资源简介

21.3.2 菱形
第1课时 菱形的性质
教学设计
教学目标
课题 21.3.2 第1课时菱形的性质 授课人
教材分析 本节课是人教版八年级数学特殊平行四边形章节的核心探究课，承接平行四边形、矩形的性质，聚焦菱形的概念、特殊性质及面积计算。教材以动态演示平行四边形转化为菱形的过程导入，引导学生通过动手折纸、观察猜想，推理证明菱形的四条边相等、对角线互相垂直且平分一组对角的特殊性质，探究菱形面积的两种计算方法，渗透特殊与一般、转化的数学思想。本节课既是对平行四边形性质的延伸，也是后续学习菱形判定、正方形及几何综合问题的基础，重点培养学生的探究能力、推理能力和知识迁移能力，体现数学与生活的紧密联系。
学情分析 八年级学生已掌握平行四边形、矩形的性质、三角形全等及勾股定理等知识，具备初步的动手操作、观察猜想和简单推理能力，能识别生活中的菱形。但学生对菱形“特殊平行四边形”的从属关系理解不透彻，难以区分菱形与平行四边形、矩形的性质差异；在推导菱形性质及面积公式时，对等腰三角形“三线合一”、全等三角形的运用不够熟练；运用菱形性质解决综合问题时，缺乏将菱形问题转化为直角三角形的意识，推理过程不够规范。学生适合通过动态演示、动手操作、例题精讲，逐步掌握菱形性质及面积公式，提升推理能力和知识迁移能力。
核心素养目标 1. 数学眼光：能抽象生活中的菱形模型，借助几何直观感知菱形与平行四边形的关联，通过动态演示、动手折纸培养空间观念和创新思维。 2. 数学思维：能通过动手探究、推理证明菱形的特殊性质及面积公式，灵活运用性质进行计算和证明，提升推理能力和运算严谨性。 3. 数学语言：能运用模型观念识别菱形模型，规范表述菱形概念、性质及面积公式，结合实例增强应用意识，准确运用几何语言表达推理过程。
素养目标 1.理解菱形的概念，了解菱形与平行四边形之间的关系. 2.经历菱形性质定理的探索过程，发展学生的推理能力. 3.能运用菱形的性质定理进行计算或证明，提高学生分析问题、解决问题的能力.
教学重点 菱形性质定理的理解和应用.
教学难点 菱形性质定理的探究与证明.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：动态演示，导入新课 【情境导入】 拿一个活动的平行四边形教具，移动它的一条边，使这条边与邻边的长度相等，这时它是什么图形 (动画演示拉动过程如图) 概念引入：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 仔细观察下列实际生活中的图片，你觉得哪些有菱形的形象 菱形是生活中很常见的图形，你还能列举出菱形在生活中应用的其他例子吗 我们一起来探讨一下菱形的性质吧！ 【教学建议】 让学生根据生活经验及图片思考菱形的概念，教师总结并提示菱形的概念.
设计意图
动态演示平行四边形变成菱形的过程，使学生了解菱形的概念.
活动二：动手操作，探究新知 探究点1 菱形的性质 将一个菱形分别沿它的两条对角线对折，然后打开. 观察图形，回答下列问题： (1)菱形在对称性方面有什么特点 答：菱形是轴对称图形，它的每条对角线所在的直线就是它的对称轴. (2)菱形是特殊的平行四边形，它和平行四边形相比，有什么特殊之处 答：菱形在平行四边形的基础上多了邻边相等的条件. (3)平行四边形的两组对边分别相等，那么菱形的四条边有怎样的关系呢 答：由于菱形是有一组邻边相等的平行四边形，由平行四边形对边相等的性质容易发现菱形的四条边都相等. 归纳总结：菱形的四条边都相等. (4)我们通过刚刚的折纸，可以发现菱形的两条对角线有什么位置关系 答：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 下面我们来试着证明这条性质： 求证：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 【教学建议】 (1)引导学生类 比平行四边形和矩形，从边、角、对角线和轴对称性等方面来研究菱形的性质. (2)告诉学生以 下两点： ①菱形作为特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的性质外，还具有四条边都相等，两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角的特殊性质；②菱形和矩形一样，都是轴对称图形.
设计意图
通过动手操作让学生了解菱形的性质.
教学步骤 师生活动
已知：如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O. 求证:AC⊥BD,AC 平分∠BAD,CA 平分∠BCD,BD 平分∠ABC,DB 平分∠ADC. 证明:∵四边形 ABCD 是菱形,∴AB=AD,OB=OD, ∴AC⊥BD,AC 平分∠BAD(等腰三角形的三线合一). 同理,CA 平分∠BCD,BD 平分∠ABC,DB 平分∠ADC. 归纳总结：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 综合来看，这两条性质可用下面的几何语言来表示： 几何语言:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,AC平分∠BAD,CA 平分∠BCD,BD平分∠ABC,DB 平分∠ADC. 【对应训练】 1.菱形不具有的性质是(B) A.四条边都相等 B.对角线相等 C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直 2.如图,BD 是菱形ABCD 的一条对角线,点 E 在 BC 的延长线上.若∠ADB=32°,则∠DCE 的度数为 64° . 3.教材P73练习第2题.
设计意图 探究菱形面积计算的多种方式，在巩固菱形的性质的同时解决有关菱形的实际问题. 探究点2 菱形的面积 如图，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，可以发现，菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，而平行四边形一般只被分成两对全等的三角形. 那么菱形的面积除了像平行四边形那样利用底×高来计算外，还可以怎样计算 答：菱形的面积还可以利用4个全等的直角三角形面积的和来计算. 归纳总结：菱形被它的两条对角线分成四个全等的直角三角形，它们的底和高分别是两条对角线的一半.所以利用三角形的面积公式可以得到，菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半. 例1 (教材P73例3)如图,菱形花坛ABCD 的边长为20m,∠ABC=60°,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位). 解:设 AC,BD 相交于点 O. ∵花坛 ABCD 的形状是菱形， 在 Rt△ABO 中, ∴花坛的两条小路长AC=2AO=20(m),BD=2BO=20 ≈34.64(m). 花坛的面积 【教学建议】 (1)让学生尝试 利用两种不同的方法解决有关菱形面积的问题. (2)告诉 学生: ①除了常规的计算平行四边形面积的方法，菱形的面积也可以表示为对角线乘积的一半；②由于菱形的两条对角线互相垂直，所以在计算过程中常会用到勾股定理.
教学步骤 师生活动
【对应训练】 1.教材 P73练习第1题. 2.小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含60°角的菱形 ABCD(如图).若AB的长为2,求菱形 ABCD 的面积. 解:如图,过点 A 作 AH⊥BC 于点 H.∵四边形 ABCD 是菱形,∴BC=AB=2. ∵∠B=60°,∴∠BAH=90°-∠B=30°,△ABC 是等边三角形. 由勾股定理易得 ∴菱形 ABCD 的面积为1
活动三：运用新知，巩固提升 例2 如图,在菱形ABCD 中,过点 B 分别作BM⊥AD 于点M,BN⊥CD 于点N,BM,BN 分别交AC 于点E,F.求证:AE=CF. 证明：∵四边形ABCD 为菱形， ∴AB=CB,∠BAM=∠BCN,AC 平分∠BAM,CA平分∠BCN, ∴∠BAE=∠DAE=∠DCF=∠BCF. ∵BM⊥AD,BN⊥CD,∴∠AMB=∠CNB=90°. ∴∠BAM+∠ABE=90°,∠BCN+∠CBF=90°, ∴∠ABE=∠CBF. 在△ABE 和△CBF 中 ∴△ABE≌△CBF(ASA),∴AE=CF. 【对应训练】 1.如图,四边形ABCD 是菱形,F 是AB上一点,DF 交AC 于点E,连接BE.求证:∠AFD=∠CBE. 证明:∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AB∥CD,CB=CD,CA 平分∠BCD. ∴∠BCE=∠DCE. 又CE=CE,∴△BCE≌△DCE(SAS). ∴∠CBE=∠CDE. ∵AB∥CD,∴∠AFD=∠CDE.∴∠AFD=∠CBE. 2.教材P74练习第3题. 【教学建议】 提醒学生：(1)菱形的四条边相等，每一条对角线平分一组对角，根据这些性质可以得到等线段和等角，这为证明三角形全等提供了一些条件；(2)如果菱形的一个内角为 60°，那么菱形的两条边和较短的对角线构成的三角形为等边三角形.
设计意图
巩固学生对菱形的概念及性质的认知，提高对知识的综合运用能力.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 菱形的概念是什么 菱形有哪些不同于平行四边形的性质 菱形的面积都有哪些计算方法 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P79~80习题21.3第4,11,12(2)题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
八年级数学
教学步骤 师生活动
板书设计 21.3.2 菱形 第1课时 菱形的性质 1.菱形的概念. 2.菱形的性质：(1)边的性质；(2)角的性质；(3)对角线的性质；(4)轴对称性. 3.菱形的面积计算公式.
教学反思 设置菱形图片，体现数学来源于生活；通过平移平行四边形的一条边，使其一组邻边相等得到菱形；折纸活动让学生主动探索菱形的性质，让学生感知菱形与平行四边形之间的关系. 通过运用菱形的性质解决简单的实际问题，让学生认识到数学在现实生活中有着广泛的应用，可以培养学生的应用意识.
备课素材
解题大招
解题大招 菱形的性质
(1)菱形的对角线互相垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角，因此菱形的性质可用来证明线段相等、角相等、直线平行、垂直，也可以进行有关的计算；
(2)菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，因此常用勾股定理进行菱形的有关计算.
注意：(1)菱形的两条对角线互相垂直平分，但不一定相等；
(2)对角线互相垂直的任意四边形的面积都等于对角线的长的积的一半.
例1 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,过点 D 作DH⊥BC 于点H,连接OH.若OA=4,S菱形ABCD=24,则OH 的长为(B)
B.3
解析:∵四边形ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,DO=BO,AO=CO.∵AO=4,∴AC=2AO=8.
解得 BD=6.∵DH⊥BC,∴∠DHB=90°.
故选 B.
例2 如图,四边形 ABCD 是菱形,AE⊥BC 于点E,AF⊥CD 于点F.
(1)求证:△ABE≌△ADF;
(2)若AE=4,CF=2,求菱形ABCD 的边长.
(1)证明:∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=AD,∠B=∠D.
∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFD=90°.
在△ABE 和△ADF 中,(∠AB=∠AL,FD,∴△ABE≌△ADF(AAS).
(2)解:设菱形ABCD的边长为x,则AB=CD=x.
∵CF=2,∴DF=x-2.
∵△ABE≌△ADF,∴BE=DF=x-2.
在 Rt△ABE 中,根据勾股定理,得 即 ,解得x=5,∴菱形ABCD 的边长是5.
例3 将两个完全相同的含有30°角的直角三角尺在同一平面内按如图所示的方式摆放，点A，E，B，D依次在同一直线上,连接AF,CD.
(1)求证：四边形AFDC 是平行四边形；
(2)已知BC=6cm,当四边形AFDC 是菱形时,AD 的长为 18 cm.
(1)证明:由题意可知△ACB≌△DFE,∴AC=DF,∠CAB=∠FDE=30°.
∴AC∥DF,∴四边形AFDC是平行四边形.
(2)解析:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=6cm,∴AB=2BC=12cm,∠ABC=60°.∵四边形AFDC是菱形,∴DA 平分∠CDF,∴∠CDA=∠FDA=30°.∵∠ABC=∠CDA+∠BCD,∴∠BCD=∠ABC-∠CDA=60°-30°=30°,∴∠CDA=∠BCD.∴BD=BC=6cm,∴AD=AB+BD=18(cm).故答案为18.
培优计划
培优点 利用菱形的性质判定、证明和计算
例1 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,E是AD 的中点,连接OE,过点 D作DF∥AC交OE 的延长线于点F，连接AF.
(1)求证:△AOE≌△DFE;
(2)判断四边形AODF 的形状，并说明理由.
(1)证明:∵E是AD 的中点,∴AE=DE.
∵DF∥AC,∴∠OAE=∠FDE.又∠AEO=∠DEF,∴△AOE≌△DFE(ASA).
(2)解:四边形 AODF 为矩形.理由:
∵△AOE≌△DFE,∴AO=DF.∵AO∥DF,∴四边形AODF 为平行四边形.
∵四边形ABCD 为菱形,∴AC⊥BD,即∠AOD=90°.∴四边形AODF 为矩形.
例2 如图,四边形ABCD 是菱形,E 是AB的中点,AC 的垂线EF交AC于点G,交AD 于点M,交CD的延长线于点 F.
(1)求证:AM=AE.
(2)连接CM,DF=2.
①求菱形ABCD的周长；
②若∠ADC=2∠MCF,求 ME 的长.
(1)证明:∵四边形ABCD 是菱形,AC是其对角线,∴∠MAG=∠EAG.
∵EM⊥AC,∴∠AGM=∠AGE=90°.又AG=AG,∴△AGM≌△AGE(ASA).∴AM=AE.
(2)解:①∵E 是AB 的中点,
∵四边形ABCD 是菱形,∴AB∥CD,AD=AB.
∴∠AEM=∠F,∠EAM=∠FDM,AM= AD.∴AM=DM.
∴△MAE≌△MDF(AAS),∴AE=DF=2.
∴AB=2AE=4.
∴菱形ABCD的周长为4AB=4×4=16.
②∵△MAE≌△MDF,∴ME=MF,AE=DF.
又AM=AE=MD,∴DF=DM.∴∠DMF=∠F.
∴∠ADC=∠F+∠DMF=2∠F.
∵∠ADC=2∠MCF,∴∠F=∠MCF,∴MF=MC=ME.
如图，连接CE.
∵△AGM≌△AGE,∴GM=GE.
又∠CGM=∠CGE=90°,CG=CG,∴△CGM≌△CGE(SAS).
∴CM=CE=ME.∴△CME 为等边三角形.∴∠CME=60°.
又∠CME=∠F+∠MCF=2∠MCF,∴∠MCF=∠F=30°.∴∠ADC=2∠F=60°.∴∠DMC=90°.
∵ .

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