资源简介

第2课时 利用函数图象解决实际问题
教学设计
教学目标
课题 22.2第2课时利用函数图象解决实际问题 授课人
教材分析 本节课是人教版八年级数学第二十二章“函数”的重点应用课时，承接前序函数图象的概念及表示方法，聚焦利用函数图象提取信息、解决实际问题，以及由图象反推实际情境。教材以气温变化、行程问题等实际情境导入，通过实例探究图象中横纵坐标的意义、线段变化对应的实际场景，渗透数形结合、建模思想和逆向思维。本节课是函数图象知识的延伸与应用，既是对函数图象意义的深化理解，也是培养学生应用数学解决实际问题能力的重要载体，重点培养学生的图象解读能力、数形结合能力和逆向推理能力，体现数学与生活的紧密关联和实用性。
学情分析 八年级学生已掌握函数图象的基本概念，能识别简单的函数图象，具备一定的图象观察、信息提取和基础运算能力，但对图象与实际问题的深层关联理解不透彻。学生容易混淆图象横纵坐标的实际意义，难以解读图象中拐点、平行线段的含义；在解决图象与几何综合问题时，缺乏数形结合意识，推理能力不足；由图象反推实际背景时，逆向思维能力薄弱。学生适合通过实例精讲、情境分析、分层训练，逐步掌握图象解读技巧，提升利用图象解决实际问题的能力，培养数形结合思维和逆向推理能力，为后续复杂函数图象的学习做好铺垫。
核心素养目标 1. 数学眼光：能抽象函数图象与实际问题的关联，借助几何直观解读图象的横纵坐标意义及变化趋势，通过图象分析培养抽象能力、空间观念和创新思维。 2. 数学思维：能从函数图象中提取有效信息，分析变量间的变化规律，解决实际问题及图象与几何的综合问题，提升推理意识、运算能力和逻辑分析能力。 3. 数学语言：能运用模型观念解读函数图象的实际意义，规范表述图象信息与实际问题的对应关系，结合情境增强应用意识，能根据图象反推实际背景。
素养目标 能从函数图象中提取信息，从而解决实际问题，进一步理解函数图象的意义，感悟数形结合思想的应用.
教学重点 利用函数图象解决实际问题.
教学难点 函数图象与几何问题的综合.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，新课导入 【情境导入】 思考 (教材P103思考)如图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T 如何随时间t的变化而变化.你从图象中得到了哪些信息 (学生自主作答，答案不限.) 【教学建议】 如有条件，可以用带有温度探头的信息技术工具测量、记录温度，并绘制温度随时间变化的图象.
设计意图
联系实际背景引入函数图象，鼓励学生从中获取信息.
活动二：问题引入，自主探究 探究点 利用函数图象解决实际问题 问题1 观察“活动一”中的图象，回答下列问题： (1)气温 T 是时间t 的函数吗 (2)这一天什么时刻气温最低 什么时刻气温最高 (3)哪个时间段气温呈下降状态 哪个时间段气温呈上升状态 (4)你能看出这一天中任一时刻的气温大约是多少吗 解：(1)由图可以看出，气温T 随时间t的变化而变化，对于时间t的每一个确定的值，气温T都有唯一确定的值与其对应.因此，气温 T 是时间t 的函数，活动一中的图是这个函数的图象. (2)这一天中凌晨4时气温最低，为-3℃；14时气温最高，为8℃. (3)从0时至 4时和从14时至 24时气温呈下降状态，从4 时至14 时气温呈上升状态. (4)从图象中可以直观地看出这一天中任一时刻的气温大约是多少. 例1 (教材 P103例2)如图，李明家、食堂、图书馆在同一条直线上.李明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查资料，然后回家.如图反映了这个过程中，李明离家的距离y 与时间x 之间的对应关系. 根据图象回答下列问题： (1)食堂离李明家多远 李明从家到食堂用了多长时间 (2)李明吃早餐用了多长时间 (3)食堂离图书馆多远 李明从食堂到图书馆用了多长时间 【教学建议】 学生分组讨论.教学中应指导学生通过观察图象分析气温的变化情况，得出函数的增减状况及最大值和最小值.
设计意图
利用现实生活中与函数图象有关的背景，让学生在观察中进一步理 解函 数 的图象，以及函数图象所表示的实际意义，强化学生从图形中获取信息的能力.
教学步骤 师生活动
设计意图 (4)李明查资料用了多长时间 (5)图书馆离李明家多远 李明从图书馆回家的平均速度是多少 分析：(1)图象上点的纵坐标表示李明离家的距离 ；横坐标表示 李明离家的时间 ； (2)该图象是由5条线段组成的，它对应5个时间段内的活动，则李明的活动可以分为：从家到食堂，吃早餐，从食堂到图书馆，在图书馆查资料，从图书馆回家 ; (3)图中的每条线段左右端点横坐标之差的绝对值，对应相应活动所用的 时间 ；纵坐标之差的绝对值，对应相应活动行走的 路程 ； (4)图中两段平行于x轴的线段表示李明离家后这两段时间先后停留在食堂与图书馆 ； (5)函数的图象可以分为5段，从中可以知道李明的5个活动的时间段和离家状况分别是: 0~8min:离家越来越远;8~25 min:离家距离不变,为0.6km;25~28min:离家距离由0.6km增加到0.8km;28~58min:离家距离不变,为 【教学建议】 教学中提醒学生从函数图象中获取信息时要做到以下几点：①看清横、纵坐标各表示哪个量；②从左向右，分析每段图象上，函数值随自变量的增大是如何变化的；③知道平行于横轴的线段，函数值不变. 【教学建议】 学生如果没有思路，教师可以适当引导启示.本题的大致框架其实是有所限定的，纵坐标s的单位m，横坐标t的单位是min,所以只能在路程-时间这个范畴内构建情境.答案不限，学生可自由发挥想象力，尤其要提醒学生注意图象中的“拐点”所表示的实际含义.
给函数图象赋予实际背景，发展学生的逆向推理能力和创造力，以及发散学生的思维，强化实践应用能力.
0.8km;58~68min:离家越来越近,直至到家 . 解：(1)由纵坐标看出，食堂离李明家0.6km；由横坐标看出，李明从家到食堂用了8min. (2)由横坐标看出,25-8=17,李明吃早餐用了17min. (3)由纵坐标看出,0.8-0.6=0.2,食堂离图书馆0.2km;由横坐标看出,28-25=3,李明从食堂到图书馆用了 3min. (4)由横坐标看出,58-28=30,李明查资料用了30min. (5)由纵坐标看出，图书馆离李明家0.8km；由横坐标看出，68-58=10，李明从图书馆回家用了10min，由此算出李明从图书馆回家的平均速度是0.08km/min. 问题2 (教材P104探究)构建合适的问题情境，使其中的变量之间的函数关系可以分别用图①和图②中的图象来表示. 答：(答案不唯一，言之有理即可) 图①的情境可以是：某天小明吃完晚饭从家出发往距家900m的公园散步，他走了20min到达公园，然后开始往回走，用了相同的时间回到家. 图②的情境可以是：某天小明从家出发计划到距家 900m的书店买书，他走了20min到达书店，选书和买书共用时10 min，然后以比来时更快的速度往回走，用时15 min回到家. 【对应训练】 教材P105练习.
活动三：重点突破，提升探究 例2 星期天小红从家出发，骑自行车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家(小红家、商店、舅舅家在同一直线上).如图反映了这个过程中，小红离家的距离y与时间x 之间的对应关系. 【教学建议】 学生独立思考完成，教师统一答案.教学中应注意强调：
教学步骤 师生活动
设计意图 根据图象回答下列问题： (1)小红家到舅舅家的路程是 2500 m，小红在商店停留了 10 min. (2)在去舅舅家的过程中，哪个时间段小红骑行的速度最快 最快是多少 (3)本次行程中小红一共骑行了多少米 用时多少分钟 解：(2)观察图象可知，在30~35 min，对应的线段最陡，则这一时间段的骑行速度最快,为(2500-1000)÷(35-30)=300(m/ min). (3)0~10min骑行了2000m;10~20 min骑行了2 000-1000=1000(m);20~30 min骑行了 0m;30~35min骑行了2500-1000=1500(m). 则本次行程中小红一共骑行了 2000+1000+1500=4500(m),用时35 min. ①本题重点考查了对纵坐标之差的绝对值的理解，其对应相应活动时间内距离的变化； ②对于最快骑行速度，可通过组成图象的线段的缓陡确认(线段越陡，速度越快)，也可比较各阶段的速度得出； ③骑行总路程不等于小红家到舅舅家的路程.
进一步强化从函数图象中提取有效信息的能力，以解决实际问题.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：你能从函数图象中获取信息，从而解决实际问题吗 举例说明. 【知识结构】 【作业布置】 1.教材 P108~109习题22.2第3,4,9 题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计 22.2 函数的表示 第2课时 利用函数图象解决实际问题 1.利用函数图象解决实际问题. 2.写出符合函数图象的实际背景.
教学反思 本节课是上节课的延续，在融入实际背景之后，侧重于实践应用方面的探讨，使对于函数图象的学习从“技能训练”转型到“思维培养”，是数学建模思想的高度体现.本节课学习难度较前一课时有较大提升，除了添加背景之外，还由于其中渗透逆向思维———由函数图象反推过程，所以在学生含糊不清的时候需要为他们疏清脉络，更全面地发展数形结合思维.
备课素材
解题大招 (1)正确理解函数图象与实际问题间的内在联系： ①读懂横、纵坐标分别所代表的实际意义； ②读懂两个量在变化过程中的相互关系及变化规律. (2)判断一个点是否在函数图象上的方法： 将这个点的坐标代入函数解析式，若满足，则这个点在函数的图象上；若不满足，则这个点不在函数的图象上. 注意：(1)列表时要根据自变量的取值范围从小到大或自中间向两边选取，取值要有代表性，尽量使画出的函数图象能反映出函数的全貌； (2)描点时要以表中每对对应值为坐标，点取得越多，图象就越准确； (3)连线时要用平滑的曲线将所描的点顺次连接起来.
解题大招一 根据描述选择正确的函数图象
例1 已知吴老师家、公园、学校依次在同一直线上，吴老师家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m.吴老师从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校.设吴老师离公园的距离为y(单位：m)，时间为x(单位：min)，则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是(C)
解析：吴老师从家出发匀速步行8min到公园，则y的值由400变为0；吴老师在公园停留4min，则y的值仍然为0；吴老师从公园匀速步行6min到学校，则在18min时，y的值为600.故选C.
解题大招二 根据图象中的规律解题
例2 实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢.实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系.下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间约是(C)
A.4860年 B.6480年 C.8100年 D.9720年
解析：由图象可知，镭的质量由m。缩减到 需1620年,由m。缩减到 需1620×2=3240(年),由m。缩减到 需1620×3=4860(年),依次可得,由m。缩减到 m。需1620×5=8100(年).当 m =32mg时 因此，32mg镭缩减为1mg所用的时间约是8100年.故选 C.
培优计划
培优点一 从图象中获取信息
例1 如图是甲步行与乙骑自行车(在同一条路上)的路程s甲，s乙随时间t变化的图象，观察图象并回答下列问题：
(1)乙出发时,乙与甲相距 10 km;
(2)走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车所用的时间为 1 h；
(3)乙从出发起，经过 3 h与甲相遇；
(4)乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度一样吗 为什么
解：(2)解析：由图象可知，乙停下来修车所用的时间为1.5-0.5=1(h).故答案为1.
(3)解析：由图象可知，乙从出发起，经过3h与甲相遇.故答案为3.
(4)乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样.理由如下：
乙骑自行车出故障前的速度为7.5÷0.5=15(km/h),修车后的速度为(22.5-7.5)÷(3-1.5)=10(km/h).
因为15≠10，所以乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样.
培优点二 动点问题中的函数图象
例2 如图①,在正方形ABCD中,E是AB 的中点,P 是对角线AC上一动点,设PC=x,PE+PB=y,图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的坐标为(m，2 )，求正方形的边长.
解:如图.由题可知,∠BAD=90°,点D 是点B 关于直线AC 的对称点,连接DE 交AC 于点 P,连接BP.
根据对称性,可知PB=PD,则PE+PB=PE+PD=DE 为y的最小值.由图象上最低点Q 的坐标为(m，2 )，可知y的最小值为2 ，即
设正方形的边长为a，则
在 Rt△ADE 中,由勾股定理,得 即 解得a=4(负值已舍去)，所以正方形的边长为4.

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