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专题26 反比例函数章节复习 培优讲义
(6大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 反比例函数的概念，能识别反比例函数，掌握其一般形式 。
掌握 反比例函数的图象与性质，能根据 的符号确定图象所在象限、增减性及对称性。
理解 反比例函数 的几何意义，能利用面积关系解决相关问题。
能根据 实际问题列出反比例函数关系式，并确定自变量的取值范围。
体会 数形结合、分类讨论思想在反比例函数综合题中的应用。
核心思想：反比例函数 的图象是双曲线， 决定位置和增减性，|k| 的几何意义是矩形面积。
知识梳理 · 核心概念与性质
反比例函数的定义
一般地，形如 （ 为常数，）的函数叫做反比例函数。
等价形式：，。
自变量 的取值范围是 的一切实数，函数值 。
反比例函数的图象
图象是双曲线，由两支曲线组成，关于原点成中心对称。
时，两支曲线分别位于第一、三象限； 时，位于第二、四象限。
越大，双曲线离坐标轴越远（开口越大）。
反比例函数的性质
当 时，在每个象限内， 随 的增大而减小。
当 时，在每个象限内， 随 的增大而增大。
注意：必须强调“在每个象限内”，跨象限不具备单调性。
比例系数 k 的几何意义
过双曲线上任意一点作 轴、 轴的垂线，所得矩形的面积为 |k|
该点与原点连线所围成的直角三角形面积为
常用于已知面积求 值，或已知 求图形面积。
反比例函数与一次函数的综合
求交点：联立两个函数解析式，解方程组，转化为一元二次方程求解。
利用图象解不等式：比较两个函数图象的上下位置，确定自变量的取值范围。
对称性：正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称。
反比例函数的实际应用
常见模型：行程问题（）、工程问题、物理问题（压强、杠杆、电流与电阻等）。
解题步骤：①分析题意，找出两个变量之间的反比例关系；②设出解析式 ；③代入已知数据求 ；④利用解析式解决具体问题。
知识总结表
类别 内容/公式 重要性质
定义 自变量
图象 双曲线，两支，关于原点对称 一三象限， 二四象限
增减性 在每个象限内 递减， 递增
k 的几何意义 矩形面积 = |k| 三角形面积
与一次函数综合 求交点、解不等式 数形结合，利用对称性
实际应用 行程、杠杆、压强等 待定系数法求解析式
核心考点 · 6类题型方法精讲
【考点1】反比例函数的定义 （题1-3）
方法总结
判断一个函数是否为反比例函数，关键看能否化为 或 （）的形式。
注意：分母必须为单独的 ，不能有常数项或其他形式。
已知函数为反比例函数求参数：指数为 -1 且系数不为 0，列方程组求解。
1．（2024秋 浦东新区校级期末）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（　　）
A．y＝5x+1 B．y＝﹣6x C． D．
2．（2024秋 浦东新区校级期中）若是反比例函数，则n的值为 　 　 ．
3．（2025秋 虹口区校级期中）下列函数关系式：（1）y；（2）；（3）y；（4）（5），其中表示y是x的反比例函数的是　 　 （填入序号）．
【考点2】反比例函数的图象 （题4-8）
方法总结
根据 的符号判断图象所在象限： 一三象限， 二四象限。
在同一坐标系中识别一次函数与反比例函数图象，需结合 的符号及与坐标轴交点分析。
利用图象解不等式：将不等式转化为两个函数值的比较，观察图象上下位置。
描点法画图象：列表、描点、连线，注意自变量取正值和负值。
4．（2024春 普陀区期中）反比例函数与一次函数y＝﹣kx+k在同一坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025春 杨浦区期中）已知关于x的函数y＝k（x﹣1）和，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象是下列图中的（　　）
A． B．
C． D．
6．（2022秋 虹口区校级月考）利用函数图象解不等式：x+1＞0的解为 　 　 ．
7．（2025春 莱州市期末）如图所示是三个反比例函数y，y，y的图象，由此观察k1、k2、k3的大小关系是 　 　 ．（用“＜”连接）
8．（2025 湖里区校级四模）某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现当做功一定时，功率P（单位：W）与做功的时间t（单位：s）存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据：
t（单位：s） 10 20 30 40 50
P（单位：W） 120 60 40 30 24
（1）写出功率P（W）与做功的时间t（s）之间的函数关系式；
（2）在平面直角坐标系中，描出上表中以各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）结合图象，求当功率小于100W时，做功时间t的取值范围．
【考点3】反比例函数的性质 （题9-20）
方法总结
由图象所在象限求参数范围： 或 。
由增减性求参数：在每个象限内 随 增大而减小 → ；增大而增大 → 。
比较函数值大小：先判断点是否在同一象限，若在同象限用增减性，若不在则根据函数值的正负直接判断。
利用 的几何意义：矩形面积 ，常用于求 或比较面积。
9．（2024秋 奉贤区期末）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＜5 B．k＞﹣5 C．k＜﹣5 D．k＞5
10．（2024秋 上海校级期末）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（　　）
①函数图象经过点（1，﹣1）；②图象经过第二象限；③当x＞0时，y随x的增大而增大．
A．y＝﹣x B．y＝x﹣2 C．y＝﹣1 D．
11．（2025 徐汇区模拟）如果反比例函数y（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限，那么一次函数y＝kx﹣k的图象一定经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
12．（2025春 闵行区期末）下列函数中，y的值随x的增大而减小的是（　　）
A．y＝﹣x B．y＝2x+1 C．y＝2 D．
13．（2025 奉贤区二模）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（　　）
A．x＞0时，y的值随x的增大而减小
B．x＜0时，y的值随x的增大而增大
C．图象不经过第二象限
D．图象不经过第四象限
14．（2025 浦东新区校级模拟）已知反比例函数的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是 　 　 ．
15．（2024秋 浦东新区校级期末）若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是 　 　 ．
16．（2025秋 虹口区校级期中）反比例函数，已知在每个象限内，g（x）的函数值随着x的增大而增大，且当1≤x≤2时，函数f（x）的最大值是a，函数g（x）的最小值是a﹣2．设p＝|g（m）|，q＝|g（m﹣a）|（m≠0且m≠a），请写出p≤q时m的取值范围　 　 ．
17．（2024秋 黄浦区期末）反比例函数的图象在第一、三象限，那么 　 　 ．
18．（2024秋 松江区期中）如果反比例函数的图象经过第一、三象限，那么k的取值范围是 　 　 ．
19．（2026 拱墅区校级开学）如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），C（0，6），反比例函数图象L1对应的函数表达式为，反比例函数图象L2对应的函数表达式为.把矩形ABCO内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为“整数点”．
（1）若k＝﹣12，则L2和L1之间（不含边界）有　 　 个“整数点”；
（2）若L2和L1之间（不含边界）有4个“整数点”，求k的取值范围．
20．（2025秋 路南区期末）已知反比例函数y，（k为常数，k≠1）．
（1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值；
（2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围；
（3）若k＝13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由．
【考点4】根据实际问题列反比例函数关系式 （题21-27）
方法总结
从实际情境中找出两个变量，判断它们是否为反比例关系（乘积为定值）。
设出解析式 ，利用已知数据（表格中的点）求出 。
注意自变量的实际意义（如时间、长度等通常为正数）。
结合不等式解决取值范围问题，如“不超过”“至少”等。
21．（2025秋 唐山期末）夕夕家到学校的路程为3km，到校所需时间t（单位：h）随平均速度v（单位：km/h）的变化而变化，则t与v的函数表达式是（　　）
A．t＝3 v B． C．t＝3v2 D．
22．（2025秋 皇姑区期末）某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为1.2万元，前期付款4000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款额y（元）与付款月数x（x取正整数）之间的函数关系式是（　　）
A．y B．y C．y D．y＝8000x
23．（2025 梅州一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（4，0），以OA为边，在x轴上方作正方形OABC，动点P从点A出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．线段CP交AB于点M．设点P运动时间为t秒，△BCM的面积为S，则S关于t的函数表达式为（　　）
A．S＝8﹣2t B．S＝8﹣t2 C． D．
24．（2024秋 嘉定区校级期末）在描述一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向x轴，y轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2024，”根据甲同学所描述，此反比例函数的解析式是　 　 ．
25．（2024 普陀区校级三模）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例（即），已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5m，则y与x之间的函数关系式是　 　 ．
26．（2025 南岗区校级三模）生活中做拉面的过程就渗透着数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（cm）是面条粗细（横截面面积）x（cm2）反比例函数，其图象如图所示，则y与x之间的函数关系式为（写出自变量的取值范围）　 　 ．
27．（2025秋 天台县期末）阅读与思考．
下面是小天同学学习了“反比例函数的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足I的反比例函数关系，它的图象如图所示． 问题一：请写出这个反比例函数的表达式：　 　 ．
问题二：如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过12A，那么该用电器变阻器的阻值应控制在什么范围？
方法 分析问题 解答过程
解法一 I中，电流I≤12，可以得到关于R的不等式并求解． 解：∵I＝　 　 ，且I≤12， ∴　 　 ≤12， ∵R＞0， ∴12R≥■，（依据：★） ∴●．
解法二 由I，可以求出当电流I＝12时相应的R值，再通过反比例函数的增减性求R的取值范围．
任务：
（1）问题一中反比例函数的表达式为　 　 ；
（2）问题二中■表示：　 　 ，★表示：　 　 ，●表示：　 　 ；
（3）完成问题二中解法二的解答过程．
【考点5】反比例函数的应用 （题28-36）
方法总结
常见题型：物理问题（杠杆、压强、电流）、行程问题、工程问题、消毒问题等。
解题关键：根据题意建立反比例函数模型，利用待定系数法求解析式。
涉及分段函数（如大棚温度、药物释放）时，需先分段求出解析式，再综合应用。
利用反比例函数的增减性求最值或取值范围。
28．（2024秋 静安区校级期末）已知长方形的两条边长为x、y，面积是4，那么y关于x的函数的图象是（　　）
A． B．
C． D．
29．（2024秋 上海校级期中）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，则动力F关于动力臂l的函数图象为（　　）
A． B．
C． D．
30．（2024秋 静安区校级月考）为了预防“流感”，某学校对教室采取“药熏”消毒，教室内每立方米的含药量y（毫克）与时间x（分）成正比例；药物燃烧结束后，药量y（毫克）与时间x（分）成反比例；这两个变量之间的关系如图所示．说法错误的是（　　）
A．第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小
B．第12分钟时，教室内的含药量为4毫克/立方米
C．第50分钟时，教室内含药量为0毫克
D．教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间为12分钟
31．（2025秋 虹口区校级期中）近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）的关系式满足.小华原来佩戴400度近视眼镜，复查验光时，所配镜片焦距调整为0.4m，则他的近视度数　 　 （上涨/下降）了　 　 度．
32．（2024秋 闵行区期末）已知某种近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数解析式为，如果测得该近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么该近视眼镜的度数为 　 　 度．
33．（2024秋 静安区校级期中）当温度不变时，某气球内的气压p（kPa）与气体体积V（m3）成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压p＞170kPa时．气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V满足的条件是 　 　 ．
34．（2025秋 闵行区期末）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示．
表一：地面所受压强与接触面积之间的关系
地面所受压强p（Pa） … 4×104 6×104 8×104 1×105 …
接触面积S（m2） … 1.2×10﹣3 8×10﹣4 6×10﹣4 4.8×10﹣4 …
表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系
地面材质 玻璃 木地板 大理石
能承受的最大压强p（Pa） 4.8×107 2.4×107 2.5×108
（1）求地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式（不写定义域）；
（2）求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？
35．（2024秋 黄浦区期末）小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克/立方米）与时间x（月）成正比例．施工结束后，y与x成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题：
（1）施工过程中y关于x的函数解析式是 　 　 ；
（2）已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于0.08毫克/立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？
（3）施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到1%）
36．（2024秋 静安区校级期末）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段OB、BC表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤5）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大棚内的温度低于10℃不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？
【考点6】创新及压轴题 （题37-44）
方法总结
新定义问题（如“优惠率”“整数点”）：理解定义，转化为常规函数问题求解。
反比例函数与几何综合（如菱形、矩形、三角形面积）：利用 的几何意义、中点坐标、勾股定理等列方程。
动点问题：用时间表示坐标，根据面积关系列方程，注意分类讨论。
与一次函数结合的综合题：求交点、面积、平行四边形存在性等，常需联立方程并分类。
37．（2025 浦东新区校级一模）电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m．温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
（1）求R1关于U0的函数解析式；
（2）用含U0的代数式表示m；
（3）若电压表量程为0～6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
38．（2025秋 虹口区校级期中）双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中k代表优惠金额，m代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率P甲、P乙与顾客购买总金额m（元）之间的函数关系分别如图所示，其中P乙与m成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足200≤m＜400．
（1）k乙＝　 　 ；用含m的代数式表示k甲　 　 ；
（2）当购买总金额m（元）在200≤m＜400的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么甲：　 　 乙：　 　 ；
（3）完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（200≤m＜400），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由．
39．（2025春 上海月考）综合与实践
如图，某校数学兴趣小组取一根长为100cm的匀质木杆，把细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起．在中点O左侧距离中点30cm处挂一个重9.8N的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm），观察弹簧秤的示数F（单位：N）有什么变化，得到如表：
L/cm 5 10 15 20 25 30 35 40
F/N 58.8 29.4 19.6 14.7 16 9.8 8.4 7.35
指导老师发现其中有一组数据明显是错误的．
（1）当L＝　 　 cm时，所对应的F的值明显是错误的；
（2）写出F与L之间的函数关系式，并求当弹簧秤的示数F是12N时，弹簧秤与中点O之间的距离L．
40．（2024秋 浦东新区校级期中）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？
器材：如图1所示的一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动．已知OA＝OC＝12cm，BC＝28cm，一个100g的砝码．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量×OA＝右盘物体重量×OP（不计托盘与横梁重量）．
任务1：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的重量为y（g），OP长x（cm）．当天平平衡时，求y关于x的函数表达式，并求y的取值范围．
任务2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图2．滑动点P至点B，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点P移动到PC长为12cm时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的重量．
41．（2024秋 闵行区期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（　　）
A．S1＝S2+S3 B．S2＝S3 C．S3＞S2＞S1 D．S1S2＜S2S3
42．（2023秋 青浦区校级期中）函数和在第一象限内的图象如图所示，点P是的图象上一动点，作PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，作PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CAAP，其中所有正确结论的序号是 　 　 ．
43．（2026 闵行区校级开学）如图，已知点（1，3）在函数y（x＞0）的图象上，长方形ABCD的边BC在x轴上，函数y（x＞0）的图象又经过点A，A的纵坐标为，且OB：BC＝1：2．
（1）求k的值；
（2）求△OCD的面积；
（3）当∠ABD＝45°时，求m的值．
44．（2026 闵行区校级开学）如图，一次函数y＝k1x+1的图象与反比例函数点的图象相交于A、B两点，点C在x轴正半轴上，点D（1，﹣2），连接OB、OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围；
（3）设点P是直线AB上一动点，是否存在点P，使，若存在，请直接写出满足条件点P的坐标，若不存在，请说明理由．
随堂检测 · 对应知识点
练习1 一次函数与反比例函数图象综合判断（根据 符号判断图象位置）
练习2 反比例函数的增减性（给定 ，判断 随 的变化）
练习3 反比例函数的增减性求参数范围
练习4 反比例函数与一次函数实际应用（行程问题、函数图象分析）
1．（2025春 崇明区校级期中）函数y＝kx﹣k与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025秋 宝山区校级月考）已知反比例函数，那么y值随x值的增大而 　 　 （从“增大”或“减小”中选择）．
3．（2025春 浦东新区校级月考）已知反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是　 　 ．
4．（2024秋 浦东新区校级期末）小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段OA与双曲线（一支）分别表示两人离家的距离y（km）与小王的行驶时间t（h）之间的函数关系的图象，请解决以下问题．
（1）线段OA的函数表达式为 　 　 ；
（2）曲线CD的函数表达式为 　 　 ；
（3）点K的坐标为 　 　 ；
（4）设小王和妈妈两人之间的距离为S（km），当S≤2时，求t的取值范围．
课后巩固 · 核心作业知识点
题1 反比例函数图象与性质（判断象限、增减性、与坐标轴交点）
题2 一次函数与反比例函数图象综合判断
题3 反比例函数图象所在象限求参数范围
题4 反比例函数图象所在象限求参数范围
题5 反比例函数实际应用（大棚温度、分段函数）
题6 反比例函数与一次函数综合应用（电动车速度问题）
题7 反比例函数实际应用（骑行问题）
题8 反比例函数与一次函数综合（平移、角度、面积）
题9 反比例函数与一次函数综合（平移、直角三角形面积）
※ 复习建议 熟练掌握反比例函数的定义、图象和性质，灵活运用 的几何意义；注意一次函数与反比例函数的交点、不等式解集问题；实际应用题中要准确建立函数模型，并注意自变量的取值范围。
1．（2025 普陀区三模）关于函数y，下列说法中正确的是（　　）
A．图象位于第一、三象限
B．图象与坐标轴没有交点
C．图象是一条直线
D．y的值随x的值增大而减小
2．（2025春 普陀区校级期中）一次函数y＝k（x﹣1）与反比例函数在同一直角坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024春 浦东新区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 　 　 ．
4．（2024秋 浦东新区校级期中）若图象的一支位于第三象限，则m的取值范围是　 　 ．
5．（2024秋 松江区期末）某鲜花种植基地，某天恒温系统从开启到关闭，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系如图所示．其中线段OB、BC表示恒温系统开启后的阶段，反比例函数图象的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y关于时间x（0≤x≤5）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）如果大棚内的温度低于10℃不利于某种鲜花的生长，那么这天内，相对有利于该种鲜花生长的时间共多少小时？
6．（2025秋 嘉定区校级月考）一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，x轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），y轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（0≤x≤30）的速度y的大小关于时间x的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图象的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图象的一部分．
（1）根据图中信息，分别求出两段图象所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域；
（2）若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由．
7．（2023秋 宝山区期末）越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时（骑行速度不超过40千米/小时）．根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表：
v（千米/小时） 15 20 25 30
t（小时） 2 1.5 1.2 1
（1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；
（2）如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由；
（3）若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足0.8≤t≤1.6，求平均速度v的取值范围．
8．（2025秋 普陀区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k≠0）与反比例函数在第一象限内的图象交于点A（2，a），点B（b，8）在直线OA上．
（1）求点A、B的坐标；
（2）点C在反比例函数的图象上，如果∠ABC＝45°，将直线OA平移，使其经过点C，求平移后所得直线的表达式．
9．（2025秋 黄浦区校级期中）如图，平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx与反比例函数的图象交于点A（a，﹣1）和点B．
（1）求k的值；
（2）将直线l1沿x轴方向平移m（m＞0）个单位后得到直线．直线l2与x轴交于点C．
①如果点C在x轴的正半轴上，连接AC，且△ABC是以AB为斜边的直角三角形，求m的值；
②如果△ABC的面积为3，求平移后直线l2的函数关系式．专题26 反比例函数章节复习 培优讲义
(6大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 反比例函数的概念，能识别反比例函数，掌握其一般形式 。
掌握 反比例函数的图象与性质，能根据 的符号确定图象所在象限、增减性及对称性。
理解 反比例函数 的几何意义，能利用面积关系解决相关问题。
能根据 实际问题列出反比例函数关系式，并确定自变量的取值范围。
体会 数形结合、分类讨论思想在反比例函数综合题中的应用。
核心思想：反比例函数 的图象是双曲线， 决定位置和增减性，|k| 的几何意义是矩形面积。
知识梳理 · 核心概念与性质
反比例函数的定义
一般地，形如 （ 为常数，）的函数叫做反比例函数。
等价形式：，。
自变量 的取值范围是 的一切实数，函数值 。
反比例函数的图象
图象是双曲线，由两支曲线组成，关于原点成中心对称。
时，两支曲线分别位于第一、三象限； 时，位于第二、四象限。
越大，双曲线离坐标轴越远（开口越大）。
反比例函数的性质
当 时，在每个象限内， 随 的增大而减小。
当 时，在每个象限内， 随 的增大而增大。
注意：必须强调“在每个象限内”，跨象限不具备单调性。
比例系数 k 的几何意义
过双曲线上任意一点作 轴、 轴的垂线，所得矩形的面积为 |k|
该点与原点连线所围成的直角三角形面积为
常用于已知面积求 值，或已知 求图形面积。
反比例函数与一次函数的综合
求交点：联立两个函数解析式，解方程组，转化为一元二次方程求解。
利用图象解不等式：比较两个函数图象的上下位置，确定自变量的取值范围。
对称性：正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称。
反比例函数的实际应用
常见模型：行程问题（）、工程问题、物理问题（压强、杠杆、电流与电阻等）。
解题步骤：①分析题意，找出两个变量之间的反比例关系；②设出解析式 ；③代入已知数据求 ；④利用解析式解决具体问题。
知识总结表
类别 内容/公式 重要性质
定义 自变量
图象 双曲线，两支，关于原点对称 一三象限， 二四象限
增减性 在每个象限内 递减， 递增
k 的几何意义 矩形面积 = |k| 三角形面积
与一次函数综合 求交点、解不等式 数形结合，利用对称性
实际应用 行程、杠杆、压强等 待定系数法求解析式
核心考点 · 6类题型方法精讲
【考点1】反比例函数的定义 （题1-3）
方法总结
判断一个函数是否为反比例函数，关键看能否化为 或 （）的形式。
注意：分母必须为单独的 ，不能有常数项或其他形式。
已知函数为反比例函数求参数：指数为 -1 且系数不为 0，列方程组求解。
1．（2024秋 浦东新区校级期末）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（　　）
A．y＝5x+1 B．y＝﹣6x C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可．
【解答】解：A、函数y＝5x+1是一次函数，不符合题意；
B、函数y＝﹣6x是正比例函数，不符合题意；
C、函数y不是反比例函数，不符合题意；
D、函数y是反比例函数，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的定义，熟知形如的函数叫反比例函数是解题的关键．
2．（2024秋 浦东新区校级期中）若是反比例函数，则n的值为 　﹣1　 ．
【答案】﹣1．
【分析】根据反比例函数的定义得n2+n﹣1＝﹣1且n2+2n≠0，由此解出n的值即可．
【解答】解：∵函数是反比例函数，
∴n2+n﹣1＝﹣1且n2+2n≠0，
由n2+n﹣1＝﹣1，解得：n＝0，或n＝﹣1，
由n2+2n≠0，解得：n≠0且n≠﹣2，
∴n＝﹣1，
即当n＝﹣1时，是反比例函数．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，正确理解反比例函数的定义是解决问题的关键．
3．（2025秋 虹口区校级期中）下列函数关系式：（1）y；（2）；（3）y；（4）（5），其中表示y是x的反比例函数的是　②③　 （填入序号）．
【答案】②③．
【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y（k≠0），即可判定各函数的类型是否符合题意．
【解答】解：①y是二次函数；
②y是反比例函数；
③y是反比例函数；
④y﹣1不是反比例函数；
⑤y不是反比例函数；
故答案为：②③．
【点评】此题主要考查了反比例函数定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．
【考点2】反比例函数的图象 （题4-8）
方法总结
根据 的符号判断图象所在象限： 一三象限， 二四象限。
在同一坐标系中识别一次函数与反比例函数图象，需结合 的符号及与坐标轴交点分析。
利用图象解不等式：将不等式转化为两个函数值的比较，观察图象上下位置。
描点法画图象：列表、描点、连线，注意自变量取正值和负值。
4．（2024春 普陀区期中）反比例函数与一次函数y＝﹣kx+k在同一坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】因为k的符号不确定，所以应根据k的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答．
【解答】解：当k＜0时，﹣k＞0，反比例函数在二，四象限，一次函数y＝﹣kx+k的图象过一、三、四象限，无符合选项；
当k＞0时，﹣k＜0，反比例函数在一、三象限，一次函数y＝﹣kx+k的图象过一、二、四象限，A选项符合．
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，正确掌握它们的性质才能灵活解题．
5．（2025春 杨浦区期中）已知关于x的函数y＝k（x﹣1）和，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象是下列图中的（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由函数y＝k（x﹣1）知直线必过（1，0）这一点，且两个函数的图象所在象限不同，据此可得．
【解答】解：由函数y＝k（x﹣1）知直线必过（1，0）这一点，且函数y＝k（x﹣1）与函数的图象经过的象限恰好相反，
故选：B．
【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数的图象，根据y＝k（x﹣1）知直线必过（1，0）这一点是解题的关键．
6．（2022秋 虹口区校级月考）利用函数图象解不等式：x+1＞0的解为 x＜﹣1或0＜x＜2　 ．
【答案】x＜﹣1或0＜x＜2．
【分析】在坐标系中画出一次函数y＝x﹣1，反比例函数y的图象，根据图象即可求解，
【解答】解：在坐标系中画出直线y＝x﹣1，反比例函数y，如图所示．
从图象可知：当x＜﹣1或0＜x＜2时，反比例公式y的图象在直线y＝x﹣1的上方．
所以不等式：x+1＞0的解集为：x＜﹣1或0＜x＜2．
故答案为：x＜﹣1或0＜x＜2．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的图象，函数与不等式的关系，画出图象后，利用数形结合即可求解．
7．（2025春 莱州市期末）如图所示是三个反比例函数y，y，y的图象，由此观察k1、k2、k3的大小关系是 k1＜k3＜k2 ．（用“＜”连接）
【答案】k1＜k3＜k2
【分析】反比例函数|k|越大，开口越小，根据反比例函数的图象性质可知．
【解答】解：根据图象可知|k|越大，开口越小，
则k1＜0，k2＞k3＞0，
所以k1，k2，k3的大小关系是k1＜k3＜k2．
故答案为：k1＜k3＜k2．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质，体现了数形结合的思想．
8．（2025 湖里区校级四模）某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现当做功一定时，功率P（单位：W）与做功的时间t（单位：s）存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据：
t（单位：s） 10 20 30 40 50
P（单位：W） 120 60 40 30 24
（1）写出功率P（W）与做功的时间t（s）之间的函数关系式；
（2）在平面直角坐标系中，描出上表中以各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）结合图象，求当功率小于100W时，做功时间t的取值范围．
【答案】（1）P．
（2）见解答过程．
（3）t＞12．
【分析】（1）先设出P与t的函数解析式，再把表中一组数据代入解析式即可；
（2）描点连线即可；
（3）把P＝100代入函数解析式即可．
【解答】解：（1）设功率P（W）与做功的时间t（s）之间的函数关系式P（k≠0），
把t＝10，P＝120代入解析式得：120，
解得：k＝1200，
∴功率P（W）与做功的时间t（s）之间的函数关系式为P．
（2）如图所示：
（3）当P＝100时，100，
∴t＝12，
∴当功率小于100W时，做功时间t的取值范围为t＞12．
【点评】此题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是求出反比例函数解析式，用反比例函数的知识解决实际问题．
【考点3】反比例函数的性质 （题9-20）
方法总结
由图象所在象限求参数范围： 或 。
由增减性求参数：在每个象限内 随 增大而减小 → ；增大而增大 → 。
比较函数值大小：先判断点是否在同一象限，若在同象限用增减性，若不在则根据函数值的正负直接判断。
利用 的几何意义：矩形面积 ，常用于求 或比较面积。
9．（2024秋 奉贤区期末）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＜5 B．k＞﹣5 C．k＜﹣5 D．k＞5
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质得5﹣k＜0．
【解答】解：∵反比例函数y的图象分布在第二、四象限，
∴5﹣k＜0，
解得k＞5，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大是解题的关键．
10．（2024秋 上海校级期末）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（　　）
①函数图象经过点（1，﹣1）；②图象经过第二象限；③当x＞0时，y随x的增大而增大．
A．y＝﹣x B．y＝x﹣2 C．y＝﹣1 D．
【答案】D
【分析】根据一次函数的增减性可得y＝﹣x不满足③；根据一次函数图象与其系数的关系可得y＝x﹣2不满足②；根据平行于x轴的直线的性质可得y＝﹣1不满足③；根据反比例函数的性质可得满足①②③．
【解答】解：根据一次函数与反比例函数图象的性质逐项分析判断如下：
A、在y＝﹣x中，一次项系数小于0，则y随x的增大而减小，不符合③，不符合题意；
B、在y＝x﹣2中，一次项系数大于0，常数项小于0，则该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，不符合题意；
C、y＝﹣1中，y不随着x的变化而变化，不符合③，不符合题意；
D、在中，﹣1＜0，则该函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，当x＝1时，，则该函数图象经过点（1，﹣1），故该函数满足①②③，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的性质，熟练掌握该知识点是关键．
11．（2025 徐汇区模拟）如果反比例函数y（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限，那么一次函数y＝kx﹣k的图象一定经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
【答案】B
【分析】根据反比例函数的图象可得k＞0，进一步即可确定一次函数y＝kx﹣k的图象．
【解答】解：∵反比例函数y（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限，
∴k＞0，
∴﹣k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、三、四象限，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数的关系是解题的关键．
12．（2025春 闵行区期末）下列函数中，y的值随x的增大而减小的是（　　）
A．y＝﹣x B．y＝2x+1 C．y＝2 D．
【答案】A
【分析】根据一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性进行判断即可．
【解答】解：A、∵k＝﹣1＜0，所以函数y＝﹣x，y随x的增大而减小，故本选项符合题意；
B、∵k＝2＞0，所以函数y＝2x+1，y的值随x值的增大而增大，故本选项不符合题意；
C、y＝2是平行于x轴的直线，故本选项不符合题意；
D、∵k＝﹣2＜0，则y在每一象限内，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数，反比例函数以及二次函数的图象与性质，熟练掌握这些函数的增减性与系数的关系是解题的关键．
13．（2025 奉贤区二模）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（　　）
A．x＞0时，y的值随x的增大而减小
B．x＜0时，y的值随x的增大而增大
C．图象不经过第二象限
D．图象不经过第四象限
【答案】C
【分析】函数y可看作是由反比例函数y经过平移得到的．我们可以通过分析函数的单调性、函数值的正负等性质来判断各选项．
【解答】解：反比例函数y向右平移2个单位即可得到函数y，
A、x＜2或x＞2时，y的值随x的增大而减小，故不符合题意；
B、x＜0时，y的值随x的增大而减小，故不符合题意；
C、图象不经过第二象限，故符合题意；
D、图象经过第四象限，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是关键．
14．（2025 浦东新区校级模拟）已知反比例函数的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是 k＞1　 ．
【答案】k＞1．
【分析】根据反比例函数的性质进行作答，当反比例函数系数k＞0时，它图象所在的每个象限内y随x的增大而减小．
【解答】解：∵在每个象限内，y随着x的增大而减小，
∴k﹣1＞0，即k＞1，
故答案为：k＞1．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，对于反比例函数y（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大．
15．（2024秋 浦东新区校级期末）若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是 k＜1　 ．
【答案】k＜1
【分析】根据题意可得出1﹣k＞0，求解即可．
【解答】解：由条件可知1﹣k＞0，
解得：k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查反比例函数的图象与性质．掌握反比例函数，当k＞0时，图象位于第一、三象限；当k＜0时，图象位于第二、四象限是解题关键．
16．（2025秋 虹口区校级期中）反比例函数，已知在每个象限内，g（x）的函数值随着x的增大而增大，且当1≤x≤2时，函数f（x）的最大值是a，函数g（x）的最小值是a﹣2．设p＝|g（m）|，q＝|g（m﹣a）|（m≠0且m≠a），请写出p≤q时m的取值范围　且m≠1　 ．
【答案】且m≠1．
【分析】首先根据g（x）的函数值随着x的增大而增大，可知k＞0，根据当1≤x≤2时，函数f（x）的最大值是a，函数g（x）的最小值是a﹣2可知k＝a＝1，可得：，，分情况列不等式求解即可．
【解答】解：∵在每个象限内，的函数值随着x的增大而增大，
∴﹣k＜0，
可得：k＞0，
∴反比例函数在每个象限内随着x的增大而减小，
∵当1≤x≤2时，函数f（x）的最大值是a，
∴，即k＝a，
∵当1≤x≤2时，函数g（x）的最小值是a﹣2，
∴，
解得：a＝1，
可得：，，
∴，，
∵p≤q，
∴且m﹣1≠0，
当m＞1时，m＞m﹣1＞0，
∴，
∴成立；
当0＜m＜1时，，，
∵，
∴，
解得：；
当m＜0时，m﹣1＜m，
∴，
∴；
综上所述，m的取值范围是且m≠1．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
17．（2024秋 黄浦区期末）反比例函数的图象在第一、三象限，那么 　2﹣m ．
【答案】2﹣m．
【分析】根据反比例函数的性质可得2﹣m＞0，再根据二次根式的性质即可得到结论．
【解答】解：∵的图象在第一、三象限，
∴2﹣m＞0，
∴m﹣2＜0，
∴|m﹣2|＝2﹣m，
故答案为：2﹣m．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
18．（2024秋 松江区期中）如果反比例函数的图象经过第一、三象限，那么k的取值范围是 k＜1　 ．
【答案】k＜1
【分析】利用反比例函数的性质求解．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过第一、三象限，
∴k＞0，
∴k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质．
19．（2026 拱墅区校级开学）如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），C（0，6），反比例函数图象L1对应的函数表达式为，反比例函数图象L2对应的函数表达式为.把矩形ABCO内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为“整数点”．
（1）若k＝﹣12，则L2和L1之间（不含边界）有　4　 个“整数点”；
（2）若L2和L1之间（不含边界）有4个“整数点”，求k的取值范围．
【答案】（1）4．
（2）﹣12≤k＜﹣10或﹣4＜k≤﹣3．
【分析】（1）L2经过（﹣2，6），（﹣3，4），（﹣4，3）画出图象；
（2）根据图象求k的范围．
【解答】解：（1）当k＝﹣12时，y经过（﹣2，6），（﹣3，4），（﹣4，3），
如图，画出L2的图象，
由图可知：L2和L1之间（不含边界）有4个优点，
故答案为：4．
（2）如果L2和L1之间（不含边界）有4个“优点”，分别为（﹣2，5），（﹣2，4），（﹣3，3），（﹣4，2）时，﹣12≤k＜﹣10；
如果L2和L1之间（不含边界）有4个“优点”，分别为（﹣1，5），（﹣1，4），（﹣2，2），（﹣4，1）时，﹣4＜k≤﹣3；
故答案为：﹣12≤k＜﹣10或﹣4＜k≤﹣3．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，读懂题意，在网格中画出反比例函数图象是解题的关键．
20．（2025秋 路南区期末）已知反比例函数y，（k为常数，k≠1）．
（1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值；
（2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围；
（3）若k＝13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据反比例函数图象的性质得到：k﹣1＜0，由此求得k的取值范围；
（3）把点B、C的坐标代入函数解析式进行一一验证．
【解答】解：（1）∵点A（1，2）在这个函数的图象上，
∴k﹣1＝1×2，
解得k＝3；
（2）∵在函数y图象的每一支上，y随x的增大而增大，
∴k﹣1＜0，
解得k＜1；
（3）点C不在这个函数的图象上，理由如下：
∵k＝13，有k﹣1＝12，
∴反比例函数的解析式为y．
将点B的坐标代入y，可知点B的坐标满足函数关系式，
∴点B在函数y的图象上，
将点C的坐标代入y，由5，可知点C的坐标不满足函数关系式，
∴点C不在函数y的图象上．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
【考点4】根据实际问题列反比例函数关系式 （题21-27）
方法总结
从实际情境中找出两个变量，判断它们是否为反比例关系（乘积为定值）。
设出解析式 ，利用已知数据（表格中的点）求出 。
注意自变量的实际意义（如时间、长度等通常为正数）。
结合不等式解决取值范围问题，如“不超过”“至少”等。
21．（2025秋 唐山期末）夕夕家到学校的路程为3km，到校所需时间t（单位：h）随平均速度v（单位：km/h）的变化而变化，则t与v的函数表达式是（　　）
A．t＝3 v B． C．t＝3v2 D．
【答案】D
【分析】根据路程、速度和时间的基本关系，时间t等于路程除以速度v，据此进行列式计算，即可作答．
【解答】解：由条件可知3＝vt，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握该知识点是关键．
22．（2025秋 皇姑区期末）某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为1.2万元，前期付款4000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款额y（元）与付款月数x（x取正整数）之间的函数关系式是（　　）
A．y B．y C．y D．y＝8000x
【答案】A
【分析】根据购买的电脑价格为1.2万元，交了首付4000元之后每期付款y元，x个月结清余款，得出xy+4000＝12000，即可求出解析式．
【解答】解：∵购买的电脑价格为1.2万元，交了首付4000元之后每期付款y元，x个月结清余款，
∴xy+4000＝12000，
∴y（x取正整数）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，注意先根据等量关系得出方程，难度一般．
23．（2025 梅州一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（4，0），以OA为边，在x轴上方作正方形OABC，动点P从点A出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．线段CP交AB于点M．设点P运动时间为t秒，△BCM的面积为S，则S关于t的函数表达式为（　　）
A．S＝8﹣2t B．S＝8﹣t2 C． D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的性质求解．
【解答】解：由题意得：BC＝AB＝OC＝OA＝4，BC∥OA，
∴△APM∽△BCM，
∴，即，
解得：BM，
∴S4 ，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题列反比例函数关系式，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
24．（2024秋 嘉定区校级期末）在描述一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向x轴，y轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2024，”根据甲同学所描述，此反比例函数的解析式是y＝±　 ．
【答案】y＝±．
【分析】根据甲同学的说法确定|k|＝2024，得到反比例函数的解析式即可．
【解答】解：根据题意，满足甲同学说法的反比例函数解析式为：y＝±，
故答案为：y＝±．
【点评】本题考查了根据实际问题列反比例函数的解析式，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，熟知以上知识是解题的关键．
25．（2024 普陀区校级三模）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例（即），已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5m，则y与x之间的函数关系式是y　 ．
【答案】y
【分析】由于近视镜度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成反比例关系可设y，由200度近视镜的镜片焦距是0.5米先求得k的值．
【解答】解：由题意设y，
由于点（0.5，200）适合这个函数解析式，则k＝0.5×200＝100，
∴y．
故眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为：y．
故答案为：y．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
26．（2025 南岗区校级三模）生活中做拉面的过程就渗透着数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（cm）是面条粗细（横截面面积）x（cm2）反比例函数，其图象如图所示，则y与x之间的函数关系式为（写出自变量的取值范围）　（x＞0 ）　 ．
【答案】（x＞0 ）
【分析】因为面条的总长度y（cm）是面条粗细（横截面面积）x（cm2）反比例函数，且从图象上可看出过（0.04，3200），从而可确定函数式．因为在第一象限，所以x＞0．
【解答】解：根据题意得：y，过（0.04，3200）．
k＝xy＝0.04×3200＝128．
∴y（x＞0）．
故答案为：y（x＞0）．
【点评】本题考查根据实际问题反比例函数关系式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
27．（2025秋 天台县期末）阅读与思考．
下面是小天同学学习了“反比例函数的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足I的反比例函数关系，它的图象如图所示． 问题一：请写出这个反比例函数的表达式：I　 ．
问题二：如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过12A，那么该用电器变阻器的阻值应控制在什么范围？
方法 分析问题 解答过程
解法一 I中，电流I≤12，可以得到关于R的不等式并求解． 解：∵I＝　　 ，且I≤12， ∴　　 ≤12， ∵R＞0， ∴12R≥■，（依据：★） ∴●．
解法二 由I，可以求出当电流I＝12时相应的R值，再通过反比例函数的增减性求R的取值范围．
任务：
（1）问题一中反比例函数的表达式为I　 ；
（2）问题二中■表示：　60　 ，★表示：　不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变　 ，●表示：R≥5　 ；
（3）完成问题二中解法二的解答过程．
【答案】（1）I；
（2，，60，不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，R≥5；
（3）R≥35．
【分析】（1）根据函数图象上点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出U值，进而可得出反比例函数的表达式；
（2）由I，且I≤12，可得出12，结合R＞0，即可求出R的取值范围；
（3）利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出当I＝12时R的值，由60＞0且R＞0，利用反比例函数的性质，可得出I随R的增大而减小，再结合I≤12，即可求出R的取值范围．
【解答】解：（1）∵反比例函数I的图象过点（10，6），
∴6，
∴U＝60，
∴反比例函数的表达式为I；
故答案为：I；
（2）∵I，且I≤12，
∴12，
∵R＞0，
∴12R≥60（不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变），
∴R≥5．
故答案为：，，60，不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，R≥5；
（3）解法二：当I＝12时，12，
解得：R＝5，
∵60＞0，且R＞0，
∴I随R的增大而减小，
又∵I≤12，
∴R≥35．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、不等式的性质以及反比例函数的性质，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出U值；（2）利用不等式的性质，求出R的取值范围；（3）利用反比例函数的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，求出R的取值范围．
【考点5】反比例函数的应用 （题28-36）
方法总结
常见题型：物理问题（杠杆、压强、电流）、行程问题、工程问题、消毒问题等。
解题关键：根据题意建立反比例函数模型，利用待定系数法求解析式。
涉及分段函数（如大棚温度、药物释放）时，需先分段求出解析式，再综合应用。
利用反比例函数的增减性求最值或取值范围。
28．（2024秋 静安区校级期末）已知长方形的两条边长为x、y，面积是4，那么y关于x的函数的图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据长方形的面积公式得出xy＝4，即，且x＞0，据此即可求解．
【解答】解：依题意xy＝4，即，且x＞0，
∴y关于x的函数的图象反比例函数图象，且图象在第一象限，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数的性质和图象是解题的关键．
29．（2024秋 上海校级期中）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，则动力F关于动力臂l的函数图象为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂写出F与l之间的函数关系式，从而判断其图象即可．
【解答】解：根据题意，得Fl＝1200×0.5，
∴F与l之间的函数关系式为F，为反比例函数，
∵l＞0，
∴B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的应用，根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂写出F与l之间的函数关系式是解题的关键．
30．（2024秋 静安区校级月考）为了预防“流感”，某学校对教室采取“药熏”消毒，教室内每立方米的含药量y（毫克）与时间x（分）成正比例；药物燃烧结束后，药量y（毫克）与时间x（分）成反比例；这两个变量之间的关系如图所示．说法错误的是（　　）
A．第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小
B．第12分钟时，教室内的含药量为4毫克/立方米
C．第50分钟时，教室内含药量为0毫克
D．教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间为12分钟
【答案】C
【分析】根据图象可知，第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小，即可判断选项A；利用待定系数法解得当0≤x＜8时和x≥8时，y关于x的函数解析式，再将x＝12代入并求值，即可确定第12分钟时，教室内的含药量，即可判断选项B；将x＝50代入并求值，可知第50分钟时，教室内含药量为毫克/立方米，即可判断选项C；若y＝3，分别求得0≤x＜8和x≥8阶段x的值，可求得教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间，即可判断选项D．
【解答】解：由图象可知，第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小，
故选项A正确，不符合题意；
当0≤x＜8时，设直线解析式为y＝k1x（k1≠0），
∴6＝8k1，解得，
∴此阶段y关于x的函数解析式为，
当x≥8时，设此阶段y关于x的函数解析式为，
∴，解得k2＝48，
∴y关于x的函数解析式为，
当x＝12时，可有（毫克/立方米），
即第12分钟时，教室内的含药量为4毫克/立方米，故选项B正确，不符合题意；
当x＝50时，可有（毫克/立方米），
即第50分钟时，教室内含药量为毫克/立方米，故选项C错误，符合题意；
当0≤x＜8时，若y＝3，则，解得x＝4（分钟），
当x≥8时，若y＝3，则，解得x＝16（分钟），
则教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间为16﹣4＝12分钟，故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，理解题意，结合函数图象获得所需信息是解题关键．
31．（2025秋 虹口区校级期中）近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）的关系式满足.小华原来佩戴400度近视眼镜，复查验光时，所配镜片焦距调整为0.4m，则他的近视度数　下降　 （上涨/下降）了　150　 度．
【答案】下降了，150．
【分析】根据眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的关系式满足，小明原来佩戴400度近视眼镜，矫正治疗后所配镜片焦距调整为0.4m，可求出现在小明佩戴的眼镜度数，两次比较，即可求解．
【解答】解：根据题意得，矫正治疗后所配镜片焦距调整为0.4m，
∴y250，即矫正治疗后小明佩戴的眼镜度数是250，小明原来佩戴400度，
∴400﹣250＝150，即下降了150度，
故答案为：下降，150．
【点评】本题主要考查反比例函数的实际运用，将矫正治疗后所配镜片焦距调整为0.4m代入反比例函数求出矫正后的度数，再与原来的度数比较是解题的关键．
32．（2024秋 闵行区期末）已知某种近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数解析式为，如果测得该近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么该近视眼镜的度数为 　400　 度．
【答案】400
【分析】把近视眼镜镜片的焦距为0.25米代入函数解析式就可解决问题．
【解答】解：把x＝0.25代入，
解得y＝400，
所以他的眼睛近视400度．
故答案为：400．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，本题实际上是已知自变量的值求函数值的问题，比较简单．
33．（2024秋 静安区校级期中）当温度不变时，某气球内的气压p（kPa）与气体体积V（m3）成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压p＞170kPa时．气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V满足的条件是 V　 ．
【答案】V．
【分析】根据图象可知，函数图象是反比例函数，且过点（1.6，60），将点（1.6，60）代入反函数解析式即可求得k的值，从而得出函数解析式，再根据p的范围即可得出答案．
【解答】解：设球内气体的气压p（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为p，
∵图象过点（1.6，60），
∴60，
∴k＝96，
由已知得p图象在第一象限内，
∴p随V的增大而减小，
∴当p＞170时，170
V．
故答案为：V．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．
34．（2025秋 闵行区期末）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示．
表一：地面所受压强与接触面积之间的关系
地面所受压强p（Pa） … 4×104 6×104 8×104 1×105 …
接触面积S（m2） … 1.2×10﹣3 8×10﹣4 6×10﹣4 4.8×10﹣4 …
表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系
地面材质 玻璃 木地板 大理石
能承受的最大压强p（Pa） 4.8×107 2.4×107 2.5×108
（1）求地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式（不写定义域）；
（2）求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？
【答案】（1）地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p．
（2）该机器人与地面的接触面积至少为1.92×10﹣6平方米．
【分析】（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系，设地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p，将一对数据代入即可求出F的值．
（2）将p＝2.5×108Pa代入（1）中所求函数表达式中，即可求出这种机器人与玻璃通道的最小接触面积．
【解答】解：（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系．
设地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p．
将（4×104，1.2×10﹣2）代入p，得F＝4×104×1.2×10﹣2＝4.8×102，
∴地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p．
（2）把p＝2.5×108代入p得，S＝1.92×10﹣6，
答：该机器人与地面的接触面积至少为1.92×10﹣6平方米．
【点评】本题主要考查了以物理知识为情境的反比例函数的应用相关知识，知道物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关系是解题的关键．计算时需要仔细．
35．（2024秋 黄浦区期末）小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量y（毫克/立方米）与时间x（月）成正比例．施工结束后，y与x成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题：
（1）施工过程中y关于x的函数解析式是 y＝1.25x（0≤x≤0.8）　 ；
（2）已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于0.08毫克/立方米，按照这个标准，请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？
（3）施工开始后的第2个月底到第4个月底，室内的甲醛含量一直在下降，假设这两个月每个月甲醛含量降低的百分率相同，求这个降低的百分率．（，结果精确到1%）
【答案】（1）施工过程中y关于x的函数解析式为：y＝1.25x（0≤x≤0.8）；
（2）小明一家从施工开始计算，至少经过10个月才可以入住；
（3）降低的百分率约为29%．
【分析】（1）施工过程中y与x成正比例函数，设出正比例函数解析式，把（0.8，1）代入即可求得相应的函数解析式；
（2）当x＞0.8时，y与x成反比例函数解析式，设出反比例函数解析式，把（0.8，1）代入即可求得相应的函数解析式，进而取y＝0.08，得到相应的x的值即为可以入住的时间；
（3）取x＝2，x＝4，得到相应的y的值，进而设降低的百分率为m，根据2月底的甲醛含量（1﹣降低的百分率）2＝4月底的甲醛含量，计算后取得合适的解即可．
【解答】解：（1）当0≤x≤0.8时，设y＝kx，
∵经过点（0.8，1），
∴0.8k＝1，
解得：k＝1.25，
∴y＝1.25x；
∴施工过程中y关于x的函数解析式为：y＝1.25x（0≤x≤0.8）．
故答案为：y＝1.25x（0≤x≤0.8）；
（2）当x＞0.8时，设y，
∵经过点（0.8，1），
∴a＝0.8，
∴y，
当y＝0.08时，x＝10．
答：小明一家从施工开始计算，至少经过10个月才可以入住；
（3）当x＝2时，y＝0.4，
当x＝4时，y＝0.2．
设这两个月降低的百分率为m，
0.4（1﹣m）2＝0.2，
（1﹣m）2，
解得：m1＝1（不合题意，舍去），m2＝10.293≈29%．
答：降低的百分率约为29%．
【点评】本题综合考查反比例函数的应用．用待定系数法求得不同取值范围内的函数解析式是解决本题的关键．
36．（2024秋 静安区校级期末）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段OB、BC表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤5）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大棚内的温度低于10℃不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？
【答案】（1）y＝4x（0≤x≤5）；
（2）20℃；
（3）17.5小时．
【分析】（1）根据图象设正比例函数解析式为y＝kx，根据图象可知函数解析式；
（2）把x＝5代入解析式y＝4x（0≤x≤5），即可求出恒定温度；
（3）根据图象可知整个图象由三部分组成：正比例函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式；根据各时间段的函数解析式算出y＝10时x的值，用24小时减去这些时间即可．
【解答】解：（1）设直线OB的函数解析式为：y＝kx（k≠0），根据题意，
∴可得方程8＝2k，
∴k＝4，
∴正比例函数解析式为y＝4x（0≤x≤5）；
根据图象可知：y＝20（5≤x≤10）；
（2）∵y＝4x（0≤x≤5）；
当x＝5时，y＝20，
∴恒定温度为：20℃．
（3）设10≤x≤24小时内函数解析式为：，
根据题意，可得方程：，
∴k＝200，
∴函数解析式为：，
∴24小时函数解析式为：，
∵当0≤x≤5时，10＝4x，
∴x＝2.5，
∵当10≤x≤24时，，
∴x＝20，
∴在20时～24时4小时之间是气温是低于10℃的，
∴气温低于10℃的总时间为：2.5+4＝6.5（h），
∴气温高于10℃的适宜温度是：24﹣6.5＝17.5（h）．
答：相对有利于水果生长的时间共17.5小时．
【点评】本题考查了一次函数、反比例函数和常函数解析式，解答本题的关键是找出临界点．
【考点6】创新及压轴题 （题37-44）
方法总结
新定义问题（如“优惠率”“整数点”）：理解定义，转化为常规函数问题求解。
反比例函数与几何综合（如菱形、矩形、三角形面积）：利用 的几何意义、中点坐标、勾股定理等列方程。
动点问题：用时间表示坐标，根据面积关系列方程，注意分类讨论。
与一次函数结合的综合题：求交点、面积、平行四边形存在性等，常需联立方程并分类。
37．（2025 浦东新区校级一模）电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m．温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
（1）求R1关于U0的函数解析式；
（2）用含U0的代数式表示m；
（3）若电压表量程为0～6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
【答案】（1）；
（2）；
（3）115千克．
【分析】（1）通过串联电路中电流处处相等和可以列出等量关系，然后再化简为R1关于U0的函数解析式；
（2）先利用待定系数法求出k，b，把第（1）问求出的R1与m的函数解析式代入第（2）中的R1与U0的关系式中消去R1，然后变形；
（3）利用第（3）问中U0与m的关系式，结合0≤U0≤6和m关于U0的增减性，得出电子体重秤可称的最大质量m．
【解答】解：（1）由题意得：可变电阻两端的电压＝电源电压﹣电表电压，
即：可变电阻电压＝8﹣U0，
∵，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，
∴．
化简得：，
∵R0＝30，
∴．
（2）将（0，240），（120，0）代入R1＝km+b，
得：，
解得：．
∴R1＝﹣2m+240（0≤m≤120），
将R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）代入，
得：，
化简得：；
（3）∵中k＝﹣120＜0，且0≤U0≤6，
∴m随U0的增大而增大，
∴U0取最大值6的时候，（千克）．
【点评】本题以物理中的电路问题为背景，考查了学生对于求解一次函数和反比例函数关系式的掌握情况，解题的关键是先要求找出两个要求量之间的等量关系，然后化简为要求的表达式，转化过程中需要注意无关量的消去，一般情况下都是用代入法消元来解决这一问题的．第（4）问除应用反比例函数的增减性解题外，也可以将m与U0的关系式转化为关于m的不等式，再代入0≤U0≤6中，求出电子体重秤可称的最大质量m．
38．（2025秋 虹口区校级期中）双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中k代表优惠金额，m代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率P甲、P乙与顾客购买总金额m（元）之间的函数关系分别如图所示，其中P乙与m成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足200≤m＜400．
（1）k乙＝　100　 ；用含m的代数式表示k甲　＝0.4m ；
（2）当购买总金额m（元）在200≤m＜400的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么甲：　打6折促销　 乙：　优惠100元　 ；
（3）完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（200≤m＜400），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由．
【答案】（1）100，k甲＝0.4m；
（2）打6折促销，优惠100元；
（3）当200≤m＜250时，甲商场更优惠；当250＜m＜400时，乙商场更优惠．
【分析】（1）把m＝200，p乙＝0.5代入中即可求得k乙，然后根据P甲始终为0.4可得k甲与m的关系；
（2）根据（1）的结论和图象即可得出结果；
（3）先根据（2）题的促销方案求出在两家商场购买花钱一样多时的m的值，再结合图象分类求解即可．
【解答】解：（1）由条件可得k乙＝100，
由于P甲始终为0.4，即，
∴k甲＝0.4m；
故答案为：100，k甲＝0.4m；
（2）由（1）及优惠率p的含义可知：当购买总金额都为m元，且在200≤m＜400的条件下时
甲家商场采取的促销方案是：打6折促销，
乙家商场采取的促销方案是：优惠100元，
故答案为：打6折促销，优惠100元；
（3）当200≤m≤400时，甲家商场需花0.6m元，乙家商场需花（m﹣100）元，
当m﹣100＝0.6m时，解得m＝250，即当m＝250时，在两家商场购买花钱一样多，
再由图象易知，当200≤m＜250时，乙商场更优惠；当250＜m≤400时，甲商场更优惠．
【点评】本题考查了反比例函数的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意、从题目中得出反比例函数的模型．
39．（2025春 上海月考）综合与实践
如图，某校数学兴趣小组取一根长为100cm的匀质木杆，把细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起．在中点O左侧距离中点30cm处挂一个重9.8N的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm），观察弹簧秤的示数F（单位：N）有什么变化，得到如表：
L/cm 5 10 15 20 25 30 35 40
F/N 58.8 29.4 19.6 14.7 16 9.8 8.4 7.35
指导老师发现其中有一组数据明显是错误的．
（1）当L＝　25　 cm时，所对应的F的值明显是错误的；
（2）写出F与L之间的函数关系式，并求当弹簧秤的示数F是12N时，弹簧秤与中点O之间的距离L．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据表中数据，可发现L与F的乘积为定值294，从而可得答案；
（2）根据FL＝294得出F与L之间的函数关系式，并把f＝12代入解析式求值即可．
【解答】解：（1）根据表中数据，可发现L与F的乘积为定值294，
所以第5组数据是错误的，
即当L＝25cm时，所对应的F的值明显是错误的，
故答案为：25；
（2）∵FL＝294，
∴F与L之间的函数关系式为F，
当F＝12时，L24.5，
∴弹簧秤与中点O之间的距离L为24.5cm．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出F与L的积为定值，从而得出函数关系式．
40．（2024秋 浦东新区校级期中）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？
器材：如图1所示的一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动．已知OA＝OC＝12cm，BC＝28cm，一个100g的砝码．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量×OA＝右盘物体重量×OP（不计托盘与横梁重量）．
任务1：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的重量为y（g），OP长x（cm）．当天平平衡时，求y关于x的函数表达式，并求y的取值范围．
任务2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图2．滑动点P至点B，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点P移动到PC长为12cm时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的重量．
【答案】任务1：y关于x的函数表达式为：y的取值范围为30≤y≤100．
任务2：空矿泉水瓶的重量为10g．
【分析】（1）根据天平的杠杆原理，可以列出可以列出y与x之间的关系式：100×12＝y x．即可得到反比例函数的解析式，再根据x的取值范围求出y的取值范围；
（2）根据题意列出方程组，求解即可．
【解答】解：任务1：根据链接中给的杠杆原理，可以列出y与x之间的关系式：100×12＝y x．
将其化为y关于x的函数表达式：y，
由于OB＝OC+BC＝12+28＝40（cm）．
∴OC≤x≤OB，即为12≤x≤40．
∴y的取值范围为30≤y≤100（ g ）．
任务2：根据素材2，设第一次加入水的质量为a（g），空矿泉水瓶的质量为b（g）．
第一次称量时，x＝OB＝40，y＝a+b，
根据杠杆原理列出方程：40（a+b）＝1200．
第二次称量时，x＝OC+PC＝12+12＝24，y＝2a+b，
根据杠杆原理列出方程：24（2a+b ）＝1200．
可得方程组，
解得，
因此可得，空矿泉水瓶的重量为10g．
【点评】本题考查反比例函数的实际应用．
41．（2024秋 闵行区期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（　　）
A．S1＝S2+S3 B．S2＝S3 C．S3＞S2＞S1 D．S1S2＜S2S3
【答案】B
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论．
【解答】解：根据条件可得：，，
∴S△AOD＞S△BOE﹣S△OME＝S△COF﹣S△OME，
∴S1＞S2＝S3．
故答案为：B．
【点评】本题考查了反比例函数的k值几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
42．（2023秋 青浦区校级期中）函数和在第一象限内的图象如图所示，点P是的图象上一动点，作PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，作PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CAAP，其中所有正确结论的序号是 　①③④　 ．
【答案】①③④
【分析】由于A、B是反比函数y上的点，可得出S△OBD＝S△OAC，故①正确；当P的横纵坐标相等时PA＝PB，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形PAOB的面积为定值，故③正确；连接PO，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．
【解答】解：∵A、B是反比函数y上的点，
∴S△OBD＝S△OAC，故①正确；
∵当P的横纵坐标相等时PA＝PB，故②错误；
∵P是反比例函数y上的点，
∴S矩形PDOC＝4，
∴S四边形PAOB＝S矩形PDOC﹣S△ODB﹣S△OAC＝43，故③正确；
连接OP，
∵4，
∴ACPC，PAPC，
∴3，
即ACPA．
故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．
43．（2026 闵行区校级开学）如图，已知点（1，3）在函数y（x＞0）的图象上，长方形ABCD的边BC在x轴上，函数y（x＞0）的图象又经过点A，A的纵坐标为，且OB：BC＝1：2．
（1）求k的值；
（2）求△OCD的面积；
（3）当∠ABD＝45°时，求m的值．
【答案】（1）3．
（2）．
（3）．
【分析】（1）将点（1，3）代入解析式可求k的值，即可求解；
（2）求出点C，D两点坐标，可知结论；
（3）当∠ABD＝45°时，根据AB＝BD，构建方程即可求解．
【解答】解（1）∵点（1，3）在函数y的图象上，
∴3，
∴k＝3；
（2）由题意A（m，），OB：BC＝1：2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCO＝90°，B（m，0），C（m，0），D（m，），
∴OCm，CD，
∴S△OCD OC CDm；
（3）当∠ABD＝45°时，AB＝AD，
则m，
∴m2＝6，
∵m＞0，
∴m．
【点评】本题考查反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，矩形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
44．（2026 闵行区校级开学）如图，一次函数y＝k1x+1的图象与反比例函数点的图象相交于A、B两点，点C在x轴正半轴上，点D（1，﹣2），连接OB、OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围；
（3）设点P是直线AB上一动点，是否存在点P，使，若存在，请直接写出满足条件点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）一次函数的解析式为y＝x+1；反比例函数的解析式为；
（2）x＜﹣2或0＜x＜1；
（3）存在点P，使；点P的坐标为（﹣3，﹣2）或（5，6）．
【分析】（1）由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数解析式可求得k1和k2值；
（2）先联立直线和双曲线求得点B的坐标，根据图象求解即可；
（3）根据菱形的性质可求得C点坐标，可求得菱形面积，设P点坐标为（a，a+1），根据条件可得到关于a的方程，可求得P点坐标．
【解答】解：（1）如图，四边形AODC是菱形，连接AD，交x轴于点E，
∴AD⊥OC，AE＝DE，EC＝OE，
∵D（1，﹣2），
∴OE＝1，ED＝2，
∴AE＝DE＝2，EC＝OE＝1，
∴A（1，2），
一次函数y＝k1x+1的图象与反比例函数点的图象相交于A、B两点，将点A的坐标代入直线y＝k1x+1得：
k1+1＝2，
解得：k1＝1，
将点A的坐标代入反比例函数得：
，
解得：k2＝2；
∴一次函数的解析式为y＝x+1；反比例函数的解析式为；
（2）反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1；理由如下：
联立得：，
解得：或，
∴A（1，2），B（﹣2，﹣1），
由图象可知，反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1；
（3）存在点P，使；点P的坐标为（﹣3，﹣2）或（5，6）．理由如下：
∵OC＝2OE＝2，AD＝2DE＝4，
∴，
∵，
∴S△OAP＝2，
设P点坐标为（a，a+1），
则F（0，1），
∴OF＝1，
∵，
当P在A的左侧时，，
∴a＝﹣3，a+1＝﹣2，
∴P（﹣3，﹣2），
当P在A的右侧时，，
∴a＝5，a+1＝6，
∴P（5，6），
综上所述，存在点P，使；点P的坐标为（﹣3，﹣2）或（5，6）．
【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了菱形的性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点，坐标与图形性质，利用函数图象解不等式，利用了数形结合的思想，熟练掌握反比例函数性质是解答本题的关键．
随堂检测 · 对应知识点
练习1 一次函数与反比例函数图象综合判断（根据 符号判断图象位置）
练习2 反比例函数的增减性（给定 ，判断 随 的变化）
练习3 反比例函数的增减性求参数范围
练习4 反比例函数与一次函数实际应用（行程问题、函数图象分析）
1．（2025春 崇明区校级期中）函数y＝kx﹣k与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的图象与性质分析判断即可．
【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，选项中没有符合条件的图象；
当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A选项的图象符合要求．
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟练掌握以上知识点是关键．
2．（2025秋 宝山区校级月考）已知反比例函数，那么y值随x值的增大而 　减小　 （从“增大”或“减小”中选择）．
【答案】减小．
【分析】根据反比例函数的性质解答即可．
【解答】解：∵k＞0，
∴当x＞0时，y的值随x的值增大而减小，
故答案为：减小．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数y中，当k＞0，在每一象限内y随x的增大而减小是解题的关键．
3．（2025春 浦东新区校级月考）已知反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是　　 ．
【答案】．
【分析】根据反比例函数的性质可得4m+1＜0，求解即可．
【解答】解：由题意得，4m+1＜0，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4．（2024秋 浦东新区校级期末）小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段OA与双曲线（一支）分别表示两人离家的距离y（km）与小王的行驶时间t（h）之间的函数关系的图象，请解决以下问题．
（1）线段OA的函数表达式为 y＝10x ；
（2）曲线CD的函数表达式为 y　 ；
（3）点K的坐标为 　（，﹣2）　 ；
（4）设小王和妈妈两人之间的距离为S（km），当S≤2时，求t的取值范围．
【答案】（1）y＝10t；
（2）y；
（3）（，﹣2）；
（4）0.2≤t≤0.4．
【分析】（1）设线段OA的函数表达式为y＝kt，把（0.8，8）代入y＝kt解方程得到线段OA的函数表达式为y＝10t；
（2）设曲线CD的函数表达式为y，把（0.1，8）代入y得解方程得到曲线CD的函数表达式为y；
（3）解方程组得即可得到点K的坐标为（，﹣2）；
（4）依据题意，根据题意分3种情况讨论即可．
【解答】解：（1）设线段OA的函数表达式为y＝kt，
把（0.8，8）代入y＝kt得8＝0.8k，
解得k＝10，
∴线段OA的函数表达式为y＝10t，
故答案为：y＝10t；
（2）设曲线CD的函数表达式为y，
把（0.1，8）代入y得，m＝0.1×8＝0.8，
∴曲线CD的函数表达式为y；
故答案为：y；
（3）解方程组得或，
∴点K的坐标为（，﹣2）；
故答案为：（，﹣2）；
（4）当10t＝2时，解得t＝0.2（负根已经舍去），
当10t2时，解得t＝0.4（负根已经舍去），
∴t的取值范围为0.2≤t≤0.4．
【点评】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，利用函数解析式进行解答．
课后巩固 · 核心作业知识点
题1 反比例函数图象与性质（判断象限、增减性、与坐标轴交点）
题2 一次函数与反比例函数图象综合判断
题3 反比例函数图象所在象限求参数范围
题4 反比例函数图象所在象限求参数范围
题5 反比例函数实际应用（大棚温度、分段函数）
题6 反比例函数与一次函数综合应用（电动车速度问题）
题7 反比例函数实际应用（骑行问题）
题8 反比例函数与一次函数综合（平移、角度、面积）
题9 反比例函数与一次函数综合（平移、直角三角形面积）
1．（2025 普陀区三模）关于函数y，下列说法中正确的是（　　）
A．图象位于第一、三象限
B．图象与坐标轴没有交点
C．图象是一条直线
D．y的值随x的值增大而减小
【答案】B
【分析】根据反比例函数的图象和性质即可判断．
【解答】解：在y中，k＝﹣2＜0，
∴图象位于第二、四象限，图象是双曲线，在每一象限内，y随着x增大而增大，
故A，C，D选项不符合题意，
∵x≠0，y≠0，
∴函数图象与坐标轴没有交点，
故B选项符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质与系数的关系是解题的关键．
2．（2025春 普陀区校级期中）一次函数y＝k（x﹣1）与反比例函数在同一直角坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先一次函数y＝k（x﹣1）化为一次函数的一般形式，再对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：①当k＜0时，反比例函数y的图象在第二、四象限，
∵k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝k（x﹣1）的图象过一、二、四象限；
②当k＞0时，反比例函数y的图象在一、三象限，
∵k＞0，
∴﹣k＜0，
∴一次函数y＝k（x﹣1）的图象过一、三、四象限；
故选项C符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数、一次函数的图象，灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想．
3．（2024春 浦东新区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 k＜﹣2　 ．
【答案】k＜﹣2
【分析】根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案．
【解答】解：∵反比例函数y的图象位于第二、四象限，
∴k+2＜0，
解得k＜﹣2，
故答案为：k＜﹣2．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握当k＜0时，y的图象位于第二、四象限．
4．（2024秋 浦东新区校级期中）若图象的一支位于第三象限，则m的取值范围是m　 ．
【答案】．
【分析】由反比例函数的图象的一支位于第三象限，可得3﹣2m＞0，即可求解．
【解答】解：∵图象的一支位于第三象限，
∴3﹣2m＞0，
解得：，
∴m的取值范围是m．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是本题的关键．
5．（2024秋 松江区期末）某鲜花种植基地，某天恒温系统从开启到关闭，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系如图所示．其中线段OB、BC表示恒温系统开启后的阶段，反比例函数图象的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y关于时间x（0≤x≤5）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）如果大棚内的温度低于10℃不利于某种鲜花的生长，那么这天内，相对有利于该种鲜花生长的时间共多少小时？
【答案】（1）y＝4x（0≤x≤5）；
（2）20℃；
（3）17.5小时．
【分析】（1）根据图象设正比例函数解析式为y＝kx，根据图象可知函数解析式；
（2）把x＝5代入解析式y＝4x（0≤x≤5），即可求出恒定温度；
（3）根据图象可知整个图象由三部分组成：正比例函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式；根据各时间段的函数解析式算出y＝10时x的值，用24小时减去这些时间即可．
【解答】解：（1）设直线OB的函数解析式为：y＝kx（k≠0），根据题意，
∴可得方程8＝2k，
∴k＝4，
∴正比例函数解析式为y＝4x（0≤x≤5）；
根据图象可知：y＝20（5≤x≤10）；
（2）∵y＝4x（0≤x≤5）；
当x＝5时，y＝20，
∴恒定温度为：20℃．
（3）设10≤x≤24小时内函数解析式为y，
根据题意，可得方程20，
∴k＝200，
∴函数解析式为y（10≤x≤24），
∴24小时函数解析式为：y，
∵当0≤x≤5时，10＝4x，
∴x＝2.5，
∵当10≤x≤24时，10，
∴x＝20，
∴在20时～24时4小时之间是气温是低于10℃的，
∴气温低于10℃的总时间为：2.5+4＝6.5（h），
∴气温高于10℃的适宜温度是：24﹣6.5＝17.5（h）．
答：相对有利于水果生长的时间共17.5小时．
【点评】本题考查了一次函数、反比例函数的应用，解答本题的关键是找出临界点．
6．（2025秋 嘉定区校级月考）一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，x轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），y轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（0≤x≤30）的速度y的大小关于时间x的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图象的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图象的一部分．
（1）根据图中信息，分别求出两段图象所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域；
（2）若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由．
【答案】（1）加速段：，自变量取值范围0≤x≤8．衰减段：
解析式为，自变量取值范围8＜x≤30．
（2）两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差．
【分析】（1）加速段设一次函数，代入两点求解析式及定义域；衰减段设反比例函数，代入点求解析式及定义域．
（2）另一辆车速度用延续的一次函数，分两段列速度差方程，验证解是否在对应定义域内．
【解答】解：（1）加速段：设解析式为y＝kx+b，代入（0，3），（8，7）得
，
解得，b＝3，
∴，0≤x≤8．
衰减段：设解析式为，代入（8，7）得
m＝8×7＝56，
∴，8＜x≤30．
（2）由题意可得另一辆车速度函数：（0≤x≤30）．
当0≤x≤8时，两车速度相同，速度差为0，无法达到10．
当8＜x≤30时，有，
，
x2﹣14x﹣112＝0，
解得或（舍去），
经检验，是原分式方程的解．
∴两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数自变量取值范围的确定及方程的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、结合自变量取值范围分析实际问题是解题的关键．
7．（2023秋 宝山区期末）越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时（骑行速度不超过40千米/小时）．根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表：
v（千米/小时） 15 20 25 30
t（小时） 2 1.5 1.2 1
（1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；
（2）如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由；
（3）若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足0.8≤t≤1.6，求平均速度v的取值范围．
【答案】（1）平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式v；
（2）骑行者在上午9：10之前不能到达上海蟠龙天地；理由见解答；
（3）平均速度v的取值范围为18.75≤v≤37.5．
【分析】（1）由表中数据可得vt＝30，从而得出结论；
（2）把t代入（1）中解析式，求出v，从而得出结论；
（3）根据t和t的取值范围得出结论．
【解答】解：（1）根据表中数据可知，vt＝30，
∴v，
∴平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式v；
（2）骑行者在上午9：10之前不能到达上海蟠龙天地，理由：
∵从上午8：30到上午9：10，骑行者用时40分钟，即小时，
当t时，v45（千米/小时），
∵骑行速度不超过40千米/小时，
∴骑行者在上午9：10之前不能到达上海蟠龙天地；
（3）∵t，
∴当0.8≤t≤1.6时，0.81.6，
解得18.75≤v≤37.5，
∴平均速度v的取值范围为18.75≤v≤37.5．
【点评】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式．
8．（2025秋 普陀区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k≠0）与反比例函数在第一象限内的图象交于点A（2，a），点B（b，8）在直线OA上．
（1）求点A、B的坐标；
（2）点C在反比例函数的图象上，如果∠ABC＝45°，将直线OA平移，使其经过点C，求平移后所得直线的表达式．
【答案】（1）把A（2，2），B（8，8）；
（2）平移后所得直线的表达式为y＝x．
【分析】（1）把点A（2，a）代入得a2，求得A（2，2），把A（2，2）代入y＝kx得2＝2k，求得直线OA的解析式为y＝x，把点B（b，8）代入y＝x得b＝8，得到B（8，8）；
（2）设C（m，），延长BC交x轴于D，求得∠BDO＝90°，得到OD＝BD＝8，求得C（8，），设平移后所得直线的表达式为y＝x+n，把C（8，）代入y＝x+n即可得到结论．
【解答】解：（1）把点A（2，a）代入得a2，
∴A（2，2），
把A（2，2）代入y＝kx得2＝2k，
∴k＝1，
∴直线OA的解析式为y＝x，
把点B（b，8）代入y＝x得b＝8，
∴B（8，8）；
（2）点C在反比例函数的图象上，
∴点C在点A的右侧，
设C（m，），
延长BC交x轴于D，
∵∠BOD＝∠ABC＝45°，
∴∠BDO＝90°，
∴OD＝BD＝8，
∴m＝8，
∴C（8，），
∵将直线OA平移，
∴设平移后所得直线的表达式为y＝x+n，
把C（8，）代入y＝x+n得8+n，
∴n，
∴平移后所得直线的表达式为y＝x．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
9．（2025秋 黄浦区校级期中）如图，平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx与反比例函数的图象交于点A（a，﹣1）和点B．
（1）求k的值；
（2）将直线l1沿x轴方向平移m（m＞0）个单位后得到直线．直线l2与x轴交于点C．
①如果点C在x轴的正半轴上，连接AC，且△ABC是以AB为斜边的直角三角形，求m的值；
②如果△ABC的面积为3，求平移后直线l2的函数关系式．
【答案】（1）；
（2）①；②或．
【分析】（1）用待定系数法即可解答．
（2）先求出AB的长度，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可解答；
（3）根据三角形面积求出点C的坐标，再进行分类讨论即可．
【解答】解：（1）∵点A（a，﹣1）在反比例函数上，
∴a＝﹣2，
代入y＝kx得：﹣1＝﹣2k，
解得：；
（2）①由（1）可知A（﹣2，﹣1），
∴B（2，1），
∴，
∵点C在x轴的正半轴上，
∴直线l1沿x轴正方向平移m（m＞0）个单位后得到直线 l2，
∴直线l2：，C（m，0），
∵△ABC是以AB为斜边的直角三角形，点O是AB中点，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴C（3，0）或C（﹣3，0），
∴m＝±3，
∴直线l2：或．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数综合，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键．

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