资源简介

第3课时 函数的三种表示方法
教学设计
教学目标
课题 22.2 第3课时 函数的三种表示方法 授课人
教材分析 本节课是人教版八年级数学第二十二章“函数”的核心应用课时，承接前序“函数概念”“函数解析式”等知识，聚焦函数的解析法、列表法、图象法三种表示方法，以及方法间的转化和灵活选择。教材以实际情境（音速与气温、出租车收费、弹簧实验）导入，引导学生认识三种表示方法，通过实例探究三种方法的优缺点及转化思路，渗透数形结合、建模思想。本节课是函数知识体系的重要组成部分，既是对函数概念和解析式的拓展延伸，也是后续学习一次函数、二次函数图象与性质的基础，重点培养学生的数形结合能力、转化能力和灵活应用能力，体现数学的实用性和逻辑性。
学情分析 八年级学生已掌握函数概念、函数解析式的列写及函数值求解，能初步识别简单的函数关系，具备一定的表格分析、图象观察和代数式运算能力，但对函数三种表示方法的关联及灵活选择掌握不熟练。学生容易混淆三种方法的优缺点，难以根据实际问题的需求选择合适的表示方法；在三种方法转化（如由表格、图象求解析式）时，规律探究和逻辑推理能力不足，忽略自变量的实际意义限制。学生适合通过实例对比、分层探究、方法转化训练，逐步掌握三种表示方法的特点及应用技巧，培养数形结合意识和灵活解题能力，为后续函数图象的深入学习做好铺垫。
核心素养目标 1. 数学眼光：能抽象实际情境中函数的不同表示形式，借助几何直观（图象、表格）感知三种表示方法的特点，通过转化探究培养抽象能力、空间观念和创新思维。 2. 数学思维：能辨析函数三种表示方法的优缺点，实现三种方法间的转化，根据实际问题灵活选择合适表示方法，提升推理意识、运算能力和逻辑分析能力。 3. 数学语言：能运用模型观念选择恰当形式表示函数关系，规范表述三种表示方法的转化过程及应用思路，结合实际情境增强应用意识，借助图象预测变化趋势。
素养目标 1.运用丰富的实例帮助学生理解函数的三种表示方法. 2.通过观察、作图、交流等活动，加深对函数的三种表示方法的优缺点的理解，提高把实际问题转化为数学问题的能力.理解解析法和图象法表示函数关系的相互转换. 3.通过数形结合利用函数图象预测实际问题变化趋势.
教学重点 函数的三种表示方法的理解及应用.
教学难点 根据实际问题灵活选择适当的方法来表示函数.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：设置情境，导入新课 【情境导入】 问题1：在标准大气压下，声音在空气中传播的速度(简称音速)y与气温x之间的关系如下表所示： y是x的函数吗 答：y是x 的函数. 问题2：已知某市出租车的收费标准为：3km内的起步价为8元，超过3km后，每超出1km收费2元.有一位乘客乘坐出租车去 xkm(x>3，且x 为整数)外的某地，付费y元.能否用含x的式子表示y 如果能，y是x的函数吗 答:y=8+2(x-3),y是x的函数. 问题3：如图是用弹簧做实验时，在弹性限度内，弹簧长度y(单位：cm)与所挂物体质量x(单位：g)的关系图象，y是x的函数吗 答：y是x的函数. 上面的几个问题，分别用列表格、写出函数解析式、 画函数图象的方法表示了具体的函数.这些方法各有什么优缺点 在遇到具体问题时，该如何选择适当的方法表示函数 本节课，我们将要探究这些问题. 【教学建议】 教学时，可以先让学生列举有关函数的例子，让学生叙述这些函数是用什么方法表示的，为什么可以这样表示，这样表示有什么好处.
设计意图
以实际例子展示函数表示方法的多样性，引发学生的思考.
活动二：问题引入，自主探究 探究点 函数的三种表示方法 结合活动一中的几个问题，我们总结如下：①用函数解析式表示函数的方法叫作解析法；②用表格表示函数的方法叫作列表法；③用图象表示函数的方法叫作图象法. 例 1 阅读教材P106例3，回答给出的问题. 解：(1)如图①，描出表中数据对应的点.可以看出，这6个点在一条直线上.再结合表中的数据，可以发现每小时水位上升0.3m.由此猜想，如果画出这5 h内其他时刻(如t=2.5h等)及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的. 【教学建议】 (1)教师对函数的三种表示方法进行总结，引导学生解决例1中的问题，在解决问题的过程中将函数关系在三种表示方法之间进行转化，让学生从中领会三种表示方法的优缺点，进而能根据实际情况和具体要求选择适当的表示方法来解决相关问题.
设计意图
以 实际 问题为例，将函数关系在不同表示方法之间转化，分析各方法的优缺点.
教学步骤 师生活动
(2)由于水位在最近5h内持续上涨，对于时间t的每一个确定的值，水位高度y 都有唯一的值与其对应，所以y是t 的函数.开始时水位高度为3m，以后每小时水位上升0.3m.函数 y=0.3t+3(0≤t≤5)是符合表中数据的一个函数，它表示经过th水位高度 y为(0.3t+3)m.其图象是图②中点 A(0,3)和点 B(5,4.5)之间的线段 AB. 如果在这5h内，水位一直匀速上升，即升速为0.3m/h，那么函数y=0.3t+3(0≤t≤5)就精确地表示了这种变化规律，即使在这5h内，水位的升速有些变化，而由于每小时水位上升0.3m是确定的，所以这个函数也可以近似地表示水位的变化规律. (3)如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再过2h，即t=5+2=7(h)时,水位高度y=0.3×7+3=5.1(m).把图①中的函数图象(线段AB)向右延伸到t=7所对应的位置，得图②，从它也能看出这时的水位高度约为5.1m. 思考：①在例1中，自变量 t的取值范围0≤t≤5是如何确定的 ②为什么t=7时，仍可以应用(2)中的函数解析式求函数值 ③2h后的水位高度用(3)中的哪种方法更好 答：①根据问题的已知数据得到 0≤t≤5. ②在问题(3)中，估计这种上涨规律还会持续2h，由此 t 的取值范围扩大为0≤t≤7.故 t=7时，仍可以应用(2)中的函数解析式求函数值. ③通过函数解析式求函数值相对更准确；通过图象估算更直观. 追问：结合例1，函数的不同表示法之间能否转化 函数的三种表示方法各有什么优缺点 答：在例1中，题目中只给出了列表法，而我们通过分析求出解析式并画出了图象，所以它们之间可以转化. 函数三种表示方法的优缺点总结如下： 函数的三种表示法各有优缺点，有时为全面地认识问题，需要同时使用多种表示法. 【对应训练】 1.根据下面的描述，选择合适的函数表示法. (1)对于每一个大于0的自变量的值，想准确确定对应的函数值； (2)对于自变量x 的取值分别为1，2，3，4，5时，想直接知道其对应的函数值； (3)想知道当x的值增大时，函数值y的变化情况. 解:(1)解析法;(2)列表法;(3)图象法. 2.教材P107练习. (2)在教学中应 注重培养学生根据表格中变量间的对应规律写出函数解析式的能力，引导学生利用所学函数知识探寻事物的变化规律，推测未来事物的变化趋势.
活动三：重点突破，提升探究 例 2 用一根长为20的细绳围成一个等腰三角形. (1)写出底边长 y关于腰长x的函数解析式(x为自变量)； (2)写出自变量x 的取值范围； (3)在平面直角坐标系中画出函数图象.
教学步骤 师生活动
设计意图 解:(1)根据三角形周长与边长的关系可得20=x+x+y,所以y=20-2x.即底边长 y 关于腰长x的函数解析式是 y=20-2x. (2)根据问题的实际意义，得x，y均为正数,所以0y，即2x>20-2x,所以x>5. 结合上述两方面的限制，可确定自变量x的取值范围是5进一步列举实例，加深学生对函数的三种表示方法的理解.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：函数有哪些表示方法 对于不同类型的函数，应如何选择合适的表示方法 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P108~109习题22.2第5,6,7,8题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计 22.2 函数的表示 第3课时 函数的三种表示方法 函数的三种表示方法： 1.解析法； 2.列表法； 3.图象法.
教学步骤 师生活动
教学反思 本节课承接上节课的内容，确认了常见的三种表示函数的方法.本节课的难点在于针对不同的问题如何选择这三种方法进行表示.通过举例引导学生进行对比探究，并结合实际问题进一步强化训练，就能让学生较好地区分三种方法的特点，并能选择合适的方法.
备课素材
解题大招
解题大招 函数的三种表示方法
(1)函数的三种基本表示方法各有优缺点，因此，要根据不同问题与需要，灵活地采用不同的方法.在数学或其他科学研究与应用上，有时把这三种方法结合起来使用，即由已知的函数解析式，列出自变量与对应的函数值的表格，再画出它的图象.
(2)函数的三种表示方法的优缺点：
①用解析法表示函数关系
优点：简单明了，能从解析式清楚地看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合进行理论分析和推导计算.
缺点：在求对应值时，有时要做较复杂的计算.
②用列表法表示函数关系
优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便.
缺点：不能把所有的自变量与对应的函数值全部列出，而且从表中不能明显地看出变量间的对应规律.
③用图象法表示函数关系
优点：形象直观，可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化.
缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值.
注意：函数的不同表示方法之间可以转化.
例1 下列是三种化合物的结构式及分子式.
(1)请按其规律，写出后一种化合物的分子式： C H 。 .
(2)每一种化合物的分子式中 H的个数m是否为C的个数n的函数 如果是，请写出函数解析式.
解：每一种化合物的分子式中H的个数m是C的个数n的函数，解析式为 m=2n+2.
例2 今年“五一”期间，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间.设他从山脚出发后所用时间为t(单位：min)，所走路程为s(单位：m)，s与t之间的函数关系如图所示，则下列说法中，错误的是(C)
A.小明中途休息用了20min
B.小明休息前爬山的速度为 60m/min
C.小明在上述过程中所走路程为7 200m
D.小明休息前后爬山的平均速度相等
解析：小明中途休息的时间是60—40=20(min)，故A选项正确；小明休息前爬山的速度为 故 B选项正确；小明在上述过程中所走路程为4800m，故C选项错误；因为小明休息后爬山的速度是 所以小明休息前后爬山的平均速度相等，故D选项正确.故选 C.
例3 某汽车生产厂家对其生产的一款汽车进行耗油量试验.在试验过程中，汽车一直匀速行驶，该汽车油箱中的剩余油量y(单位：L)与汽车的行驶时间t(单位：h)之间的关系如表：
则用解析法表示y(单位：L)与自变量t(单位：h)之间的关系为 y=120-8t .
培优计划
培优点一 用解析法表示函数关系
例1“十一”期间，小丽和父母一起开车到距家200km的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45L，当行驶150km时，发现油箱中的剩余油量为30L(假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的).
(1)求该汽车平均每千米的耗油量，并写出剩余油量Q(单位：L)随行驶路程x(单位：km)变化的函数解析式；
(2)当x=280时,求剩余油量Q的值;
(3)当油箱中剩余油量低于3L时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家 请说明理由.
解:(1)该汽车平均每千米的耗油量为(45-30)÷150=0.1(L/ km),
则剩余油量Q随行驶路程x变化的函数解析式为Q=45-0.1x.
(2)当x=280时,Q=45-0.1×280=17(L).
(3)能.理由如下：
当Q=3时,45-0.1x=3,解得x=420.
因为200×2=400(km),420>400,
所以他们能在汽车报警前回到家.
培优点二 用图象法表示函数关系
例2 王强在电脑上进行打高尔夫球的模拟练习，在某处按 的路径击球，球正好进洞.其中，y(单位：m)是球的飞行高度，x(单位：m)是球飞出的水平距离.
(1)试画出高尔夫球飞行的路线；
(2)从图象上看，高尔夫球的最大飞行高度是多少 球的起点与洞之间的距离是多少
分析：(1)高尔夫球飞行的路线，也就是函数 的图象，用描点法画出图象.在列表时要注意自变量x的取值范围，因为x是球飞出的水平距离，所以x不能取负数.在建立平面直角坐标系时，横轴(x轴)表示球飞出的水平距离，纵轴(y轴)表示球的飞行高度；
(2)高尔夫球的最大飞行高度就是图象上函数值y取最大值的点，即图中的点 P，则点 P 的纵坐标就是高尔夫球的最大飞行高度；球的起点与球的进洞点是球飞出的水平距离最小值的点和最大值的点，即图中的点O和点A，则点O和点A的横坐标之差的绝对值就是球的起点与洞之间的距离.
解:(1)列表:
在平面直角坐标系中，描点、连线，便可得到这个函数的大致图象(如图).
(2)由图象可得，高尔夫球的最大飞行高度是3.2m，球的起点与洞之间的距离是8m.

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