资源简介

第2课时 一次函数与二元一次方程(组)
教学目标
课题 23.3 第2课时 一次函数与二元一次方程(组) 授课人
教材分析 本节课是人教版八年级下册一次函数单元的核心综合课，承接上一课时一次函数与一元一次方程、不等式的联系，进一步拓展函数与二元一次方程（组）的内在关联。教材以实例为载体，引导学生从 “数” 与 “形” 两个维度探究：二元一次方程可转化为一次函数，其解对应函数图象上的点；二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标。内容突出数形结合与转化思想，既是对一次函数、二元一次方程（组）知识的整合运用，也完善了 “数” 与 “形” 相互转化的知识体系，为后续解决实际问题、学习更复杂函数知识奠定基础，培养学生综合运用数学知识的能力。
学情分析 八年级学生已掌握一次函数图象与性质、二元一次方程（组）的代数解法，具备一定的数形结合意识，但对两者的内在联系理解不深入。学生能独立画出一次函数图象、解二元一次方程组，却难以将 “方程组的解” 与 “函数图象交点” 建立关联，在复杂场景中，缺乏用函数观点解决方程组问题的思路。同时，学生对交点位置与方程组解的对应关系推理不够严谨，需通过分层探究、实例应用，逐步提升数形转化能力与逻辑推理水平。
核心素养目标 数学眼光：观察二元一次方程（组）与一次函数图象的对应关系，抽象其内在联系，发展几何直观与抽象能力。 数学思维：通过图象法解二元一次方程组，进行推理运算与逻辑判断，提升运算能力与推理能力。 数学语言：建立二元一次方程（组）与一次函数模型，用图象表达方程组的解，增强模型意识与应用意识。
素养目标 1.使学生理解二元一次方程与一次函数的关系. 2.能用“形”(一次函数图象)的方法处理“数”[二元一次方程(组)]的问题，培养学生数形结合的意识与能力. 3.会应用一次函数的图象求二元一次方程(组)的解.
教学重点 二元一次方程与一次函数关系的探索及二元一次方程组的图象解法.
教学难点 应用方程与函数的联系观点解决问题.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：知识回顾，导入新课 【回顾导入】 1.二元一次方程x+y=5和一次函数y=－x+5之间有什么联系 2.(1)解二元一次方程组 (2)求直线y=－x+5和直线y=2x－1交点的坐标. 对比(1)中方程组的解与(2)中交点的坐标，你有什么发现 通过上节课，我们发现一次函数与一元一次方程、不等式之间有着密切的联系.这节课我们将从函数的角度来看二元一次方程和解二元一次方程组. 【教学建议】 引导学生注意到二元一次方程与一次函数之间的关联性，可画出草图来辅助理解.
设计意图
通过问题，引入本课时所要探究的内容.
活动二：问题引入，自主探究 探究点1 一次函数与二元一次方程 问题 我们知道，方程2x－y=1可以转化为y=2x－1，它们有相同的解.y=2x－1对应一次函数y=2x－1.类似地，对于二元一次方程2x－y=3，可以将其写成一次函数 y=2x－3 的形式. (1)画出一次函数y=2x－3的图象； (2)找出方程2x－y=3的几组解； (3)将(2)中找出的几组解在平面直角坐标系中描出，你发现了什么 (4)在一次函数y=2x－3的图象上的点的坐标都是二元一次方程2x－y=3的解吗 解：(1)如图. (2)方程2x－y=3的解如下表： x…－101234…y…－5－3－1135…
(3)找出的几组解在平面直角坐标系中描出后，均在直线y=2x－3上. (4)是的. 归纳总结：由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解(x，y)为坐标的点都在这条直线上. 【对应训练】 直线上每个点的坐标都是二元一次方程.x－2y=2的解的是( C ) 【教学建议】 让学生先分组自由探讨，分别从“数”和“形”两个角度分析一次函数与二元一次方程之间的关系，再由教师总结并进行补充. 教师在学生探讨的过程中，可适时提醒学生将方程的未知数与函数中的变量分别对应.
设计意图
通过数形结合，探究二元一次方程与一次函数之间的关系.
设计意图 探究点2 一次函数与二元一次方程组 问题 (1)求一次函数.y=2x－1与的图象的交点坐标，你有哪些方法 解：从函数值考虑，两条直线相交时，交点处自变量相等，函数值也相等(交点的横、纵坐标均相等)，所以解得x=1，代入y=2x－1，得y=1，所以交点坐标为(1，1)；从函数的图象考虑，可以画出两条直线如图所示，这两条直线的交点坐标为(1，1). (2)解方程组并结合(1)中的交点坐标，谈一谈你的发现. 解：解方程组得 发现：(1)中两条直线交点的坐标(x，y)的值即为方程组的解. (3)对于二元一次方程组你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗 解：方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数y=2x－1与解这个方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标. 由(1)知这两条直线的交点坐标为(1，1)， 由此得出方程组的解是 归纳总结：一般地，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标.因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解. 例1 (教材P129例题)同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升；2号气球从距离地面15m高处出发，以0.5m/s的速度上升.两个气球都上升了1min. (1)分别写出表示两个气球所在位置的高度y(单位：m)关于上升时间x(单位：s)的函数解析式； (2)两个气球在某时刻能否位于同一高度 如果能，这时气球上升了多长时间 位于什么高度 解：(1)气球上升时间x满足0≤x≤60. 对于1号气球，y关于x的函数解析式为y=x+5. 对于2号气球，y关于x的函数解析式为y=0.5x+15. (2)两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于x的某个值(0≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y. 由此可以列二元一次方程组解这个方程组，得 这就是说，当气球上升20s时，两个气球都距离地面25m. 也可以画一次函数的图象解答此问题.如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y=x+5与y=0.5x+15的图象.这两条直线的交点坐标为(20，25)，这说明当气球上升20s时，两个气球都距离地面25m. 【对应训练】 教材P130练习第2，3题. 【教学建议】 告诉学生：可以通过画图象的方法得到方程组的解，同时可针对图象有无交点来确认方程组是否有解.(若两直线平行，则方程组无解；若两直线相交，则方程组有唯一解；若两直线重合，则方程组有无数解)
结合二元一次方程与一次函数之间的关系，通过实例层层设问，引入一次函数与二元一次方程组之间的关系.
活动三：重点突破，提升探究 例2 某销售公司推销一种产品，设每月推销产品的数量为x(单位：件)，付给推销员的月报酬为y(单位：元).公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同，看图解答下列问题： (1)求每种付酬方案中y关于x的函数解析式； (2)当推销产品多少件时，选择方案一与选择方案二所得报酬相同 报酬是多少 (3)若推销员某月推销产品35件，则他选择哪种方案所得报酬更高 解：(1)观察函数图象可得，方案一的图象对应正比例函数，方案二的图象对应一次函数. 由(40，1600)易求得方案一中y关于x的函数解析式为y=40x； 设方案二中y关于x的函数解析式为y=kx+b(k≠0).把(40，1400)和(0，600)代入，得 解得 所以方案二中y关于x的函数解析式为y=20x+600. (2)根据题意列方程组，得解得 答：当推销产品30件时，选择方案一与选择方案二所得报酬相同，报酬是1200元. (3)结合(2)中的答案和函数图象可得，当月推销产品35件时，选择方案一所得报酬更高. 【教学建议】 让学生独立思考作答，体会一次函数与二元一次方程组在日常生活中的实际应用，教师统一答案.教师关注如下： (1)对于部分问题，可直接通过函数图象中的特殊点以及图象间的位置关系得出答案. (2)学生应理解图象中特殊点的实际意义、直线交点的坐标与方程组的解的对应关系，避免多余的计算.
设计意图
通过实际问题，加深对一次函数与二元一次方程组关系的理解.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 二元一次方程(组)与一次函数有什么关系 如何用函数的方式解二元一次方程组 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P130习题23.3第3，4，5题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计 23.3 一次函数与方程(组)、不等式 第2课时 一次函数与二元一次方程(组) 1.一次函数与二元一次方程的关系. 2.一次函数与二元一次方程组的关系(用图象法解二元一次方程组).
教学反思 本节课以上节课为基础，探究一次函数与二元一次方程(组)的关系，通过对应训练逐步加深对它们之间关系的认识.在循序渐进的梯度设计中，掌握解题的一般思路与方法，体会数学思想方法的重要意义.
解题大招 一次函数与二元一次方程(组)
(1)二元一次方程kx－y+b=0(k≠0)的解与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上的点的坐标是一一对应的.
(2)用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤：①先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：y=和；②建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象；③写出这两条直线的交点坐标，横坐标x和纵坐标y这两个数值就是二元一次方程组的解.
例1 若直线y=3x+6与y=2x－4交点的坐标为(a，b)，则下列方程组中，解是的是( D )
例2 利用图象解方程组
解：在平面直角坐标系中画出两条直线，如图所示.
两条直线的交点坐标是(2，－1)，所以方程组的解为
培优点 根据一次函数与二元一次方程的关系求字母的值
例 当k为何值时，直线2k+1=5x+4y与直线k=2x+3y的交点在第四象限
解：联立解得
因为它们的交点在第四象限，
所以x>0，y<0，即解得
所以当时，两直线的交点在第四象限.

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