资源简介

第3课时 用函数解析式表示函数关系
教学设计
教学目标
课题 22.1 第3课时用函数解析式表示函数关系 授课人
教材分析 本节课是人教版八年级数学第二十二章“函数”的重点课时，承接前两课时“常量和变量”“函数的概念”，聚焦函数解析式的列写、自变量取值范围的确定及函数值的求解。教材以实际问题导入，通过汽车耗油量、几何图形面积等实例，引导学生探究如何用数学式子表示函数关系，明确函数解析式的概念，掌握自变量取值范围的确定方法（兼顾式子有意义和实际意义），以及利用解析式求函数值的步骤，渗透建模思想和数形结合思想。本节课是函数知识应用的基础，既是对函数概念的具象化表达，也是后续学习函数图像、一次函数应用的重要铺垫，重点培养学生的数学建模能力、运算能力和应用能力，体现数学与生活、几何的紧密关联。
学情分析 八年级学生已掌握函数的概念、常量和变量的辨析，具备代数式列写、代数式求值及简单几何公式应用能力，能初步识别函数关系，但对用解析式表示函数关系的建模过程掌握不熟练。学生容易出现列解析式时等量关系找错、忽略自变量实际意义导致取值范围确定错误，以及求函数值时运算失误等问题；对“解析式需兼顾式子意义和实际意义”的双重要求理解不透彻，规律探究类问题中列解析式的能力较弱。学生适合通过实例精讲、分层练习、规律探究，逐步掌握解析式列写、自变量取值范围确定和函数值求解的方法，培养建模意识和运算能力，为后续函数知识的应用做好铺垫。
核心素养目标 1. 数学眼光：能抽象实际问题和几何情境中的变量关系，借助几何直观感知函数解析式的意义，通过规律探究培养抽象能力和创新思维。 2. 数学思维：能根据实际情境和数量关系列出函数解析式，确定自变量取值范围，熟练求函数值，提升推理意识、运算能力和逻辑分析能力。 3. 数学语言：能运用模型观念构建函数解析式模型，规范表述函数关系、自变量取值范围及函数值求解过程，结合实际情境增强应用意识。
素养目标 1.能根据实际问题确定函数解析式和自变量的取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制，增强数学建模意识. 2.联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法.
教学重点 列函数解析式，确定自变量的取值范围.
教学难点 较复杂问题中函数解析式的确定及代值求解.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：设问引导，新课导入 【问题引入】 已知一个正方形，其边长为5cm，若边长增加 xcm，设相应的周长增加 ycm，则y是x的函数吗 如果是，它们之间的函数关系应该怎么表示呢 答：y是x的函数.理由：y随x的变化而变化，每当x 取定一个值时，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数. 正方形边长增加前，其周长为5×4=20(cm)；边长增加后，其周长为4(5+x)=(20+4x) cm,所以y=(20+4x)-20=4x,即它们之间的关系可以用等式y=4x表示. 根据题意，我们不难得到y=4x这一相等关系，用到的则是上一节课求函数关系式的方法.可以发现，变量x与y集中在一个用等号连接的式子中，且对于每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，这样就用函数把变量之间的关系表示出来了.这节课我们将进一步学习用这种方法表示函数关系. 【教学建议】 学生自主作答，在潜移默化中完成列函数解析式这一过程，教师进行总结，顺势完成铺垫新课这一教学目的.
设计意图
设问引导学生列函数关系式表示变量之间的关系，从而引入新课.
活动二：问题引入，自主探究 探究点 用函数表示数量之间的关系 例1 (教材P94例2)汽车油箱中有汽油50 L.如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少.已知该汽车平均每千米耗油0.1 L/ km. (1)写出表示 y与x 的函数关系的式子； (2)指出自变量x的取值范围； (3)汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油 解：(1)行驶路程x是自变量，油箱中剩余的油量y 是x的函数.它们的关系为y=50-0.1x. (2)仅从式子y=50-0.1x看，x可以取任意实数.但是考虑到x 代表的实际意义为行驶路程，因此x不能取负数.行驶中的耗油量为0.1x L，它不能超过油箱中现有汽油量 50L,即0.1x≤50. 因此,自变量 x 的取值范围是0≤x≤500. (3)汽车行驶200km时,油箱中剩余的汽油量是函数y=50-0.1x在x=200时的函数值.将x=200代入y=50-0.1x,得y=50-0.1×200=30. 因此，汽车行驶200km时，油箱中还有 30L 汽油. 概念引入：像y=50-0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式. 【教学建议】 学生独立思考完成，教师统一点评并提醒学生注意以下几点： ①对于函数解析式，可列出实际问题中的等量关系或结合相关公式，将各个量用常数或含变量的式子表示，经过适当变形即可得到函数的解析式(注意不要用错公式)； ②对于自变量的取值范围，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义； ③求函数值时，要确认自变量的取值是否在它的取值范围内.
设计意图
由已知条件，结合等量关系列出函数的解析式，根据实际意义确定自变量的取值范围，并进一步考查通过解析式求函数值.
教学步骤 师生活动
例2 写出下列函数中自变量x 的取值范围. (1)y=2x-3; 解:(1)x 为任意实数;(2)x≥1;(3)x≠-0.5. 【对应训练】 1.写出下列函数中自变量x的取值范围. 解:(1)x 为任意实数;(2)x≠2. 2.教材P95 练习.
活动三：重点突破，提升探究 例3 如图，在一个长为15cm、宽为10cm的矩形纸板的四个角上，都剪去大小相同的小正方形，剩余部分为一个十字形纸板(图中阴影部分).当小正方形的边长x(单位：cm)由小到大变化时，剩余部分的面积S(单位：cm )也随之发生变化. (1)哪些量是自变量 哪些量是自变量的函数 试写出题中存在的函数解析式及自变量的取值范围. (2)当小正方形的边长为3cm时，求阴影部分的面积. 解：(1)x是自变量，S是自变量的函数.由剩余部分的面积=矩形的面积-4个小正方形的面积，得S=15×10-4x ,即 因为剩余部分为十字形纸板， 所以小正方形的边长x 应满足x>0且 10-2x>0. 因此，自变量 x 的取值范围是0设计意图
结合常用公式解决几何图形中的函数问题.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.你能根据实际问题列函数解析式吗 举例说明. 2.确定函数中自变量的取值范围时应注意哪些问题 你会求函数的值吗 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P96习题22.1第3,4,7题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计 22.1 函数的概念 第 3课时用函数解析式表示函数关系 1.函数解析式. 2.函数自变量的取值范围：①使函数关系式有意义；②满足问题的实际意义. 3.求函数值.
教学反思 列函数解析式是函数学习的基础，初学时不应过度拔高，应以理解为主，辅以简单的实际背景可使学生感受数学来源于生活.实际教学时应从符号抽象度、建模准确度、实际应用度这三个维度进行展开，使学生理解解析式作为函数关系“压缩包”的高效性，从而增强主动学习的意愿.
备课素材
解题大招
解题大招一 求函数自变量的取值范围
①要使函数的解析式有意义：
a.函数的解析式是整式时，自变量可取任意实数；
b.函数的解析式中含有分式时，自变量的取值应使分式的分母不为0；
c.函数的解析式中含有二次根式时，自变量的取值应使被开方数大于等于0；
d.函数的解析式中含有零次幂时，自变量的取值应使零次幂的底数不为0；
e.函数的解析式中含有负整数指数幂时，自变量的取值应使负整数指数幂的底数不为0.
②对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义.
注意：(1)函数的概念中包含三个要素：
①自变量的取值范围；
②两个变量之间的对应关系；
③后一个变量被唯一确定.
(2)自变量与函数用什么字母表示无关紧要.
(3)已知函数解析式，当自变量确定时，函数值也唯一确定；当函数值确定时，自变量不一定唯一确定.例1 下列函数中，自变量的取值范围错误的是(D)
中,x为任意实数 中,x≠-1
中,x≥2 中,x≥-3
解析：D选项中自变量的取值范围应是x>-3，故此选项错误.故选 D.
解题大招二 利用函数解析式求值
例2 按如图所示的程序计算函数y的值，若输入x 的值为-3，则输出y的值为 18 .
分析：根据-3<-1确定出应代入 中，再计算出y的值.
解析:因为-3<-1,所以将x=-3代入 得 故答案为 18.
培优计划
培优点 列函数解析式解决规律探究题
例 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放.
(1)第5个图形有多少枚黑色棋子
(2)记第n个图形的黑色棋子枚数为y，试写出y关于n的函数解析式.
(3)第几个图形有2025枚黑色棋子
解：(1)因为第1个图形有6枚黑色棋子，第2个图形有9枚黑色棋子，第3个图形有12枚黑色棋子，第4个图形有15枚黑色棋子，所以第5个图形有18枚黑色棋子.
(2)y=3n+3.
(3)将y=2025代入y=3n+3,得3n+3=2025,解得n=674.
所以第674个图形有2025枚黑色棋子.

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