资源简介

第二十三章 一次函数
23.1 一次函数的概念
教学目标
课题 23.1 一次函数的概念 授课人
教材分析 本节课是第二十三章一次函数的起始课时，是在学生已经学习正比例函数、代数式、一元一次方程等知识基础上展开的内容，起到承上启下的关键作用。教材以登山气温变化、弹簧伸长、水箱排水等生活实例引入，从具体函数解析式抽象出一次函数 y=kx+b(k=0) 的一般概念，辨析一次函数与正比例函数一般与特殊的包含关系。内容贴合生活实际，注重从实际问题提炼函数模型，例题由浅入深，兼顾概念辨析、解析式求解与简单实际应用，为后续学习一次函数图象、性质、综合应用及其他初等函数奠定基础，同时渗透函数建模思想，衔接代数知识与实际问题应用。
学情分析 学生此前已经掌握正比例函数定义、变量与函数概念，会根据简单数量关系列关系式，具备基本的代数运算能力。但学生对一般函数形式归纳抽象能力较弱，容易混淆一次函数与正比例函数的区别联系，忽略k=0、自变量次数为 1 的限制条件。同时学生擅长解决纯代数计算，面对生活实际问题时，难以快速梳理数量关系、建立函数模型。本节课内容贴近生活，实例直观易懂，适合引导学生自主探究归纳概念，但在结合实际确定自变量范围、利用函数解决综合问题上存在薄弱点，教学需多结合实例辨析，强化模型构建思路。
核心素养目标 数学眼光：从实际问题中抽象出一次函数解析式，提升数学抽象能力，结合几何动点问题感知图形与函数联系，发展几何直观。 数学思维：依据一次函数概念条件求解字母参数，进行函数值计算，锻炼运算能力，通过对比归纳函数关系，形成推理意识。 数学语言：能根据实际等量关系建立一次函数模型，用函数表达式描述变量关系，运用模型解决实际问题，增强模型意识与数学应用意识。
素养目标 1.结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式. 2.能辨别一次函数与正比例函数的区别与联系，感悟一般与特殊之间的关系. 3.会从实际问题中建立一次函数模型解决简单的问题.
教学重点 一次函数概念的理解和根据已知信息写出一次函数的解析式.
教学难点 从实际生活问题中建立一次函数模型.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：设置情境，导入新课 【情境导入】 (教材P114问题)某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1 km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y℃.用函数解析式表示y与x的关系，并求当登山队员向上登高2 km时，他们所在位置的气温. 分析：y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加x km时，气温从5℃减少6x℃. 因此，y关于x的函数解析式为y=5－6x.这个函数也可以写为y=－6x+5.当登山队员由大本营向上登高2 km时，他们所在位置的气温就是当x=2时函数y=－6x+5的值，即y=－6×2+5=－7(℃). 在之前的学习中，我们已经知道正比例关系.若变量y与x成正比例，则y=kx(k≠0).观察我们刚刚得到的函数y=－6x+5，它与y=kx有什么不同 这样的函数又有什么特定的称谓吗 这就是我们将要学习的内容. 【教学建议】 教师带领学生共同探讨得到的实际问题的函数解析式，并对比通过正比例关系得到的y=kx有什么形式上的不同(不含常数)，引起学生求知兴趣，为进入正课打好理论基础.
设计意图
结合实例，吸引学生注意力，为学习新知识做好铺垫.
活动二：问题引入，自主探究 探究点 一次函数的概念 阅读教材P114思考，回答问题. 答：4个问题中，变量之间对应的关系都是函数关系. 表示变量之间关系的函数解析式分别为： (1)m=7.9V；(2)h=0.5n；(3)m=h－105；(4)y=－5x+50. 正如活动一中的函数y=－6x+5一样，上面这些函数解析式都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式. 概念引入：一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数，其中x是自变量.特别地，当b=0时，y=kx+b即y=kx.形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数. 归纳总结：正比例函数与一次函数的区别与联系可用图表表示如下： 例1 (教材P115例题)一个弹簧不挂物体时长12 cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1 kg的物体，弹簧伸长2 cm. (1)求弹簧的长度y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数解析式； (2)当挂5 kg的物体时，弹簧的长度是多少 解：(1)由每挂1 kg的物体，弹簧伸长2 cm可知，挂x kg的物体时，弹簧伸长2x cm.因此，y关于x的函数解析式为y=2x+12. (2)把x=5代入y=2x+12，得y=2×5+12=22. 因此，当挂5 kg的物体时，弹簧的长度是22 cm. 【对应训练】 教材P115练习. 【教学建议】 学生分组讨论写出函数解析式，找出此类函数解析式的共同特征，由教师总结出一次函数的概念.要特别强调：①自变量系数不为0(k≠0)；②变量y与x的次数均为1. 活动一中举出的正比例关系式y=kx在这里给出了明确的定义——正比例函数，知识在这里形成闭环，强化了学生的记忆与理解.教师注意引导学生总结正比例函数与一次函数的区别与联系，明确两者之间的关系——正比例函数是特殊的一次函数.
设计意图
从大量生动有趣的实际问题情境出发，通过对一般规律的探索，从实际问题中抽象出一次函数的概念.
活动三：重点突破，提升探究 例2 (教材P116习题23.1第3题)若y与x成正比例关系，且x=2时，y=8，写出y关于x的函数解析式，并求x为何值时y=－4. 解：因为y与x成正比例关系，所以可设y=kx(k≠0). 因为x=2时，y=8，所以2k=8，解得y=4， 所以y关于x的函数解析式为y=4x. 对于y=4x，当y=－4时，4x=－4，解得x=－1，所以x为－1时y=－4. 例3 根据相关部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放，在换水时需要经历“排水—清洗—注水”的过程.某个蓄水2500 m 的游泳池在打开排水阀后，以20 m /min的速度排水. (1)写出该游泳池中剩余水量y(单位：m )关于排水时间x(单位：min)的函数解析式，这个函数是一次函数吗 (不要求写出自变量的取值范围) (2)排水1 h时，游泳池中剩余水量是多少 (3)游泳池完全排空需要多久 解：(1)根据题意，得y=－20x+2500.这个函数是一次函数. (2)1 h=60 min，当x=60时，y=－20×60+2500=1300. 故排水1h时，游泳池中剩余水量是1300m . (3)令y=0，得－20x+2500=0，解得x=125. 故游泳池完全排空需要125 min. 【对应训练】 1.已知y=(m+1)x+n+4. (1)当m，n取何值时，y是x的一次函数 (2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数 解：(1)m≠－1，n为任意实数.(2)m≠－1，n=－4. 2.教材P116习题23.1第4题. 【教学建议】 学生独立思考完成，教师统一答案，告诉学生以下两点： (1)利用正比例关系的一组对应值求函数解析式的过程，其实质就是列方程求解的过程，是待定系数法的体现(这里不需强调，后面会学习)； (2)对于实际问题，要先理解题意，找出两个变量之间的关系，然后根据题中等量关系列出等式，再用含自变量的式子表示函数.
设计意图
引导学生利用正比例关系的一组对应值或结合实际问题中的相等关系，求出一次函数的解析式.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 什么是一次函数 一次函数与正比例函数之间有什么区别和联系 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P116习题23.1第1，2，5题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计 23.1 一次函数的概念 1.一次函数. 2.一次函数的解析式.
教学反思 本节课是一次函数学习的第一节课，整节课以“问题情境一分析探究—总结升华”为主线，使学生亲身体验一次函数特征的探索，并深化了对一次函数与正比例函数的关系的理解.同时，设置了利用已知值求正比例函数解析式的习题，影射了待定系数法，学生容易理解，为后续深入探讨利用这种方法求一次函数解析式埋下伏笔.
(1)要正确理解一次函数成立的条件： ①自变量的次数是1； ②一次项系数k≠0. 根据这两个条件列方程或不等式进行解题. (2)明确一次函数与正比例函数的关系： 正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. (3)一次函数的自变量的取值范围是任意实数，但在实际问题中需根据实际意义确定.
解题大招一 利用一次函数的概念求字母的值
例1 如果是关于x的一次函数，那么常数m的值是( B )
A.2 B.－2 C.±2 D.±1
解析：由题意得
所以m=－2.
故选B.
解题大招二 一次函数的应用
例2 某校九年级学生制作毕业相册，某设计公司收设计费950元，另外收取每册材料费5元.
(1)求制作相册总费用y(单位：元)与册数x的函数解析式.它是一次函数吗 试写出自变量x的取值范围.
(2)当制作相册400册时，需要付费多少元
解：(1)y=5x+950，它是一次函数，自变量x的取值范围为x≥0且x为整数.
(2)当x=400时，y=5×400+950=2950.
故当制作相册400册时，需要付费2950元.
培优点 一次函数与动点问题
例 如图，在矩形ABCD中，AB=8 cm，AD=4 cm，点P从点A出发，以2 cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点D运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止运动.设四边形APQD的面积为y cm ，运动时间为x s，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.
解：由题意，得AP=2x cm，CQ=x cm，CD=AB=8 cm，
所以DQ=CD－CQ=(8－x) cm.
所以
即y=2x+16(0

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