资源简介

22.2 函数的表示
第1课时 函数的图象
教学设计
教学目标
课题 22.2 第1课时函数的图象 授课人
教材分析 本节课是人教版八年级数学第二十二章“函数”的核心基础课时，承接前序函数概念、函数解析式等知识，聚焦函数图象的意义及简单函数图象的画法。教材以摩天轮高度变化的生活情境导入，引导学生认识函数图象的本质（点的集合），通过正方形面积与边长的函数关系，探究列表、描点、连线的画图步骤，渗透数形结合思想。本节课是函数图象知识的入门课，既是对函数表示方法的补充拓展，也是后续利用函数图象解决实际问题、学习具体函数图象的基础，重点培养学生的图象绘制能力和数形结合意识，体现数学的直观性和逻辑性。
学情分析 八年级学生已掌握函数概念、函数解析式及平面直角坐标系的相关知识，具备一定的列表、计算和描点能力，能理解变量间的对应关系，但对函数图象的本质及画图规范掌握不足。学生容易在描点时出现坐标对应错误，连线时不够平滑，难以理解“有限描点、无限想象”的画图思路；对函数图象与解析式、表格的关联理解不透彻，画图时容易忽略自变量取值范围的限制。学生适合通过动手操作、实例探究、规范指导，逐步掌握画图步骤和规范，理解函数图象的意义，培养空间观念和数形结合意识，为后续函数图象的深入学习做好铺垫。
核心素养目标 1. 数学眼光：能抽象函数图象的本质，借助几何直观理解图象与函数关系的对应，通过描点画图培养抽象能力、空间观念和创新思维。 2. 数学思维：能掌握列表、描点、连线的画图方法，理解函数图象的意义，分析图象与函数解析式、表格的关联，提升推理意识和运算能力。 3. 数学语言：能运用模型观念解读函数图象，规范表述画图步骤和图象意义，结合实际情境增强应用意识，准确表达图象与变量间的对应关系。
素养目标 1.联系实际，理解函数图象的意义，以及函数图象的作用. 2.掌握用列表、描点、连线的方法画出简单函数的图象.
教学重点 函数图象的意义的理解和简单函数图象的画法.
教学难点 画稍复杂函数的图象.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创新情境，导入新课 【情境导入】 你坐过摩天轮吗 你坐在摩天轮上时，随着时间的变化，你离地面的高度是如何变化的 如图反映了摩天轮上一点的高度h与旋转时间t之间的对应关系. 有些问题中的函数关系很难用解析式表示，但是可以用图来直观地反映.对于能用解析式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观. 我们这节课就来学习函数的图象以及如何画函数的图象. 【教学建议】 结合图例，引导学生分析为什么需要画图来表示函数关系，找出图象表示函数关系的优点.
设计意图
以生活中的实际场景为例，引入对函数图象的探究.
活动二：问题引入，自主探究 探究点1 函数的图象 1.写出正方形的面积S关于边长x的函数解析式，并确定自变量x的取值范围. 答：根据正方形的面积公式可知S=x .根据问题的实际意义，可知自变量x的取值范围是x>0. 根据函数对自变量单值对应，自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值S，就确定了一个点(x，S)，通过这些点，我们可以利用在平面直角坐标系中画图的方法来表示 S 与x 的关系. 2.请用表格的形式列举S 与x 之间的对应值. 把x的值作为横坐标，对应的S 的值作为纵坐标，在平面直角坐标系中将上面表格中各对数值所对应的点画出来(即描点)，按照横坐标从小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来(即连线)，这样就得到了函数S=x 的图象(如图). 3.表示x 与S的对应关系的点有多少个 能全部画出来吗 答：表示x 与S 的对应关系的点有无数个，但是实际上我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置. 【教学建议】 教师引导学生共同完成图象的绘制.在绘制图象的过程中，适时提醒学生注意： ①如果函数在描出的两点之间是连续的，那么已描出的点之间的连线要平滑(不出现明显的拐弯点)； ②对于不在函数图象上的点，要用空心圆圈表示； ③组成函数图象的所有点的横坐标的集合恰好是自变量的取值范围.
设计意图
利用现实生活中与函数图象有关的背景，让学生在观察中认识、理解函数的图象.
教学步骤 师生活动
概念引入：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 通过图象可以数形结合地研究函数. 【对应训练】 下列曲线中，不能表示y是x 的函数的是(A)
设计意图 探究点2 画函数的图象 例1 (教材P101例1)在下列式子中，y是x的函数.画出这些函数的图象，通过图象观察函数与自变量的关系. (1)y=x+0.5; 解：(1)从式子 y=x+0.5可以看出，x取任意实数时这个式子都有意义，所以x 的取值范围是全体实数. 从x 的取值范围中选取一些数值，算出y 的对应值，列表. 根据表中的数值在平面直角坐标系中描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点，如图. 从函数y=x+0.5的图象可以看出，直线从左向右上升，即当x 由小变大时，y 随之增大. 中x 的取值范围是全体正实数，从x 的取值范围中选取一些数值，算出 y 的对应值，列表. 根据表中的数值在平面直角坐标系中描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点，如图. 从函数 的图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x 由小变大时，y随之减小. 【教学建议】 学生独立画出各函数的图象，教师引导学生总结画函数图象的一般步骤.并提醒学生在画图时需要注意：①点的选取要有代表性；②用平滑的曲线连接各点.
示范函数图象的画法，让学生充分体会画函数图象的方法和步骤.
教学步骤 师生活动
归纳总结：用描点法画函数图象的一般步骤如下： 第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步，描点——在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步，连线----按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来. 【对应训练】 教材P102练习.
活动三：重点突破，提升探究 例 2 画出函数y=-2x+3和 的图象，并回答问题. (1)这两个函数的图象分别是什么图形 当x由小变大时，函数值有何变化 (2)对于函数 自变量x 的取值能否为0 为什么 这一点在函数图象上是如何表现的 (3)点A(0.5,2),B(-2.5,3.2)是否在函数y=-2x+3的图象上 点C(-3.2,2.5),D(-3,3)是否在函数 的图象上 解：对于函数y=-2x+3，由函数解析式可知x的取值范围是全体实数. 列表： 根据表中数值描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点(如图①). 对于函数 列表： 根据表中数值描点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点(如图②). (1)函数y=-2x+3的图象是一条直线，直线从左向右下降，即当x 由小变大时，函数值 y随之减小. 函数 的图象是一条曲线，曲线从左向右上升，即当x 由小变大时，函数值 y随之增大. (2)对于函数 自变量x 的取值不能为0，因为若自变量 x 为0，则分母为0，函数没有意义，所以自变量 x 不能为0.在函数图象上表现为当x<0时，曲线在 y轴的左边但不与y轴相交，随着 x 的增大无限接近y 轴. 【教学建议】 学生自主作图， 待作图完毕后选取学生代表对其提问，学生结合函数图象进行回答，能提高学生的数形结合观察能力以及几何直观感知能力. 回答问题时注意引导他们总结判断一个点是否在函数图象上的两种方法：①描点，由点在平面直角坐标系中是否与函数图象 重 合 来 判 断；②代入，由点的坐标是否满足函数的解析式来判断.
设计意图
延续画函数图象的学习，进一步巩固锻炼学生的作图能力，并适当探讨函数图象的一些性质，为后面的深入学习做准备.
教学步骤 师生活动
(3)点 A(0.5,2)在函数y=-2x+3的图象上,点 B(-2.5,3.2)不在函数y=-2x+3的图象上,点 C(-3.2,2.5)在函数 的图象上,点D(-3,3)不在函数 的图象上.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：用图象表示函数关系有哪些优势 如何画出一个函数的图象 【作业布置】 1.教材P107习题22.2第1,2题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计 22.2 函数的表示 第1课时 函数的图象
教学反思 本节课由生活实例入手，让学生发现用图象表示函数关系更加直观的优势；结合正方形的面积公式画出对应的函数图象，让学生经历将代数关系转化为图形的过程；在引导学生画函数图象时，也可通过几何画板进行动态演示画图过程，直观呈现“列表一描点一连线”三步骤，并培养学生的数形结合思想.
备课素材
解题大招
解题大招一 判断函数图象
解决此类题目的依据是函数的概念，函数值对于自变量应是单值对应关系，据此进行判断找出不符合函数概念的图形，常见的有圆形等.
例1 下列曲线中不能表示y是x的函数的是(C)
解题大招二 画函数的图象
对于能列出解析式的函数，先列出解析式，再根据解析式代值求出各点坐标，然后描点、连线；对于难以列出解析式的函数，一般情况下点的坐标会给定或容易找出，描点、连线即可.
例2 通过对函数的学习，我们积累了一定的经验.下表是一个函数的自变量x与函数值y的部分对应值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题：
x … 0 1 2 3 4 5
y … 6 3 2 1.5 1.2 1
(1)当x= 3 时,y=1.5;
(2)根据表中数值在平面直角坐标系中描点(x，y)，并画出函数图象；
(3)观察画出的图象，写出这个函数的一条性质：当x由小变大时，y随之减小(答案不唯一) .
解：(2)如图所示.
培优计划
培优点 动点问题中的函数图象
例 如图，正方形ABCD 的边长为4cm，点 P 从点D 出发以每秒1cm的速度沿D→C→B 路径匀速运动，设点 P 的运动时间为 xs,△APC 的面积为ycm .
(1)分别写出点 P 在DC和CB上运动时，y关于x的函数解析式；
(2)画出点 P 在整个运动过程中y关于x 的函数图象.
解:(1)由题意,当点 P 在DC 上运动时,
x≤4,DP= xcm,
则CP=CD-DP=(4-x) cm,
所以
即y=-2x+8(0≤x≤4);
当点 P 在 BC 上运动时,
4所以
即y=2x-8(4(2)列表:
描点、连线，画出函数图象如图：

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