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23.3 一次函数与方程(组)、不等式
第1课时 一次函数与一元一次方程、不等式
教学目标
课题 23.3 第1课时 一次函数与一元一次方程、不等式 授课人
教材分析 本节课是人教版八年级下册一次函数单元的综合拓展内容，在学生已掌握一次函数图象与性质、一元一次方程和不等式解法的基础上，从数形结合视角建立三者内在联系。教材从相同代数式结构入手，引导学生从 “数” 和 “形” 两个维度探究：解方程 ax+b=0 即求直线与 x 轴交点横坐标，解不等式即确定直线在 x 轴上 / 下方对应的 x 范围。内容突出转化思想与数形结合，既是对一次函数知识的综合运用，也为后续学习函数与方程组、解决实际问题搭建桥梁，有助于提升学生综合分析问题和直观理解数学本质的能力。
学情分析 八年级学生已掌握一元一次方程、不等式的代数解法，能熟练绘制一次函数图象，但习惯于纯代数运算，缺乏用函数观点看待方程与不等式的意识。学生对图象的直观感知较强，但将 “形” 转化为 “数” 的推理能力较弱，容易混淆函数值正负与自变量范围的对应关系。在综合题型中，对不等式组、多函数比较大小的理解不够清晰，需要通过实例观察、类比归纳，逐步建立数形转化思维，提升逻辑推理与应用能力。
核心素养目标 数学眼光：从函数图象中抽象方程与不等式的几何意义，发展几何直观和抽象能力。 数学思维：通过数形转化进行推理判断，规范运算与逻辑表达，提升运算和推理能力。 数学语言：建立函数、方程、不等式模型，用图象表达解集，增强模型意识与应用意识。
素养目标 1.使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的转化关系及其本质联系. 2.使学生能初步运用函数的图象解释一元一次方程的解、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象求一元一次方程的解、一元一次不等式的解集. 3.掌握用图象求解方程、不等式的方法，进一步体会数形结合思想的应用.
教学重点 用函数观点解决一元一次方程和一元一次不等式的问题.
教学难点 “一次”关系的理解及相互转化.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：设置疑问，导入新课 【问题导入】 (1)观察下面的一元一次方程与一元一次不等式，它们有什么共同之处 2x－2>0，2x－2=0，2x－2<0. (2)上面的一元一次方程的解与一元一次不等式的解集，和一次函数y=2x－2的图象有关系吗 上述一元一次方程或不等式左边的式子与一次函数右边的式子相同，很明显，一元一次方程、不等式与一次函数之间存在着某种联系，但这种联系还需要我们进一步去探寻. 今天，我们将以函数的角度来观察和解读一元一次方程及不等式的解(集). 【教学建议】 让学生自由发言即可，教师适时引导学生关注式子结构方面的共同点，为导入新课做准备.
设计意图
提出问题，引发学生对函数与方程、不等式之间联系的思考.
活动二：问题引入，自主探究 探究点1 一次函数与一元一次方程 阅读教材P127上方的思考，将下面的表格补充完整. 1.从“数”的角度看： 一元一次方程问题一次函数问题2x－1=0解方程2x－1=0当一次函数y=2x－1的函数值为 0 时，x取何值
2.从“形”的角度看： 一次函数问题图象2x－1=0在直线y=2x－1上取纵坐标为 0 的点，求其横坐标
一次函数y=2x－1的图象与x轴交点的横坐标是 0.5 ，纵坐标为0，所以当自变量x的值为 0.5 时，函数值为0.由此可以得出一元一次方程2x－1=0的解是 x=0.5 . 问题：我们知道，任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式，那么在函数观点下，应如何看待解方程ax+b=0呢 答：解一元一次方程ax+b=0(a≠0)，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值；从函数图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，求它与x轴的交点的横坐标. 归纳总结： 拓展：解一元一次方程ax+b=c(a≠0)，相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为c时，求自变量x的值；或相当于已知直线y=ax+b，求它与直线y=c的交点的横坐标. 【对应训练】 已知一次函数y=－2x+2的图象如图所示.根据图象回答： (1)求方程－2x+2=0的解； (2)求方程－2x+2=2的解. 解：(1)一次函数y=－2x+2的图象与x轴的交点为(1，0)，所以方程－2x+2=0的解为x=1. (2)一次函数y=－2x+2的图象过点(0，2)，所以方程－2x+2=2的解为x=0. 【教学建议】 让学生结合函数图象分组讨论，从函数的角度解释给出的方程，再由教师引导学生得出一般性结论. 教学中注意引导学生对方程进行变形，总结出函数观点下解一元一次方程ax+b=0的意义.
设计意图
用数形结合的方法，建立一次函数与一元一次方程的联系.
设计意图 探究点2 一次函数与一元一次不等式 阅读教材P127下方的思考，将下面的表格补充完整. 1.从“数”的角度看： 一元一次不等式问题一次函数问题2x－1>0解不等式2x－1>0当一次函数y=2x－1的函数值 大于0 时，x应在什么范围内2x－1<0解不等式2x－1<0当一次函数y=2x－1的函数值 小于0 时，x应在什么范围内
2.从“形”的角度看： 一次函数问题图象2x－1>0在直线y=2x－1上取纵坐标 大于0 的范围，求其横坐标的范围2x－1<0在直线y=2x－1上取纵坐标 小于0 的范围，求其横坐标的范围
当图象上点的纵坐标大于0时，点在x轴 上方 ，其横坐标 大于0.5 ，即函数值大于0时x的取值范围是 x>0.5 ；当图象上点的纵坐标小于0时，点在x轴 下方 ，其横坐标 小于0.5 ，即函数值小于0时x的取值范围是 x<0.5 .由此得出不等式2x－1>0的解集是 x>0.5 ，2x－1<0的解集是 x<0.5 . 问题：对于可化为ax+b>0或ax+b<0(a≠0)的一元一次不等式，在函数观点下，应如何看待解不等式ax+b>0或ax+b<0 答：解一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0(a≠0)，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围；从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围. 归纳总结： 拓展：解一元一次不等式ax+b>c或ax+b类比研究一次函数和一元一次方程的联系的方法，建立一次函数与一元一次不等式的联系.
活动三：重点突破，提升探究 例 函数y=2x+6的图象如图所示. (1)求方程2x+6=0的解； (2)求不等式2x+6>0的解集； (3)求不等式组－1≤2x+6≤3的解集. 解：(1)因为图象过点(－3，0)， 所以方程2x+6=0的解为x=－3. (2)因为当函数y=2x+6的图象在x轴上方时，x>－3，所以不等式2x+6>0的解集为x>－3. (3)因为函数图象过F(－1.5，3)，G(－3.5，－1)两点，当函数y=2x+6的函数值满足－1≤y≤3时，－3.5≤x≤－1.5，所以不等式组的解集是－3.5≤x≤－1.5. 【对应训练】 已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，其与x轴的交点坐标是(－0.5，0)，利用函数图象回答： (1)当x取何值时，kx+b=0 (2)当x取何值时，kx+b>1.5 (3)当x取何值时，0.51时，kx+b>1.5. (3)因为0.5设计意图
让学生进一步体会用函数图象可以直观地求方程、不等式的解或解集.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.如何利用函数解一元一次方程 2.如何利用函数解一元一次不等式 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P130习题23.3第1，2题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计 23.3 一次函数与方程(组)、不等式 第1课时 一次函数与一元一次方程、不等式 1.一次函数与一元一次方程的关系. 2.一次函数与一元一次不等式的关系.
教学反思 本节课是在一次函数的基础上进行的一次综合与扩展教学.从简单的一元一次方程和一次函数的函数值为0的例子入手，让学生初步感知两者之间的联系，再从更多的例子中寻找一元一次方程和一次函数的联系，最后得出一般规律.以此作为基础，继而类比探究出一元一次不等式与一次函数的关系.
解题大招 一次函数与一元一次方程、不等式
(1)由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值.
可令y=0，得到方程(ax+b=0，解方程得就是直线y=ax+b与x轴的交点的横坐标，即直线y=ax+b与x轴的交点为
(2)由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以转化为：当一次函数值大于0或小于0时，求自变量相应的取值范围.
(3)用图象法解一元一次方程的步骤：
①把一元一次方程变形为ax+b=0的形式；
②画出一次函数y=ax+b的图象；
③找到一次函数y=ax+b的图象与x轴的交点，交点的横坐标即为所求.
(4)直线与直线的交点的横坐标即为方程的解；不等式(或的解集就是直线.在直线上(或下)方部分对应的自变量x的取值范围.
例：如图，直线与交于点P(a，b)，则有以下结论：
①方程的解为x=a；
②不等式的解集为x>a；
③不等式的解集为x例1 一次函数y=kx+b(k≠0)中，x与y的部分对应值如下表，那么一元一次方程kx+b=0的解为 x=1 .
x -2 -1 0 1 2
y 9 6 3 0 -3
例2 如图，直线与直线相交于点P(－3，2)，那么不等式的解集为 x<－3
例3 在平面直角坐标系中，一次函数y=kx和y=mx+n的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式(k－m)x－n>0的解集是 x>1 .
解析：由(k－m)x－n>0，得kx>mx+n.
由图可知当x>1时，直线y=kx在直线y=mx+n的上方，
所以关于x的一元一次不等式kx>mx+n的解集是x>1，
即关于x的一元一次不等式(k－m)x－n>0的解集是x>1.
例4 如图，根据图中信息解答下列问题：
(1)关于x的不等式ax+b>0的解集是 x<4 ；
(2)关于x的不等式mx+n<1的解集是 x<0 ；
(3)当x为何值时，
(4)当x<0时，比较y 与y 的大小关系.
解：(3)由图可知，两条直线的交点坐标是(2，1.8).
当函数y 的图象在y 的下方时，x<2，
所以当x≤2时，y ≤y .
(4)由图可知，当x<0时，y >y .
培优点 一次函数与方程、不等式的综合题
例 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，与直线y=kx交于点M(1，2).
(1)求k，b的值及关于x的不等式组的解集；
(2)在x轴上有一点P，过点P作x轴的垂线，分别交直线和直线y=kx于点C，D，若2CD=OB，求点P的坐标.
解：(1)把M(1，2)代入y=kx，得k=2.
把M(1，2)代入得解得
在中，当y=0时，
解得x=5，则A(5，0).
由图可知，关于x的不等式组的解集为1≤x≤5.
(2)在中，当x=01时则B|(0，)，
所以
设P(m，0)，则D(m，2m).
所以
因为2CD=OB，
所以
当m>1时，解得
当m<1时，解得
所以点P的坐标为或

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