．如果一次函数的图象经过点P（﹣1，2），那么y随x的增大而 　减小　 .（填“增大”或“减小”）
【分析】将点P（﹣1，2）代入，可求出k值，再利用一次函数的性质（当k＞0时y的值随x值的增大而增大，当k＜0时，y的值随x值的增大而减小）即可得出结论．
【解答】解：由条件可知：
，
解得：，
∵k＜0，
∴y随x值的增大而减小，
故答案为：减小．
【点评】本题主要考查一次函数解析式，一次函数图象与性质，熟练掌握待定系数法以及系数k对一次函数图象的影响是解题的关键．
8．一次函数y＝（2m﹣1）x+m﹣7的图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围是 　m＜7　 ．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到2m﹣1＞0，m﹣7＜0，然后求出不等式组的解集即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（2m﹣1）x+m﹣7（m为常数）的图象经过第一、三、四象限，
∴2m﹣1＞0，m﹣7＜0，
解得m＜7，
故答案为：m＜7．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
9．一个游泳池在排水口匀速放水．假设池中剩余水量V（立方米）与放水时间t（分钟）是一次函数关系．已知放水10分钟时，剩余水量为240立方米；放水20分钟时，剩余水量为180立方米．那么游泳池的初始水量是 　300　 立方米．
【分析】设池中剩余水量V（立方米）与放水时间t（分钟）是一次函数关系是V＝kt+b，则游泳池的初始水量是b立方米，根据待定系数法求出b即可．
【解答】解：设池中剩余水量V（立方米）与放水时间t（分钟）是一次函数关系是V＝kt+b，
则游泳池的初始水量是b立方米．
根据题意得
，
解得 ，
答：游泳池的初始水量是300立方米．
故答案为：300．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解决问题的关键．
10．已知点A（0，4）、C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上，l和函数y＝﹣4x+a的图象交于点B．
（1）求直线l的表达式．
（2）若点B的横坐标为1，求△BAD的面积．
【分析】（1）由于点A、C在直线上，可用待定系数法确定直线l的表达式；
（2）根据两直线的解析式求得B、D的坐标，然后根据S△BAD＝S△BCD﹣S△ACD求得即可．
【解答】解：（1）∵A（0，4），C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上，
∴代入得：，
解得：，
∴直线l：y＝2x+4．
（2）∵B在直线l：y＝2x+4上，且点B的横坐标为1，
∴y＝2×1+4＝6，
∴B（1，6），
∵点B（1，6）在y＝﹣4x+a上，
∴代入得：6＝﹣4×1+a，
解得：a＝10，
∴y＝﹣4x+10，
∵y＝﹣4x+10与x轴交于点D，
∴0＝﹣4x+10，
解得，
即点，
∴CD2，
∴S△BAD＝S△BCD﹣S△ACD．
【点评】本题考查了待定系数法确定函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知待定系数法是解题的关键．
11．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题：
（1）a＝　10　 b＝　15　 ，m＝　200　 ；
（2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；
（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？
【分析】（1）根据时间＝路程÷速度，即可求出a值，结合休息的时间为5分钟，即可得出b值，再根据速度＝路程÷时间，即可求出m的值；
（2）根据数量关系找出线段BC、OD所在直线的函数解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点的坐标，再用3000去减交点的纵坐标，即可得出结论；
（3）根据（2）结论结合二者之间相距100米，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；
【解答】解：（1）1500÷150＝10（分钟），
10+5＝15（分钟），
（3000﹣1500）÷（22.5﹣15）＝200（米/分）．
故答案为：10；15；200．
（2）BC段关系式为：y1＝200x﹣1500，
OD段关系式为：y2＝120x，
相遇时，即y1＝y2，即120x＝200x﹣1500
解得：x＝18.75
此时：y1＝y2＝2250
距离图书馆：3000﹣2250＝750（米）
答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米．
（3）当y1﹣y2＝100时，解得x＝20
当y2﹣y1＝100时，解得x＝17.5
答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，17.5分钟时和20分钟时与小军相距100米．
【点评】本题考查了一次函数的应用、解含绝对值符号的一元一次方程以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）根据数量关系找出线段BC、OD所在直线的函数解析式；（3）结合（2）找出关于x的含绝对值符号的一元一次方程
12．每年4月23日是世界读书日，旨在推动更多的人去阅读和写作，某书店以读书日为契机，决定购进甲，乙两种图书，供消费者选择．经调查，乙种图书每本进价20元，甲种图书的总进价y与购进甲种图书的数量x之间的函数关系如图所示：
（1）请求出当0≤x≤120和x＞120时，y与x的函数关系式；
（2）若该书店准备购进甲，乙两种图书共300本，且每种图书数量都不少于120本，书店计划甲种图书以每本30元出售，乙种图书以每本25元出售，如何购进两种图书，才能使书店所获利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）分别利用待定系数法求出关系式即可；
（2）设总费用为w元，求出w关于x的关系式，再利用一次函数的性质求出最少的费用即可．
【解答】解：（1）解：当0≤x≤120时，
设y＝kx，把（120，3000）代入得k＝25，
∴y＝25x；
当x＞120时，
设y＝kx+b，把（120，3000）和（150，3600）代入得，
，
解得，
所以y与x的关系式为y；
（2）设总费用为w元，
由题意得，120≤x≤180，
当120≤x≤180时，
ω＝30x+（25﹣20）（300﹣x）﹣（20x+600）＝5x+900，
∵k＝5＞0，w随x的增大而增大，
∴当x＝180时，w最大＝5×180+900＝1800；
∴当 x＝180时，利润最大是1800元．此时乙种图书是120本，
答：应购买甲种图书180本，乙种图书120本，利润最大，最大为是1800元．
【点评】本题考查一次函数的实际应用，利用待定系数法求出一次函数的关系式是解题关键．
13．在平面直角坐标系中，过点（4，6）的直线y＝kx+3与y轴相交于点A，将直线向下平移个单位，所得到的直线l与y轴相交于点B．
（1）求直线l的表达式；
（2）点C位于第一象限且在直线l上，点D在直线y＝kx+3，如果以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，求点C的坐标．
【分析】（1）将点（4，6）代入直线y＝kx+3，可得yx+3，将直线向下平移个单位，即可得到直线l的表达式：yx；
（2）设C（t，t），分两种情况进行讨论：当AB∥CD时，AB2＝BC2；当AB，CD为菱形的对角线时，AC2＝BC2，解方程即可得到点C的坐标．
【解答】解：（1）将点（4，6）代入直线y＝kx+3，可得k，
∴yx+3，
将直线向下平移个单位，
得到直线l的表达式：yx；
（2）由题可得A（0，3），B（0，），
设C（t，t），
当AB∥CD时，AB2＝BC2，
即t2，
解得t1＝2，t2＝﹣2，
又∵t＞0，
∴C（2，2）；
当AB，CD为菱形的对角线时，AC2＝BC2，
∴t2t2，
解得t，
∴C（，）．
综上所述，点C的坐标为（2，2）或（，）．
【点评】本题主要考查了菱形的判定以及一次函数图象与几何变换，解题时注意：若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求k、b的值；
（2）若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标．
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点C的坐标，根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出k、b的值；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B的坐标，设点D的坐标为（0，m），根据三角形的面积公式结合，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，进而可得出点D的坐标．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝3，
∴点C的坐标为（1，3）．
将A（﹣2，6）、C（1，3）代入y＝kx+b，
得：，
解得：k＝﹣1，b＝4；
（2）当y＝0时，有﹣x+4＝0，
解得：x＝4，
∴点B的坐标为（4，0）．
设点D的坐标为（0，m），
∵，即，
解得：m＝±4，
∴点D的坐标为（0，±4）．
【点评】本题考查了一次函数的综合应用，待定系数法求一次函数解析式直线与坐标轴围成的三角形面积，熟练掌握以上知识点是关键．第25章 一次函数章节题型精讲
(函数概念+正比例函数+一次函数)复习讲义
本节课主要针对第25章一次函数进行专题复习。在本节课中，我们梳理了函数常考题型、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。
知识点一 函数解析式与函数关系的表达
1.函数解析式
表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式.
2.函数关系的三种表示形式
（1）用数学式子表示:如教材例题1中，气温的摄氏度与华氏度之间的函数关系用数学式子表示;
（2）用表格来表示，如教材例题1中用表格表示摄氏度x与华氏度y之间的函数关系;
（3）用图像来表示，如教材例题2中，用一个图像表示当地某一天的气温随时间变化情况.
注意：有些函数关系是没有关系式的，如心电图中的时间与生物电流的关系
知识点二 函数的定义域与函数值
1.函数的定义域
函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域.
常见函数解析式中，函数的定义域的求解方法:
类型 特点 自变量取值范围 举例
整式型 等号右边是关于 自变量的整式 全体实数 (x取全体实数)
分式型 等号右边是关于 自变量的分式 使分母不为0的 实数
根式型 等号右边是关于 自变量的开偶次 方的式子 使根号下的式子 大于或等于0的 实数
零(或负 整数)次 幂型 等号右边是关于 自变量的零(或 负整数)次幂 使底数不为0的 实数
综合型 两种及以上类型综合 满足各部分都有意义
在实际问题中，自变量的取值还必须使实际问题有意义.
2.函数值
如果变量是自变量的函数，那么对于在定义域内取定的一个值，变量的对应值叫做当时的函数值.
3.符号“”的意义
为了深入研究函数，我们把语句“是的函数”用记号来表示.这里表示自变量，表示随变化而变化的规律.
注意：
(1)记号表示“是的函数”,不是表示“”与“”的积;
(2)在同一个问题中同时研究几个不同的函数时,表示函数的记号中,括号外的字母可采用不同的字母,如
(3)在函数用记号表示时,表示当时对应的函数值;
(4)函数的自变量取遍定义域中的所有值,对应的函数值的全体叫做这个函数的值域，如函数,它的值域是 .
知识点三 正比例函数
1．正比例函数的概念
(1)如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数．
(2)解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数．正比例函数的定义域是一切实数．确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式
2．正比例函数的图象
(1)一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线；
(2)图像画法：列表、描点、连线．
3．正比例函数的性质
(1)当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大．
(2)当时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小．
知识点四 一次函数的概念
一般地，解析式形如（，是常数，且）的函数叫做一次函数；
一次函数的定义域是一切实数；
当时，解析式就成为（是常数，且）这时，y是x的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例；
一般地，我们把函数（c为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问题确定．
知识点五 一次函数的图像
一次函数的图像：
一般地，一次函数（，是常数，且）的图像是一条直线．一次函数的图像也称为直线，这时，我们把一次函数的解析式称为这一直线的表达式．
画一次函数的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线．
一次函数的截距：
一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距，
一般地，直线（）与y轴的交点坐标是，直线（）的截距是b．
一次函数图像的平移：
一般地，一次函数（）的图像可由正比例函数的图像平移
得到．当时，向上平移个单位；当时，向下平移个单位．
（函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”）
直线位置关系：
如果，那么直线与直线平行．
反过来，如果直线与直线平行，那么，．
知识点六 一次函数的性质
一次函数的增减性：
一般地，一次函数（为常数，）具有以下性质：
当时，函数值随自变量的值增大而增大，图像为上升；
当时，函数值随自变量的值增大而减小，图像为下降．
一次函数图像的位置情况：
直线（，）过且与直线平行，由直线在平面直角坐标系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得）
当，且时，直线经过一、二、三象限；
当，且时，直线经过一、三、四象限；
当，且时，直线经过一、二、四象限；
当，且时，直线经过二、三、四象限．
一．函数关系式（共5小题）
1．下列函数中，与y＝x表示同一个函数的是（　　）
A．y B．y C．y D．y
2．将写成y＝f（x）的形式为 　 　 ．
3．上海与杭州两地之间的距离是140km，若汽车以每小时60km的速度匀速从杭州开往上海，则汽车距杭州的路程s与行驶的时间t之间的函数关系式为　 　 ．
4．已知Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝BC＝8，矩形MNPQ中，NP＝9，MN＝2，P与A重合且N、P、C共线．现矩形MNPQ沿NP射线以每秒1cm速度向右移动，P与C重合则停止．设移动t秒后，重叠部分面积为S，求：S关于t的函数解析式及定义域．
5．如图，梯形ABCD，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，BC＝4，∠ADC的平分线交边BC于点E．
（1）如果AB＝1，CD＝2，求AD的长；
（2）如果∠C＝45°，设AB＝x，四边形ABED的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）设F是DE的中点，连接AF，如果AF∥CD，且BE＝2AB，求AB的长．
二．函数自变量的取值范围（共3小题）
6．函数y的定义域是 　 　 ．
7．函数的自变量x的取值范围是　 　 ．
8．小明在探究事物的变化过程时发现，在某个变化过程中也可能有三个变量，参考本学期学习函数的经验，小明将这三个变量设为x、y和z，如果在变量x和y的允许取值范围内，变量z随着x和y的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，小明就将变量z叫做变量x和y的二元函数，例如，小明认为x、y两数的积z，就是x和y的二元函数．同样为了继续研究二元函数，小明把语句“z是x和y的二元函数”用记号z＝f（x，y）来表示．现在，小明在研究过程中发现了一个二元函数f（x，y），满足特征f（x，x）＝0，f（x，f（y，z））＝f（x，y）﹣z，那么f（2025，2024）＝　 　 ．
三．函数的图象（共3小题）
9．一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为t（小时），航行过的路程为S（千米），则S关于t的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
10．小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示．若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小亮从学校骑车回家用的时间是（　　）
A．37.2分钟 B．48分钟 C．33分钟 D．30分钟
11．某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
（1）图中的自变量是 　 　 ；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是 　 　 分钟；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度为 　 　 米/分；
（4）图中a表示的数是 　 　 ；b表示的数是 　 　 ；
（5）图中点A表示的实际意义是 　 　 ．
四．函数动点问题的函数图象（共5小题）
12．如图（图1中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y与点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图2所示，则CD的长度为 　 　 cm．
13．如图①，在△ABC中，AB＝AC，动点P从点A出发，沿折线A﹣B﹣C运动到点C，其中BP的长与运动时间t的关系如图②．则△ABC的面积为 　 　 cm2．
14．如图， ABCD中，∠DAB＝60°，点P按A→D→C→B方向运动，到达点B时运动停止，运动开始时以每秒3个长度单位匀速运动，达到D点后，改为每秒a个单位匀速运动，到达C后，改为每秒b个单位匀速运动．在整个运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的函数关系如图所示．求：
（1）求AB、BC的长；
（2）求a，b的值．
15．如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向运动至点A处停止，设P点运动的路程为x（cm），△ABP的面积为y（cm2），y关于x的函数图象如图2所示，
①求长方形ABCD的面积；
②当0＜x≤5时，求y关于x的函数解析式；
③当x为何值时，S△ABP＝10．
16．甲乙两人先后由A地沿同一路线前往B地，甲先出发，一小时后乙再出发，半小时后在离A地12千米处乙追上甲，此时两人正好到达AB的中点．然后两人各自保持原速不变，先后到达B地．若甲由A地出发的行驶时间为x小时，甲、乙离开A地的距离为y1千米和y2千米，函数图象如图所示．
（1）请直接写出甲的速度是　 　 千米/小时；
（2）请直接写出y1和y2关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）乙到达B地后立即从原路返回A地．过程中，他离开A地的距离y3（千米）关于x（小时）的函数图象如图所示．请直接写出乙在返回途中与甲相遇时，x＝　 　 小时．
五．正比例函数图像和性质（共4小题）
17．如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，下列用“＜”表示a，b，c的不等关系正确的是（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
18．如果正比例函数y＝m的图象在二、四象限，那么m的值是 　 　 ．
19．已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），如果y的值随x的值增大而减小，那么该正比例函数的图象经过第 　 　 象限．
20．已知，且y是关于x的正比例函数．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若x≤2，求函数y的最小值．
六．一次函数图像和性质（共7小题）
21．若a＜﹣1，则一次函数y＝（a+1）x+1﹣a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
22．下列一次函数中，y的值随x值的增大而减小的是（　　）
A．y＝4x﹣8 B．y＝﹣x+3 C．y＝2x+5 D．y＝7x﹣6
23．已知函数y＝kx+b，其中常数k＞0、b＞0，那么这个函数的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
24．一次函数，如果y＜0，那么x的取值范围是 　 　 ．
25．已知：关于x的函数y＝（2m﹣3）x+（1﹣m），y随x的增大而减少，并且与y轴的交点在y轴的负半轴，则m的取值范围是 　 　 ．
26．一次函数y＝（b﹣1）x﹣3+b不经过第二象限，则b的取值范围为 　 　 ．
27．如图，点C的坐标是（2，2），A为坐标原点，CB⊥x轴于B，CD⊥y轴于D，点E是线段BC的中点，过点A的直线y＝kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为 　 　 ．
七．一次函数图象与几何变换（共5小题）
28．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求AB的长；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PABS△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
29．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：yx与x轴交于点A，直线l2：y＝2x+b与x轴交于点B，且与直线l1交于点C（﹣1，m）．
（1）求m和b的值；
（2）求△ABC的面积；
（3）若将直线l2向下平移t（t＞0）个单位长度后，所得到的直线与直线l1的交点在第一象限，直接写出t的取值范围．
30．在直角坐标xOy中，直线l1与y＝2x﹣3平行，且经过点（0，5），将直线l1向上平移3个单位，得到直线l2
（1）求这两条直线的解析式；
（2）如果直线l2与x轴、y轴分别交于点A，B，求△AOB的面积．
31．规定：如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即y＝ax+b和y＝bx+a（其中|k|≠|b|），称这样的两个一次函数为“互助”函数，例如y＝﹣2x+3与y＝3x﹣2就是一组“互助”函数．根据规定解答下列问题：
（1）晓风对“当a为定值时，改变b的值，‘互助’函数y＝ax+b和y＝bx+a的图象的变化情况”进行探究，可以发现y＝ax+b的图象是在 　 　 ；y＝bx+a的图象是在 　 　 ，（填“翻折”、“平移”或“旋转”）
（2）晓华对“一组‘互助’函数的交点坐标”进行探究，
①一次函数y＝5x+4与它的互助一次函数的交点坐标为 　 　 ；
②一次函数y＝5x+b与它的互助一次函数的交点坐标为 　 　 ；（用含有b的式子表示）
③一次函数y＝ax+b与它的互助一次函数的交点坐标为 　 　 ．（用含有a、b的式子表示）
（3）若一次函数y＝（m+3）x+4m和它的“互助”函数与y轴围成的三角形的面积为9，求m的值．
（4）对于一次函数y＝3x﹣1和y＝2x+5，现将它们同时平移，应如何同时平移才能使要平移后的两个一次函数为“互助”函数？（提示：从先向左或右平移几个单位长度，再向上或下平移几个单位长度说明）
32．已知一次函数图象与直线平行，且过点（6，﹣4）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求该一次函数与坐标轴围成的三角形的周长．
八．一次函数应用（共4小题）
33．共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．已知：A品牌电动车骑行xmin，收费yA元，且；B品牌电动车骑行xmin，收费yB元，且，A，B两种品牌电动车所收费用y与骑行时间x之间的函数图象如图所示．
（1）说明图中函数yA与yB图象的交点P表示的实际意义．
（2）已知王老师家与学校的距离为9km，且王老师骑电动车的平均速度为300m/min，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由．
（3）请直接写出当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元．
34．工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为y甲（个），乙组加工零件的数量为y乙（个），其函数图象如图所示．
（1）求y乙与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（2）求a的值，并说明a的实际意义；
（3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个．
35．某同学从家出发骑车去学校参加活动，当她骑行一段时间，突然想买一些食品当午饭，于是又折返回刚经过的一家商店，买好东西后又继续骑车．如图是该同学离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）该同学折返前，他骑车的速度是 　 　 米/分钟，其中路程s关于所用时间t的函数关系式为 　 　 ；
（2）由于途中返回买东西比直接去学校多走了 　 　 米；
（3）当该同学距离学校300米时，所用时间为 　 　 分钟．
36．A、B两城间的公路长为450千米，甲、乙两车同时从A城出发沿这一公路驶向B城，甲车到达B城1小时后沿原路返回．如图是他们离A城的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．
（1）甲车返回过程中y与x之间的函数解析式是　 　 ，定义域是　 　 ；
（2）乙车行驶6小时与返回的甲车相遇，乙车的行驶速度的速度是　 　 ；
（3）在（2）的条件下，当甲车出发　 　 小时，甲乙两车相距180千米．
九．一次函数综合压轴题（共3小题）
37．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标是（1，0），联结BC．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果点D在线段BC上，且∠CBO＝∠CAD，求点D的坐标；
（3）如果点P在直线y＝x+4上，且△ABC与△POB相似，求线段BP长度．
38．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知直线l：y＝x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且．OC＝2点D在线段AC上，且∠CDB＝∠ABC，过点C作BC的垂线，交BD的延长线于点E，连接AE．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线CE的函数解析式；
（3）如果点P是直线CE上的动点，连接DP，当△DEP与△ABC相似时，求点P坐标．
39．如图，直线与x轴，y轴及直线分别交于点A（﹣2，0），B，C．
（1）求点B和点C的坐标；
（2）M为x轴上点A右侧一动点，以AB，AM为邻边作 ABNM，连接CM，CN．
①求CM+CN的最小值；
②在点M移动过程中，∠CMN能否等于45°？若能，请求出此时点M的坐标；若不能，请说明理由．
1．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则下列说法正确的是（　　）
A．y随x的增大而减小
B．关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2
C．当x＞﹣2时，y＜0
D．k＞0，b＜0
2．如图，直线y＝x+1与直线y＝mx﹣n相交于点M（1，b），则关于x，y的方程组的解为 　 　 ．
3．正比例函数y＝kx，y＝mx，y＝nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则比例系数k、m、n的大小关系是 　 　 （用“＞”号连接）．
4．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为s（km）与甲行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示．
（1）结合图象，在点M、N、P三个点中，点 　 　 代表的实际意义是乙到达终点；
（2）求甲、乙各自的速度；
（3）当乙到达终点时，求甲、乙两人的距离．
1．如果一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象经过第一、三、四象限，那么k、b应满足的条件是（　　）
A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＞0 C．k＞0，b＜0 D．k＜0，b＜0
2．对于一次函数y＝3x﹣2，下列说法错误的是（　　）
A．y随x的增大而增大
B．图象经过第二、三、四象限
C．图象与正比例函数y＝3x的图象平行
D．点M（﹣2，y1），N（1，y2）都在直线y＝3x﹣2上，则y1＜y2
3．已知小丽家、便利店、体育馆在同一直线上，某天小丽从家步行到便利店买了一瓶水，再到体育馆锻炼，最后骑共享单车回家．小丽离家距离y与时间x之间的关系如图所示．下列结论错误的是（　　）
A．小丽家到便利店距离500米
B．小丽在便利店停留了5分钟
C．小丽步行的速度是0.1km/min
D．小丽骑自行车的速度是步行速度的1.5倍
4．甲、乙两车沿着相同路线从A地前往B地，两车行驶的路程y（km）与甲车出发后的时间t（h）的对应关系如图所示，那么下列结论中错误的是（　　）
A．甲车的平均速度为60km/h
B．乙车的平均速度为100km/h
C．在甲车出发2小时后两车相遇
D．乙比甲车先到达B地
5．一次函数y＝kx+b与y＝2x+1平行，且经过点（﹣3，4），则表达式为：　 　 ．
6．如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为 　 　 ．
7．如果一次函数的图象经过点P（﹣1，2），那么y随x的增大而 　 　 .（填“增大”或“减小”）
8．一次函数y＝（2m﹣1）x+m﹣7的图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围是 　 　 ．
9．一个游泳池在排水口匀速放水．假设池中剩余水量V（立方米）与放水时间t（分钟）是一次函数关系．已知放水10分钟时，剩余水量为240立方米；放水20分钟时，剩余水量为180立方米．那么游泳池的初始水量是 　 　 立方米．
10．已知点A（0，4）、C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上，l和函数y＝﹣4x+a的图象交于点B．
（1）求直线l的表达式．
（2）若点B的横坐标为1，求△BAD的面积．
11．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题：
（1）a＝　 　 b＝　 　 ，m＝　 　 ；
（2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；
（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？
12．每年4月23日是世界读书日，旨在推动更多的人去阅读和写作，某书店以读书日为契机，决定购进甲，乙两种图书，供消费者选择．经调查，乙种图书每本进价20元，甲种图书的总进价y与购进甲种图书的数量x之间的函数关系如图所示：
（1）请求出当0≤x≤120和x＞120时，y与x的函数关系式；
（2）若该书店准备购进甲，乙两种图书共300本，且每种图书数量都不少于120本，书店计划甲种图书以每本30元出售，乙种图书以每本25元出售，如何购进两种图书，才能使书店所获利润最大，最大利润是多少？
13．在平面直角坐标系中，过点（4，6）的直线y＝kx+3与y轴相交于点A，将直线向下平移个单位，所得到的直线l与y轴相交于点B．
（1）求直线l的表达式；
（2）点C位于第一象限且在直线l上，点D在直线y＝kx+3，如果以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，求点C的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求k、b的值；
（2）若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标．

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